Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Tích phân KNTT (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Chọn phương án thích hợp

    Tích phân I = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x \right)^{2}}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x ight)^{2}}dx} có gái trị là:

    Ta có:

    I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x ight)^{2}}dx} = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{4\left( \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x ight)^{2}}dx}

    Suy ra I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{4\left\lbrack \sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight) ightbrack^{2}}dx}.

    Đặt u = x + \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = u - \frac{\pi}{6} \Rightarrow dx = du.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{3} \Rightarrow u = - \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow u = \frac{\pi}{2} \\ \end{matrix} ight.

    I = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin\left( u - \frac{\pi}{6} ight)}{4sin^{2}u}du} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin u.cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}\cos u}{4sin^{2}u}du}

    = \frac{1}{8}\int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}.sinu - \cos u}{sin^{2}u}du} = \frac{1}{8}\left( \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}\sin u}{1 - cos^{2}u}du - \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos u}{sin^{2}u}du}} ight)

    Xét I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}\sin u}{1 - cos^{2}u}du}.

    Đặt t = \cos u,u \in \lbrack 0;\pibrack \Rightarrow dt = - \sin udu.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}u = - \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\u = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}\frac{\sqrt{3}dt}{1 - t^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}\left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} ight)dt

    = \frac{\sqrt{3}}{2}\left. \ \left( ln\left| \frac{t + 1}{t - 1} ight| ight) ight|_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} = - \frac{\sqrt{3}}{2}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight).

    Xét I_{2} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos u}{sin^{2}u}du}.

    Đặt t = \sin u,u \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dt = \cos udu.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} u = - \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = - \frac{1}{2} \\ u = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    I_{2} = \int_{- \frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t^{2}}du} = \left. \ \left( - \frac{1}{t} ight) ight|_{- \frac{1}{2}}^{1} = - 3.

    \Rightarrow I = \frac{1}{8}\left( I_{1} - I_{2} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}.

    Đáp án đúng là I = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2x - \sin x}{2 - 2cosx}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta biến đổi:

    I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2x - \sin x}{2 - 2cosx}dx} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{1 - \cos x}dx} - \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{1 - \cos x}dx}.

    Xét I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{1 - \cos x}dx} = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{x}{sin^{2}\frac{x}{2}}dx}.

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{sin^{2}\frac{x}{2}}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - 2cot\frac{x}{2} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = \frac{1}{2}\left\lbrack \left. \ \left( - 2x.cot\frac{x}{2} ight) ight|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} + 2\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\cot\frac{x}{2}dx} ightbrack

    = \frac{1}{2}\left\lbrack - \pi + \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} + 4ln\sqrt{2} ightbrack.

    Xét I_{2} = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{1 - \cos x}dx}.

    Đặt t = 1 - \cos x \Rightarrow dt = \sin xdx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \\ x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{2} = \frac{1}{2}{\int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t}dt = \frac{1}{2}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|}}_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{1}{2}ln2.

    I = I_{1} - I_{2} = \frac{1}{2}\left( - \pi + \frac{2\pi\sqrt{3}}{3} + 4ln\sqrt{2} - ln2 ight).

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tính quãng đường vật đi được

    Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v(t) = 3t + 2, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m. Biết tại thời điểm t = 2(s) thì vật đi được quãng đường là 10m. Hỏi tại thời điểm t = 30s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    S = \int_{}^{}{v(t)}dt = \int_{}^{}(3t + 2)dt = \frac{3t^{2}}{2} + 2t + c

    S(2) = 10 \Rightarrow \frac{3.2^{2}}{2} + 2.2 + c = 10 \Rightarrow c = 0.

    \Rightarrow S = \frac{3t^{2}}{2} + 2t.

    Suy ra: Khi t = 30 s, vật đi được quãng đường

    s = \frac{3.30^{2}}{2} + 2.30 = 1410(m) m.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính tích phân

    Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn \lbrack 0;2brack và thỏa mãn 2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} - f(x).f''(x) + \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 0 với \forall x \in \lbrack 0;2brack. Biết rằng f(0) = 1;f(2) = e^{6} khi đó tích phân M = \int_{- 2}^{0}{(2x + 1)f(x)dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} - f(x).f''(x) + \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 0

    \Leftrightarrow f(x).f''(x) - \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}

    \Leftrightarrow \frac{f(x).f''(x) - \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}} = 2

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f'(x)}{f(x)} ightbrack' = 2 \Leftrightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{f'(x)}{f(x)} ightbrack'dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2x + C_{1} \Leftrightarrow \ln\left| f(x) ight| = x^{2} + C_{1}x + C_{2}

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f(0) = 1 \\ f(2) = e^{6} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} ln1 = C_{2} \\ 4 + 2C_{1} = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} C_{2} = 0 \\ C_{1} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \ln\left| f(x) ight| = x^{2} + x \Rightarrow f(x) = e^{x^{2} + x}

    \Rightarrow M = \int_{- 2}^{0}{(2x + 1)e^{x^{2} + x}dx} = \left. \ e^{x^{2} + x} ight|_{- 2}^{0} = 1 - e^{2}

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính quãng đường ôtô di chuyển được

    Một ôtô đang chạy với vận tốc 19m/s thì người lái hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 38t + 19 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

    Hướng dẫn:

    Khi ô tô dừng lại hẳn

    \Rightarrow v = 0 \Leftrightarrow 19 - 38t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}

    s = \int_{}^{}{(19 - 38t)dt} \Rightarrow s = 19t - 19t^{2}

    t = \frac{1}{2} \Rightarrow s = 19.\frac{1}{2} - 19.\left( \frac{1}{2} ight)^{2} = 4,75(m)

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm quãng đường vật chuyển động

    Một vật chuyển động với vận tốc đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật, và có gia tốc a = 0,3 (m/s2). Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên.

    Hướng dẫn:

    Ta có v(t) = \int_{}^{}{0,3dt} = 0,3t (do ban đầu vận tốc của vật bằng 0).

    Vậy quãng đường vật đi được trong 40 phút đầu tiên là:

    \int_{0}^{40.60}{0,3tdt} = \frac{0,3}{2}.t^{2}|_{0}^{2400} = 864000(m)

  • Câu 7: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Mệnh đề đúng hay sai?

    a) Nếu f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K thì \int_{}^{}{\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} - \int_{}^{}{g(x)dx}. Đúng||Sai

    b) Hàm số F(x) = 2sinx - 3cosx là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2cosx - 3sinx trên \mathbb{R}. Sai||Đúng

    c) Cho\int_{- 3}^{0}{f(x)dx} = - 4 và \int_{- 3}^{0}{g(x)dx} = - 3. Ta có\int_{- 3}^{0}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) \right\rbrack dx} = - 51. Sai||Đúng

    d) Tính I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( 3 - \sin x \right)dx} = a\pi - \frac{b}{c}(trong đó a,b,c \in \mathbb{N}^{*}và \frac{b}{c} là phân số tối giản). Ta có c = a + b. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Mệnh đề đúng hay sai?

    a) Nếu f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K thì \int_{}^{}{\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} - \int_{}^{}{g(x)dx}. Đúng||Sai

    b) Hàm số F(x) = 2sinx - 3cosx là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2cosx - 3sinx trên \mathbb{R}. Sai||Đúng

    c) Cho\int_{- 3}^{0}{f(x)dx} = - 4 và \int_{- 3}^{0}{g(x)dx} = - 3. Ta có\int_{- 3}^{0}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) \right\rbrack dx} = - 51. Sai||Đúng

    d) Tính I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( 3 - \sin x \right)dx} = a\pi - \frac{b}{c}(trong đó a,b,c \in \mathbb{N}^{*}và \frac{b}{c} là phân số tối giản). Ta có c = a + b. Đúng||Sai

    a) Mệnh đề đúng vì theo tính chất nguyên hàm ta có:

    \int_{}^{}{\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} - \int_{}^{}{g(x)dx}

    b) Ta có F'(x) = 2cosx + 3sinx \neq f(x) nên F(x) không là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \mathbb{R}.

    Do đó mệnh đề sai

    c) Ta có:

    \int_{- 3}^{0}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) \right\rbrack dx} = 2\int_{- 3}^{0}{f(x)dx} + 3\int_{- 3}^{0}{g(x)dx}

    = 2.( - 4) + 3.( - 3) = - 17.

    Do đó mệnh đề sai.

    d) I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( 3 - \sin x \right)\mathbf{d}x} = \left. \ \left( 3x + \cos x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}

    = \left\lbrack \left( \pi + \cos\frac{\pi}{3} \right) - (0 + cos0) \right\rbrack = \pi - \frac{1}{2}.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 2 \end{matrix} \right..

    Do đó c = a + b ta có 2 = 1 + 1 là mệnh đề đúng.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức T

    Tính tổng T = \frac{C_{2018}^{0}}{3} - \frac{C_{2018}^{1}}{4} + \frac{C_{2018}^{2}}{5} - \frac{C_{2018}^{3}}{6} + ... - \frac{C_{2018}^{2017}}{2020} + \frac{C_{2018}^{2018}}{2021}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2}(1 - x)^{2018} = x^{2} \cdot \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k}( - 1)^{k} = \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}.

    Do đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu} x^{2}(1 -x)^{2018}dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx.

    Mặt khác:

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx. =\left. \ \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}\frac{x^{k + 3}}{k+ 3}( - 1)^{k} ight|_{0}^{1}= \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu}C_{2018}^{k} \cdot \frac{( - 1)^{k}}{k + 3} = T.

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx.

    Đổi cận x = 0 \Rightarrow t = 1 và x = 1 \Rightarrow t = 0. Khi đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}x^{2}(1 - x)^{2018}dx = \int_{1}^{0}\mspace{2mu}\mspace{2mu}t^{2018}(1 - t)^{2}( - dt)

    = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} t^{2018}\left( t^{2} - 2t + 1 ight)dt = \left. \ \left( \frac{t^{2021}}{2021} - 2 \cdot \frac{t^{2020}}{2020} + \frac{t^{2019}}{2019} ight) ight|_{0}^{1}

    = \frac{1}{2021} - \frac{2}{2020} + \frac{1}{2019} = \frac{1}{1010 \cdot 2019 \cdot 2021} = \frac{1}{4121202990}

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack và \int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack và \int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 10: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn f(0) = 0. Biết rằng \int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2} và \int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}. Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)d(x)} bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn f(0) = 0. Biết rằng \int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2} và \int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}. Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)d(x)} bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Vận dụng
    Xác định tất cả các giá trị tham số a

    Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn \left\lbrack \frac{\pi}{4};2\pi \right\rbrack thỏa mãn \int_{0}^{a}\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3\cos x}}dx =\frac{2}{3}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{a}{\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3cosx}}dx}

    Đặt \sqrt{1 + 3cosx} = t,t \geq 0

    \Rightarrow t^{2} = 1 + 3cosx \Rightarrow 2tdt = - 3sinxdx

    \Leftrightarrow \frac{- 2tdt}{3} = \sin xdx

    \Rightarrow I = - \frac{2}{3}\int_{2}^{\sqrt{1 + 3cosa}}\frac{tdt}{t} = - \frac{2}{3}\int_{2}^{\sqrt{1 + 3cosa}}{dt}

    = - \frac{2}{3}\sqrt{1 + 3cosa} + \frac{2}{3}.2

    Mà I = \frac{2}{3} \Rightarrow \sqrt{1 + 3cosa} = 1 \Rightarrow \cos a = 0

    \Rightarrow a = \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}

    Suy ra, đáp án là 2.

  • Câu 12: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Một vật chuyển động với gia tốc a(t) = 2cost\left( \ m/s^{2} \right).

    a) Tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0. Khi đó, vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số v(t) = 2sint\ (\ m/s).Đúng||Sai

    b) Vận tốc của vật tại thời điểm t = \frac{\pi}{2} là 1\ m/s.Sai||Đúng

    c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0\ \ (\ s) đến thời điểm t = \pi\ (s) là 4\ m. Đúng||Sai

    d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = \frac{\pi}{2} (s) đến thời điểm t = \frac{3\pi}{4} (s) là 2\ m. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một vật chuyển động với gia tốc a(t) = 2cost\left( \ m/s^{2} \right).

    a) Tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0. Khi đó, vận tốc của vật được biểu diễn bởi hàm số v(t) = 2sint\ (\ m/s).Đúng||Sai

    b) Vận tốc của vật tại thời điểm t = \frac{\pi}{2} là 1\ m/s.Sai||Đúng

    c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0\ \ (\ s) đến thời điểm t = \pi\ (s) là 4\ m. Đúng||Sai

    d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = \frac{\pi}{2} (s) đến thời điểm t = \frac{3\pi}{4} (s) là 2\ m. Sai||Đúng

    a) Ta có v(t) = \int_{}^{}a(t)dt = \int_{}^{}2\cos t\ dt = 2sint + C.

    Mà tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0 nên ta có v(0) = 0 hay C = 0. Vậy v(t) = 2sint

    Suy ra đúng.

    b) Vận tốc của vật tại thời điểm t = \frac{\pi}{2} là v\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2sin\frac{\pi}{2} = 2(\ m/s).

    Suy ra sai.

    c) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0\ \ (\ s) đến thời điểm t = \pi\ (s) là

    \int_{0}^{\pi}v(t)dt = \int_{0}^{\pi}2\sin t\ dt = - \left. \ 2cost \right|_{0}^{\pi} = - 2cos\pi - ( - 2cos0) = 4\ (\ m).

    Suy ra đúng.

    d) Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = \frac{\pi}{2} (s) đến thời điểm t = \frac{3\pi}{4} (s) là

    \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}{v(t)dt} = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}{2sintdt} = - \left. \ 2cost \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} = - 2cos\frac{3\pi}{4} - \left( - 2cos\frac{\pi}{2} \right) = \sqrt{2}\ (\ m).

    Suy ra Sai.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tìm giá trị tích phân I

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{x\left( ln^{2}x + \ln x \right)dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{x\left( ln^{2}x + \ln x ight)dx}

    Ta biến đổi: I = \int_{1}^{e}{x\left( ln^{2}x + \ln x ight)dx} = \int_{1}^{e}{x\ln x\left( \ln x + 1 ight)dx}.

    Đặt t = x\ln x \Rightarrow dt = \left( \ln x + 1 ight)dx.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ x = e \Rightarrow t = e \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I = \int_{0}^{e}{dt} = e.

    Đáp án đúng là I = e.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tìm thương số giữa b và c

    Biết tích phân I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = a. Giá trị của I_{2} = \int_{a}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} = bln2 - cln5. Thương số giữa b và c là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = \left. \ \left( \cos x ight) ight|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}.

    \Rightarrow I_{2} = \int_{a}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} = \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} = \frac{1}{3}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|_{\frac{5}{8}}^{2}.

    = \frac{4}{3}ln2 - \frac{1}{3}ln5 \Rightarrow b = \frac{4}{3},c = - \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{b}{c} = - 4

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tìm đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm dương và liên tục trên \lbrack 0;1brack thỏa mãn f(0) = 1 và 5\int_{0}^{1}{\left\{ f'(x)\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} + \frac{1}{25} ight\} dx} \leq 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack \sqrt{f'(x)}.f(x) ightbrack dx}. Tích phân \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} là:

    Hướng dẫn:

    5\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\left\lbrack f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2} + \frac{1}{25} ightbrack dx \leqslant 2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx

    \Leftrightarrow5\int_{0}^{1}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx+ \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \Rightarrow \left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} \leqslant \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}dx\cdot \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx

    \Rightarrow 5\left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} + \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{2}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx

    \Leftrightarrow 5\left( \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx - \frac{1}{5} ight)^{2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx = \frac{1}{5}.

    Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi \left\{\begin{matrix}\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx =\dfrac{1}{5} \Rightarrow k = \dfrac{1}{5} \\\sqrt{f^{'}(x)}f(x) = k \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}\ f^{'}(x)f^{2}(x)dx = \int_{}^{}\ \frac{1}{25}dx = \frac{1}{25}x + C

    \Rightarrow \frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}}{3} = \frac{1}{25}x + C \Leftrightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 3C}

    f(0) = 1 \Rightarrow 3C = 1 \Rightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 1}

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} = \int_{0}^{1}{\left( \frac{3}{25}x + 1 ight)dx} = \frac{53}{50}

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính quãng đường người chạy được

    Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường thẳng parabol với I\left( \frac{1}{2};8 \right) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy

    Hướng dẫn:

    Ta tìm được phương trình của parabol là

    (P):v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 0,75 (h) là:

    s = \int_{0}^{0,75}{\left( - 32t^{2} + 32t ight)dt}

    = \left( - \frac{32}{3}t^{3} + 16t^{2} ight)|_{0}^{0,75} = 4,5(km)

  • Câu 17: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - 2024x + 2025.

    a) Một nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x. Sai||Đúng

    b) f(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) = 3x^{2} - 2024. Sai||Đúng

    c) Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả mãn F(0) = 3 là F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x. Đúng||Sai

    d) Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)}dx = \frac{4053}{4}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - 2024x + 2025.

    a) Một nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x. Sai||Đúng

    b) f(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) = 3x^{2} - 2024. Sai||Đúng

    c) Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả mãn F(0) = 3 là F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x. Đúng||Sai

    d) Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)}dx = \frac{4053}{4}. Sai||Đúng

    a) (NB) Một nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x.

    F^{'(x)} = \left( \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x \right)'

    = x^{3} - 2024x + 2025

    b) (NB) f(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) = 3x^{2} - 2024.

    f'(x) = (x^{3} - 2024x + 2025)' = 3x^{2} - 2024 = g(x)

    c) (NB) Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả mãn F(0) = 3 là F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x.

    F(0) = \frac{1}{4}0^{4} - 10120^{2} + 2025.0 = 0.

    d) (TH) Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)}dx = \frac{4053}{4}.

    \int_{0}^{1}{f(x)}dx = \int_{0}^{1}{(x^{3} - 2024x + 2025)}dx = \frac{4053}{4}.

    Vậy đáp án a) đúng, b) đúng, c) sai, d) đúng.

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I =\int_{1}^{e}{\frac{2\ln x\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx} có gái trị là:

    Hướng dẫn:

    Xét tích phân I = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}

    Ta nhận thấy: \left( ln^{2}x + 1 ight)' = \frac{2lnx}{x}.

    Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = ln^{2}x + 1 \Rightarrow dt = \frac{2lnx}{x}dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    I = \int_{1}^{2}{\sqrt{t}dx} = \left. \ \left( \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} ight) ight|_{1}^{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

    Đáp án đúng là I = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Chọn phương trình quãng đường thích hợp

    Một chiếc ô tô đang đi trên đường với vận tốc v(t) = 2\sqrt{t};(0 \leq t \leq 30) (m/s). Giả sử tại thời điểm t = 0 thì s = 0. Phương trình thể hiện quãng đường theo thời gian ô tô đi được là

    Hướng dẫn:

    Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có

    s(t) = \int_{}^{}{2\sqrt{t}dt} = 2\int_{}^{}{t^{\frac{1}{2}}dt} = 2.\frac{1}{\frac{1}{2} + 1}.t^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}.\sqrt{t^{3}}(m) (m)

  • Câu 20: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Các mệnh đề sau đúng hay sai.

    a) Nếu các hàm số y = f(x),y = g(x) liên tục trên K thì \int_{}^{}{\left\lbrack f(x) + g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} + \int_{}^{}{g(x)dx}. Đúng||Sai

    b) \int_{}^{}\left( 2^{x} + e^{x} \right)dx = 2^{x} + e^{x} + C. Sai||Đúng

    c) Biết F(x) = x^{3} là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \mathbb{R}. Giá trị của \int_{1}^{3}{\left( 1 + f(x) \right)dx} bằng 28. Đúng||Sai

    d) Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x - 1 & \ khi\ x \leq 1 \\ 3x^{2} - 2 & \ khi\ x > 1 \end{matrix} \right.. Khi đó \int_{- 1}^{3}f(x)dx = 22. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Các mệnh đề sau đúng hay sai.

    a) Nếu các hàm số y = f(x),y = g(x) liên tục trên K thì \int_{}^{}{\left\lbrack f(x) + g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} + \int_{}^{}{g(x)dx}. Đúng||Sai

    b) \int_{}^{}\left( 2^{x} + e^{x} \right)dx = 2^{x} + e^{x} + C. Sai||Đúng

    c) Biết F(x) = x^{3} là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \mathbb{R}. Giá trị của \int_{1}^{3}{\left( 1 + f(x) \right)dx} bằng 28. Đúng||Sai

    d) Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x - 1 & \ khi\ x \leq 1 \\ 3x^{2} - 2 & \ khi\ x > 1 \end{matrix} \right.. Khi đó \int_{- 1}^{3}f(x)dx = 22. Sai||Đúng

    a) Đúng

    theo tính chất nguyên hàm.

    b) Sai

    vì \int_{}^{}\left( 2^{x} + e^{x} \right)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + e^{x} + C

    c) Đúng

    \int_{1}^{3}{\left( 1 + f(x) \right)dx} = \int_{1}^{3}{dx} + \int_{1}^{3}{f(x)dx}

    = \left. \ x \right|_{1}^{3} + \left. \ x^{3} \right|_{1}^{3} = 2 + 26 = 28

    d) Sai

    \int_{- 1}^{3}f(x)dx = \int_{- 1}^{1}f(x)dx + \int_{1}^{3}f(x)dx

    = \int_{- 1}^{1}{(2x - 1)}dx + \int_{1}^{3}{(3x^{2} - 2)}dx

    = \left. \ (x^{2} - x) \right|_{- 1}^{1} + \left. \ (x^{3} - 2x) \right|_{1}^{3} = (0 - 2) + \lbrack 21 - ( - 1)\rbrack = 20

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
25 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này