Trong không gian , gọi
đi qua
, cắt
, sao cho góc giữa
và
nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng
là
Giả sử cắt
tại
và ta có:
.
Suy ra tại
. Suy ra
.
Trong không gian , gọi
đi qua
, cắt
, sao cho góc giữa
và
nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng
là
Giả sử cắt
tại
và ta có:
.
Suy ra tại
. Suy ra
.
Khoảng cánh giữa hai đường thẳng : và
là:
Chuyển d1 về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của (d1):
.
Chuyển (d2) về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của
Áp dụng công thức tính Khoảng cách d1 và d2 , ta được:
.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng và hai điểm
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).
Ta có: nằm về hai phía với (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) BH cố định và
.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay .
Ta có: bé nhất bằng BH khi K trùng với điểm H.
Gọi là VTPT của (ABH)
Ta có đường thẳng d cần lập qua A, H và có VTCP là
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là:
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) qua A (2, 3, 1) cắt đường thẳng và vuông góc đường thẳng
Lấy điểm nằm trên đường thẳng (d1).
Theo đề bài, ta có (d1) qua có vecto chỉ phương là
Ta có:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) chứa A và
(1)
Xét tiếp đường thẳng có vecto chỉ phương của là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua A và vuông góc với . Ta có phương trình mp (Q) là
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
Trong không gian , cho điểm
và đường thẳng
. Tìm phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng d và cách A một khoảng lớn nhất.
Gọi là khoảng cách từ A lần lượt đến
và d.
Ta có nên yêu cầu bài toán ta phải có
, suy ra
có véc tơ pháp tuyến
.
ghi CALC (nhập tọa độ
)
Sto M.
Ghi
Ta được và
.
Trong không gian với hệ tọa độ . Viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm
cắt trục tung tại
sao cho
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của là
và
Trong không gian , cho các điểm
. Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng
?
Ta có
là 1 VTPT của mặt phẳng (ABC).
Do đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có VTPT cùng phương với vectơ (−2; −1; 1).
Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D đường thẳng có 1 VTPT là (−2; 1; 1) cùng phương với (−2; −1; 1).
Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm
và đường thẳng
. Gọi
là mặt phẳng chứa
sao cho khoảng cách từ điểm
đến
là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ
đến
bằng:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.
Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.
Ta tìm được .
Trong không gian với hệ tọa độ khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng
Đường thẳng đi qua
và có một VTCP là
Suy ra ;
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng ,
và mặt phẳng
. Gọi
là đường thẳng song song với
và cắt
lần lượt tại hai điểm
sao cho
. Phương trình tham số của đường thẳng
là
Ta có:
có vectơ chỉ phương
có vectơ pháp tuyến
Vì nên
.Khi đó
Theo đề bài:
Vậy phương trình đường thẳng là
và
Trong không gian , cho mặt phẳng
và hai điểm
. Trong các đường thẳng đi qua
và song song,
đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

Gọi là mặt phẳng qua A và song song
.
Ta có: => A; B nằm về hai phía với
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên => BH cố định và
.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong
hay
.
Ta có: bé nhất bằng BH khi
.
Gọi là VTPT của
.
d cần lập qua A, H và có VTCP .
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là:
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm
và
. Phương trình d đi qua trọng tâm của
và vuông góc với mặt phẳng
là
Gọi G là trọng tâm , ta có
Gọi là vectơ chỉ phương của
Vậy phương trình của là
Trong không gian cho đường thẳng
và mặt phẳng
.
a) [NB] Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:
. Đúng||Sai
b) [TH] Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
c) [TH] Đường thẳng cắt mặt phẳng
tại điểm
với
. Đúng||Sai
d) [VD,VDC] Phương trình đường thẳng chứa trong mặt phẳng
, vuông góc và cắt đường thẳng
là
. Đúng||Sai
Trong không gian
cho đường thẳng
và mặt phẳng
.
a) [NB] Đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là:
. Đúng||Sai
b) [TH] Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
c) [TH] Đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
với
. Đúng||Sai
d) [VD,VDC] Phương trình đường thẳng
chứa trong mặt phẳng
, vuông góc và cắt đường thẳng
là
. Đúng||Sai
a) Đúng. Đường thẳng có một vec tơ chỉ phương
.
b) Sai. Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến
.
Gọi là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
khi đó ta có:
.
c) Đúng. Tọa độ giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng
là nghiệm hệ phương trình:
.
Vậy đường thẳng cắt mặt phẳng
tại
.
d) Đúng. Đường thẳng chứa trong mặt phẳng
, vuông góc với đường thẳng
nên có 1 vectơ chỉ phương
.
Mặt khác đường thẳng cắt đường thẳng
nên
đi qua giao điểm
.
Vậy phương trình của đường thẳng .
Trong không gian , cho đường thẳng
và điểm
. Hai điểm
,
di động trên đường thẳng
sao cho mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
Gọi điểm
là hình chiếu vuông góc của điểm
lên đường thẳng
. Biết rằng quỹ tích các điểm
là đường tròn cố định, tính bán kính
đường tròn này.
Nhận xét rằng đường thẳng OA vuông góc với . Vẽ mp(P) chứa
và vuông góc với OA, phương trình (P) là
.
Ta thấy mp(P) đi qua O, mà mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
nên
hay
.

Ta có thuộc mặt cầu
đường kính OA có tâm
, bán kính
.
Mặt khác thuộc mặt phẳng (ABC) chứa A và
. Phương trình
.
Vậy có
.
với nên
.
Hai đường thẳng và
qua
có vecto chỉ phương
Hai pháp vecto của hai mặt phẳng và
là
Vecto chỉ phương của
Ta có: và tọa độ
thỏa man phương trình của
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
và đường thẳng
. Điểm
mà tổng
có giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:
Vì nên ta có tọa độ điểm
.
Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là
khi
.
Trong không gian với hệ tọa độ . Viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm
cắt đường thẳng
tại
sao cho tam giác
có diện tích bằng
.
Ta có:
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của là
và
Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm
Khoảng cách từ A đến trục Ox bằng
Trục Ox có véc-tơ chỉ phương và đi qua
.
Áp dụng công thức, ta có .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
,
. Gọi
là mặt cầu tâm
đi qua hai điểm
,
sao cho
nhỏ nhất.
là điểm thuộc
, giá trị lớn nhất của biểu thức
là
Phương trình trung trực của BA là .
Hay rút gọn thành .
Vì nhỏ nhất nên I là hình chiếu của O trên (P), ở đây dễ tìm được
. Suy ra
.
Từ đó:
.
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng
và
. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng
là.
Gọi là đường thẳng cần tìm
Gọi
có vectơ chỉ phương
có vectơ chỉ phương
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của là
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: