Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Tích phân CTST (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = \ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + C

    Vì f(1) = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} + 1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Xác định giá trị tích phân

    Tích phân I = \int_{- 1}^{\frac{1}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Thực hiện tính tích phân I theo hai cách như sau:

    Cách 1:

    Ta có:\left( 5 + 4x - x^{2} ight)' = 4 - 2x và 4x - 3 = 5 - 2(4 - 2x).

    I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}

    = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} - \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}.

    Xét I_{1} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{5}{\sqrt{9 - (x - 2)^{2}}}dx}.

    Đặt x - 2 = 3sint,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx = 3costdt.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \frac{7}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = - \frac{\pi}{6} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{5.3cost}{\sqrt{9 - 9sin^{2}t}}dt} = \frac{5\pi}{3}.

    Xét I_{2} = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}}{\frac{2(4 - 2x)}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}.

    Đặt t = 5 + 4x - x^{2} \Rightarrow dt = 4 - 2x.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ x = \dfrac{7}{2} \Rightarrow t = \dfrac{27}{4} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I_{2} = 0.

    \Rightarrow I = \frac{5\pi}{3}.

    Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tính tích phân I

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 6;5brack có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ:

    Tính giá trị I = \int_{- 6}^{5}{\left\lbrack f(x) + 2 ightbrack dx}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Dựa vào đồ thị ta có: A( - 6; - 1),B( - 2;1) suy ra phương trình đường thẳng AB:y = \frac{1}{2}x + 2

    \Rightarrow I_{1} = \int_{0}^{- 2}{\left\lbrack \frac{1}{2}x + 2 + 2 ightbrack dx} = 8

    Phương trình đường tròn (C): x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 \Rightarrow y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}

    \Rightarrow I_{2} = \int_{- 2}^{2}{\left\lbrack 1 + \sqrt{4 - x^{2}} + 2 ightbrack dx} = 12 + 2\pi

    Điểm C(2;1),D(5;3) nên phương trình đường thẳng CD là: y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}

    \Rightarrow I_{3} = \int_{2}^{5}{\left\lbrack \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 2 ightbrack dx} = 12

    Vậy I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = 32 + 2\pi

  • Câu 4: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hai hàm số f(x) và f( - x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn 2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}. Tính tích phân I = \int_{- 2}^{2}{f(x)dx}?

    Hướng dẫn:

    Đặt t = - x \Rightarrow dt = - dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I = - \int_{2}^{- 2}{f( - t)dt} = \int_{- 2}^{2}{f( - x)dx}

    Theo bài ra ta có:

    2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}

    \Leftrightarrow 2\int_{- 2}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 2}^{2}{f( - x)dx} = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow 2I + 3I = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    Đặt x = 2\tan u \Rightarrow dx =2.\frac{1}{\cos^{2}u}du = 2\left( 1 + \tan^{2}u ight)du

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 2 \Rightarrow u = - \dfrac{\pi}{4} \\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi}{4} \\\end{matrix} ight.\Rightarrow I = \dfrac{1}{5}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\left( 1 + u^{2} ight)}{4 +4\tan^{2}u}du} = \frac{1}{10}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{du}

    = \left. \ \frac{1}{10}u ight|_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{10}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{20}

  • Câu 5: Vận dụng
    Tìm quãng đường vật đi được

    Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t = 0 (s) chuyển động thẳng với vận tốc v(t) = t(5 - t) (m/s). Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.

    Hướng dẫn:

    Ta có: S = \int_{}^{}{v(t)}dt = \int_{}^{}{t(5 - t)}dt \Rightarrow S = \frac{5t^{2}}{2} - \frac{t^{3}}{3}

    Khi vật dừng lại \Rightarrow v = t(5 - t) = 0 \Rightarrow t = 5

    Khi đó S = \frac{5.5^{2}}{2} - \frac{5^{3}}{3} = \frac{125}{6}(m)

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Chọn phương án thích hợp

    Tích phân I = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x \right)^{2}}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x ight)^{2}}dx} có gái trị là:

    Ta có:

    I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\left( \cos x + \sqrt{3}\sin x ight)^{2}}dx} = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{4\left( \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x ight)^{2}}dx}

    Suy ra I = \int_{- \frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{4\left\lbrack \sin\left( x + \frac{\pi}{6} ight) ightbrack^{2}}dx}.

    Đặt u = x + \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = u - \frac{\pi}{6} \Rightarrow dx = du.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{3} \Rightarrow u = - \frac{\pi}{6} \\ x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow u = \frac{\pi}{2} \\ \end{matrix} ight.

    I = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin\left( u - \frac{\pi}{6} ight)}{4sin^{2}u}du} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin u.cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}\cos u}{4sin^{2}u}du}

    = \frac{1}{8}\int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}.sinu - \cos u}{sin^{2}u}du} = \frac{1}{8}\left( \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}\sin u}{1 - cos^{2}u}du - \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos u}{sin^{2}u}du}} ight)

    Xét I_{1} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sqrt{3}\sin u}{1 - cos^{2}u}du}.

    Đặt t = \cos u,u \in \lbrack 0;\pibrack \Rightarrow dt = - \sin udu.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}u = - \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\u = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}\frac{\sqrt{3}dt}{1 - t^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}\left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} ight)dt

    = \frac{\sqrt{3}}{2}\left. \ \left( ln\left| \frac{t + 1}{t - 1} ight| ight) ight|_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} = - \frac{\sqrt{3}}{2}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight).

    Xét I_{2} = \int_{- \frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos u}{sin^{2}u}du}.

    Đặt t = \sin u,u \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dt = \cos udu.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} u = - \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = - \frac{1}{2} \\ u = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    I_{2} = \int_{- \frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t^{2}}du} = \left. \ \left( - \frac{1}{t} ight) ight|_{- \frac{1}{2}}^{1} = - 3.

    \Rightarrow I = \frac{1}{8}\left( I_{1} - I_{2} ight) = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}.

    Đáp án đúng là I = - \frac{\sqrt{3}}{16}\ln\left( \frac{\sqrt{3} + 2}{- \sqrt{3} + 2} ight) + \frac{3}{8}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Xác định tỉ số của a và b

    Cho gá trị của tích phân I_{1} = \int_{- 1}^{1}\left( x^{4} + 2x^{3} \right)dx = a, I_{2} = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + 3x \right)dx = b. Giá trị của \frac{a}{b} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I_{1} = \int_{- 1}^{1}\left( x^{4} + 2x^{3} ight)dx = \left. \ \left( \frac{1}{5}x^{5} + \frac{1}{2}x^{4} ight) ight|_{- 1}^{1} = \frac{2}{5} \Rightarrow a = \frac{2}{5}.

    I_{2} = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + 3x ight)dx = \left. \ \left( \frac{1}{3}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{- 2}^{- 1} = - \frac{13}{6} \Rightarrow b = - \frac{13}{6}.

    \Rightarrow P = \frac{a}{b} = - \frac{12}{65}.

    Đáp án đúng là P = - \frac{12}{65}.

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta nhận thấy: \left( \cos x ight)' = - \sin x. Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{matrix} ight..

    I = \int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx} = \int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\left( 1 - \cos^{2}x ight)\sin x}{\sqrt{\cos x}}dx}

    \Rightarrow I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{t^{2} - 1}{\sqrt{t}}dt} = {\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\left( t^{\frac{3}{2}} - t^{- \frac{1}{2}} ight)dx }}

    \left. { = \left( {\frac{2}{5}{t^{\frac{5}{2}}} - 2{t^{\frac{1}{2}}}} ight)} ight|_{\frac{1}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \frac{{19 - 17\sqrt[4]{3}}}{{\sqrt 2 }}

    Tích phân I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}dx} có giá trị là: I = \frac{19 - 17\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tìm giá trị tích phân I

    Tích phân I = \int_{0}^{3}{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{0}^{3}{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx} có giá trị là:

    Đặt u = x + \sqrt{x^{2} + 9} \Rightarrow du = \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} ight)dx

    = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 9}}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx = \frac{udx}{\sqrt{x^{2} + 9}} \Rightarrow \frac{du}{u} = \frac{dx}{\sqrt{x^{2} +9}}

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow u = 3 \\ x = 3 \Rightarrow u = 3 + 3\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I = \int_{3}^{3 + 3\sqrt{2}}\frac{du}{u} = \left. \ \left( \ln|u| ight) ight|_{3}^{3 + 3\sqrt{2}} = \ln\left( 1 + \sqrt{2} ight).

  • Câu 10: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 65 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50\ \ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 10t + 20\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).Đúng||Sai

    b) s(t) = - 5t^{2} + 20t.Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây.Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 65 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50\ \ m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 10t + 20\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).Đúng||Sai

    b) s(t) = - 5t^{2} + 20t.Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây.Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Do s'(t) = v(t) nên quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t).

    Ta có: \int_{}^{}{( - 10t + 20)}dt = - 5t^{2} + 20t + C với C là hằng số. Khi đó, ta gọi hàm số s(t) = - 5t^{2} + 20t + C.

    \mathbf{\cdot} Do s(0) = 0 nên C = 0.

    Suy ra s(t) = - 5t^{2} + 20t.

    \mathbf{\cdot} Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0 hay - 10t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 2. Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

    \mathbf{\cdot} Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ 65\ km/h \approx 18\ m/s.

    Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: s(2) = - 5 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 = 20\ (\ m).

    Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: 18 + 20 \approx 38\ (\ m).

    Do 38 < 50 nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I =\int_{1}^{e}{\frac{2\ln x\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx} có gái trị là:

    Hướng dẫn:

    Xét tích phân I = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}

    Ta nhận thấy: \left( ln^{2}x + 1 ight)' = \frac{2lnx}{x}.

    Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = ln^{2}x + 1 \Rightarrow dt = \frac{2lnx}{x}dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    I = \int_{1}^{2}{\sqrt{t}dx} = \left. \ \left( \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} ight) ight|_{1}^{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

    Đáp án đúng là I = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức T

    Tính tổng T = \frac{C_{2018}^{0}}{3} - \frac{C_{2018}^{1}}{4} + \frac{C_{2018}^{2}}{5} - \frac{C_{2018}^{3}}{6} + ... - \frac{C_{2018}^{2017}}{2020} + \frac{C_{2018}^{2018}}{2021}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2}(1 - x)^{2018} = x^{2} \cdot \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k}( - 1)^{k} = \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}.

    Do đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu} x^{2}(1 -x)^{2018}dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx.

    Mặt khác:

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx. =\left. \ \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}\frac{x^{k + 3}}{k+ 3}( - 1)^{k} ight|_{0}^{1}= \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu}C_{2018}^{k} \cdot \frac{( - 1)^{k}}{k + 3} = T.

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx.

    Đổi cận x = 0 \Rightarrow t = 1 và x = 1 \Rightarrow t = 0. Khi đó

    \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}x^{2}(1 - x)^{2018}dx = \int_{1}^{0}\mspace{2mu}\mspace{2mu}t^{2018}(1 - t)^{2}( - dt)

    = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} t^{2018}\left( t^{2} - 2t + 1 ight)dt = \left. \ \left( \frac{t^{2021}}{2021} - 2 \cdot \frac{t^{2020}}{2020} + \frac{t^{2019}}{2019} ight) ight|_{0}^{1}

    = \frac{1}{2021} - \frac{2}{2020} + \frac{1}{2019} = \frac{1}{1010 \cdot 2019 \cdot 2021} = \frac{1}{4121202990}

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính quãng đường chất điểm đi được

    Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc {v_0} = 15 m/s thì tăng vận tốc với gia tốc a\left( t \right) = {t^2} + 4t (m/s2). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    v = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( t^{2} + 4t ight)dt}

    \Rightarrow v = 15 + \frac{t^{3}}{3} + 2t^{2}

    Mà s = \int_{}^{}{vdt} \Rightarrow s = 15t + \frac{t^{4}}{12} + \frac{2t^{3}}{3}.

    Sau 3 giây, chất điểm đi được quãng đường:

    s(3) = 15.3 + \frac{3^{4}}{12} + \frac{2.3^{3}}{3} = 69,75(m).

  • Câu 14: Vận dụng
    Tìm giá trị của tích phân I

    Tích phân I = \int_{- 2}^{2}\left| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \right|dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{- 2}^{0}\left| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight|dx có giá trị là:

    Ta có:

    f(x) = \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \Rightarrow f(x) = 0

    \Leftrightarrow x = - 1 \vee x = 2 \land x eq 1

    Bảng xét dấu:

    Ta có:

    I = \int_{- 2}^{0}\left| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight|dx = - \int_{- 2}^{- 1}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight)dx + \int_{- 1}^{0}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 1}dx.

    I_{1} = - \int_{- 2}^{- 1}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight)dx = - - \int_{- 2}^{- 1}\left( x - \frac{2}{x - 1} ight)dx

    = - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 2ln|x - 1| ight) ight|_{- 2}^{- 1} = \frac{5}{2} + 2ln2 - 2ln3.

    I_{2} = \int_{- 1}^{0}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} ight)dx = ... = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 2ln|x - 1| ight) ight|_{- 1}^{0} = \frac{1}{2} - 2ln2.

    \Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = 3 - 2ln3.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

    Đáp án: 6750000 đồng.

    Đáp án là:

    Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

    Đáp án: 6750000 đồng.

    Gọi phương trình parabol (P):y = ax^{2} + bx + c.

    Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)

    Ta có hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} \frac{9}{4} = c\ (I \in (P))\ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = \frac{9}{4} \\ a = - 1 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Vậy (P):y = - x^{2} + \frac{9}{4}

    Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: S = \int_{\frac{- 3}{2}}^{\frac{3}{2}}\left( - x^{2} + \frac{9}{4} ight)dx = 2\left. \ \left( - \frac{x}{3}^{3} + \frac{9}{4}x ight) ight|_{0}^{\frac{9}{4}} = \frac{9}{2}(m^{2}).

    Số tiền phải trả là \frac{9}{2}.1500000 = 6750000 đồng.

  • Câu 16: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Một xe ô tô đang chạy đều với vận tốc x(\ m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v = - 5t + 20(\ m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0(\ m/s).Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5\ s.Sai||Đúng

    c) \int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C.Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 400\ m.Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một xe ô tô đang chạy đều với vận tốc x(\ m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v = - 5t + 20(\ m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0(\ m/s).Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5\ s.Sai||Đúng

    c) \int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C.Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 400\ m.Sai||Đúng

    Để giải bài toán này, chúng ta cần làm rõ từng phần. Ô tô đang chuyển động chậm dần đều với vận tốc v = - 5t + 20v (m/s), trong đó t là thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. (Đúng).

    Để tìm thời gian mà ô tô dừng lại, ta đặt v=0 nghĩa là: −5t+20=0 hay t=4 (s)

    Vậy khi t=4, vận tốc là 0 m/s, điều này cho thấy ô tô đã dừng lại.

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5 s.

    Điều này không chính xác. Từ phần (a), chúng ta đã xác định thời gian để ô tô dừng lại là 4 giây, không phải 5 giây.

    c) \int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C

    Công thức tích phân này là chính xác, vì:

    \int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C Với C là hằng số tích phân.

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 400 m.

    Để tính quãng đường, chúng ta cần tích phân hàm vận tốc để tìm quãng đường đi được. Quãng đường s từ t = 0 đến t=4 giây được tính bằng:

    s = \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = \left. \ \left( - \frac{5}{2}t^{2} - 20t \right) \right|_{0}^{4} = 40(m)

    Do đó, quãng đường ô tô đi được là 40 m, không phải 400 m.

    Tóm lại:

    (a) Đúng.

    (b) Sai, thời gian là 4 giây.

    (c) Đúng.

    (d) Sai, quãng đường là 40 m.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính giá trị của tích phân

    Tích phân I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx có giá trị là:

    I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx = \int_{0}^{a}{(x + 1)\sqrt{x + 1}}dx - \int_{0}^{a}\sqrt{x + 1}dx

    = \int_{0}^{a}(x + 1)^{\frac{3}{2}}dx - \int_{0}^{a}(x + 1)^{\frac{1}{2}}dx

    = \left. \ \left\lbrack \frac{2}{5}(x + 1)^{\frac{5}{2}} ightbrack ight|_{0}^{a} - \left. \ \left\lbrack \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack ight|_{0}^{a}

    \ = \frac{2}{5}\sqrt{(x + 1)^{5}} - \frac{2}{3}\sqrt{(x + 1)^{3}} + \frac{4}{15}

    Đáp án đúng là I = \frac{{2\sqrt {{{\left( {a + 1} ight)}^5}} }}{5} - \frac{{2\sqrt {{{\left( {a + 1} ight)}^3}} }}{3} + \frac{4}{{15}}.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Chọn đẳng thức đúng

    Cho I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(x -1)\sin2xdx}. Tìm đẳng thức đúng.

    Hướng dẫn:

    Đặt \left\{ \begin{matrix} sin2xdx = dv \\ x - 1 = u \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - \frac{1}{2}cos2x = v \\ dx = du \\ \end{matrix} ight.

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(x - 1)sin2xdx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{udv} = \left. \ uv ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{vdu}

    = \left. \ - \frac{1}{2}(x - 1)cos2x ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{cos2xdx}

  • Câu 19: Vận dụng
    Tìm tích phân I

    Tích phân I = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}dx} có giá trị là:

    I = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}dx} = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{- 3 - x^{2} + 2x}dx} = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{1 - (x - 2)^{2}}dx}.

    Đặt x - 2 = \sin t,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx = \cos tdt.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = \frac{5}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6} \\ x = 3 \Rightarrow t = \frac{\pi}{2} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1 - sin^{2}t}.costdt} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{cos^{2}tdt}

    = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1 + cos2t}{2}dt = \frac{1}{2}\left. \ \left( x + \frac{1}{2}sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}

    Đáp án đúng là I = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}.

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tính giá trị của tham số a

    Biết I = \int_{0}^{1}{\frac{\sqrt{ln^{3}x + 3x}\left( ln^{2}x + \frac{1}{3}x \right)}{x}dx} = \frac{2}{9}\left( \sqrt{1 + ae + 27e^{2} + 27e^{3}} - 3\sqrt{3} \right), a là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{ln^{3}x + 3x}\left( ln^{2}x + \frac{1}{3}x ight)}{x}dx}

    = \frac{1}{3}\int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{ln^{3}x + 3x}\left( 3ln^{2}x + x ight)}{x}dx}

    Đặt t = ln^{3}x + 3x \Rightarrow dt = \frac{3}{x}ln^{2}x + 1

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 3 \\ x = e \Rightarrow t = 1 + 3e \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I = \int_{3}^{1 + 3e}\sqrt{t}dt = \frac{2}{3}\left. \ \left( \sqrt{t^{3}} ight) ight|_{3}^{1 + 3e} = \frac{2}{3}\left( \sqrt{(1 + 3e)^{3}} - 3\sqrt{3} ight).

    = \frac{2}{9}\left( \sqrt{1 + 9e + 27e^{2} + 27e^{3}} - 3\sqrt{3} ight) \Rightarrow a = 9

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
13 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm