Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm
,
và mặt cầu
. Xét điểm
thay đổi thuộc mặt cầu
, giá trị nhỏ nhất của
bằng
Tính .
Khi đó
.
Để T nhỏ nhất thì ngược hướng, suy ra:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm
,
và mặt cầu
. Xét điểm
thay đổi thuộc mặt cầu
, giá trị nhỏ nhất của
bằng
Tính .
Khi đó
.
Để T nhỏ nhất thì ngược hướng, suy ra:
.
Trong không gian , cho ba điểm
, điểm
thay đổi trên mặt phẳng
,
là điểm trên tia
sao cho
. Biết khi M thay đổi thì điểm N luôn nằm trên mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó
Giả sử .
Do O, M, N thẳng hàng và N thuộc tia ON nên suy ra:
Do
Vậy thuộc mặt cầu cố định bán kính
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt cầu
và
cắt nhau theo một đường tròn
nằm trong mặt phẳng
. Cho các điểm
. Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng
?
Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) có được bằng cách khử trong phương trình hai mặt cầu ta được 6x + 3y + 2z = 0. Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
Do đó (P) // (ABC). Mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C.
Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA.
Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).
Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
. Cạnh bên
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
là:

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi I là trung điểm SC, suy ra nên
.
Do đó IM là trục của , suy ra
(1)
Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên . (2)
Từ (1) và (2) , ta có
hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
Vậy bán kính .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng
và mặt
cầu (S) tâm I(1;2;1), bán kính R. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với
(S) tạo với nhau góc . Hãy viết phương trình mặt cầu (S)

Gọi M, N là tiếp điểm của mặt phẳng (P), (Q) và mặt cầu (S). Gọi H là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng d.
TH1: Góc :
Theo bài ra ta có:
TH2: Góc :
Theo bài ra ta có:
.
Trong không gian tọa độ cho mặt cầu
và đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
và
. Đường thẳng
cắt mặt cầu
tại hai điểm phân biệt
thỏa mãn
khi:
Ta có .
Phương trình tham số của là
.
.
(*).
(*) .
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi .
Khi đó .
.
.
Suy ra
.
Cách 2:
Mặt cầu có tâm
,
,
.
Đường thẳng qua
, có VTCP
Yêu cầu đề bài tương đương .
Cho hai điểm cố định trong không gian có độ dài
. Biết rằng tập hợp các điểm
trong không gian sao cho
là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?
Ta có:
(*)
Gọi thỏa mãn
nên
Từ (*) suy ra .
Cho hai đường thẳng và
. Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và d’ là:
Gọi
Ta có:
và
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt cầu
lần lượt có phương trình là
,
. Xét các mặt phẳng
thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi
là điểm mà tất cả các
đi qua. Tính tổng
Các mặt cầu: có tâm
,
có tâm
.
Ta có nên
cắt nhau.
Các mặt phẳng luôn đi qua điểm
thuộc đường thẳng
thỏa mãn
. Tọa độ
.
Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có trùng với ba trục
. Sáu mặt phẳng
chia hình lập phương thành bao nhiêu phân bằng nhau?
Tìm tập các tâm I của mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng
.
Gọi và
lần lượt là giao điểm của trục x’Ox với (P) và (Q). Trung điểm
của AB cách đều (P) và (Q).
Tâm I cách đều (P) và (Q)
nằm trong mặt (R) qua E song song và cách đều (P) và (Q) ((P)//(Q)).
Vậy
Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm có tâm nằm trong mặt phẳng (xOy)
Ta có:
vì tâm
Cho mặt cầu :
. Phương trình mặt cầu nào sau đây là phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:
Mặt cầu tâm
, bán kính
. Do mặt cầu
đối xứng với
qua trục Oz nên tâm I' của
đối xứng với I qua trục Oz, bán kính
.
Ta có : .
Vậy
Lưu ý: Sẽ vất vả hơn rất nhiều nếu học sinh không nhớ được tính chất đối xứng, tọa độ của một điểm đối xứng qua các trục tọa độ.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
. Gọi
là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng
với
. Tính giá trị
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: mà
nên
Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.
Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).
Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên có
Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.
Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức
Ta có:
Đặt
Mà
Vậy
Trong không gian , cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng
. Xét các mặt cầu (S) có tâm
, đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức
khi (S) có bán kính nhỏ nhất.
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có nên R nhỏ nhất khi
thẳng hàng và I là trung điểm của AH.
Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là
Tọa độ H là nghiệm của hệ:
Suy ra, ta có:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu và đường thẳng
là tham số thực. Các mặt phẳng
,
chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu
tại
. Khi
thay đổi thì độ dài
nhỏ nhất là

Gọi K là hình chiếu của tâm I trên d, H là trung điểm của TT’, ta có:
.
Ta có , trong đó E là hình chiếu của I trên mặt phẳng cố định
chứa d.
Ta có .
Vậy .
Cho tứ diện ABCD có . Viết phương trình mặt cầu
tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện.
Ta có:
;
.
Mặt cầy
tiếp xúc với 6 cạnh tại trung điểm của chúng.
Gọi I và J là trung điểm của AB và CD
có bán kính
tâm
Chú ý: Tứ diện đều có tâm
cũng là tâm của mặt cầu
. Bán kính của
Trong không gian , cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
, biết
song song với giá của vectơ
, vuông góc với
và tiếp xúc với
.
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R = 4.
Vectơ pháp tuyến của (α) là
Theo giả thiết, suy ra (P) có vectơ pháp tuyến là
Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng
Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu
có tâm nằm trên mặt phẳng
và đi qua ba điểm
. Tọa độ tâm
của mặt cầu
là:
Gọi tâm mặt cầu là và phương trình mặt cầu
Do
Lại có
Vậy là đáp án cần tìm.
Cho mặt cầu tâm , bán kính
. Xét mặt phẳng
thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn
. Hình nón
có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn
và có chiều cao là
. Hình trụ
có đáy là đường tròn
và có cùng chiều cao với hình nón
. Tính thể tích
khối trụ được tạo nên bởi
theo
, biết
có giá trị lớn nhất.
Hình vẽ minh họa
Gọi khoảng cách từ dến mặt phẳng
là
với
, đường tròn
có bán kính là
.
Ta có và
.
Vậy
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: