Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành,
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành,
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng
Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là:
Khi cắt một vật thể hình chiếc niêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ
, mặt cắt là tam giác vuông có một góc
và độ dài một cạnh góc vuông là
(như hình vẽ). Tính thể tích vật thể hình chiếc niêm trên.

Diện tích tam giác vuông cân là:
Thể tích vật thể là:
.
Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường
. Đường thẳng
chia
thành hai phần có diện tích
và
(hình vẽ bên).
Tính giá trị để
?
Ta có: do đó ta được:
Theo bài ra ta có:
.
Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ
là một hình tròn có diện tích bằng
. Thể tích của vật thể là?
Ta có:
Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol
và nửa elip có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Gọi là diện tích của, biết
(với
). Tính
?
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
Do tính chất đối xứng của đồ thị nên
. Đặt
Đổi cận
Với
Suy ra
Vậy
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và hai đường thẳng
là
Phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó:
Cho hàm số . Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình
vô nghiệm)
Vậy mệnh đề sai là: .
Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là cm. Giả sử
là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm
giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ
là
và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao lâu thì bơm được số nước bằng
độ sâu của hồ bơi?
Gọi là thời điểm bơm được số nước bằng
độ sâu của bể (
tính bằng giây).
Ta có:
giây
Vậy sau 7237,6242 giây thì bơm được số nước bằng độ sâu của hồ bơi.
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số
tạo với trục hoành và 2 đường thẳng
một hình phẳng
gồm 2 phần có diện tích lần lượt là
.
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) [NB] là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Đúng||Sai
b) [TH] . Đúng||Sai
c) [TH] . Sai||Đúng
d) [VD,VDC] Biết đường thẳng (
là tham số ) cắt đồ thị
tại hai điểm phân biệt và diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và
bằng
. Khi đó tổng các giá trị của tham số
bằng -4. Đúng||Sai
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số
tạo với trục hoành và 2 đường thẳng
một hình phẳng
gồm 2 phần có diện tích lần lượt là
.

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) [NB]
là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Đúng||Sai
b) [TH]
. Đúng||Sai
c) [TH]
. Sai||Đúng
d) [VD,VDC] Biết đường thẳng
(
là tham số ) cắt đồ thị
tại hai điểm phân biệt và diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và
bằng
. Khi đó tổng các giá trị của tham số
bằng -4. Đúng||Sai
a) Đúng. Ta có:
b) Đúng. Ta có:
c) Sai. Ta có
Suy ra : .
d) Đúng.
Phương trình hoành độ giao điểm của và đồ thị hàm số
là
và
cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Theo Viète: (
)
Ta có
Vậy .
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
?
Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
Diện tích thiết diện được xác định theo hàm là:
⇒ Thể tích vật thể tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng
xoay quanh trục
tính bởi công thức nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có và
cắt nhau tại hai điểm
và
Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho bằng thể tích khối tròn xoay
trừ đi thể tích khối tròn xoay
. Trong đó:
được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục Ox, x = 0, x = 1.
được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục Ox, x = 0, x = 1.
Vậy thể tích khối tròn xoay đã cho bằng .
Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và
có diện tích bằng
là phân số tối giản. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
và
.
Khi đó
(đvdt).
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là , chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là
, chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.

Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị và
được tính theo công thức
Phương trình hoành độ giao điểm của và
là:
Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị
và
được tính theo công thức
.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng?
Ta có:
Cho hình phẳng giới hạn bởi đường parabol
và tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có tọa độ
. Diện tích của hình (H) là:
Xét hàm số trên
. Ta có:
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm của đồ thị hàm số
là
Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình . Xét phương trình tương giao của (P) và ∆
Gọi là diện tích hình phẳng
khi đó
Vì nên
Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết
cm,
cm. Biết giá trang trí hoa văn
là 50.000 đồng, tính số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó.


Đưa parabol vào hệ trục ta tìm được phương trình là:
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và các đường thẳng
,
là:
.
Tổng diện tích phần bị khoét đi:
.
Diện tích của hình vuông là: .
diện tích bề mặt hoa văn là: .
Vậy số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó là: đồng
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành và đường thẳng
khi quay quanh trục
?
Phương trình hoành độ giao điểm của đường và trục hoành là:
Khi đó, thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox là:
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành
, các đường thẳng
,
.
Diện tích hình phẳng là
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: