Trong không gian , tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là:
Gọi là hình chiếu của
lên mặt phẳng
.
Khi đó: nhận
là vectơ chỉ phương suy ra phương trình
.
Do .
Do .
Trong không gian , tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt phẳng
là:
Gọi là hình chiếu của
lên mặt phẳng
.
Khi đó: nhận
là vectơ chỉ phương suy ra phương trình
.
Do .
Do .
Trong không gian với hệ tọa độ bán kính của mặt cầu tâm
và tiếp xúc với đường thẳng
bằng
Bán kính mặt cầu cần tìm là khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d.
Trong không gian với hệ tọa độ gọi
đi qua điểm
, song song với
, đồng thời tạo với đường thẳng
một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng
là.
có vectơ chỉ phương
có vectơ chỉ phương
có vectơ pháp tuyến
Vì nên
Đặt , ta có:
Xét hàm số , ta suy ra được:
Do đó:
Chọn
Vậy phương trình đường thẳng là
Trong không gian với hệ tọa độ , gọi
là mặt phẳng chứa đường thẳng
và vuông góc với mặt phẳng
. Hỏi giao tuyến của
và
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có:
Suy ra
Khi đó giao tuyến thỏa hệ
Thay các phương án vào hệ, ta nhận phương án .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
và mặt phẳng
. Biết rằng tồn tại điểm
thuộc
sao cho
đạt giá trị lớn nhất. Tính
.
Thay tọa độ điểm M và N vào vế trái phương trình mặt phẳng (P), ta có nên hai điểm M, N nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P).
Khi đó ta có và đẳng thức xảy ra khi
Phương trình tham số của đường thẳng MN là
Tọa độ giao điểm của MN và (P) là nghiệm hệ phương trình
Vậy
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) qua A (2, 3, 1) cắt đường thẳng và vuông góc đường thẳng
Lấy điểm nằm trên đường thẳng (d1).
Theo đề bài, ta có (d1) qua có vecto chỉ phương là
Ta có:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) chứa A và
(1)
Xét tiếp đường thẳng có vecto chỉ phương của là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua A và vuông góc với . Ta có phương trình mp (Q) là
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
Đường thẳng vuông góc với đường thẳng nào sau đây?
Hai pháp vec-tơ của hai mặt phẳng là
có vec-tơ chỉ phương
có vec-tơ chỉ phương
có vec-tơ chỉ phương
Trong không gian , cho mặt cầu
có tâm
và có bán kính
. Xét đường thẳng
,
là tham số thực. Giả sử
là mặt phẳng chứa
và tiếp xúc với
lần lượt tại
. Khi đó đoạn
ngắn nhất, hãy tính khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
.

Ta có d nằm trong mặt phẳng cố định. Gọi H là trung điểm của MN, K là hình chiếu của tâm
trên d.
Ta có , suy ra
.
Để nhỏ nhất thì
lớn nhất
nhỏ nhất
, trong đó
là khoảng cách từ I đến
. Khi đó
đi qua E là hình chiếu của I trên
.
Ghi CALC (nhập tọa độ I) STO M, bấm M+1 : M +2 : M + 3 = = = ta được tọa độ
thay vào
ta có
. Khi đó chọn
.
Ghi CALC (nhập tọa độ
) 0 = 0 = 4 = được
.
Trong không gian , cho đường thẳng
và hai điểm
. Gọi
là đường thẳng đi qua điểm
và cắt đường thẳng
sao cho khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng
là:
Gọi . Khi đó
Ta có
Khoảng cách từ B đến d được tính như sau:
Xét hàm số ta có:
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có: nhỏ nhất khi
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
tại
Suy ra
Khi đó vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: .
Trong không gian , xét số thực
và hai mặt phẳng
và
. Biết rằng khi
thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng
. Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng
Gọi là tâm mặt cầu, bán kính
.
Ta thấy .
, thay
bởi
suy ra
.
Khi đó: .
Mặt khác, suy ra
.
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là . Biết rằng điểm
thuộc đường thẳng AB và điểm
thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?
Giả sử , , ta có:
Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:
Từ đây ta bình phương 2 vế được:
Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là .
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm
và
. Phương trình d đi qua trọng tâm của
và vuông góc với mặt phẳng
là
Gọi G là trọng tâm , ta có
Gọi là vectơ chỉ phương của
Vậy phương trình của là
Trong hệ tọa độ , cho A (1; 4; 2), B (-1; 2; 4), đường thẳng
và điểm M thuộc d. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMB?
Phương trình chính tắc của (nháp).
Tính các khoảng cách lần lượt từ A, B đến d, nhập công thức
CALC (thay A vào tử của d)
kết quả
CALC (thay B vào tử của d)
kết quả
.
Do đó .
Đến đây gọi I(0; 3; 3) là trung điểm AB.
CALC nhập kết quả
. Mặt khác
.
Suy ra .
Trong không gian , cho hai điểm
,
và mặt cầu
. Mặt phẳng
đi qua
và cắt
theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính
Gọi là tâm mặt cầu. Kẻ
lần lượt vuông góc với
và
thì ta có
, do đó để đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất thì
cách xa tâm I nhất, hay
, khi đó
là một VTPT của
.
Ghi CALC nhập
STO M, bấm AC ghi
bấm
ta được
, suy ra
.
Trong không gian tọa độ , cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khoảng cách giữa đưởng thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Ta có: , nên đường thằng
song song với mặt phẳng
.
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng khoảng cách từ
đến mặt phẳng
:
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d):
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
Chuyển (d) về dạng tham số :
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
. Đường thẳng
đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
. Hỏi
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có:
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Phương trình đường thẳng
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).
Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
có tọa độ là
Hình chiếu của lên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng
. Điểm
thuộc d thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
bằng
Cách 1. Tâm tỉ cự.
Ghi CALC nhập
có
. CALC nhập
có
.
Gọi K là trung điểm AB, tọa độ .
Sửa thành CALC nhập
STO M (ở đây
).
I là hình chiếu của K trên d, ghi bấm = có
.
Cách 2. Vị trí tương đối.
Ta có .
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB cắt d tại I, phương trình là: . Ghi
SHIFT SOLVE và sửa thành bấm = ta có
.
Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác
có
. Phương trình
đi qua trọng tâm của tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
là
Gọi G là trọng tâm ABC, ta có G(2 ; -1 ; 0)
Gọi là vectơ chỉ phương của d
đi qua
và có vectơ chỉ phương là
Vậy phương trình tham số của là
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: