Cho hình hộp có các cạnh đều bằng
và các góc
. Tính diện tích các tứ giác
và
.
Hình vẽ minh họa

Ta có:
nên
.
Dễ dàng tính được
,
.
Tính được
Vậy .
Cho hình hộp có các cạnh đều bằng
và các góc
. Tính diện tích các tứ giác
và
.
Hình vẽ minh họa

Ta có:
nên
.
Dễ dàng tính được
,
.
Tính được
Vậy .
Cho hình hộp . Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa

lần lượt là trung điểm của
.
Ta có
đồng phẳng.
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm đoạn
và
là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
.
Ta có ,
nên
Vậy
Cho hình chóp Lấy các điểm
lần lượt thuộc các tia
sao cho
, trong đó
là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa
để mặt phẳng
đi qua trọng tâm của tam giác
.
Nếu thì
nên
.
Suy ra đi qua trọng tâm của tam giác
=> là đáp án đúng.
Cho hình hộp có tâm
. Gọi
là tâm hình bình hành
. Đặt
,
,
,
. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Hình vẽ minh họa

+ Gọi lần lượt là trung điểm của
.
+Ta có:
Cho tứ diện có
. Gọi
là diện tích toàn phần (tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của
.
Do tứ diện có
nên
.
Gọi là diện tích và
là bán kính đường tròn ngoại tiếp mỗi mặt đó thì
, nên bất đẳng thức cần chứng minh:
.
Theo công thức Leibbnitz:
Với điểm bất kì và
là trọng tâm của tam giác
thì
Cho trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ta được:
.
Cho tam giác có ba góc đều là góc nhọn. Gọi
là trọng tâm tam giác
,
là chân đường cao hạ từ
xuống cạnh
thỏa mãn:
. Điểm
đi động trên
sao cho
(Trong đó
là phân số tối giản,
). Tính giá trị biểu thức
khi độ dài véc tơ
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án: 9
Cho tam giác
có ba góc đều là góc nhọn. Gọi
là trọng tâm tam giác
,
là chân đường cao hạ từ
xuống cạnh
thỏa mãn:
. Điểm
đi động trên
sao cho
(Trong đó
là phân số tối giản,
). Tính giá trị biểu thức
khi độ dài véc tơ
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án: 9
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
,
là điểm đối xứng của
qua
.
Khi đó tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên
là hình bình hành.
.
+ Dựng .
Ta có: .
Do đó nhỏ nhất khi
.
+ Ta có: .
+ Gọi là hình chiếu vuông góc của
lên
.
Ta có:
.
+ Do //
(vì cùng vuông góc với
).
Nên và
đồng dạng
.
+ có
là trung điểm
và
//
(do cùng vuông góc với
).
là đường trung bình.
Khi đó, là trung điểm
hay
.
Vậy .
Cho hình hộp . Xác định vị trí các điểm
lần lượt trên
và
sao cho
. Tính tỉ số
bằng?
Hình vẽ minh họa

.
Giả sử .
Dễ dàng có các biểu diễn và
.
Từ đó suy ra
Để thì
Từ và
ta có:
.
Vậy các điểm được xác định bởi
.
Ta cũng có .
Cho hình hộp và các điểm
xác định bởi
. Hãy tính
theo
để ba điểm
thẳng hàng.
Hình vẽ minh họa

Đặt .
Từ giả thiết ta có :
Từ đó ta có
.
Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại
sao cho
.
Thay các vectơ vào
và lưu ý
không đồng phẳng ta tính được
.
Cho hình chóp có
,
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và các trung điểm của
. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
.
Hinh vẽ minh họa

Gọi lần lượt là trung điểm của
. Thiết diện là tam giác
.
Theo bài tập 5 thì
Ta có
.
Tính tương tự, ta có
.
Vậy
.
Cho ba vectơ không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Các vectơ đồng phẳng
Mà :
(hệ vô nghiệm)
Vậy không tồn tại hai số
Cho hình hộp . Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
đúng vì
đúng vì
đúng vì
sai vì
Trong không gian cho tam giác . Tìm
sao cho giá trị của biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra G cố định và
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy với
là trọng tâm tam giác
.
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới cùa một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật , mặt phẳng
song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc
của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp
có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng đều có cường độ là
và trọng lượng của khung sắt là
.
Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là các điểm sao cho
.
Vì có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
nên
có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
.
Vì là hình chữ nhật nên
cũng là hình chữa nhật.
Gọi là tâm của hình chữ nhật
. Ta suy ra
.
Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng góc
suy ra
.
Ta có nên
.
Tam giác vuông tại
nên
.
Ta có:
.
Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên , với
là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.
Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là:
Vì trọng lượng của khung sắt là nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là:
.
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Cho hình hộp . Gọi
và
lần lượt là tâm của hình bình hành
và
. Khẳng định nào sau đây sai ?
“Bốn điểm ,
,
,
đồng phẳng ». Đúng vì
cùng thuộc
“”. Đúng vì
“Ba vectơ không đồng phẳng ». Sai vì
Ba vectơ đồng phẳng.
””. Đúng vì theo câu trên
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho hình hộp . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Hình vẽ minh họa
+ Gọi là tâm của hình hộp
.
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.
Cho hình lập phương có cạnh
. Gọi
là trung điểm
. Giá trị
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Một mặt phẳng
cắt các cạnh
lần lượt tại
.Đẳng thức nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa

Gọi là tâm của hình bình hành
thì
Do đồng phẳng nên đẳng thức trên
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: