Trong không gian tọa độ cho ba điểm
. Tìm tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành
Minh họa bằng hình vẽ sau:
Ta có .
là hình bình hành
.
Vậy .
Trong không gian tọa độ cho ba điểm
. Tìm tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành
Minh họa bằng hình vẽ sau:
Ta có .
là hình bình hành
.
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho
,
,
. Tìm tọa độ điểm
, biết
vuông góc với
, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
có bán kính bằng
và
có cao độ âm.
Hình vẽ minh họa
Ta có ,
Do vuông góc với nên một VTCP của đường thẳng
được chọn là
Đường thẳng qua
và có VTCP
nên có phương trình tham số là:
.
Do vuông tại
.
Gọi là trung điểm
khi đó
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Gọi
là đường thẳng qua
và song song với
nên
, suy ra
là trục đường tròn ngoại tiếp
.
Trong mặt phẳng vẽ đường trung trực của
cắt
tại
và cắt
tại
.
Mặt phẳng qua
và có một VTPT
nên có phương trình tổng quát là:
.
Ta có .
Do nên
, mà
, mà cao độ của
âm nên
thỏa mãn.
Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là
,
. Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là
, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực
như hình.
Tính tích vô hướng của (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311
Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt
, giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là
,
. Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là
, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực
như hình.

Tính tích vô hướng của
(làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311
Ta có:
.
Suy ra, (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).
Do đó:
.
Mà .
Suy ra .
Từ đó .
Vậy .
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho hai vectơ
và
. Tính độ dài vectơ
?
Ta có:
Khi đó
Trong không gian , cho hình lăng trụ tam giác đều
có
, hai đỉnh
thuộc trục
và
(
không trùng với
). Biết véctơ
với
là một véctơ chỉ phương của đường thẳng
. Tính
.
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm
.
Khi đó có tại
là hình chiếu của
trên trục
và
.
Ta có: .
Mà tam giác đều nên
.
Vì thuộc trục
và
không trùng với
nên gọi
,
.
;
.
là một véctơ chỉ phương của đường thẳng
cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng
.
Vậy
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng với
là hình chữ nhật
và là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
. Các kích thước của kho chứa lần lượt là
m;
m;
m;
m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm
thuộc đoạn
sao cho
m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.
Để lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí
, người ta thiết kế đường dây cáp nối từ
đến
sau đó nối thẳng đến camera, rồi nối lại từ camera đến thẳng điểm
. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục và đầu dây nối không đáng kể ).
Đáp án: 16,7
Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng
với
là hình chữ nhật
và
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
. Các kích thước của kho chứa lần lượt là
m;
m;
m;
m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm
thuộc đoạn
sao cho
m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

Để lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của
và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí
, người ta thiết kế đường dây cáp nối từ
đến
sau đó nối thẳng đến camera, rồi nối lại từ camera đến thẳng điểm
. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục và đầu dây nối không đáng kể ).
Đáp án: 16,7
Với hệ trục toạ độ đã chọn ta có ,
,
,
,
.
Gọi là trung điểm của
, ta có
Do đó
;
.
Vậy độ dài đoạn cáp nối tối thiểu là: .
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho . Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn M không trùng với các điểm A, B, C và
Gọi
Ta có:
.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Một chiếc máy bay đang bay từ điểm đến điểm
. Giả sử với đơn vị km, điểm
có tọa độ
và điểm
có tọa độ
. Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí
với tọa độ
, máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là
. Tính gọi
là điểm trên đường bay (giữa
và
) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường
(kết quả lấy phần nguyên).
Đáp án: 173,21 km
Một chiếc máy bay đang bay từ điểm
đến điểm
. Giả sử với đơn vị km, điểm
có tọa độ
và điểm
có tọa độ
. Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí
với tọa độ
, máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là
. Tính gọi
là điểm trên đường bay (giữa
và
) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường
(kết quả lấy phần nguyên).
Đáp án: 173,21 km
Hình vẽ minh họa
Giả sử
Vì là điểm trên đường bay (giữa
và
). Khi đó ta có ba điểm
thẳng hàng.
Ta lại có là điểm mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão.
Khi đó
Ta có hệ phương trình:
Giải (*) ta có
Vì là điểm gần
hơn do đó chọn
hay
Vậy độ dài quãng đường:
Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều , có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài
mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu
bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh
, điểm cuối thuộc cạnh
) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho
ngắn nhất (như hình vẽ).
Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 72
Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều
, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài
mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu
bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh
, điểm cuối thuộc cạnh
) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho
ngắn nhất (như hình vẽ).

Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 72
Để độ dài cây cầu ngắn nhất thì
là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
và
.
Đặt hệ trục Oxyz như hình vẽ:
Khi đó ,
Do đó
Số tiền cần làm cây cầu ngắn nhất là (tỷ đồng)
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu điểm
trong không gian thỏa mãn
và
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu điểm
trong không gian thỏa mãn
và
?
Trong không gian , cho các vectơ
và
(với
là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của
để
?
Ta có:
Khi đó
Do đó
Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian vói hệ trục tọa độ , cho hình thang cân
có hai đáy
,
thỏa mãn
và diện tích bằng
, đỉnh
, phương trình đường thẳng chứa cạnh
là
. Tìm tọa độ điểm
biết
.
Hình vẽ minh họa
Gọi điểm là hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
.
Khi đó .
Đường thẳng có vtcp là:
.
Ta có:
.
Đường thẳng đi qua
và song song với
phương trình
là:
Theo bài ra ta có:
Với .
Với
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính
Đáp án: 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính ![]()
Đáp án: 1
Giả sử .
Ta có
Vậy
Trong không gian , cho các vec tơ
và
. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
để góc giữa hai vec tơ
và
là góc tù?
Ta có .
Góc giữa hai vec tơ và
là góc tù khi và chỉ khi
.
Vì nguyên dương nên
.
Vậy có 2 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật
có
trùng với gốc tọa độ
Biết rằng
,
,
với
,
là các số dương và
. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16
Trong không gian
, cho hình hộp chữ nhật
có
trùng với gốc tọa độ
Biết rằng
,
,
với
,
là các số dương và
. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16
Hình vẽ minh họa
Ta có: ,
,
,
nên
⇒ (do
);
;
.
Mà
⇒.
Xét hàm số trên
⇒
Bảng biến thiên:
Vậy .
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa các điểm
và tam giác đó nhận điểm
làm trọng tâm. Xác định giá trị biểu thức
?
Vì tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm nên ta có hệ phương trình:
Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông và về phía Nam
, đồng thời cách mặt đất
. Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc
và về phía Tây
, đồng thời cách mặt đất
. Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng.
Xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó.
Đáp án: 20,8
Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông
và về phía Nam
, đồng thời cách mặt đất
. Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc
và về phía Tây
, đồng thời cách mặt đất
. Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng.

Xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó.
Đáp án: 20,8
Chọn hệ trục tọa độ , với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng
trùng với mặt đất, trục
hướng về phía Bắc, trục
hướng về phía Tây, trục
hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).
Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ .
Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ .
Do chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng nên ở vị trí trung điểm, suy ra chiếc máy bay thứ ba có tọa độ .
Khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó là:
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: