Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 15 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \left( d_{1} \right):\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 4 - t \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} \right., \left( d_{2} \right):\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}, \left( d_{3} \right):\frac{x + 1}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1}. Viết phương trình đường thẳng \left( d_{3} \right):\frac{x + 1}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1} cắt ba đường thẳng \left( d_{1} \right);\left( d_{2} \right);\left( d_{3} \right) lần lượt tại các điểm A;B;C sao choAB = BC.

    Hướng dẫn:

    Ta có: A \in \left( d_{1} \right) \Rightarrow A(a;4 - a; - 1 + 2a).

    B \in \left( d_{2} \right) \Rightarrow B(2b;2 + b;b).

    C \in \left( d_{3} \right) \Rightarrow C( - 1 + 5c;1 + 2c; - 1 + c).

    Vì B là trung điểm của AC nên \left\{ \begin{matrix}2b = \dfrac{a - 1 + 5c}{2} \\2 + b = \dfrac{4 - a + 1 + 2c}{2} \\b = \dfrac{- 1 + 2a - 1 + c}{2} \\\end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 4b + 5c = 1 \\ - a - 2b + 2c = - 1 \\ 2a - 2b + c = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 0 \\ \end{matrix} \right..

    \Rightarrow A(1;3;1),B(0;2;0).

    (d) đi qua điểm B(0;2;0) và có VTCP \overrightarrow{BA} = (1;1;1) có phương trình \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}.

  • Câu 2: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{1}, mặt phẳng (P):2x - y - z + 5 = 0 và M(1; - 1;0). Đường thẳng \Delta đi qua điểm M, cắt d và tạo với (P) một góc 30^{0}. Phương trình đường thẳng \Delta là.

    Hướng dẫn:

    Gọi N = \Delta \cap d

    N \in d \Rightarrow N(2 + 2t;t; - 2 + t)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{MN} = (1 + 2t;1 + t; - 2 + t)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1; - 1)

    \sin\left\lbrack d,(P) ightbrack = \frac{\left| \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n_{P}} ight|}{\left| \overrightarrow{MN} ight|.\left| \overrightarrow{n_{P}} ight|} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \Rightarrow \overrightarrow{MN} = (1;1 - 2) \\ t = \frac{9}{5} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left( \frac{23}{5};\frac{14}{5}; - \frac{1}{5} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm M(1; - 1;0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{MN}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 2} và \frac{x - 1}{23} = \frac{y + 1}{14} = \frac{z}{- 1}

  • Câu 3: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A( - 1;0;4) và đường thẳng d có phương trình \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{2}. Gọi \Delta là đường thẳng đi qua A, vuông góc và cắt d.

    a) Một vectơ chỉ phương của \Delta là (1;1; - 1). Đúng||Sai

    b) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(2;3;1). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng \Delta có phương trình \frac{x + 1}{x} = \frac{y}{1} = \frac{z - 4}{- 1}. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng \Delta có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 \\ z = - 4 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A( - 1;0;4) và đường thẳng d có phương trình \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{2}. Gọi \Delta là đường thẳng đi qua A, vuông góc và cắt d.

    a) Một vectơ chỉ phương của \Delta là (1;1; - 1). Đúng||Sai

    b) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(2;3;1). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng \Delta có phương trình \frac{x + 1}{x} = \frac{y}{1} = \frac{z - 4}{- 1}. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng \Delta có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 \\ z = - 4 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right). Sai||Đúng

    a) Đúngb) Đúngc) Đúngd) Sai

    Phương trình tham số của đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)

    Gọi M = d \cap \Delta \Rightarrow M( - 1 + t;t;1 + 2t).

    Khi đó \overrightarrow{AM} = (t;t;2t - 3) là một VTCP của đường thẳng \Delta.

    Theo đề bài \Delta\bot d \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u_{d}} = 0

    \Leftrightarrow 1.t + 1.t + 2(2t - 3) = 0 \Leftrightarrow t = 1

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = (1;1; - 1)

    Phương trình đường thẳng \Delta qua A( - 1;0;4) và có một VTCP \overrightarrow{AM} = (1;1; - 1) là:

    \frac{x + 1}{x} = \frac{y}{1} = \frac{z - 4}{- 1} hoặc \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = t \\ z = 4 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)

    Khi đó ta có

    Phương án a): Đúng vì một vectơ chỉ phương của \Delta là (1;1; - 1).

    Phương án b): Đúng vì thay toạ độ điểm A(2;3;1) vào phương trình đường thẳng \Delta thoả mãn.

    Phương án c): Đúng vì đường thẳng \Delta có phương trình \frac{x + 1}{x} = \frac{y}{1} = \frac{z - 4}{- 1}.

    Phương án d): Sai vì đường thẳng \Delta có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = t \\ z = 4 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)

  • Câu 4: Thông hiểu
    Viết phương trình tham số của đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(1;1;1) và vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxy)có phương trình tham số là:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxy) nên nhận \overrightarrow{k} = (0;0;1) làm vectơ chỉ phương. Mặt khác d đi qua A(1;1;1) nên:

    \Rightarrow Đường thẳng d có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} \right..

  • Câu 5: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2} và \bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}

    a) Vectơ có tọa độ (1;2;3) là một vectơ chỉ phương của \bigtriangleup_{1}. Sai||Đúng

    b) Đường thẳng \bigtriangleup_{2} đi qua điểm A(0; - 3;14). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng \bigtriangleup_{3} đi qua B(1;1; - 2) và vuông góc với \bigtriangleup_{1} có phương trình tham số là \bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai đường thẳng \bigtriangleup_{1} và \bigtriangleup_{2} khoảng 132^{0}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2} và \bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}

    a) Vectơ có tọa độ (1;2;3) là một vectơ chỉ phương của \bigtriangleup_{1}. Sai||Đúng

    b) Đường thẳng \bigtriangleup_{2} đi qua điểm A(0; - 3;14). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng \bigtriangleup_{3} đi qua B(1;1; - 2) và vuông góc với \bigtriangleup_{1} có phương trình tham số là \bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai đường thẳng \bigtriangleup_{1} và \bigtriangleup_{2} khoảng 132^{0}. Sai||Đúng

    a) Vectơ có tọa độ (2;1; - 2) là một vectơ chỉ phương của \bigtriangleup_{1} nên mệnh đề sai

    b) Mệnh đề đúng

    c) Gọi B = \bigtriangleup_{1} \cap \bigtriangleup_{3} \Rightarrow B(1 + 2t;2 + t;3 - 2t)

    \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2t; - 1 - t; - 5 + 2t\ ) \\ \overrightarrow{AB}\bot u_{\bigtriangleup_{1}} \Rightarrow t = 1 \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2; - 3\ ) \\ \end{matrix} nên mệnh đề đúng

    d) Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn nên mệnh đề sai

  • Câu 6: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 3t \\ z = 4 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    a) Vectơ \overrightarrow{u} = (2;3; - 1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d). Đúng||Sai

    b) Vectơ \overrightarrow{u_{1}} = ( - 4; - 6;2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(9;10;0). Đúng||Sai

    d) Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 4}{- 1}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 3t \\ z = 4 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    a) Vectơ \overrightarrow{u} = (2;3; - 1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d). Đúng||Sai

    b) Vectơ \overrightarrow{u_{1}} = ( - 4; - 6;2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(9;10;0). Đúng||Sai

    d) Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 4}{- 1}. Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai

    Phương án a) đúng: từ phương trình (d) ta có \overrightarrow{u} = (2;3; - 1) là một vectơ chỉ phương của (d).

    Phương án b): đúng: \overrightarrow{u_{1}} = ( - 4; - 6;2) = - 2(2;3; - 1) = - 2\overrightarrow{u} nên \overrightarrow{u_{1}} cũng là một vectơ chỉ phương của (d).

    Phương án c) đúng: (Oxy):z = 0, từ phương trình của (d) ta có 4 - t = 0 \Leftrightarrow t = 4, thay vào (d) ta được A(9;10;0).

    Phương án d) sai: từ phương trình tham số của (d) ta suy ra phương trình chính tắc của (d) là \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{- 1}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

    Mặt phẳng \left( P ight):2x - 2y + 4z + 5 = 0  và đường thẳng (d):\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2z + 1 = 0\\y + 2z - 3 = 0\end{array} ight. :   

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta có vecto pháp tuyến của \left( P ight):\overrightarrow n = \left( {2, - 2,4} ight)

    Đường thẳng (d) được cho dưới dạng hệ của hai mặt phẳng: x - y + 2z + 1 = 0 và 2x + y - z - 3 = 0 cũng có 2 VTPT lần lượt \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1, - 1,2} ight);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2,1, - 1} ight)

    Như vậy, VTCP của (d) sẽ là tích có hướng của 2 VTPT: \left( d ight):\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = \left( { - 1,5,3} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow a = - 2 - 10 + 12 = 0

    Cho\,\,\,\,\,z = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\\2x + y = 3\end{array} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\y = \dfrac{5}{3}\end{array} ight.

    \Rightarrow A\left( {\frac{2}{3},\frac{5}{3},0} ight) \in \left( d ight) và tọa độ của A không thỏa mãn phương trình của (P).

    Vậy (d) // (P) .

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M = (1; - 1;2) và hai đường thẳng d_{1} : \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight. d_{2}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}. Đường thẳng \Delta đi qua diểm M và cắt cả hai đường thẳng d_{1},d_{2} có véc tơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;a;b). Tính a + b?

    Hướng dẫn:

    Gọi A,B lần lượt là giao điểm của đường thẳng \Delta với d_{1},d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A\left( t_{1};1 - t_{1}; - 1 ight);B \in d_{2} \Rightarrow B\left( - 1 + 2t_{2};1 + t_{2}; - 2 + t_{2} ight)

    M \in \Delta \Leftrightarrow M,A,B\ \text{thẳng\ hàng~} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}(1)

    \overrightarrow{MA} = \left( t_{1} - 1;2 - t_{1}; - 3 ight);\overrightarrow{MB} = \left( 2t_{2} - 2;t_{2} + 2;t_{2} - 4 ight)

    (1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 = k(2t_{2} - 2) \\ 2 - t_{1} = k(t_{2} + 2) \\ - 3 = k(t_{2} - 4) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 2kt_{2} + 2k = 1 \\ - t_{1} - kt_{2} - 2k = - 2 \\ kt_{2} - 4k = - 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} = 0 \\ kt_{2} = \frac{1}{3} \\ k = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.

    Từ t_{1} = 0 \Rightarrow A(0;1; - 1).

    Do đường thẳng \Delta đi qua điểm A và M nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta là \overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AM} = (1; - 2;3).

    Vậy a = - 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 1

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3) và mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 9 = 0. Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (3;4; - 4) cắt (P) tại điểm B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90^{0}. Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Đường thẳng d cắt P tại B(−2; −2; 1).

    Gọi H là hình chiếu của A lên (P).

    Ta có: H(−3; −2; −1)

    Vì MB ⊥ MA; MB ⊥ AH nên MB ⊥ MH suy ra MB ≤ BH.

    Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi M \equiv H

    Vậy MB đi qua B, nhận \overrightarrow{BH} là vectơ chỉ phương.

    Phương trình MB:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) do đó MB đi qua điểm I( - 1; - 2;3).

  • Câu 10: Thông hiểu
    Xác định vectơ chỉ phương

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}. Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).

    Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).

    Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 9; - 3), từ đó suy ra \overrightarrow{u} = (1;3;1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0; −1; 2), B(2; −3; 0), C(−2; 1; 1), D(0; −1; 3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Gọi M(x; y; z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x;y + 1;z - 2) \\ \overrightarrow{BM} = (x - 2;y + 3;z) \\ \overrightarrow{CM} = (x + 2;y - 1;z - 1) \\ \overrightarrow{DM} = (x;y + 1;z - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Từ giả thiết \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 1 \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x(x - 2) + (y + 1)(y + 3) + z(z - 2) = 1 \\ x(x + 2) + (y + 1)(y - 1) + (z - 1)(z - 3) = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z + 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm I_1(1; −2; 1), R_1 = 2 và mặt cầu tâm I_2(−1; 0; 2), R_2 = 2

    I_{1}I_{2} = \sqrt{5}

    Dễ thấy r = \sqrt{{R_{1}}^{2} - \left( \frac{I_{1}I_{2}}{2} ight)^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2}

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng \Deltađi qua điểm B(1;1;2) cắt đường thẳng d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1} tại C sao cho tam giác OBCcó diện tích bằng \frac{\sqrt{83}}{2}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    C \in d \Rightarrow C(2 + t;3 - 2t; - 1 + t)

    \overrightarrow{OC} = (2 + t;3 - 2t; - 1 + t)

    \overrightarrow{OB} = (1;1;2)

    \left\lbrack \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} ightbrack = (5t - 7;t + 5;1 - 3t)

    S_{\Delta OBC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} ightbrack ight|

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \Rightarrow \overrightarrow{BC} = (3; - 2; - 1) \\ t = \frac{- 4}{35} \Rightarrow \overrightarrow{BC} = \left( \frac{31}{35};\frac{78}{35}; - \frac{109}{35} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{BC}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{- 1} và \frac{x - 1}{31} = \frac{y - 1}{78} = \frac{z - 2}{- 109}.

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 1), đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình \frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5};\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}. Biết B (a; b; c), khi đó a + b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử đường cao là CH:\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1} ta có vectơ chỉ phương của CH là \overrightarrow {u} = (2; 5; −1).

    B thuộc đường trung tuyến BM:\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5} nên B(8 + 10t; −7 − 9t; 5 + 5 t).

    Suy ra \overrightarrow{AB} = (7 + 10t; - 8 - 9t;4 + 5t)

    Vì CH ⊥ AB nên \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} = 0⇔ −30t−30 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ B(−2; 2; 0).

    Vậy a + b + c = 0.

  • Câu 14: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua A(3; - 1;1), nằm trong mặt phẳng (P):x - y + z - 5 = 0, đồng thời tạo với \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{2} một góc 45^{0}. Phương trình đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = (1;2;2)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (a;b;c)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1; - 1;1)

    d \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow b = a + c;\ (1)

    (\Delta,d) = 45^{0} \Leftrightarrow \cos(\Delta,d) = cos45^{0}

    \Leftrightarrow \frac{|a + 2b + 2c|}{3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow 2(a + 2b + 2c)^{2} = 9\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight);\ (2)

    Từ 1 và 2, ta có:14c^{2} + 30ac = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0 \\ 15a + 7c = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Với c = 0, chọn a = b = 1, phương trình đường thẳng d là \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight. 

    Với 15a + 7c = 0, chọn a = 7 \Rightarrow c = - 15;b = - 8, phương trình đường thẳng d là \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 7t \\ y = - 1 - 8t \\ z = 1 - 15t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 15: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD biết A(1; 0; 1), B(−3; 0; 1) và điểm D có cao độ âm. Mặt phẳng (ABCD) đi qua gốc tọa độ O. Khi đó đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO} ightbrack = (0; - 4;0) Mặt phẳng (ABCD) đi qua điểm A và nhận \overrightarrow{n} = (0;1;0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình y = 0.

    Giả sử D\left( x_{D},\ y_{D},\ z_{D} ight). Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = 0 \\ \left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AB} ight| \\ D \in (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left( x_{D} - 1 ight)^{2} + {y_{D}}^{2} + \left( z_{D} - 1 ight)^{2} = 16 \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left( z_{D} - 1 ight)^{2} = 16 \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} z_{D} = 5 \\ z_{D} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vì D có cao độ âm nên D(1; 0; −3). Khi đó, tâm I của hình vuông ABCD có tọa độ I(−1; 0; −1).

    Trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đi qua I(−1; 0; −1) và nhận \overrightarrow{n} = (0;1;0) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm M(2; - 4; - 1) tới đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight. bằng:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng \Delta đi qua N(0;2;3), có véc-tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 1;2).

    Ta có \overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4) và \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack = (16;8; - 4).

    Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng \Delta là:

    d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{14}

  • Câu 17: Vận dụng
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 4y + z + 1 = 0 và hai điểm A(1; 0; 2), B(2; 5; 3). Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ nhất có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;b;c)

    Phương trình đường thẳng d có dạng \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = bt \\ z = 2 + ct \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do đường thẳng d k (P) nên 1 - 4b + c = 0 \Rightarrow c = 4b - 1.

    Khoảng cách từ B đến đường thẳng d là:

    d(B;d) = \frac{\left| \overrightarrow{u} \land \overrightarrow{AB} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{378b^{2} - 216b + 54}}{\sqrt{17b^{2} - 8b + 2}}

    Xét hàm số f(b) = \frac{378b^{2} - 216b + 54}{17b^{2} - 8b + 2} có

    f'(b) = \frac{648b^{2} - 324b}{\left( 17b^{2} - 8b + 2 ight)^{2}} \Rightarrow f'(b) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 0 \\ b = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta được khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất tại b = \frac{1}{2}

    Khi đó \overrightarrow{u} = \left( 1;\frac{1}{2};1 ight), chọn \overrightarrow{u} = (2;1;2).

    Phương trình đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2} hay \frac{x - 3}{2} = \frac{1 - y}{- 1} = \frac{z - 4}{2}.

  • Câu 18: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;1),\ B( - 1;2;3) và đường thẳng \Delta\ :\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{3}. Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳng AB và \Delta là

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}}

    \overrightarrow{AB} = ( - 2;3;2)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = ( - 2;1;3)

    \left\{ \begin{matrix} d\bot AB \\ d\bot\Delta \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{a_{\Delta}} ightbrack = (7;2;4)

    Vậy phương trình chính tắc của d là \frac{x - 1}{7} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{4}

  • Câu 19: Vận dụng
    Xác định phương trình d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) và B( - 1;2;4). Phương trình d đi qua trọng tâm của \Delta OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là

    Hướng dẫn:

    Gọi G là trọng tâm \Delta OAB, ta có G(0;2;2)

    \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1;4;2) \\ \overrightarrow{OB} = ( - 1;2;4) \\ \end{matrix}

    Gọi \overrightarrow{a_{d}} là vectơ chỉ phương của d

    d\bot(OAB) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d\bot OA \\ d\bot OB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OA} \\ \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OB} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = (12; - 6;6) = 6(2; - 1;1)

    Vậy phương trình của d là \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 2}{1}

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Xác định phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 4 = 0. Phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) sao cho d cắt và vuông góc với \Delta là

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1; - 1), và mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 4 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;1;2) suy ra \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (4; - 3;1).

    Gọi M = d \cap \Delta \Rightarrow M = (P) \cap \Delta

    M \in \Delta \Rightarrow M(t;1 + t;2 - t); M \in (P)

    \Rightarrow t + 2(1 + t) + 2(2 - t) - 4 = 0 \Rightarrow t = - 2

    Suy ra M = ( - 2; - 1;4).

    Đường thẳng đi qua M = ( - 2; - 1;4) và nhận \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (4; - 3;1) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: d:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - 4t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 4 - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
20 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Xem thêm