Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Tích phân KNTT (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Hàm chi phí cận biên của sản phẩm được định nghĩa là đạo hàm của hàm chi phí. Một nhà máy sản xuất X với số lượng x sản phẩm A thì chi phí cận biên được mô hình hóa bởi công thức f(x) = 6x^{2} + 10x - 15 (nghìn đồng) và chi phí sản xuất một sản phẩm A là 52 nghìn đồng. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Nếu hàm chi phí sản phẩm A là F(x) thì F(x) = f'(x). Sai|||Đúng

    b) F(1) = 52.Đúng||Sai

    c) F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}{f(x)dx}. Đúng||Sai

    d) Chi phí sản xuất 10 sản phẩm là 2100 (nghìn). Sai|||Đúng

    Đáp án là:

    Hàm chi phí cận biên của sản phẩm được định nghĩa là đạo hàm của hàm chi phí. Một nhà máy sản xuất X với số lượng x sản phẩm A thì chi phí cận biên được mô hình hóa bởi công thức f(x) = 6x^{2} + 10x - 15 (nghìn đồng) và chi phí sản xuất một sản phẩm A là 52 nghìn đồng. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Nếu hàm chi phí sản phẩm A là F(x) thì F(x) = f'(x). Sai|||Đúng

    b) F(1) = 52.Đúng||Sai

    c) F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}{f(x)dx}. Đúng||Sai

    d) Chi phí sản xuất 10 sản phẩm là 2100 (nghìn). Sai|||Đúng

    Hàm chi phí cận biên của sản phẩm được định nghĩa là đạo hàm của hàm chi phí. Một nhà máy sản xuất X với số lượng x sản phẩm A thì chi phí cận biên được mô hình hóa bởi công thức f(x) = 6x^{2} + 10x - 15 (nghìn đồng) và chi phí sản xuất một sản phẩm A là 52 nghìn đồng. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    Hàm chi phí sản phẩm A là F(x) với F'(x) = f(x)

    Theo giả thiết F(1) = 52.

    F(10) - F(1) = \int_{1}^{10}{f(x)}dx = \int_{1}^{10}\left( 6x^{2} + 10x - 15 \right)dx = 2358

    \Rightarrow F(10) = 2358 + 52 = 2410

    Vậy chi phí sản xuất 10 sản phẩm là 2410 (nghìn)

    Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tính giá trị của tham số a

    Biết I = \int_{0}^{1}{\frac{\sqrt{ln^{3}x + 3x}\left( ln^{2}x + \frac{1}{3}x \right)}{x}dx} = \frac{2}{9}\left( \sqrt{1 + ae + 27e^{2} + 27e^{3}} - 3\sqrt{3} \right), a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{ln^{3}x + 3x}\left( ln^{2}x + \frac{1}{3}x ight)}{x}dx}

    = \frac{1}{3}\int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{ln^{3}x + 3x}\left( 3ln^{2}x + x ight)}{x}dx}

    Đặt t = ln^{3}x + 3x \Rightarrow dt = \frac{3}{x}ln^{2}x + 1

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 3 \\ x = e \Rightarrow t = 1 + 3e \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I = \int_{3}^{1 + 3e}\sqrt{t}dt = \frac{2}{3}\left. \ \left( \sqrt{t^{3}} ight) ight|_{3}^{1 + 3e} = \frac{2}{3}\left( \sqrt{(1 + 3e)^{3}} - 3\sqrt{3} ight).

    = \frac{2}{9}\left( \sqrt{1 + 9e + 27e^{2} + 27e^{3}} - 3\sqrt{3} ight) \Rightarrow a = 9

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính tổng các giá trị tham số m

    Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1 bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} + m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow m^{2} - m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} - 1 = 0

    Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số
    \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \int_{0}^{1}{\dfrac{3}{9^{x} + 3}dx} \\c = - \int_{0}^{1}{\dfrac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} \\\end{matrix} ight..

    Áp dụng hệ thứ Vi- et \Rightarrow m_{1} + m_{2} = \frac{- b}{a} = \int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = \frac{1}{2}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho tích phân \int_{0}^{4}\frac{dx}{3 +\sqrt{2x + 1}} = a + b.\ln\frac{2}{3} với a;b\mathbb{\in Z}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{0}^{4}\frac{dx}{3 + \sqrt{2x + 1}} = \int_{0}^{4}{\left( 1 - \frac{3}{3 + \sqrt{2x + 1}} ight)d\left( \sqrt{2x + 1} ight)}

    = \left. \ \left\lbrack \sqrt{2x + 1} -3\ln\left( \sqrt{2x + 1} + 3 ight) ightbrack ight|_{0}^{4} = 2 +3\ln\frac{2}{3}

    Suy ra a = 2;b = 3 \Rightarrow a + b = 5.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|}{x - 1}dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 ight|}{x - 1}dx có giá trị là:

    Ta có: \underset{f(x)}{\overset{x^{3} - 3x + 2}{︸}} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2}(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2.

    Bảng xét dấu:

    Ta có

    :I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{x^{3} - 3x + 2}{x - 1}dx = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + x - 2 ight)dx

    = \left. \ \left( \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} - 2x ight) ight|_{- 2}^{- 1} = \frac{7}{6}.

    Đáp án đúng là I = \frac{7}{6}.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{ln5}^{ln12}{\sqrt{e^{x} + 4}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Xét tích phân I = \int_{ln5}^{ln12}{\sqrt{e^{x} + 4}dx}

    Đặt: t = \sqrt{e^{x} + 4} \Leftrightarrow t^{2} = e^{x} + 4 \Rightarrow 2tdt = e^{x}dx \Rightarrow dx = \frac{2tdt}{t^{2} - 4}.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = ln5 \Rightarrow x = 3 \\ x = ln12 \Rightarrow x = 4 \\ \end{matrix} ight..

    I = {\int_{3}^{4}{\frac{2t^{2}}{t^{2} - 4}dt = 2\left. \ \left( t - 2ln\left| \frac{t + 2}{t - 2} ight| ight) ight|}}_{3}^{4} = 2 - 2ln3 + 2ln5.

    Đáp án đúng là I = 2 - 2ln3 + 2ln5.

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) thỏa mãn f(x) + \tan xf'(x) = \frac{x}{\cos^{3}x}. Biết rằng \sqrt{3}f\left( \frac{\pi}{3} ight) - f\left( \frac{\pi}{6} ight) = a\pi\sqrt{3} + bln3 trong đó a;b\mathbb{\in R}. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) + \tan xf'(x) =\frac{x}{\cos^{3}x}

    \Leftrightarrow \cos xf(x) + \sin xf'(x) = \frac{x}{\cos^{2}x}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \sin xf(x)ightbrack' = \frac{x}{\cos^{2}x}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack \sin xf(x) ightbrack'dx} =\int_{}^{}{\frac{x}{\cos^{2}x}dx}

    \Rightarrow \sin xf(x) =\int_{}^{}{\frac{x}{\cos^{2}x}dx}.

    Tính I = \int_{}^{}{\frac{x}{cos^{2}x}dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = x \\dv = \dfrac{dx}{\cos^{2}x} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\v = \tan x \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = x\tan x - \int_{}^{}{\tan xdx} = x\tan x - \int_{}^{}\frac{d\left( \cos x ight)}{\cos x}

    = x\tan x + \ln\left| \cos x ight|

    \Rightarrow f(x) = \frac{x\tan x + \ln\left| \cos x ight|}{\sin x} = \frac{x}{\cos x} + \frac{\ln\left| \cos x ight|}{\sin x}

    Theo bài ra ta có:

    \Rightarrow \sqrt{3}f\left(\frac{\pi}{3} ight) - f\left( \frac{\pi}{6} ight) = \sqrt{3}\left(\frac{2\pi}{3} - \dfrac{2\ln2}{\sqrt{3}} ight)- \left(\frac{\pi\sqrt{3}}{9} + 2\ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} ight) =\dfrac{5\pi\sqrt{3}}{9}\ln3

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{5}{9} \\b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = - \frac{4}{9}

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I =\int_{1}^{e}{\frac{2\ln x\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx} có gái trị là:

    Hướng dẫn:

    Xét tích phân I = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}

    Ta nhận thấy: \left( ln^{2}x + 1 ight)' = \frac{2lnx}{x}.

    Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = ln^{2}x + 1 \Rightarrow dt = \frac{2lnx}{x}dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    I = \int_{1}^{2}{\sqrt{t}dx} = \left. \ \left( \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} ight) ight|_{1}^{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

    Đáp án đúng là I = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

    Đáp án: 6750000 đồng.

    Đáp án là:

    Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

    Đáp án: 6750000 đồng.

    Gọi phương trình parabol (P):y = ax^{2} + bx + c.

    Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)

    Ta có hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} \frac{9}{4} = c\ (I \in (P))\ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = \frac{9}{4} \\ a = - 1 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Vậy (P):y = - x^{2} + \frac{9}{4}

    Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: S = \int_{\frac{- 3}{2}}^{\frac{3}{2}}\left( - x^{2} + \frac{9}{4} ight)dx = 2\left. \ \left( - \frac{x}{3}^{3} + \frac{9}{4}x ight) ight|_{0}^{\frac{9}{4}} = \frac{9}{2}(m^{2}).

    Số tiền phải trả là \frac{9}{2}.1500000 = 6750000 đồng.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Chọn phương án đúng

    Tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos x - \sin x}{\left( e^{x}\cos x + 1 \right)\cos x}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Xét tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}{\frac{\cos x - \sin x}{\left( e^{x}\cos x + 1 ight)\cos x}dx} 

    Ta biến đổi:I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{e^{x}.\left( \cos x - \sin x ight)}{\left( e^{x}\cos x + 1 ight)e^{x}\cos x}dx}.

    Đặtt = e^{x}\cos x \Rightarrow dt = e^{x}\left( \cos x - \sin x ight)dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2}e^{\dfrac{\pi}{3}} \\ x = \dfrac{2\pi}{3} \Rightarrow t = - \dfrac{1}{2}e^{\dfrac{2\pi}{3}} \\ \end{matrix} ight..

    I =\int_{\frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{3}}}^{- \frac{1}{2}e^{\frac{2\pi}{3}}}{\frac{1}{t(t + 1)}dt} = \left. \ \left( \ln\left| \frac{t}{t + 1} ight| ight) ight|_{\frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{3}}}^{- \frac{1}{2}e^{\frac{2\pi}{3}}}

    = \ln\left| \frac{e^{\frac{2\pi}{3}}}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight| - \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}}{e^{\frac{\pi}{3}} + 2} ight| = \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}\left( e^{\frac{\pi}{3}} + 2 ight)}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight|

  • Câu 11: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất v = 50m/s, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 667m

    Đáp án là:

    Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất v = 50m/s, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 667m

    Giả sử hàm số biểu thị cho vận tốc có dạng (P):v(t) = at^{2} + bt + c\left( a,b,c\mathbb{\in R} ight)

    Do (P) đi qua gốc O nên c = 0

    (P) có đỉnh là I(10;50) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{- b}{2a} = 10 \\ 50 = a.100 + b.10 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{1}{2} \\ b = 10 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó (P):v(t) = - \frac{1}{2}t^{2} + 10t

    Xe dừng lại khi v(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 20 \\ \end{matrix} ight.

    Quảng đường xe ô tô di chuyển trong 20 giây là S = \int_{0}^{20}{\left( - \frac{1}{2}t^{2} + 10t ight)dt} \approx 667m

  • Câu 12: Vận dụng
    Xác định tham số a thỏa mãn điều kiện

    Tích phân I = \int_{2}^{3}{\frac{a^{2}x^{2} + 2x}{ax}dx} có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{2}^{3}{\frac{a^{2}x^{2} + 2x}{ax}dx} có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:

    I = \int_{2}^{3}{\frac{a^{2}x^{2} + 2x}{ax}dx} = \int_{2}^{3}{\left( ax + \frac{2}{a} ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{a}{2}x^{2} + \frac{2}{a}x ight) ight|_{2}^{3} = \frac{5a}{2} + \frac{2}{a}

    Vì a là số thực dương nên I = \frac{5a}{2} + \frac{2}{a} \geq 2\sqrt{\frac{5a}{2}.\frac{2}{a}} = 2\sqrt{5}.

    Đáp án đúng là 2\sqrt 5.

  • Câu 13: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Một xe ô tô đang chạy với tốc độ 65\ km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50\ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 10t + 20\ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Đúng||Sai

    b) s(t) = - 5t^{2} + 20t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây. Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một xe ô tô đang chạy với tốc độ 65\ km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50\ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 10t + 20\ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Đúng||Sai

    b) s(t) = - 5t^{2} + 20t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây. Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Do s'(t) = v(t) nên quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).

    Ta có: \int_{}^{}{( - 10t + 20)}dt = - 5t^{2} + 20t + C với C là hằng số. Khi đó, ta gọi hàm số s(t) = - 5t^{2} + 20t + C.

    - Do s(0) = 0 nên C = 0. Suy ra s(t) = - 5t^{2} + 20t.

    - Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0 hay - 10t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 2. Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

    - Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ 65\ km/h \approx 18\ m/s.

    Do đó, quãng đường xe ô tô còn đi chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: s(2) = - 5.2^{2} + 20.2 = 20\ (m).

    Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: 18 + 20 \approx 38\ (m).

    Do 38 < 50 nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a(t) = 2t - 7\ \ \left( m/s^{2} \right). Biết vận tốc ban đầu bằng 6\ \ (m/s). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) [NB] Phương trình vận tốc của chất điểm tại tời điểm t được xác định bởi công thức v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt. Đúng||Sai

    b) [TH] Tại thời điểm t = 7\ \ (s), vận tốc của chất điểm là 6\ \ (m/s). Đúng||Sai

    c) [VD] Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7 là 18m. Sai||Đúng

    d) [VDC] Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7\ \ (s). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a(t) = 2t - 7\ \ \left( m/s^{2} \right). Biết vận tốc ban đầu bằng 6\ \ (m/s). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) [NB] Phương trình vận tốc của chất điểm tại tời điểm t được xác định bởi công thức v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt. Đúng||Sai

    b) [TH] Tại thời điểm t = 7\ \ (s), vận tốc của chất điểm là 6\ \ (m/s). Đúng||Sai

    c) [VD] Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7 là 18m. Sai||Đúng

    d) [VDC] Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7\ \ (s). Sai||Đúng

    a) [NB] Phương trình vận tốc của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi công thức v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt.

    b) [TH] Tại thời điểm t = 7\ \ (s), vận tốc của chất điểm là 6\ \ (m/s).

    Ta có v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt = \int_{}^{}(2t - 7)dt = t^{2} - 7t + C.

    v(0) = 6 \Rightarrow C = 6 \Rightarrow v(t) = t^{2} - 7t + 6.

    Vậy v(7) = 7^{2} - 7.7 + 6 = 6\ \ (m/s).

    c) [VD] Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7 là 18m.

    Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7là

    S = \int_{1}^{7}{v(t)}dt = \int_{1}^{7}\left( t^{2} - 7t + 6 ight)dt= \left. \ \left(\frac{t^{3}}{3} - \frac{7t^{2}}{2} + 6t ight) ight|_{1}^{7} = - 18.

    d) [VD] Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7\ \ (s).

    Vị trí của chất điểm so với vị trí ban đầu tại thời điểm t là

    s(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} =\int_{}^{}{\left( t^{2} - 7t + 6 ight)dt}= \frac{t^{3}}{3} -\frac{7t^{2}}{2} + 6t + C

    Ta cần tìm giá trị lớn nhất của s(t) với t \in \lbrack 0;\ 8brack.

    Do s'(t) = v(t) nên s'(t) = 0 \Leftrightarrow v(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = 6 \\ \end{matrix} ight..

    Lại có s(0) = C, s(1) = \frac{17}{6} + C, s(6) = - 18 + C, s(8) = - \frac{16}{3} + C.

    Vậy giá trị lớn nhất của s(t) với t \in \lbrack 0;\ 8brack đạt được khi t = 1.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình dưới. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

    Hướng dẫn:

    Ta tìm được phương trình của parabol là

    (P):y = - \frac{3}{4}x^{2} + 3x + 6

    Như vậy, quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:

    s = \int_{0}^{1}{\left( - \frac{3}{4}t^{2} + 3t + 6 ight)dt} = \left( - \frac{x^{3}}{4} + \frac{3x^{2}}{2} + 6x ight)|_{0}^{3}

    = \frac{99}{4} = 24,75(km)

  • Câu 16: Vận dụng
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}. Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\frac{2\cos x}{\sin^{2}x}dx} -\int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = \int_{}^{}{\frac{2}{\sin^{2}x}d\left(\sin x ight)} - \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C

    Suy ra F'(x) = f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}

    Trên khoảng (0;\pi) ta có:

    F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x - 1= 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}

    Ta có bảng biến thiên

    Giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3} nên t s có:

    F\left( \frac{\pi}{3} ight) = \sqrt{3} \Leftrightarrow - \frac{3\sqrt{3}}{3} + C = \sqrt{3} \Leftrightarrow C = 2\sqrt{3}

    Vậy F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2\sqrt{3} \Rightarrow F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4.

  • Câu 17: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = \ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + C

    Vì f(1) = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} + 1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 18: Vận dụng
    Tìm quãng đường vật đi được

    Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyển động thẳng với vận tốc v(t) = t(5 - t) (m/s). Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.

    Hướng dẫn:

    Ta có: S = \int_{}^{}{v(t)}dt = \int_{}^{}{t(5 - t)}dt \Rightarrow S = \frac{5t^{2}}{2} - \frac{t^{3}}{3}

    Khi vật dừng lại \Rightarrow v = t(5 - t) = 0 \Rightarrow t = 5

    Khi đó S = \frac{5.5^{2}}{2} - \frac{5^{3}}{3} = \frac{125}{6}(m)

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Xác định giá trị tích phân

    Tích phân I = \int_{- 1}^{\frac{1}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Thực hiện tính tích phân I theo hai cách như sau:

    Cách 1:

    Ta có:\left( 5 + 4x - x^{2} ight)' = 4 - 2x và 4x - 3 = 5 - 2(4 - 2x).

    I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}

    = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} - \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}.

    Xét I_{1} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{9 - (x - 2)^{2}}}dx}.

    Đặt x - 2 = 3sint,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx = 3costdt.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \frac{7}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = - \frac{\pi}{6} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{5.3cost}{\sqrt{9 - 9sin^{2}t}}dt} = \frac{5\pi}{3}.

    Xét I_{2} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}.

    Đặt t = 5 + 4x - x^{2} \Rightarrow dt = 4 - 2x.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ x = \dfrac{7}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I_{2} = 0.

    \Rightarrow I = \frac{5\pi}{3}.

    Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Biết rằng \int_{0}^{\pi^{2}}{\left( \sin\sqrt{x} - \cos\sqrt{x} ight)dx = A + Bx} với A;B\mathbb{\in Z}. Chọn kết luận đúng?

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \sqrt{x} \Rightarrow t^{2} = x \Rightarrow 2tdt = dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = \pi^{2} \Rightarrow t = \pi \\ \end{matrix} ight. khi đó ta được:

    \int_{0}^{\pi^{2}}{\left( \sin\sqrt{x} -\cos\sqrt{x} ight)dx =}\int_{0}^{\pi}{\left( \sin t - \cos tight)tdt} = I

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = t \\ dv = \left( \sin t - \cos t ight)dt \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dt \\ v = - \cos t - \sin t \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow I = 2\left\lbrack \left. \ t\left( - \cos t - \sin t ight) ight|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi}{\left( \cos t + \sin t ight)dt} ightbrack

    \Rightarrow I = 2\left\lbrack \left. \ \pi + \left( \sin t - \cos t ight) ight|_{0}^{\pi} ightbrack = 4 + 2\pi

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 4 \\ B = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A + B = 6

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
32 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này