Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 17 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tìm giá trị của m thỏa mãn điều kiện

    Trong không gian tọa độ Oxyzcho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 6y + m = 0 và đường thẳng \Delta là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + 2y - 2z - 4 = 0 và (\beta):2x - 2y - z + 1 = 0. Đường thẳng \Delta cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn AB = 8 khi:

    Hướng dẫn:

    Ta có \left\{ \begin{matrix} x + 2y - 2z - 4 = 0 \\ 2x - 2y - z + 1 = 0 \end{matrix} \right..

    Phương trình tham số của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 2t \\ y = t \\ z = - 3 + 2t \end{matrix} \right..

    A \in (\Delta) \Rightarrow A( - 2 + 2t;t; - 3 + 2t).

    A \in (S) \Rightarrow ( - 2 + 2t)^{2} + t^{2} + ( - 3 + 2t)^{2} + 4( - 2 + 2t) - 6t + m = 0 (*).

    (*) \Leftrightarrow 9t^{2} - 18t + 5 + m = 0.

    Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi \Delta' = 36 - 9m > 0 \Leftrightarrow m < 4.

    Khi đó A\left( - 2 + 2t_{1};t_{1}; - 3 + 2t_{1} \right),B\left( - 2 + 2t_{2};t_{2}; - 3 + 2t_{2} \right).

    t_{1} + t_{1} = 2,t_{1}t_{2} = \frac{5 + m}{9}.

    AB = 8 \Leftrightarrow AB^{2} = 64.

    Suy ra 9\left( t_{2} - t_{1}\right)^{2} = 64 \Leftrightarrow 9\left\lbrack \left( t_{1} + t_{2}\right)^2- 4t_{1}t_{2} \right\rbrack = 64

    \Rightarrow 9.\left\lbrack 2^2 -4\left( \frac{5 + m}{9} \right) \right\rbrack = 64 \Leftrightarrow m = -12.

    Cách 2:

    Mặt cầu (S) có tâm I( - 2;3;0), R = \sqrt{13 - m}, m < 13.

    Đường thẳng (\Delta) qua M_{0}( - 2;0; - 3), có VTCP \overrightarrow{u} = (2;1;2)

    d = d\left( I;(\Delta) \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{IM_{0}};\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = 3

    Yêu cầu đề bài tương đương R^{2} = \frac{AB^{2}}{4} + d^{2} \Leftrightarrow 13 - m = 16 + 9 \Leftrightarrow m = - 12\ (n).

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tính thể tích khối tứ diện

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) trong đó a > 0,b > 0,c > 0 và \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7. Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{72}{7} Tính thể tích của khối tứ diện O.ABC

    Hướng dẫn:

    +) Ta có (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    +) Mặt cầu (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 có tâm I(1;2;3) và bán kính R = \sqrt{\frac{72}{7}}

    +) Mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với (S) \Leftrightarrow d\left( I;(ABC) \right) = R \Leftrightarrow \frac{\left| \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} - 1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{\frac{72}{7}}.

    +) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

    \left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} \right)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \right) \geq \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \right)^{2} = 7^{2}

    \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq \frac{7}{2}

    +) Dấu xảy ra \left. \ \begin{matrix} \frac{1}{\frac{1}{a}} = \frac{2}{\frac{1}{b}} = \frac{3}{\frac{1}{c}} \\ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7 \end{matrix} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \\ c = \frac{2}{3} \end{matrix} \right. khi đó V_{OABC} = \frac{1}{6}abc = \frac{2}{9}

  • Câu 3: Vận dụng
    Viết phương trình mặt cầu (S)

    Trong không gian Oxyz, cho A(5; 0; 0), B(1; 2; −4), C(4; 3; 0) và mặt phẳng (α): x + 2y + 2z − 10 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và tiếp xúc mặt phẳng (α).

    Hướng dẫn:

    Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu cần tìm.

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AI = IB \\ AI = CI \\ AI = d\left( I;(\alpha) ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} +(z + 4)^{2}} \\\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} +z^{2}} \\\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \dfrac{|x + 2y + 2z -10|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y + 2z = 1 \\ x - 3y = 0 \\ 3\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = |x + 2y + 2z - 10| \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3y \\z = \dfrac{- 5y + 1}{2} \\65y^{2} - 130y + 65 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = 1 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Vậy phương trình mặt cầu tâm I(3; 1; −2) bán kính R = AI = 3 là (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 9.

  • Câu 4: Vận dụng
    Xác định các giá trị của r

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P): x−y + 2z + 1 = 0, (Q): 2x+y +z −1 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu.

    Hướng dẫn:

    Gọi R, I(m; 0; 0) lần lượt là bán kính, tâm của mặt cầu; d_1, d_2 lần lượt là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P), (Q).

    Từ đó ta có: R^{2} = {d_{1}}^{2} + 4 = {d_{2}}^{2} + r^{2} suy ra

    \frac{(m + 1)^{2}}{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} + 4 = \frac{(2m - 1)^{2}}{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} + r^{2}

    \Leftrightarrow m^{2} + 2m + 1 + 16 = 4m^{2} - 4m + 1 + 6r^{2}

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m + \left( 2r^{2} - 8 ight) = 0\ \ (*)

    Để tồn tại đúng một mặt cầu tương đương phương trình (∗) có đúng một nghiệm m hay \Delta' = 1^{2} - \left( 2r^{2} - 8 ight) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{3\sqrt{2}}{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: r = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 6z + 5 = 0 và mặt phẳng (\alpha):2x + y + 2z - 15 = 0. Mặt phẳng (P) song song với (\alpha) và tiếp xúc với (S) là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (S) có tâm I (1; −2; 3), bán kính R = 3. (P) song song với (α)

    ⇒(P):2x + y + 2z + m = 0, với m eq - 15

    Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 15 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight., so với điều kiện ta nhận m = 3.

    Vậy (P):2x + y + 2z + 3 = 0.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính T

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c>0. Biết rằng mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(\frac 1 7; \frac 2 7 ; \frac 3 7) và tiếp xúc với mặt cầu (S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=\frac{72}{7}. Tính T=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.

    Hướng dẫn:

    Mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) nên có phương trình là:

    \frac{x}{a} +\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

    Ta có M(\frac 1 7; \frac 2 7 ; \frac 3 7) \in (ABC) nên \frac{1}{a} +\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7.

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=\sqrt \frac{72}{7}.

    (ABC) tiếp xúc với  (S)

    \Leftrightarrow d(I, (ABC))=R\Leftrightarrow \dfrac { | \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}-1 |}{\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}}=\sqrt{\frac{72}{7} }

    \Leftrightarrow \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}= \dfrac{7}{2}

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức P

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 27. Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;0; - 4),B(2;0;0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S) và đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết rằng (\alpha):ax + by - z + c = 0. Tính P = a - b + c

    Hướng dẫn:

    Gọi H là tâm đường tròn (C) bán kính r, I là tâm mặt cầu bán kính R. Đặt IH = h.

    Ta có r^{2} = R^{2} - h^{2} và thể tích khối nón đỉnh I là V = \frac{1}{3}h\pi r^{2} = \frac{1}{3}\pi h(R^{2} - h^{2}).

    Suy ra maxV = \frac{2R^{3}\pi\sqrt{3}}{27} = 18\pi \Leftrightarrow h = \frac{R}{\sqrt{3}} = 3.

    Mặt phẳng (\alpha):ax + by - z + c = 0 đi qua hai điểm A, B nên ta có:

    \left\{ \begin{matrix} 4 + c = 0 \\ 2a + c = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = - 4 \\ a = 2 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow (\alpha):2x + by - z - 4 = 0, do đó h = d(I,(\alpha)) = \frac{|2b + 5|}{\sqrt{5 + b^{2}}} = 3 \Rightarrow b = 2

    Vậy P = a - b + c = - 4.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tìm tập hợp các điểm M

    Cho mặt cầu (S): {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A\left( { - 6, - 1,3} ight). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động qua (d). Tìm tập hợp các điểm M.

    (Có thể chọn nhiều đáp án)

    Hướng dẫn:

     Theo đề bài, (S) có tâm I\left( {2, - 3,1} ight).\,\overrightarrow {IM} = \left( {x - 2,y + 3,z + 1} ight);\,\,\overrightarrow {AM} = \left( {x + 6,y + 1,z - 3} ight)

    Ta có:

    \begin{array}{l}\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2} ight)\left( {x + 6} ight) + \left( {y + 3} ight)\left( {y + 1} ight) + \left( {z + 1} ight)\left( {z - 3} ight) = 0\\ \Rightarrow M \in \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 4y - 3z - 12 = 0;\,\,M \in \left( S ight)\end{array}

    \Rightarrow M \in  đường tròn  \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0\\4x - y - 2z - 5 = 0\end{array} ight.

    Hay \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 4y - 2z - 12 = 0\\4x - y - 2z - 5 = 0\end{array} ight.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tìm tập hợp tất cả các điểm M

    Cho ba điểm A(1,0,1);\ \ B(2, - 1,0);\ \ C(0, - 3, - 1). Tìm tập hợp các điểm M(x,y,z) thỏa mãn AM^{2} - BM^{2} = CM^{2}

    Hướng dẫn:

    Theo bài ra ta có:

    AM^{2} - BM^{2} = CM^{2}

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2}- (x - 2)^{2} - (y + 1)^{2} - z^{2}= x^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 1)^{2}

    \Leftrightarrow Mặt cầu: x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 8y + 4z + 13 = 0

  • Câu 10: Vận dụng
    Xác định tổng các phần tử tập hợp T

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 4 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = t \\ z = m - 1 + t \end{matrix} \right.. Gọi T là tập tất cả các giá trị của m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp diện của (S) tại A và B tạo với nhau góc lớn nhất. Tính tổng các phần tử của tập hợp T.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;0; - 2) và bán kính R = 2.

    Góc giữa hai mặt phẳng lớn nhất bằng 90^{o}, do đó IAMB tạo thành hình vuông. Suy ra IH = d(I,d) = \frac{R}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.

    IH^{2} = ( - 1)^{2} + 0^{2} + ( - 1 - m)^{2} - \frac{(1 + 0 - 1 - m)^{2}}{3} = 2

    \Leftrightarrow m^{2} + 2m + 2 - \frac{m^{2}}{3} = 2

    \Leftrightarrow 2m^{2} + 6m = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = - 3 \end{matrix} \right. .

    Vậy tổng các phần tử của tập hợp T bằng - 3.

  • Câu 11: Vận dụng
    Tính bán kính

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Cạnh bên , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:

    Hướng dẫn:

    Tính bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra SM \bot \left( {ABC} ight) \Rightarrow SM \bot AC.

    Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

    Ta có AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2, suy ra tam giác SAC đều.

    Gọi G là trọng tâm \triangle SAC , suy ra GS = GA = GC.    (1)

    Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Lại có SM \bot \left( {ABC} ight) nên SM là trục của tam giác ABC.

    Mà G thuộc SM nên suy ra GA = GB = GC.

    Từ (1) và (2), suy ra GS = GA = GB = GC hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

    Bán kính mặt cầu R = GS = \frac{2}{3}SM = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.

  • Câu 12: Thông hiểu
    Tính chu vi đường tròn

    Đường tròn giao tuyến của (S):(x - 1)^{2}+ (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 khi cắt bởi mặt phẳng (Oxy) có chu vi bằng :

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) tâm I(1;2;3), bán kính R = 4.

    Ta có : d\left( I;(Oxy) \right) = \left| z_{I} \right| = 3.

    Gọi r là bán kính đường tròn (C) giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (Oxy), ta suy ra :

    r = \sqrt{R^{2} - \left\lbrack d\left( I;(Oxy) \right) \right\rbrack^{2}} = \sqrt{7}.

    Vậy chu vi (C) bằng: 2\sqrt{7} \pi.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( - 1;0;0) và B(2;3;4). Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \left( S_{1} \right):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 4 và \left( S_{2} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2y - 2 = 0. Xét M, N là hai điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) sao cho MN = 1. Giá trị nhỏ nhất của AM + BN bằng

    Hướng dẫn:

    Trừ các vế mặt cầu thì phương trình (P):x = 0 hay là (Oyz). Gọi H(0;0;0), K(0;3;4) là hình chiếu của A,B trên (P) và M,N thuộc đoạn HK, với HK = 5.

    Đặt HM = t \Rightarrow KN = 5 - 1 - t = 4 - t.

    Khi đó AM + BN = \sqrt{1^{2} + t^{2}} + \sqrt{2^{2} + (4 - t)^{2}}.

    Áp dụng BĐT Mincopxki, ta có: AM + BN \geq \sqrt{(1 + 2)^{2} + (t + 4 - t)^{2}} = 5.

    Đẳng thức có khi \frac{4 - t}{t} = \frac{2}{1} \Leftrightarrow t = \frac{4}{3}.

  • Câu 14: Vận dụng
    Xác định tọa độ tâm I

    Cho tứ diện ABCD có A(3,6, - 2);B(6,0,1);C( - 1,2,0);D(0,4,1). Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ:

    Hướng dẫn:

    Gọi I(x,y,z) là tâm cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ BI^{2} = CI^{2} \\ CI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 2)^{2} = (x - 6)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} \\ (x - 6)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\ (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = x^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 1)^{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6x - 12y + 6z = - 12 \\ - 14x + 4y - 2z = - 32 \\ 2x + 4y + 2z = 12 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2y + z = - 2 \\ 7x - 2y + z = 16 \\ x + 2y + z = 6 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(3,2, - 1)

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 2)^2 = 9 hai hai điểm M(4; −4; 2),N(6; 0; 6). Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM + EN đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.

    Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:

    (EM + EN)^{2} \leq 2\left( EM^{2} + EN^{2} ight) = 2\left( 2EP^{2} + \frac{MN^{2}}{2} ight)

    nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.

    Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:

    \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}

    Tọa độ E thỏa hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 \\\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z - 2}{1} \\\end{matrix} ight.

    Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).

    Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là 2x−2y+z+9 = 0.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Vị trí tương đối của 2 mặt cầu

    Cho hai mặt cầu sau:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0

    Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?

    Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

    Đáp án là:

    Cho hai mặt cầu sau:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0

    Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?

    Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

     Theo đề bài, ta suy ra các hệ số, tâm và bán kính của (S):

    \left( S ight):a = 2;\,\,b = - 3;\,\,c = 5;\,\,d = - 11 \Rightarrow Tâm I\left( {2, - 3,5} ight); bán kính R=7

    \left( {S'} ight) = a' = 1;\,\,b' = - 1;\,c' = 3;\,\,d' = - 5 \Rightarrow Tâm J\left( {1, - 1,3} ight); bán kính R'=4

    I{J^2} = {\left( {1 - 2} ight)^2} + {\left( { - 1 + 3} ight)^2} + {\left( {3 - 5} ight)^2} = 9 \Rightarrow IJ = 3 = R - R'

    (S) và (S') tiếp xúc trong.

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tính R

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 8 và hai điểm A(4;4;3), B(1;1;1). Gọi (C) là tập hợp các điểm M \in (S) để |MA - 2MB| đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng (C) là một đường tròn bán kính R. Tính R.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(0;0;3) và bán kính r = 2\sqrt{2}. Tính \overrightarrow{IA} = (4;4;0).

    Ta có AM^{2} = \left( \overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IA} \right)^{2} = IM^{2} + IA^{2} - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IA} = 40 - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IA}.

    Đặt \overrightarrow{IA} = 4\overrightarrow{IC} \Leftrightarrow \overrightarrow{IC} = \frac{1}{4}(4;4;0) = (1;1;0) \Leftrightarrow C(1;1;3).

    Khi đó điểm C nằm trong mặt cầu và AM^{2} = 40 - 8\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IC} = 4\left( 8 + 2 - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IC} \right) = 4CM^{2} \Leftrightarrow MA = 2MC.

    Suy ra |MA - 2MB| = 2|MC - MB| \geq 0.

    Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow MC = MB hay M thuộc mặt phẳng trung trực của BC, có phương trình (P): 2z = 4 \Leftrightarrow (P):z - 2 = 0.

    Vậy M thuộc (C) = (P) \cap (S).

    Ta có d\left( I,(P) \right) = h = 1, nênR = \sqrt{r^{2} - h^{2}} = \sqrt{7}.

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian Oxyz cho đường tròn (C):\left\{ \begin{matrix} x^2 + y^2+ z^{2} - 2x - 4y - 6z - 67 = 0 \\ 2x - 2y + z + 5 = 0 \\ \end{matrix} \right.. Bán kính r của (C) bằng:

    Hướng dẫn:

    Viết lại phương trình mặt cầu (S) chứa (C) :

    (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81.

    Để biết tâm I(1,2,3) và bán kính R = 9 .

    \Rightarrow Bán kính của (C) là :r = \sqrt{81 - 4} = \sqrt{77} (do khoảng cách từ I đến mặt phẳng chứa (C) là h = \frac{|2.1 - 2.2 + 3 + 5|}{\sqrt{2^{2} + ( - 2)^{2} + 1^{2}}} = 2) .

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 16 và điểm A(1;2;3). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

    Hướng dẫn:

    Cách 1:

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P),(Q),(R) .

    Với điểm I bất kỳ, hạ II_{1};II_{2};II_{3} lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng (P),(Q),(R) thì ta luôn có: IA^{2} = I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2}\ \ \ (1).

    Thật vậy, ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz vớiO \equiv A, ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng (P),(Q),(R).

    Khi đó tọa độ I(a;b;c) thì:

    IA^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}\left( A;(Iyz) \right) + d^{2}\left( A;(Ixz) \right) + d^{2}\left( A;(Ixy) \right)

    hay IA^{2} = I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2}.

    Vậy (1) được chứng minh.

    Áp dụng giải bài :

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 1;2) và có bán kính r = 4.

    \overrightarrow{IA}(0;3;1) \Rightarrow IA = \sqrt{10}.

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P),(Q),(R) và cắt mặt cầu (S) theo ba đường tròn lần lượt là: \left( C_{1} \right),\left( C_{2} \right),\left( C_{3} \right)

    Gọi I_{1};I_{2};I_{3} và r_{1};r_{2};r_{3} lần lượt là tâm và bán kính của \left( C_{1} \right),\left( C_{2} \right),\left( C_{3} \right)

    Khi đó: II_{1}\bot(P) \Leftrightarrow I{I_{1}}^{2} + {r_{1}}^{2} = r^{2} \Leftrightarrow {r_{1}}^{2} = r^{2} - I{I_{1}}^{2}.

    Tương tự có: {r_{2}}^{2} = r^{2} - I{I_{2}}^{2};{r_{3}}^{2} = r^{2} - I{I_{3}}^{2}.

    Theo nhận xét ở trên ta có: IA^{2} = I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2}

    Ta có tổng diện tích các đường tròn là :

    S = \pi\left( {r_{1}}^{2} + {r_{2}}^{2} + {r_{3}}^{2} \right) = \pi\left( r^{2} - I{I_{1}}^{2} + r^{2} - I{I_{2}}^{2} + r^{2} - I{I_{3}}^{2} \right)

    = \pi\left\lbrack 3r^{2} - \left( I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2} \right) \right\rbrack

    = \pi\left( 3r^{2} - IA^{2} \right) = 38\pi.

    Cách 2:

    Đặt biệt hóa: Giả sử có 3 đường tròn \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right),\left( S_{3} \right); như hình bên trong đó \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right) đều là đường tròn lớn có bán kính là 4.

    I(1; - 1;2),A(1;2;3) suy ra IA = \sqrt{10};R = 4.

    Suy ra bán kính hình tròn \left( S_{3} \right) là r = \sqrt{16 - 10} = \sqrt{6}

    Tổng diện tích các hình tròn là: \pi.4^{2} + \pi.4^{2} + \pi.\left( \sqrt{6} \right)^{2} = 38\pi.

  • Câu 20: Vận dụng
    Viết phương trình mặt cầu (S’)

    Cho mặt cầu (S):\ \ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 6z - 5 = 0 và mặt phẳng (P):\ x - 2y + 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S’) có bán kính nhỏ nhất chứa giao tuyến (C) của (S) và (P).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (S'):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y+ 6z - 5 + m(x - 2y + 2z + 3) = 0

    \Leftrightarrow (S'):x^{2} + y^{2} + z^{2} +(m + 2)x - 2(m + 1)y + 2(m + 3)z + 3m - 5 = 0

    (S') có bán kính nhỏ nhất \Leftrightarrow Tâm H\left( - \frac{m + 2}{2},m + 1, - m - 3 \right) \in (P)

    \Leftrightarrow - \frac{m + 2}{2} - 2(m + 1) + 2( - m - 3) + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}

    Vậy (S'):x^{2} + y^{2} + = z^{2} + \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}y + \frac{10}{3}z - 9 = 0

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
28 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này