Cho , góc giữa
bằng
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Ta có:
Khi đó:
Vậy khẳng định sai là .
Cho , góc giữa
bằng
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Ta có:
Khi đó:
Vậy khẳng định sai là .
Cho hình lăng trụ tam giác đều có
và. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Ta có
.
Suy ra .
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ
lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Cho hình chóp . Gọi
là giao điểm của
và
.
“Nếu thì
là hình thang ». Đúng vì
.
Vì và
thẳng hàng nên đặt
.
Mà không cùng phương nên
và
“Nếu là hình bình hành thì
. ». Đúng. Học sinh tự biến đổi bằng cách chiêm điểm
vào vế trái.
“Nếu là hình thang thì
. ». Sai. Vì nếu
là hình thang cân có 2 đáy là
thì sẽ sai.
“Nếu thì
là hình bình hành. ». Đúng. Tương tự đáp án A với
là trung điểm 2 đường chéo.
Cho tứ diện . Đặt
gọi
là trung điểm của
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ta có:
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho hình hộp và các điểm
xác định bởi
. Hãy tính
theo
để ba điểm
thẳng hàng.
Hình vẽ minh họa

Đặt .
Từ giả thiết ta có :
Từ đó ta có
.
Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại
sao cho
.
Thay các vectơ vào
và lưu ý
không đồng phẳng ta tính được
.
Cho hình chóp . Gọi
là giao điểm của
và
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Hình vẽ minh họa

“Nếu thì
là hình thang » Đúng
Vì và
.
Vì và
thẳng hàng nên đặt
.
Mà không cùng phương nên
và
“Nếu là hình bình hành thì
.“. Đúng.
Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm vào vế trái.
“Nếu là hình thang thì
. ». Sai.
Vì nếu là hình thang cân có 2 đáy là
thì sẽ sai.
“Nếu thì
là hình bình hành ». Đúng.
Tương tự đáp án A với là trung điểm 2 đường chéo.
Cho hình chóp Lấy các điểm
lần lượt thuộc các tia
sao cho
, trong đó
là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa
để mặt phẳng
đi qua trọng tâm của tam giác
.
Nếu thì
nên
.
Suy ra đi qua trọng tâm của tam giác
=> là đáp án đúng.
Cho tứ diện . Gọi
là các điểm thỏa nãm
còn
là các điểm xác định bởi
. Chứng minh ba điểm
thẳng hàng. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Ta có
Từ ta có
Lấy theo vế ta có
Tương tự
Mặt khác nên
Vậy thẳng hàng.
Trong không gian cho tam giác . Tìm
sao cho giá trị của biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra G cố định và
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy với
là trọng tâm tam giác
.
Cho tứ diện ,
là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng
cắt các mặt
lần lượt tại
. Mặt phẳng
đi qua
và song song với
lần lượt cắt
tại các điểm
.Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh
là trọng tâm của tam giác
.
Hình vẽ minh họa

Vì nằm trong tứ diện
nên
tồn tại sao cho
Gọi là mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
.
Ta có .
Do đó
Trong , chiếu các vec tơ lên đường thẳng
theo phương
ta được:
Từ suy ra
Tương tự ta có
Mặt khác chiếu các vec tơ trong lên mặt phẳng
theo phương
tì thu được
.
Vậy từ ta có
, hay
là trọng tâm của tam giác
.
Cho hình chóp . Lấy các điểm
lần lượt thuộc các tia
sao cho
trong đó
là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng
đi qua trọng tâm của tam giác
thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Khi đó mà
Suy ra
Vì mặt phẳng đi qua trọng tâm của tam giác
suy ra
đồng phẳng.
Do đó tồn tại ba số sao cho
) và
s
Suy ra
Cho hình chóp có
,
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và các trung điểm của
. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
.
Hinh vẽ minh họa

Gọi lần lượt là trung điểm của
. Thiết diện là tam giác
.
Theo bài tập 5 thì
Ta có
.
Tính tương tự, ta có
.
Vậy
.
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới cùa một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật , mặt phẳng
song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc
của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp
có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng đều có cường độ là
và trọng lượng của khung sắt là
.
Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là các điểm sao cho
.
Vì có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
nên
có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
.
Vì là hình chữ nhật nên
cũng là hình chữa nhật.
Gọi là tâm của hình chữ nhật
. Ta suy ra
.
Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng góc
suy ra
.
Ta có nên
.
Tam giác vuông tại
nên
.
Ta có:
.
Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên , với
là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.
Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là:
Vì trọng lượng của khung sắt là nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là:
.
Trong không gian , cho các điểm
,
, điểm
và tam giác
vuông tại
, hình chiếu vuông góc của
trên
là điểm
. Khi đó điểm
luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy . Ta có
và
, suy ra
.
Ta có
, mà
. Suy ra
.
Mặt khác ta có
, .
Từ và
suy ra
và
.
Với suy ra
thuộc mặt phẳng
với
là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng
.
Phương trình của là:
.
Với
vuông tại
.
Do đó thuộc mặt cầu
có tâm
là trung điểm của
và bán kính
.
Do đó điểm luôn thuộc đường tròn
cố định là giao tuyến của mp
với mặt cầu
.
Giả sử có tâm
và bán kính
thì
và
.
Vậy điểm luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
.
Cho ba vectơ không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Các vectơ đồng phẳng
Mà :
(hệ vô nghiệm)
Vậy không tồn tại hai số
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm đoạn
và
là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
.
Ta có ,
nên
Vậy
Theo định luật Newton: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật:
, trong đó
là vectơ gia tốc
,
là vectơ lực
tác dụng lên vật,
là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng
một gia tốc
thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

Ta có .
Vậy muốn truyền cho quả bóng có khối lượng một gia tốc
thì cần một lực đá có độ lớn là
.
Cho hình hộp có các cạnh đều bằng
và các góc
. Tính góc giữa đường thẳng
với các đường thẳng
.
Hình vẽ minh họa

.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: