Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 15 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm tọa độ hình chiếu A’ của A

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 6 - 4t \\ y = - 2 - t \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} \right.. Tìm tọa độ hình chiếu A’ của A trên (d)

    Hướng dẫn:

    Ta có A' \in (d) nên gọi A'(6 - 4t; - 2 - t; - 1 + 2t); \overrightarrow{AA'} = (5 - 4t; - 3 - t; - 2 + 2t);

    đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}( - 4; - 1;2)

    AA'\bot(d) \Rightarrow \overrightarrow{AA'}\bot\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{u} = 0

    \Leftrightarrow (5 - 4t).( - 4) + ( - 3 - t).( - 1) + ( - 2 + 2t).2 = 0

    \Leftrightarrow t = 1

    \Rightarrow A'(2; - 3;1).

    Vậy A'(2; - 3;1).

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính khoảng cách

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a;\,\,AD = b;\,\,AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, EF, DH. Tính khoảng cách giữa NP và CG.

    Hướng dẫn:

    Ta biểu diễn các điểm N, P, C, G theo a, b, c được:

    N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight);P\left( {0,b,\frac{c}{2}} ight);\,C\left( {a,b,0} ight);\,\,\,G\left( {a,b,c} ight)

    Từ đó, ta tính được các vecto tương ứng:

    \overrightarrow {NP} = \left( { - \frac{a}{2},b, - \frac{c}{2}} ight);\,\,\,\overrightarrow {CG} = \left( {0,0,c} ight);\,\,\overrightarrow {PC} = \left( {a,0, - \frac{c}{2}} ight)

    Để tính khoảng cách giữa NP và CG, ta cần tính tích có hướng và tích độ dài giữa chúng rồi áp dụng CT tính khoảng cách:

    \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight] = \left( { - bc, - \dfrac{{ac}}{2},0} ight) = > \left| {\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight]} ight| = \dfrac{c}{2}\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} \\\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight].\overrightarrow {PC} = - abc = > d\left( {NP,CG} ight) = \dfrac{{2ab\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} }}{{{a^2} + 4{b^2}}}\end{array}

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tính tổng C

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1;5;0),B(3;3;6) và đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}. Gọi M(a;b;c) \in \Delta sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng C = MA + MB + AB?

    Hướng dẫn:

    Ta cóM(a;b;c) \in \Delta \Rightarrow M(2t - 1; - t + 1;2t).

    Từ đó ta có: C = MA + MB + AB = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} + 2\sqrt{11}.

    C(t) = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} + 2\sqrt{11}

    \Rightarrow C'(t) = \frac{9}{\sqrt{9t^{2} + 20}} + \frac{9t - 18}{\sqrt{9t^{2} - 36t + 56}} = 0

    \Rightarrow t = 1

    Lập BBT ta có: \min C(t) = C(1) \Rightarrow t = 1 \Rightarrow M(1;0;2).

    Khi đó: C = MA + MB + AB = T

    Đề xuất: Đánh giá f(t) = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} như sau

    f(t) = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56}

    = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9(t - 2)^{2} + 20}

    Trong hệ trục Oxy, chọn \overrightarrow{u} = \left( 2t;2\sqrt{5} \right),\overrightarrow{v} = \left( - 3(t - 2);2\sqrt{5} \right), \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 6;4\sqrt{5} \right). Khi đó
    f(t) = \left| \overrightarrow{u} \right| + \left| \overrightarrow{v} \right| \geq \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right| = 2\sqrt{14}.

    Đẳng thức xảy ra khi và chi khi \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} cùng hướng\Leftrightarrow \frac{3t}{- 3(t - 2)} = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M(1;0;2).

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm tọa độ hình chiếu của M

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2;3;4) trên mặt phẳng (P):2x - y - z + 6 = 0 là điểm nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).

    Khi đó phương trình tham số của ∆ là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).

    Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix}x = 2 + 2t \\y = 3 - t \\z = 4 - t \\2x - y - z + 6 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\y = \dfrac{7}{2} \\z = \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

    Vậy M'\left( 1;\frac{7}{2};\frac{9}{2} ight)

  • Câu 5: Thông hiểu
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 5 - 2t \\ \end{matrix} \right.. Phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm A(2;3; - 1) và vuông góc với hai đường thẳng d_{1},\ d_{2} là

    Hướng dẫn:

    d_{1} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{1}} = (2;3; - 1)

    d_{2} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{2}} = (1; - 2; - 2)

    Gọi \overrightarrow{a_{\Delta}} là vectơ chỉ phương của \Delta

    \left\{ \begin{matrix} \Delta\bot d_{1} \\ \Delta\bot d_{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a_{\Delta}}\bot\overrightarrow{a_{1}} \\ \overrightarrow{a_{\Delta}}\bot\overrightarrow{a_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{1}};\overrightarrow{a_{2}} ightbrack = ( - 8;3; - 7)

    Vậy phương trình tham số của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = 2 - 8t \\ y = 3 + 3t \\ z = - 1 - 7t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d_{1}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}; d_{2}:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 2}; d_{3}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{1}. Đường thẳng d vuông góc với d_{3}; cắt hai đường thẳng d_{1},d_{2} theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất là?

    Hướng dẫn:

    Gọi A(1 + a; - 2a;1 + a) \in d_{1},B(2 - b;3b; - 1 - 2b) \in d_{2} là các giao điểm với dcần tìm.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1 - a - b;2a + 3b; - 2 - a - 2b)\bot\overrightarrow{u_{3}} = (2;1;1)

    nên 2 - 2a - 2b + 2a + 3b - 2 - a - 2b = 0

    \Leftrightarrow - a - b = 0 \Leftrightarrow a = - b, khi đó

    \overrightarrow{AB} = (1;b; - 2 - b) \Rightarrow AB^{2} = 2b^{2} + 4b + 5 \geq 3 \Rightarrow \min AB = \sqrt{3}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1; - 3), B( - 3;2;1). Gọi (d) là đường thẳng đi qua M(1;2;3) sao cho tổng khoảng cách từ A đến (d) và từ B đến (d) là lớn nhất. Khi đó phương trình đường thẳng (d) là

    Hướng dẫn:

    Ta có d(A,d) \leq AM;d(B,d) \leq BM \Rightarrow max\left( d(A,d) + d(B,d) \right) = AM + BM.

    Khi đó (d) đi qua M và vuông góc với (ABM):x + 13y - 2z = 21.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 2;1;0), B(4;4; - 3), C(2;3; - 2) và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}. Gọi (\alpha) là mặt phẳng chứa (d) sao cho A, B, Cở cùng phía đối với mặt phẳng (\alpha). Gọi d_{1}, d_{2}, d_{3}lần lượt là khoảng cách từ A, B, C đến (\alpha). Tìm giá trị lớn nhất của T = d_{1} + 2d_{2} + 3d_{3}.

    Hướng dẫn:

    Gọi mp(\alpha):a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0, trong đó \overrightarrow{n_{\alpha}}.\overrightarrow{u_{d}} = 0 \Rightarrow a = 2b + c (1).

    Ta có d_{1} + 2d_{2} + 3d_{3} = \frac{| - 3a - c| + 2|3a + 3b - 4c| + 3|a + 2b - 3c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}, vì A, B, C cùng phía với (\alpha) nên T = \frac{|6a + 12b - 18c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} (2).

    Thay (1) vào (2), ta có: T = \frac{12|2b - c|}{\sqrt{(2b + c)^{2} + b^{2} + c^{2}}}

    T = 12\sqrt{\frac{4b^{2} - 4bc + c^{2}}{5b^{2} + 4bc + 2c^{2}}} \Rightarrow \max T = 12\sqrt{\frac{7}{2}} = 6\sqrt{14} \Leftrightarrow \frac{b}{c} = - \frac{2}{3}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{2 - z}{1}. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q):2x - y - 2z - 2 = 0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A(1;2;3) cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng:

    Hướng dẫn:

    Giả sử (P) \cap (Q) = \Delta, trong mặt phẳng (P) thì d \cap \Delta = M.

    Trên d lấy điểm B và hạ BH,BK vuông góc với (Q) và \Delta. Khi đó \widehat{BKH} = \varphi là góc giữa (P) và (Q).

    Ta có \sin\varphi = \frac{BH}{BK} \geq \frac{BH}{BM} , dấu bằng có khi K \equiv M.

    Khi đó \Delta\bot d nên \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{n_{Q}} \right\rbrack.

    Tính được \overrightarrow{u_{\Delta}} = (3;0;3) hoặc chọn \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;0;1).

    Suy ra \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right\rbrack = (1;1; - 1) do đó phương trình (P):x + y - z + 3 = 0.

    Vậy d\left( A,(P) \right) = \sqrt{3}.

  • Câu 10: Vận dụng
    Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

    Hai đường thẳng \left( {d'} ight):x = 8t - 1;\,\,y = - 1 - 14t;\,\,z = - 12t và  \left( d ight):x - 2y + 3z - 1 = 0;\,\,\,2x + 2y - z + 4 = 0\,\,\,\left( {t \in R } ight)

    Hướng dẫn:

    Ta có đường thẳng (d’) qua E (-1, -1, 0) có vecto chỉ phương \overrightarrow a = \left( {8, - 14, - 12} ight)

    Hai pháp vecto của hai đường thẳng \left( d ight):x - 2y + 3z - 1 = 0;\,\,\,2x + 2y - z + 4 = 0\,\,\,\left( {t \in R } ight) lần lượt là \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1, - 2,3} ight);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2,2, - 1} ight)

    Vecto chỉ phương của \left( d ight):\overrightarrow b = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = \left( { - 4,7,6} ight)

    Ta có: \frac{8}{{ - 4}} = \frac{{ - 14}}{7} = \frac{{ - 12}}{6} = - 2 và tọa độ E\left( { - 1, - 1,0} ight) thỏa mãn phương trình của \left( d ight) \Rightarrow \left( D ight) \equiv \left( d ight)

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1} và mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0 Đường thẳng (P):x + y + z + 2 = 0 nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d đồng thời khoảng cách từ giao điểm I của d với (P) đến \Delta bằng \sqrt{42}. Gọi M(5;b;c) là hình chiếu vuông góc của I trên \Delta Giá trị của bc bằng

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}}(2;1; - 1).

    Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là \overrightarrow{n}(1;1;1).

    Gọi \overrightarrow{u_{2}} là vecto chỉ phương của đường thẳng \Delta. Khi đó \overrightarrow{u_{2}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (2; - 3;1)

    Vì I = d \cap (P) nên ta tìm được I(1; - 3;0)

    Gọi \Delta' là đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với \Delta, \Delta \cap \Delta' = M thỏa mãn IM = \sqrt{42}

    có vecto chỉ phương là: \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = (4;1; - 5).

    Khi đó có phương trình là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = - 3 + t \\ z = - 5t \\ \end{matrix} \right..

    Gọi M \in \Delta^{'} \Rightarrow M(1 + 4t; - 3 + t; - 5t), IM = \sqrt{42}

    \Rightarrow (4t)^{2} + t^{2} + (5t)^{2} = 42 \Leftrightarrow t = \pm 1.

    Vớit = 1 \Rightarrow M(5; - 2; - 5) \Rightarrow bc = 10.

    Với t = - 1 \Rightarrow M( - 3; - 4; - 5)(L)

    Vậy bc = 10

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho A(2;0;0), M(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại B, C. Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Gọi B(0;b;0),C(0;0;c) với b,c > 0.

    Phương trình (P):bcx + 2cy + 2bz - 2bc = 0.

    Vì (P) qua M nên bc = 2(b + c).

    Do vai trò ngang nhau nên b = c = 4.

    Kẻ đường cao AH trong tam giác ABC, ta có:

    Tọa độ H(0;2;2) \Rightarrow AH = \sqrt{OH^{2} + OA^{2}} = \sqrt{8 + 4} = 2\sqrt{3}.

    nên min S_{ABC} = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}.4\sqrt{2}.2\sqrt{3} = 4\sqrt{6}.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tìm phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;\ \ 1;\ \ 1) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = - 2 - t \end{matrix} \right.. Tìm phương trình mặt phẳng (\alpha) chứa đường thẳng d và cách A một khoảng lớn nhất.

    Hướng dẫn:

    Gọi AH,AKlà khoảng cách từ A lần lượt đến (\alpha) và d.

    Ta có AH \leq AKnên yêu cầu bài toán ta phải có AH \equiv AK, suy ra (\alpha) có véc tơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AK}.

    ghi \frac{2x + y - z}{6} CALC (nhập tọa độ \overrightarrow{M_{0}A}) 1 = 1 = 3 = \ \ = Sto M.

    Ghi 1 + 2M - 2:M - 1: - 2 - M - 1 = \ = \ =

    Ta được \overrightarrow{n} = ( - 1; - 1; - 3) và (\alpha):x + y + 3z + 5 = 0.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng

    Hai đường thẳng (D):x = 8t - 1;\ \ y = - 1 - 14t;\ \ z = - 12t và (d):x - 2y + 3z - 1 = 0;\ \ \ 2x + 2y - z + 4 = 0\ \ \ \left( t\mathbb{\in R} \right)

    Hướng dẫn:

    (D) qua E( - 1, - 1,0) có vecto chỉ phương \overrightarrow{a} = (8, - 14, - 12)

    Hai pháp vecto của hai mặt phẳng x - 2y + 3z - 1 = 0 và 2x + 2y - z + 1 = 0 là \overrightarrow{n_{1}} = (1, - 2,3);\overrightarrow{n_{2}} = (2,2, - 1)

    Vecto chỉ phương của (d):\overrightarrow{b} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right\rbrack = ( - 4,7,6)

    Ta có: \frac{8}{- 4} = \frac{- 14}{7} = \frac{- 12}{6} = - 2 và tọa độ E( -1, - 1,0) thỏa man phương trình của (d) \Rightarrow (D) \equiv (d)

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;0),B(2;0; - 2) và mặt phẳng (P):x + 2y - z - 1 = 0. Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA = MB và góc \widehat{AMB} có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị a + 4b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt phẳng trung trực của BA là :

    0x + 2y + 2z = \frac{OB^{2} - OA^{2}}{2} = 0 \Leftrightarrow y + z = 0.

    Cho z = t \Rightarrow y = - t thay vào (P) suy ra M thuộc đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = - t \\ z = t \end{matrix} \right. .

    Ta luôn có x + 4y + z = 1 \Leftrightarrow a + 4b + c = 1.

    Nhận xét.

    Trong trường hợp thay đổi câu hỏi chẳng hạn như 2a + 4b + 3cthì ta cần giải chi tiết nhờ góc \widehat{AMB} có số đo lớn nhất. Ta có:

    \overrightarrow{AM} = (3t - 1; - t - 2;t),\overrightarrow{BM} = (3t - 1; - t;t + 2)

    \Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM} \right) = \frac{(3t - 1)^{2} + 2\left( t^{2} + 2t \right)}{(3t - 1)^{2} + t^{2} + (t + 2)^{2}}

    \cos\left( \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM} \right) = \frac{11t^{2} - 2t + 1}{11t^{2} - 2t + 5} = 1 - \frac{4}{11t^{2} - 2t + 5}.

    Suy ra \widehat{AMB}lớn nhất khi và chỉ khi

    t = \frac{1}{11} \Rightarrow 2a + 4b + 3c = 2 + 5t = \frac{27}{11}. (Có thể giải dựa vào \Delta AIB, I là trung điểm AB).

  • Câu 16: Vận dụng
    Viết phương trình đường vuông góc chung

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z- 3}{- 1},d_{2}:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 6}{3} chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của d_{1},d_{2}.

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d_{1},d_{2} lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}} = (1;1; - 1),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2;3)

    Giả sử ∆ giao với d_{1},d_{2} lần lượt tại \left\{ \begin{matrix} A(1 + s; - 2 + s;3 - s) \\ B(t;1 + 2t;6 + 3t) \\ \end{matrix} ight., khi đó ta có \overrightarrow{AB} = ( - 1 - s + t;3 - s + 2t;3 + s + 3t)

    Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{AB} = 0 \\ \overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{AB} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1( - 1 - s + t) + 1(3 - s + 2t) - 1(3 + s + 3t) = 0 \\ 1( - 1 - s + t) + 2(3 - s + 2t) + 3(3 + s + 3t) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 3s = 1 \\14t = - 14 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}s = - \dfrac{1}{3} \\t = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Đường vuông góc chung của d_{1},d_{2} nhận \overrightarrow{AB} = \left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3}; - \frac{1}{3} ight) làm VTCP và đi qua điểm B( - 1; - 1;3)

    Vậy ta có phương trình đường thẳng: \frac{x + 1}{5} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{1}

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x - 3}{- 2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{1} và điểm A(2; - 1;0). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi M(3;0;1) \in d.

    \overrightarrow{AM}(1;1;1);\overrightarrow{u_{d}}( - 2; - 1;1) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = (2; - 3;1)

    \Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack \right| = \sqrt{14}

    Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) bằng d(A,d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u_{d}} \right|} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21}}{3}

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzkhoảng cách từ điểm M(1;3;2) đến đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = - t \\ \end{matrix} \right. bằng

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng \Delta đi qua A(1;1;0) và có một VTCP là \overrightarrow{u} = (1;1; - 1)

    Suy ra \overrightarrow{AM} = (0;2;2); \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{AM} \right\rbrack = (4; - 2;2)

    Vậy d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = 2\sqrt{2}

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức P

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x - my + z + 6m + 3 = 0 và (\beta):mx + y - mz + 3m - 8 = 0 (với m là tham số thực); hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng \Delta. Gọi \Delta' là hình chiếu của \Delta lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi m thay đổi thì đường thẳng \Delta' luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng Oxy. Tính giá trị biểu thức P = 10a^{2} - b^{2} + 3c^{2}.

    Hướng dẫn:

    Viết lại (\alpha):mx - m^{2}y + mz + 6m^{2} + 3m = 0, cộng theo vế với (\beta) ta được:

    mp(P):2mx + \left( 1 - m^{2} \right)y + 6m^{2} + 6m - 8 = 0, đây là mặt phẳng vuông góc với mp(Oxy) và chứa \Delta'.

    Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;0), bán kính R sao cho d\left( I,(P) \right) = R.

    Ta có:

    R^{2} = \frac{\left\lbrack 2ma + \left( 1 - m^{2} \right)b + 6m^{2} + 6m - 8 \right\rbrack^{2}}{4m^{2} + \left( m^{2} - 1 \right)^{2}}= \frac{\left\lbrack (6 - b)m^{2} + 2m(a + 3) + b - 8 \right\rbrack^{2}}{\left( m^{2} + 1 \right)^{2}}.

    Chọn a = - 3,b = 7 ta được R^{2} = 1 \Leftrightarrow R = 1 với mọi m.

    Khi đó P = 10a^{2} - b^{2} + 3c^{2} = 41.

  • Câu 20: Vận dụng
    PTTQ của (d) khi là giao tuyến

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a;\,\,AD = b;\,\,AE = c trong hệ trục Oxyz  sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với  Ox,Oy,Oz . Gọi  M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của giao tuyến (d) của mặt phẳng (MNP) và (xOy)

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:

    M\left( {a,\frac{b}{2},0} ight);\,\,\,N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight);\,\,\,P\left( {0,b,\frac{c}{2}} ight)

    Như vậy ta tính được vecto \overrightarrow {MN} và \overrightarrow {MP} theo a, b, c.

    \overrightarrow {MN} = - \frac{1}{2}\left( {a,b, - 2c} ight);\,\,\,\overrightarrow {MP} = - \frac{1}{2}\left( {2a, - b, - c} ight)

    (MNP) có vecto pháp tuyến là tích có hướng của 2 vecto  \overrightarrow {MN} và \overrightarrow {MP}

    = > \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } ight] = - 3\left( {bc,ca,ab} ight) = \overrightarrow {{n_P}}

    (MNP) có đi qua M và nhận \overrightarrow {{n_P}} làm 1 VTCP có phương trình là:

    \begin{array}{l}\left( {MNP} ight):bc\left( {x - a} ight) + ca\left( {y - \frac{b}{2}} ight) + ab.z = 0\\ = > \left( {MNP} ight):2bcx + 2cay + 2abz - 3abc = 0\\ = > (d):2bcx + 2cay + 2abz - 3abc = 0;\,\,\,z = 0\end{array}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
29 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này