Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 17 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 và các điểm A(1; 0; 2); B(−1; 2; 2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A; B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax + by + cz + 3 = 0. Tính T = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 4.

    Nhận thấy: IA = IB = \sqrt{5} < R ⇒ A; B nằm bên trong mặt cầu.

    Gọi K là trung đểm của AB ⇒ K(0; 1; 2); IK ⊥ AB.

    Gọi H là hình chiếu của I trên (P),(P) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn tâm H bán kính r.

    Std nhỏ nhất ⇔ r nhỏ nhất ⇔ IH lớn nhất

    ⇔ IH = IK ⇔ H ≡ K.

    Khi đó mặt phẳng (P): Đi qua A và có VTPT là \overrightarrow{IK} = ( - 1; - 1; - 1)

    ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) : −x−y−z+3 = 0 ⇒ a+b+c = −3

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3),B(6;5;5). Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rẳng (P):2x + by + cz + d = 0 với b;c;d\mathbb{\in Z}. Tính S = b +c + d.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{AB} = (4;4;2) = 2(2;2;1), \overrightarrow{AB} là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2x + 2y + z + d = 0.

    Gọi I là tâm mặt cầu thì I là trung điểm của AB suy ra I(4;3;4), bán kính mặt cầu R = \frac{AB}{2} = 3.

    Đặt IH = x suy ra HK = \sqrt{R^{2} - x^{2}} = \sqrt{9 - x^{2}}.

    Thể tích khối nón

    V = \frac{1}{3}IH.\pi.HK^{2} = \frac{1}{3}.\pi.\left( 9 - x^{2} \right)(3 + x)

    = \frac{1}{6}.\pi.(6 - 2x)(3 + x)(3 + x) \leq \frac{1}{6}.\pi\left( \frac{6 + 3 + 3}{3} \right)^{3}.

    Dấu bằng xảy ra khi 6 - 2x = 3 + x \Leftrightarrow x = 1.

    Ta có hệ: \left\{ \begin{matrix}d\left( A;(P) \right) = 4 \\d\left( I;(P) \right) = 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{|d + 9|}{3} = 4 \\\frac{|d + 18|}{3} = 1\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} d = 3 \hfill \\ d = - 21 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left[ \begin{gathered} d = - 21 \hfill \\ d = - 15 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow d = - 21

    Vậy (P):2x + 2y + z -21 =0.

    Suy ra: b + c + d = - 18.

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 - t \\ x = - 2 + t \end{matrix} \right., điểm M(1;2; - 1)và mặt cầu (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 10y + 14z + 64 = 0. Gọi (\Delta') là đường thẳng đi qua M và cắt \Delta tại A, cắt (S) tại B sao cho \frac{AM}{AB} = \frac{1}{3} và điểm B có hoành độ là số nguyên. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết: (S) có tâm I(2; - 5; - 7) và bán kính R = \sqrt{14}.

    A \in \Delta \Rightarrow A(3 + t; - 1 - t; - 2 + t) \Rightarrow \overrightarrow{AM} = ( - 2 - t;t + 3;1 - t).

    Vì \frac{AM}{AB} = \frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \pm 3\overrightarrow{AM}.

    +) Nếu \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AM} = ( - 3t - 6;3t + 9;2 - 3t) \Rightarrow B( - 2t - 3;2t + 8; - 2t + 1).

    Do B \in (S) \Rightarrow BI = R

    \begin{matrix} \Rightarrow {\left( {2t + 5} \right)^2} + {\left( { - 2t - 13} \right)^2} + {\left( {2t - 8} \right)^2} = 14 \hfill \\ \Rightarrow 12{t^2} + 40t + 244 = 0\left( {VN} \right) \hfill \\ \end{matrix}

    +) Nếu \overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AM} = \left( { - 3t - 6;3t + 9;2 - 3t} \right)\Rightarrow B\left( { - 2t - 3;2t + 8; - 2t + 1} \right).

    Do  B \in (S) \Rightarrow BI = R 

    \Rightarrow (2t + 5)^{2} + ( - 2t - 13)^{2} + (2t - 8)^{2} = 14

    \Leftrightarrow 48t^{2} + 112t + 64 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - \frac{4}{3} \\ t = - 1 \end{matrix} \right..

    Do B có hoành độ là số nguyên nên t = - 1 \rightarrow \overrightarrow{AB} = (3; - 6; - 6).

    Trung điểm AB là E\left( \frac{7}{2}; - 3; - 6 \right) nên phương trình mặt phẳng trung trực AB:

    3x - 6y - 6z - \frac{129}{2} = 0.

  • Câu 4: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian Oxyz cho đường tròn (C):\left\{ \begin{matrix} x^2 + y^2+ z^{2} - 2x - 4y - 6z - 67 = 0 \\ 2x - 2y + z + 5 = 0 \\ \end{matrix} \right.. Bán kính r của (C) bằng:

    Hướng dẫn:

    Viết lại phương trình mặt cầu (S) chứa (C) :

    (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81.

    Để biết tâm I(1,2,3) và bán kính R = 9 .

    \Rightarrow Bán kính của (C) là :r = \sqrt{81 - 4} = \sqrt{77} (do khoảng cách từ I đến mặt phẳng chứa (C) là h = \frac{|2.1 - 2.2 + 3 + 5|}{\sqrt{2^{2} + ( - 2)^{2} + 1^{2}}} = 2) .

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 16 và điểm A(1;2;3). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

    Hướng dẫn:

    Cách 1:

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P),(Q),(R) .

    Với điểm I bất kỳ, hạ II_{1};II_{2};II_{3} lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng (P),(Q),(R) thì ta luôn có: IA^{2} = I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2}\ \ \ (1).

    Thật vậy, ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz vớiO \equiv A, ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng (P),(Q),(R).

    Khi đó tọa độ I(a;b;c) thì:

    IA^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}\left( A;(Iyz) \right) + d^{2}\left( A;(Ixz) \right) + d^{2}\left( A;(Ixy) \right)

    hay IA^{2} = I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2}.

    Vậy (1) được chứng minh.

    Áp dụng giải bài :

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 1;2) và có bán kính r = 4.

    \overrightarrow{IA}(0;3;1) \Rightarrow IA = \sqrt{10}.

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P),(Q),(R) và cắt mặt cầu (S) theo ba đường tròn lần lượt là: \left( C_{1} \right),\left( C_{2} \right),\left( C_{3} \right)

    Gọi I_{1};I_{2};I_{3} và r_{1};r_{2};r_{3} lần lượt là tâm và bán kính của \left( C_{1} \right),\left( C_{2} \right),\left( C_{3} \right)

    Khi đó: II_{1}\bot(P) \Leftrightarrow I{I_{1}}^{2} + {r_{1}}^{2} = r^{2} \Leftrightarrow {r_{1}}^{2} = r^{2} - I{I_{1}}^{2}.

    Tương tự có: {r_{2}}^{2} = r^{2} - I{I_{2}}^{2};{r_{3}}^{2} = r^{2} - I{I_{3}}^{2}.

    Theo nhận xét ở trên ta có: IA^{2} = I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2}

    Ta có tổng diện tích các đường tròn là :

    S = \pi\left( {r_{1}}^{2} + {r_{2}}^{2} + {r_{3}}^{2} \right) = \pi\left( r^{2} - I{I_{1}}^{2} + r^{2} - I{I_{2}}^{2} + r^{2} - I{I_{3}}^{2} \right)

    = \pi\left\lbrack 3r^{2} - \left( I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2} \right) \right\rbrack

    = \pi\left( 3r^{2} - IA^{2} \right) = 38\pi.

    Cách 2:

    Đặt biệt hóa: Giả sử có 3 đường tròn \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right),\left( S_{3} \right); như hình bên trong đó \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right) đều là đường tròn lớn có bán kính là 4.

    I(1; - 1;2),A(1;2;3) suy ra IA = \sqrt{10};R = 4.

    Suy ra bán kính hình tròn \left( S_{3} \right) là r = \sqrt{16 - 10} = \sqrt{6}

    Tổng diện tích các hình tròn là: \pi.4^{2} + \pi.4^{2} + \pi.\left( \sqrt{6} \right)^{2} = 38\pi.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Xác định số mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(3;7;1),B(8;3;8) và C(3;3;0). Gọi \left( S_{1} \right) là mặt cầu tâm A bán kính bằng 3 và \left( S_{2} \right) là mặt cầu tâm B bán kính bằng 6. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đi qua C và tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt cầu \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right)?

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt phẳng qua C có dạng (P):m(x - 3) + n(y - 3) + pz = 0,m^{2} + n^{2} + p^{2} > 0.

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc \left( S_{1} \right) ta có |4n + p| = 3\sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}} (1)

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc \left( S_{2} \right) ta có |5m + 8p| = 6\sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}} (2)

    Từ đây ta có phương trình |5m + 8p| = 2|4n + p| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 5m = 8n - 6p\ \ \ (3) \\ 5m = - 8n - 10p\ \ \ (4) \end{matrix} \right.

    Từ (1), (3) ta có:

    (4n + p)^{2} = 9\left\lbrack \left( \frac{8n - 6p}{5} \right)^{2} + n^{2} + p^{2} \right\rbrack

    \Leftrightarrow 401n^{2} - 1064np + 524p^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 2p \\ n = \frac{262}{401}p \end{matrix} \right.

    Trường hợp này ta tìm được hai mặt phẳng:

    \left( P_{1} \right):2x + 2y + z - 12 = 0

    \left( P_{2} \right):62x - 262y - 101z + 600 = 0

    Từ (1); (4) ta có:

    (4n + p)^{2} = 9\left\lbrack \left( \frac{8n + 10p}{5} \right)^{2} + n^{2} + p^{2} \right\rbrack

    \Leftrightarrow 401n^{2} + 1240np + 1100p^{2} = 0 \Leftrightarrow n = p = 0

    Trường hợp này không có mặt phẳng nào.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Viết phương trình mặt cầu

    Phương trình mặt cầu có tâm I\left( - \sqrt{6}; - \sqrt{3};\sqrt{2} - 1 \right) và tiếp xúc trục Oz là:

    Hướng dẫn:

    Gọi H là hình chiếu của I\left( - \sqrt{6}; - \sqrt{3};\sqrt{2} - 1 \right) trên Oz

    \Rightarrow H\left( 0;0;\sqrt{2} - 1 \right) \Rightarrow R = IH = 3.

    Vậy phương trình mặt cầu là: \left( x + \sqrt{6} \right)^{2} + \left( y + \sqrt{3} \right)^{2} + \left( z - \sqrt{2} + 1 \right)^{2} = 9.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính bán kính

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng SA = a\sqrt 2 vuông góc với đáy (ABCD) . Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng (\alpha) đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E, M, Fnhận giá trị nào sau đây?

    Hướng dẫn:

     Tính bán kính

    Mặt phẳng (\alpha) song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên EF||BD.

    \triangle SAC cân tại A , trung tuyến AM nên AM \bot SC  (1)

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight) \Rightarrow BD \bot SC

    Do đó EF \bot SC   (2)

    Từ (1) và (2), suy ra SC \bot \left( \alpha ight) \Rightarrow SC \bot AE   (*)

    Lại có \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AE  (**)

    Từ (*) và (**), suy ra AE \bot \left( {SBC} ight) \Rightarrow AE \bot SB. Tương tự ta cũng có AF \bot SD.

    Do đó \widehat {SEA} = \widehat {SMA} = \widehat {SFA} = {90^0} nên năm điểm S,{m{ }}A,{m{ }}E,{m{ }}M,{m{ }}F cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính R = \frac{{SA}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng

    Cho mặt cầu (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A( - 6, - 1,3). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua A. Gọi (P) là tiếp điểm của (S) tại M và (Q) là mặt phẳng qua M cắt hình cầu (S) theo hình trơn (C) có diện tích bằng \frac{1}{2} diện tích hình trơn lớn của (S). Tính góc tạo bởi (P) và (Q).

    Hướng dẫn:

    Diện tích thiết diện r^{2}\pi = \frac{\pi R^{2}}{2}

    \Leftrightarrow \left( R^{2} - IH^{2} \right)\pi = \frac{\pi R^{2}}{2} \Leftrightarrow IH = \frac{R\sqrt{2}}{2}

    \overrightarrow{IM}\bot(P);\ \ \overrightarrow{IH}\bot(Q) \Rightarrow \overrightarrow{MIH} = \alpha

    Là góc tạ bởi (P) và (Q)

    \Rightarrow \cos\alpha = \frac{IH}{IM} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 45^{o}

  • Câu 10: Thông hiểu
    Chọn phương trình mặt cầu thích hợp

    Phương trình mặt cầu tâm I(1; -2;3) và tiếp xúc với trục Oylà:

    Hướng dẫn:

    Gọi M là hình chiếu của I(1; - 2;3) lên Oy, ta có M(0; - 2;0).

    \overrightarrow{IM} = ( - 1;0; - 3) \Rightarrow R = IM = \sqrt{10} là bán kính mặt cầu cần tìm.

    Vậy phương trình mặt cầu là : (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 10.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho điểm I(1;1; - 2) đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{1}. Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho \widehat{IAB} = 30^{o} là:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d đi qua M( - 1;\ 3;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 2;\ 1) .

    Gọi H là hình chiếu của I trên

    Ta có: IH = d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{18} .

    \Rightarrow R = IA = 2\sqrt{18} .

    Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 72.

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hai điểm A(2, - 3, - 1);\ \ \ B( - 4,5, - 3). Tìm tập hợp các điểm M(x,y,z) thỏa mãn \frac{MA}{MB} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Hướng dẫn:

    Theo bài ra ta có:

    2MA = \sqrt{3}MB \Leftrightarrow 4MA^{2} = 3MB^{2}

    \Leftrightarrow 4\left\lbrack (2 - x)^{2} + ( - 3 - y)^{2} + ( - 1 - z)^{2} \right\rbrack

    = 3\left\lbrack ( - 4 - x)^{2} + (5 - y)^{2} + ( - 3 - z)^{2} \right\rbrack

    Mặt cầu x^{2} + y^{2} + z^{2} - 40x - 54y - 10z - 94 = 0

  • Câu 13: Vận dụng
    Tìm tập hợp các điểm M

    Cho mặt cầu (S): {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A\left( { - 6, - 1,3} ight). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động qua (d). Tìm tập hợp các điểm M.

    (Có thể chọn nhiều đáp án)

    Hướng dẫn:

     Theo đề bài, (S) có tâm I\left( {2, - 3,1} ight).\,\overrightarrow {IM} = \left( {x - 2,y + 3,z + 1} ight);\,\,\overrightarrow {AM} = \left( {x + 6,y + 1,z - 3} ight)

    Ta có:

    \begin{array}{l}\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2} ight)\left( {x + 6} ight) + \left( {y + 3} ight)\left( {y + 1} ight) + \left( {z + 1} ight)\left( {z - 3} ight) = 0\\ \Rightarrow M \in \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 4y - 3z - 12 = 0;\,\,M \in \left( S ight)\end{array}

    \Rightarrow M \in  đường tròn  \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0\\4x - y - 2z - 5 = 0\end{array} ight.

    Hay \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 4y - 2z - 12 = 0\\4x - y - 2z - 5 = 0\end{array} ight.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tìm tọa độ tâm H của (C)

    Trong không gian Oxyz cho đường tròn:(C):\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0 \\ x - 2y + 2z + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.. Tọa độ tâm H của (C) là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 3)^{2} = 5

    Tâm mặt cầu là I(2, - 3, - 3)

    Xem đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng thiết diện x - 2y + 2z + 1 = 0

    \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 - 2t \\ z = - 3 + 2t \\ \end{matrix} \right. , thế x,y,z vào phương trình mặt phẳng thiết diện

    2 + t - 2( - 3 - 2t) + 2( - 3 + 2t) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}

    \Rightarrow Tọa độ tâm H của (C) là H\left( \frac{5}{3}, - \frac{7}{3}, - \frac{11}{3} \right)

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 và mặt phẳng (P):x + y + z - 3 = 0. Gọi (S') là mặt cầu chứa đường tròn giao tuyến của (S) và (P) đồng thời (S') tiếp xúc với mặt phẳng (Q):x - y + z - 5 = 0. Gọi I(a;b;c) là tâm của (S'). Tính giá trị biểu thức T = abc.

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt cầu (S’) có dạng:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 9 + m(x + y + z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + mx + my + mz - 9 - 3m = 0

    Mặt cầu (S') có tâm I\left( - \frac{m}{2}; - \frac{m}{2}; - \frac{m}{2} ight), bán kính R = \sqrt{\frac{3m^{2}}{4} + 3m + 9}.

    Mặt cầu (S') tiếp xúc với (Q) nên

    d\left( I;(Q) ight) = R\Leftrightarrow \dfrac{\left| - \dfrac{m}{2} - 5 ight|}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{3m^{2}}{4} + 3m + 9}

    \Leftrightarrow |m + 10| = \sqrt{9m^{2} + 36m + 108}

    \Leftrightarrow m = - 1 \Rightarrow I\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} ight)

    Vậy T = abc = \frac{1}{8}.

  • Câu 16: Vận dụng
    Tìm tọa độ giao điểm theo yêu cầu

    Cho mặt cầu (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A( - 6, - 1,3). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua A. Tính tọa độ giao điểm của AI và mặt cầu (S).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \overrightarrow{AI} = 2(4, - 1, - 2)\Rightarrow AI:x = 2 + 4t;y = - 3 - t;z = - 1 - 2t,\ \ t\mathbb{\in R}

    AI cắt (S) \Rightarrow(2 + 4t)^{2} + (3 + t)^{2} + (1 + 2t)^{2}- 4(2 + 4t) + 6( - 3 - t) + 2( - 1 - 2t) - 2 = 0

    \Leftrightarrow 21t^{2} - 16 = 0 \Leftrightarrow t = \pm \frac{4\sqrt{21}}{21}

    \Rightarrow Hai giao điểm \left( 2 \pm \frac{16\sqrt{21}}{21}; - 3 \mp \frac{4\sqrt{21}}{21}; - 1 \mp \frac{8\sqrt{21}}{21} \right)

  • Câu 17: Vận dụng
    Viết phương trình mặt cầu (S’)

    Cho mặt cầu (S):\ \ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 6z - 5 = 0 và mặt phẳng (P):\ x - 2y + 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S’) có bán kính nhỏ nhất chứa giao tuyến (C) của (S) và (P).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (S'):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y+ 6z - 5 + m(x - 2y + 2z + 3) = 0

    \Leftrightarrow (S'):x^{2} + y^{2} + z^{2} +(m + 2)x - 2(m + 1)y + 2(m + 3)z + 3m - 5 = 0

    (S') có bán kính nhỏ nhất \Leftrightarrow Tâm H\left( - \frac{m + 2}{2},m + 1, - m - 3 \right) \in (P)

    \Leftrightarrow - \frac{m + 2}{2} - 2(m + 1) + 2( - m - 3) + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}

    Vậy (S'):x^{2} + y^{2} + = z^{2} + \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}y + \frac{10}{3}z - 9 = 0

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + ax + by + cz + d = 0 có bán kính R = \sqrt{19} đường thẳng d:\left\{\begin{matrix}x = 5 + t \\y = - 2 - 4t \\z = - 1- 4t\end{matrix} \right. và mặt phẳng (P):3x - y - 3z - 1 = 0 Trong các số \left\{ a;b;c;d \right\} theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa mãn a + b + c + d = 43 đồng thời tâm I của (S) thuộc đường thẳng d và (S) tiếp xúc mặt phẳng (P)?

    Hướng dẫn:

    Ta có I \in d \Rightarrow I(5 + t;2 - 4t; - 1 - 4t)

    Do (S) tiếp xúc với (P) nên d\left( I;(P) \right) = R = \sqrt{19}

    \Leftrightarrow |19 + 19t| = 19 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = - 2 \end{matrix} \right.

    Mặt khác (S) có tâm I\left( \frac{- a}{2};\frac{- b}{2};\frac{- c}{2} \right); bán kính R = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4} - d} = \sqrt{19}

    Xét khi t = 0 \Rightarrow I(5; - 2; - 1) \Rightarrow \left\{ a;b;c;d \right\} = \left\{ - 10;4;2;47 \right\}

    Do \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4} - d \ne 19 nên ta loại trường hợp này

    Xét khi t = 2 \Rightarrow \left\{ {a;b;c;d} \right\} = \left\{ { - 6; - 12; - 14;75} \right\}

    Do \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4} - d \neq 19 nên thỏa mãn.

  • Câu 19: Vận dụng
    Xác định tọa độ tâm I

    Cho tứ diện ABCD có A(3,6, - 2);B(6,0,1);C( - 1,2,0);D(0,4,1). Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ:

    Hướng dẫn:

    Gọi I(x,y,z) là tâm cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ BI^{2} = CI^{2} \\ CI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 2)^{2} = (x - 6)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} \\ (x - 6)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\ (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = x^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 1)^{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6x - 12y + 6z = - 12 \\ - 14x + 4y - 2z = - 32 \\ 2x + 4y + 2z = 12 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2y + z = - 2 \\ 7x - 2y + z = 16 \\ x + 2y + z = 6 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(3,2, - 1)

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tính chu vi của đường tròn

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x - y - z + 3 = 0 và hai điểm M( - 1;1; - 1),N(3; - 3;3). Mặt cầu (S) đi qua hai điểm M,N và tiếp xúc với (P) tại C. Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính chu vi của đường tròn đó.

    Hướng dẫn:

    Ta có MN đi qua M( - 1;1; - 1), nhận \frac{1}{4}\overrightarrow{MN} = \frac{1}{4}(4; - 4;4) = (1; - 1;1) là một vecto chỉ phương nên MN:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    Thay \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + t \end{matrix} \right.vào (P) ta được - 1 + t + 1 + t + 1 - t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = 4

    Tọa độ điểm D(3;3;3) là giao điểm của của MN và (P). Do đó theo tính chất của phương tích ta được DM.DN = DI^{2} - R^{2}.

    Mặt khác vì DC là tiếp tuyến của mặt cầu (S) cho nên DC^{2} = DI^{2} - R^{2}.

    Do vậy DC^{2} = DM.DN = 36 \Rightarrow DC = 6 (là một giá trị không đổi).

    Vậy C luôn thuộc một đường tròn cố định tâm D với bán kính R = 6 suy ra chu vi của đường tròn là 12\pi.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
17 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Xem thêm