Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 15 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    2 đường thẳng chéo nhau viết PTTQ

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight. và \left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Hướng dẫn:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 2: Thông hiểu
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa độ (Oxz). Viết phương trình đường thẳng d'.

    Hướng dẫn:

    Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;2;3)

    Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (0;1;0) và có phương trình y = 0.

    Suy ra \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 3;0;1)

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).

    Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ \overrightarrow{u'} = \left\lbrack \overrightarrow{n}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack ightbrack = (1;0;3) làm vectơ chỉ phương.

    Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 3: Vận dụng
    Phương trình tổng quát

    Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) qua A (2, 3, 1)  cắt đường thẳng \left( {{d_1}} ight):\frac{{x - 2}}{3} = y + 3 = \frac{{z + 1}}{2} và vuông góc đường thẳng \left( {{d_2}} ight):x = t - 2;\,\,y = 4 - 2t;\,\,z = 3 - t,\,\,\,t \in R\,\,

    Hướng dẫn:

     Lấy điểm B\left( {2, - 3, - 1} ight) nằm trên đường thẳng (d1).

    Theo đề bài, ta có (d1) qua B\left( {2, - 3, - 1} ight) có vecto chỉ phương là \overrightarrow a = \left( {3,1,2} ight)

    Ta có: \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} = \left( {0, - 6, - 2} ight) = - 2\left( {0,3,1} ight)

    Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) chứa A và \left( {{d_1}} ight):\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = - \left( {5,3, - 9} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):5\left( {x - 2} ight) + 3\left( {y - 3} ight) - 9\left( {z - 1} ight) = 0 \Leftrightarrow 5x + 3y - 9z - 10 = 0 (1)

    Xét tiếp đường thẳng có vecto chỉ phương của là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua A và vuông góc với . Ta có phương trình mp (Q) là

    \left( Q ight):\left( {x - 2} ight) - 2\left( {y - 3} ight) - \left( {z - 1} ight) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - z + 5 = 0 (2)

    Từ (1) và (2) ta suy ra:

    \Rightarrow \left( d ight):5x + 3y - 9z - 10 = 0;x - 2y - z + 5 = 0

  • Câu 4: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hai đường thẳng (d_{1}) :\left\{ \begin{matrix} x - y + z - 5 = 0 \\ x - 3y + 6 = 0 \\ \end{matrix} \right. và (d_{2}):\left\{ \begin{matrix} 2y + z - 5 = 0 \\ 4x - 2y + 5z - 4 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    Tìm câu đúng?

    Hướng dẫn:

    Chuyển đường thẳng (d_{1}) và (d_{2}) về dạng tham số:

    (d_{1}):\left\{ \begin{matrix} x = - 6 + 3t \\ y = t \\ z = 11 - 2t \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow (d_{1}) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (3,1, - 2) và qua A( - 6,0,11) .

    (d_{2}):\left\{ \begin{matrix} x = \frac{15}{4} - 3t' \\ y = 3 - t' \\ z = - 1 + 2t' \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left( d_{2} \right)có vectơ chỉ phương \overrightarrow{b} = (\frac{15}{4},3, - 1)

    \overrightarrow{a} \nearrow \swarrow \overrightarrow{b} và hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} - 6 + 3t = \frac{15}{4} - 3t' \\ t = 3 - t' \\ 11 - 2t = - 1 + 2t' \\ \end{matrix} \right. vô nghiệm.

    \Rightarrow (d_{1}) //(d_{2})

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ O đến (P)

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ điểm A đến (P) là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P) bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.

    Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.

    Ta tìm được (P):x - 4y + z - 3 = 0 \Rightarrow d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{2} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = - 2 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} \right.. Phương trình đường thẳng nằm trong (\alpha):x + 2y - 3z - 2 = 0 và cắt hai đường thẳng d_{1},\ d_{2} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm

     

    • Gọi A = d_{1} \cap (\alpha)

     

    \begin{matrix} A \in d_{1} \Rightarrow A(2 - a;1 + 3a;1 + 2a) \\ A \in (\alpha) \Rightarrow a = - 1 \Rightarrow A(3; - 2; - 1) \\ \end{matrix}

     

    • Gọi B = d_{2} \cap (\alpha)

     

    \begin{matrix} B \in d_{2} \Rightarrow B(1 - 3b; - 2 + b; - 1 - b) \\ B \in (\alpha) \Rightarrow b = 1 \Rightarrow B( - 2; - 1; - 2) \\ \end{matrix}

     

    • d đi qua điểm A(3; - 2; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = ( - 5;1; - 1)

     

    Vậy phương trình chính tắc của d là \frac{x - 3}{- 5} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 3}{1} và mặt phẳng (P):2x + y - 2z + 9 = 0. Gọi A là giao điểm của d và (P). Phương trình tham số của đường thẳng \Delta nằm trong (P), đi qua điểm A và vuông góc với d là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A = d \cap (P)

    \begin{matrix} A \in d \Rightarrow A(1 - t; - 3 + 2t;3 + t) \\ A \in (P) \Rightarrow t = 1 \Rightarrow A(0; - 1;4) \\ \end{matrix}

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 2)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = ( - 1;2;1)

    Gọi vecto chỉ phương của \Delta là \overrightarrow{a_{\Delta}}

    Ta có :

    \left. \ \begin{matrix} \Delta \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{\Delta}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \\ d\bot\Delta \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{a_{d}} ightbrack = (5;0;5)

    \Delta đi qua điểm A(0; - 1;4) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a_{\Delta}} = (5;0;5)

    Vậy phương trình tham số của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 8: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;1),\ B( - 1;2;3) và đường thẳng \Delta\ :\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{3}. Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳng AB và \Delta là

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}}

    \overrightarrow{AB} = ( - 2;3;2)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = ( - 2;1;3)

    \left\{ \begin{matrix} d\bot AB \\ d\bot\Delta \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{a_{\Delta}} ightbrack = (7;2;4)

    Vậy phương trình chính tắc của d là \frac{x - 1}{7} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{4}

  • Câu 9: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 1} và mặt phẳng (P):x + 2y - 3z + 4 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P), cắt và vuông góc đường thẳng \Delta là:

    Hướng dẫn:

    Gọi M = \Delta \cap (P)

    M \in \Delta \Rightarrow M( - 2 + t;2 + t; - t)

    M \in (P) \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 3;1;1)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1;2; - 3)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = (1;1; - 1)

    Có \left. \ \begin{matrix} d \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \\ d\bot\Delta \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{a_{\Delta}} ightbrack = (1; - 2; - 1)

    d đi qua điểm M( - 3;1;1) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a_{d}}

    Vậy phương trình tham số của d là \left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ .

  • Câu 10: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; 1), B (0; 3; −1). Điểm M nằm trên mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 4 = 0 sao cho MA + MB nhỏ nhất là:

    Hướng dẫn:

    Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 4 = 0 ta được: (2.2 + 1 + 1 − 4) (2.0 + 3 − 1 − 4) = −4 < 0

    Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).

    Vậy MA + MB ≥ AB dấu “ = ” xảy ra khi M = AB ∩ (P).

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2) chọn vtcp của đường thẳng AB: \overrightarrow{u} = (1; - 1;1).

    Vậy phương trình đường thẳng AB: \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Tọa độ (x; y; z) của M là nghiệm hệ:

    \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2x + y + z - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2(2 + t) + (1 - t) + (1 + t) - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(1;2;0)

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 2; - 1),B\left( - \frac{4}{3}; - \frac{8}{3};\frac{8}{3} ight). Đường thẳng \Delta đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). Hỏi \Delta đi qua điểm nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có: OA = 3,OB = 4,AB = 5

    Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

    \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{AB.x_{O} + OB.x_{A} + OA.x_{B}}{AB + OB + OA} \\ y_{I} = \frac{AB.y_{O} + OB.y_{A} + OA.y_{B}}{AB + OB + OA} \\ z_{I} = \frac{AB.z_{O} + OB.z_{A} + OA.z_{B}}{AB + OB + OA} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \frac{4}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ y_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 2) + 3.\left( - \frac{8}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ z_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 1) + 3.\frac{8}{3}}{5 + 4 + 3} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{1}{3} \\ y_{I} = - \frac{4}{3} \\ z_{I} = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I\left( \frac{1}{3}; - \frac{4}{3};\frac{1}{3} ight)

    \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 8; - 4; - 8) = - 4(2;1;2)

    Phương trình đường thẳng \Delta:\frac{x - \frac{1}{3}}{2} = \frac{y + \frac{4}{3}}{1} = \frac{z - \frac{1}{3}}{2}

    Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).

  • Câu 12: Thông hiểu
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm M(2;1; - 5), đồng thời vuông góc với hai vectơ \overrightarrow{a} = (1;0;1)và \overrightarrow{b} = (4;1; - 1) là

    Hướng dẫn:

    \Delta đi qua điểm M(2;1; - 5), và có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } ight] = \left( { - 1;5;1} ight)

    Vậy phương trình chính tắc của   là d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 3 \\ z = - 2 + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính diện tích tam giác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng (\alpha):x - z - 3 = 0 và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, gọi B là hình chiếu của A lên (\alpha). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi A (0; 0; a).

    Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} ight.

    B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = 0 \\z = a - t \\x - z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{a + 3}{2} \\y = 0 \\z = \dfrac{a - 3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Suy ra B\left( \frac{a + 3}{2};0;\frac{a - 3}{2} ight)

    Tam giác MAB cân tại M nên MA = MB

    \Leftrightarrow 1 + 1 + (1 - a)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} ight)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} ight)^{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Nếu a = 3 thì tọa độ A (0; 0; 3), B (3; 0; 0). Diện tích tam giác MAB là S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.

    Vậy diện tích của tam giác MAB bằng: \frac{3\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tìm điểm thuộc đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ (d), cho đường thẳng

    \left( d_{1} \right):\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 2}, \left( d_{2} \right):\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{- 4}, \left( d_{3} \right):\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \\ \end{matrix} \right., \left( d_{4} \right):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t' \\ y = 2t' \\ z = 1 - t' \\ \end{matrix} \right.. Gọi (d) là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng trên. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng (d)?

    Hướng dẫn:

    \left( d_{1} \right) đi qua điểm M_{1}(1;2;0) và có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (1;2; - 2).

    \left( d_{2} \right) đi qua điểm M_{2}(2;2;0) và có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (2;4; - 4).

    \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (1;0;0).

    Vì \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} và \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = (0; - 2; - 2) \neq \overrightarrow{0} nên \left( d_{1} \right) song song với \left( d_{2} \right).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \left( d_{1} \right) và \left( d_{2} \right).

    (P) đi qua điểm M_{1}(1;2;0) và có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = (0; - 2; - 2) hay \overrightarrow{n} = (0;1;1) có phương trình 0(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0.

    Gọi A = \left( d_{3} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \\ y + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ t = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(1;1;1).

    Gọi B = \left( d_{4} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t' \\ y = 2t' \\ z = 1 - t' \\ y + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t' = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(2;2;0).

    (d) đi qua điểm A(1;1;1) và có VTCP \overrightarrow{AB} = (1;1; - 1) có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right..

    Vì \overrightarrow{AB} không cùng phương với \overrightarrow{u_{1}} nên (d) thỏa mãn.

    Dễ thấy D(4;4; - 2) \in (d).

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tính độ dài đường cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;0;1),B( - 3;2;0),C(2; - 2;3). Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 3;2;1),\overrightarrow{AC} = (2; - 2;2)

    \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (2;4;2)

    Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác ABC là \overrightarrow{u} = \frac{1}{12}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;0; - 1)

    Phương trình đường cao kẻ từ B là: \left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 2 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Ta thấy điểm P( - 1;2; - 2) thuộc đường thẳng trên.

  • Câu 16: Vận dụng
    Phương trình đường trung trực

    Cho tam giác ABC có A\left( {3, - 1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,2, - 7} ight);\,\,\,\,C\left( { - 5,14, - 3} ight). Viết phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC của tam giác ABC. 

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta tính được \overrightarrow {BA} = \left( {2, - 3,6} ight),\overrightarrow {BC} = 2\left( { - 3,6,2} ight)

    Từ đó, suy ra VTPT của mặt phẳng (ABC) là: \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } ight] = - \left( {42,22, - 3} ight)

    Phương trình (ABC) là:

    \begin{array}{l}\left( {x - 3} ight)42 + \left( {y + 1} ight)22 + \left( {z + 1} ight)\left( { - 3} ight) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {ABC} ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0\end{array}

    Mặt khác, ta có M là trung điểm của BC nên M có tọa độ là M (-2, 8, -5)

    Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của cạnh BC là:

    \left( P ight):\,\,\left( {x + 2} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {y - 8} ight)6 + \left( {z + 5} ight)2 = 0

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( P ight):3x - 6y - 2z + 44 = 0\\ \Rightarrow \left( d ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0;\,\,3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array}

    Phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC:

    (d):\,\,\left\{ \begin{array}{l}42x + 22y - 3z - 107 = 0\\3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array} ight.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính tổng các phần tử của tập S

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho d_{1},d_{2} chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng \frac{5}{\sqrt{19}}. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

    Hướng dẫn:

    Vectơ chỉ phương của d_{1},d_{2} là \overrightarrow{u_{1}} = (2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)

    Khi đó: \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3;3;1).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa d_{1} song song với d_{2}.

    Tức là, (P) qua A(1;0;0) và nhận \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Ta có phương trình (P):3x - 3y - z - 3 = 0

    Xét điểm B(1;2;m) \in d_{2}. Do d_{1},d_{2} chéo nhau nên B otin (P) \Leftrightarrow m eq - 6.

    Lại có:

    d\left( d_{1};d_{2} ight) = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) ight) = \frac{5}{\sqrt{19}}

    \Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m - 3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 11 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng các phần tử của S là - 1 - 11 = - 12.

  • Câu 18: Vận dụng
    Viết phương trình đường phân giác

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt nhau \Delta_{1}:\frac{x +1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{3},\Delta_{2}:\frac{x + 1}{1} =\frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 3}. Trong mặt phẳng \left( \Delta_{1};\Delta_{2} ight), hãy viết phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi \Delta_{1};\Delta_{2}

    Hướng dẫn:

    Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là \overrightarrow{u_{1}} = (1;2;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)

    Ta có \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = - 4 < 0, suy ra góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} và \overrightarrow{u_{2}} là góc tù.

    Lại có \left| \overrightarrow{u_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{u_{2}} ight|

    Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u_{1}} - \overrightarrow{u_{2}} = (0;0;6) = 6(0;0;1)

    Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (0;0;1)

    Vậy phương trình đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 19: Thông hiểu
    Viết phương trình tham số

    Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua I (-1, 5, 2) và song song với trục x'Ox:

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta có (d) // x’Ox nên (d) có vecto chỉ phương là \overrightarrow {{e_1}} = \left( {1,0,0} ight)

    Như vậy, (d) qua I (-1, 5, 2) và nhận làm 1 VTCP \overrightarrow {{e_1}} = \left( {1,0,0} ight) có PTTS là:

    (d): \left\{ \begin{array}{l}x = t - 1\\y = 5\\z = 2\end{array} ight.\,\,\,;t \in \mathbb{R}

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Xác định số đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \left( d_{1} \right):\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1}, \left( d_{2} \right):\frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{3} \right):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{4} \right):\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả đường thẳng trên là

    Hướng dẫn:

    \left( d_{1} \right) đi qua điểm M_{1}(3; - 1; - 1) và có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;1).

    \left( d_{2} \right) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1).

    \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 3;1;2).

    Vì \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} và \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) \neq \overrightarrow{0} nên \left( d_{1} \right) song song với \left( d_{2} \right).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \left( d_{1} \right) và \left( d_{2} \right).

    (P) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) hay \overrightarrow{n} = (1;1;1) có phương trình 1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0.

    Gọi A = \left( d_{3} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + t \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 1 \\ z = 1 \\ t = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(1; - 1;1).

    Gọi B = \left( d_{4} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t' \\ y = 1 - t' \\ z = - t' \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ t' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(0;1;0).

    Vì \overrightarrow{BA} = (1; - 2;1) cùng phương với \overrightarrow{u_{1}} nên (d) không thỏa mãn.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
15 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Xem thêm