Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 17 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính bán kính

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng SA = a\sqrt 2 vuông góc với đáy (ABCD) . Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng (\alpha) đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E, M, Fnhận giá trị nào sau đây?

    Hướng dẫn:

     Tính bán kính

    Mặt phẳng (\alpha) song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên EF||BD.

    \triangle SAC cân tại A , trung tuyến AM nên AM \bot SC  (1)

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight) \Rightarrow BD \bot SC

    Do đó EF \bot SC   (2)

    Từ (1) và (2), suy ra SC \bot \left( \alpha ight) \Rightarrow SC \bot AE   (*)

    Lại có \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AE  (**)

    Từ (*) và (**), suy ra AE \bot \left( {SBC} ight) \Rightarrow AE \bot SB. Tương tự ta cũng có AF \bot SD.

    Do đó \widehat {SEA} = \widehat {SMA} = \widehat {SFA} = {90^0} nên năm điểm S,{m{ }}A,{m{ }}E,{m{ }}M,{m{ }}F cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính R = \frac{{SA}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính tổng S

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right) lần lượt có phương trình là x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 2z - 22 = 0, x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 4y + 2z + 5 = 0. Xét các mặt phẳng (P) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi M(a;b;c) là điểm mà tất cả các mp(P) đi qua. Tính tổng S = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Các mặt cầu: \left( S_{1} \right)có tâm I_{1}(1;1;1),R_{1} = 5, \left( S_{2} \right)có tâm I_{2}(3; - 2; - 1),R_{2} = 3.

    Ta có I_{1}I_{2} = \sqrt{17} < R_{1} + R_{2} nên \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right) cắt nhau.

    Các mặt phẳng (P) luôn đi qua điểm M thuộc đường thẳng I_{1}I_{2} thỏa mãn \overrightarrow{MI_{1}} = \frac{5}{3}\overrightarrow{MI_{2}}. Tọa độ M\left( 6; - \frac{13}{2}; - 4 \right).

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng (P):x+y+2z-13=0. Xét các mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức T=a^2+2b^2+3c^2 khi (S) có bán kính nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

     Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có IA + IH =2R nên R nhỏ nhất khi I, A, H thẳng hàng và I là trung điểm của AH.

    Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{matrix}ight.

    Tọa độ H là nghiệm (x;y;z) của hệ:

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \\ x+y+2z-13=0 \end{matrix}ight.

    \Rightarrow H(3;4;3)\Rightarrow I(2;3;1)

    Suy ra, ta có: T=a^2+2b^2+3c^2 =2^2+2.3^2+3.1^2=25

  • Câu 4: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; - 2;3). Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM?

    Hướng dẫn:

    Hình chiếu vuông góc của M trên Ox là: I(1;0;0)

    \Rightarrow IM = \sqrt{13}

    Suy ra phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM là: (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} + \left( z + \sqrt{2} ight)^{2} = 9 và hai điểm A\left( - 2;0; - 2\sqrt{2} ight),B( - 4; - 4;0). Biết tập hợp tất cả các điểm M \in (S) để MA^{2} + \overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB} = 16 là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là:

    Hướng dẫn:

    Gọi M(x;y;z) \in (S) khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = \left( x + 2;y;z + 2\sqrt{2} ight) \\ \overrightarrow{OM} = (x;y;z) \\ \overrightarrow{BM} = (x + 4;y + 4;z) \\ \end{matrix} ight..

    Ta có:

    MA^{2} + \overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB} = 16

    \Leftrightarrow MA^{2} + \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BM} = 16

    \Leftrightarrow (x + 2)^{2} + y^{2} + \left( z + 2\sqrt{2} ight)^{2} + x(x + 4) + y(y + 4) + z^{2} = 16

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 4y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0

    Ta lại có:

    M \in (S) \Leftrightarrow (x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} + \left( z + \sqrt{2} ight)^{2} = 9

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0

    Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 4y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow y = 0

    Vậy tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn giao tuyến (C) của (S) và mặt phẳng (P): y = 0.

    Mặt cầu (S) có bán kính R = 3, tâm I\left( - 2;1; - \sqrt{2} ight) nên d [I,(P)] = 1.

    Suy ra đường tròn (C) có bán kính:

    r = \sqrt{R^{2} - \left( d\left( I;(P) ight) ight)^{2}} = 2\sqrt{2}

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Xác định giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 8; 2), điểm B(9; −7; 23) và mặt cầu (S) : (x − 5)^2 + (y + 3)^2 + (z − 7)^2 = 72. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Biết \vec{n} = (1; m; n) là một vectơ pháp tuyến của (P). Tính mn.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(5; −3; 7); bán kính R = 6\sqrt{2}.

    Phương trình mặt phẳng (P) : 1(x − 0) + m(y − 8) + n(z − 2) = 0.

    Vì (P) và (S) tiếp xúc nhau nên:

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6\sqrt{2}

    \Leftrightarrow |5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(*)

    Ta có: d\left( B;(P) ight) = \frac{|9 - 15m + 21n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}

    Ta có:

    |9 - 15m + 21n| = |5 - 11m + 5n + 4 - 4m + 16n|

    \leq |5 - 11m + 5n| + |4 - 4m + 16n|(**)

    Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

    (4 - 4m + 16n)^{2} \leq \left( 4^{2} + 4^{2} + 16^{2} ight)\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight) = 288\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight)

    \Rightarrow |4 - 4m + 16n| \leq 12\sqrt{2}.\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(***)

    Từ (*); (**); (***) ta có:

    |9 - 15m + 21n| \leq 18\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \left\{\begin{matrix}|5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}} \\(5 - 11m + 5n)(4 - 4m + 16n) \geq 0 \\\dfrac{1}{4} = \dfrac{m}{- 4} = \dfrac{n}{16} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow m = - 1;n = 4 \Rightarrow mn = - 4.

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \left( S_{m} ight):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - m)^{2} = \frac{m^{2}}{4} với m > 0 là tham số thực) và hai điểm A(2;3;5),B(1;2;4). Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để trên \left( S_{m} ight) tồn tại điểm M sao cho MA^{2} - MB^{2} = 9?

    Hướng dẫn:

    Gọi M(x;y;z)

    Theo đề bài ra ta có:

    MA^{2} - MB^{2} = 9

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 5)^{2} - (x - 1)^{2} - (y - 2)^{2} - (z - 4)^{2} = 9

    \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0

    Mặt cầu (Sm) có tâm I(1; 1; m) và bán kính R = \frac{m}{2}

    Gọi (α): x + y + z − 4 = 0. Khi đó:

    M(1;1;m) \in \left( S_{m} ight) \Leftrightarrow d\left( I;(\alpha) ight) \leq R

    \Leftrightarrow \frac{|m - 2|}{\sqrt{3}} \leq \frac{m}{2} \Leftrightarrow m - 2 \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}m

    \Leftrightarrow m \geq 8 - 4\sqrt{3}

    Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số m cần tìm là m = 8 - 4\sqrt{3}.

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian Oxyz cho đường tròn (C):\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 = 0 \\ x + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    (C) có tâm H và bán kính r bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    h = \frac{|0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{2}

    r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} = \sqrt{4 - 2} = 2.

    Đường thẳng qua tâm của (S) và vuông góc với mặt phẳng thiết diện có phương trình tham số:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = t \\ \end{matrix} \right.

    Thế vào phương trình mặt phẳng thiết diện được t = 1 \Rightarrow Tâm H(1,0,1) .

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính giá trị lớn nhất của khoảng cách d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = \frac{5}{6}, mặt phẳng (P):x + y + z + 1 = 0 và đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}. Điểm M thuộc đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Giá trị lớn nhất của d(M;\Delta) là

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu có tâm I(1; - 1;0),R^{2} = \frac{5}{6}.

    Hạ IH vuông góc với (P), IH = d\left( I,(P) \right) = \frac{1}{\sqrt{3}}.

    Bán kính đường tròn giao tuyến là: r = \sqrt{R^{2} - IH^{2}} = \sqrt{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

    Đường thẳng \Delta vuông góc với (P) và cắt (P) tại K; d(I,\Delta) = HK = \sqrt{2} = 2r.

    Khi đó \max d(M,\Delta) = 3r = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tìm phương trình mặt phẳng (P)

    Cho hai điểm M(1; 0; 4) , N(1;1;2) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 2 = 0. Mặt phẳng (P) qua M, N và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:

    Hướng dẫn:

    Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; - 1;0) và bán kính R = 2, \overrightarrow{MN} = (0;1; - 2)

    Gọi \overrightarrow{n} = (A,B,C)với A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

    Vì (P) qua M, N nên \overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{MN} \Leftrightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{MN} = 0 \Leftrightarrow B - 2C = 0\ \ (1)

    Mặt phẳng (P) qua M(1 ; 0; 4) và nhận \overrightarrow{n} = (A,B,C) là vectơ pháp tuyến nên có phương trình

    A(x - 1) + B(y - 0) + C(z - 4) = 0\Leftrightarrow Ax + By + Cz - A - 4C = 0.

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)

    \Leftrightarrow d\left( I;(P) \right) = R \Leftrightarrow \frac{|1.A - 1.B + 0.C - A - 4C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = 2

    \Leftrightarrow |B + 4C| = 2\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}(2)

    Từ (1) và (2) \Rightarrow A^{2} - 4C^{2} = 0 (*)

    Trong (*), nếu C = 0 thì A = 0, và từ (1) suy ra B = 0 (vô lí). Do vậy C \neq 0.

    Chọn C = 1 \Rightarrow A = \pm 2.

    Với A = 2,\ C = 1, ta có B = 2. Khi đó (P):2x + 2y + z - 6 = 0.

    Với A = - 2,\ C = 1, ta có B = 2. Khi đó (P):2x - 2y - z + 2 = 0.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P):2x + 2y + z - 6 = 0 hoặc (P):2x - 2y - z + 2 = 0.

  • Câu 11: Vận dụng
    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1 và điểm A(2;2;2). Xét các điểm M \in (S) sao cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với (S). Điểm M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Tọa độ tâm mặt cầu là:I(1;1;1)

    Gọi M(x;y;z) khi đó: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x - 2;y - 2;z - 2) \\ \overrightarrow{IM} = (x - 1;y - 1;z - 1) \\ \end{matrix} ight..

    Theo đề bài ra ta có:

    \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{IM} = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)(x - 1) + (y - 2)(y - 1) + (z - 2)(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3x - 3y - 3z + 6 = 0(*)

    Mặt khác phương trình mặt cầu

    (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1

    \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 2z + 2 = 0(**)

    Lấy (*) trừ (**) ta được: x + y + z - 4 = 0.

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1), B(2;2;2) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y + 4z - 10 = 0. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A,\ B và cắt (S) theo một thiết diện là đường tròn (C). Đường thẳng AB cắt (C) tại hai điểm E,\ F. Điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác MEF cân tại M, MHlà đường cao ứng với cạnh EF. Khi (C) có diện tích nhỏ nhất thì phương trình của MH là

    Hướng dẫn:

    Nhận xét điểm A nằm trong mặt cầu, điểm B nằm ngoài mặt cầu. Điểm M là trung điểm cung \widehat{EF}. Gọi K là tâm đường tròn (C) thì KM cắt EF tại H, ta cần viết phương trình KM.

    Khi hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất thì bán kính KE nhỏ nhất, khi đó mặt phẳng (P) cách xa tâm I nhất. Mà IK \leq IH nên ta có K \equiv Hsuy ra \overrightarrow{IH} là vtpt của mp(P).

    Ta có I(1;1; - 2), \overrightarrow{AB} = (1;1;1). Ghi \frac{x + y + z}{3} CALC nhập 0 = 0 = - 3 = Sto M

    Bấm 1 + M:1 + M:1 + M = \ = \ =ta có H(0;0;0) suy ra \overrightarrow{IH} = ( - 1; - 1;2).

    Ta lại có \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{IH} \right\rbrack nên \overrightarrow{u_{\Delta}} = ( - 1;1;0).

  • Câu 13: Thông hiểu
    Định các giá trị nguyên tham số m

    Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m + 2)x - 2(m - 1)z + 3m^{2} - 5 = 0 là một phương trình mặt cầu

    Hướng dẫn:

    Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

    (m + 2)^{2} + (m - 1)^{3} - 3m^{2} + 5 > 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m - 10 < 0

    \Leftrightarrow m \in \left( - 1 - \sqrt{11};1 + \sqrt{11} ight)

    Theo bài ra m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2;3;4 ight\}

    Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính bán kính

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Cạnh bên , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:

    Hướng dẫn:

    Tính bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra SM \bot \left( {ABC} ight) \Rightarrow SM \bot AC.

    Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

    Ta có AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2, suy ra tam giác SAC đều.

    Gọi G là trọng tâm \triangle SAC , suy ra GS = GA = GC.    (1)

    Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Lại có SM \bot \left( {ABC} ight) nên SM là trục của tam giác ABC.

    Mà G thuộc SM nên suy ra GA = GB = GC.

    Từ (1) và (2), suy ra GS = GA = GB = GC hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

    Bán kính mặt cầu R = GS = \frac{2}{3}SM = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tính bán kính mặt cầu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và BC=a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB = a, \widehat {ASB} = {120^0}. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  là:

    Hướng dẫn:

     Tính bán kính mặt cầu

    Gọi M là trung điểm AB , suy ra SM \bot AB và SM \bot \left( {ABC} ight).

    Do đó SM là trục của tam giác ABC.

    Trong mặt phẳng (SMB), kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , bán kính R=SI

    Ta có AB = \sqrt {S{A^2} + S{B^2} - 2SA.SB.\cos \widehat {ASB}} = a\sqrt 3 .

    Trong tam giác vuông SMB, ta có SM = SB.\cos \widehat {MSB} = a.\cos {60^0} = \frac{a}{2}.

    Ta có \Delta SMB \backsim\Delta SPI, suy ra

    \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SI}} \Rightarrow R = SI = \frac{{SB.SP}}{{SM}} = a

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính tổng

    Trong không gian cho ba điểm A(3;0;0), B(1;2;1) và C(2;-1;2). Biết mặt

    phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10;a;b). Tổng a+b là?

    Gợi ý:

    Áp dụng phương pháp tìm tọa độ tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện.

    Hướng dẫn:

     Phương trình (OAB) là: -y+2z=0.

    Phương trình (OAC) là:2y+z=0.

    Phương trình (OBC) là: x-z=0.

    Phương trình (ABC) là: 5x+3y+4z-15=0 .

    Gọi I(a';b';c') là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.

    Do đó:

    I nằm cùng phía với A đối với (OBC) suy ra: (a'-c')>0.

    I nằm cùng phía với B đối với (OAC) suy ra: (2b'+c')>0.

    I nằm cùng phía với C đối với (OAB) suy ra: (-b'+2c')>0.

    I nằm cùng phía với O đối với (ABC) suy ra: (5a'+3b'+4c'-15)<0.

    Suy ra:

    \left\{\begin{matrix} d(I,(OAB))=d(I,(OAC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(OBC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(ABC)) \end{matrix}ight.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|2b'+c'|}{\sqrt 5} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|a'-c'|}{\sqrt 2} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|5a'+3b'+4c'-15|}{5\sqrt 2} \end{matrix}ight.

     

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |-b'+2c'|= |2b'+c'| \\ \sqrt 2{|-b'+2c'|}= \sqrt 5|a'-c'|\\ \sqrt 10{|-b'+2c'|}= |5a'+3b'+4c'-15| \end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -b'+2c'= 2b'+c' \\ \sqrt 2{(-b'+2c')}= \sqrt 5(a'-c')\\ \sqrt 10{(-b'+2c')}= -(5a'+3b'+4c'-15)\end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a'=\dfrac{3}{ 2} \\ -b'=\dfrac{3 \sqrt 10 -9}{2} \\ c'=\dfrac{9 \sqrt 10 -27}{ 2} \end{matrix}ight.

    Suy ra:  I (\frac {3}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -9}{2}; \frac {9\sqrt{10} -27}{2}), \Rightarrow \overrightarrow {BI}= (\frac {1}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -13}{2}; \frac {9\sqrt{10} -29}{2}) ; \,\, \overrightarrow {BC}= (1;-3;1)

    \Rightarrow [\overrightarrow {BI}, \overrightarrow {BC}]= (-50+15 \sqrt{10} ; \frac {9\sqrt{10} -30}{2}; \frac {-3\sqrt{10} +10}{2})

    cùng phương với \vec n =(10;3;-1).

    Suy ra (BCI) có một VTPT là \vec n =(10;3;-1) =(10; a; b).

    Vậy: a+b=2.

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a;b;c dương. Biết A;B;C di động trên các tia Ox;Oy,Oz sao cho a + b + c = 2. Biết rằng khi a;b;c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ M(2016; 0; 0) tới mặt phẳng (P).

    Hướng dẫn:

    +) Gọi (\alpha),(\beta),(\gamma) lần lượt là mặt phẳng trung trực của các đoạn OA;OB;OC.

    Suy ra (\alpha):x - \frac{a}{2} = 0,(\beta):y - \frac{a}{2} = 0,(\gamma):z - \frac{a}{2} = 0

    +) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABCthì I = (\alpha) \cap (\beta) \cap (\gamma).

    Tìm được I\left( \frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{2} \right)

    +)a + b + c = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = 1, do đó I \in (P):x+y + z = 1

    +) d\left( M;(P) \right) = \frac{|2016 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2015}{\sqrt{3}}.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện

    Cho hai điểm A(2, - 3, - 1);\ \ \ B( - 4,5, - 3). Tìm tập hợp các điểm M(x,y,z) sao cho \widehat{AMB} = 90^{o}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \overrightarrow{AM} = (x - 2,y + 3,z + 1);\ \ \overrightarrow{BM} = (x + 4,y - 5,z + 3)

    \widehat{AMB} = 90^{o} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)(x + 4) + (y + 3)(y - 5) + (z + 1)(z + 3) = 0

    \Leftrightarrow Mặt cầu x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 4z - 20 = 0

  • Câu 19: Vận dụng
    Xác định phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Viết phương trình mặt cầu \left( S_{3} \right) ngoại tiếp tứ diện.

    Hướng dẫn:

    Tứ diện ABCD đều \Rightarrow \left( S_{3} \right) có tâm E(2,2,2)

    Bán kính R_{3}^{2} = EA^{2} = (1 - 2)^{2} + (1 - 2)^{2} + (1 - 2)^{2} = 3

    \Rightarrow \left( S_{3} \right) = (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 3

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón (N) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao là h(h > R). Hình trụ (T) có đáy là đường tròn (C) và có cùng chiều cao với hình nón (N). Tính thể tích V khối trụ được tạo nên bởi (T) theo R, biết V có giá trị lớn nhất.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi khoảng cách từ O dến mặt phẳng (P) là d với (0 \leqd \leq R), đường tròn (C) có bán kính là r.

    V = h \cdot \pi \cdot r^{2} = \pi(R +d)\left( R^{2} - d^{2} ight) = \pi\left( - d^{3} - Rd^{2} + R^{2}d +R^{3} ight)

    V^{'}(d) = \pi\left( - 3d^{2} - 2Rd+ R^{2} ight) = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}d = - 1 \\d = \frac{R}{3} \\\end{matrix} \Rightarrow d = \frac{R}{3} ight.

    Ta có V(0) = \pi R^{3},V(R) = 0 và V\left( \frac{R}{3} ight) =\frac{32}{27}\pi R^{3}.

    Vậy V = \frac{32}{27}\piR^{3}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
30 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này