Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 15 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; 1), B (0; 3; −1). Điểm M nằm trên mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 4 = 0 sao cho MA + MB nhỏ nhất là:

    Hướng dẫn:

    Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 4 = 0 ta được: (2.2 + 1 + 1 − 4) (2.0 + 3 − 1 − 4) = −4 < 0

    Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).

    Vậy MA + MB ≥ AB dấu “ = ” xảy ra khi M = AB ∩ (P).

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2) chọn vtcp của đường thẳng AB: \overrightarrow{u} = (1; - 1;1).

    Vậy phương trình đường thẳng AB: \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Tọa độ (x; y; z) của M là nghiệm hệ:

    \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2x + y + z - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2(2 + t) + (1 - t) + (1 + t) - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(1;2;0)

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tìm vecto pháp tuyến

    Cho đường thẳng d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight. và mặt phẳng (\alpha): 2x-y-2z-2=0. Mặt phẳng (P) qua d  và tạo với (\alpha ) một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P)  là:

    Hướng dẫn:

    Tìm vecto pháp tuyến

    Gọi \triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A);

    H là hình chiếu vuông góc của B lên (\alpha ); K là hình chiếu của H lên \triangle.

    Suy ra: (\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH} cố định; (\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}.

    Mà \widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH} (vì HK \leq HA)  \Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )

    Suy ra (\widehat{(P),(\alpha)}) nhỏ nhất bằng (\widehat{d, (\alpha)}) khi K\equiv A .

    Khi đó \triangle \perp dvà có một VTCP \vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1) .

    Vậy (P) có một VTPT là \vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1).

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Xác định số đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \left( d_{1} \right):\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1}, \left( d_{2} \right):\frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{3} \right):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{4} \right):\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả đường thẳng trên là

    Hướng dẫn:

    \left( d_{1} \right) đi qua điểm M_{1}(3; - 1; - 1) và có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;1).

    \left( d_{2} \right) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1).

    \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 3;1;2).

    Vì \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} và \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) \neq \overrightarrow{0} nên \left( d_{1} \right) song song với \left( d_{2} \right).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \left( d_{1} \right) và \left( d_{2} \right).

    (P) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) hay \overrightarrow{n} = (1;1;1) có phương trình 1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0.

    Gọi A = \left( d_{3} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + t \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 1 \\ z = 1 \\ t = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(1; - 1;1).

    Gọi B = \left( d_{4} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t' \\ y = 1 - t' \\ z = - t' \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ t' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(0;1;0).

    Vì \overrightarrow{BA} = (1; - 2;1) cùng phương với \overrightarrow{u_{1}} nên (d) không thỏa mãn.

  • Câu 4: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{1}, mặt phẳng (P):2x - y - z + 5 = 0 và M(1; - 1;0). Đường thẳng \Delta đi qua điểm M, cắt d và tạo với (P) một góc 30^{0}. Phương trình đường thẳng \Delta là.

    Hướng dẫn:

    Gọi N = \Delta \cap d

    N \in d \Rightarrow N(2 + 2t;t; - 2 + t)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{MN} = (1 + 2t;1 + t; - 2 + t)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1; - 1)

    \sin\left\lbrack d,(P) ightbrack = \frac{\left| \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n_{P}} ight|}{\left| \overrightarrow{MN} ight|.\left| \overrightarrow{n_{P}} ight|} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \Rightarrow \overrightarrow{MN} = (1;1 - 2) \\ t = \frac{9}{5} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left( \frac{23}{5};\frac{14}{5}; - \frac{1}{5} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm M(1; - 1;0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{MN}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 2} và \frac{x - 1}{23} = \frac{y + 1}{14} = \frac{z}{- 1}

  • Câu 5: Vận dụng
    Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

    Khoảng cánh giữa hai đường thẳng : {(d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + z + 4 = 0\end{array} ight. và  ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\y + z - 2 = 0\end{array} ight. là:

    Hướng dẫn:

     Chuyển d1 về dạng tham số :({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + z + 4 = 0\end{array} ight. \Rightarrow ({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\\z = - 4 - 2t\end{array} ight.

    Qua đó, ta có A(0,0, - 4) \in ({d_1}) và 1 vectơ chỉ phương của (d1): \overrightarrow a = (1, - 1, - 2).

    Chuyển (d2) về dạng tham số : ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\y + z - 2 = 0\end{array} ight. \Rightarrow ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = - 5 + 3t\\y = 2 - t\\z = t\end{array} ight.

    Qua đó, ta có B( - 5,2,0) \in ({d_2}) và 1 vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b (3, - 1,1).

    Áp dụng công thức tính Khoảng cách d1 và d2 , ta được:

    d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AB} } ight|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight]} ight|}} = \frac{9}{{\sqrt {62} }}

    .

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm I

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + y = 0\ ,(\alpha'):2x - y + z - 15= 0. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và d', biết đường thẳng d' có phương trình \left\{ \begin{matrix}x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.

    Hướng dẫn:

    Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}x + y = 0 \\2x - y + z - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - t + 2 + 2t = 0 \\2(1 - t) - (2 + 2t) + 3 - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - 3 \\x = 4 \\y = - 4 \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(4; - 4;3)

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; −1; 2), B(1; 1; 2) và đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}. Biết điểm M(a; b; c) thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị T = a + 2b + 3c bằng:

    Hướng dẫn:

    Vì S_{MAB} = \frac{1}{2}.AB.d(M,AB) nên SMAB nhỏ nhất khi d(M, AB) nhỏ nhất. Phương trình của AB:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Dễ dàng kiểm tra AB và d chéo nhau.

    Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB.

    Khi đó d(M, AB) = MH nhỏ nhất khi MH là đoạn vuông góc chung của d và AB.

    Ta có: M \in d \Rightarrow M( - 1 + s;s;1 + s),H \in AB

    \Rightarrow H(t; - 1 + 2t;2)

    \Rightarrow \overrightarrow{MH} = (t - s + 1;2t - s - 1;1 - s)

    Vectơ chỉ phương của d và AB theo thứ tự là \overrightarrow{u} = (1;1;1),\overrightarrow{v} = (1;2;0)

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{u} \\\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{v} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1(t - s + 1) + 1(2t - s - 1) + 1(1 - s) = 0\ \\1(t - s + 1) + 2(2t - s - 1) + 0(1 - s) = 0 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = 1 \\s = \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} ight.

    Vậy M\left( \frac{1}{3};\frac{4}{3};\frac{7}{3} ight) \Rightarrow T = 10

  • Câu 8: Vận dụng
    Viết phương trình tham số của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1} , d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{1} và mặt phẳng (P):x + y - 2z + 3 = 0. Gọi \Delta là đường thẳng song song với (P) và cắt d_{1},\ d_{2} lần lượt tại hai điểm A,B sao cho AB = \sqrt{29}. Phương trình tham số của đường thẳng \Delta là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A \in d_{1} \Rightarrow A(1 + 2a; - 1 + a;a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B(1 + b;2 + 2b;b)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (b - 2a;3 + 2b - a;b - a)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1;1; - 2)

    Vì \Delta//(P) nên \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow b = a - 3.Khi đó \overrightarrow{AB} = ( - a - 3;a - 3; - 3)

    Theo đề bài: AB = \sqrt{29} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 1 \\ a = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A(3;0;1),\overrightarrow{AB} = ( - 4; - 2; - 3) \\ A( - 1; - 2; - 1),\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 4; - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy phương trình đường thẳng  \Delta  là \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight. và \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = - 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Định m để đường thẳng và mặt phẳng song song

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, tìm tất cả giá trị tham số m để đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1} song song với mặt phẳng (P):2x + y - m^{2}z + m = 0.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    d qua điểm M(1; 0; 1) và có VTCP là \overrightarrow{u} = (1;2;1)

    (P) có VTPT là \overrightarrow{n} = \left( 2;1; - m^{2} ight)

    Vì d // (P) nên \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2

    Với m = 2, (P): 2x + y − 4z + 2 = 0 ⇒ M ∈ (P) (loại).

    Với m = −2, (P): 2x + y − 4z − 2 = 0\Rightarrow M otin (P) (thỏa mãn).

  • Câu 10: Thông hiểu
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz cho A(0\ ;\ 0\ ;2\ )\ ,\ B(2\ ;\ 1\ ;\ 0)\ ,\ C(1\ ;\ 2\ ;\ - 1) và D(2\ ;\ 0\ ;\ - 2). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với (BCD) có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (BCD)\ .

    Ta có \overrightarrow{BC} = ( - 1\ ;\ 1\ ;\ - 1)\ ;\ \overrightarrow{BD} = (0\ ; - 1\ ;\ - 2).

    Mặt phẳng (BCD) có vec tơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{(BCD)} =\left\lbrack \overrightarrow{BD}\ ,\ \overrightarrow{BC}\ \right\rbrack= (3 ; 2 ; - 1) .

    Gọi {\overrightarrow{u}}_{d} là vec tơ chỉ phương của đường thẳng d.

    Vì d\bot(BCD) nên \overrightarrow{u_{d}} = {\overrightarrow{n}}_{(BCD)} = (3\ ;\ 2\ ;\ - 1).

    Đáp \left\{ \begin{matrix}x = 3\\y = 2 \\z = - 1 + 2t \\\end{matrix} \right. và \left\{ \begin{matrix} x = 3t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right. có VTCP \overrightarrow{u_{d}} = (3\ ;\ 2\ ;\ - 1) nên loại \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 3t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right. và \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 3t \\ y = - 2 + 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right..

    Ta thấy điểm A(0\ ;\ 0\ ;2\ ) thuộc đáp án \left\{ \begin{matrix} x = 3t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right. nên loại \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y =2 \\z = - 1 + 2t \\\end{matrix} \right..

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng

    Hai đường thẳng (D):x = 8t - 1;\ \ y = - 1 - 14t;\ \ z = - 12t và (d):x - 2y + 3z - 1 = 0;\ \ \ 2x + 2y - z + 4 = 0\ \ \ \left( t\mathbb{\in R} \right)

    Hướng dẫn:

    (D) qua E( - 1, - 1,0) có vecto chỉ phương \overrightarrow{a} = (8, - 14, - 12)

    Hai pháp vecto của hai mặt phẳng x - 2y + 3z - 1 = 0 và 2x + 2y - z + 1 = 0 là \overrightarrow{n_{1}} = (1, - 2,3);\overrightarrow{n_{2}} = (2,2, - 1)

    Vecto chỉ phương của (d):\overrightarrow{b} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right\rbrack = ( - 4,7,6)

    Ta có: \frac{8}{- 4} = \frac{- 14}{7} = \frac{- 12}{6} = - 2 và tọa độ E( -1, - 1,0) thỏa man phương trình của (d) \Rightarrow (D) \equiv (d)

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng \Deltađi qua điểm B(1;1;2) cắt đường thẳng d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1} tại C sao cho tam giác OBCcó diện tích bằng \frac{\sqrt{83}}{2}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    C \in d \Rightarrow C(2 + t;3 - 2t; - 1 + t)

    \overrightarrow{OC} = (2 + t;3 - 2t; - 1 + t)

    \overrightarrow{OB} = (1;1;2)

    \left\lbrack \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} ightbrack = (5t - 7;t + 5;1 - 3t)

    S_{\Delta OBC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} ightbrack ight|

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \Rightarrow \overrightarrow{BC} = (3; - 2; - 1) \\ t = \frac{- 4}{35} \Rightarrow \overrightarrow{BC} = \left( \frac{31}{35};\frac{78}{35}; - \frac{109}{35} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{BC}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{- 1} và \frac{x - 1}{31} = \frac{y - 1}{78} = \frac{z - 2}{- 109}.

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1} và d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2}. Gọi \Delta là đường thẳng song song với (P):x + y + z - 7 = 0 và cắt d_{1},\ d_{2} lần lượt tại hai điểm A,B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng \Delta là.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A \in d_{1} \Rightarrow A(1 + 2a;a; - 2 - a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B(1 + b; - 2 + 3b;2 - 2b)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (b - 2a;3b - a - 2; - 2b + a + 4)

    (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1;1;1)

    Vì \Delta//(P) nên \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 1.Khi đó \overrightarrow{AB} = ( - a - 1;2a - 5;6 - a)

    AB = \sqrt{( - a - 1)^{2} + (2a - 5)^{2} + (6 - a)^{2}}

    = \sqrt{6a^{2} - 30a + 62}

    = \sqrt{6\left( a - \frac{5}{2} ight)^{2} + \frac{49}{2}} \geq \frac{7\sqrt{2}}{2};\forall a\mathbb{\in R}

    Dấu " = " xảy ra khi a = \frac{5}{2} \Rightarrow A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} ight),\ \ \overrightarrow{AB} = \left( - \frac{7}{2};0;\frac{7}{2} ight)

    Đường thẳng \Delta đi qua điểm A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} ight) và vec tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;0;1)

    Vậy phương trình của \Deltalà \left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = - \frac{9}{2} + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 14: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(4; - 1;2),B(1;2;2),C(1; - 1;5),D\left( x_{D};\ y_{D};z_{D} ight) với y_{D} > 0. Tính p = 2x_{D} + \ y_{D} - z_{D}?

    Hướng dẫn:

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G(2; 0; 3).

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;0) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 3;0;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;\ 1;\ 1)

    AB = 3\sqrt{2}

    Đường thẳng đi qua G vuông góc với (ABC) có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do đó D(2 + t;t;3 + t)

    Mà AD = AB \Rightarrow (t - 2)^{2} + 2(t + 1)^{2} = 18 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vì y_{D} > 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow P = 5

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính tổng các phần tử của tập S

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho d_{1},d_{2} chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng \frac{5}{\sqrt{19}}. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

    Hướng dẫn:

    Vectơ chỉ phương của d_{1},d_{2} là \overrightarrow{u_{1}} = (2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)

    Khi đó: \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3;3;1).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa d_{1} song song với d_{2}.

    Tức là, (P) qua A(1;0;0) và nhận \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Ta có phương trình (P):3x - 3y - z - 3 = 0

    Xét điểm B(1;2;m) \in d_{2}. Do d_{1},d_{2} chéo nhau nên B otin (P) \Leftrightarrow m eq - 6.

    Lại có:

    d\left( d_{1};d_{2} ight) = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) ight) = \frac{5}{\sqrt{19}}

    \Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m - 3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 11 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng các phần tử của S là - 1 - 11 = - 12.

  • Câu 16: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3) và mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 9 = 0. Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (3;4; - 4) cắt (P) tại điểm B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90^{0}. Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Đường thẳng d cắt P tại B(−2; −2; 1).

    Gọi H là hình chiếu của A lên (P).

    Ta có: H(−3; −2; −1)

    Vì MB ⊥ MA; MB ⊥ AH nên MB ⊥ MH suy ra MB ≤ BH.

    Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi M \equiv H

    Vậy MB đi qua B, nhận \overrightarrow{BH} là vectơ chỉ phương.

    Phương trình MB:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) do đó MB đi qua điểm I( - 1; - 2;3).

  • Câu 17: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gianOxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = - 1 - 2t \\ z = - 2 + 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    a) Điểm M(7; - 3; - 1) thuộc đường thẳng (d). Sai||Đúng

    b) Điểm N( - 1;1; - 5) thuộc đường thẳng (d). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng (d) nhận \overrightarrow{u} = (4; - 2;3) là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng (d) nhận \overrightarrow{v} = ( - 4;2; - 3) là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gianOxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = - 1 - 2t \\ z = - 2 + 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    a) Điểm M(7; - 3; - 1) thuộc đường thẳng (d). Sai||Đúng

    b) Điểm N( - 1;1; - 5) thuộc đường thẳng (d). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng (d) nhận \overrightarrow{u} = (4; - 2;3) là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng (d) nhận \overrightarrow{v} = ( - 4;2; - 3) là một vectơ chỉ phương. Đúng||Sai

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Đúng

    Phương án a) sai vì thay M(7; - 3; - 1) vào đường thẳng (d), ta có

    \left\{ \begin{matrix} 7 = 3 + 4t \\ - 3 = - 1 - 2t \\ - 1 = - 2 + 3t \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 1 \\ t = 1 \\ t = \frac{1}{3} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M(7; - 3; - 1) \notin (d)

    Phương án b) đúng vì thay N( - 1;1; - 5) vào đường thẳng (d), ta có

    \left\{ \begin{matrix} - 1 = 3 + 4t \\ 1 = - 1 - 2t \\ - 5 = - 2 + 3t \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = - 1 \\ t = - 1 \\ t = - 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow N( - 1;1; - 5) \in (d)

    Phương án c) đúng vì một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = - 1 - 2t \\ z = - 2 + 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) là \overrightarrow{u} = (4; - 2;3).

    Phương án d) đúng vì \overrightarrow{v} = ( - 4;2; - 3) = - \overrightarrow{u} nên \overrightarrow{v} cũng là một vectơ chỉ phương của (d).

  • Câu 18: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và điểm A(1;0;2).

    a) Điểm B(2;1; - 1) không thuộc đường thẳng d. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0;1). Sai||Đúng

    c) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;0;2), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}. Sai||Đúng

    d) M(a;b;c)là một điểm nằm trên đường thẳng d và cách điểm A một khoảng có độ dài bằng \sqrt{26}. Khi b > 0 thì a + b + c = 3. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và điểm A(1;0;2).

    a) Điểm B(2;1; - 1) không thuộc đường thẳng d. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0;1). Sai||Đúng

    c) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;0;2), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}. Sai||Đúng

    d) M(a;b;c)là một điểm nằm trên đường thẳng d và cách điểm A một khoảng có độ dài bằng \sqrt{26}. Khi b > 0 thì a + b + c = 3. Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Sai

    Phương án a) đúng: Thay tọa độ điểm B(1;2; - 1) vào phương trình đường thẳng d ta được: \left\{ \begin{matrix} 2 = 2 + t \\ 1 = t \\ - 1 = - 2 + t \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 0 \\ t = 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(1;2; - 1) \notin d.

    Phương án b) sai: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1;1).

    Phương án c) sai: Gọi H = d \cap \Delta \Leftrightarrow H \in d nên H(2 + t;t; - 2 + t).

    Ta có: \overrightarrow{AH} = (1 + t;t; - 4 + t) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta.

    Mà \Delta\bot d \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0 \Leftrightarrow 1(1 + t) + 1.t + 1( - 4 + t) = 0 \Leftrightarrow t = 1

    \Rightarrow \overrightarrow{AH} = (2;1; - 3)

    Suy ra \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 3}

    Phương án d) sai: Ta có M \in d \Rightarrow M(2 + t;t;2 + t) nên \overrightarrow{AM} = (1 + t;t; - 4 + t).

    AM = \sqrt{26} \Leftrightarrow \sqrt{(1 + t)^{2} + t^{2} + ( - 4 + t)^{2}} = \sqrt{26}

    \Leftrightarrow 3t^{2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1 \\ t = 3 \end{matrix} \right.

    Mà b > 0 \Rightarrow t > 0. Vậy M(5;3;1) \Rightarrow a + b + c = 9.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính diện tích tam giác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng (\alpha):x - z - 3 = 0 và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, gọi B là hình chiếu của A lên (\alpha). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi A (0; 0; a).

    Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} ight.

    B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = 0 \\z = a - t \\x - z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{a + 3}{2} \\y = 0 \\z = \dfrac{a - 3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Suy ra B\left( \frac{a + 3}{2};0;\frac{a - 3}{2} ight)

    Tam giác MAB cân tại M nên MA = MB

    \Leftrightarrow 1 + 1 + (1 - a)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} ight)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} ight)^{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Nếu a = 3 thì tọa độ A (0; 0; 3), B (3; 0; 0). Diện tích tam giác MAB là S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.

    Vậy diện tích của tam giác MAB bằng: \frac{3\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Xác định tọa độ hình chiếu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;0;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{2}. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d.

    Hướng dẫn:

    Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M(2;0;1) và vuông góc với đường thẳng d.

    Suy ra (P) nhận \overrightarrow{u_{d}} = (1;2;1) làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng

    (P):(x - 2) + 2y + z - 1 = 0

    \Leftrightarrow x + 2y + z - 3 = 0.

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d, suy ra H = d \cap (P).

    Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 2}{2} \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x - y = 2 \\y - 2z = - 4 \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 1 \\y = 0 \\z = 2 \\\end{matrix} ight.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
18 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Xem thêm