Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Tích phân KNTT (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tính giá trị của tích phân

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 \right)}{x}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 ight)}{x}dx} có giá trị là:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{e}{\frac{\ln x\left( 2\sqrt{ln^{2}x + 1} + 1 ight)}{x}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx} + \int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x}dx}.

    Xét I_{1} = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}.

    Đặt t = ln^{2}x + 1 \Rightarrow dt = \frac{2lnx}{x}dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = {\int_{1}^{2}{\sqrt{t}dt = \left. \ \left( \frac{2}{3}\sqrt{t^{3}} ight) ight|}}_{1}^{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

    Xét I_{2}\int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x}dx}.

    Đặt t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ x = e \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{2} = \int_{0}^{1}{dt} = 1.

    \Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = \frac{4\sqrt{2} + 1}{3}.

    Vậy đáp án cần chọn là: I = \frac{4\sqrt{2} + 1}{3}.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Chọn phương án đúng

    Tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos x - \sin x}{\left( e^{x}\cos x + 1 \right)\cos x}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Xét tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}{\frac{\cos x - \sin x}{\left( e^{x}\cos x + 1 ight)\cos x}dx} 

    Ta biến đổi:I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{e^{x}.\left( \cos x - \sin x ight)}{\left( e^{x}\cos x + 1 ight)e^{x}\cos x}dx}.

    Đặtt = e^{x}\cos x \Rightarrow dt = e^{x}\left( \cos x - \sin x ight)dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2}e^{\dfrac{\pi}{3}} \\ x = \dfrac{2\pi}{3} \Rightarrow t = - \dfrac{1}{2}e^{\dfrac{2\pi}{3}} \\ \end{matrix} ight..

    I =\int_{\frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{3}}}^{- \frac{1}{2}e^{\frac{2\pi}{3}}}{\frac{1}{t(t + 1)}dt} = \left. \ \left( \ln\left| \frac{t}{t + 1} ight| ight) ight|_{\frac{1}{2}e^{\frac{\pi}{3}}}^{- \frac{1}{2}e^{\frac{2\pi}{3}}}

    = \ln\left| \frac{e^{\frac{2\pi}{3}}}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight| - \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}}{e^{\frac{\pi}{3}} + 2} ight| = \ln\left| \frac{e^{\frac{\pi}{3}}\left( e^{\frac{\pi}{3}} + 2 ight)}{e^{\frac{2\pi}{3}} - 2} ight|

  • Câu 3: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Mệnh đề đúng hay sai?

    a) Nếu f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K thì \int_{}^{}{\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} - \int_{}^{}{g(x)dx}. Đúng||Sai

    b) Hàm số F(x) = 2sinx - 3cosx là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2cosx - 3sinx trên \mathbb{R}. Sai||Đúng

    c) Cho\int_{- 3}^{0}{f(x)dx} = - 4 và \int_{- 3}^{0}{g(x)dx} = - 3. Ta có\int_{- 3}^{0}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) \right\rbrack dx} = - 51. Sai||Đúng

    d) Tính I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( 3 - \sin x \right)dx} = a\pi - \frac{b}{c}(trong đó a,b,c \in \mathbb{N}^{*}và \frac{b}{c} là phân số tối giản). Ta có c = a + b. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Mệnh đề đúng hay sai?

    a) Nếu f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K thì \int_{}^{}{\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} - \int_{}^{}{g(x)dx}. Đúng||Sai

    b) Hàm số F(x) = 2sinx - 3cosx là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2cosx - 3sinx trên \mathbb{R}. Sai||Đúng

    c) Cho\int_{- 3}^{0}{f(x)dx} = - 4 và \int_{- 3}^{0}{g(x)dx} = - 3. Ta có\int_{- 3}^{0}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) \right\rbrack dx} = - 51. Sai||Đúng

    d) Tính I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( 3 - \sin x \right)dx} = a\pi - \frac{b}{c}(trong đó a,b,c \in \mathbb{N}^{*}và \frac{b}{c} là phân số tối giản). Ta có c = a + b. Đúng||Sai

    a) Mệnh đề đúng vì theo tính chất nguyên hàm ta có:

    \int_{}^{}{\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} - \int_{}^{}{g(x)dx}

    b) Ta có F'(x) = 2cosx + 3sinx \neq f(x) nên F(x) không là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \mathbb{R}.

    Do đó mệnh đề sai

    c) Ta có:

    \int_{- 3}^{0}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) \right\rbrack dx} = 2\int_{- 3}^{0}{f(x)dx} + 3\int_{- 3}^{0}{g(x)dx}

    = 2.( - 4) + 3.( - 3) = - 17.

    Do đó mệnh đề sai.

    d) I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( 3 - \sin x \right)\mathbf{d}x} = \left. \ \left( 3x + \cos x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}

    = \left\lbrack \left( \pi + \cos\frac{\pi}{3} \right) - (0 + cos0) \right\rbrack = \pi - \frac{1}{2}.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 2 \end{matrix} \right..

    Do đó c = a + b ta có 2 = 1 + 1 là mệnh đề đúng.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tìm quãng đường vật đi được

    Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyển động thẳng với vận tốc v(t) = t(5 - t) (m/s). Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.

    Hướng dẫn:

    Ta có: S = \int_{}^{}{v(t)}dt = \int_{}^{}{t(5 - t)}dt \Rightarrow S = \frac{5t^{2}}{2} - \frac{t^{3}}{3}

    Khi vật dừng lại \Rightarrow v = t(5 - t) = 0 \Rightarrow t = 5

    Khi đó S = \frac{5.5^{2}}{2} - \frac{5^{3}}{3} = \frac{125}{6}(m)

  • Câu 5: Thông hiểu
    Xác định giá trị của tích phân I

    Tích phân I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin ax + \cos ax \right)dx}, với a \neq 0 có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin ax + \cos ax ight)dx} có giá trị là:

    Ta có:

    I = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin ax + \cos ax ight)dx} = \left. \ \left( - \frac{1}{a}\cos ax + \frac{1}{a}\sin ax ight) ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}

    = \left. \ \left( \frac{\sqrt{2}}{a}\sin\left( ax - \frac{\pi}{4} ight) ight) ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}

    = \frac{\sqrt{2}}{a}\left\lbrack \sin\left( a\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} ight) + \sin\left( a\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} ight) ightbrack.

    Đáp án đúng là I = \frac{\sqrt{2}}{a}\left\lbrack \sin\left( a\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} ight) + \sin\left( a\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} ight) ightbrack.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx} có giá trị là:

    Ta biến đổi: I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{cos^{2}x\left( 9 - tan^{2}x ight)}dx}.

    Nhận thấy:\left( \tan x ight)' = \frac{1}{cos^{2}x}. Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt = \frac{1}{cos^{2}x}dx.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    I = \int_{0}^{1}{\frac{1}{9 - t^{2}}dt} = \frac{1}{6}\int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{3 - t} + \frac{1}{3 + t} ight)dt}

    = \left. \ \left( \frac{1}{6}\ln\left| \frac{3 + t}{3 - t} ight| ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{6}ln2.

    Đáp án đúng là I = \frac{1}{6}\ln 2.

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2x - \sin x}{2 - 2cosx}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta biến đổi:

    I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2x - \sin x}{2 - 2cosx}dx} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{1 - \cos x}dx} - \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{1 - \cos x}dx}.

    Xét I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{1 - \cos x}dx} = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{sin^{2}\frac{x}{2}}dx}.

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{sin^{2}\frac{x}{2}}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - 2cot\frac{x}{2} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = \frac{1}{2}\left\lbrack \left. \ \left( - 2x.cot\frac{x}{2} ight) ight|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} + 2\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\cot\frac{x}{2}dx} ightbrack

    = \frac{1}{2}\left\lbrack - \pi + \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} + 4ln\sqrt{2} ightbrack.

    Xét I_{2} = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{1 - \cos x}dx}.

    Đặt t = 1 - \cos x \Rightarrow dt = \sin xdx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \\ x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{2} = \frac{1}{2}{\int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t}dt = \frac{1}{2}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|}}_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{1}{2}ln2.

    I = I_{1} - I_{2} = \frac{1}{2}\left( - \pi + \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} + 4ln\sqrt{2} - ln2 ight).

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính quãng đường chuyển động

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 5t + 10(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

    Hướng dẫn:

    Nguyên hàm của hàm vận tốc chính là quãng đường s(t) mà ô tô đi được sau quãng đường t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh xe.

    Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với t = 0.

    Thời điểm ô tô dừng lại ứng với t_{1}, khi đó v\left( t_{1} ight) = 0 \Leftrightarrow t_{1} = 2.

    Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại quãng đường ô tô đi được là:

    S = \int_{0}^{2}( - 5t + 10)dt = \left( - \frac{5}{2}t^{2} + 10t ight)|_{0}^{2} = 10(m)

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack và \int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack và \int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 10: Vận dụng
    Tìm giá trị của tích phân I

    Tích phân I = \int_{- 2}^{2}\left| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \right|dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{- 2}^{0}\left| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight|dx có giá trị là:

    Ta có:

    f(x) = \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \Rightarrow f(x) = 0

    \Leftrightarrow x = - 1 \vee x = 2 \land x eq 1

    Bảng xét dấu:

    Ta có:

    I = \int_{- 2}^{0}\left| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight|dx = - \int_{- 2}^{- 1}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight)dx + \int_{- 1}^{0}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 1}dx.

    I_{1} = - \int_{- 2}^{- 1}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight)dx = - - \int_{- 2}^{- 1}\left( x - \frac{2}{x - 1} ight)dx

    = - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 2ln|x - 1| ight) ight|_{- 2}^{- 1} = \frac{5}{2} + 2ln2 - 2ln3.

    I_{2} = \int_{- 1}^{0}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight)dx = ... = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 2ln|x - 1| ight) ight|_{- 1}^{0} = \frac{1}{2} - 2ln2.

    \Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = 3 - 2ln3.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tìm giá trị tích phân

    Cho \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2. Hãy tính \int_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} ight)}{\sqrt{x}}dx}?

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \sqrt{x} \Rightarrow dt = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx \Rightarrow 2dt = \frac{1}{\sqrt{x}}dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = 4 \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight. ta có:

    2\int_{1}^{2}{f(t)dt} = 2\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2.2 = 4

    Vậy \int_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} ight)}{\sqrt{x}}dx} = 4

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tìm tích phân

    Cho hàm số y = f(x) dương và liên tục trên \lbrack 1;3brack thỏa mãn \max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = 2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2} và biểu thức S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} đạt giá trị lớn nhất, khi đó \int_{1}^{3}{f(x)dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Do \frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2 \Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} + \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 - \int_{1}^{3}{f(x)dx}

    \Rightarrow S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx} ightbrack^{2}

    \leq \frac{25}{4} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq \frac{25}{4}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}.

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta nhận thấy: \left( \cos x ight)' = - \sin x. Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{matrix} ight..

    I = \int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx} = \int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\left( 1 - \cos^{2}x ight)\sin x}{\sqrt{\cos x}}dx}

    \Rightarrow I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{t^{2} - 1}{\sqrt{t}}dt} = {\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\left( t^{\frac{3}{2}} - t^{- \frac{1}{2}} ight)dx }}

    \left. { = \left( {\frac{2}{5}{t^{\frac{5}{2}}} - 2{t^{\frac{1}{2}}}} ight)} ight|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \frac{{19 - 17\sqrt[4]{3}}}{{\sqrt 2 }}

    Tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx} có giá trị là: I = \frac{19 - 17\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}.

  • Câu 14: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Cho các hàm số f(x) có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} eq 0. Giá trị của biểu thức \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} bằng:

    Hướng dẫn:

    Đặt \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = k

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f'(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}

    Vậy \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} = \frac{\left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}}{\left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}} = 1

  • Câu 15: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Cho số thực a và hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ khi\ \ x \leq 0 \\ a\left( x - x^{2} \right)\ \ \ khi\ \ \ x > 0 \end{matrix} \right..

    a) \int_{- 1}^{0}{f(x)}dx = \int_{- 1}^{0}{2x}dx Đúng||Sai

    b) \int_{0}^{1}{f(x)}dx = - \frac{a}{6}. Sai||Đúng

    c) Khi a = 2, \int_{- 1}^{1}{f(x)dx} = - \frac{2}{3}. Đúng||Sai

    d) Điều kiện cần và đủ để \int_{- 1}^{2}{f(x)dx} > 3 là a > - 6. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho số thực a và hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ khi\ \ x \leq 0 \\ a\left( x - x^{2} \right)\ \ \ khi\ \ \ x > 0 \end{matrix} \right..

    a) \int_{- 1}^{0}{f(x)}dx = \int_{- 1}^{0}{2x}dx Đúng||Sai

    b) \int_{0}^{1}{f(x)}dx = - \frac{a}{6}. Sai||Đúng

    c) Khi a = 2, \int_{- 1}^{1}{f(x)dx} = - \frac{2}{3}. Đúng||Sai

    d) Điều kiện cần và đủ để \int_{- 1}^{2}{f(x)dx} > 3 là a > - 6. Sai||Đúng

    a) [Đ] Với x \leq 0 ta có f(x) = 2x. Vậy \int_{- 1}^{0}{f(x)}dx = \int_{- 1}^{0}{2x}dx.

    b) [S] \int_{0}^{1}{f(x)}dx = \int_{0}^{1}{a\left( x - x^{2} \right)}dx = \left. \ \left( \frac{1}{2}\ a\ x^{2} - \frac{1}{3}\ a\ x^{3} \right) \right|_{0}^{1} = \frac{a}{6}.

    c) [Đ] \int_{- 1}^{1}{f(x)dx} = \int_{- 1}^{0}{f(x)dx} + \int_{0}^{1}{f(x)dx}

    = \int_{- 1}^{0}{2xdx} + \int_{0}^{1}{a\left( x - x^{2} \right)dx}= \left. \ \left( x^{2} \right) \right|_{- 1}^{0} + \left. \ a\left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right) \right|_{0}^{1}

    = - 1 + a\left( \frac{1}{6} \right) = \frac{a}{6} - 1 = \frac{2}{6} - 1 = - \frac{2}{3}.

    d) [S] \int_{- 1}^{2}{f(x)dx} = \int_{- 1}^{0}{f(x)dx} + \int_{0}^{2}{f(x)dx}

    = \int_{- 1}^{0}{2xdx} + \int_{0}^{2}{a\left( x - x^{2} \right)dx}

    = \left. \ \left( x^{2} \right) \right|_{- 1}^{0} + \left. \ a\left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right) \right|_{0}^{2} = - 1 + a\left( - \frac{2}{3} \right) = - \frac{2a}{3} - 1.

    \int_{- 1}^{2}{f(x)dx} > 3 \Leftrightarrow - \frac{2a}{3} - 1 > 3 \Leftrightarrow a < - 6.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình dưới. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

    Hướng dẫn:

    Ta tìm được phương trình của parabol là

    (P):y = - \frac{3}{4}x^{2} + 3x + 6

    Như vậy, quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:

    s = \int_{0}^{1}{\left( - \frac{3}{4}t^{2} + 3t + 6 ight)dt} = \left( - \frac{x^{3}}{4} + \frac{3x^{2}}{2} + 6x ight)|_{0}^{3}

    = \frac{99}{4} = 24,75(km)

  • Câu 17: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các mệnh đề

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 65 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50\ \ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 10t + 20\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).Đúng||Sai

    b) s(t) = - 5t^{2} + 20t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây.Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 65 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50\ \ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 10t + 20\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).Đúng||Sai

    b) s(t) = - 5t^{2} + 20t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây.Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Do s'(t) = v(t) nên quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).

    Ta có: \int_{}^{}{( - 10t + 20)}dt = - 5t^{2} + 20t + C với C là hằng số. Khi đó, ta gọi hàm số s(t) = - 5t^{2} + 20t + C.

    Do s(0) = 0 nên C = 0. Suy ra s(t) = - 5t^{2} + 20t.

    Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0 hay - 10t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 2.

    Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

    Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ 65\ km/h \approx 18\ m/s.

    Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: s(2) = - 5 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 = 20\ (\ m).

    Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: 18 + 20 \approx 38\ (\ m).

    Do 38 < 50 nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tìm giá trị của tham số a

    Cho I = \int_{0}^{\frac{\pi}{a}}{\frac{cos2x}{1 + 2sin2x}dx} = \frac{1}{4}ln3. Tìm giá trị của a là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{a}}{\frac{\cos2x}{1 + 2\sin2x}dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\frac{\cos2xd2x}{1 + 2\sin2x} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\frac{d(\sin2x)}{1 + 2sin2x}

    = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}\frac{d(2\sin2x + 1)}{1 + 2\sin2x} =\left. \ \frac{1}{4}\ln|2 + \sin2x + 1| ight|_{0}^{\frac{\pi}{a}}

    = \frac{1}{4}\ln\left| 2\sin\frac{2\pi}{a} + 1 ight| = \dfrac{1}{4}ln3.

    Suy ra: \left| 2sin\frac{2\pi}{a} + 1 ight| = 3.

    Trong các đáp án \Rightarrow a = 4.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Chọn kết luận đúng

    Cho \int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{n}dx} = \frac{1}{64} và \int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = \ln m, với n, m là các số nguyên dương. Khi đó:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{n}dx} = \frac{1}{64} \Rightarrow \left( \frac{1}{2} ight)^{n + 1}.\frac{1}{n + 1} = \frac{1}{64} \Rightarrow n = 3

    \int_{1}^{5}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(2x - 1)}{2x - 1} = \left. \ \frac{1}{2}\ln|2x - 1| ight|_{1}^{5}

    = \frac{1}{2}ln9 - \frac{1}{2}ln1 = ln3

    \Rightarrow m = n = 3

  • Câu 20: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) thỏa mãn f(x) + \tan xf'(x) = \frac{x}{\cos^{3}x}. Biết rằng \sqrt{3}f\left( \frac{\pi}{3} ight) - f\left( \frac{\pi}{6} ight) = a\pi\sqrt{3} + bln3 trong đó a;b\mathbb{\in R}. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) + \tan xf'(x) =\frac{x}{\cos^{3}x}

    \Leftrightarrow \cos xf(x) + \sin xf'(x) = \frac{x}{\cos^{2}x}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \sin xf(x)ightbrack' = \frac{x}{\cos^{2}x}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack \sin xf(x) ightbrack'dx} =\int_{}^{}{\frac{x}{\cos^{2}x}dx}

    \Rightarrow \sin xf(x) =\int_{}^{}{\frac{x}{\cos^{2}x}dx}.

    Tính I = \int_{}^{}{\frac{x}{cos^{2}x}dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = x \\dv = \dfrac{dx}{\cos^{2}x} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\v = \tan x \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = x\tan x - \int_{}^{}{\tan xdx} = x\tan x - \int_{}^{}\frac{d\left( \cos x ight)}{\cos x}

    = x\tan x + \ln\left| \cos x ight|

    \Rightarrow f(x) = \frac{x\tan x + \ln\left| \cos x ight|}{\sin x} = \frac{x}{\cos x} + \frac{\ln\left| \cos x ight|}{\sin x}

    Theo bài ra ta có:

    \Rightarrow \sqrt{3}f\left(\frac{\pi}{3} ight) - f\left( \frac{\pi}{6} ight) = \sqrt{3}\left(\frac{2\pi}{3} - \dfrac{2\ln2}{\sqrt{3}} ight)- \left(\frac{\pi\sqrt{3}}{9} + 2\ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} ight) =\dfrac{5\pi\sqrt{3}}{9}\ln3

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{5}{9} \\b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = - \frac{4}{9}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại

Đấu trường Toán 12 Tích phân KNTT (Mức Khó)

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung
1
15 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này