Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho tứ diện . Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
,
là trung điểm của
). Xác định vị trí của
để
nhỏ nhất.
Hình vẽ minh họa

Ta có nên
nhỏ nhất khi
.
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
?
Vì các vectơ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên
Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực , được thiết kế với tấm kim loại được giữ bởi ba đoạn cáp
sao cho
và
là tam giác đều, đồng thời các cạnh
tạo với mặt phẳng
một góc có
(như hình vẽ).
Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 1333(N)
Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực , được thiết kế với tấm kim loại được giữ bởi ba đoạn cáp
sao cho
và
là tam giác đều, đồng thời các cạnh
tạo với mặt phẳng
một góc có
(như hình vẽ).
Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 1333(N)
Đặt thì
.
Chú ý thêm là:
Ta có:
với
là trọng tâm
.
Vì hình chóp đều nên
Do đó , suy ra
.
Khi gắn các lực vào ta có:
Từ đó: .
Vậy lực căng mỗi sợi dây là .
Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc
và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 124 N
Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc
và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 124 N
Gọi hai lực tạo với nhau một góc là
và
, ta có
N.
Lực còn lại là , ta có
N.
Gọi là hợp lực của ba lực trên ta có
.
N
Cho tứ diện có
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác có
là trung điểm đoạn
.
Ta có:
Vì tam giác có
và
Nên tam giác đều. Suy ra:
Tương tự ta có tam giác đều nên
.
Xét .
Suy ra . Hay góc giữa cặp vectơ
và
bằng
.
Cho tứ diện ,
là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng
cắt các mặt
lần lượt tại
. Mặt phẳng
đi qua
và song song với
lần lượt cắt
tại các điểm
.Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh
là trọng tâm của tam giác
.
Hình vẽ minh họa

Vì nằm trong tứ diện
nên
tồn tại sao cho
Gọi là mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
.
Ta có .
Do đó
Trong , chiếu các vec tơ lên đường thẳng
theo phương
ta được:
Từ suy ra
Tương tự ta có
Mặt khác chiếu các vec tơ trong lên mặt phẳng
theo phương
tì thu được
.
Vậy từ ta có
, hay
là trọng tâm của tam giác
.
Cho hình hộp . Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa

lần lượt là trung điểm của
.
Ta có
đồng phẳng.
Cho tứ diện có
. Gọi
là diện tích toàn phần (tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của
.
Do tứ diện có
nên
.
Gọi là diện tích và
là bán kính đường tròn ngoại tiếp mỗi mặt đó thì
, nên bất đẳng thức cần chứng minh:
.
Theo công thức Leibbnitz:
Với điểm bất kì và
là trọng tâm của tam giác
thì
Cho trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ta được:
.
Theo định luật Newton: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật:
, trong đó
là vectơ gia tốc
,
là vectơ lực
tác dụng lên vật,
là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng
một gia tốc
thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

Ta có .
Vậy muốn truyền cho quả bóng có khối lượng một gia tốc
thì cần một lực đá có độ lớn là
.
Trong không gian cho hình chóp có đáy
là hình bình hành tâm
. Khi đó
bằng.
Do là tâm của hình bình hành
nên
.
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có
Cho hình hộp . Gọi
và
lần lượt là tâm của hình bình hành
và
. Khẳng định nào sau đây sai ?
“Bốn điểm ,
,
,
đồng phẳng ». Đúng vì
cùng thuộc
“”. Đúng vì
“Ba vectơ không đồng phẳng ». Sai vì
Ba vectơ đồng phẳng.
””. Đúng vì theo câu trên
Cho hình lăng trụ tam giác đều có
và. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Ta có
.
Suy ra .
Trong không gian cho điểm và bốn điểm
,
,
,
không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để
,
,
,
tạo thành hình bình hành là
Hình vẽ minh họa
Trước hết, điều kiện cần và đủ để là hình bình hành là:
.
Với mọi điểm bất kì khác
,
,
,
, ta có:
.
Một em nhỏ cân nặng trượt trên cầu trượt dài
(như trong hình dưới đây). Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là
. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
+ Với gia tốc rơi tự do có độ lớn là
thì độ lớn của trọng lực
tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là
.
+ Góc giữa độ dịch chuyển so với trọng lực
là
.
+ Công sinh bởi một lực
có độ dịch chuyển
được tính bởi công thức
thì công sinh bởi trọng lực
khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là
.

» Với gia tốc rơi tự do có độ lớn là
thì độ lớn của trọng lực
tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là
.
» Em nhỏ trượt từ điểm tới điểm
nên khi đó góc giữa độ dịch chuyển
so với trọng lực
là
.
» Ta có độ lớn của trọng lực tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là
nên công sinh bởi trọng lực
khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là
.
Cho hình tứ diện có trọng tâm
. Mệnh đề nào sau đây sai.
Theo giả thuyết trên thì với là một điểm bất kỳ ta luôn có:
.
Ta thay điểm bởi điểm
thì ta có:
Do vậy là sai.
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới cùa một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật , mặt phẳng
song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc
của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp
có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng đều có cường độ là
và trọng lượng của khung sắt là
.
Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là các điểm sao cho
.
Vì có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
nên
có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
.
Vì là hình chữ nhật nên
cũng là hình chữa nhật.
Gọi là tâm của hình chữ nhật
. Ta suy ra
.
Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng góc
suy ra
.
Ta có nên
.
Tam giác vuông tại
nên
.
Ta có:
.
Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên , với
là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.
Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là:
Vì trọng lượng của khung sắt là nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là:
.
Cho hình hộp có các cạnh đều bằng
và các góc
. Tính góc giữa đường thẳng
với các đường thẳng
.
Hình vẽ minh họa

.
Cho hình chóp Lấy các điểm
lần lượt thuộc các tia
sao cho
, trong đó
là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa
để mặt phẳng
đi qua trọng tâm của tam giác
.
Nếu thì
nên
.
Suy ra đi qua trọng tâm của tam giác
=> là đáp án đúng.
Cho hình hộp và các điểm
xác định bởi
. Hãy tính
theo
để ba điểm
thẳng hàng.
Hình vẽ minh họa

Đặt .
Từ giả thiết ta có :
Từ đó ta có
.
Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại
sao cho
.
Thay các vectơ vào
và lưu ý
không đồng phẳng ta tính được
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: