Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Tích phân KNTT (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Xác định giá trị tích phân

    Tích phân I = \int_{- 1}^{\frac{1}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Thực hiện tính tích phân I theo hai cách như sau:

    Cách 1:

    Ta có:\left( 5 + 4x - x^{2} ight)' = 4 - 2x và 4x - 3 = 5 - 2(4 - 2x).

    I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}

    = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} - \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}.

    Xét I_{1} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{9 - (x - 2)^{2}}}dx}.

    Đặt x - 2 = 3sint,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx = 3costdt.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \frac{7}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = - \frac{\pi}{6} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{5.3cost}{\sqrt{9 - 9sin^{2}t}}dt} = \frac{5\pi}{3}.

    Xét I_{2} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}.

    Đặt t = 5 + 4x - x^{2} \Rightarrow dt = 4 - 2x.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ x = \dfrac{7}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I_{2} = 0.

    \Rightarrow I = \frac{5\pi}{3}.

    Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx} có giá trị là:

    Ta biến đổi: I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{9cos^{2}x - sin^{2}x}dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{cos^{2}x\left( 9 - tan^{2}x ight)}dx}.

    Nhận thấy:\left( \tan x ight)' = \frac{1}{cos^{2}x}. Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt = \frac{1}{cos^{2}x}dx.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    I = \int_{0}^{1}{\frac{1}{9 - t^{2}}dt} = \frac{1}{6}\int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{3 - t} + \frac{1}{3 + t} ight)dt}

    = \left. \ \left( \frac{1}{6}\ln\left| \frac{3 + t}{3 - t} ight| ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{6}ln2.

    Đáp án đúng là I = \frac{1}{6}\ln 2.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính tích phân

    Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn \lbrack 0;2brack và thỏa mãn 2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} - f(x).f''(x) + \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 0 với \forall x \in \lbrack 0;2brack. Biết rằng f(0) = 1;f(2) = e^{6} khi đó tích phân M = \int_{- 2}^{0}{(2x + 1)f(x)dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} - f(x).f''(x) + \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 0

    \Leftrightarrow f(x).f''(x) - \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}

    \Leftrightarrow \frac{f(x).f''(x) - \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}} = 2

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f'(x)}{f(x)} ightbrack' = 2 \Leftrightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{f'(x)}{f(x)} ightbrack'dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2x + C_{1} \Leftrightarrow \ln\left| f(x) ight| = x^{2} + C_{1}x + C_{2}

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f(0) = 1 \\ f(2) = e^{6} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} ln1 = C_{2} \\ 4 + 2C_{1} = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} C_{2} = 0 \\ C_{1} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \ln\left| f(x) ight| = x^{2} + x \Rightarrow f(x) = e^{x^{2} + x}

    \Rightarrow M = \int_{- 2}^{0}{(2x + 1)e^{x^{2} + x}dx} = \left. \ e^{x^{2} + x} ight|_{- 2}^{0} = 1 - e^{2}

  • Câu 4: Vận dụng
    Xác định tham số a thỏa mãn điều kiện

    Tích phân I = \int_{2}^{3}{\frac{a^{2}x^{2} + 2x}{ax}dx} có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{2}^{3}{\frac{a^{2}x^{2} + 2x}{ax}dx} có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:

    I = \int_{2}^{3}{\frac{a^{2}x^{2} + 2x}{ax}dx} = \int_{2}^{3}{\left( ax + \frac{2}{a} ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{a}{2}x^{2} + \frac{2}{a}x ight) ight|_{2}^{3} = \frac{5a}{2} + \frac{2}{a}

    Vì a là số thực dương nên I = \frac{5a}{2} + \frac{2}{a} \geq 2\sqrt{\frac{5a}{2}.\frac{2}{a}} = 2\sqrt{5}.

    Đáp án đúng là 2\sqrt 5.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tìm đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}, với a \geq 0 có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Xét tích phân I = \int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}, với a \geq 0

    Ta biến đổi:

    I = \int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx} = \int_{0}^{1}{\frac{ax\left( ax^{2} + 1 ight)}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax\sqrt{ax^{2} + 1} ight)dx}.

    Ta nhận thấy: \left( ax^{2} + 1 ight)' = 2ax. Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = ax^{2} + 1 \Rightarrow dt = 2axdx.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = a + 1 \\ \end{matrix} ight..

    Ta có:

    I = {\int_{1}^{a + 1}{\frac{1}{2}tdt = \left. \ \left( \frac{1}{4}t^{2} ight) ight|}}_{1}^{a + 1} = \frac{1}{4}a(a + 2).

  • Câu 6: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Các mệnh đề sau đúng hay sai.

    a) Nếu các hàm số y = f(x),y = g(x) liên tục trên K thì \int_{}^{}{\left\lbrack f(x) + g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} + \int_{}^{}{g(x)dx}. Đúng||Sai

    b) \int_{}^{}\left( 2^{x} + e^{x} \right)dx = 2^{x} + e^{x} + C. Sai||Đúng

    c) Biết F(x) = x^{3} là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \mathbb{R}. Giá trị của \int_{1}^{3}{\left( 1 + f(x) \right)dx} bằng 28. Đúng||Sai

    d) Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x - 1 & \ khi\ x \leq 1 \\ 3x^{2} - 2 & \ khi\ x > 1 \end{matrix} \right.. Khi đó \int_{- 1}^{3}f(x)dx = 22. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Các mệnh đề sau đúng hay sai.

    a) Nếu các hàm số y = f(x),y = g(x) liên tục trên K thì \int_{}^{}{\left\lbrack f(x) + g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} + \int_{}^{}{g(x)dx}. Đúng||Sai

    b) \int_{}^{}\left( 2^{x} + e^{x} \right)dx = 2^{x} + e^{x} + C. Sai||Đúng

    c) Biết F(x) = x^{3} là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \mathbb{R}. Giá trị của \int_{1}^{3}{\left( 1 + f(x) \right)dx} bằng 28. Đúng||Sai

    d) Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x - 1 & \ khi\ x \leq 1 \\ 3x^{2} - 2 & \ khi\ x > 1 \end{matrix} \right.. Khi đó \int_{- 1}^{3}f(x)dx = 22. Sai||Đúng

    a) Đúng

    theo tính chất nguyên hàm.

    b) Sai

    vì \int_{}^{}\left( 2^{x} + e^{x} \right)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + e^{x} + C

    c) Đúng

    \int_{1}^{3}{\left( 1 + f(x) \right)dx} = \int_{1}^{3}{dx} + \int_{1}^{3}{f(x)dx}

    = \left. \ x \right|_{1}^{3} + \left. \ x^{3} \right|_{1}^{3} = 2 + 26 = 28

    d) Sai

    \int_{- 1}^{3}f(x)dx = \int_{- 1}^{1}f(x)dx + \int_{1}^{3}f(x)dx

    = \int_{- 1}^{1}{(2x - 1)}dx + \int_{1}^{3}{(3x^{2} - 2)}dx

    = \left. \ (x^{2} - x) \right|_{- 1}^{1} + \left. \ (x^{3} - 2x) \right|_{1}^{3} = (0 - 2) + \lbrack 21 - ( - 1)\rbrack = 20

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack và \int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack và \int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Thông hiểu
    Tính quãng đường xe phải đi

    Một chiếc ôtô sẽ chạy trên đường với vận tốc tăng dần đều với vận tốc v = 10t (m/s) t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu chạy. Hỏi quãng đường xe phải đi là bao nhiêu từ lúc xe bắt đầu chạy đến khi đạt vận tốc 20 (m/s)?

    Hướng dẫn:

    Ta có: s = \int_{}^{}{10t.dt} \Rightarrow s = 5t^{2}.

    Khi v = 20m/s \Rightarrow t = 2 \Rightarrow s = 5.2^{2} = 20(m).

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hai hàm số f(x) và f( - x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn 2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}. Tính tích phân I = \int_{- 2}^{2}{f(x)dx}?

    Hướng dẫn:

    Đặt t = - x \Rightarrow dt = - dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I = - \int_{2}^{- 2}{f( - t)dt} = \int_{- 2}^{2}{f( - x)dx}

    Theo bài ra ta có:

    2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}

    \Leftrightarrow 2\int_{- 2}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 2}^{2}{f( - x)dx} = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow 2I + 3I = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    Đặt x = 2\tan u \Rightarrow dx =2.\frac{1}{\cos^{2}u}du = 2\left( 1 + \tan^{2}u ight)du

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 2 \Rightarrow u = - \dfrac{\pi}{4} \\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi}{4} \\\end{matrix} ight.\Rightarrow I = \dfrac{1}{5}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\left( 1 + u^{2} ight)}{4 +4\tan^{2}u}du} = \frac{1}{10}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{du}

    = \left. \ \frac{1}{10}u ight|_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{10}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{20}

  • Câu 10: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Một ca nô đang chạy trên Hồ Tây với vận tốc 20 m/s thì hết xăng. Từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 5t + 20 m/s, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc dừng hẳn, ca nô đi được bao nhiêu mét?

    Hướng dẫn:

    Khi dừng hẳn \Rightarrow v = 0 \Rightarrow t = 4(s).

    Phương trình quãng đường đi được của ca - nô từ khi hết xăng

    s = \int_{}^{}(20 - 5t)dt \Rightarrow s = 20t - \frac{5t^{2}}{2}

    Tại t = 4 \Rightarrow s = 40

    Suy ra: ca - nô đi được 40 mét

  • Câu 11: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của mỗi ý hỏi

    Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200 m, tốc độ của ô tô là 36\ km/h. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ v(t) = at + b(a,b \in \mathbb{R,}a > 0), trong đó t là thời gian tính bẳng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

    a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m. Đúng||Sai

    b) Giá trị của b là 10. Đúng||Sai

    c) Quãng đường S(t) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây (0 \leq t \leq 24) kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức S(t) = \int_{0}^{24}{v(t)dt} . Sai||Đúng

    d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100\ km/h. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200 m, tốc độ của ô tô là 36\ km/h. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ v(t) = at + b(a,b \in \mathbb{R,}a > 0), trong đó t là thời gian tính bẳng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

    a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m. Đúng||Sai

    b) Giá trị của b là 10. Đúng||Sai

    c) Quãng đường S(t) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây (0 \leq t \leq 24) kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức S(t) = \int_{0}^{24}{v(t)dt} . Sai||Đúng

    d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100\ km/h. Sai||Đúng

    a) Ta có 36km/h = 10m/s.

    Sau 2s quãng đường ô tô đi được lúc chưa tăng tốc là: 2.10 = 20(m)

    Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là

    200 - 20 = 180(m)

    Do đó, a đúng

    b) Tại thời điểm lúc ô tô bắt đầu tăng tốc (t = 0) thì vận tốc của ô tô vẫn đang là 10(m/s) nên v(0) = 10 \Rightarrow a.0 + b = 10 \Rightarrow b = 10.

    Do đó, b đúng

    c) Quãng đường S(t) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây (0 \leq t \leq 24) kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức S = \int_{0}^{t}{v(t)dt}.

    Do đó, c sai

    d) Ta có: v(t) = at + 10(m/s).

    Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180(m) đi trong thời gian 12s nên ta có:

    S(12) = \int_{0}^{12}{v(t)dt} = 180 \Leftrightarrow \int_{0}^{12}{(at + 10)dt} = 180

    \Leftrightarrow a\int_{0}^{12}{tdt} + \int_{0}^{12}{10dt} = 180

    \Leftrightarrow 72a + 120 = 180 \Rightarrow a = \frac{5}{6}

    Suy ra v(t) = \frac{5}{6}t + 10(m/s)

    Vậy sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô là:

    v(24) = 30(m/s) = 108(km/h) > 100(km/h)

    Do đó, d sai

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a(t) = 2t - 7\ \ \left( m/s^{2} \right). Biết vận tốc ban đầu bằng 6\ \ (m/s). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) [NB] Phương trình vận tốc của chất điểm tại tời điểm t được xác định bởi công thức v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt. Đúng||Sai

    b) [TH] Tại thời điểm t = 7\ \ (s), vận tốc của chất điểm là 6\ \ (m/s). Đúng||Sai

    c) [VD] Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7 là 18m. Sai||Đúng

    d) [VDC] Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7\ \ (s). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a(t) = 2t - 7\ \ \left( m/s^{2} \right). Biết vận tốc ban đầu bằng 6\ \ (m/s). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) [NB] Phương trình vận tốc của chất điểm tại tời điểm t được xác định bởi công thức v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt. Đúng||Sai

    b) [TH] Tại thời điểm t = 7\ \ (s), vận tốc của chất điểm là 6\ \ (m/s). Đúng||Sai

    c) [VD] Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7 là 18m. Sai||Đúng

    d) [VDC] Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7\ \ (s). Sai||Đúng

    a) [NB] Phương trình vận tốc của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi công thức v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt.

    b) [TH] Tại thời điểm t = 7\ \ (s), vận tốc của chất điểm là 6\ \ (m/s).

    Ta có v(t) = \int_{}^{}{a(t)}dt = \int_{}^{}(2t - 7)dt = t^{2} - 7t + C.

    v(0) = 6 \Rightarrow C = 6 \Rightarrow v(t) = t^{2} - 7t + 6.

    Vậy v(7) = 7^{2} - 7.7 + 6 = 6\ \ (m/s).

    c) [VD] Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7 là 18m.

    Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 \leq t \leq 7là

    S = \int_{1}^{7}{v(t)}dt = \int_{1}^{7}\left( t^{2} - 7t + 6 ight)dt= \left. \ \left(\frac{t^{3}}{3} - \frac{7t^{2}}{2} + 6t ight) ight|_{1}^{7} = - 18.

    d) [VD] Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7\ \ (s).

    Vị trí của chất điểm so với vị trí ban đầu tại thời điểm t là

    s(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} =\int_{}^{}{\left( t^{2} - 7t + 6 ight)dt}= \frac{t^{3}}{3} -\frac{7t^{2}}{2} + 6t + C

    Ta cần tìm giá trị lớn nhất của s(t) với t \in \lbrack 0;\ 8brack.

    Do s'(t) = v(t) nên s'(t) = 0 \Leftrightarrow v(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = 6 \\ \end{matrix} ight..

    Lại có s(0) = C, s(1) = \frac{17}{6} + C, s(6) = - 18 + C, s(8) = - \frac{16}{3} + C.

    Vậy giá trị lớn nhất của s(t) với t \in \lbrack 0;\ 8brack đạt được khi t = 1.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Xác định tích phân

    Tính tích phân B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}

    = \int_{0}^{2}{\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}d\left( x^{2} + 1 ight)}

    = \left. \ \frac{\left( x^{2} + 1 ight)^{2019}}{2019} ight|_{0}^{2} = \frac{5^{2019} - 1}{2019}

  • Câu 14: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - 3x + 2 có đồ thị là (C). Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục Ox. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a. Diện tích hình phẳng (D) là S = \int_{1}^{2}{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|dx}. Sai||Đúng

    b. Gọi S' là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng (d):y = - 2x + 8 và 2 đường thẳng x = 1;\ x = 3. Khi đó S' = \frac{23}{2}. Đúng||Sai

    c. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (D)quanh trục Ox bằng 16\pi. Sai||Đúng

    d. Đường thẳng x = k chia hình phẳng (D)thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi đó k \in ( - 1;0). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - 3x + 2 có đồ thị là (C). Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục Ox. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a. Diện tích hình phẳng (D) là S = \int_{1}^{2}{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|dx}. Sai||Đúng

    b. Gọi S' là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng (d):y = - 2x + 8 và 2 đường thẳng x = 1;\ x = 3. Khi đó S' = \frac{23}{2}. Đúng||Sai

    c. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (D)quanh trục Ox bằng 16\pi. Sai||Đúng

    d. Đường thẳng x = k chia hình phẳng (D)thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi đó k \in ( - 1;0). Đúng||Sai

    a) Sai

    Xét x^{3} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \end{matrix} \right.

    Diện tích giới hạn đồ thị hàm sốy = x^{3} - 3x + 2 và trục Ox là S = \int_{- 2}^{1}{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|dx}

    b) Đúng

    Ta có S' = \int_{1}^{3}\left| x^{3} - 3x + 2 - (8 - 2x) \right|dx

    = \int_{1}^{3}\left| x^{3} - x - 6 \right|dx = \frac{23}{2}.

    c) Sai

    Thể tích khối tròn xoay V = \pi\int_{- 2}^{1}\left( x^{3} - 3x + 2 \right)^{2} = \frac{729}{35}\pi

    d) Đúng

    Với - 2 \leq x \leq 1 thì f(x) \geq 0

    Đường thẳng x = k chia hình (D)thành hai phần có diện tích bằng nhau thì k \in ( - 2;1) và \int_{- 2}^{k}{\left( x^{3} - 3x + 2 \right)dx = \int_{k}^{1}{\left( x^{3} - 3x + 2 \right)dx}}

    \Leftrightarrow \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3x^{2}}{2} + 2x \right)\left| \begin{matrix} k \\ - 2 \end{matrix} \right.\ = \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3x^{2}}{2} + 2x \right)\left| \begin{matrix} 1 \\ k \end{matrix} \right.

    \frac{k^{4}}{4} - \frac{3k^{2}}{2} + 2k + 6 = \frac{4}{3} - \left( \frac{k^{4}}{4} - \frac{3k^{2}}{2} + 2k \right)

    \Leftrightarrow \frac{k^{4}}{2} - 3k^{2} + 4k + \frac{14}{3} = 0 \Leftrightarrow k \approx - 0,768.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tính tích phân

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} thỏa mãn f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x -f(x)\sin x. Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x- f(x)\sin x

    \Leftrightarrow f'(x).f(x) - \sin2x =\left\lbrack f(x)\cos x ightbrack'

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}\left\lbrack f'(x).f(x) -\sin2x ightbrack dx = \int_{}^{}{\left\lbrack f(x)\cos xightbrack'}dx

    \Leftrightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x + C

    Theo bài ra ta có: f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 \Rightarrow C = 0

    \Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) + \cos2x =2f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) - 2f(x)\cos x +\cos^{2}x = \sin^{2}x

    \Leftrightarrow \left\lbrack f(x) - \cos x ightbrack^{2} = \sin^{2}x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) - \cos x = \sin x \\f(x) - \cos x = - \sin x \\\end{matrix} ight.

    Vì f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 nên nhận f(x) = \cos x - \sin x

    Vậy I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left\lbrack \cos x - \sin x ightbrack dx} = \left. \ \left( \cos x - \sin x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} - 1

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức T

    Tính tổng T = \frac{C_{2018}^{0}}{3} - \frac{C_{2018}^{1}}{4} + \frac{C_{2018}^{2}}{5} - \frac{C_{2018}^{3}}{6} + ... - \frac{C_{2018}^{2017}}{2020} + \frac{C_{2018}^{2018}}{2021}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2}(1 - x)^{2018} = x^{2} \cdot \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k}( - 1)^{k} = \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}.

    Do đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu} x^{2}(1 -x)^{2018}dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx.

    Mặt khác:

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx. =\left. \ \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}\frac{x^{k + 3}}{k+ 3}( - 1)^{k} ight|_{0}^{1}= \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu}C_{2018}^{k} \cdot \frac{( - 1)^{k}}{k + 3} = T.

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx.

    Đổi cận x = 0 \Rightarrow t = 1 và x = 1 \Rightarrow t = 0. Khi đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}x^{2}(1 - x)^{2018}dx = \int_{1}^{0}\mspace{2mu}\mspace{2mu}t^{2018}(1 - t)^{2}( - dt)

    = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} t^{2018}\left( t^{2} - 2t + 1 ight)dt = \left. \ \left( \frac{t^{2021}}{2021} - 2 \cdot \frac{t^{2020}}{2020} + \frac{t^{2019}}{2019} ight) ight|_{0}^{1}

    = \frac{1}{2021} - \frac{2}{2020} + \frac{1}{2019} = \frac{1}{1010 \cdot 2019 \cdot 2021} = \frac{1}{4121202990}

  • Câu 17: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) = \frac{1}{225}t^{2} + \frac{2}{25}t\ (m/s), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a\ \left( m/s^{2} \right) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A.

    a) Vận tốc V_{B}(t) của chất điểm B đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của gia tốc a\ \left( m/s^{2} \right).Đúng||Sai

    b) V_{B}(t) = at.Đúng||Sai

    c) Quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây là 44,44(m),kết quả làm tròn đến hàng phần trăm. Sai||Đúng

    d) Vận tốc của chất điểm Btại thời điểm đuổi kịp A là 6,42(m/s), kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) = \frac{1}{225}t^{2} + \frac{2}{25}t\ (m/s), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a\ \left( m/s^{2} \right) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A.

    a) Vận tốc V_{B}(t) của chất điểm B đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của gia tốc a\ \left( m/s^{2} \right).Đúng||Sai

    b) V_{B}(t) = at.Đúng||Sai

    c) Quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây là 44,44(m),kết quả làm tròn đến hàng phần trăm. Sai||Đúng

    d) Vận tốc của chất điểm Btại thời điểm đuổi kịp A là 6,42(m/s), kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.Đúng||Sai

    a) Ta có v_{B}(t) = \int_{}^{}{a.dt} = at + C.

    b)v_{B}(0) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow v_{B}(t) = at

    c)Quãng đường chất điểm A đi được trong 25 giây là

    S_{A} = \int_{0}^{25}{\ \left( \frac{1}{225}t^{2} + \frac{2}{25}t\ \right)dt} = \left( \frac{1}{675}t^{3} + \frac{1}{25}t^{2} \right)\ \left| \ _{\begin{matrix} \\ 0 \end{matrix}}^{\begin{matrix} 25 \\ \end{matrix}} \right.\ = 48,15(m).

    d)Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây là

    S_{B} = \int_{0}^{15}{at.dt} = \frac{at^{2}}{2}|_{0}^{15} = \frac{225a}{2}.

    Ta có 48,15 = \frac{225a}{2} \Leftrightarrow a = 0,428.

    Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là v_{B}(15) = 0,428.15 = 6,42(m/s).

  • Câu 18: Vận dụng
    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2x - \sin x}{2 - 2cosx}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta biến đổi:

    I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2x - \sin x}{2 - 2cosx}dx} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{1 - \cos x}dx} - \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{1 - \cos x}dx}.

    Xét I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{1 - \cos x}dx} = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{sin^{2}\frac{x}{2}}dx}.

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{sin^{2}\frac{x}{2}}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - 2cot\frac{x}{2} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = \frac{1}{2}\left\lbrack \left. \ \left( - 2x.cot\frac{x}{2} ight) ight|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} + 2\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\cot\frac{x}{2}dx} ightbrack

    = \frac{1}{2}\left\lbrack - \pi + \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} + 4ln\sqrt{2} ightbrack.

    Xét I_{2} = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{1 - \cos x}dx}.

    Đặt t = 1 - \cos x \Rightarrow dt = \sin xdx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \\ x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{2} = \frac{1}{2}{\int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t}dt = \frac{1}{2}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|}}_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{1}{2}ln2.

    I = I_{1} - I_{2} = \frac{1}{2}\left( - \pi + \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} + 4ln\sqrt{2} - ln2 ight).

  • Câu 19: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1} = \sqrt{x + 1} + 1

    \Rightarrow I = \int_{- 1}^{1}\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx = \int_{- 1}^{1}\left( \sqrt{x + 1} + 1 ight)dx

    = \left. \ \left\lbrack \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} + x ightbrack ight|_{- 1}^{1} = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2

    Đáp án đúng là I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tìm quãng đường vật đi được

    Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyển động thẳng với vận tốc v(t) = t(5 - t) (m/s). Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.

    Hướng dẫn:

    Ta có: S = \int_{}^{}{v(t)}dt = \int_{}^{}{t(5 - t)}dt \Rightarrow S = \frac{5t^{2}}{2} - \frac{t^{3}}{3}

    Khi vật dừng lại \Rightarrow v = t(5 - t) = 0 \Rightarrow t = 5

    Khi đó S = \frac{5.5^{2}}{2} - \frac{5^{3}}{3} = \frac{125}{6}(m)

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại

Đấu trường Toán 12 Tích phân KNTT (Mức Khó)

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung
1
15 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này