Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 15 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn biểu thức

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; - 1) và mặt phẳng (P):x + y - 2z - 3 = 0. Tìm điểm M \in (P) sao cho |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| dạt giá trị nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Gọi I là điểm sao cho \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = 0 \Rightarrow I(0;0;0).

    Từ đó:

    |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| = |4\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC})| = 4IM \geq 4IH

    với H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

    Từ đó suy ra |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M \equiv H.

    Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là: \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight..

    Tọa độ diểm H là nghiệm (x;y;z) của hệ

    \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = t \\z = - 2t \\x + y - 2z - 3 = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{1}{2} \\y = \dfrac{1}{2} \\z = - 1 \\t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra H = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight).

    Vậy, tọa độ điểm M cần tìm là M = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight).

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính giá trị y0

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4y - 2z = 0 và điểm M(0;1;0). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt (S) theo đường tròn (C) có chu vi nhỏ nhất. Gọi N(x_{0};\ y_{0};\ z_{0}) là điểm thuộc đường tròn (C) sao cho ON = \sqrt{6}. Tính y_{0}.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu có tâm I( - 1;2;1),R = \sqrt{6}.

    Hạ IH vuông góc với (P) thì IH \leq IM. Để đường tròn giao tuyến có chu vi nhỏ nhất thì I cách xa (P) nhất, như thế ta phải có \overrightarrow{IH} \equiv \overrightarrow{IM} và là vtpt của (P).

    Phương trình (P):x - y - z = - 1.

    Ta có NO = NI = \sqrt{6} = R nên N thuộc mặt phẳng trung trực của OI, phương trình là:

    (Q): - x + 2y + z = 3.

    Suy ra N thuộc d là giao tuyến của (P) và (Q), cộng các vế ta được y = 2.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính bán kính của mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3a + at \\ y = - 2 + t \\ z = 2 + 3a + (1 + a)t \end{matrix} \right.. Biết rằng khi a thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định qua điểm M(1;1;1) và tiếp xúc với đường thẳng \Delta . Tìm bán kính mặt cầu đó.

    Hướng dẫn:

    Ta thấy đường thẳng \Delta nằm trong mặt phẳng cố định (P):x + y - z + 3 = 0 và \Delta luôn đi qua điểm cố định A(1; - 5; - 1).

    Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với (P) ta có phương trình d là x = 1 + t,y = - 5 + t,z = - 1 - t.

    Lấy điểm I(1 + t; - 5 + t; - 1 - t) \Rightarrow MI = \sqrt{t^{2} + (t - 6)^{2} + (t + 2)^{2}} và tính khoảng cách đến (P)

    \frac{|t + 1 + t - 5 + t + 1 + 3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{t^{2} + (t - 6)^{2} + (t + 2)^{2}}

    \Rightarrow 3t^{2} = 3t^{2} - 8t + 40 \Rightarrow t = 5 \Rightarrow I(6;0; - 6)

    Hay ta có R = \sqrt{3}|t| = 5\sqrt{3}.

  • Câu 4: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi đường thẳng d đi qua điểm A(1; - 1;2), song song với (P):2x - y - z + 3 = 0, đồng thời tạo với đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2} một góc nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là:

    Hướng dẫn:

    Đặt \overrightarrow{u_{d}} = (a,b,c) khi đó ta có:

    2a - b - c = 0 \Rightarrow c = 2a - b, \left| \overrightarrow{u_{d}} \right| = \sqrt{5a^{2} + 2b^{2} - 4ab}.

    Từ đó ta có

    \cos\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right) = \frac{5a - 4b}{3\sqrt{5a^{2} + 2b^{2} - 4ab}}

    \Rightarrow cos^{2}\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right) = \frac{25a^{2} - 40ab + 16b^{2}}{9\left( 5a^{2} + 2b^{2} - 4ab \right)}

    cos^{2}\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right) = \frac{25t^{2} - 40t + 16}{9\left( 5t^{2} - 4t + 2 \right)} = f(t)

    \Rightarrow \max f(t) = f\left( \frac{- 1}{5} \right) = \frac{25}{27} , khi đó 5a = -b.

    Cho a = 1, b = -5, c = 7 ta có \overrightarrow{u_{d}} = (1; - 5;7).

  • Câu 5: Thông hiểu
    Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 7}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z- 9}{- 1};d_{2}:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z -1}{3}?

    Hướng dẫn:

    Gọi \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2 ta chọn \overrightarrow{u_{1}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{u_{2}} = ( - 1;2;3)

    Giả sử M1 ∈ d1 và M2 ∈ d2, ta chọn M_{1}(7;\ 3;\ 9);M_{2}( - 1;2;3) suy ra \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 8; - 1; - 6)

    Khi đó \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = (8; - 2;4) và \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack.\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = 0. Do đó (d1) và (d2) chéo nhau.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x - 3}{- 2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{1} và điểm A(2; - 1;0). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi M(3;0;1) \in d.

    \overrightarrow{AM}(1;1;1);\overrightarrow{u_{d}}( - 2; - 1;1) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = (2; - 3;1)

    \Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack \right| = \sqrt{14}

    Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) bằng d(A,d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u_{d}} \right|} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21}}{3}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm C

    Hai đương thẳng (d_{1}):\left\{ \begin{matrix} x = 2t - 3 \\ y = 3t - 2 \\ z = 4t + 6 \\ \end{matrix} \right. và (d_{2}) : \left\{ \begin{matrix} x = 5 + t' \\ y = - 1 - 4t' \\ z = 20 + t' \\ \end{matrix} \right. cắt nhau tại C.

    Tọa độ điểm C là:

    Hướng dẫn:

    Hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} 2t - 3 = 5 + t' \\ 3t - 2 = - 1 - 4t' \\ 4t + 6 = 20 + t' \\ \end{matrix} \right.có nghiệm t = 3,t' = - 2 .

    Từ đó có C(3,7,18) .

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 1 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight. và hai điểm A(5;0;2),B(2; - 5;3). Tìm điểm M thuộc \Delta sao cho \bigtriangleup ABM vuông tại A.

    Hướng dẫn:

    Điểm M thuộc đường thẳng \Delta nên M( - 1 + 3t;1 + t;3t).

    Ta có \overrightarrow{AM} = (3t - 6;t + 1;3t - 2) và \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 5;1).

    Tam giác ABM vuông tại M khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0

    \Leftrightarrow - 3(3t - 6) - 5(t + 1) + 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1

    Khi đó tọa độ điểm M(2;2;3).

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz,cho điểmA(2;3;0),\ \ B(0; - \sqrt{2};0),\ \ M\left( \frac{6}{5}; - \sqrt{2};2 \right)và đường thẳngd:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 2 - t \end{matrix} \right.\ . Điểm Cthuộcdsao cho chu vi tam giácABClà nhỏ nhất thì độ dài CMbằng

    Hướng dẫn:

    Vì AB không đổi nên ta cần tìm vị trí của C sao cho giá trị của tổng CA + CB nhỏ nhất.

    Ta có:

    T = AC + BC = \sqrt{2(t - 2)^{2} + 9} + \sqrt{t^{2} + (t - 2)^{2} + 2}

    = \sqrt{2t^{2} - 8t + 17} + \sqrt{2t^{2} - 4t + 6} \geq 3\sqrt{3}.

    Dấu bằng có khi t = \frac{7}{5}. Do đó CM = \sqrt{\left( t - \frac{6}{5} \right)^{2} + 2 + t^{2}} = 2.

    Cách 2. Tâm tỉ cự.

    Ghi x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(x + 0y - z)^{2}}{2} CALC nhập 2 = 3 = - 2 = có {d_{a}}^{2} = 9. CALC nhập 0 = - \sqrt{2} = - 2 = có {d_{b}}^{2} = 4.

    Gọi I là điểm sao cho 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}, tọa độ I(\frac{4}{5};\frac{6 - 2\sqrt{2}}{5};0).

    Sửa thành \frac{(x + 0y - z)}{2} CALC nhập \frac{4}{5} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{5} = - 2 =ta được t = \frac{7}{5}.

    Vậy M là hình chiếu của I trên d, tọa độ M(\frac{7}{5};0;\frac{3}{5}) nên CM = 2.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;0),B(2;2;2),C( - 2;3;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để thể tích của tứ diện MABC bằng 3.

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2;1;2),\overrightarrow{AC}( - 2;2;1)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;6)

    Phương trình mặt phẳng (ABC):x + 2(y - 1) - 2z = 0

    \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0

    Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra

    S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2} \Rightarrow d\left( M;(ABC) ight) = \frac{3V_{M.ABC}}{S_{ABC}} = 2

    Mà M \in d \Rightarrow M(2t + 1; - t - 2;2t + 3)

    d\left( M;(ABC) ight) = \frac{| - 4t -10|}{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - \dfrac{5}{4} \\t = - \dfrac{17}{4} \\\end{matrix} ight.

    Với t = - \frac{5}{4} \Rightarrow M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)

    Với t = - \frac{17}{4} \Rightarrow M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight)

  • Câu 11: Vận dụng
    Viết phương trình tham số của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1} , d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{1} và mặt phẳng (P):x + y - 2z + 3 = 0. Gọi \Delta là đường thẳng song song với (P) và cắt d_{1},\ d_{2} lần lượt tại hai điểm A,B sao cho AB = \sqrt{29}. Phương trình tham số của đường thẳng \Delta là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A \in d_{1} \Rightarrow A(1 + 2a; - 1 + a;a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B(1 + b;2 + 2b;b)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (b - 2a;3 + 2b - a;b - a)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1;1; - 2)

    Vì \Delta//(P) nên \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow b = a - 3.Khi đó \overrightarrow{AB} = ( - a - 3;a - 3; - 3)

    Theo đề bài: AB = \sqrt{29} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 1 \\ a = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A(3;0;1),\overrightarrow{AB} = ( - 4; - 2; - 3) \\ A( - 1; - 2; - 1),\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 4; - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy phương trình đường thẳng  \Delta  là \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight. và \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = - 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 12: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;\ 2;\ 3), B(1;0;1). Điểm C(a;\ b;\ - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b.

    Hướng dẫn:

    Gọi C(x;\ x + 2;\ - 2) \in (P), ta có: \overrightarrow{BA} = (0;2;2),\overrightarrow{BC} = (x - 1;x + 2; - 3).

    Từ đó diện tích ABC là :

    S = \frac{1}{2}\sqrt{8\left\lbrack (x - 1)^{2} + (x + 2)^{2} + 9 \right\rbrack - (2x - 2)^{2}}= \sqrt{3x^{2} + 6x + 27} \geq 2\sqrt{6}.

    \min S = 2\sqrt{6} \Leftrightarrow x = - 1\Leftrightarrow C( - 1;\ 1;\ - 2) \Rightarrow a + b = 0.

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn đường thẳng \left( d_{1} ight):\frac{x - 3}{1} = \frac{y +1}{- 2} = \frac{z + 1}{1},\left( d_{2} ight):\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{3} ight):\frac{x - 1}{2} = \frac{y +1}{1} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{4} ight):\frac{x}{1} = \frac{y -1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

    Hướng dẫn:

    Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).

    Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.

    Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).

    (∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).

    Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.

  • Câu 14: Vận dụng
    PTTQ của (d) khi là giao tuyến

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a;\,\,AD = b;\,\,AE = c trong hệ trục Oxyz  sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với  Ox,Oy,Oz . Gọi  M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của giao tuyến (d) của mặt phẳng (MNP) và (xOy)

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:

    M\left( {a,\frac{b}{2},0} ight);\,\,\,N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight);\,\,\,P\left( {0,b,\frac{c}{2}} ight)

    Như vậy ta tính được vecto \overrightarrow {MN} và \overrightarrow {MP} theo a, b, c.

    \overrightarrow {MN} = - \frac{1}{2}\left( {a,b, - 2c} ight);\,\,\,\overrightarrow {MP} = - \frac{1}{2}\left( {2a, - b, - c} ight)

    (MNP) có vecto pháp tuyến là tích có hướng của 2 vecto  \overrightarrow {MN} và \overrightarrow {MP}

    = > \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } ight] = - 3\left( {bc,ca,ab} ight) = \overrightarrow {{n_P}}

    (MNP) có đi qua M và nhận \overrightarrow {{n_P}} làm 1 VTCP có phương trình là:

    \begin{array}{l}\left( {MNP} ight):bc\left( {x - a} ight) + ca\left( {y - \frac{b}{2}} ight) + ab.z = 0\\ = > \left( {MNP} ight):2bcx + 2cay + 2abz - 3abc = 0\\ = > (d):2bcx + 2cay + 2abz - 3abc = 0;\,\,\,z = 0\end{array}

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Đường thảng là trục đối xứng của 2mp

    Cho điểm P(-3 , 1, -1)  và đường thẳng (d): \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.

    Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:

    Hướng dẫn:

    Chuyển (d) về dạng tham số : \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.

    Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: 3x + 4y + 2z + D = 0, cho qua P tính được D=7 .

    Ta có (Q): 3x + 4y + 2z + 7 = 0 .

    Thế x, y, z  theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được t = \frac{1}{2}

    Giao điểm I của (d) và (Q)  là I (1, -3, 1) .

    Vì I là trung điểm của PP’ nên \Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight).

  • Câu 16: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(4; - 1;2),B(1;2;2),C(1; - 1;5),D\left( x_{D};\ y_{D};z_{D} ight) với y_{D} > 0. Tính p = 2x_{D} + \ y_{D} - z_{D}?

    Hướng dẫn:

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G(2; 0; 3).

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;0) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 3;0;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;\ 1;\ 1)

    AB = 3\sqrt{2}

    Đường thẳng đi qua G vuông góc với (ABC) có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do đó D(2 + t;t;3 + t)

    Mà AD = AB \Rightarrow (t - 2)^{2} + 2(t + 1)^{2} = 18 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vì y_{D} > 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow P = 5

  • Câu 17: Thông hiểu
    Chọn phương án chính xác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;2;3) Khoảng cách từ A đến trục Oy bằng

    Hướng dẫn:

    Trục Oy có véc-tơ chỉ phương \overrightarrow{j} = (0;1;0) và đi qua O(0;0;0).

    Áp dụng công thức, ta có d(A;Oy) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{j};\overrightarrow{OA} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{j} \right|} = \sqrt{10}.

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    Cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - t \\ y = 2t - 1 \\ z = t + 2 \\ \end{matrix} \right. và mặt phẳng (\alpha):2x - y - 2z - 2 = 0. Mặt phẳng (P) qua d và tạo với (\alpha) một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:

    Hướng dẫn:

    Gọi \Delta = (\alpha) \cap (P);A = d \cap (\alpha);B \in d(B \neq A); H là hình chiếu vuông góc của B lên (\alpha); K là hình chiếu của H lên \Delta.

    Suy ra: \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) = \widehat{BAH} cố định; \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right) = \widehat{BKH}.

    Mà \widehat{BKH} \geq \widehat{BAH} (vì HK \leq HA) \Rightarrow \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) \leq \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right).

    Suy ra \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right) nhỏ nhất bằng \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) khi K \equiv A.

    Khi đó \Delta\bot d và có một VTCP \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack = - 3(1;0;1).

    (P) có một VTPT \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = 2( - 1;1;1).

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Chọn vectơ chỉ phương thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là \frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3} Biết rằng điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0) thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Hướng dẫn:

    Giả sử A(t;6 - 4t;6 - 3t), ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}} = (1; - 4; - 3) \\ \overrightarrow{AM} = ( - t;4t - 1; - 3 + 3t) \\ \overrightarrow{AN} = (1 - t; - 5 + 4t;3t - 6) \\ \end{matrix} \right.

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{AM} \right) \right| = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{AN} \right) \right|

    \Leftrightarrow \frac{|26t - 13|}{\sqrt{26t^{2} - 26t + 10}} = \frac{|26t - 39|}{\sqrt{26t^{2} - 78t + 62}}

    \Leftrightarrow \frac{|2t - 1|}{\sqrt{13t^{2} - 13t + 5}} = \frac{|2t - 3|}{\sqrt{13t^{2} - 39t + 31}}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( 4t^{2} - 4t + 1 \right)\left( 13t^{2} - 39t + 31 \right) = \left( 4t^{2} - 12t + 9 \right)\left( 13t^{2} - 13t + 5 \right) \\ \Leftrightarrow 14t = 14 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A(1;2;3) \Rightarrow \overrightarrow{AN} = (0; - 1; - 3) \\ \end{matrix}

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là \overrightarrow{u}(0;1;3)

  • Câu 20: Vận dụng
    Xác định phương trình d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) và B( - 1;2;4). Phương trình d đi qua trọng tâm của \Delta OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là

    Hướng dẫn:

    Gọi G là trọng tâm \Delta OAB, ta có G(0;2;2)

    \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1;4;2) \\ \overrightarrow{OB} = ( - 1;2;4) \\ \end{matrix}

    Gọi \overrightarrow{a_{d}} là vectơ chỉ phương của d

    d\bot(OAB) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d\bot OA \\ d\bot OB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OA} \\ \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OB} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = (12; - 6;6) = 6(2; - 1;1)

    Vậy phương trình của d là \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 2}{1}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
36 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này