Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 17 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3),B(6;5;5). Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rẳng (P):2x + by + cz + d = 0 với b;c;d\mathbb{\in Z}. Tính S = b +c + d.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{AB} = (4;4;2) = 2(2;2;1), \overrightarrow{AB} là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2x + 2y + z + d = 0.

    Gọi I là tâm mặt cầu thì I là trung điểm của AB suy ra I(4;3;4), bán kính mặt cầu R = \frac{AB}{2} = 3.

    Đặt IH = x suy ra HK = \sqrt{R^{2} - x^{2}} = \sqrt{9 - x^{2}}.

    Thể tích khối nón

    V = \frac{1}{3}IH.\pi.HK^{2} = \frac{1}{3}.\pi.\left( 9 - x^{2} \right)(3 + x)

    = \frac{1}{6}.\pi.(6 - 2x)(3 + x)(3 + x) \leq \frac{1}{6}.\pi\left( \frac{6 + 3 + 3}{3} \right)^{3}.

    Dấu bằng xảy ra khi 6 - 2x = 3 + x \Leftrightarrow x = 1.

    Ta có hệ: \left\{ \begin{matrix}d\left( A;(P) \right) = 4 \\d\left( I;(P) \right) = 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{|d + 9|}{3} = 4 \\\frac{|d + 18|}{3} = 1\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} d = 3 \hfill \\ d = - 21 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left[ \begin{gathered} d = - 21 \hfill \\ d = - 15 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow d = - 21

    Vậy (P):2x + 2y + z -21 =0.

    Suy ra: b + c + d = - 18.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức T

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; - 2;6),B(0;1;0) và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25. Mặt phẳng (P):ax + by + cz - 2 = 0 đi qua A,B và cắt (S) theo giao tuyến là hình tròn có bán kinh nhỏ nhất. Tính T = a + b + c?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R = 5.

    Mặt phẳng (P) có vtpt \overrightarrow{n_{p}} = (a;b;c);\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0 \right).

    Do B(0;1;0) \in (P):b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 2.

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 3;3; - 6) = - 3(1; - 1;2), phương trình đường thẳng AB:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)

    Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến, K là hình chiếu của I trên AB, H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).

    Ta có: K \in AB \Rightarrow K(t;1 - t;2t)

    \Rightarrow \overrightarrow{IK} = (t - 1; - t - 1;2t - 3)

    IK\bot AB \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{IK} = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow{IK} = (0; - 2; - 1)

    r = \sqrt{R^{2} - d^{2}\left( I;(P) \right)} = \sqrt{25 - d^{2}\left( I;(P) \right)} = \sqrt{25 - IH^{2}}

    Ta có: r đạt min thì IH đạt max.

    Mà IH \leq IK \Rightarrow IH_{\min} \Leftrightarrow H \equiv K \Rightarrow (P)\bot IK \Rightarrow\overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{IK} cùng phương

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{P}} = k.\overrightarrow{IK} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = - 2k = 2 \\ c = - k \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ k = - 1 \\ b = 2 \\ c = 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 2 \\ c = 1 \end{matrix} \right.

  • Câu 3: Vận dụng
    Xác định phương trình mặt cầu

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG}trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( S_{3} \right) tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương.

    Hướng dẫn:

    \left( S_{2} \right) tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương tại trung điểm của mỗi cạnh. Tâm I\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) là trung điểm của 6 đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đôi một có độ dài bằng \sqrt{2}

    Bán kính R_{3} =\frac{\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow \left( S_{2} \right):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left( S_{3} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{4} = 0

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 4z = 0 và điểmM(1;2; - 1). Một đường thẳng thay đổi qua M cắt (S) tại hai điểm A; B. Tìm giá trị lớn nhất của tổng MA + MB.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 2; - 2) và bán kính R = 3. Trong khi IM = \sqrt{17} > 3 nên M nằm ngoài hình cầu (S).

    Gọi H là trung điểm của AB, có M nằm trên đường AB và nằm ngoài đoạn AB nên có MA + MB = 2MH.

    Mặt khác, tam giác IHM vuông tại H nên HM \leq MI. Vậy MA + MB \leq 2\sqrt{17}.

    Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng qua M và tâm I của mặt cầu, tức AB lúc này là đường kính của mặt cầu.

    Vậy giá trị lớn nhất của tổng MA + MB là 2\sqrt{17}.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tìm tập hợp tất cả các điểm M

    Cho ba điểm A(1,0,1);\ \ B(2, - 1,0);\ \ C(0, - 3, - 1). Tìm tập hợp các điểm M(x,y,z) thỏa mãn AM^{2} - BM^{2} = CM^{2}

    Hướng dẫn:

    Theo bài ra ta có:

    AM^{2} - BM^{2} = CM^{2}

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2}- (x - 2)^{2} - (y + 1)^{2} - z^{2}= x^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 1)^{2}

    \Leftrightarrow Mặt cầu: x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 8y + 4z + 13 = 0

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; 3) , B (6; 5; 5). Gọi (S) là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng (P) : 2x + by + cz + d = 0 với b, c, d ∈ \mathbb{Z}. Tính giá trị T = b − c + d.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (4;4;2) mà \overrightarrow{AB}\bot(P) nên \frac{2}{4} = \frac{b}{4} = \frac{c}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.

    Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).

    Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên (S) có I(4;3;4);R = \frac{AB}{2} = 3

    Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.

    Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức

    Ta có:

    V = \frac{1}{3}\pi r^{2}AH = \frac{1}{3}\pi r^{2}(R + IH)

    = \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( R + \sqrt{R^{2} - r^{2}} ight)

    = \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}} ight)

    Đặt f(r) = 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}};r \in (0;3brack

    \Rightarrow f'(r) = r\left( 6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \frac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} ight)

    \Rightarrow f'(r) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}r = 0(ktm) \\6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \dfrac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 2\sqrt{9 - r^{2}} = r^{2} - 6;\left( r^{2} \geq 6 ight)

    \Leftrightarrow r^{4} - 8r^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = 0(L) \\ r^{2} = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = - 2\sqrt{2}(L) \\ r = 2\sqrt{2}(tm) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow HI = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 1

    \Rightarrow \frac{AH}{AI} = \frac{AI + HI}{AI} = \frac{R + HI}{R} = \frac{4}{3}

    \Rightarrow AH = \frac{4}{3}AI \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AI} \Rightarrow H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight)

    Mà H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight) \in (P):2x + 2y + z + d = 0 \Rightarrow d = - 21

    Vậy T = b − c + d = −20.

  • Câu 7: Vận dụng
    Xác định tọa độ tâm I

    Cho tứ diện ABCD có A(3,6, - 2);B(6,0,1);C( - 1,2,0);D(0,4,1). Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ:

    Hướng dẫn:

    Gọi I(x,y,z) là tâm cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ BI^{2} = CI^{2} \\ CI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 2)^{2} = (x - 6)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} \\ (x - 6)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\ (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = x^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 1)^{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6x - 12y + 6z = - 12 \\ - 14x + 4y - 2z = - 32 \\ 2x + 4y + 2z = 12 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2y + z = - 2 \\ 7x - 2y + z = 16 \\ x + 2y + z = 6 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(3,2, - 1)

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính bán kính

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Cạnh bên , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:

    Hướng dẫn:

    Tính bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra SM \bot \left( {ABC} ight) \Rightarrow SM \bot AC.

    Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

    Ta có AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2, suy ra tam giác SAC đều.

    Gọi G là trọng tâm \triangle SAC , suy ra GS = GA = GC.    (1)

    Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Lại có SM \bot \left( {ABC} ight) nên SM là trục của tam giác ABC.

    Mà G thuộc SM nên suy ra GA = GB = GC.

    Từ (1) và (2), suy ra GS = GA = GB = GC hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

    Bán kính mặt cầu R = GS = \frac{2}{3}SM = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện

    Cho hai điểm A(2, - 3, - 1);\ \ \ B( - 4,5, - 3). Tìm tập hợp các điểm M(x,y,z) sao cho \widehat{AMB} = 90^{o}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \overrightarrow{AM} = (x - 2,y + 3,z + 1);\ \ \overrightarrow{BM} = (x + 4,y - 5,z + 3)

    \widehat{AMB} = 90^{o} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)(x + 4) + (y + 3)(y - 5) + (z + 1)(z + 3) = 0

    \Leftrightarrow Mặt cầu x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 4z - 20 = 0

  • Câu 10: Vận dụng
    Viết phương trình mặt cầu

    Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình (P):x - 2y + z - 1 = 0 và (Q):2x + y - z + 3 = 0. Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ x_{M} = 1, có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Vì M \in (Oxy) và có hoành độ bằng 1 nên M(1;y;0).

    Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Q) nên M \in (Q) \Rightarrow M(1; - 5;0).

    Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.

    Ta có (S) tiếp xúc với mp (Q) tại M nên IM\bot(Q).

    Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2;1; - 1).

    Ta có: IM\bot(Q)\Leftrightarrow \overrightarrow{MI} = t\overrightarrow{n},\ \left( t\mathbb{\in R} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 + 2t \\ b = -5 + t \\ c = - t \\ \end{matrix} \right.

    I \in (P) \Leftrightarrow 1 + 2t - 2( - 5 + t) - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 10 \Rightarrow I(21;5; - 10).

    Bán kính mặt cầu R = d\left( I;(Q) \right) = 10\sqrt{6}.

    Vậy phương trình mặt cầu (S):(x - 21)^{2}+ (y - 5)^{2} + (z + 10)^{2} = 600.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Phương trình mặt cầu có tâm I\left( 3;\sqrt{3}; - 7 \right) và tiếp xúc trục tung là:

    Hướng dẫn:

    Gọi H là hình chiếu của I\left( 3;\sqrt{3}; - 7 \right) trên Oy

    \Rightarrow H\left( 0;\sqrt{3};0 \right) \Rightarrow R = IH = \sqrt{58}

    Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 3)^{2}+ \left( y - \sqrt{3} \right)^{2} + (z + 7)^{2} = 58.

  • Câu 12: Vận dụng
    Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn biểu thức

    Cho tứ diện ABCD có A(1,2,3);\ \ \ B(0,0,3);\ \ \ C(0,2,0);\ \ \ D(1,0,0).Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn \left| \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{DM} \right| = 8

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left| \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{DM} \right|= \left| 4\left( x - \frac{1}{2} \right);4(y - 1);4\left( z - \frac{3}{2} \right) \right| = 8

    \Rightarrow 16\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + 16(y - 1)^{2} + 16\left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = 64

    Mặt cầu (S):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + (y - 1)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = 4

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(2,0,1);\ \ \ B(1,3,2);\ \ \ C(3,2,0) có tâm nằm trong mặt phẳng (xOy)

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by + d = 0 vì tâm I \in (xOy) \Rightarrow c = 0

    A,\ B,\ C \in (S)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 4a - d = 5 \\ 2a + 6b - d = 14 \\ 6a + 4b - d = 13 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 6b = - 9 \\ 2a + 4b = 8 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow a = \frac{3}{5};\ \ b = \frac{17}{10};\ \ c = 0;\ \ d = - \frac{13}{5}

    \Rightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{6x}{5} - \frac{17y}{5} - \frac{13}{5} = 0

  • Câu 14: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường tròn (C):\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 12x + 4y - 6z - 24 = 0 \\ 2x + 2y + z + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.. Tâm H của (C) là điểm có tọa độ:

    Hướng dẫn:

    Viết lại phương trình mặt cầu (S) chứa (C):

    (x - 6)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25

    để biết tâm I(6, - 2,3) và R = 5 .

    Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng chứa

    (C):\left\{ \begin{matrix} x = 6 + 2t \\ y = - 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.

    Thế vào phương trình mặt phẳng thiết diện:

    2(6 + 2t) + 2( - 2 + 2t) + 3 + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{4}{3} .

    \Rightarrow H\left( \frac{10}{3}, -\frac{14}{3},\frac{5}{3} \right) .

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian Oxyz cho đường tròn (C):\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 = 0 \\ x + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    (C) có tâm H và bán kính r bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    h = \frac{|0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{2}

    r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} = \sqrt{4 - 2} = 2.

    Đường thẳng qua tâm của (S) và vuông góc với mặt phẳng thiết diện có phương trình tham số:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = t \\ \end{matrix} \right.

    Thế vào phương trình mặt phẳng thiết diện được t = 1 \Rightarrow Tâm H(1,0,1) .

  • Câu 16: Thông hiểu
    Xác định bán cầu mặt cầu ngoại tiếp tứ giác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 1;0;0),B(0;0;2),C(0; - 3;0). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

    Hướng dẫn:

    Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

    Phương trình mặt cầu (S) có dạng x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

    Vì O;A;B;C \in (S) nên ta có: \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ 1 + 2a + d = 0 \\ 4 - 4c + d = 0 \\ 9 + 6b + d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ a = - \frac{1}{2} \\ b = - \frac{3}{2} \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy bán kính mặt cầu (S) là:

    R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \frac{\sqrt{14}}{2}

  • Câu 17: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;2;1),N\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OMN và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)?

    Hướng dẫn:

    Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN

    Ta áp dụng tính chất sau: “Cho tam giác OMN với I là tâm đường tròn nội tiếp, khi đó ta có: a.\overrightarrow{IO} + b.\overrightarrow{IM} + c.\overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0} với a = MN,b = ON,c = OM”

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}OM = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3 \\ON = \sqrt{\left( - \dfrac{8}{3} ight)^{2} + \left( \dfrac{4}{3}ight)^{2} + \left( \dfrac{8}{3} ight)^{2}} = 4 \\MN = \sqrt{\left( - \dfrac{8}{3} - 2 ight)^{2} + \left( \dfrac{4}{3} - 2ight)^{2} + \left( \dfrac{8}{3} - 1 ight)^{2}} = 5 \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    5.\overrightarrow{IO} + 4.\overrightarrow{IM} + 3.\overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \dfrac{8}{3} ight)}{3 + 4 + 5} = 0\\y_{I} = \dfrac{5.0 + 4.2 + 3.\left( \dfrac{4}{3} ight)}{3 + 4 + 5} = 1\\z_{I} = \dfrac{5.0 + 4.2 + 3.\left( \dfrac{8}{3} ight)}{3 + 4 + 5} = 1\\\end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0

    Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) nên mặt cầu có bán kính R = d\left( I;(Oxz) ight) = 1

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1.

  • Câu 18: Vận dụng
    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −1; 2) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9. Mặt phẳng đi qua M cắt S theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (S) có bán kính R = 3 và tâm I(0; 0; 0), IM = \sqrt{6} < 3 nên I nằm trong hình cầu (S).

    Gọi r là bán kính của đường tròn, (P) là mặt phẳng qua M, ta có:

    r^{2} = R^{2} - d^{2}\left( I;(P) ight) = 9 - d^{2}\left( I;(P) ight) \geq 9 - IM^{2} = 3

    Suy ra bán kính r_{\min} = \sqrt{3} khi \overrightarrow{IM} là vectơ pháp tuyến của (P).

    Vậy phương trình của mặt phẳng (P): (x − 1) − (y + 1) + 2(z − 2) = 0⇔ x − y + 2z − 6 = 0.

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S

    Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 2z - 3 = 0 và điểm A(5;3; - 2). Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M,N. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = AM + 4AN.

    Hướng dẫn:

    Tâm I(2; - 1;1) và bán kính mặt cầu R = 3

    AI = \sqrt{(2 - 5)^{2} + ( - 1 - 3)^{2} + (1 + 2)^{2}} = \sqrt{34}

    Gía trị nhỏ nhất xảy ra trong trường hợp AM > AN

    Đặt AN = x \Rightarrow \sqrt{34} - 3 \leq x < 5

    AM.AN = 25 \Rightarrow AM = \frac{25}{x}

    S = 4AM + AN = 4x + \frac{25}{x} = f(x)

    Xét f(x) = 4x + \frac{25}{x} trên \left\lbrack \sqrt{34} - 3;5 \right)

    f'(x) = 4 + \frac{25}{x^{2}} = \frac{4x^{2} - 25}{x^{2}} > 0;\forall x \in \left\lbrack \sqrt{34} - 3;5 \right)

    \Rightarrow S_{\min} khi x = \sqrt{34} - 3

    S_{\min} = 4\left( \sqrt{34} - 3 \right) + \frac{25}{\sqrt{34} - 3} = 5\sqrt{34} - 9

    Vậy GTNN S_{\min} = 5\sqrt{34} - 9 khi x = \sqrt{34} - 3.

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 13}{- 1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{4} và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 67 = 0. Qua d dựng các mặt phẳng tiếp xúc với (S) lần lượt tại T_{1};T_{2}. Viết phương trình đường thẳng T_{1}T_{2}.

    Hướng dẫn:

    Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R = 3.

    Đường thẳng d đi qua điểm A(13; - 1;0), có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}( - 1;1;4).

    Mặt phẳng (P) chứa d có dạng (P):A(x - 13) + B(y + 1) + Cz = 0 ,\left( A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0 \right)

    Do d \subset (P) nên ta có - 1.A + 1.B + 4.C = 0 \Leftrightarrow B = A - 4C.

    Ta có điều kiện tiếp xúc: R = d\left( I;(P) \right) \Leftrightarrow 9 = \frac{| - 12A + 3B + 3C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

    \Leftrightarrow 9 = \frac{|9A + 9C|}{\sqrt{2A^{2} + 17B^{2} - 8AC^{2}}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A = 2C \\ A = 8C \end{matrix} \right.

    Suy ra hai mặt phẳng tiếp diện là \left( P_{1} \right):2x - 2y + z - 28 = 0, \left( P_{2} \right):8x + 4y + z - 100 = 0.

    Suy ra tọa độ các tiếp điểm T_{1}(7; - 4;6),T_{2}(9;6;4) \Rightarrow T_{1}T_{2}:\frac{x - 7}{1} = \frac{y + 4}{5} = \frac{z - 6}{- 1}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
15 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Xem thêm