Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 15 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \left( \alpha \right):2x - y + 2z - 3 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2;-3;-1), song song với hai mặt phẳng \left( \alpha \right);\left( {Oyz} \right) là.

    Hướng dẫn:

    \left( \alpha ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2; - 1;2} ight)

    (Oyz) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow i = \left( {1;0;0} ight)

    d đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{i} ightbrack = (0;2;1)

    Vậy phương của d là \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = - 3 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính diện tích tam giác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng (\alpha):x - z - 3 = 0 và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, gọi B là hình chiếu của A lên (\alpha). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi A (0; 0; a).

    Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} ight.

    B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = 0 \\z = a - t \\x - z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{a + 3}{2} \\y = 0 \\z = \dfrac{a - 3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Suy ra B\left( \frac{a + 3}{2};0;\frac{a - 3}{2} ight)

    Tam giác MAB cân tại M nên MA = MB

    \Leftrightarrow 1 + 1 + (1 - a)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} ight)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} ight)^{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Nếu a = 3 thì tọa độ A (0; 0; 3), B (3; 0; 0). Diện tích tam giác MAB là S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.

    Vậy diện tích của tam giác MAB bằng: \frac{3\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Viết phương trình tham số của đườngthẳng

    Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) qua F(2,3,1) và song song với đường thẳng: (d)\left\{ \begin{matrix} 2x - y + 2z - 7 = 0 \\ x + 3y - 2z + 3 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    Hướng dẫn:

    Hai pháp vectơ của hai mặt phẳng (P):2x - y + 2z - 7 = 0 và (Q):x + 3y - 2z + 3 = 0 là \overrightarrow{n_{1}} = (2, - 1,2);\overrightarrow{n_{2}} = (1,3, - 2)

    (D)//(d) nên vectơ chỉ phương của (D):\overrightarrow{a} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right\rbrack = ( - 4,6,7) = - (4, - 6, - 7)

    \Rightarrow (D)\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 4t \\ y = 3 + 6t \\ z = 1 + 7t \\ \end{matrix} \right.\ ;t\mathbb{\in R} hay  \left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4m \\ y = 3 - 6m \\ z = 1 - 7m \\ \end{matrix} \right.\ \ \ ;m\mathbb{\in R} 

  • Câu 4: Vận dụng
    Tìm phương trình đường thẳng thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{1} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 3 \\ \end{matrix} \right.. Phương trình đường thẳng vuông góc với (P):7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d_{1},\ d_{2} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A(2a;1 - a; - 2 + a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B( - 1 + 2b;1 + b;3)

    \overrightarrow{AB} = ( - 2a + 2b - 1;a + b; - a + 5)

    (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (7;1; - 4)

    d\bot(P) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{p}} cùng phương

    \Leftrightarrow có một số k thỏa \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{n_{p}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 1 = 7k \\ a + b = k \\ - a + 5 = - 4k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 7k = 1 \\ a + b - k = 0 \\ - a + 4k = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 2 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    d đi qua điểm A(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{n_{P}} = (7;1 - 4)

    Vậy phương trình của d là \frac{x - 2}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 4}

  • Câu 5: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P):x - 2y + z - 1 = 0;(Q):x - 2y + z + 8 =0;(R):x - 2y + z - 4 = 0. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt (P),(Q),(R) lần lượt tại A,B,C. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}}.

    Gợi ý:

    Nhận xét (P)//(Q)//(R)

    Sử dụng BĐT Cauchy và định lí Ta-let đánh giá biểu thức T.

    Hướng dẫn:

    Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).

    Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng (P),(Q),(R) cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.

    Ta có BH = d\left( (Q),(P) ight) = 9;HK = d\left( (P),(R) ight) = 3

    Khi đó ta có:

    T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}} \geq 2\sqrt{AB^{2}.\frac{144}{AC^{2}}} = 24.\frac{AB}{AC} = 24.\frac{BH}{HK} = 24.\frac{9}{3} = 72

    Vậy T_{\min} = 72.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tìm điểm thuộc đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ (d), cho đường thẳng

    \left( d_{1} \right):\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 2}, \left( d_{2} \right):\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{- 4}, \left( d_{3} \right):\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \\ \end{matrix} \right., \left( d_{4} \right):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t' \\ y = 2t' \\ z = 1 - t' \\ \end{matrix} \right.. Gọi (d) là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng trên. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng (d)?

    Hướng dẫn:

    \left( d_{1} \right) đi qua điểm M_{1}(1;2;0) và có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (1;2; - 2).

    \left( d_{2} \right) đi qua điểm M_{2}(2;2;0) và có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (2;4; - 4).

    \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (1;0;0).

    Vì \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} và \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = (0; - 2; - 2) \neq \overrightarrow{0} nên \left( d_{1} \right) song song với \left( d_{2} \right).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \left( d_{1} \right) và \left( d_{2} \right).

    (P) đi qua điểm M_{1}(1;2;0) và có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = (0; - 2; - 2) hay \overrightarrow{n} = (0;1;1) có phương trình 0(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0.

    Gọi A = \left( d_{3} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \\ y + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ t = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(1;1;1).

    Gọi B = \left( d_{4} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t' \\ y = 2t' \\ z = 1 - t' \\ y + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t' = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(2;2;0).

    (d) đi qua điểm A(1;1;1) và có VTCP \overrightarrow{AB} = (1;1; - 1) có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right..

    Vì \overrightarrow{AB} không cùng phương với \overrightarrow{u_{1}} nên (d) thỏa mãn.

    Dễ thấy D(4;4; - 2) \in (d).

  • Câu 7: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và điểm A(1;0;2).

    a) Điểm B(2;1; - 1) không thuộc đường thẳng d. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0;1). Sai||Đúng

    c) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;0;2), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}. Sai||Đúng

    d) M(a;b;c)là một điểm nằm trên đường thẳng d và cách điểm A một khoảng có độ dài bằng \sqrt{26}. Khi b > 0 thì a + b + c = 3. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và điểm A(1;0;2).

    a) Điểm B(2;1; - 1) không thuộc đường thẳng d. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0;1). Sai||Đúng

    c) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;0;2), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}. Sai||Đúng

    d) M(a;b;c)là một điểm nằm trên đường thẳng d và cách điểm A một khoảng có độ dài bằng \sqrt{26}. Khi b > 0 thì a + b + c = 3. Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Sai

    Phương án a) đúng: Thay tọa độ điểm B(1;2; - 1) vào phương trình đường thẳng d ta được: \left\{ \begin{matrix} 2 = 2 + t \\ 1 = t \\ - 1 = - 2 + t \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 0 \\ t = 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(1;2; - 1) \notin d.

    Phương án b) sai: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1;1).

    Phương án c) sai: Gọi H = d \cap \Delta \Leftrightarrow H \in d nên H(2 + t;t; - 2 + t).

    Ta có: \overrightarrow{AH} = (1 + t;t; - 4 + t) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta.

    Mà \Delta\bot d \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0 \Leftrightarrow 1(1 + t) + 1.t + 1( - 4 + t) = 0 \Leftrightarrow t = 1

    \Rightarrow \overrightarrow{AH} = (2;1; - 3)

    Suy ra \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 3}

    Phương án d) sai: Ta có M \in d \Rightarrow M(2 + t;t;2 + t) nên \overrightarrow{AM} = (1 + t;t; - 4 + t).

    AM = \sqrt{26} \Leftrightarrow \sqrt{(1 + t)^{2} + t^{2} + ( - 4 + t)^{2}} = \sqrt{26}

    \Leftrightarrow 3t^{2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1 \\ t = 3 \end{matrix} \right.

    Mà b > 0 \Rightarrow t > 0. Vậy M(5;3;1) \Rightarrow a + b + c = 9.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Xác định phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 4 = 0. Phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) sao cho d cắt và vuông góc với \Delta là

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1; - 1), và mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 4 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;1;2) suy ra \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (4; - 3;1).

    Gọi M = d \cap \Delta \Rightarrow M = (P) \cap \Delta

    M \in \Delta \Rightarrow M(t;1 + t;2 - t); M \in (P)

    \Rightarrow t + 2(1 + t) + 2(2 - t) - 4 = 0 \Rightarrow t = - 2

    Suy ra M = ( - 2; - 1;4).

    Đường thẳng đi qua M = ( - 2; - 1;4) và nhận \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (4; - 3;1) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: d:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - 4t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 4 - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

  • Câu 9: Vận dụng
    Viết phương trình đường vuông góc chung

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 1} =\frac{z - 4}{1},d_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z +3}{4}. Viết phương trình đường vuông góc chung của d_{1},d_{2}.

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d_{1},d_{2} lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;1),\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 1;4)

    Gọi ∆ là đường vuông góc chung giữa d_{1} và d_{2}, suy ra ∆ có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3; - 2;1)

    Giả sử ∆ giao với d_{1},d_{2} lần lượt tại \left\{ \begin{matrix} M(3 + m; - 1 - m;4 + m) \\ N(2 + 2n;4 - n; - 3 + 4n) \\ \end{matrix} ight., khi đó ta có \overrightarrow{MN} = ( - m + 2n - 1;m - n + 5; - m + 4n - 7)

    Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{MN} = 0 \\ \overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{MN} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3m + 7n - 13 = 0\ \\ - 7m + 21n - 35 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 2 \\ n = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Từ đó suy ra đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} và đi qua điểm M(1; 1; 2).

    Vậy ta có phương trình đường thẳng: \Delta:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}

  • Câu 10: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2} và \Delta_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{3}. Phương trình đường thẳng song song với d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = - 1 + t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} \right. và cắt hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi \Delta là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = \Delta \cap \Delta_{1},B = \Delta \cap \Delta_{2}

    A \in \Delta_{1} \Rightarrow A( - 1 + 3a;2 + a;1 + 2a)

    B \in \Delta_{2} \Rightarrow B(1 + b;2b; - 1 + 3b)

    \overrightarrow{AB} = ( - 3a + b + 2; - a + 2b - 2; - 2a + 3b - 2)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (0;1;1)

    \Delta//d \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{a_{d}} cùng phương

    \Leftrightarrow có một số k thỏa \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{a_{d}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3a + b + 2 = 0 \\ - a + 2b - 2 = k \\ - 2a + 3b - 2 = k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3a + b = - 2 \\ - a + 2b - k = 2 \\ - 2a + 3b - k = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có A(2;3;3);B(2;2;2)

    \Delta đi qua điểm A(2;3;3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (0; - 1; - 1)

    Vậy phương trình của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 11: Vận dụng
    Tính tổng các phần tử của tập S

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho d_{1},d_{2} chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng \frac{5}{\sqrt{19}}. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

    Hướng dẫn:

    Vectơ chỉ phương của d_{1},d_{2} là \overrightarrow{u_{1}} = (2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)

    Khi đó: \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3;3;1).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa d_{1} song song với d_{2}.

    Tức là, (P) qua A(1;0;0) và nhận \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Ta có phương trình (P):3x - 3y - z - 3 = 0

    Xét điểm B(1;2;m) \in d_{2}. Do d_{1},d_{2} chéo nhau nên B otin (P) \Leftrightarrow m eq - 6.

    Lại có:

    d\left( d_{1};d_{2} ight) = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) ight) = \frac{5}{\sqrt{19}}

    \Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m - 3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 11 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng các phần tử của S là - 1 - 11 = - 12.

  • Câu 12: Thông hiểu
    Xác định đường thẳng thích hợp

    Đường thẳng (D):x - 3y + 2z + 7 = 0;x- 2y + z - 5 = 0 vuông góc với đường thẳng nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Hai pháp vec-tơ của hai mặt phẳng x - 3y + 2z + 7 = 0;x - 2y + z - 5 = 0 là \overrightarrow{n_{1}} = (1, - 3,2);\overrightarrow{n_{2}} = (1, - 2,1) \Rightarrow \overrightarrow{a} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right\rbrack = (1,1,1)

    \left( d_{1} \right) có vec-tơ chỉ phương \overrightarrow{b} = (3, - 4,1)

    \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3 - 4 + 1 = 0 \Rightarrow (D)\bot\left( d_{1} \right)

    \left( d_{2} \right) có vec-tơ chỉ phương \overrightarrow{c} = ( - 2,1, - 2) \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = - 3 \neq 0

    \left( d_{3} \right) có vec-tơ chỉ phương \overrightarrow{d} = (1,2, - 3) \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{d} = 0 \Rightarrow (D)\bot\left( d_{3} \right)

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(0;1;3),N(10;6;0) và mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 10 = 0. Biết rằng tồn tại điểm I( - 10;a;b) thuộc (P) sao cho |IM - IN| đạt giá trị lớn nhất. Tính T = a + b.

    Hướng dẫn:

    Thay tọa độ điểm M và N vào vế trái phương trình mặt phẳng (P), ta có (0 - 2 + 3 - 10).(10 - 12 - 10) > 0 nên hai điểm M, N nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P).

    Khi đó ta có |IM - IN| \leq MN và đẳng thức xảy ra khi I = MN \cap (P)

    Phương trình tham số của đường thẳng MN là \left\{ \begin{matrix} x = 10t \\ y = 1 + 5t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.

    Tọa độ giao điểm của MN và (P) là nghiệm hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} x = 10t \\ y = 1 + 5t \\ z = 3 - 3t \\ x - 2y + 2z - 10 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 10 \\ y = - 4 \\ z = 6 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy T = a + b = 2

  • Câu 14: Thông hiểu
    Xác định tọa độ hình chiếu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;0;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{2}. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d.

    Hướng dẫn:

    Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M(2;0;1) và vuông góc với đường thẳng d.

    Suy ra (P) nhận \overrightarrow{u_{d}} = (1;2;1) làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng

    (P):(x - 2) + 2y + z - 1 = 0

    \Leftrightarrow x + 2y + z - 3 = 0.

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d, suy ra H = d \cap (P).

    Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 2}{2} \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x - y = 2 \\y - 2z = - 4 \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 1 \\y = 0 \\z = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng \Deltađi qua điểm B(1;1;2) cắt đường thẳng d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1} tại C sao cho tam giác OBCcó diện tích bằng \frac{\sqrt{83}}{2}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    C \in d \Rightarrow C(2 + t;3 - 2t; - 1 + t)

    \overrightarrow{OC} = (2 + t;3 - 2t; - 1 + t)

    \overrightarrow{OB} = (1;1;2)

    \left\lbrack \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} ightbrack = (5t - 7;t + 5;1 - 3t)

    S_{\Delta OBC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} ightbrack ight|

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \Rightarrow \overrightarrow{BC} = (3; - 2; - 1) \\ t = \frac{- 4}{35} \Rightarrow \overrightarrow{BC} = \left( \frac{31}{35};\frac{78}{35}; - \frac{109}{35} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{BC}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{- 1} và \frac{x - 1}{31} = \frac{y - 1}{78} = \frac{z - 2}{- 109}.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tìm tọa độ của điểm M

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2),B( - 1;2;4) và đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = - 2 + t \\ z = 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Điểm M \in \Delta mà tổng MA^{2} + MB^{2} có giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:

    Hướng dẫn:

    Vì M \in \Delta nên ta có tọa độ điểm M(1 - t; - 2 + t;2t).

    Ta có:

    MA^{2} + MB^{2} = ( - t)^{2} + (t - 6)^{2} + (2t - 2)^{2} + (2 - t)^{2} + (t - 4)^{2} + (2t - 4)^{2}

    = 12t^{2} - 48t + 76 = 12(t - 2)^{2} + 28 \geq 28

    Vậy giá trị nhỏ nhất của MA^{2} + MB^{2} là 28 khi t = 2 \Rightarrow M( - 1;0;4).

  • Câu 17: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định sau

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;0;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}. Gọi \Delta là đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và cắt Oz.

    a) Một vectơ chỉ phương của \Delta là \overrightarrow{u} = ( - 3;0;1).Đúng||Sai

    b) Đường thẳng \Delta có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng \Delta có phương trình \frac{x - 1}{- 3} = y = \frac{z - 1}{1}.Sai||Đúng

    d) Đường thẳng \Delta đi qua điểm K(4; - 1;0).Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;0;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}. Gọi \Delta là đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và cắt Oz.

    a) Một vectơ chỉ phương của \Delta là \overrightarrow{u} = ( - 3;0;1).Đúng||Sai

    b) Đường thẳng \Delta có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng \Delta có phương trình \frac{x - 1}{- 3} = y = \frac{z - 1}{1}.Sai||Đúng

    d) Đường thẳng \Delta đi qua điểm K(4; - 1;0).Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Sai

    d) Sai

    Gọi N = \Delta \cap Oz \Rightarrow N \in Oz \Rightarrow N(0;0;c).

    \Delta đi qua M và N nên \Delta có 1 vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{MN} = ( - 1;0;c - 1).

    d có 1 vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;2;3).

    \Delta vuông góc với d \Leftrightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u} = 0 \Leftrightarrow 1.( - 1) + 2.0 + 3(c - 1) = 0 \Leftrightarrow c = \frac{4}{3}.

    Suy ra \Delta có 1 vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{MN} = ( - 3;0;1).

    Vậy \Delta có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)

    Khi đó ta có

    Phương án a): Đúng vì một vectơ chỉ phương của là \overrightarrow{u} = ( - 3;0;1).

    Phương án b): Đúng vì đường thẳng \Delta có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)

    Phương án c): Sai vì đường thẳng \Delta không tồn tại phương trình chính tắc do \overrightarrow{u} = ( - 3;0;1).

    Phương án d): Sai vì thay toạ độ điểm K(4; - 1;0) vào phương trình đường thẳng \Delta không thoả mãn.

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tìm tọa độ điểm M và tính chu vi tam giác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;5;0),B(3;3;6) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \\ \end{matrix} \right.. Một điểm M thay đổi trên d sao cho chu vi tam giác ABM nhỏ nhất. Khi đó tọa độ điểm M và chu vi tam giác ABM là:

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Phương pháp trắc nghiệm

    - Kiểm tra thấy chỉ có điểm M(1;0;2) thuộc d nên lại phương án B,C

    - Với M(1;0;2) tính chi vi tam giác ABM suy ra chọn D.

    Cách 2.

    - Lấy điểm M( - 1 + 2t;1 - t;2t) thuộc d

    - Tính chu vi tam giác ABM:

    P = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} + 2\sqrt{11}

    = \sqrt{(3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} \right)^{2}} + \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} \right)^{2}} + 2\sqrt{11} (dùng BĐT vectơ)

    \geq \sqrt{(3t + 6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \right)^{2}} = 2\left( \sqrt{29} + \sqrt{11} \right)

    Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow \frac{3t}{6 - 3t} = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \geq 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M(1;0;2).

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính khoảng cách

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a;\,\,AD = b;\,\,AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, EF, DH. Tính khoảng cách giữa NP và CG.

    Hướng dẫn:

    Ta biểu diễn các điểm N, P, C, G theo a, b, c được:

    N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight);P\left( {0,b,\frac{c}{2}} ight);\,C\left( {a,b,0} ight);\,\,\,G\left( {a,b,c} ight)

    Từ đó, ta tính được các vecto tương ứng:

    \overrightarrow {NP} = \left( { - \frac{a}{2},b, - \frac{c}{2}} ight);\,\,\,\overrightarrow {CG} = \left( {0,0,c} ight);\,\,\overrightarrow {PC} = \left( {a,0, - \frac{c}{2}} ight)

    Để tính khoảng cách giữa NP và CG, ta cần tính tích có hướng và tích độ dài giữa chúng rồi áp dụng CT tính khoảng cách:

    \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight] = \left( { - bc, - \dfrac{{ac}}{2},0} ight) = > \left| {\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight]} ight| = \dfrac{c}{2}\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} \\\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight].\overrightarrow {PC} = - abc = > d\left( {NP,CG} ight) = \dfrac{{2ab\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} }}{{{a^2} + 4{b^2}}}\end{array}

  • Câu 20: Vận dụng
    Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

    Mặt phẳng \left( P ight):2x - 2y + 4z + 5 = 0  và đường thẳng (d):\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2z + 1 = 0\\y + 2z - 3 = 0\end{array} ight. :   

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta có vecto pháp tuyến của \left( P ight):\overrightarrow n = \left( {2, - 2,4} ight)

    Đường thẳng (d) được cho dưới dạng hệ của hai mặt phẳng: x - y + 2z + 1 = 0 và 2x + y - z - 3 = 0 cũng có 2 VTPT lần lượt \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1, - 1,2} ight);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2,1, - 1} ight)

    Như vậy, VTCP của (d) sẽ là tích có hướng của 2 VTPT: \left( d ight):\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = \left( { - 1,5,3} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow a = - 2 - 10 + 12 = 0

    Cho\,\,\,\,\,z = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\\2x + y = 3\end{array} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\y = \dfrac{5}{3}\end{array} ight.

    \Rightarrow A\left( {\frac{2}{3},\frac{5}{3},0} ight) \in \left( d ight) và tọa độ của A không thỏa mãn phương trình của (P).

    Vậy (d) // (P) .

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
14 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Xem thêm