Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1 Nguyên hàm KNTT (Mức Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Tìm mệnh đề sai

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

    Hướng dẫn:

    Mệnh đề sai \left( \int_{}^{}{f(x)dx} \right)^{'} = f'(x).

  • Câu 2: Nhận biết
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x} + x là

    Gợi ý:

    Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản: \int_{}^{}a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C;\int_{}^{}x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C.

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C.

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Với phương pháp đổi biến số (x \rightarrow t), nguyên hàm I = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2x + 3}}dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta biến đổi: I = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{4 - (x - 1)^{2}}}dx}.

    Đặt x - 1 = 2sint,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right\rbrack \Rightarrow dx = 2costdt.

    \Rightarrow I = \int_{}^{}{dt = t + C}.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm đáp án đúng

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x.\ln\left( ex^{2} \right) với x > 0.

    Hướng dẫn:

    Ta có

    f(x) = x.\left( \ln e + 2\ln x ight) = x(1 + 2\ln x)

    = x^{2}.\frac{1}{x} + (2x)\ln x = x^{2}.\left( \ln x ight)' + \left( x^{2} ight)'.\ln x

    = \left( x^{2}\ln x ight)' \Rightarrow F(x) = x^{2}.\ln x + C

  • Câu 5: Nhận biết
    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Biết hàm số f(x) = (2x + 1)^{5} có nguyên hàm là F(x) = \frac{a}{b}(2x + c)^{6} + C với a,b,c\mathbb{\in Z} và \frac{a}{b} là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức T = \frac{a + b + c}{a.b.c}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left\lbrack \frac{a}{b}(2x + c)^{6} \right\rbrack' = \frac{6.a}{b}.2.(2x + c)^{5} = \frac{12.a}{b}.(2x + c)^{5}

    Đồng bộ hệ số ta có: \left\{ \begin{matrix} \frac{12.a}{b} = 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{b} = \frac{1}{12} \\ c = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 12 \\ c = 1 \\ \end{matrix} \right. (vì a,b,c\mathbb{\in Z} và \frac{a}{b} là phân số tối giản)

    Khi đó: T = \frac{1 + 12 + 1}{1.12.1} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f'(x) thỏa mãn f(2) = - \frac{1}{25} và f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} với mọi x\mathbb{\in R}. Giá trị của f(1) bằng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}} = 4x^{3}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}}dx} = \int_{}^{}{4x^{3}dx}

    \Leftrightarrow \frac{- 1}{f(x)} = x^{4} + C;\left( C = C_{2} - C_{1} \right)

    Vậy f(x) = - \frac{1}{x^{4} + C}

    Theo bài ra ta có: f(2) = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow - \frac{1}{2^{4} + C} = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow C = 9

    Vậy f(x) = - \frac{1}{x^{4} + 9} \Leftrightarrow f(1) = - \frac{1}{1^{4} + 9} = - \frac{1}{10}

  • Câu 8: Vận dụng
    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}}dx = \int_{}^{}{\frac{xdx}{x^{2}\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{d\left( x^{2} + 1 ight)}{x^{2}.\sqrt{x^{2} + 1}}}}

    = \int_{}^{}{\frac{d\left( \sqrt{x^{2} + 1} ight)}{x^{2}} = \int_{}^{}{\frac{d\left( \sqrt{x^{2} + 1} ight)}{\left( \sqrt{x^{2} + 1} ight)^{2} - 1} = \frac{1}{2}.ln\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} + C}}

    (Áp dụng công thức \int_{}^{}{\frac{du}{u^{2} - a^{2}} = \frac{1}{2a}.ln\left| \frac{u - a}{u + a} ight| + C})

  • Câu 9: Thông hiểu
    Xác định hàm số f(x)

    Nếu \int_{}^{}{f(x)dx = e^{x} + sin^2x+ C} thì f(x) là hàm nào ?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left( e^{x} + sin^{2}x + C\right)^{'} = e^{x} + sin2x.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx = a\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| + b\ln|x| + C}. Tính giá trị biểu thức H = 2a + b?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{D}{c + 1}

    = \frac{A\left( x^{2} - 1 ight) + Bx(x + 1) + Dx(x - 1)}{x^{3} - x}

    = \frac{(A + B + D)x^{2} + (B - D)x - A}{x^{3} - x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A + B + D = 0 \\B - D = 0 \\- A = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = \dfrac{1}{2} \\D = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{- 1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)} ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| - \ln|x| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - 1 \Rightarrow H = 0.

  • Câu 11: Nhận biết
    Xác định họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x} + \sin x là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x + C.

  • Câu 12: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hai hàm số F(x) = \left( x^{2} + bx + c ight)e^{x} và f(x) = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x}. Biết a;b là các số thực để F(x) là một nguyên hàm của f(x). Tính S = a + b?

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết ta có:

    F'(x) = f(x)

    \Leftrightarrow (2x + a)e^{x} + \left( x^{2} + ax + b ight)e^{x} = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x};\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow x^{2} + (2 + a)x + a + b = x^{2} + 3x + 4;\forall x\mathbb{\in R}

    Đồng nhất hai vế ta có: \left\{ \begin{matrix} a + 2 = 3 \\ a + b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a + b = 4.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho F(x) = (x - 1)e^{x} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}.

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm \int_{}^{}{f(x)dx = F(x) \Rightarrow F'(x) = f(x)}.

    Từ giả thiết, ta có \int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx = F(x) \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = xe^{x}}

    \Rightarrow f(x) = \frac{xe^{x}}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{x}{e^{x}}.

    Suy ra f'(x) = \frac{(x)'.e^{x} - x.\left( e^{x} ight)'}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{e^{x} - x.e^{x}}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{e^{x}(1 - x)}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{1 - x}{e^{x}}.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = \int_{}^{}{\frac{1 - x}{e^{x}}.e^{2x}dx = \int_{}^{}{(1 - x)e^{x}dx}}}.

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = 1 - x \\ dv = e^{x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = - dx \\ v = e^{x} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow \int_{}^{}{(1 - x)e^{x}dx = (1 - x)e^{x} + \int_{}^{}{e^{x}dx}}= (1 - x)e^{x} + e^{x} + C = (2 -x)e^{x} + C.

    Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

    Ta có \int_{}^{}{e^{2x}.f'(x)dx = e^{2x}.f(x) - \int_{}^{}{f(x).2e^{2x}dx = f(x)e^{2x} - 2\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx}}}

    Từ giả thiết: \int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx = F(x) = (x - 1)e^{x}}

    \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = xe^{x}.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = xe^{x} - 2(x - 1)e^{x} + C = (2 - x)e^{x} + C}.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x}{(1 - x)^{3}}?

    Hướng dẫn:

    Nhận thấy x = 1 là nghiệm bội ba của phương trình (x - 1)^{3} = 0, do đó ta biến đổi:

    \frac{2x}{(1 - x)^{3}} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{(1 - x)^{2}} + \frac{C}{(1 - x)^{3}}

    =\frac{A\left( x^{2} - 2x + 1 ight) + B(1 - x) + C}{(1 - x)^{3}}

    = \frac{Ax^{2} + ( - 2A - B)x + A + B + C}{(1 - x)^{3}}

    Từ đây ta có \left\{ \begin{matrix} A = 0 \\ - 2A - B = 2 \\ A + B +C=0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 0 \\ B = -2 \\ C = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có \int_{}^{}{\frac{2x}{(1 - x)^{3}}dx = \int_{}^{}\left( \frac{- 2}{(1 - x)^{2}} + \frac{2}{(1 - x)^{3}} ight)dx }= \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{(x - 1)^{2}} + C

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}

    Gợi ý:

     Tích phân từng phần:

    \int {u\left( x ight)v'\left( x ight)dx = u\left( x ight)v\left( x ight) - \int {v\left( x ight)u'\left( x ight)dx} }

    Hướng dẫn:

     Đặt t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    F\left( x ight) = \int {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int {\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2}} ight).2tdt = \int {\left( {2{t^2} + 2} ight)dt = \frac{{2{t^3}}}{3} + 2t + C} } }

    = \frac{{2\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} }}{3} + 2\sqrt {x + 1} + C = \frac{2}{3}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1} + C

  • Câu 16: Thông hiểu
    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Cho F(x) = (x - 1)e^{x} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x} nên

    F'(x) = f(x)e^{2x} \Leftrightarrow \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = f(x)e^{2x}

    Hay f(x)e^{2x} = e^{x} + (x - 1)e^{x} = xe^{x}

    Xét I = \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}}dx, đặt \left\{ \begin{matrix} u = e^{2x} \\ dv = f'(x)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = 2e^{2x}dx \\ v = f(x) \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó

    I = f(x)e^{2x} - \int_{}^{}{2f(x)e^{2x}}dx

    = xe^{x} - 2(x - 1)e^{x} + C = (2 - x)e^{x} + C

  • Câu 17: Vận dụng
    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của I = \int_{}^{}{xsin^{2}x}dx là:

    Hướng dẫn:

    Ta biến đổi:

    I = \int_{}^{}{xsin^{2}x}dx = \int_{}^{}{x\left( \frac{1 - cos2x}{2} \right)dx}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{xdx - \frac{1}{2}\int_{}^{}{xcos2x}}dx = \frac{1}{4}x^{2} - \frac{1}{2}\underset{I_{1}}{\overset{\int_{}^{}{xcos2xdx}}{︸}} + C_{1}

    \mathbf{I}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\int_{}^{}{\mathbf{x}\mathbf{cos2}\mathbf{xdx}}.

    Đặt\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = cos2x \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = \frac{1}{2}sin2x \\ \end{matrix} \right..

    \Rightarrow I_{1} = \int_{}^{}{xcos2xdx} = \frac{1}{2}xsin2x - \frac{1}{2}\int_{}^{}{sin2xdx =} \frac{1}{2}xsin2x + \frac{1}{4}cos2x + C.

    \Rightarrow I = \frac{1}{4}\left( x^{2} - \frac{1}{2}cos2x - xsin2x \right) + C = \frac{1}{8}\left( 2x^{2} - 2xsin2x - cos2x \right) + C

    = - \frac{1}{8}cos2x + \frac{1}{4}\left( x^{2} + xsin2x \right) + C.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{\ln x}{x}\sqrt{\ln^{2}x + 1}dx}

    Đặt \sqrt{ln^{2}x + 1} \Rightarrow t^{2}= \ln^{2}x + 1 \Rightarrow tdt = \frac{\ln x}{x}dx

    Khi đó F(x) = \int_{}^{}{t^{2}dt} =\frac{t^{3}}{3} + C = \frac{\sqrt{\left( \ln^{2}x + 1 ight)^{3}}}{3} +C.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, thỏa mãn F(0) = 2020. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, ta có: F(x) = e^{x} + C mà F(0) = 2020

    \Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) = e^{x} + 2019

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)

    T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} + e^{2019} + 2019.2020

    T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020.

  • Câu 20: Nhận biết
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Hàm số f(x) = x^{3} + \sin x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có: F'(x) = 3x^{2} + \cos x

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại

Đấu trường Toán 12 Bài 1 Nguyên hàm KNTT (Mức Vừa)

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung
1
20 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này