Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 15 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 4y + z + 1 = 0 và hai điểm A(1; 0; 2), B(2; 5; 3). Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ nhất có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;b;c)

    Phương trình đường thẳng d có dạng \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = bt \\ z = 2 + ct \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do đường thẳng d k (P) nên 1 - 4b + c = 0 \Rightarrow c = 4b - 1.

    Khoảng cách từ B đến đường thẳng d là:

    d(B;d) = \frac{\left| \overrightarrow{u} \land \overrightarrow{AB} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{378b^{2} - 216b + 54}}{\sqrt{17b^{2} - 8b + 2}}

    Xét hàm số f(b) = \frac{378b^{2} - 216b + 54}{17b^{2} - 8b + 2} có

    f'(b) = \frac{648b^{2} - 324b}{\left( 17b^{2} - 8b + 2 ight)^{2}} \Rightarrow f'(b) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 0 \\ b = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta được khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất tại b = \frac{1}{2}

    Khi đó \overrightarrow{u} = \left( 1;\frac{1}{2};1 ight), chọn \overrightarrow{u} = (2;1;2).

    Phương trình đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2} hay \frac{x - 3}{2} = \frac{1 - y}{- 1} = \frac{z - 4}{2}.

  • Câu 2: Vận dụng
    Góc giữa 2 đường thẳng

    Tính góc của hai đường thẳng \left( {d'} ight):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z + 2}}{4}và \left( d ight):x = 3 + 2t;\,\,y = 2t - 4;\,\,z = 2\,\,\,\left( {t \in R} ight).

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta có (d’) và (d) có vec-tơ chỉ phương lần lượt là:\overrightarrow a = \left( {2,4,4} ight);\overrightarrow b = \left( {2,2,0} ight)

    Áp dụng công thức cosin của góc giữa 2 đường thẳng, ta có:

    \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 4.0} ight|}}{{6.2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính bán kính mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;6). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON = 12. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt phẳng (ABC):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 (1).

    Gọi N(x;y;z), thì \overrightarrow{OM} = t.\overrightarrow{ON} = (tx;ty;tz),t > 0.

    Mà OM.ON = 12 suy ra t = \frac{12}{ON^{2}}.

    Do đó tọa độ M\left( \frac{12x}{ON^{2}};\frac{12y}{ON^{2}};\frac{12z}{ON^{2}} \right) thay vào (1) ta có:

    \frac{6x + 3y + 2z}{ON^{2}} = 1\Leftrightarrow ON^{2} = 6x + 3y + 2z

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 3y - 2z = 0.

    Vậy N thuộc mặt cầu cố định tâm I\left( 3;\frac{3}{2};1 \right), bán kính R = \sqrt{3^{2} + \left( \frac{3}{2} \right)^{2} + 1^{2}} = \frac{7}{2}.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; - 2;6), B(0;1;0) và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25. Mặt phẳng (P):ax + by + cz - 2 = 0 đi qua A,B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T = a + b + c

    Hướng dẫn:

    Gọi I(1\ ;\ 2\ ;\ 3) là tâm mặt cầu. Kẻ IH,IK lần lượt vuông góc với (P) và AB thì ta có IH \leq IK, do đó để đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất thì (P) cách xa tâm I nhất, hay \max d\left( I,(P) \right) = IK, khi đó \overrightarrow{IK} là một VTPT của (P).

    Ghi \frac{x - y + 2z}{6} CALC nhập 1 = 1 = 3 = \ = STO M, bấm AC ghi M - 1: - M - 1:2M - 3 bấm = \ \ = \ \ = ta được \overrightarrow{IK} = (0; - 2; - 1), suy ra (P):0x + 2y + z - 2 = 0.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;6; - 7),\ \ B(3;2;1)và mặt phẳng (P) có phương trình x + y - z - 6 = 0

    a) Mặt phẳng (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}(1;1; - 1) Đúng||Sai

    b) Mặt phẳng (Q)đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P)có phương trình là x + y - z + 14 = 0 Sai||Đúng

    c) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn ABlà x - 2y + 4z + 18 = 0. Đúng||Sai

    d) Mlà một điểm trên mặt phẳng (P), tổng MA + MB ngắn nhất khi M\left( \frac{13}{5};\frac{14}{5};\frac{3}{5} \right) Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;6; - 7),\ \ B(3;2;1)và mặt phẳng (P) có phương trình x + y - z - 6 = 0

    a) Mặt phẳng (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}(1;1; - 1) Đúng||Sai

    b) Mặt phẳng (Q)đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P)có phương trình là x + y - z + 14 = 0 Sai||Đúng

    c) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn ABlà x - 2y + 4z + 18 = 0. Đúng||Sai

    d) Mlà một điểm trên mặt phẳng (P), tổng MA + MB ngắn nhất khi M\left( \frac{13}{5};\frac{14}{5};\frac{3}{5} \right) Sai||Đúng

    ĐúngSaiĐúngSai

    a. Mặt phẳng (P)có vecto pháp tuyến \overrightarrow{n}(1;1; - 1)

    b. Mặt phẳng (Q)song song với mặt phẳng (P)nên mặt phẳng (Q)có phương trình dạng x + y - z + d = 0\ \ (d \neq 0)

    Vì mặt phẳng (Q)đi qua A(1;6; - 7) nên ta có phương trình 1 + 6 + 7 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 14

    Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là x + y - z - 14 = 0

    c. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm I(2;4; - 3)của đoạn ABvà nhận \overrightarrow{AB}(2; - 4;8)làm vecto pháp tuyến có phương trình

    \ \ \ \ \ \ 2(x - 2) - 4(y - 4) + 8(z + 3) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 4z + 18 = 0

    d. Thay toạ độ điểm A,\ B vào phương trình mặt phẳng (P) ta có P(A).P(B) < 0 do đó điểm A,\ Bnằm về hai phía với mặt phẳng (P) do đó MA + MB ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)

    Đường thẳng AB đi qua A(1;6; - 7) và nhận \overrightarrow{AB}(2; - 4;8) làm vecto chỉ phương có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 6 - 4t \\ z = - 7 + 8t \end{matrix} \right.

    Toạ độ điểm Mthoả mãn hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 6 - 4t \\ z = - 7 + 8t \\ x + y - z - 6 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{13}{5} \\ y = \frac{14}{5} \\ z = - \frac{3}{5} \\ t = \frac{4}{5} \end{matrix} \right.

    Vậy toạ độ M\left( \frac{13}{5};\frac{14}{5}; - \frac{3}{5} \right)

  • Câu 6: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:(D):\ \frac{x\ - \ x_{1}}{a_{1}} = \frac{y\ - \ y_{1}}{a_{2}} = \frac{z\ - \ z_{1}}{a_{3}},(d):\ \frac{x\ - \ x_{2}}{b_{1}} = \frac{y\ - \ y_{2}}{b_{2}} = \frac{z\ - \ z_{2}}{b_{3}}. Với a_{1},\ \ a_{2},\ \ a_{3},\ \ b_{1},\ \ b_{2},\ \ b_{3} \neq \ 0. Gọi \overrightarrow{a} = \left( \ a_{1},\ \ a_{2},\ \ a_{3} \right);\ \ \overrightarrow{b} = \left( \ b_{1},\ \ b_{2},\ \ b_{3} \right) và \overrightarrow{AB} = \left( \ x_{2}\ - \ x_{1},\ \ y_{2}\ - \ y_{1},\ \ z_{2}\ - \ z_{1} \right). (D) và (d) cắt nhau khi và chỉ khi:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} = 0 \Rightarrow (D) và (d) cùng nằm trong một mặt phẳng a_{1}:a_{2}:a_{3} \neq b_{1}:b_{2}:b_{3} \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} \neq \frac{a_{2}}{b_{2}} \neq \frac{a_{3}}{b_{3}} \Rightarrow (D) và (d) cắt nhau.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Xác định tọa độ điểm đối xứng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 2}{2} và điểm A(3;2;0). Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là:

    Hướng dẫn:

    Gọi M( - 1 + t; - 3 + 2t; - 2 + 2t) \in d

    \Rightarrow AH = (t - 4;2t - 5;2t - 2)

    Vectơ chỉ phương của d là \overrightarrow{u} = (1;2;2)

    Vì \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{AH} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH} = 0

    \Leftrightarrow 1(t - 4) + 2(2t - 5) + 2(2t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 2

    Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì: \left\{ \begin{matrix} x = 2.1 - 3 = - 1 \\ y = 2.1 - 2 = 0 \\ z = 2.2 - 0 = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là: ( - 1;0;4).

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; - 1;0) và đường thẳng : d:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{1}. Mặt phẳng (\alpha) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (\alpha) lớn nhất có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (\alpha), K là hình chiếu vuông góc của A lên d.

    Ta có: d(A;d) = AK cố định và d\left( A;(\alpha) \right) = AH \leq AK \Rightarrow d\left( A;(\alpha) \right)_{MAX} bằng AK khi H \equiv K.

    d:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{1} qua M(2; - 1;1), có VTCP \overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;2;1).

    Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{AM} \right\rbrack = (2;0;2).

    Mặt phẳng (\alpha) có một VTPT là \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = ( - 4; - 4;4) = - 4(1;1; - 1) và (\alpha) qua M(2; - 1;1) có phương trình: 1(x - 2) + 1(y + 1) - 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - z = 0.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{1}, mặt phẳng (P):x + y - 2z + 5 = 0 và A(1; - 1;2). Đường thẳng \Delta cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Phương trình đường thẳng \Delta là.

    Hướng dẫn:

    M \in d \Rightarrow M( - 1 + 2t;t;t + 2)

    A là trung điểm MN \Rightarrow N(3 - 2t; - 2 - t;2 - t)

    N \in (P) \Rightarrow t = 2 \Rightarrow M(3;2;4)

    \Delta đi qua điểm M(3;2;4) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{AM} = (2;3;2)

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{2}

  • Câu 10: Thông hiểu
    Viết phương trình tham số

    Đường thẳng (d): \frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{4}có phương trình tham số là:

    Hướng dẫn:

    Ta có đường thẳng (d) qua A ( 2, -1, 4) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow a = \left( {3, - 2,4} ight) = - \left( { - 3,2, - 4} ight) có phương trình tham số là:

    => (d) \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3m\\y = - 1 + 2m\\z = 4 - 4m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}  

  • Câu 11: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2} và \Delta_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{3}. Phương trình đường thẳng song song với d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = - 1 + t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} \right. và cắt hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi \Delta là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = \Delta \cap \Delta_{1},B = \Delta \cap \Delta_{2}

    A \in \Delta_{1} \Rightarrow A( - 1 + 3a;2 + a;1 + 2a)

    B \in \Delta_{2} \Rightarrow B(1 + b;2b; - 1 + 3b)

    \overrightarrow{AB} = ( - 3a + b + 2; - a + 2b - 2; - 2a + 3b - 2)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (0;1;1)

    \Delta//d \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{a_{d}} cùng phương

    \Leftrightarrow có một số k thỏa \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{a_{d}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3a + b + 2 = 0 \\ - a + 2b - 2 = k \\ - 2a + 3b - 2 = k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3a + b = - 2 \\ - a + 2b - k = 2 \\ - 2a + 3b - k = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có A(2;3;3);B(2;2;2)

    \Delta đi qua điểm A(2;3;3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (0; - 1; - 1)

    Vậy phương trình của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 12: Vận dụng
    Tìm tọa độ giao điểm

    Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;1;3) đồng thời cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại M,N,P sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) với (P) có toạ độ là:

    Hướng dẫn:

    Gọi M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)

    Theo giả thiết, ta có a;b;c là các số dương.

    Phương trình mặt phẳng (P) là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    (P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1

    Ta có: \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{3}{c}} = \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}}

    \Leftrightarrow 1 \geq \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc} \geq 3\sqrt[3]{6} \Leftrightarrow abc \geq 112

    V_{OMNP} = \frac{abc}{6} \geq 27. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 3 \\ c = 9 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy (P):\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1

    Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \\ z = 6 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy đáp án cần tìm là: (4; - 1;6).

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(2; - 4; - 1) tới đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)bằng

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng \Delta đi qua N(0;2;3), có véc tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 1;2)

    \overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4);\left\lbrack \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u} \right\rbrack = (16;8; - 4)

    d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = 2\sqrt{14}

  • Câu 14: Vận dụng
    Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

    Hai đường thẳng \left( {d'} ight):x = 8t - 1;\,\,y = - 1 - 14t;\,\,z = - 12t và  \left( d ight):x - 2y + 3z - 1 = 0;\,\,\,2x + 2y - z + 4 = 0\,\,\,\left( {t \in R } ight)

    Hướng dẫn:

    Ta có đường thẳng (d’) qua E (-1, -1, 0) có vecto chỉ phương \overrightarrow a = \left( {8, - 14, - 12} ight)

    Hai pháp vecto của hai đường thẳng \left( d ight):x - 2y + 3z - 1 = 0;\,\,\,2x + 2y - z + 4 = 0\,\,\,\left( {t \in R } ight) lần lượt là \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1, - 2,3} ight);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2,2, - 1} ight)

    Vecto chỉ phương của \left( d ight):\overrightarrow b = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = \left( { - 4,7,6} ight)

    Ta có: \frac{8}{{ - 4}} = \frac{{ - 14}}{7} = \frac{{ - 12}}{6} = - 2 và tọa độ E\left( { - 1, - 1,0} ight) thỏa mãn phương trình của \left( d ight) \Rightarrow \left( D ight) \equiv \left( d ight)

  • Câu 15: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm A( - 2;2;1) cắt trục tung tại B sao cho OB = 2OA.

    Hướng dẫn:

    B \in Oy \Rightarrow B(0;b;0)

    OB = 2OA \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 6 \\ b = - 6 \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} B(0;6;0),\ \overrightarrow{AB} = (2;4; - 1) \\ B(0; - 6;0),\ \overrightarrow{AB} = (2; - 8; - 1) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x}{2} = \frac{y - 6}{4} = \frac{z}{- 1} và \frac{x}{2} = \frac{y + 6}{- 8} = \frac{z}{- 1}.

  • Câu 16: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 3}{1} và mặt phẳng (P):2x + y - 2z + 9 = 0. Gọi A là giao điểm của d và (P). Phương trình tham số của đường thẳng \Delta nằm trong (P), đi qua điểm A và vuông góc với d là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A = d \cap (P)

    \begin{matrix} A \in d \Rightarrow A(1 - t; - 3 + 2t;3 + t) \\ A \in (P) \Rightarrow t = 1 \Rightarrow A(0; - 1;4) \\ \end{matrix}

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 2)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = ( - 1;2;1)

    Gọi vecto chỉ phương của \Delta là \overrightarrow{a_{\Delta}}

    Ta có :

    \left. \ \begin{matrix} \Delta \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{\Delta}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \\ d\bot\Delta \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{a_{d}} ightbrack = (5;0;5)

    \Delta đi qua điểm A(0; - 1;4) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a_{\Delta}} = (5;0;5)

    Vậy phương trình tham số của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + y - z - 3 = 0 và hai điểm A(1;1;1), B( - 3; - 3; - 3). Mặt cầu (S) đi qua hai điểm A,B và tiếp xúc với (P) tại điểm C. Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó

    Hướng dẫn:

    Gọi D là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P), trong mặt phẳng (ABC) thì giao tuyến với mặt cầu là một đường tròn.

    Áp dụng tính chất tiếp tuyến và cát tuyến ta có: DC = \sqrt{DA.DB} = R không đổi, nên C thuộc đường tròn tâm D, bán kính R.

    Ta có

    \frac{DB}{DA} = \frac{d_{B}}{d_{A}} = \frac{d\left( B,(P) \right)}{d\left( A,(P) \right)} = \frac{| - 6|}{| - 2|} = 3

    \Leftrightarrow \frac{DA + AB}{DA} = 3 \Leftrightarrow DA = \frac{AB}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.

    Suy ra R = \sqrt{2\sqrt{3}.6\sqrt{3}} = 6.

  • Câu 18: Vận dụng
    Tính tổng bán kính hai mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, xét số thực m \in (0;1) và hai mặt phẳng (\alpha):2x - y + 2z + 10 = 0 và (\beta):\frac{x}{m} + \frac{y}{1 - m} + \frac{z}{1} = 1. Biết rằng khi m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng (\alpha),(\beta). Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi I(a\ ;\ b\ ;\ c) là tâm mặt cầu, bán kính R.

    Ta thấy \sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{(1 - m)^{2}} + 1} = \frac{1}{m(1 - m)} - 1.

    R = d\left( I,(\beta) \right) = \frac{\left| \frac{a}{m} + \frac{b}{1 - m} + c - 1 \right|}{\frac{1}{m(1 - m)} - 1}, thay m bởi 1 - m suy ra a = b.

    Khi đó: R = \frac{\left| \frac{a}{m(1 - m)} + c - 1 \right|}{\frac{1}{m(1 - m)} - 1} \Rightarrow c - 1 = - a,R = |a|.

    Mặt khácR = d\left( I,(\alpha) \right) = \frac{|a + 2c + 10|}{3}, suy ra | - a + 12| = 3|a| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 6 \\ a = 3 \end{matrix} \right..

    Vậy R_{1} + R_{2} = 6 + 3 = 9.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính đường kính lớn nhất của đường tròn đó

    Trong không gian Oxyz, cho (P):(1 + m)x + (1 - m)y - (1 + 3m)z - (2 - 8m) = 0, điểm A( - 4; - 2;7). Biết tập hợp các hình chiếu của A lên mặt phẳng (P) là một đường tròn. Đường kính lớn nhất của đường tròn đó bằng:

    Hướng dẫn:

    Viết lại mặt phẳng (P) thành: x + y - z - 2 + m(x - y - 3z + 8) = 0 do đó (P) luôn đi qua một đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng (\alpha):x + y - z - 2 = 0 và (\beta):x - y - 3z + 8 = 0.

    Phương trình của là d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 1}{1}. Gọi M là điểm chiếu vuông góc của A trên (P), I là hình chiếu của A trên d thì AM vuông góc với IM nên M thuộc mặt cầu đường kính AI.

    Ta có

    AM = \frac{\left| - 4(1 + m) - 2(1 - m) + 7(1 + 3m) - (2 - 8m) \right|}{\sqrt{(1 + m)^{2} + (1 - m)^{2} + (1 + 3m)^{2}}} = \frac{|27m - 1|}{\sqrt{11m^{2} + 6m + 3}}.

    Khi m = 1/27 thì AM = 0, nghĩa là MI \equiv AI = 5\sqrt{3}.

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tìm phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác nhọn ABC cóH(2;2;1);K\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right); O(0;0;0) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A;B;C trên các cạnh BC;CA;AB. Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Cách 1: I:OH = 3;OK = 4;HK = 5. Gọi I là trực tâm tam giác ABC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{4.2 + 5.0 + 3.\left( - \dfrac{8}{3} \right)}{12} = 0 \\y_{I} = \dfrac{3.\dfrac{4}{3} + 4.2 + 5.0}{12} = 1 \\z_{I} = \dfrac{3.\dfrac{8}{3} + 4.1 + 5.0}{12} = 1 \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    \overrightarrow{IH} = (2;1;0) \Rightarrow (\Delta):\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.

    A \in IH \Rightarrow A(2t;1 + t;1)

    \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OI} = 0 \Leftrightarrow t = - 2

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} A( - 4; - 1;1) \in d \\ \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{OI};\overrightarrow{OH} \right\rbrack = ( - 1;2; - 2) \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow (d):\frac{x + 4}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 1}{2}

    Cách 2: VTPT của (ABC) là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{OH};\overrightarrow{OK} \right\rbrack = 4(1; - 2;2).

    Vì \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OK} = 0 \Rightarrow \widehat{HOK} = 90^{0}.

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua O;\overrightarrow{n_{\alpha}} = \overrightarrow{OK} = \frac{4}{3}( - 2;1;2) \Rightarrow (\alpha): - 2x + y + 2z = 0.

    Gọi (\beta) là mặt phẳng đi qua O;\overrightarrow{n_{\beta}} = \overrightarrow{OH} = (2;2;1) \Rightarrow (\beta):2x + 2y + z = 0.

    Ta có d\left( A;(\alpha) \right) = d\left( A;(\beta) \right), đối chiếu phương án A;B;C;D thấy A( - 4; - 1;1) thỏa mãn.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
31 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này