Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 8 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5). Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác trong của góc B trong tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức W = a + b + 2c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5). Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác trong của góc B trong tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức W = a + b + 2c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 60(km) và về phía Nam 40(km), đồng thời cách mặt đất 2(km). Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 80(km) và về phía Tây 50(km), đồng thời cách mặt đất 4(km). Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng.

    Xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó.

    Đáp án: 20,8

    Đáp án là:

    Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 60(km) và về phía Nam 40(km), đồng thời cách mặt đất 2(km). Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 80(km) và về phía Tây 50(km), đồng thời cách mặt đất 4(km). Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng.

    Xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó.

    Đáp án: 20,8

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía Bắc, trục Oy hướng về phía Tây, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).

    Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ ( - 40; - 60;2).

    Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ (80;50;4).

    Do chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng nên ở vị trí trung điểm, suy ra chiếc máy bay thứ ba có tọa độ \left( \frac{- 40 + 80}{2};\frac{- 60 + 50}{2};\frac{2 + 4}{2} ight) = (20; - 5;3).

    Khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó là:

    \sqrt{20^{2} + ( - 5)^{2} + 3^{2}} \approx 20,8(km).

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm tập hợp điểm M trong không gian

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn M không trùng với các điểm A, B, C và \widehat{AMB} = \widehat{BMC} = \widehat{CMA} = 90^{0}

    Hướng dẫn:

    Gọi M(x;y;z)

    Ta có: \widehat{AMB} = \widehat{BMC} = \widehat{CMA} = 90^{0}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0 \\ \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CM} = 0 \\ \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{AM} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x(x - 2) + y(y - 2) + z^{2} = 0 \\ x^{2} + y(y - 2) + z(z - 2) = 0 \\ x(x - 2) + y^{2} + z(z - 2) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y - 2z = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2z = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y = 0 \\ x = z \\ y = z \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} - 4x = 0 \\ x = y = z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} M(0;0;0) \\ M\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3} ight) \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 4: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C và \widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C và \widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết rằng tọa độ các điểm A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c) và hình thang ABCD có diện tích bằng 6\sqrt{2}. Tính giá trị biểu thức a+b+c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết rằng tọa độ các điểm A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c) và hình thang ABCD có diện tích bằng 6\sqrt{2}. Tính giá trị biểu thức a+b+c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 2) và B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right). Biết I(a;b;c) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Giá trị của a - b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Tính được OA = 3;OB = 4;AB = 5

    Ta có: OA.\overrightarrow{IB} + OB.\overrightarrow{IA} + AB.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4(1 - x) + 5( - x) = 0 \\ 3\left( \dfrac{4}{3} - x ight) + 4(2 - y) + 5( - y) = 0 \\ 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4( - 2 - z) + 5( - z) = 0 \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy, I(1;1;0) , suy ra a - b + c = 0.

  • Câu 7: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1). Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và tam giác ABC bằng \frac{1}{3} diện tích tứ giác ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1). Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và tam giác ABC bằng \frac{1}{3} diện tích tứ giác ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Vận dụng
    Tính độ dài đoạn thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{2} và điểm M(1\ ;2\ ;\ - 3). Gọi M_{1} là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d. Độ dài đoạn thẳng OM_{1} bằng

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Phương trình tham số của đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight..

    Một vtcp của d là \overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2).

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua điểm M(1\ ;2\ ;\ - 3) và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó (\alpha) có vtpt là \overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2).

    Phương trình mặt phẳng (\alpha): 2(x - 1) + 1(y - 2) + 2(z + 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 2z + 2 = 0.

    M_{1} là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d nên M_{1} là giao điểm của d và (\alpha).

    Xét hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t\ \ \ \ \ (1) \\ y = - 1 + t\ \ \ \ \ (2) \\ z = 1 + 2t\ \ \ \ \ \ (3) \\ 2x + y + 2z + 2 = 0\ (4) \\ \end{matrix} ight.

    Thay (1),(2),(3) vào (4) ta được: 2(3 + 2t) - 1 + t + 2(1 + 2t) + 2 = 0

    \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M_{1}(1\ ;\ - 2\ ;\ -1).

    Độ dài đoạn thẳng OM_{1} là: OM_{1} = \sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( -1)^{2}} = \sqrt{6}.

    Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight..

    Một vtcp của d là \overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2).

    M_{1} \in d \Rightarrow M_{1}(3 + 2t\ ;\ - 1 + t\ ;\ 1 + 2t)

    \Rightarrow \overrightarrow{MM_{1}} = (2 + 2t\ ;\ - 3 + t\ ;\ 4 + 2t).

    Ta có \overrightarrow{MM_{1}}\bot\overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{MM_{1}}.\overrightarrow{u} = 0\Leftrightarrow 4 + 4t - 3 + t + 8 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = - 1.

    Suy ra M_{1}(1\ ;\ - 2\ ;\ - 1)

    Độ dài đoạn thẳng OM_{1} là: OM_{1} = \sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( -1)^{2}} = \sqrt{6}.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính độ dài vectơ

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = ( - 2;3;0) và \overrightarrow{v} = (2; - 2;1). Tính độ dài vectơ \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} = ( - 2;3;0) - 2(2; - 2;1) = ( - 6;7; - 2)

    Khi đó \left| \overrightarrow{w} ight| = \sqrt{89}

  • Câu 10: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào ôtrống

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;1;5),\ \ B(3;0;1),\ \ C( - 1;2;0) và điểm M(a;b;c) thỏa mãn \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} - 5\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} lớn nhất. Tính P = a - 2b + 4c.

    Đáp án: 13

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;1;5),\ \ B(3;0;1),\ \ C( - 1;2;0) và điểm M(a;b;c) thỏa mãn \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} - 5\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} lớn nhất. Tính P = a - 2b + 4c.

    Đáp án: 13

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (4 - a;1 - b;5 - c) \\ \overrightarrow{MB} = (3 - a; - b;1 - c) \\ \overrightarrow{MC} = ( - 1 - a;2 - b; - c) \\ \end{matrix} ight.

    \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} - 5\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}

    = (4 - a)(3 - a) + (1 - b)( - b) + (5 - c)(1 - c)

    + 2(3 - a)( - 1 - a) + 2( - b)(2 - b) + 2(1 - c)( - c)

    - 5(4 - a)( - 1 - a) - 5(1 - b)(2 - b) - 5(5 - c)( - c)

    = - 2a^{2} - 2b^{2} - 2c^{2} + 4a + 10b + 17c + 21

    = - 2(a - 1)^{2} - 2\left( b - \frac{5}{2} ight)^{2} - 2\left( c - \frac{17}{4} ight)^{2} + \frac{573}{8} \leq \frac{573}{8}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = \frac{5}{2} \\ c = \frac{17}{4} \\ \end{matrix} ight.. Khi đó P = a - 2b + 4c = 13.

  • Câu 11: Vận dụng
    Xác định mệnh đề đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB,\ CD; có tọa độ ba đỉnh A(1;2;1),\ B(2;0; - 1),\ C(6;1;0). Biết hình thang có diện tích bằng 6\sqrt{2}. Giả sử đỉnh D(a;b;c), tìm mệnh đề đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 2);\overrightarrow{AC} = (5; - 1; - 1);\overrightarrow{DC} = (6 - a;1 - b; - c).

    Ta có S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \frac{9\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow S_{ACD} = 6\sqrt{2} - \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    AB//CD nên \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{DC} cùng phương, cùng chiều \Leftrightarrow \frac{6 - a}{1} = \frac{1 - b}{- 2} = \frac{c}{2} > 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 12 - 2a \\ b = 13 - 2a \\ a < 6 \\ b > 1 \\ c > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \left\lbrack \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack = (0;9a - 54;54 - 9a).

    S_{\Delta ACD} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow |54 - 9a| = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \frac{19}{3} \\ a = \frac{17}{3} \\ \end{matrix} ight.\ .

    So với điều kiện suy ra: a = \frac{17}{3} \Rightarrow a + b + c = 8.

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Biết I(a;b;c) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Tính giá trị biểu thức U = a - b + c?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.

    Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

    \overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}

    \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}. Do đó D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}

    \overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tính góc giữa hai vectơ

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0),B(2; - 1;1). Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương thuộc trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C?

    Hướng dẫn:

    Ta có: C có hoành độ dương thuộc trục Ox \Rightarrow C(x;0;0);x > 0

    Theo bài ra ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AC} = (x - 1; - 2;0) \\ \overrightarrow{BC} = (x - 2;1; - 1) \\ \end{matrix} ight. và tam giác ABC vuông tại C nên

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) - 2 = 0

    \Leftrightarrow x^{2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0(L) \\ x = 3(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy C(3;0;0)

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;1; - 4),B(2;1; - 2),C(1;1; - 3). Tìm điểm M \in Ox sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất?

    Hướng dẫn:

    Vì M \in Ox suy ra M(m;0;0). Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (3 - m;1; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (2 - m;1; - 2) \\ \overrightarrow{MC} = (1 - m;1; - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Theo bài ra:

    \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \sqrt{(6 - 3m)^{2} + 3^{2} + ( - 9)^{2}}

    = \sqrt{9m^{2} - 36m + 126} = \sqrt{9(m - 2)^{2} + 90} \geq 3\sqrt{10};\forall m\mathbb{\in R}

    Vậy \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| nhỏ nhất bằng 3\sqrt{10} khi m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2. Hay M(2;0;0)

  • Câu 15: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10 m có 1 cây quạt hộp Q đặt ở sàn nhà và 3 ổ cắm điện A,B,C trên tường. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị: mét). Biết cây quạt cách tường (Oxz) 3 m và cách tường (Oyz) 6 m; các ổ cắm điện cách mặt sàn 40 cm, ổ cắm A và B cách bức tường chứa ổ cắm C lần lượt 7 m và 1 m, ổ cắm C cách bức tường chứa 2 ổ cắm còn lại 1,5 m.

    Dây điện của quạt hộp Q cần dài tối thiểu bao nhiêu để có thể cắm tới cả 3 ổ A,\ B,\ C (Đáp án làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 6,20||6,2

    Đáp án là:

    Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10 m có 1 cây quạt hộp Q đặt ở sàn nhà và 3 ổ cắm điện A,B,C trên tường. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị: mét). Biết cây quạt cách tường (Oxz) 3 m và cách tường (Oyz) 6 m; các ổ cắm điện cách mặt sàn 40 cm, ổ cắm A và B cách bức tường chứa ổ cắm C lần lượt 7 m và 1 m, ổ cắm C cách bức tường chứa 2 ổ cắm còn lại 1,5 m.

    Dây điện của quạt hộp Q cần dài tối thiểu bao nhiêu để có thể cắm tới cả 3 ổ A,\ B,\ C (Đáp án làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 6,20||6,2

    Tọa độ cây quạt Q là Q(6;3;0)

    Tọa độ các ổ cắm điện A, B, C lần lượt là: A\left( 7;0;\frac{2}{5} ight),\ \ B\left( 1;0;\frac{2}{5} ight),\ \ C\left( 0;\frac{3}{2};\frac{2}{5} ight)

    AQ = 3,19,\ BQ \approx 5,84,\ CQ \approx 6,20.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x - y - z - 3 = 0 và hai điểm A(1; - 3; - 4),\ B(1;2;1). Khi đó:

    a) [NB] Mặt phẳng (P)có vec tơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1; - 1; - 1).Đúng||Sai

    b) [TH] \overrightarrow{AB} = (0;5;5). Đúng||Sai

    c) [TH] Khoảng cách từ điểm A đến (P)là \frac{5\sqrt{3}}{3}. Đúng||Sai

    d) [VD] Cho điểm M di động trên (P). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA^{2} + 4MB^{2}bằng 56. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x - y - z - 3 = 0 và hai điểm A(1; - 3; - 4),\ B(1;2;1). Khi đó:

    a) [NB] Mặt phẳng (P)có vec tơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1; - 1; - 1).Đúng||Sai

    b) [TH] \overrightarrow{AB} = (0;5;5). Đúng||Sai

    c) [TH] Khoảng cách từ điểm A đến (P)là \frac{5\sqrt{3}}{3}. Đúng||Sai

    d) [VD] Cho điểm M di động trên (P). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA^{2} + 4MB^{2}bằng 56. Sai||Đúng

    a) Đúng.

    Ta có: {\overrightarrow{n}}_{p} = (1; - 1; - 1).

    b) Đúng.

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (0;5;5).

    c) Đúng.

    Khoảng cách từ điểm A đến (P)là:

    d\left( A;(P) ight) = \frac{\left| 1 - ( - 3) - ( - 4) - 3 ight|}{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 1)^{2}}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}.

    d) Sai.

    Gọi I là điểm sao cho \overrightarrow{IA} + 4\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} ta có \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{x_{A} + 4x_{B}}{5} = 1 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + 4y_{B}}{5} = 1 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + 4z_{B}}{5} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(1;1;0).

    Ta có:

    MA^{2} + 4MB^{2} = {\overrightarrow{MA}}^{2} + 4{\overrightarrow{MB}}^{2}

    = \left( \overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IM} ight)^{2} + 4\left( \overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IM} ight)^{2}

    = 5IM^{2} - 2\overrightarrow{IM}\left( \overrightarrow{IA} + 4\overrightarrow{IB} ight) + MA^{2} + 4MB^{2}

    \Rightarrow MA^{2} + 4MB^{2} = 5IM^{2} + IA^{2} + 4IB^{2}

    \Rightarrow MA^{2} + 4MB^{2} nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất \Leftrightarrow M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).

    \Rightarrow IM = d\left( I;(P) ight) = \sqrt{3}

    \Rightarrow giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA^{2} + 4MB^{2} là:

    MA^{2} + 4MB^{2} = 5IM^{2} + IA^{2} + 4IB^{2} = 15 + 32 + 8 = 55.

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một chiếc máy bay đang bay từ điểm A đến điểm B. Giả sử với đơn vị km, điểmA có tọa độ A(100,200,300)và điểm B có tọa độ B(400,500,600). Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí C với tọa độ C(250,350,450), máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là 50\sqrt{3}\ \ km. Tính gọi D là điểm trên đường bay (giữa A và B) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường AD (kết quả lấy phần nguyên).

    Đáp án: 173,21 km

    Đáp án là:

    Một chiếc máy bay đang bay từ điểm A đến điểm B. Giả sử với đơn vị km, điểmA có tọa độ A(100,200,300)và điểm B có tọa độ B(400,500,600). Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí C với tọa độ C(250,350,450), máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là 50\sqrt{3}\ \ km. Tính gọi D là điểm trên đường bay (giữa A và B) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường AD (kết quả lấy phần nguyên).

    Đáp án: 173,21 km

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử D\left( x_{0},y_{0},z_{0} ight)

    Vì D là điểm trên đường bay (giữa A và B). Khi đó ta có ba điểm A,D,B thẳng hàng.

    Ta lại có D là điểm mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão.

    Khi đó DC = 50\sqrt{3}\ km

    Ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AD}= k\overrightarrow{AB} \\DC =50\sqrt{3} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} - 100 = k.300 \\ y_{0} - 200 = k.300 \\ z_{0} - 300 = k.300 \\ \sqrt{\left( x_{0} - 250 ight)^{2} + \left( y_{0} - 350 ight)^{2} + \left( z_{0} - 450 ight)^{2}} = 50\sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = 100 + 300k \\ y_{0} = 200 + 300k \\ z_{0} = 300 + 300k \\ \sqrt{(100 + 300k - 250)^{2} + (200 + 300k - 350)^{2} + (300 + 300k - 450)^{2}} = 50\sqrt{3}(*) \\ \end{matrix} ight.

    Giải (*) ta có 3{(k.300 - 150)^2} = 7500 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} k = \frac{2}{3} \hfill \\ k = \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vì D là điểm gần A hơn do đó chọn k = \frac{1}{3} hay D(200,300,400)

    Vậy độ dài quãng đường:

    AD = \sqrt {{{\left( {200 - 100} ight)}^2} + {{\left( {300 - 200} ight)}^2} + {{\left( {400 - 300} ight)}^2}}

    = 100\sqrt{3} \approx 173,21

  • Câu 18: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz và \overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz và \overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Giả sử \overrightarrow{u} = (x,y,z).

    Ta có \overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)

    cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    = \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2}

    = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1

    Vậy T = 1

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt E(0;0;6), giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight),A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 240\ N, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}} như hình.

    Tính tích vô hướng của \overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}} (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6311

    Đáp án là:

    Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt E(0;0;6), giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight),A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 240\ N, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}} như hình.

    Tính tích vô hướng của \overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}} (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6311

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}.

    Suy ra, \left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight| (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).

    Do đó: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k).

    Mà \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240).

    Suy ra - 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}.

    Từ đó \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight..

    Vậy \overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tính thể tích tứ diện

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3). Thể tích tứ diện OABC bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1;0;0) \Rightarrow OA = 1 \\ \overrightarrow{OB} = (0;2;0) \Rightarrow OB = 2 \\ \overrightarrow{OC} = (0;0;3) \Rightarrow OC = 3 \\ \end{matrix} ight.. Dễ thấy tứ diện OABC vuông tại O nên

    V_{OABC} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{1}{6}.1.2.3 = 1

    Vậy đáp án đúng là: V = 1.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
24 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Xem thêm