Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 17 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức P

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 27. Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;0; - 4),B(2;0;0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S) và đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết rằng (\alpha):ax + by - z + c = 0. Tính P = a - b + c

    Hướng dẫn:

    Gọi H là tâm đường tròn (C) bán kính r, I là tâm mặt cầu bán kính R. Đặt IH = h.

    Ta có r^{2} = R^{2} - h^{2} và thể tích khối nón đỉnh I là V = \frac{1}{3}h\pi r^{2} = \frac{1}{3}\pi h(R^{2} - h^{2}).

    Suy ra maxV = \frac{2R^{3}\pi\sqrt{3}}{27} = 18\pi \Leftrightarrow h = \frac{R}{\sqrt{3}} = 3.

    Mặt phẳng (\alpha):ax + by - z + c = 0 đi qua hai điểm A, B nên ta có:

    \left\{ \begin{matrix} 4 + c = 0 \\ 2a + c = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = - 4 \\ a = 2 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow (\alpha):2x + by - z - 4 = 0, do đó h = d(I,(\alpha)) = \frac{|2b + 5|}{\sqrt{5 + b^{2}}} = 3 \Rightarrow b = 2

    Vậy P = a - b + c = - 4.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tìm tập hợp tất cả các điểm M

    Cho ba điểm A(1,0,1);\ \ B(2, - 1,0);\ \ C(0, - 3, - 1). Tìm tập hợp các điểm M(x,y,z) thỏa mãn AM^{2} - BM^{2} = CM^{2}

    Hướng dẫn:

    Theo bài ra ta có:

    AM^{2} - BM^{2} = CM^{2}

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2}- (x - 2)^{2} - (y + 1)^{2} - z^{2}= x^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 1)^{2}

    \Leftrightarrow Mặt cầu: x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 8y + 4z + 13 = 0

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm số phần bằng nhau

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG} trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Sáu mặt phẳng x - y = 0;\ \ y - z = 0;z - x = 0; x + y = 1;\ \ y + z = 1;\ \ z + x = 1 chia hình lập phương thành bao nhiêu phân bằng nhau?

    Hướng dẫn:

     

  • Câu 4: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Cho x,y,z,\ a,b,c là các số thực thay đổi thỏa mãn (x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1 và a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP = (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2}.

    Hướng dẫn:

    Cách 2. Quỹ tích - Vị trí tương đối.

    Trong không gian Oxyz, xét M(x\ ;\ y\ ;\ z) \in (S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1 và điểm N(a\ ;\ b\ ;\ c) \in (\alpha):x + y + z - 3 = 0.

    Khi đó P = (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = NM^{2}.

    Gọi I( - 1\ ;\ - 1\ ;\ 2) là tâm mặt cầu, ta có d\left( I,(\alpha) \right) = \sqrt{3} > R = 1, suy ra \min MN = \sqrt{3} - 1 và do đó \min P = \left( \sqrt{3} - 1 \right)^{2} = 4 - 2\sqrt{3}.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tính tổng

    Trong không gian cho ba điểm A(3;0;0), B(1;2;1) và C(2;-1;2). Biết mặt

    phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10;a;b). Tổng a+b là?

    Gợi ý:

    Áp dụng phương pháp tìm tọa độ tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện.

    Hướng dẫn:

     Phương trình (OAB) là: -y+2z=0.

    Phương trình (OAC) là:2y+z=0.

    Phương trình (OBC) là: x-z=0.

    Phương trình (ABC) là: 5x+3y+4z-15=0 .

    Gọi I(a';b';c') là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.

    Do đó:

    I nằm cùng phía với A đối với (OBC) suy ra: (a'-c')>0.

    I nằm cùng phía với B đối với (OAC) suy ra: (2b'+c')>0.

    I nằm cùng phía với C đối với (OAB) suy ra: (-b'+2c')>0.

    I nằm cùng phía với O đối với (ABC) suy ra: (5a'+3b'+4c'-15)<0.

    Suy ra:

    \left\{\begin{matrix} d(I,(OAB))=d(I,(OAC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(OBC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(ABC)) \end{matrix}ight.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|2b'+c'|}{\sqrt 5} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|a'-c'|}{\sqrt 2} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|5a'+3b'+4c'-15|}{5\sqrt 2} \end{matrix}ight.

     

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |-b'+2c'|= |2b'+c'| \\ \sqrt 2{|-b'+2c'|}= \sqrt 5|a'-c'|\\ \sqrt 10{|-b'+2c'|}= |5a'+3b'+4c'-15| \end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -b'+2c'= 2b'+c' \\ \sqrt 2{(-b'+2c')}= \sqrt 5(a'-c')\\ \sqrt 10{(-b'+2c')}= -(5a'+3b'+4c'-15)\end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a'=\dfrac{3}{ 2} \\ -b'=\dfrac{3 \sqrt 10 -9}{2} \\ c'=\dfrac{9 \sqrt 10 -27}{ 2} \end{matrix}ight.

    Suy ra:  I (\frac {3}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -9}{2}; \frac {9\sqrt{10} -27}{2}), \Rightarrow \overrightarrow {BI}= (\frac {1}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -13}{2}; \frac {9\sqrt{10} -29}{2}) ; \,\, \overrightarrow {BC}= (1;-3;1)

    \Rightarrow [\overrightarrow {BI}, \overrightarrow {BC}]= (-50+15 \sqrt{10} ; \frac {9\sqrt{10} -30}{2}; \frac {-3\sqrt{10} +10}{2})

    cùng phương với \vec n =(10;3;-1).

    Suy ra (BCI) có một VTPT là \vec n =(10;3;-1) =(10; a; b).

    Vậy: a+b=2.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thuộc mặt cầu (S):(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 và ba điểm A(1;0;0),B(2;1;3),C(0;2; - 3). Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn MA^{2} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = 8 là đường tròn cố định, tính bán kính đường tròn này.

    Hướng dẫn:

    (S) có tâm I(3;3;2) bán kính R_{1} = 3.

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó tọa độ G(1;1;0).

    \overrightarrow{GA} = (0; - 1;0);\overrightarrow{GB} = (1;0;3);\overrightarrow{GC} = ( - 1;1; - 3).

    MA^{2} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = 8

    \Leftrightarrow 3MG^{2} + GA^{2} + 2\overrightarrow{MB}\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} \right) + 2\overrightarrow{GB}\overrightarrow{GC} = 8

    \Leftrightarrow 3MG^{2} + 1 - 20 = 8 \Leftrightarrow MG = 3.

    Do đó, M nằm trên mặt cầu \left( S_{1} \right) tâm G bán kính R_{2} = 3 có phương trình (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 9.

    Vì IG = 2\sqrt{3} < R_{1} + R_{2} nên hai mặt cầu cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn tâm H, bán kính r, nằm trên mặt phẳng x + y + z - 5 = 0.

    Từ đó suy ra r = \sqrt{R^{2} -d^2\left( I;(P) \right)} = \sqrt{6}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Viết phương trình mặt cầu (S)

    Trong không gian Oxyz, cho A(5; 0; 0), B(1; 2; −4), C(4; 3; 0) và mặt phẳng (α): x + 2y + 2z − 10 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và tiếp xúc mặt phẳng (α).

    Hướng dẫn:

    Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu cần tìm.

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AI = IB \\ AI = CI \\ AI = d\left( I;(\alpha) ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} +(z + 4)^{2}} \\\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} +z^{2}} \\\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \dfrac{|x + 2y + 2z -10|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y + 2z = 1 \\ x - 3y = 0 \\ 3\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = |x + 2y + 2z - 10| \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3y \\z = \dfrac{- 5y + 1}{2} \\65y^{2} - 130y + 65 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = 1 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Vậy phương trình mặt cầu tâm I(3; 1; −2) bán kính R = AI = 3 là (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 9.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2), mặt phẳng (α): x−y +z −4 = 0 và mặt cầu (S):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 16. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (α) và đồng thời (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của (P) và trục x’Ox là

    Hướng dẫn:

    Gọi (C) là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) và (C) có tâm H, bán kính r.

    Bán kính r của đường tròn là nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất khi và chỉ khi d(I,(P)) lớn nhất.

    Vì M ∈ x'Ox nên gọi M(m; 0; 0).

    Suy ra mặt phẳng (P) chứa AM và (P) ⊥ (α).

    Khi đó \overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ightbrack = (3;2 + m;m - 1)

    Mà mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:

    3(x − 0) + (2 + m)(y − 2) + (m − 1)(z − 2) = 0 hay 3x + (2 + m)y + (m − 1)z −3m=0

    Ta có:

    d\left( I;(P) ight) = \frac{9}{\sqrt{2m^{2} + 2m + 14}} lớn nhất khi và chỉ khi 2m^{2} + 2m + 14 đạt giá trị nhỏ nhất

    Mà 2m^{2} + 2m + 14 = 2\left( m + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{27}{2} \geq \frac{27}{2}

    Do đó 2m^{2} + 2m + 14 nhỏ nhất khi và chỉ khi m = - \frac{1}{2}

    Vậy M\left( - \frac{1}{2};0;0 ight).

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Tính thể tích khối tứ diện

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) trong đó a > 0,b > 0,c > 0 và \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7. Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{72}{7} Tính thể tích của khối tứ diện O.ABC

    Hướng dẫn:

    +) Ta có (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    +) Mặt cầu (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 có tâm I(1;2;3) và bán kính R = \sqrt{\frac{72}{7}}

    +) Mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với (S) \Leftrightarrow d\left( I;(ABC) \right) = R \Leftrightarrow \frac{\left| \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} - 1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{\frac{72}{7}}.

    +) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

    \left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} \right)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \right) \geq \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \right)^{2} = 7^{2}

    \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq \frac{7}{2}

    +) Dấu xảy ra \left. \ \begin{matrix} \frac{1}{\frac{1}{a}} = \frac{2}{\frac{1}{b}} = \frac{3}{\frac{1}{c}} \\ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7 \end{matrix} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \\ c = \frac{2}{3} \end{matrix} \right. khi đó V_{OABC} = \frac{1}{6}abc = \frac{2}{9}

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 và các điểm A(1;0;2),B( - 1;2;2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax + by + cz + 3 = 0. Tính T = a + b +c.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 4.

    Vì IA = \sqrt{5} < R nên điểm A nằm bên trong mặt cầu. Suy ra (P) luôn cắt mặt cầu. Gọi r là bán

    kính đường tròn giao tuyến, ta có r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} với d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P).

    Diện tích hình tròn thiết diện nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính r nhỏ nhất, hay d lớn nhất.

    Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB ta có d lớn nhất khi d = IH tức IH vuông góc với (P).

    Phương trình đường thẳng AB:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 2 \end{matrix} \right.\ (t\mathbb{\in R})

    Gọi H(1 - t;t;2). \overrightarrow{IH} = ( - t;t - 2; - 1).

    IH\bot AB \Leftrightarrow t + (t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 1. Suy ra H(0;1;2).

    Mặt phẳng (P) nhận \overrightarrow{IH} làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A nên có phương trình

    - (x - 1) - y - (z - 2) = 0 \Leftrightarrow - x - y - z + 3 = 0.

    Vậy a + b + c =- 3.

  • Câu 11: Vận dụng
    Viết phương trình tiếp tuyến

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 và hai điểm M(4; - 4;2), N(6;0;6). Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM + EN đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S)có tâm I(1;2;2) và bán kính R = 3. Ta có IM = IN = 3\sqrt{5} nên \Delta IMN cân.

    Gọi K là trung điểm của MN \Rightarrow K(5; - 2;4) và ta có EM + EN lớn nhất khi \overrightarrow{IE} = t\overrightarrow{IK},t < 0.

    Do đó t = - \frac{R}{IK} = - \frac{1}{2}, suy ra \overrightarrow{IE} = - \frac{1}{2}(4; - 4;2) = ( - 2;2; - 1) \Rightarrow E( - 1;4;1), khi đó tiếp diện đi qua E và có vtpt \overrightarrow{n} = (2; - 2;1) và phương trình 2x - 2y + z + 9 = 0.

    Cách 2.

    Ta có \overrightarrow{IM} = (3; - 6;0),\overrightarrow{IN} = (5; - 2;4) suy ra \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = (8; - 8;4) = 2\overrightarrow{IK} và:

    P = \sqrt{EM^{2}} + \sqrt{EN^{2}} = \sqrt{EI^{2} + IM^{2} + 2\overrightarrow{EI}.\overrightarrow{IM}} + \sqrt{EI^{2} + IN^{2} + 2\overrightarrow{EI}.\overrightarrow{IN}}

    P = \sqrt{54 - 2\overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IM}} + \sqrt{54 - 2\overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IN}} \leq \sqrt{\left( 1^{2} + 1^{2} \right)\left( 108 - 2\overrightarrow{IE}.(\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN}) \right)}.

    P \leq \sqrt{2\left( 108 - 4\overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IK} \right)} \leq \sqrt{2(108 + 4IE.IK)} = 6\sqrt{10}.

    Dấu bằng xảy ra khi \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IN} và \overrightarrow{IE},\overrightarrow{IK} ngược hướng, ta có \overrightarrow{IE} = t\overrightarrow{IK} = t(4; - 4;2), suy ra t = - \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow{IE} = ( - 2;2; - 1) \Rightarrow E( - 1;4;1) (Thỏa mãn \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IN} = - 18). Phương trình tiếp diện là: 2x - 2y + z + 9 = 0.

  • Câu 12: Vận dụng
    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1 và điểm A(2;2;2). Xét các điểm M \in (S) sao cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với (S). Điểm M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Tọa độ tâm mặt cầu là:I(1;1;1)

    Gọi M(x;y;z) khi đó: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x - 2;y - 2;z - 2) \\ \overrightarrow{IM} = (x - 1;y - 1;z - 1) \\ \end{matrix} ight..

    Theo đề bài ra ta có:

    \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{IM} = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)(x - 1) + (y - 2)(y - 1) + (z - 2)(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3x - 3y - 3z + 6 = 0(*)

    Mặt khác phương trình mặt cầu

    (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1

    \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 2z + 2 = 0(**)

    Lấy (*) trừ (**) ta được: x + y + z - 4 = 0.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Xác định phương trình mặt cầu

    Phương trình mặt cầu có tâm I\left( \sqrt{5};3;9 \right) và tiếp xúc trục hoành là:

    Hướng dẫn:

    Gọi H là hình chiếu của I\left( \sqrt{5};3;9 \right) trên Ox

    \Rightarrow H\left( \sqrt{5};0;0 \right) \Rightarrow R = IH = \sqrt{90}

    Vậy phương trình mặt cầu là: \left( x - \sqrt{5} \right)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 9)^{2} = 90.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tìm phương trình mặt cầu

    Cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.. Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và trục Ox là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A(t; - 1 + 3t;1) \in d;B(t';0;0) \in Ox

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (t' - t;1 - 3t; - 1), \overrightarrow{u_{d}} = (1;3;0),\ \overrightarrow{i} = (1;0;0).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d}} = 0 \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{i} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow t = t' = \frac{1}{3} và R = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( x - \frac{1}{3} \right)^{2} + y^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Định phương trình mặt cầu

    Cho điểm A(2;\ 5;\ 1) và mặt phẳng (P):6x + 3y - 2z + 24 = 0, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784\pi và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

    Suy ra d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 6t \\ y = 5 + 3t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} \right.

    Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) nên H = d \cap (P).

    Vì H \in d nên H(2 + 6t;5 + 3t;1 - 2t).

    Mặt khác, H\in(P) nên ta có:

    6(2 + 6t) + 3(5 + 3t) - 2(1 - 2t) + 24 = 0 \Leftrightarrow t = - 1

    Do đó, H( - 4;\ 2;\ 3).

    Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.

    Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784\pi, suy ra 4\pi R^{2} = 784\pi \Rightarrow R = 14.

    Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên IH\bot(P) \Rightarrow I \in d.

    Do đó tọa độ điểm I có dạng I(2 + 6t;5 + 3t;1 - 2t), với t \neq - 1.

    Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:\left\{ \begin{matrix} d(I,(P)) = 14 \\ AI < 14 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{\left| 6(2 + 6t) + 3(5 + 3t) - 2(1 - 2t) + 24 \right|}{\sqrt{6^{2} + 3^{2} + ( - 2)^{2}}} = 14 \\ \sqrt{(6t)^{2} + (3t)^{2} + ( - 2t)^{2}} < 14 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = - 3 \\ \end{matrix} \right.\ \\ - 2 < t < 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow t = 1

    Do đó: I(8 ; 8 ; - 1).

    Vậy phương trình mặt cầu (S):(x - 8)^{2} + (y - 8)^{2} + (z + 1)^{2} = 196.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tính chu vi đường tròn

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 20 = 0 và mặt phẳng (\alpha):x + 2y - 2z + 7 = 0 cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = 5.

    Ta có d\left( I,(\alpha) ight) = \ \frac{|1.1 + 2.2 - 2.0 + 7|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 4

    Vì d(I,(α)) < R nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).

    Lấy M ∈ (C) ⇒ M ∈ (S)

    Tam giác IHM vuông tại M \Rightarrow HM = \sqrt{IM^{2} - IH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3

    Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng 2π . HM = 6π.

  • Câu 17: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho mặt cầu (S):(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + z^{2} = 8 và hai điểm A(3;0;0), B(4;2;1). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu (S). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = MA + 2.MB?

    Hướng dẫn:

    Gọi I( - 1;4;0),R = 2\sqrt{2} là tâm và bán kính mặt cầu, ta có \overrightarrow{IA} = (4; - 4;0).

    Xét AM^{2} = {\overrightarrow{IM}}^{2} + {\overrightarrow{IA}}^{2} - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IA} = 40 - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IA}.

    Đặt \overrightarrow{IA} = 4\overrightarrow{IC} \Leftrightarrow \overrightarrow{IC} = (1; - 1;0) \Leftrightarrow C(0;3;0). Khi đó điểm C nằm trong mặt cầu, B ngoài mặt cầu và AM^{2} = 40 - 8\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IC} = 4\left( 8 + 2 - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IC} \right) = 4CM^{2}

    \Leftrightarrow AM = 2CM.

    P = MA + 2MB = 2(MC + MB) \geq 2BC = 6\sqrt{2}.

    Cách 2. (Tổng quát)

    Tính \overrightarrow{IA} = (4; - 4;0),\overrightarrow{IB} = (5; - 2;1) nên \cos\left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB} \right) = \frac{7}{2\sqrt{15}} \Rightarrow \left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB} \right) = \alpha \approx 25,4^{o}.

    Đặt \left( \overrightarrow{IB},\overrightarrow{IM} \right) = t \Rightarrow \left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{IM} \right) = \alpha - t, ta có: P = \sqrt{40 - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IA}} + 2\sqrt{38 - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IB}}.

    P = \sqrt{40 - 32cos(\alpha - t)} + 2\sqrt{38 - 8\sqrt{15}\cos t}.

    Dùng CASIO để tìm min, ta có

    \min P \approx 8.48528 = 6\sqrt{2} tại t \approx 7.8^{o}.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Xác định phương trình mặt cầu

    Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(1,2, - 3) tiếp xúc với mặt phẳng (P):4x - 2y + 4z - 3 = 0.

    Hướng dẫn:

    Bán kính R = d(I,P) = \frac{5}{2}

    \Rightarrow (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = \frac{25}{4}

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y + 6z + \frac{31}{4} = 0

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Xác định bán kính mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1) và A(1;1;1). Hai điểm M(m;0;0),N(0 ;n;0) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0,n > 0. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng (SMN). Bán kính của mặt cầu đó là:

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt phẳng (SMN) là \frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{1} =1

    \Leftrightarrow nx + my + mnz - mn =0.

    Gọi I(a;b;c) và R là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.

    Ta có

    R = d(I;(SMN))

    = \frac{|na + mb + mnc -mn|}{\sqrt{n^{2} + m^{2} + m^{2}n^{2}}}

    = \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{\sqrt{1 - 2mn + m^{2}n^{2}}}

    = \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{1 - mn}

    = \frac{\left| (1 - c)m^{2} + (b + c - a- 1)m + a ight|}{m^{2} - m + 1}

    Mà R không đổi nên \frac{1 - c}{1} = \frac{b + c - a - 1}{- 1} =\frac{a}{1} = t \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = t \\b = t \\c = 1 - t \\\end{matrix} ight., hay I(t;t;1- t).
    Mặt khác ta có R = IA = \sqrt{3t^{3} - 4t +2} = |t| \Rightarrow t = 1.

    Vậy R = 1.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính giá trị lớn nhất của khoảng cách d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = \frac{5}{6}, mặt phẳng (P):x + y + z + 1 = 0 và đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}. Điểm M thuộc đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Giá trị lớn nhất của d(M;\Delta) là

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu có tâm I(1; - 1;0),R^{2} = \frac{5}{6}.

    Hạ IH vuông góc với (P), IH = d\left( I,(P) \right) = \frac{1}{\sqrt{3}}.

    Bán kính đường tròn giao tuyến là: r = \sqrt{R^{2} - IH^{2}} = \sqrt{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

    Đường thẳng \Delta vuông góc với (P) và cắt (P) tại K; d(I,\Delta) = HK = \sqrt{2} = 2r.

    Khi đó \max d(M,\Delta) = 3r = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
31 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này