Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 17 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thuộc mặt cầu (S): (x − 3)^2 + (y + 1)^2 + z^ 2 = 9 và ba điểm A(1; 0; 0), B(2; 1; 3), C(0; 2; −3). Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn MA^{2} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}= 8 là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này?

    Hướng dẫn:

    Ta có:\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MA} = (1 - x; - y; - z) \\\overrightarrow{MB} = (2 - x;1 - y;3 - z) \\\overrightarrow{MC} = ( - x;2 - y; - 3 - z) \\\end{matrix} ight. khi đó:

    MA^{2} +2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = 8

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} +z^{2} + 2\left\lbrack x(x - 2) + (y - 1)(y - 2) + (z - 3)(z + 3)ightbrack = 8

    \Leftrightarrow 3.\left( x^{2} + y^{2} +z^{2} ight) - 6x - 6y - 21 = 0

    \Leftrightarrow M \in (S'):x^{2} +y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 7 = 0

    Mà M \in (S):(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} +z^{2} = 9

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} -6x + 2y + 1 = 0

    Suy ra M ∈ (P): 4x − 4y − 8 = 0.

    Như vậy quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của (S) tâm I(3; −1; 0), bán kính R = 3 và (P)

    Ta có: d\left( I;(P) ight) = \sqrt{2}\Leftrightarrow r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \sqrt{7}

  • Câu 2: Vận dụng
    Viết phương trình tiếp tuyến

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 và hai điểm M(4; - 4;2), N(6;0;6). Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM + EN đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S)có tâm I(1;2;2) và bán kính R = 3. Ta có IM = IN = 3\sqrt{5} nên \Delta IMN cân.

    Gọi K là trung điểm của MN \Rightarrow K(5; - 2;4) và ta có EM + EN lớn nhất khi \overrightarrow{IE} = t\overrightarrow{IK},t < 0.

    Do đó t = - \frac{R}{IK} = - \frac{1}{2}, suy ra \overrightarrow{IE} = - \frac{1}{2}(4; - 4;2) = ( - 2;2; - 1) \Rightarrow E( - 1;4;1), khi đó tiếp diện đi qua E và có vtpt \overrightarrow{n} = (2; - 2;1) và phương trình 2x - 2y + z + 9 = 0.

    Cách 2.

    Ta có \overrightarrow{IM} = (3; - 6;0),\overrightarrow{IN} = (5; - 2;4) suy ra \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = (8; - 8;4) = 2\overrightarrow{IK} và:

    P = \sqrt{EM^{2}} + \sqrt{EN^{2}} = \sqrt{EI^{2} + IM^{2} + 2\overrightarrow{EI}.\overrightarrow{IM}} + \sqrt{EI^{2} + IN^{2} + 2\overrightarrow{EI}.\overrightarrow{IN}}

    P = \sqrt{54 - 2\overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IM}} + \sqrt{54 - 2\overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IN}} \leq \sqrt{\left( 1^{2} + 1^{2} \right)\left( 108 - 2\overrightarrow{IE}.(\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN}) \right)}.

    P \leq \sqrt{2\left( 108 - 4\overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IK} \right)} \leq \sqrt{2(108 + 4IE.IK)} = 6\sqrt{10}.

    Dấu bằng xảy ra khi \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IN} và \overrightarrow{IE},\overrightarrow{IK} ngược hướng, ta có \overrightarrow{IE} = t\overrightarrow{IK} = t(4; - 4;2), suy ra t = - \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow{IE} = ( - 2;2; - 1) \Rightarrow E( - 1;4;1) (Thỏa mãn \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IN} = - 18). Phương trình tiếp diện là: 2x - 2y + z + 9 = 0.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Xác định tập hợp điểm I thỏa mãn điều kiện

    Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu (S) có bán kính R = 3 tiếp xúc với mặt phẳng (P):\ 4x - 2y - 4z + 3 = 0

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    d(I,P) = 3 \Leftrightarrow \frac{|4x - 2y - 4z + 3|}{6} = 3

    \Rightarrow Tập hợp các tâm I của hai mặt phẳng song song và cách đều (P) một đoạn bằng 3: 4x - 2y - 4z - 15 = 0;4x - 2y - 4z + 21 = 0

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 và các điểm A(1;0;2),B( - 1;2;2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax + by + cz + 3 = 0. Tính T = a + b +c.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 4.

    Vì IA = \sqrt{5} < R nên điểm A nằm bên trong mặt cầu. Suy ra (P) luôn cắt mặt cầu. Gọi r là bán

    kính đường tròn giao tuyến, ta có r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} với d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P).

    Diện tích hình tròn thiết diện nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính r nhỏ nhất, hay d lớn nhất.

    Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB ta có d lớn nhất khi d = IH tức IH vuông góc với (P).

    Phương trình đường thẳng AB:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 2 \end{matrix} \right.\ (t\mathbb{\in R})

    Gọi H(1 - t;t;2). \overrightarrow{IH} = ( - t;t - 2; - 1).

    IH\bot AB \Leftrightarrow t + (t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 1. Suy ra H(0;1;2).

    Mặt phẳng (P) nhận \overrightarrow{IH} làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A nên có phương trình

    - (x - 1) - y - (z - 2) = 0 \Leftrightarrow - x - y - z + 3 = 0.

    Vậy a + b + c =- 3.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 và các điểm A(1; 0; 2); B(−1; 2; 2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A; B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax + by + cz + 3 = 0. Tính T = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 4.

    Nhận thấy: IA = IB = \sqrt{5} < R ⇒ A; B nằm bên trong mặt cầu.

    Gọi K là trung đểm của AB ⇒ K(0; 1; 2); IK ⊥ AB.

    Gọi H là hình chiếu của I trên (P),(P) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn tâm H bán kính r.

    Std nhỏ nhất ⇔ r nhỏ nhất ⇔ IH lớn nhất

    ⇔ IH = IK ⇔ H ≡ K.

    Khi đó mặt phẳng (P): Đi qua A và có VTPT là \overrightarrow{IK} = ( - 1; - 1; - 1)

    ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) : −x−y−z+3 = 0 ⇒ a+b+c = −3

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Bán kính mặt cầu

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 60^0 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A'B'C' bằng:

    Hướng dẫn:

      Bán kính mặt cầu

    Gọi M là trung điểm B’C’, ta có

    {60^0} = \widehat {\left( {AB'C'} ight),\left( {A'B'C'} ight)} = \widehat {AM,A'M} = \widehat {AMA'}.

    Trong \Delta AA'M, có A'M = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};

    AA' = A'M.\tan \widehat {AMA'} = \frac{{3a}}{2}.

    Gọi G’ là trọng tâm tam giác đều A’B’C’, suy ra G’ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta A'B'C'.

    Vì lặng trụ đứng nên GG' \bot \left( {A'B'C'} ight).

    Do đó GG' là trục của tam giác A'B'C'.

    Trong mặt phẳng \left( {GC'G'} ight), kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC' cắt GG' tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A'B'C' , bán kính R = GI

    Ta có \Delta GPI\,\backsim\,\,\,\Delta GG'C' \Rightarrow \frac{{GP}}{{GI}} = \frac{{GG'}}{{GC'}}

    \Rightarrow R = GI = \frac{{GP.GC'}}{{GG'}} = \frac{{GC{'^2}}}{{2GG'}} = \frac{{GG{'^2} + G'C{'^2}}}{{2GG'}} = \frac{{31a}}{{36}}.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2\ ;\ 4\ ;\ 1), B( - 2\ ;\ 2\ ;\ - 3). Gọi I là tâm mặt cầu (S) có đường kính AB. Các nhận định dưới đây đúng hay sai?

    a) I(0\ ;\ 3\ ;\ - 1), R = 6.Đúng||Sai

    b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A là (P):2x + y + 2z - 10 = 0. Đúng||Sai

    c) Bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu với (Q):2x - y + 2z - 1 = 0 là 5.Sai||Đúng

    d) Gọi I' là tâm mặt cầu (S') sao cho diện tích mặt cầu (S) gấp 4 lần diện tích mặt cầu (S'). Khi đó, II' = \frac{11}{2}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2\ ;\ 4\ ;\ 1), B( - 2\ ;\ 2\ ;\ - 3). Gọi I là tâm mặt cầu (S) có đường kính AB. Các nhận định dưới đây đúng hay sai?

    a) I(0\ ;\ 3\ ;\ - 1), R = 6.Đúng||Sai

    b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A là (P):2x + y + 2z - 10 = 0. Đúng||Sai

    c) Bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu với (Q):2x - y + 2z - 1 = 0 là 5.Sai||Đúng

    d) Gọi I' là tâm mặt cầu (S') sao cho diện tích mặt cầu (S) gấp 4 lần diện tích mặt cầu (S'). Khi đó, II' = \frac{11}{2}. Đúng||Sai

    a) I là trung điểm của AB \Rightarrow I(0\ ;\ 3\ ;\ - 1).

    Có: \overrightarrow{IA} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2) \Rightarrow IA = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = 3.

    b) (P) có \overrightarrow{n_{(P)}} = \overrightarrow{IA} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2) và đi qua điểm A(2; 4 ; 1) nên ta có phương trình:

    (P):2x + y + 2z - 10 = 0

    c) Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu với (Q).

    d\left( I;(Q) \right) = \frac{| - 3 - 2 - 1|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}} = 2.

    r = \sqrt{3^{2} - 2^{2}} = \sqrt{5}.

    d) Diện tích mặt cầu (S) = 4.\pi.3^{2} = 36\pi

    \Rightarrow Diện tích mặt cầu (S') = 9\pi \Rightarrow r'=\frac{3}{2}

    Có (S') tiếp xúc (S) nên II' = R + r' = 3 + \frac{3}{2} = \frac{11}{2}.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính GTNN của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(0;0\ ;\ 2) và B(3;4\ ;\ 1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \left( S_{1} \right):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 3)^{2} = 25 với \left( S_{2} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 14 = 0. Hai điểmM, N thuộc (P) sao choMN = 1. Giá trị nhỏ nhất của AM + BNlà

    Hướng dẫn:

    Trừ các vế hai mặt cầu, ta có phương trình (P):z = 0, tức là mặt phẳng (Oxy).

    Hạ AH,BK vuông góc với (P), tọa độ H(0;0;0),K(3;4;0) và HK = 5.

    Chọn M,N thuộc đoạn HK, đặt NK = t \Rightarrow HM = 4 - t.

    Khi đó AM + BN = \sqrt{2^{2} + (4 - t)^{2}} + \sqrt{1^{2} + t^{2}}

    \geq \sqrt{(2 + 1)^{2} + (4 - t + t)^{2}} = 5.

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;2;1),N\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OMN và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)?

    Hướng dẫn:

    Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN

    Ta áp dụng tính chất sau: “Cho tam giác OMN với I là tâm đường tròn nội tiếp, khi đó ta có: a.\overrightarrow{IO} + b.\overrightarrow{IM} + c.\overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0} với a = MN,b = ON,c = OM”

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}OM = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3 \\ON = \sqrt{\left( - \dfrac{8}{3} ight)^{2} + \left( \dfrac{4}{3}ight)^{2} + \left( \dfrac{8}{3} ight)^{2}} = 4 \\MN = \sqrt{\left( - \dfrac{8}{3} - 2 ight)^{2} + \left( \dfrac{4}{3} - 2ight)^{2} + \left( \dfrac{8}{3} - 1 ight)^{2}} = 5 \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    5.\overrightarrow{IO} + 4.\overrightarrow{IM} + 3.\overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \dfrac{8}{3} ight)}{3 + 4 + 5} = 0\\y_{I} = \dfrac{5.0 + 4.2 + 3.\left( \dfrac{4}{3} ight)}{3 + 4 + 5} = 1\\z_{I} = \dfrac{5.0 + 4.2 + 3.\left( \dfrac{8}{3} ight)}{3 + 4 + 5} = 1\\\end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0

    Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) nên mặt cầu có bán kính R = d\left( I;(Oxz) ight) = 1

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tìm maxT

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(3;\ - 1;\ 2), B(1;\ 1;\ 2), C(1;\ - 1;\ 4), đường tròn (C) là giao của mặt phẳng (P):\ x + y + z - 4 = 0 và mặt cầu (S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 6z + 10 = 0. Hỏi có bao nhiêu điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho T = MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất?

    Hướng dẫn:

    Kiểm tra được ba điểm A, B, C đều thuộc mặt phẳng (P) và đều thuộc mặt cầu (S) hay chúng đều thuộc đường tròn (C) tâm K, bán kính r.

    Mặt khác ta có AB = BC = CA = 2\sqrt{2} hay tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn (C).

    Giả sử điểm M thuộc cung BC, đặt \widehat{MAC} = \alpha \Rightarrow \widehat{MAB} = 60^{o} - \alpha, ta có:

    MB + MC = 2r\sin\left( 60^{o} - \alpha \right) + 2r\sin\alpha

    \Rightarrow T \leq DA + 2r\sin\left( 60^{o} - \alpha \right) + 2r\sin\alpha

    Hay T \leq 2r\left\lbrack 1 + \sin\left( 60^{o} - \alpha \right) + \sin\alpha \right\rbrack = 2r\left\lbrack 1 + 2sin\left( 30^{o} \right)cos(30^{o} - \alpha) \right\rbrack

    T \leq 2r\left\lbrack 1 + \cos\left( 30^{o} - \alpha \right) \right\rbrack \leq 4r \Rightarrow \max T = 4r

    \Leftrightarrow \alpha = 30^{o} \Leftrightarrow M \equiv D là trung điểm cung BC.

    Tương tự ta có thêm hai trường hợp trên hai cung còn lại.

  • Câu 11: Vận dụng
    Tính tổng S

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right) lần lượt có phương trình là x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 2z - 22 = 0, x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 4y + 2z + 5 = 0. Xét các mặt phẳng (P) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi M(a;b;c) là điểm mà tất cả các mp(P) đi qua. Tính tổng S = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Các mặt cầu: \left( S_{1} \right)có tâm I_{1}(1;1;1),R_{1} = 5, \left( S_{2} \right)có tâm I_{2}(3; - 2; - 1),R_{2} = 3.

    Ta có I_{1}I_{2} = \sqrt{17} < R_{1} + R_{2} nên \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right) cắt nhau.

    Các mặt phẳng (P) luôn đi qua điểm M thuộc đường thẳng I_{1}I_{2} thỏa mãn \overrightarrow{MI_{1}} = \frac{5}{3}\overrightarrow{MI_{2}}. Tọa độ M\left( 6; - \frac{13}{2}; - 4 \right).

  • Câu 12: Thông hiểu
    Xác định phương trình mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) qua bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3). Phương trình mặt cầu (S) là:

    Hướng dẫn:

    Gọi phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0

    Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix}18 - 6a - 6b + d = 0 \\18 - 6a - 6c + d = 0 \\18 - 6b - 6c + d = 0 \\27 - 6a - 6b - 6c + d = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\b = \dfrac{3}{2} \\c = \dfrac{3}{2} \\d = 0 \\\end{matrix} ight.. Suy ra tâm mặt cầu I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} ight) và bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}

  • Câu 13: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm, biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (Kết quả là tròn đến một chữ số thập phân)

    A basketball on the groundDescription automatically generated

    Trả lời: 23,9 cm

    Đáp án là:

    Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm, biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (Kết quả là tròn đến một chữ số thập phân)

    A basketball on the groundDescription automatically generated

    Trả lời: 23,9 cm

    Ta đặt hệ trục vào căn phòng sao cho có hai bức tường là mặt (Oxz),(Oyz), và nền là (Oxy)

    Vậy bài toán dẫn đến việc tìm đường kính của mặt cầu tiếp xúc với 3 mặt phẳng toạ độ và chứa điểm M(17\ ;\ 18\ ;\ 21).

    Ta có thể gọi phương trình mặt cầu là (S):(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}, với a,b,c,R > 0

    Do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ nên a = b = c = R

    \Rightarrow (S):(x - a)^{2} + (y - a)^{2} + (z - a)^{2} = a^{2}

    Do M(17\ ;\ 18\ ;\ 21) \in (S) nên (17 - a)^{2} + (18 - a)^{2} + (21 - a)^{2} = a^{2}.

    \Rightarrow 2a^{2} - 112a + 1054 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 28 - \sqrt{257} \\ a = 28 + \sqrt{257} \\ \end{matrix} ight.

    Vì quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm nên a = 28 - \sqrt{257} thỏa.

    Vậy đường kính quả bóng bằng 2a = 56 - 2\sqrt{257} \approx 23,9\ (cm).

  • Câu 14: Vận dụng
    Xác định tổng các phần tử tập hợp T

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 4 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = t \\ z = m - 1 + t \end{matrix} \right.. Gọi T là tập tất cả các giá trị của m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp diện của (S) tại A và B tạo với nhau góc lớn nhất. Tính tổng các phần tử của tập hợp T.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;0; - 2) và bán kính R = 2.

    Góc giữa hai mặt phẳng lớn nhất bằng 90^{o}, do đó IAMB tạo thành hình vuông. Suy ra IH = d(I,d) = \frac{R}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.

    IH^{2} = ( - 1)^{2} + 0^{2} + ( - 1 - m)^{2} - \frac{(1 + 0 - 1 - m)^{2}}{3} = 2

    \Leftrightarrow m^{2} + 2m + 2 - \frac{m^{2}}{3} = 2

    \Leftrightarrow 2m^{2} + 6m = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = - 3 \end{matrix} \right. .

    Vậy tổng các phần tử của tập hợp T bằng - 3.

  • Câu 15: Vận dụng
    Xác định tọa độ tâm I

    Cho tứ diện ABCD có A(3,6, - 2);B(6,0,1);C( - 1,2,0);D(0,4,1). Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ:

    Hướng dẫn:

    Gọi I(x,y,z) là tâm cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ BI^{2} = CI^{2} \\ CI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 2)^{2} = (x - 6)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} \\ (x - 6)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\ (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = x^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 1)^{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6x - 12y + 6z = - 12 \\ - 14x + 4y - 2z = - 32 \\ 2x + 4y + 2z = 12 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2y + z = - 2 \\ 7x - 2y + z = 16 \\ x + 2y + z = 6 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(3,2, - 1)

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a;b;c dương. Biết A;B;C di động trên các tia Ox;Oy,Oz sao cho a + b + c = 2. Biết rằng khi a;b;c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ M(2016; 0; 0) tới mặt phẳng (P).

    Hướng dẫn:

    +) Gọi (\alpha),(\beta),(\gamma) lần lượt là mặt phẳng trung trực của các đoạn OA;OB;OC.

    Suy ra (\alpha):x - \frac{a}{2} = 0,(\beta):y - \frac{a}{2} = 0,(\gamma):z - \frac{a}{2} = 0

    +) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABCthì I = (\alpha) \cap (\beta) \cap (\gamma).

    Tìm được I\left( \frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{2} \right)

    +)a + b + c = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = 1, do đó I \in (P):x+y + z = 1

    +) d\left( M;(P) \right) = \frac{|2016 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2015}{\sqrt{3}}.

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm A\left( {1;6;2} \right),B\left( {3;0;0} \right) và có tâm thuộc mặt phẳng (P):x - y + 2 = 0 bán kính của mặt cầu (S) có giá trị nhỏ nhất là

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB nên H(2; 3; 1). Vecto \overrightarrow{HB} = (1; - 3; - 1).

    Mặt cầu đi qua A, B có tâm M thuộc mặt phẳng (Q)

    là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

    qua H và có vecto pháp tuyến \overrightarrow{HB} = (1; - 3; - 1) có phương trình (Q):x - 3y + z + 6 = 0.

    Do tâm M của mặt cầu cũng thuộc (P) nên M thuộc đường thẳng (d) là giao của (P) và (Q) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1;2) và qua M_{0}( - 2;0;4).

    Gọi d là khoảng cách từ H đến (d), d = d\left( H;(d) \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{M_{0}H};\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \frac{\sqrt{66}}{6},HB = \sqrt{11}.

    Ta có R = MB = \sqrt {H{B^2} + M{H^2}}. Nhận thấy HB không đổi, R nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, MH nhỏ nhất khi M trùng I, lúc đó MH = HI = d = \frac{{\sqrt {66} }}{6}. (I là hình chiếu vuông góc của H lên (d))

    Vậy R = MB = \sqrt{HB^{2} + IH^{2}} = \sqrt{\frac{66}{36} + 11} = \frac{\sqrt{462}}{6}.

  • Câu 18: Vận dụng
    Tìm tọa độ tâm H của (C)

    Trong không gian Oxyz cho đường tròn:(C):\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0 \\ x - 2y + 2z + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.. Tọa độ tâm H của (C) là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 3)^{2} = 5

    Tâm mặt cầu là I(2, - 3, - 3)

    Xem đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng thiết diện x - 2y + 2z + 1 = 0

    \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 - 2t \\ z = - 3 + 2t \\ \end{matrix} \right. , thế x,y,z vào phương trình mặt phẳng thiết diện

    2 + t - 2( - 3 - 2t) + 2( - 3 + 2t) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}

    \Rightarrow Tọa độ tâm H của (C) là H\left( \frac{5}{3}, - \frac{7}{3}, - \frac{11}{3} \right)

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \left( S_{1} ight):x^{2} + y^{2} + z^{2} =1,\left( S_{2} ight):x^{2} + (y -4)^{2} + z^{2} = 4 và các điểm A(4;0;0),B\left( \frac{1}{4};0;0ight),C(1;4;0),D(4;4;0). Gọi M là điểm thay đổi trên \left( S_{1} ight),N là điểm thay đổi trên \left( S_{2} ight). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = MA + 2ND + 4MN +6BC là:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu \left( S_{1} ight) có tâm O(0;0;0) bán kính bằng 1; mặt cầu \left( S_{2} ight) có tâm I(0;4;0) bán kính bằng 2 .
    Ta có 4 diểm O,A,D,I là 4 dỉnh của hình vuông cạnh bằng 4 và OB =\frac{1}{4},IC = 1.
    Ta có \bigtriangleup OMA \backsim\bigtriangleup OBM (c.g.c) \Rightarrow \frac{MA}{BM} = \frac{OM}{OB}\Rightarrow MA = 4MB.
    Ta có \bigtriangleup IND \backsim\bigtriangleup ICN (c.g.c) \Rightarrow \frac{ND}{CN} = \frac{IN}{IC} = 2\Rightarrow ND = 2NC.

    Q = 4MB + 4NC + 4MN + 6BC

    = 4(BM + MN + NC) + 6BC

    \ \geq 4BC + 6BC = 10BC = 10 \cdot\frac{\sqrt{265}}{4} = \frac{5\sqrt{265}}{2}

    Vậy Q nhỏ nhất là bằng \frac{5\sqrt{265}}{2}, dấu " = " xảy ra khi M,N là giao điểm của BC với các mặt cầu.

  • Câu 20: Vận dụng
    Viết phương trình mặt cầu

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG}trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( S_{2} \right) nội tiếp hình lập phương.

    Hướng dẫn:

    \left( S_{2} \right) có tâm I\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) là trung điểm của 3 đoạn nối trung điểm các mặt đối diện đôi một có độ dài cạnh bằng 1. Bán kính R_{1} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left( S_{2} \right):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}

    \Rightarrow \left( S_{2} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
32 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này