Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 17 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 2;4), B( - 3;3; - 1) và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 3. Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu (S), giá trị nhỏ nhất của 2MA^{2} + 3MB^{2} bằng

    Hướng dẫn:

    Tính \overrightarrow{IA} = (1; - 5;1),\overrightarrow{IB} = ( - 4;0; - 4) \Rightarrow 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} = ( - 10; - 10; - 10) = \overrightarrow{IK}.

    Khi đó T = 2MA^{2} + 3MB^{2}

    = 5MI^{2} + 2IA^{2} + 3IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK} = 165 + 2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK}.

    Để T nhỏ nhất thì \overrightarrow{MI},\overrightarrow{IK} ngược hướng, suy ra:

    \min T = 165 - 2.R.IK = 165 - 2.\sqrt{3}.10\sqrt{3} = 105.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tính bán kính mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6), điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC), N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON = 12. Biết khi M thay đổi thì điểm N luôn nằm trên mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó

    Hướng dẫn:

    Giả sử N(x;y;z) \Rightarrow ON = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}.

    Do O, M, N thẳng hàng và N thuộc tia ON nên suy ra:

    OM.ON = 12 \Leftrightarrow\overrightarrow{OM} = \frac{12}{x^{2} + y^{2} +z^2}.\overrightarrow{ON}

    Do N \in (ABC) \Rightarrow 6x + 3y + 2z = x^{2} + y^{2} + z^{2}

    \Leftrightarrow (x - 3)^{2} + \left( y -\frac{3}{2} \right)^2 + (z - 1)^{2} = \frac{49}{4}

    Vậy N thuộc mặt cầu cố định bán kính R = \frac{7}{2}.

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \left( S_{1} ight):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 2y + z = 0 và \left( S_{2} ight):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - y - z = 0 cắt nhau theo một đường tròn (C) nằm trong mặt phẳng (P). Cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3). Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA?

    Hướng dẫn:

    Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) có được bằng cách khử x^{2};y^{2};z^{2} trong phương trình hai mặt cầu ta được 6x + 3y + 2z = 0. Mặt phẳng (ABC) có phương trình là

    \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1⇔ 6x + 3y + 2z − 6 = 0.

    Do đó (P) // (ABC). Mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.

    Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C.

    Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA.

    Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).

  • Câu 4: Vận dụng
    Tìm bán kính mặt cầu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  là:

    Hướng dẫn:

     Tìm bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Gọi I là trung điểm SC, suy ra IM ||SA nên IM \bot \left( {ABC} ight) .

    Do đó IM là trục của \triangle ABC, suy ra IA=IB=IC     (1)

    Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS=IC=IA.  (2)

    Từ (1) và (2) , ta có IS=IA=IB=IC

    hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

    Vậy bán kính R = IS = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} .

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Viết phương trình mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y}{-1} = \dfrac z 4và mặt

    cầu (S) tâm I(1;2;1), bán kính R. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với

    (S) tạo với nhau góc 60^0 . Hãy viết phương trình mặt cầu (S)

    Hướng dẫn:

     Viết phương trình mặt cầu

    Gọi M, N là tiếp điểm của mặt phẳng (P), (Q) và mặt cầu (S). Gọi H là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng d.

    \Rightarrow IH=d(I,d)= \sqrt 6

    TH1: Góc \widehat {MHN}=60^0:

    Theo bài ra ta có: R=IM=IH.\sin30^0= \sqrt 6 .\frac 1 2 = \frac{\sqrt 6}{2}

    \Rightarrow(S) : (x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2= \frac 3 2

    TH2: Góc \widehat {MHN}=120^0:

    Theo bài ra ta có: R=IM=IH.\sin60^0= \sqrt 6 .\frac {\sqrt 3}{2} = \frac{\sqrt18}{2}

    \Rightarrow(S) : (x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2= \frac 9 2.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tìm giá trị của m thỏa mãn điều kiện

    Trong không gian tọa độ Oxyzcho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 6y + m = 0 và đường thẳng \Delta là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + 2y - 2z - 4 = 0 và (\beta):2x - 2y - z + 1 = 0. Đường thẳng \Delta cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn AB = 8 khi:

    Hướng dẫn:

    Ta có \left\{ \begin{matrix} x + 2y - 2z - 4 = 0 \\ 2x - 2y - z + 1 = 0 \end{matrix} \right..

    Phương trình tham số của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 2t \\ y = t \\ z = - 3 + 2t \end{matrix} \right..

    A \in (\Delta) \Rightarrow A( - 2 + 2t;t; - 3 + 2t).

    A \in (S) \Rightarrow ( - 2 + 2t)^{2} + t^{2} + ( - 3 + 2t)^{2} + 4( - 2 + 2t) - 6t + m = 0 (*).

    (*) \Leftrightarrow 9t^{2} - 18t + 5 + m = 0.

    Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi \Delta' = 36 - 9m > 0 \Leftrightarrow m < 4.

    Khi đó A\left( - 2 + 2t_{1};t_{1}; - 3 + 2t_{1} \right),B\left( - 2 + 2t_{2};t_{2}; - 3 + 2t_{2} \right).

    t_{1} + t_{1} = 2,t_{1}t_{2} = \frac{5 + m}{9}.

    AB = 8 \Leftrightarrow AB^{2} = 64.

    Suy ra 9\left( t_{2} - t_{1}\right)^{2} = 64 \Leftrightarrow 9\left\lbrack \left( t_{1} + t_{2}\right)^2- 4t_{1}t_{2} \right\rbrack = 64

    \Rightarrow 9.\left\lbrack 2^2 -4\left( \frac{5 + m}{9} \right) \right\rbrack = 64 \Leftrightarrow m = -12.

    Cách 2:

    Mặt cầu (S) có tâm I( - 2;3;0), R = \sqrt{13 - m}, m < 13.

    Đường thẳng (\Delta) qua M_{0}( - 2;0; - 3), có VTCP \overrightarrow{u} = (2;1;2)

    d = d\left( I;(\Delta) \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{IM_{0}};\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = 3

    Yêu cầu đề bài tương đương R^{2} = \frac{AB^{2}}{4} + d^{2} \Leftrightarrow 13 - m = 16 + 9 \Leftrightarrow m = - 12\ (n).

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tìm độ lớn bán kính mặt cầu

    Cho hai điểm A;B cố định trong không gian có độ dài AB = 4. Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA = 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Ta có: MA = 3MB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}

    \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} = 9\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}

    \Leftrightarrow IA^{2} - 9IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} ight) = 8MI^{2}(*)

    Gọi I thỏa mãn \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BI} = \frac{1}{8}\overrightarrow{AB} nên IB = \frac{1}{2};IA = \frac{9}{2}

    Từ (*) suy ra 8MI^{2} = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2} \Rightarrow M \in S\left( I;\frac{3}{2} ight).

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = t \\ z = 4 \\ \end{matrix} \right.và d':\left\{ \begin{matrix} x = t^{'} \\ y = 3 - t' \\ z = 0 \\ \end{matrix} \right.. Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và d’ là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A(2t;t;4) \in d;B(t';3 -t';0) \in d'

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (t' - 2t;3 - t' - t; - 4),\overrightarrow{u_{d}} = (2;1;0),\ \overrightarrow{u_{d'}} = (1; - 1;0)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d}} = 0 \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d'}} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 1 \Rightarrow A(2;1;4) \\ t' = 2 \Rightarrow B(2;1;0) \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow I(2;1;2) và R = 2 \Rightarrow (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính tổng S

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right) lần lượt có phương trình là x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 2z - 22 = 0, x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 4y + 2z + 5 = 0. Xét các mặt phẳng (P) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi M(a;b;c) là điểm mà tất cả các mp(P) đi qua. Tính tổng S = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Các mặt cầu: \left( S_{1} \right)có tâm I_{1}(1;1;1),R_{1} = 5, \left( S_{2} \right)có tâm I_{2}(3; - 2; - 1),R_{2} = 3.

    Ta có I_{1}I_{2} = \sqrt{17} < R_{1} + R_{2} nên \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right) cắt nhau.

    Các mặt phẳng (P) luôn đi qua điểm M thuộc đường thẳng I_{1}I_{2} thỏa mãn \overrightarrow{MI_{1}} = \frac{5}{3}\overrightarrow{MI_{2}}. Tọa độ M\left( 6; - \frac{13}{2}; - 4 \right).

  • Câu 10: Vận dụng
    Tìm số phần bằng nhau

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG} trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Sáu mặt phẳng x - y = 0;\ \ y - z = 0;z - x = 0; x + y = 1;\ \ y + z = 1;\ \ z + x = 1 chia hình lập phương thành bao nhiêu phân bằng nhau?

    Hướng dẫn:

     

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Tìm tập các tâm I của mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 4 = 0;(Q):x - 2y + 2z - 6 = 0.

    Hướng dẫn:

    Gọi A( - 4,0,0) và B(6, 0 , 0) lần lượt là giao điểm của trục x’Ox với (P) và (Q). Trung điểm E(1,0,0) của AB cách đều (P) và (Q).

    Tâm I cách đều (P) và (Q)

    \Rightarrow EI nằm trong mặt (R) qua E song song và cách đều (P) và (Q) ((P)//(Q)).

    \Rightarrow (R):x - 2y + 2z + D = 0,E \in (R) \Rightarrow D = - 1

    Vậy I \in (R):x - 2y + 2z - 1 = 0

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(2,0,1);\ \ \ B(1,3,2);\ \ \ C(3,2,0) có tâm nằm trong mặt phẳng (xOy)

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by + d = 0 vì tâm I \in (xOy) \Rightarrow c = 0

    A,\ B,\ C \in (S)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 4a - d = 5 \\ 2a + 6b - d = 14 \\ 6a + 4b - d = 13 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 6b = - 9 \\ 2a + 4b = 8 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow a = \frac{3}{5};\ \ b = \frac{17}{10};\ \ c = 0;\ \ d = - \frac{13}{5}

    \Rightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{6x}{5} - \frac{17y}{5} - \frac{13}{5} = 0

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tìm phương trình mặt cầu thích hợp

    Cho mặt cầu (S): (x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4. Phương trình mặt cầu nào sau đây là phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) tâm I( - 1;1;2), bán kính R = 2. Do mặt cầu (S') đối xứng với (S) qua trục Oz nên tâm I' của (S') đối xứng với I qua trục Oz, bán kính R' = R = 2.

    Ta có : I'(1; - 1;2).

    Vậy (S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4.

    Lưu ý: Sẽ vất vả hơn rất nhiều nếu học sinh không nhớ được tính chất đối xứng, tọa độ của một điểm đối xứng qua các trục tọa độ.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; 3) , B (6; 5; 5). Gọi (S) là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng (P) : 2x + by + cz + d = 0 với b, c, d ∈ \mathbb{Z}. Tính giá trị T = b − c + d.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (4;4;2) mà \overrightarrow{AB}\bot(P) nên \frac{2}{4} = \frac{b}{4} = \frac{c}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.

    Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).

    Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên (S) có I(4;3;4);R = \frac{AB}{2} = 3

    Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.

    Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức

    Ta có:

    V = \frac{1}{3}\pi r^{2}AH = \frac{1}{3}\pi r^{2}(R + IH)

    = \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( R + \sqrt{R^{2} - r^{2}} ight)

    = \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}} ight)

    Đặt f(r) = 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}};r \in (0;3brack

    \Rightarrow f'(r) = r\left( 6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \frac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} ight)

    \Rightarrow f'(r) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}r = 0(ktm) \\6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \dfrac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 2\sqrt{9 - r^{2}} = r^{2} - 6;\left( r^{2} \geq 6 ight)

    \Leftrightarrow r^{4} - 8r^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = 0(L) \\ r^{2} = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = - 2\sqrt{2}(L) \\ r = 2\sqrt{2}(tm) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow HI = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 1

    \Rightarrow \frac{AH}{AI} = \frac{AI + HI}{AI} = \frac{R + HI}{R} = \frac{4}{3}

    \Rightarrow AH = \frac{4}{3}AI \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AI} \Rightarrow H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight)

    Mà H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight) \in (P):2x + 2y + z + d = 0 \Rightarrow d = - 21

    Vậy T = b − c + d = −20.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng (P):x+y+2z-13=0. Xét các mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức T=a^2+2b^2+3c^2 khi (S) có bán kính nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

     Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có IA + IH =2R nên R nhỏ nhất khi I, A, H thẳng hàng và I là trung điểm của AH.

    Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{matrix}ight.

    Tọa độ H là nghiệm (x;y;z) của hệ:

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \\ x+y+2z-13=0 \end{matrix}ight.

    \Rightarrow H(3;4;3)\Rightarrow I(2;3;1)

    Suy ra, ta có: T=a^2+2b^2+3c^2 =2^2+2.3^2+3.1^2=25

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 4 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - mt \\ z = (m - 1)t \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right), m là tham số thực. Các mặt phẳng (P), (P') chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S) tại T,T'. Khi mthay đổi thì độ dài TT' nhỏ nhất là

    Hướng dẫn:

    Gọi K là hình chiếu của tâm I trên d, H là trung điểm của TT’, ta có:

    R^{2} = IT^{2} = IH.IK = \sqrt{R^{2} - HT^{2}}.IK

    \Rightarrow HT = R\sqrt{1 - \frac{R^{2}}{IK^{2}}} \Rightarrow TT' = 2R\sqrt{1 - \frac{R^{2}}{IK^{2}}}.

    Ta có TT'_{\min} \Leftrightarrow \left( \frac{R}{IK} \right)_{\max} \Leftrightarrow IK_{\min} = IE, trong đó E là hình chiếu của I trên mặt phẳng cố định (\alpha):x + y + z - 1 = 0 chứa d.

    Ta có IE = d\left( I,(\alpha) \right) = \frac{5}{\sqrt{3}} > 2 = R.

    Vậy TT'_{\min} = 4\sqrt{1 - \frac{4.3}{25}} = \frac{4\sqrt{13}}{5}.

  • Câu 17: Vận dụng
    Xác định phương trình mặt cầu

    Cho tứ diện ABCD có A(1,1,1);\ \ \ B(3,3,1);\ \ \ C(3,1,3);\ \ \ D(1,3,3). Viết phương trình mặt cầu \left( S_{1} \right) tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (2,2,0);\ \ \overrightarrow{AC} = (2,0,2);\overrightarrow{AD} = (0,2,2);\overrightarrow{BC} = (0, - 2,2);

    \overrightarrow{BD} = ( - 2,0,2);\overrightarrow{CD} = ( - 2,2,0).

    \Rightarrow AB = AC = AD = BC = BD = CD = 2\sqrt{2}

    \Rightarrow Mặt cầy \left( S_{2} \right) tiếp xúc với 6 cạnh tại trung điểm của chúng.

    Gọi I và J là trung điểm của AB và CD \Rightarrow I(2,2,1);J(2,2,3)

    \Rightarrow IJ = 2.\ \ \left( S_{1} \right) có bán kính R_{1} = 1, tâm E(2,2,2)

    \Rightarrow \left( S_{1} \right):(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 1

    Chú ý: Tứ diện đều ABCD có tâm E:\left\{ \begin{matrix} x = \frac{1}{4}(1 + 3 + 3 + 1) = 2 \\ y = \frac{1}{4}(1 + 3 + 1 + 3) = 2 \\ z = \frac{1}{4}(1 + 1 + 3 + 3) = 2 \\ \end{matrix} \right. cũng là tâm của mặt cầu \left( S_{1} \right). Bán kính của \left( S_{1} \right):R_{1} = d(E,\ \ AB) = 1

  • Câu 18: Vận dụng
    Viết phương trình mặt phẳng (P)

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0 và mặt phẳng (α) : x + 4y + z − 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết (P) song song với giá của vectơ \overrightarrow{v} = (1;6;2), vuông góc với (α) và tiếp xúc với (S).

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R = 4.

    Vectơ pháp tuyến của (α) là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;4;1)

    Theo giả thiết, suy ra (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{v};\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ightbrack = (2; - 1;2)

    Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng 2x − y + 2z + D = 0

    Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2 + 3 + 4 + D|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4

    \Leftrightarrow |9 + D| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} D = 3 \\ D = - 21 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là: \left\lbrack \begin{matrix} (P):2x - y + 2z + 3 = 0 \\ (P):2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Xác định vectơ chỉ phương

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy) và đi qua ba điểm A(1;2; - 4),B(1; - 3;1),C(2;2;3). Tọa độ tâm I của mặt cầu (S) là:

    Hướng dẫn:

    Gọi tâm mặt cầu là I(a;b;c) và phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

    Do I \in (Oxy) \Rightarrow c = 0

    \Rightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by + d = 0

    Lại có \left\{ \begin{matrix} A \in (S) \\ B \in (S) \\ C \in (S) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a + 4b - d = 21 \\ 2a - 6b - d = 11 \\ 4a + 4b - d = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 1 \\ d = - 21 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy I( - 2;1;0) là đáp án cần tìm.

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón (N) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao là h(h > R). Hình trụ (T) có đáy là đường tròn (C) và có cùng chiều cao với hình nón (N). Tính thể tích V khối trụ được tạo nên bởi (T) theo R, biết V có giá trị lớn nhất.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi khoảng cách từ O dến mặt phẳng (P) là d với (0 \leqd \leq R), đường tròn (C) có bán kính là r.

    V = h \cdot \pi \cdot r^{2} = \pi(R +d)\left( R^{2} - d^{2} ight) = \pi\left( - d^{3} - Rd^{2} + R^{2}d +R^{3} ight)

    V^{'}(d) = \pi\left( - 3d^{2} - 2Rd+ R^{2} ight) = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}d = - 1 \\d = \frac{R}{3} \\\end{matrix} \Rightarrow d = \frac{R}{3} ight.

    Ta có V(0) = \pi R^{3},V(R) = 0 và V\left( \frac{R}{3} ight) =\frac{32}{27}\pi R^{3}.

    Vậy V = \frac{32}{27}\piR^{3}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
28 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này