Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 15 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu H của A(1;1;1)lên đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} \right..

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;1;1)

    Do H \in d \Rightarrow H(1 + t;1 + t;t).

    Ta có: \overrightarrow{AH} = (t;t;t - 1)

    Do H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d nên suy ra \overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0

    \Leftrightarrow t + t + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow H\left( \frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{1}{3} \right)

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;0),B(2;0; - 2) và mặt phẳng (P):x + 2y - z - 1 = 0. Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA = MB và góc \widehat{AMB} có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị a + 4b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt phẳng trung trực của BA là :

    0x + 2y + 2z = \frac{OB^{2} - OA^{2}}{2} = 0 \Leftrightarrow y + z = 0.

    Cho z = t \Rightarrow y = - t thay vào (P) suy ra M thuộc đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = - t \\ z = t \end{matrix} \right. .

    Ta luôn có x + 4y + z = 1 \Leftrightarrow a + 4b + c = 1.

    Nhận xét.

    Trong trường hợp thay đổi câu hỏi chẳng hạn như 2a + 4b + 3cthì ta cần giải chi tiết nhờ góc \widehat{AMB} có số đo lớn nhất. Ta có:

    \overrightarrow{AM} = (3t - 1; - t - 2;t),\overrightarrow{BM} = (3t - 1; - t;t + 2)

    \Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM} \right) = \frac{(3t - 1)^{2} + 2\left( t^{2} + 2t \right)}{(3t - 1)^{2} + t^{2} + (t + 2)^{2}}

    \cos\left( \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM} \right) = \frac{11t^{2} - 2t + 1}{11t^{2} - 2t + 5} = 1 - \frac{4}{11t^{2} - 2t + 5}.

    Suy ra \widehat{AMB}lớn nhất khi và chỉ khi

    t = \frac{1}{11} \Rightarrow 2a + 4b + 3c = 2 + 5t = \frac{27}{11}. (Có thể giải dựa vào \Delta AIB, I là trung điểm AB).

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{- 1} =\frac{z - 5}{2},d_{2}:\frac{x - 4}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z +2}{2} và mặt phẳng (P):2x + 3y - 5z + 1 = 0. Đường thẳng vuông góc với (P), cắt d_{1} và d_{2} có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng d với các đường thẳng d_{1} và d_{2}.

    Khi đó, tọa độ của A, B có dạng A(3 + t; - 3 - t;5 + 2t),B(4 - 3s;1 + 2s; - 2 + 2s)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1 - 3s - t;4 + 2s + t; - 7 + 2s - 2t)

    Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ \overrightarrow{AB} cùng phương với vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2;3; - 5) của mặt phẳng (P).

    Do đó, ta có \frac{1 - 3s - t}{2} = \frac{4 + 2s + t}{3} = \frac{- 7 + 2s - 2t}{- 5}

    Suy ra s = 0 và t = −1.

    Do đó, A(2; −2; 3) và B(4; 1; −2).

    Đường thẳng d đi qua A và có nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}.

  • Câu 4: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0; - 1;2), B(2; - 3;0), C( - 2;1;1), D(0; - 1;3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Gọi I(1; - 2;1) là trung điểm AB, K( - 1;0;2) là trung điểm của CD. Ta có:

    \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 1 \Leftrightarrow {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} = 1

    \Leftrightarrow MI^{2} = 1 + \frac{1}{4}AB^{2} \Leftrightarrow MI = 2.

    Suy ra M thuộc mặt cầu tâm I bán kính R = 2.

    Tương tự M thuộc mặt cầu tâm K, bán kính R' = 2.

    Do đó M thuộc đường tròn giao tuyến, bán kính r = \sqrt{R^{2} - \left( \frac{IK}{2} \right)^{2}} = \sqrt{4 - \frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}.

  • Câu 5: Vận dụng
    Viết phương trình đường vuông góc chung

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 1} =\frac{z - 4}{1},d_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z +3}{4}. Viết phương trình đường vuông góc chung của d_{1},d_{2}.

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d_{1},d_{2} lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;1),\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 1;4)

    Gọi ∆ là đường vuông góc chung giữa d_{1} và d_{2}, suy ra ∆ có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3; - 2;1)

    Giả sử ∆ giao với d_{1},d_{2} lần lượt tại \left\{ \begin{matrix} M(3 + m; - 1 - m;4 + m) \\ N(2 + 2n;4 - n; - 3 + 4n) \\ \end{matrix} ight., khi đó ta có \overrightarrow{MN} = ( - m + 2n - 1;m - n + 5; - m + 4n - 7)

    Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{MN} = 0 \\ \overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{MN} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3m + 7n - 13 = 0\ \\ - 7m + 21n - 35 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 2 \\ n = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Từ đó suy ra đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} và đi qua điểm M(1; 1; 2).

    Vậy ta có phương trình đường thẳng: \Delta:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tìm Vecto chỉ phương

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân

    giác trong góc A là \frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}.  Biết rằng điểm M(0; 5; 3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0)thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Hướng dẫn:

    Giả sử , A(t; 6-4t; 6-3t), ta có:

    \vec{u_d}=(1; -4; -3),

    \vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)

    \vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }

    Từ đây ta bình phương 2 vế được:

    (4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)

    \Leftrightarrow 14t=14

    \Leftrightarrow t=1

    \Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC  là  \vec{u}(0;1;3).

  • Câu 7: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2} và \bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}

    a) Vectơ có tọa độ (1;2;3) là một vectơ chỉ phương của \bigtriangleup_{1}. Sai||Đúng

    b) Đường thẳng \bigtriangleup_{2} đi qua điểm A(0; - 3;14). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng \bigtriangleup_{3} đi qua B(1;1; - 2) và vuông góc với \bigtriangleup_{1} có phương trình tham số là \bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai đường thẳng \bigtriangleup_{1} và \bigtriangleup_{2} khoảng 132^{0}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2} và \bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}

    a) Vectơ có tọa độ (1;2;3) là một vectơ chỉ phương của \bigtriangleup_{1}. Sai||Đúng

    b) Đường thẳng \bigtriangleup_{2} đi qua điểm A(0; - 3;14). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng \bigtriangleup_{3} đi qua B(1;1; - 2) và vuông góc với \bigtriangleup_{1} có phương trình tham số là \bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai đường thẳng \bigtriangleup_{1} và \bigtriangleup_{2} khoảng 132^{0}. Sai||Đúng

    a) Vectơ có tọa độ (2;1; - 2) là một vectơ chỉ phương của \bigtriangleup_{1} nên mệnh đề sai

    b) Mệnh đề đúng

    c) Gọi B = \bigtriangleup_{1} \cap \bigtriangleup_{3} \Rightarrow B(1 + 2t;2 + t;3 - 2t)

    \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2t; - 1 - t; - 5 + 2t\ ) \\ \overrightarrow{AB}\bot u_{\bigtriangleup_{1}} \Rightarrow t = 1 \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2; - 3\ ) \\ \end{matrix} nên mệnh đề đúng

    d) Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn nên mệnh đề sai

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tính diện tích tam giác MAB

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - z - 3 = 0 và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, B là hình chiếu của A lên (\alpha). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi A(0;0;a) với a > 0. Đường thẳng AB đi qua điểm A(0;0;a) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0; - 1) có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    B \in (\alpha) \Rightarrow t - a + t - 3 = 0

    \Rightarrow t = \frac{3 + a}{2} \Rightarrow B\left( \frac{3 + a}{2};0;\frac{a - 3}{2} \right)

    Vì tam giác MAB cân tại M \Rightarrow MA = MB

    \Rightarrow 1 + 1 + (a - 1)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} \right)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} \right)^{2}

    \Rightarrow a^{2} - 2a + 1 + 1 = \frac{a^{2} + 2a + 1}{4} + \frac{a^{2} - 10a + 25}{4}

    \Rightarrow 4a^{2} - 8a + 8 = 2a^{2} - 8a + 26

    \Rightarrow 2a^{2} = 18 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow A(0;0;3),B(3;0;0)

    Cách 1: Ta có:

    \overrightarrow{AM} = (1;1; - 2),\overrightarrow{BM} = ( - 2;1;1)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} \right\rbrack = (3;3;3)

    \Rightarrow S_{ABM} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} \right\rbrack \right| = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Cách 2: Gọi I là trung điểm của AB. Ta có I\left( \frac{3}{2};0;\frac{3}{2} \right).

    IM = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^{2} + ( - 1)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}.

    AB = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + ( - 3)^{2}} = 3\sqrt{2}.

    Do đó S_{ABM} = \frac{1}{2}IM.AB = \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{6}}{2}.3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Viết phương trình mặt phẳng

    Cho mặt cầu (S):\ \ x^{2} + y^{2} + 8x - 6y - 4z - 11 = 0 và hai điểm A(1;2;3),B( - 1;2;0). Gọi (P)là mặt phẳng chứa A, B và khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Viết phương trình mặt phẳng (P).

    Hướng dẫn:

    Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mp(P) và đường thẳng AB, ta có IH \leq IK nên IH lớn nhất bằng IK hay \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{n_{P}}.

    Tọa độ điểm I(- 4; 3; 2), \overrightarrow{BA} =(2; 0; 3).

    Ghi \frac{2x + 0y + 3z}{4 + 9} CALC (nhập tọa độ \overrightarrow{AI}) - 5 = 1 = - 1 = \ = Sto M ghi 1 + 2M + 4:2 + 0M - 3:3 + 3M - 2 bấm = \ = \ = ta có \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{n_{P}} = (3; - 1; - 2).

    Phương trình (P) là: 3x - y - 2z + 5 = 0.

  • Câu 10: Vận dụng
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 4y + z + 1 = 0 và hai điểm A(1; 0; 2), B(2; 5; 3). Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ nhất có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;b;c)

    Phương trình đường thẳng d có dạng \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = bt \\ z = 2 + ct \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do đường thẳng d k (P) nên 1 - 4b + c = 0 \Rightarrow c = 4b - 1.

    Khoảng cách từ B đến đường thẳng d là:

    d(B;d) = \frac{\left| \overrightarrow{u} \land \overrightarrow{AB} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{378b^{2} - 216b + 54}}{\sqrt{17b^{2} - 8b + 2}}

    Xét hàm số f(b) = \frac{378b^{2} - 216b + 54}{17b^{2} - 8b + 2} có

    f'(b) = \frac{648b^{2} - 324b}{\left( 17b^{2} - 8b + 2 ight)^{2}} \Rightarrow f'(b) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 0 \\ b = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta được khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất tại b = \frac{1}{2}

    Khi đó \overrightarrow{u} = \left( 1;\frac{1}{2};1 ight), chọn \overrightarrow{u} = (2;1;2).

    Phương trình đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2} hay \frac{x - 3}{2} = \frac{1 - y}{- 1} = \frac{z - 4}{2}.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3) và B(6;5;5). Xét khối nón (N) có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi (N) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) có phương trình dạng 2x + by + cz + d = 0. Giá trị của b + c + d bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi h = IH = d\left( I,(P) \right) , r là bán kính đáy nón, R = IA = 3 là bán kính mặt cầu.

    Ta có AH = 3 + h,\ \ r^{2} = 9 - h^{2} và thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi(3 + h)(9 - h^{2}).

    Ta có : (3 + h)(3 + h)(6 - 2h) \leq\left( \frac{3 + h + 3 + h + 6 - 2h}{3} \right)^{3} = 64\Rightarrow V\leq \frac{1}{6}\pi.64 = \frac{32\pi}{3}.

    Dấu bằng có khi 3 + h = 6 - 2h \Rightarrow h = 1 \Rightarrow AH = 4.

    Mặt phẳng (P) chứa đường tròn đáy của nón có \overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (2;2;1).

    Đặt \overrightarrow{AH} = t(2;2;1),t > 0 suy ra t = \frac{4}{3}

    \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \left( \frac{8}{3};\frac{8}{3};\frac{4}{3} \right) \Rightarrow H\left( \frac{16}{3};\frac{11}{3};\frac{10}{3} \right).

    Phương trình (P) là: 2x + 2y + z - 18 = 0. Vậy b + c + d = - 15.

  • Câu 12: Vận dụng
    Điểm đối xứng qua mp

    Cho điểm A\left( {2,3,5} ight) và mặt phẳng \left( P ight):2x + 3y + z - 17 = 0. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P).Tọa độ điểm A’ là :

    Hướng dẫn:

    Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A vuông góc với (P): \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 5 + t\end{array} ight..

    Thế x, y, z theo t vào phương trình của (P), ta được:

    \begin{array}{l}2.(2 + 2t) + 3(3 + 3t) + 5 + t - 17 = 0\\ \Leftrightarrow 4 + 4t + 9 + 9t + 5 + t - 17 = 0\\ \Leftrightarrow 14t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow t = \frac{{ - 1}}{{14}}\end{array}

    Thế tiếp t = - \frac{1}{{14}} vào phương trình của (d) được giao điểm I của  (d) và (P): I\left( {\frac{{26}}{{14}},\frac{{39}}{{14}},\frac{{69}}{{14}}} ight)

    Mặt khác, I là trung điểm của AA' nên suy ra được: \Rightarrow A'\left( {\frac{{12}}{7},\frac{{18}}{7},\frac{{34}}{7}} ight)

  • Câu 13: Thông hiểu
    Chọn phương án thích hợp

    Cho d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 3 - t \\ z = 2 + 2t \\ \end{matrix} \right.\ ,\ \ d':\frac{x}{3} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 1}{1}. Khi đó khoảng cách giữa d và d' là

    Hướng dẫn:

    Ta có A(1; - 3;2) \in d,\ \ B(0;3;1) \in d' và \overrightarrow{u}(1; - 1;2),\ \overrightarrow{u'}(3; - 1;1) lần lượt là vectơ chỉ phương của d,\ d'

    Ta có:

    d(d,d') = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right\rbrack \right|} = \frac{27}{\sqrt{30}} = \frac{9\sqrt{30}}{10}

  • Câu 14: Thông hiểu
    Viết phương trình tham số

    Viết phương trình tham số của đường thẳng \left( d ight):\,\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + z - 4 = 0\\2x + 5y - 3z + 4 = 0\end{array} ight.

    Hướng dẫn:

     Theo đề bài, đường thẳng d là giao của 2 mặt phẳng, ta gọi 2 mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng lần lượt là:\left( P ight):2x - 3y + z - 4 = 0;\,\left( Q ight):2x + 5y - 3z + 4 = 0

    Mp (P) và (Q) có 2 vecto pháp tuyến tương ứng là: \overrightarrow {{n_1}} = \left( {2, - 3,1} ight);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2,5, - 3} ight)

    Từ đây ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng (d) là tích có hướng của 2 VTPT:

    \overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = \left( {4,8,16} ight) \Leftrightarrow \overrightarrow a = 4\left( {1,2,4} ight)

    Cho y = 0, ta có:

    y = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + z = 4\\2x - 3z = - 4\end{array} ight.\, \Leftrightarrow x = 1;z = 2

    Đường thẳng (d) đi qua A( 1, 0, 2) và nhận vecto (1,2,4) làm 1 VTCP có PTTS là:

    A\left( {1,0,2} ight) \in \left( d ight) \Rightarrow \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + 4t\end{array} ight.\,\,;t \in R

  • Câu 15: Thông hiểu
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz cho A(0\ ;\ 0\ ;2\ )\ ,\ B(2\ ;\ 1\ ;\ 0)\ ,\ C(1\ ;\ 2\ ;\ - 1) và D(2\ ;\ 0\ ;\ - 2). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với (BCD) có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (BCD)\ .

    Ta có \overrightarrow{BC} = ( - 1\ ;\ 1\ ;\ - 1)\ ;\ \overrightarrow{BD} = (0\ ; - 1\ ;\ - 2).

    Mặt phẳng (BCD) có vec tơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{(BCD)} =\left\lbrack \overrightarrow{BD}\ ,\ \overrightarrow{BC}\ \right\rbrack= (3 ; 2 ; - 1) .

    Gọi {\overrightarrow{u}}_{d} là vec tơ chỉ phương của đường thẳng d.

    Vì d\bot(BCD) nên \overrightarrow{u_{d}} = {\overrightarrow{n}}_{(BCD)} = (3\ ;\ 2\ ;\ - 1).

    Đáp \left\{ \begin{matrix}x = 3\\y = 2 \\z = - 1 + 2t \\\end{matrix} \right. và \left\{ \begin{matrix} x = 3t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right. có VTCP \overrightarrow{u_{d}} = (3\ ;\ 2\ ;\ - 1) nên loại \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 3t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right. và \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 3t \\ y = - 2 + 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right..

    Ta thấy điểm A(0\ ;\ 0\ ;2\ ) thuộc đáp án \left\{ \begin{matrix} x = 3t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right. nên loại \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y =2 \\z = - 1 + 2t \\\end{matrix} \right..

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(0;1;3),N(10;6;0) và mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 10 = 0. Biết rằng tồn tại điểm I( - 10;a;b) thuộc (P) sao cho |IM - IN| đạt giá trị lớn nhất. Tính T = a + b.

    Hướng dẫn:

    Thay tọa độ điểm M và N vào vế trái phương trình mặt phẳng (P), ta có (0 - 2 + 3 - 10).(10 - 12 - 10) > 0 nên hai điểm M, N nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P).

    Khi đó ta có |IM - IN| \leq MN và đẳng thức xảy ra khi I = MN \cap (P)

    Phương trình tham số của đường thẳng MN là \left\{ \begin{matrix} x = 10t \\ y = 1 + 5t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.

    Tọa độ giao điểm của MN và (P) là nghiệm hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} x = 10t \\ y = 1 + 5t \\ z = 3 - 3t \\ x - 2y + 2z - 10 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 10 \\ y = - 4 \\ z = 6 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy T = a + b = 2

  • Câu 17: Vận dụng
    Chọn mệnh đề đúng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1\ ;\ 1\ ;\ 2), mặt phẳng (P):\ (m - 1)x + y + mz - 1 = 0, với m là tham số. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Khảo sát.

    Ta có d\left( A,(P) \right) = \frac{|3m - 1|}{\sqrt{(m - 1)^{2} + 1 + m^{2}}}. Vào MENU 8 khảo sát hàm số, ta có \max d\left( A,(P) \right) = \frac{\sqrt{42}}{3} \approx 2,16025 khi m = 5.

    Cách 2. Quỹ tích - Vị trí tương đối.

    Ta có (P) luôn chứa đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = - t \end{matrix} \right. cố định.

    Kẻ AH,AK lần lượt vuông góc với (P) và d thì ta có AH \leq AK, do đó \max d\left( A,(P) \right) = AK, khi đó \overrightarrow{AK} là một véc tơ pháp tuyến của (P).

    Ghi \frac{x + y - z}{3} CALC nhập 1 = 0 = 2 = \ = STO M, bấm AC ghi M - 1:M: - M - 2 bấm = \ \ = \ \ = ta được \overrightarrow{AK} = \frac{- 1}{3}(4;1;5), suy ra \frac{m - 1}{4} = \frac{1}{1} = \frac{m}{5} \Rightarrow m = 5.

  • Câu 18: Vận dụng
    Xác định phương trình thích hợp nhất

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A( - 3;0;1),\ B(1; - 1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.

    Hướng dẫn:

    Gọi \Delta là đường thẳng cần tìm

    Gọi mặt phẳng (Q) qua A( - 3;0;1) và song song với (P). Khi đó: (Q):x - 2y + 2z + 1 = 0

    Gọi K,H lần lượt là hình chiếu của B lên \Delta,(Q). Ta có d(B,\Delta) = BK \geq BH. Do đó AH là đường thẳng cần tìm.

    (Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{Q}} = (1; - 2;2)

    BH qua B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{BH}} = \overrightarrow{n_{Q}} = (1; - 2;2)

    BH:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm A( - 3;0;1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{AH} = \left( \frac{26}{9};\frac{11}{9}; - \frac{2}{9} ight) = \frac{1}{9}(26;11; - 2)

    H \in BH \Rightarrow H(1 + t; - 1 - 2t;3 + 2t)

    H \in (P) \Rightarrow t = - \frac{10}{9} \Rightarrow H\left( - \frac{1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9} ight)

    Vậy phương trình của \Delta là \Delta:\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}

  • Câu 19: Thông hiểu
    Xác định phương trình chính tắc

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + 4t \\ \end{matrix} \right. . Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A( - 4; - 2;4), cắt và vuông góc với d là:

    Hướng dẫn:

    Gọi \Delta là đường thẳng cần tìm

    Gọi B = \Delta \cap d

    \begin{matrix} B \in d \Rightarrow B( - 3 + 2t;1 - t; - 1 + 4t) \\ \overrightarrow{AB} = (1 + 2t;3 - t; - 5 + 4t) \\ \end{matrix}

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (2; - 1;4)

    \begin{matrix} \Delta\bot d \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{a_{d}} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_{d}} = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow t = 1 \\ \end{matrix}

    \Delta đi qua điểm A( - 4; - 2;4) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (3;2; - 1)

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x + 4}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 4}{- 1}

  • Câu 20: Vận dụng
    Lập phương trình đường thẳng d

    Trong không gian Oxyz, gọi d đi qua A( - 1;0; - 1), cắt \Delta_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 2}{- 1}, sao cho góc giữa d và \Delta_{2}:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{2} nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    Giả sử d cắt \Delta_{1}tại B(1 + 2t;2 + t; - 2 - t)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (2 + 2t;2 + t; - 1 - t) và ta có:

    \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} \right) \right| = \frac{| - 2 - 2t + 4 + 2t - 2 - 2t|}{3\sqrt{(2t + 2)^{2} + (t + 2)^{2} + (t + 1)^{2}}}

    = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{t^{2}}{6t^{2} + 14t + 9}} = \frac{2}{3}\sqrt{f(t)}.

    Suy ra maxf(t) = \frac{9}{5} tại t = \frac{- 9}{7}. Suy ra \overrightarrow{AB} = \frac{- 1}{7}(4; - 5; - 2).

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
30 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này