Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Trắc nghiệm Toán 12 Tích phân KNTT (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn f(0) = 0. Biết rằng \int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2} và \int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}. Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)d(x)} bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn f(0) = 0. Biết rằng \int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2} và \int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}. Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)d(x)} bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Thông hiểu
    Xác định tích phân

    Tính tích phân B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}

    = \int_{0}^{2}{\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}d\left( x^{2} + 1 ight)}

    = \left. \ \frac{\left( x^{2} + 1 ight)^{2019}}{2019} ight|_{0}^{2} = \frac{5^{2019} - 1}{2019}

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính quãng đường chất điểm đi được

    Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc {v_0} = 15 m/s thì tăng vận tốc với gia tốc a\left( t \right) = {t^2} + 4t (m/s2). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    v = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( t^{2} + 4t ight)dt}

    \Rightarrow v = 15 + \frac{t^{3}}{3} + 2t^{2}

    Mà s = \int_{}^{}{vdt} \Rightarrow s = 15t + \frac{t^{4}}{12} + \frac{2t^{3}}{3}.

    Sau 3 giây, chất điểm đi được quãng đường:

    s(3) = 15.3 + \frac{3^{4}}{12} + \frac{2.3^{3}}{3} = 69,75(m).

  • Câu 4: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất v = 50m/s, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 667m

    Đáp án là:

    Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất v = 50m/s, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 667m

    Giả sử hàm số biểu thị cho vận tốc có dạng (P):v(t) = at^{2} + bt + c\left( a,b,c\mathbb{\in R} ight)

    Do (P) đi qua gốc O nên c = 0

    (P) có đỉnh là I(10;50) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{- b}{2a} = 10 \\ 50 = a.100 + b.10 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{1}{2} \\ b = 10 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó (P):v(t) = - \frac{1}{2}t^{2} + 10t

    Xe dừng lại khi v(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 20 \\ \end{matrix} ight.

    Quảng đường xe ô tô di chuyển trong 20 giây là S = \int_{0}^{20}{\left( - \frac{1}{2}t^{2} + 10t ight)dt} \approx 667m

  • Câu 5: Vận dụng
    Xác định tất cả các giá trị tham số a

    Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn \left\lbrack \frac{\pi}{4};2\pi \right\rbrack thỏa mãn \int_{0}^{a}\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3\cos x}}dx =\frac{2}{3}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{a}{\frac{\sin x}{\sqrt{1 + 3cosx}}dx}

    Đặt \sqrt{1 + 3cosx} = t,t \geq 0

    \Rightarrow t^{2} = 1 + 3cosx \Rightarrow 2tdt = - 3sinxdx

    \Leftrightarrow \frac{- 2tdt}{3} = \sin xdx

    \Rightarrow I = - \frac{2}{3}\int_{2}^{\sqrt{1 + 3cosa}}\frac{tdt}{t} = - \frac{2}{3}\int_{2}^{\sqrt{1 + 3cosa}}{dt}

    = - \frac{2}{3}\sqrt{1 + 3cosa} + \frac{2}{3}.2

    Mà I = \frac{2}{3} \Rightarrow \sqrt{1 + 3cosa} = 1 \Rightarrow \cos a = 0

    \Rightarrow a = \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}

    Suy ra, đáp án là 2.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho tích phân \int_{0}^{4}\frac{dx}{3 +\sqrt{2x + 1}} = a + b.\ln\frac{2}{3} với a;b\mathbb{\in Z}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{0}^{4}\frac{dx}{3 + \sqrt{2x + 1}} = \int_{0}^{4}{\left( 1 - \frac{3}{3 + \sqrt{2x + 1}} ight)d\left( \sqrt{2x + 1} ight)}

    = \left. \ \left\lbrack \sqrt{2x + 1} -3\ln\left( \sqrt{2x + 1} + 3 ight) ightbrack ight|_{0}^{4} = 2 +3\ln\frac{2}{3}

    Suy ra a = 2;b = 3 \Rightarrow a + b = 5.

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Tính quãng đường người chạy được

    Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường thẳng parabol với I\left( \frac{1}{2};8 \right) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy

    Hướng dẫn:

    Ta tìm được phương trình của parabol là

    (P):v(t) = - 32t^{2} + 32t

    Quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 0,75 (h) là:

    s = \int_{0}^{0,75}{\left( - 32t^{2} + 32t ight)dt}

    = \left( - \frac{32}{3}t^{3} + 16t^{2} ight)|_{0}^{0,75} = 4,5(km)

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}. Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\frac{2\cos x}{\sin^{2}x}dx} -\int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = \int_{}^{}{\frac{2}{\sin^{2}x}d\left(\sin x ight)} - \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C

    Suy ra F'(x) = f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}

    Trên khoảng (0;\pi) ta có:

    F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x - 1= 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}

    Ta có bảng biến thiên

    Giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3} nên t s có:

    F\left( \frac{\pi}{3} ight) = \sqrt{3} \Leftrightarrow - \frac{3\sqrt{3}}{3} + C = \sqrt{3} \Leftrightarrow C = 2\sqrt{3}

    Vậy F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2\sqrt{3} \Rightarrow F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4.

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{1}^{2}\frac{ax + 1}{x^{2} + 3x + 2}dx = \frac{3}{5}\ln\frac{4}{3} + \frac{3}{5}\ln\frac{2}{3}. Giá trị của a là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{2}\frac{ax + 1}{x^{2} + 3x + 2}dx = a\int_{1}^{2}\frac{x}{x^{2} + 3x + 2}dx + \int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2} + 3x + 2}dx.

    Xét I_{1} = a\int_{1}^{2}\frac{x}{x^{2} + 3x + 2}dx = a\int_{1}^{2}\left( \frac{2}{x + 2} - \frac{1}{x + 1} ight)dx

    = a\left. \ \left( 2ln|x + 2| - \ln|x + 1| ight) ight|_{1}^{2}

    = a(2ln4 - 3ln3 + ln2) = 2a\ln\frac{4}{3} + a\ln\frac{2}{3}

    Xét I_{2} = \int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2} + 3x + 2}dx = \left. \ \left( \ln|x + 1| - \ln|x + 2| ight) ight|_{1}^{2} = - \ln\frac{4}{3} - \ln\frac{2}{3}.

    \Rightarrow I = I_{1} + I_{2}^{\ }\ = (2a - 1)\ln\frac{4}{3} + (a - 1)\ln\frac{2}{3}

    Theo đề bài: I = \frac{3}{5}\ln\frac{4}{3} + \frac{3}{5}\ln\frac{2}{3} \Rightarrow a = \frac{4}{5}.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Chọn kết quả đúng

    Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn là 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 1000cm3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000 đồng. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết rằng bề dày của vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn)

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử thiết diện nằm trên hệ Oxy, tâm O trùng với tâm thiết diện

    Suy ra elip: \frac{x^{2}}{14^{2}} + \frac{y^{2}}{12,5^{2}} = 1. Thể tích quả dưa hấu chính là thể tích vật thể thu được khi quay phần gạch chéo quanh trục Ox.

    \Rightarrow V = \left| \pi\int_{- 14}^{14}{12,5^{2}\left( 1 - \frac{x^{2}}{14^{2}} ight)dx} ight| = \frac{8750\pi}{3}

    Số tiền thu được là:

    20000.\frac{8750\pi}{3} \approx 183259 \approx 183000 đồng.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Tích phân I = \int_{- 1}^{1}\left| x^{3} + x^{2} - x - 1 \right|dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{- 1}^{1}\left| x^{3} + x^{2} - x - 1 ight|dx có giá trị là:

    \underset{f(x)}{\overset{x^{3} + x^{2} - x - 1}{︸}} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 1

    Bảng xét dấu:

    Ta có:

    I = \int_{- 1}^{1}\left| x^{3} + x^{2} - x - 1 ight|dx = - \int_{- 1}^{1}\left( x^{3} + x^{2} - x - 1 ight)dx

    = - \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - x ight) ight|_{- 1}^{1} = \frac{4}{3}.

    Đáp án đúng là I = \frac{4}{3}.

  • Câu 12: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 65 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50\ \ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 10t + 20\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).Đúng||Sai

    b) s(t) = - 5t^{2} + 20t.Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây.Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 65 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50\ \ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 10t + 20\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).Đúng||Sai

    b) s(t) = - 5t^{2} + 20t.Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây.Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Do s'(t) = v(t) nên quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).

    Ta có: \int_{}^{}{( - 10t + 20)}dt = - 5t^{2} + 20t + C với C là hằng số. Khi đó, ta gọi hàm số s(t) = - 5t^{2} + 20t + C.

    \mathbf{\cdot} Do s(0) = 0 nên C = 0.

    Suy ra s(t) = - 5t^{2} + 20t.

    \mathbf{\cdot} Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0 hay - 10t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 2. Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

    \mathbf{\cdot} Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ 65\ km/h \approx 18\ m/s.

    Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: s(2) = - 5 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 = 20\ (\ m).

    Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: 18 + 20 \approx 38\ (\ m).

    Do 38 < 50 nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.

  • Câu 13: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các mệnh đề

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 65 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50\ \ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 10t + 20\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).Đúng||Sai

    b) s(t) = - 5t^{2} + 20t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây.Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 65 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50\ \ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 10t + 20\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).Đúng||Sai

    b) s(t) = - 5t^{2} + 20t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây.Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Do s'(t) = v(t) nên quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).

    Ta có: \int_{}^{}{( - 10t + 20)}dt = - 5t^{2} + 20t + C với C là hằng số. Khi đó, ta gọi hàm số s(t) = - 5t^{2} + 20t + C.

    Do s(0) = 0 nên C = 0. Suy ra s(t) = - 5t^{2} + 20t.

    Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0 hay - 10t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 2.

    Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

    Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ 65\ km/h \approx 18\ m/s.

    Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: s(2) = - 5 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 = 20\ (\ m).

    Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: 18 + 20 \approx 38\ (\ m).

    Do 38 < 50 nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Viết phương trình tiếp tuyến

    Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

    Biết \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = 7 và \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = - 3. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 3 là:

    Hướng dẫn:

    Từ đồ thị hàm số ta suy ra f(0) = 2;f'(0) = 0

    Xét tích phân \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx}. Đặt u = x^{2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 2 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = \int_{1}^{3}{f'(u)du} = \left. \ f(u) ight|_{0}^{3} = f(3) - f(0)

    \Rightarrow f(3) - f(0) = - 3 \Rightarrow f(3) = - 1

    Xét tích phân \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}. Đặt u = x - 1 \Rightarrow du = dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 4 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = \int_{0}^{3}{(u + 1)f''(u)du} = \int_{0}^{3}{(u + 1)d\left\lbrack f'(u) ightbrack}

    = \left. \ (u + 1)f'(u) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f'(u)du}

    = 4f'(3) - f'(0) - \left. \ f(u) ight|_{0}^{3}

    = 4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0)

    Theo bài ra suy ra

    4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0) = 7

    \Rightarrow 4f'(3) = 7 + f(3) - f(0) = 4 \Rightarrow f'(3) = 1

    Như vậy f(3) = - 1;f'(3) = 1. Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 3 là: y = x - 4.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân \int_{0}^{1}{xe^{- x^{2}}dx} bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Cách 1: Thử bằng máy tính

    Cách 2: I = \int_{0}^{1}{x.e^{- x^{2}}dx} = - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{( - 2x)e^{- x^{2}}dx}

    = - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{- x^{2}}d\left( - x^{2} ight)} = \left. \ - \frac{1}{2}e^{- x^{2}} ight|_{0}^{1} = - \frac{1}{2}.e^{- 1} + \frac{1}{2}

    = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e} = \frac{e - 1}{2e}

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Xác định giá trị tích phân

    Tích phân I = \int_{- 1}^{\frac{1}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Thực hiện tính tích phân I theo hai cách như sau:

    Cách 1:

    Ta có:\left( 5 + 4x - x^{2} ight)' = 4 - 2x và 4x - 3 = 5 - 2(4 - 2x).

    I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}

    = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} - \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}.

    Xét I_{1} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{9 - (x - 2)^{2}}}dx}.

    Đặt x - 2 = 3sint,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx = 3costdt.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \frac{7}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = - \frac{\pi}{6} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{5.3cost}{\sqrt{9 - 9sin^{2}t}}dt} = \frac{5\pi}{3}.

    Xét I_{2} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}.

    Đặt t = 5 + 4x - x^{2} \Rightarrow dt = 4 - 2x.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ x = \dfrac{7}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I_{2} = 0.

    \Rightarrow I = \frac{5\pi}{3}.

    Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính giới hạn của tích phân

    Giá trị của \lim_{n ightarrow + \infty}\int_{n}^{n + 1}{\frac{1}{1 + e^{x}}dx} bằng

    Hướng dẫn:

    Giải toán bằng hai cách như sau:

    Cách 1: Thử bằng máy tính

    Lấy giá trị n càng lớn càng tốt. Giả sử n = 100.

    Nhập biểu thức \int_{100}^{101}{\frac{1}{1 + e^{x}}dx}

    Máy tính cho kết quả \approx 2.35 \times 10^{- 44} \approx 0.

    Cách 2: Giải chi tiết

    I = \int_{n}^{n + 1}{\left( \frac{1}{1 + e^{x}} ight)dx} = \int_{n}^{n + 1}{1dx} - \int_{n}^{n + 1}{\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}dx}

    = 1 - \int_{n}^{n + 1}{\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}dx}

    \Leftrightarrow I = 1 - \int_{n}^{n + 1}\frac{d\left( e^{x} + 1 ight)}{1 + e^{x}} = 1 - \left. \ \ln\left| 1 + e^{x} ight| ight|_{n}^{n + 1}

    \Leftrightarrow I = 1 + \ln\left| 1 + e^{n} ight| - \ln\left| 1 + e^{n + 1} ight|

    Ta luôn có \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{\ln\left( 1 + e^{n} ight)}{n} = 1

    \lim_{n ightarrow + \infty}\int_{n}^{n + 1}{\frac{1}{1 + e^{x}}dx} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left\lbrack 1 + \ln\left| 1 + e^{n} ight| - \ln\left( 1 + e^{n + 1} ight) ightbrack

    = 1 + \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{\ln\left( 1 + e^{n} ight)}{n}.n - \frac{\ln\left| 1 + e^{n + 1} ight|}{n + 1}.(n + 1)

    = 1 + n - (n + 1) = 0

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R} và f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R} và f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - 2024x + 2025.

    a) Một nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x. Sai||Đúng

    b) f(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) = 3x^{2} - 2024. Sai||Đúng

    c) Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả mãn F(0) = 3 là F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x. Đúng||Sai

    d) Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)}dx = \frac{4053}{4}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - 2024x + 2025.

    a) Một nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x. Sai||Đúng

    b) f(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) = 3x^{2} - 2024. Sai||Đúng

    c) Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả mãn F(0) = 3 là F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x. Đúng||Sai

    d) Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)}dx = \frac{4053}{4}. Sai||Đúng

    a) (NB) Một nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x.

    F^{'(x)} = \left( \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x \right)'

    = x^{3} - 2024x + 2025

    b) (NB) f(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) = 3x^{2} - 2024.

    f'(x) = (x^{3} - 2024x + 2025)' = 3x^{2} - 2024 = g(x)

    c) (NB) Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả mãn F(0) = 3 là F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x.

    F(0) = \frac{1}{4}0^{4} - 10120^{2} + 2025.0 = 0.

    d) (TH) Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)}dx = \frac{4053}{4}.

    \int_{0}^{1}{f(x)}dx = \int_{0}^{1}{(x^{3} - 2024x + 2025)}dx = \frac{4053}{4}.

    Vậy đáp án a) đúng, b) đúng, c) sai, d) đúng.

  • Câu 20: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc - a m/s2. Biết ô tô chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây:

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết ta có v = \int_{}^{}{( - a)dt} \Rightarrow v = 15 - at

    Mà s = \int_{}^{}{tdt} = \int_{}^{}{(15 - at)dt} \Rightarrow s = 15t - \frac{at^{2}}{2}

    Ô tô chuyển động được 20m thì dừng tại thời điểm

    Suy ra

    \left\{ \begin{matrix} v = 0 \\ s = 20 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 15 - at_{1} = 0 \\ 15t_{1} - \frac{a{t_{1}}^{2}}{2} = 20 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} at_{1} = 15 \\ 15t_{1} - \frac{15t_{1}}{2} = 20 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 15 - at_{1} = 0 \\ t_{1} = \frac{8}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a = \frac{45}{8} \Rightarrow a \in (5;6)

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
45 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này