Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 8 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz và \overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz và \overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Giả sử \overrightarrow{u} = (x,y,z).

    Ta có \overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)

    cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    = \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2}

    = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1

    Vậy T = 1

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính độ dài đoạn thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1\ ;2\ ;5), B(3\ ;4\ ;1), C(2\ ;3\ ; - 3). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm thay đổi trên mp(Oxz). Độ dài GM ngắn nhất bằng

    Hướng dẫn:

    Do G là trọng tâm tam giác ABC \Rightarrow G(2\ ;3\ ;1).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (Oxz), khi đó GH là khoảng cách từ G đến mặt phẳng (Oxz), ta có: GH = d\left( G,(Oxz) ight) = 3

    Với M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (Oxz), ta có GM \geq GH = 3, do đó GM ngắn nhất \Leftrightarrow M \equiv H. Vậy độ dài GM ngắn nhất bằng 3.

  • Câu 3: Vận dụng
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(2;3; - 1),N( - 1;1;1). Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

    a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

    b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là ( - 4; - 1;3). Đúng||Sai

    c) Cho P(1;m - 1;3), tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2a + b + c = 9. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(2;3; - 1),N( - 1;1;1). Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

    a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

    b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là ( - 4; - 1;3). Đúng||Sai

    c) Cho P(1;m - 1;3), tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2a + b + c = 9. Sai||Đúng

    a) Sai: Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (0;3;0)

    b) Đúng: Vì N là trung điểm của ME

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1 = \dfrac{2 + x_{E}}{2} \\1 = \dfrac{3 + y_{E}}{2} \\1 = \dfrac{- 1 + z_{E}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{E} = - 4 \\y_{E} = - 1 \\z_{E} = 3 \\\end{matrix} \Rightarrow E( - 4; - 1;3) ight.\ ight..

    c) Đúng: Ta có \overrightarrow{NM} = (3;2; - 2);\overrightarrow{NP} = (2;m - 2;2).

    \bigtriangleup MNP vuông tại N \Leftrightarrow\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP} = 0

    \Leftrightarrow 3.2 + 2.(m - 2) + ( - 2).2 = 0 \Leftrightarrow m = 1.

    d) Sai.

    Gọi J(x;y;z) thỏa 3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{JN} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - ( - 1 - x) = 0 \\3(3 - y) - (1 - y) = 0 \\3( - 1 - z) - (1 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{2} \\y = 4 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra J\left( \frac{7}{2};4; - 2 ight).

    Khi đó T = |3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN}| = |3\overrightarrow{IJ} + 3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{IJ} - \overrightarrow{JN}| = |2\overrightarrow{IJ}| = 2IJ.

    T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu của J trên (Oxy)

    \Leftrightarrow I\left( \frac{7}{2};4;0 ight).

    Vậy a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0.

    Suy ra 2a+b+c=11

  • Câu 4: Vận dụng
    Tìm tọa độ chân đường phân giác

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác của góc B trong tam giác ABC là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.

    Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác kẻ từ B lên AC của tam giác ABC.

    Suy ra \frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)

  • Câu 5: Thông hiểu
    Xác định tọa độ điểm Q

    Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm M(1;1;1),\ N(2;3;4),\ P(7;7;5). Tìm tọa độ điểm Q để tứ giác MNPQ là hình bình hành

    Hướng dẫn:

    Minh họa bằng hình vẽ sau:

    Ta có \overrightarrow{MN} = (1;2;3),\ \overrightarrow{QP} = \left( 7 - x_{Q};7 - y_{Q};5 - z_{Q} ight).

    MNPQ là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = 7 - x_{Q} \\ 2 = 7 - y_{Q} \\ 3 = 5 - z_{Q} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{Q} = 6 \\ y_{Q} = 5 \\ z_{Q} = 2 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy Q(6;5;2).

  • Câu 6: Thông hiểu
    Xác định giá trị tham sốk

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết \left| \overrightarrow{u} \right| = 2; \left| \overrightarrow{v} \right| = 1 và góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u}và \overrightarrow{v} bằng \frac{2\pi}{3}. Tìm k để vectơ \overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} vuông góc với vectơ \overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}.

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2.1.cos\left( \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v} ight) = 2.cos\frac{2\pi}{3} = - 1.

    Vectơ \overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} vuông góc với vectơ \overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} khi và chỉ khi:

    \overrightarrow{p}.\overrightarrow{q} = \left( k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)\left( \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} ight) = 0

    \Leftrightarrow k{\overrightarrow{u\ }}^{2} + (1 - k)\overrightarrow{u\ }.\overrightarrow{v\ } - {\overrightarrow{v\ }}^{2} = 0

    \Leftrightarrow 4k - (1 - k) - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Khối rubik như hình vẽ có độ dài cạnh bằng 2. Khi gắn rubik vào hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A(0;0;0), B(2;0;0), D( 0 ; 2 ; 0 ), A'(0;0;2). Gọi M,\ N lần lượt là trung điểm của CD,AA' (xem hình vẽ bên dưới). Biết rằng \cos\lbrack B,MN,D'brack = m, tính giá trị 14m.

    Đáp án: -10

    Đáp án là:

    Khối rubik như hình vẽ có độ dài cạnh bằng 2. Khi gắn rubik vào hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A(0;0;0), B(2;0;0), D( 0 ; 2 ; 0 ), A'(0;0;2). Gọi M,\ N lần lượt là trung điểm của CD,AA' (xem hình vẽ bên dưới). Biết rằng \cos\lbrack B,MN,D'brack = m, tính giá trị 14m.

    Đáp án: -10

    Ta có M,\ N lần lượt là trung điểm của CD,AA', suy ra M(1;\ 2;\ 0),\ N(0;\ 0;\ 1)

    \Rightarrow \overrightarrow{MN} = ( - 1;\ - 2;\ 1)

    \Rightarrow MN:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.

    Gọi H(t;2t;1 - t);H'(u;2u;1 - u) thứ tự là hình chiếu của B ; D ' trên MN

    \overrightarrow{BH}(t - 2;2t;1 - t);\overrightarrow{D'H'}(u;2u - 2; - 1 - u) vuông góc với \overrightarrow{MN} = ( - 1;\ - 2;\ 1)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - t - 4t + 1 - t = 0 \\ - u - 4u + 4 - 1 - u = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = \frac{1}{2} \\ u = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{BH}\left( - \frac{3}{2};1;\frac{1}{2} ight);\overrightarrow{D'H'}\left( \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2} ight)

    \Rightarrow \cos\lbrack B,MN,D'brack = \cos\left( \overrightarrow{BH},\overrightarrow{D'H'} ight)= \frac{- \frac{3}{4} - 1 - \frac{3}{4}}{\sqrt{\frac{9}{4} + 1 + \frac{1}{4}}.\sqrt{\frac{9}{4} + 1 + \frac{1}{4}}} = - \frac{5}{7}

    \Rightarrow \cos\lbrack B,MN,D'brack = - \frac{5}{7} = m \Rightarrow 14m = - 10

  • Câu 8: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10\ m, chiều rộng 6\ m và cao 4\ m. Người ta trang trí một chiếc đèn chùm I ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn J treo chính giữa bức tường 6\ m và cách trần nhà 1\ m. Hỏi hai chiếc bóng đèn I,Jcách nhau bao nhiêu m? (Làm tròn đến hàng phần mười).

    Đáp án: 5,1

    Đáp án là:

    Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10\ m, chiều rộng 6\ m và cao 4\ m. Người ta trang trí một chiếc đèn chùm I ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn J treo chính giữa bức tường 6\ m và cách trần nhà 1\ m. Hỏi hai chiếc bóng đèn I,Jcách nhau bao nhiêu m? (Làm tròn đến hàng phần mười).

    Đáp án: 5,1

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có tọa độ các điểm A(6;0;0),B(0;10;0),C(0;0;4).

    Từ đó ta suy ra tọa độ các điểm D(6;10;0),F(6;10;4).

    Đèn chùm I được đặt tại vị trí chính giữa trần nhà có dạng hình chữ nhật nên vị trí đặt là trung điểm của hai đường chéo CF và EG nên ta có I(3;5;4)

    Gọi J_{1} là hình chiếu của bóng đèn J lên nền nhà. Khi đó J_{1} là trung điểm của BD nên J_{1}(3;10;0), do đó J(3;10;3).

    Vậy ta tính được

    \overrightarrow{IJ} = (0;5; - 1) \Rightarrow IJ = \left| \overrightarrow{IJ} ight| = \sqrt{5^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{26} \approx 5,1\ (m)

  • Câu 9: Vận dụng
    Định tọa độ điểm M

    Trong không gian Oxyzcho A(4; - 2;6), B(2;4;2),M \in (\alpha)\ :\ x + 2y - 3z - 7 = 0 sao cho\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} nhỏ nhất. Tọa độ của M bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là trung điểm AB \Rightarrow I(3;1;4).

    Gọi H là hình chiếu của I xuống mặt phẳng (\alpha).

    Ta có \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)

    = MI^{2} + \overrightarrow{MI}.\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) - IA^{2} = MI^{2} - IA^{2}.

    Do IA không đổi nên \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất \Leftrightarrow MI = IH \Leftrightarrow M \equiv H.

    Gọi \Delta là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (\alpha).

    Khi đó \Delta nhận \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2; - 3)làm vectơ chỉ phương.

    Do đó \Delta có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 4 - 3t \\ \end{matrix} ight..

    H \in \Delta \Leftrightarrow H(3 + t;1 + 2t;4 - 3t).

    H \in (\alpha) \Leftrightarrow (3 + t) + 2(1 + 2t) - 3(4 - 3t) - 7 = 0

    \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow H(4;3;1).

    Vậy M(4;3;1).

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian Oxyz, cho \Delta ABC có A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Gọi H(a;b;c) là chân đường cao hạ từ đỉnh A. Tính (a + b + c).19.

    Đáp án: -17||- 17

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho \Delta ABC có A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Gọi H(a;b;c) là chân đường cao hạ từ đỉnh A. Tính (a + b + c).19.

    Đáp án: -17||- 17

    Ta có \overrightarrow{AH} = (a;b;c - 1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b + 2;c).

    Vì H là chân đường cao nên ta có

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3k - 1 \\ b = 3k - 2 \\ c = - k \\ \end{matrix} ight. và 3(3k - 1) + 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{19}.

    Do đó H\left( \frac{5}{19}; - \frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)

    Vậy \left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} - \frac{8}{19} ight).19 = - 17.

  • Câu 11: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyznhư hình vẽ. Gọi H là hình chiếu vuông góc của Mxuống mặt phẳng Oxy. Cho biết OM = 40, \left( \overrightarrow{i},\overrightarrow{OH} \right) = 60{^\circ}, \left( \overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM} \right) = 60{^\circ} . Điểm M có toạ độ (a;b;c). Tính giá trị P = abc. (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6825

    Đáp án là:

    Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyznhư hình vẽ. Gọi H là hình chiếu vuông góc của Mxuống mặt phẳng Oxy. Cho biết OM = 40, \left( \overrightarrow{i},\overrightarrow{OH} \right) = 60{^\circ}, \left( \overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM} \right) = 60{^\circ} . Điểm M có toạ độ (a;b;c). Tính giá trị P = abc. (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6825

    Xét \Delta MHO vuông tại H, ta có

    OH = OM.cos60{^\circ} = 40.cos60{^\circ} = 20

    OC = MH = OM.sin60{^\circ} = 40.sin60{^\circ} = 20\sqrt{3}

    Xét \Delta OAH vuông tại A , ta có OA = OH.cos50{^\circ} = 20.cos50{^\circ} \approx 12,86

    Xét \Delta OBH vuông tại B , ta có OB = OH.cos40{^\circ} = 20.cos40{^\circ} \approx 15,32

    \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 12,86\overrightarrow{i} + 15,32\overrightarrow{j} + 20\sqrt{3}\overrightarrow{k} .

    Suy ra M\left( 12,86\ ;\ \ 15,32\ ;\ \ 20\sqrt{3} ight) .

    P = 12,86.15,32.20\sqrt{3} \approx 6825 .

  • Câu 12: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểmA(1;2;3),B(0; - 2;1),C(1;0;1). Gọi D là điểm sao cho C là trọng tâm tam giác ABD. Tính tổng các tọa độ của điểm D?

    Hướng dẫn:

    Đặt D(x;y;z). Vì C là trọng tâm tam giác ABD nên

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{1 + 0 + x}{3} \\0 = \dfrac{2 - 2 + y}{3} \\1 = \dfrac{3 + 1 + z}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 0 \\z = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y + z = 1

  • Câu 13: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào chỗ trống

    Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng ABFPE.DCGQH với ABFE là hình chữ nhật

    và EFP là tam giác cân tại P. Gọi T là trung điểm của DC. Các kích thước của kho chứa lần lượt là AB = 6m;AE = 5m; AD = 8m; QT = 7m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm O thuộc đoạn AD sao cho OA = 2m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

    Để lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của FG và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí O, người ta thiết kế đường dây cáp nối từ O đến K sau đó nối thẳng đến camera, rồi nối lại từ camera đến thẳng điểm Q. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục và đầu dây nối không đáng kể ).

    Đáp án: 16,7

    Đáp án là:

    Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng ABFPE.DCGQH với ABFE là hình chữ nhật

    và EFP là tam giác cân tại P. Gọi T là trung điểm của DC. Các kích thước của kho chứa lần lượt là AB = 6m;AE = 5m; AD = 8m; QT = 7m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm O thuộc đoạn AD sao cho OA = 2m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

    Để lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của FG và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí O, người ta thiết kế đường dây cáp nối từ O đến K sau đó nối thẳng đến camera, rồi nối lại từ camera đến thẳng điểm Q. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục và đầu dây nối không đáng kể ).

    Đáp án: 16,7

    Với hệ trục toạ độ đã chọn ta có O(0;0;0), K(0;0;5), F(2;6;5), G( - 6;6;5), Q( - 6;3;7).

    Gọi I là trung điểm của FG, ta có I( - 2;6;5)

    Do đó OK = 5; \overrightarrow{KI} = ( - 2;6;0) \Rightarrow KI = \sqrt{4 + 36} = 2\sqrt{10}; \overrightarrow{IQ} = ( - 4; - 3;2) \Rightarrow IQ = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}.

    Vậy độ dài đoạn cáp nối tối thiểu là: OK + KI + IQ = 5 + 2\sqrt{10} + \sqrt{29} \approx 16,7\ m.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tính độ dài vectơ

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = ( - 2;3;0) và \overrightarrow{v} = (2; - 2;1). Tính độ dài vectơ \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} = ( - 2;3;0) - 2(2; - 2;1) = ( - 6;7; - 2)

    Khi đó \left| \overrightarrow{w} ight| = \sqrt{89}

  • Câu 15: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C và \widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C và \widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 16: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một chiếc máy bay đang bay từ điểm A đến điểm B. Giả sử với đơn vị km, điểmA có tọa độ A(100,200,300)và điểm B có tọa độ B(400,500,600). Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí C với tọa độ C(250,350,450), máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là 50\sqrt{3}\ \ km. Tính gọi D là điểm trên đường bay (giữa A và B) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường AD (kết quả lấy phần nguyên).

    Đáp án: 173,21 km

    Đáp án là:

    Một chiếc máy bay đang bay từ điểm A đến điểm B. Giả sử với đơn vị km, điểmA có tọa độ A(100,200,300)và điểm B có tọa độ B(400,500,600). Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí C với tọa độ C(250,350,450), máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là 50\sqrt{3}\ \ km. Tính gọi D là điểm trên đường bay (giữa A và B) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường AD (kết quả lấy phần nguyên).

    Đáp án: 173,21 km

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử D\left( x_{0},y_{0},z_{0} ight)

    Vì D là điểm trên đường bay (giữa A và B). Khi đó ta có ba điểm A,D,B thẳng hàng.

    Ta lại có D là điểm mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão.

    Khi đó DC = 50\sqrt{3}\ km

    Ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AD}= k\overrightarrow{AB} \\DC =50\sqrt{3} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} - 100 = k.300 \\ y_{0} - 200 = k.300 \\ z_{0} - 300 = k.300 \\ \sqrt{\left( x_{0} - 250 ight)^{2} + \left( y_{0} - 350 ight)^{2} + \left( z_{0} - 450 ight)^{2}} = 50\sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = 100 + 300k \\ y_{0} = 200 + 300k \\ z_{0} = 300 + 300k \\ \sqrt{(100 + 300k - 250)^{2} + (200 + 300k - 350)^{2} + (300 + 300k - 450)^{2}} = 50\sqrt{3}(*) \\ \end{matrix} ight.

    Giải (*) ta có 3{(k.300 - 150)^2} = 7500 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} k = \frac{2}{3} \hfill \\ k = \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vì D là điểm gần A hơn do đó chọn k = \frac{1}{3} hay D(200,300,400)

    Vậy độ dài quãng đường:

    AD = \sqrt {{{\left( {200 - 100} ight)}^2} + {{\left( {300 - 200} ight)}^2} + {{\left( {400 - 300} ight)}^2}}

    = 100\sqrt{3} \approx 173,21

  • Câu 17: Vận dụng
    Chọn phương án thíchhợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;0;2), B(3;1;4), C(3; - 2;1). Tìm tọa độ điểm S, biết SA vuông góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính bằng \frac{3\sqrt{11}}{2} và S có cao độ âm.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2;1;2), \overrightarrow{AC} = (2; - 2; - 1) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6).

    Do SA vuông góc với nên một VTCP của đường thẳng SA được chọn là \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6).

    Đường thẳng SA qua A(1;0;2) và có VTCP \overrightarrow{u} = (3;6; - 6) nên có phương trình tham số là:

    \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 6t \\ z = 2 - 6t \\ \end{matrix} ight.\ \left( t\mathbb{\in R} ight).

    Do \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 4 - 2 - 2 = 0 \Rightarrow AB\bot AC \Rightarrow \Delta ABC vuông tại A.

    Gọi M là trung điểm BC, khi đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d là đường thẳng qua M và song song với SA nên d\bot(ABC), suy ra d là trục đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC.

    Trong mặt phẳng (SAM) vẽ đường trung trực của SA cắt d tại I và cắt SA tại N.

    Mặt phẳng (ABC) qua A và có một VTPT \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3;6; - 6) nên có phương trình tổng quát là:

    3(x - 1) + 6y - 6(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 3 = 0

    \overrightarrow{BC} = (0; - 3; - 3) \Rightarrow BC = \sqrt{18} \Rightarrow BC^{2} = 18.

    Ta có R^{2} = IA^{2} + AM^{2} \Leftrightarrow \frac{99}{4} = IM^{2} + \frac{1}{4}BC^{2} \Rightarrow IM = \frac{9}{2}.

    Do S \in SA nên S(1 + 3t;6t;2 - 6t), mà SA = 2IM \Rightarrow SA = 9

    \Leftrightarrow d\left( S,(ABC) ight) = 9

    \Leftrightarrow \frac{\left| 1 + 3t + 12t - 2(2 - 6t) + 3 ight|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} = 9

    \Leftrightarrow |27t| = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \Rightarrow S(4;6; - 4) \\ t = - 1 \Rightarrow S( - 2; - 6;8) \\ \end{matrix} ight., mà cao độ của S âm nên S(4;6; - 4) thỏa mãn.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 2) và B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right). Biết I(a;b;c) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Giá trị của a - b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Tính được OA = 3;OB = 4;AB = 5

    Ta có: OA.\overrightarrow{IB} + OB.\overrightarrow{IA} + AB.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4(1 - x) + 5( - x) = 0 \\ 3\left( \dfrac{4}{3} - x ight) + 4(2 - y) + 5( - y) = 0 \\ 3\left( \dfrac{8}{3} - x ight) + 4( - 2 - z) + 5( - z) = 0 \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy, I(1;1;0) , suy ra a - b + c = 0.

  • Câu 19: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10 m có 1 cây quạt hộp Q đặt ở sàn nhà và 3 ổ cắm điện A,B,C trên tường. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị: mét). Biết cây quạt cách tường (Oxz) 3 m và cách tường (Oyz) 6 m; các ổ cắm điện cách mặt sàn 40 cm, ổ cắm A và B cách bức tường chứa ổ cắm C lần lượt 7 m và 1 m, ổ cắm C cách bức tường chứa 2 ổ cắm còn lại 1,5 m.

    Dây điện của quạt hộp Q cần dài tối thiểu bao nhiêu để có thể cắm tới cả 3 ổ A,\ B,\ C (Đáp án làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 6,20||6,2

    Đáp án là:

    Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10 m có 1 cây quạt hộp Q đặt ở sàn nhà và 3 ổ cắm điện A,B,C trên tường. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị: mét). Biết cây quạt cách tường (Oxz) 3 m và cách tường (Oyz) 6 m; các ổ cắm điện cách mặt sàn 40 cm, ổ cắm A và B cách bức tường chứa ổ cắm C lần lượt 7 m và 1 m, ổ cắm C cách bức tường chứa 2 ổ cắm còn lại 1,5 m.

    Dây điện của quạt hộp Q cần dài tối thiểu bao nhiêu để có thể cắm tới cả 3 ổ A,\ B,\ C (Đáp án làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 6,20||6,2

    Tọa độ cây quạt Q là Q(6;3;0)

    Tọa độ các ổ cắm điện A, B, C lần lượt là: A\left( 7;0;\frac{2}{5} ight),\ \ B\left( 1;0;\frac{2}{5} ight),\ \ C\left( 0;\frac{3}{2};\frac{2}{5} ight)

    AQ = 3,19,\ BQ \approx 5,84,\ CQ \approx 6,20.

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;2;1),N\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN là:

    Hướng dẫn:

    Ta có bài toán sau

    Trong tam giác ABC, gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC ta có: a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} với BC = a;AC = b;AB = c

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A’ là chân đường phân giác kẻ từ A

    \Rightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{c}{b}\overrightarrow{A'C} \Leftrightarrow b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}\ \ \ (1)

    \overrightarrow{IA} =\dfrac{c}{A'B}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{c}{\dfrac{ac}{b +c}}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{b +c}{a}\overrightarrow{A'I}

    \Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + (b + c)\overrightarrow{IA'} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} + b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

    Áp dụng công thức trong tam giác OMN ta có:

    OM.\overrightarrow{IN} + ON.\overrightarrow{IM} + MN.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{OM.x_{n} + ON.x_{M} + MN.x_{O}}{OM + ON + MN} = 0 \\y_{I} = \dfrac{OM.y_{n} + ON.y_{M} + MN.y_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\z_{I} = \dfrac{OM.z_{n} + ON.z_{M} + MN.z_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    Vậy đáp án cần tìm là (0;1;1)

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
23 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Xem thêm