Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Tích phân KNTT (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức T

    Tính tổng T = \frac{C_{2018}^{0}}{3} - \frac{C_{2018}^{1}}{4} + \frac{C_{2018}^{2}}{5} - \frac{C_{2018}^{3}}{6} + ... - \frac{C_{2018}^{2017}}{2020} + \frac{C_{2018}^{2018}}{2021}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2}(1 - x)^{2018} = x^{2} \cdot \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k}( - 1)^{k} = \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}.

    Do đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu} x^{2}(1 -x)^{2018}dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx.

    Mặt khác:

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx. =\left. \ \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}\frac{x^{k + 3}}{k+ 3}( - 1)^{k} ight|_{0}^{1}= \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu}C_{2018}^{k} \cdot \frac{( - 1)^{k}}{k + 3} = T.

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx.

    Đổi cận x = 0 \Rightarrow t = 1 và x = 1 \Rightarrow t = 0. Khi đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}x^{2}(1 - x)^{2018}dx = \int_{1}^{0}\mspace{2mu}\mspace{2mu}t^{2018}(1 - t)^{2}( - dt)

    = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} t^{2018}\left( t^{2} - 2t + 1 ight)dt = \left. \ \left( \frac{t^{2021}}{2021} - 2 \cdot \frac{t^{2020}}{2020} + \frac{t^{2019}}{2019} ight) ight|_{0}^{1}

    = \frac{1}{2021} - \frac{2}{2020} + \frac{1}{2019} = \frac{1}{1010 \cdot 2019 \cdot 2021} = \frac{1}{4121202990}

  • Câu 2: Vận dụng
    Xác định tất cả các giá trị tham số a

    Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn \left\lbrack \frac{\pi}{4};2\pi \right\rbrack thỏa mãn \int_{0}^{a}\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3\cos x}}dx =\frac{2}{3}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{a}{\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3cosx}}dx}

    Đặt \sqrt{1 + 3cosx} = t,t \geq 0

    \Rightarrow t^{2} = 1 + 3cosx \Rightarrow 2tdt = - 3sinxdx

    \Leftrightarrow \frac{- 2tdt}{3} = \sin xdx

    \Rightarrow I = - \frac{2}{3}\int_{2}^{\sqrt{1 + 3cosa}}\frac{tdt}{t} = - \frac{2}{3}\int_{2}^{\sqrt{1 + 3cosa}}{dt}

    = - \frac{2}{3}\sqrt{1 + 3cosa} + \frac{2}{3}.2

    Mà I = \frac{2}{3} \Rightarrow \sqrt{1 + 3cosa} = 1 \Rightarrow \cos a = 0

    \Rightarrow a = \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}

    Suy ra, đáp án là 2.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tính tổng a và b

    Biết \int_{0}^{1}{\frac{x + 2}{x^{2} + 4x + 7}dx} = a\ln\sqrt{12} + b\ln\sqrt{7}, với a, b là các số nguyên. Tính tổng a + b bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{0}^{1}{\frac{x + 2}{x^{2} + 4x + 7}dx} = \frac{1}{2}.\int_{0}^{1}{\frac{2x + 4}{x^{2} + 4x + 7}dx}

    = \frac{1}{2}.\int_{0}^{1}\frac{d\left( x^{2} + 4x + 7 ight)}{x^{2} + 4x + 7} = \left. \ \frac{1}{2}\ln\left( x^{2} + 4x + 7 ight) ight|_{0}^{1}

    = \frac{1}{2}ln12 - \frac{1}{2}ln7 = \ln\sqrt{12} - \ln\sqrt{7}

    \Rightarrow a = 1;b = - 1 \Rightarrow a + b = 0

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack và \int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack và \int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Vận dụng cao
    Chọn phương án thích hợp

    Tích phân I = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x \right)^{2}}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x ight)^{2}}dx} có gái trị là:

    Ta có:

    I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x ight)^{2}}dx} = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{4\left( \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x ight)^{2}}dx}

    Suy ra I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{4\left\lbrack \sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight) ightbrack^{2}}dx}.

    Đặt u = x + \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = u - \frac{\pi}{6} \Rightarrow dx = du.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{3} \Rightarrow u = - \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow u = \frac{\pi}{2} \\ \end{matrix} ight.

    I = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin\left( u - \frac{\pi}{6} ight)}{4sin^{2}u}du} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin u.cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}\cos u}{4sin^{2}u}du}

    = \frac{1}{8}\int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}.sinu - \cos u}{sin^{2}u}du} = \frac{1}{8}\left( \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}\sin u}{1 - cos^{2}u}du - \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos u}{sin^{2}u}du}} ight)

    Xét I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}\sin u}{1 - cos^{2}u}du}.

    Đặt t = \cos u,u \in \lbrack 0;\pibrack \Rightarrow dt = - \sin udu.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}u = - \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\u = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}\frac{\sqrt{3}dt}{1 - t^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}\left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} ight)dt

    = \frac{\sqrt{3}}{2}\left. \ \left( ln\left| \frac{t + 1}{t - 1} ight| ight) ight|_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} = - \frac{\sqrt{3}}{2}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight).

    Xét I_{2} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos u}{sin^{2}u}du}.

    Đặt t = \sin u,u \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dt = \cos udu.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} u = - \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = - \frac{1}{2} \\ u = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    I_{2} = \int_{- \frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t^{2}}du} = \left. \ \left( - \frac{1}{t} ight) ight|_{- \frac{1}{2}}^{1} = - 3.

    \Rightarrow I = \frac{1}{8}\left( I_{1} - I_{2} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}.

    Đáp án đúng là I = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}

  • Câu 6: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{2x + \cos x}{x^{2} + \sin x}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Xét tích phân I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{2x + \cos x}{x^{2} + \sin x}dx} 

    Ta có:I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{2x + \cos x}{x^{2} + \sin x}dx} = ... = \int_{\frac{\pi^{2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\pi^{2}}{4} + 1}{\frac{1}{t}dt}

    = \ln\left( \frac{\pi^{2}}{4} + 1 ight) - \ln\left( \frac{\pi^{2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{2} ight), với t = x^{2} + \sin x.

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2x - \sin x}{2 - 2cosx}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta biến đổi:

    I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2x - \sin x}{2 - 2cosx}dx} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{1 - \cos x}dx} - \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{1 - \cos x}dx}.

    Xét I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{1 - \cos x}dx} = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{sin^{2}\frac{x}{2}}dx}.

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{sin^{2}\frac{x}{2}}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - 2cot\frac{x}{2} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = \frac{1}{2}\left\lbrack \left. \ \left( - 2x.cot\frac{x}{2} ight) ight|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} + 2\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\cot\frac{x}{2}dx} ightbrack

    = \frac{1}{2}\left\lbrack - \pi + \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} + 4ln\sqrt{2} ightbrack.

    Xét I_{2} = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{1 - \cos x}dx}.

    Đặt t = 1 - \cos x \Rightarrow dt = \sin xdx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \\ x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{2} = \frac{1}{2}{\int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t}dt = \frac{1}{2}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|}}_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{1}{2}ln2.

    I = I_{1} - I_{2} = \frac{1}{2}\left( - \pi + \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} + 4ln\sqrt{2} - ln2 ight).

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tính giá trị của tích phân

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 \right)}{x}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 ight)}{x}dx} có giá trị là:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 ight)}{x}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx} + \int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x}dx}.

    Xét I_{1} = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}.

    Đặt t = ln^{2}x + 1 \Rightarrow dt = \frac{2lnx}{x}dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = {\int_{1}^{2}{\sqrt{t}dt = \left. \ \left( \frac{2}{3}\sqrt{t^{3}} ight) ight|}}_{1}^{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

    Xét I_{2}\int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x}dx}.

    Đặt t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ x = e \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{2} = \int_{0}^{1}{dt} = 1.

    \Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = \frac{4\sqrt{2} + 1}{3}.

    Vậy đáp án cần chọn là: I = \frac{4\sqrt{2} + 1}{3}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1} = \sqrt{x + 1} + 1

    \Rightarrow I = \int_{- 1}^{1}\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx = \int_{- 1}^{1}\left( \sqrt{x + 1} + 1 ight)dx

    = \left. \ \left\lbrack \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} + x ightbrack ight|_{- 1}^{1} = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2

    Đáp án đúng là I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

    Đáp án: 6750000 đồng.

    Đáp án là:

    Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

    Đáp án: 6750000 đồng.

    Gọi phương trình parabol (P):y = ax^{2} + bx + c.

    Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)

    Ta có hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} \frac{9}{4} = c\ (I \in (P))\ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = \frac{9}{4} \\ a = - 1 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Vậy (P):y = - x^{2} + \frac{9}{4}

    Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: S = \int_{\frac{- 3}{2}}^{\frac{3}{2}}\left( - x^{2} + \frac{9}{4} ight)dx = 2\left. \ \left( - \frac{x}{3}^{3} + \frac{9}{4}x ight) ight|_{0}^{\frac{9}{4}} = \frac{9}{2}(m^{2}).

    Số tiền phải trả là \frac{9}{2}.1500000 = 6750000 đồng.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tính quãng đường s của vật di chuyển được

    Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình dưới. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Hướng dẫn:

    Ta tìm được phương trình của parabol là

    (P):v(t) = - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4.

    Khi t = 1 thì v(1) = - \frac{5}{4} + 5 + 4 = \frac{31}{4}(km/h)

    Vậy v(t) = \left\{ \begin{matrix} - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4;\ \ \ 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{31}{4};\ \ \ 1 < \ t \leq 3 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:

    s = \int_{0}^{1}{\left( - \frac{5}{4}t^{2} + 5t + 4 ight)dt} + \frac{31}{4}.2

    = \frac{73}{12} + \frac{31}{2} = \frac{259}{12} \approx 21,58(km/h)

  • Câu 12: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho \int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}dx} = aln2 + bln3 + cln5 với a;b;c là các số thực. Giá trị của biểu thức T = a + b^{2} - c^{3} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}dx} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} ight)dx}

    = \left. \ \ln\left| \frac{x + 1}{x + 2} ight| ight|_{2}^{3} = \ln\frac{4}{5} - \ln\frac{3}{4} = 4ln2 - ln3 - ln5

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = - 1 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = a + b^{2} - c^{3} = 6

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta nhận thấy: \left( \cos x ight)' = - \sin x. Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{matrix} ight..

    I = \int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx} = \int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\left( 1 - \cos^{2}x ight)\sin x}{\sqrt{\cos x}}dx}

    \Rightarrow I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{t^{2} - 1}{\sqrt{t}}dt} = {\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\left( t^{\frac{3}{2}} - t^{- \frac{1}{2}} ight)dx }}

    \left. { = \left( {\frac{2}{5}{t^{\frac{5}{2}}} - 2{t^{\frac{1}{2}}}} ight)} ight|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \frac{{19 - 17\sqrt[4]{3}}}{{\sqrt 2 }}

    Tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx} có giá trị là: I = \frac{19 - 17\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}.

  • Câu 14: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = \ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + C

    Vì f(1) = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} + 1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|}{x - 1}dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 ight|}{x - 1}dx có giá trị là:

    Ta có: \underset{f(x)}{\overset{x^{3} - 3x + 2}{︸}} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2}(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2.

    Bảng xét dấu:

    Ta có

    :I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{x^{3} - 3x + 2}{x - 1}dx = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + x - 2 ight)dx

    = \left. \ \left( \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} - 2x ight) ight|_{- 2}^{- 1} = \frac{7}{6}.

    Đáp án đúng là I = \frac{7}{6}.

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính quãng đường S của viên đạn

    Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29,4 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s2. Tính quãng đường S viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất.

    Hướng dẫn:

    Ta có công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quãng đường đi được là v^{2} - {v_{0}}^{2} = 2as

    \Rightarrow s = \frac{v^{2} - {v_{0}}^{2}}{2a} = \frac{0 - 29,4^{2}}{- 2.9,8} = 44,1(m)

    Quãng đường đi được từ lúc bắn đến khi chạm đất là s = 44,1.2 = 88,2(m)

  • Câu 17: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Kết quả tích phân I = \int_{0}^{1}{(2x + 3)e^{x}dx} được viết dưới dạng I = ae + b với a, b là các số hữu tỉ. Tìm khẳng định đúng.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{(2x + 3).e^{x}dx} = 2\int_{0}^{1}{x.e^{x}dx} + 3\int_{0}^{1}{e^{x}dx}

    Tương tự các bài trên

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{x.e^{x}dx} = \left. \ x.e^{x} ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}dx}

    \Rightarrow I = \left. \ 2x.e^{x} ight|_{0}^{1} + \int_{0}^{1}{e^{x}dx} = 2x.e^{x} + \left. \ e^{x}ight|_{0}^{1} = 3e - 1

    a = 3;b = - 1

    Suy ra, đáp án B: a + 2b = 1

  • Câu 18: Vận dụng
    Tính tổng các giá trị tham số m

    Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1 bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} + m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow m^{2} - m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} - 1 = 0

    Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số
    \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \int_{0}^{1}{\dfrac{3}{9^{x} + 3}dx} \\c = - \int_{0}^{1}{\dfrac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} \\\end{matrix} ight..

    Áp dụng hệ thứ Vi- et \Rightarrow m_{1} + m_{2} = \frac{- b}{a} = \int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = \frac{1}{2}

  • Câu 19: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) (đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho bởi S'(t) = 1,2698e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) tính bằng triệu người / năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t).Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7e^{0,014t} + 90,7.Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người / năm) khoảng 1,7triệu người /năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoẳng 120triệu người. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) (đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho bởi S'(t) = 1,2698e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) tính bằng triệu người / năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t).Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7e^{0,014t} + 90,7.Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người / năm) khoảng 1,7triệu người /năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoẳng 120triệu người. Đúng||Sai

    Ta có S(t) là một nguyên hàm của S'(t) và

    \int_{}^{}{S'(t)dt =}\int_{}^{}{1,2698e^{0,014t}dt} = 1,2698\int_{}^{}\left( e^{0,014t} \right)^{t}dt

    = \frac{1,2698e^{0,014t}}{0,014} = 90,7e^{0,014t} + C.

    Vì S(0) = 90,7 nên C = 0. Suy ra S(t) = 90,7e^{0,014t}.

    Tốc độ tăng dân số ở nước ta năm 2034 là:

    S'(20) = 1,2698e^{0,014.20} \approx 1,7 (triệu người/năm).

    Dân số nước ta năm 2034 là: S(20) = 90,7e^{0,014.20} \approx 120 (triệu người).

  • Câu 20: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Một vật chuyển động với gia tốc a(t) = 2cost\left( \ m/s^{2} \right).

    a) Tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0. Khi đó, vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số v(t) = 2sint\ (\ m/s).Đúng||Sai

    b) Vận tốc của vật tại thời điểm t = \frac{\pi}{2} là 1\ m/s.Sai||Đúng

    c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0\ \ (\ s) đến thời điểm t = \pi\ (s) là 4\ m. Đúng||Sai

    d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = \frac{\pi}{2} (s) đến thời điểm t = \frac{3\pi}{4} (s) là 2\ m. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một vật chuyển động với gia tốc a(t) = 2cost\left( \ m/s^{2} \right).

    a) Tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0. Khi đó, vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số v(t) = 2sint\ (\ m/s).Đúng||Sai

    b) Vận tốc của vật tại thời điểm t = \frac{\pi}{2} là 1\ m/s.Sai||Đúng

    c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0\ \ (\ s) đến thời điểm t = \pi\ (s) là 4\ m. Đúng||Sai

    d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = \frac{\pi}{2} (s) đến thời điểm t = \frac{3\pi}{4} (s) là 2\ m. Sai||Đúng

    a) Ta có v(t) = \int_{}^{}a(t)dt = \int_{}^{}2\cos t\ dt = 2sint + C.

    Mà tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0 nên ta có v(0) = 0 hay C = 0. Vậy v(t) = 2sint

    Suy ra đúng.

    b) Vận tốc của vật tại thời điểm t = \frac{\pi}{2} là v\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2sin\frac{\pi}{2} = 2(\ m/s).

    Suy ra sai.

    c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0\ \ (\ s) đến thời điểm t = \pi\ (s) là

    \int_{0}^{\pi}v(t)dt = \int_{0}^{\pi}2\sin t\ dt = - \left. \ 2cost \right|_{0}^{\pi} = - 2cos\pi - ( - 2cos0) = 4\ (\ m).

    Suy ra đúng.

    d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = \frac{\pi}{2} (s) đến thời điểm t = \frac{3\pi}{4} (s) là

    \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}{v(t)dt} = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}{2sintdt} = - \left. \ 2cost \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} = - 2cos\frac{3\pi}{4} - \left( - 2cos\frac{\pi}{2} \right) = \sqrt{2}\ (\ m).

    Suy ra Sai.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
13 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Xem thêm