Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 16 (Mức độ Khó)

Công thức tính góc trong không gian

Toán 12 KNTT: Tính góc trong không gian (Vận dụng cao)

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 16 (Mức độ khó) giúp học sinh nâng cao tư duy hình học không gian thông qua các bài toán phức tạp về công thức tính góc trong không gian Oxyz. Tài liệu phù hợp cho ôn thi THPT Quốc gia, bám sát chương trình Kết nối tri thức, có đáp án chi tiết.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a;BC = a\sqrt{3};SA = a và SA vuông góc với đáy ABCD. Tính \sin\alpha, với \alpha là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC).

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Hình vẽ minh họa

    Vẽ \overrightarrow{ST} = \overrightarrow{BC}

    Lúc đó (SBC) \equiv (STCB)

    Gọi M,N lần lượt là trung điểm SB;TC lúc đó ta có:

    AM\bot(SBC),DN//AM \Rightarrow DN\bot(SBC)

    Hình chiếu của BD trên (SBC) chính là BN

    Ta có \left( BD;(SBC) \right) = (BD;BN) = \widehat{DBN}

    \sin DBN = \frac{DN}{BD} = \frac{AM}{BD} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{4}

    Cách 2: Hình vẽ

    Đặt hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó, ta có A(0;0;0), , d\left( 0;a\sqrt{3};0 \right), S(0;0;a).

    Ta có \overrightarrow{BD} = \left( - a;a\sqrt{3};0 \right) = a\left( - 1;\sqrt{3};0 \right), nên đường thẳng BD có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \left( - 1;\sqrt{3};0 \right).

    Ta có \overrightarrow{SB} = (a;0; - a), \overrightarrow{BC} = \left( 0;a\sqrt{3};0 \right)

    = > \left\lbrack \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{BC} \right\rbrack = \left( a^{2}\sqrt{3};0;a^{2}\sqrt{3} \right) = a^{2}\sqrt{3}(1;0;1).

    Như vậy, mặt phẳng (SBC) có véc-tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1;0;1).

    Do đó, \alpha là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SBC) thì

    \sin\alpha = \frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}= \frac{\left| ( - 1).3 +\sqrt{3}.0 + 0.1 \right|}{\sqrt{( - 1)^{2} + {\sqrt{3}}^{2} +0^{2}}.\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{4}.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tính cosin giữa hai đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}và hai điểm A(1;1; - 2), B( - 1;0;2). Gọi \Delta_{1} đường thẳng qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B tới \Delta_{1} là nhỏ nhất và \Delta_{2} là đường thẳng qua A, cắt d sao cho khoảng cách từ B tới \Delta_{2} là nhỏ nhất. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng \Delta_{1} và \Delta_{2}.

    Hướng dẫn:

    Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d.

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P).

    Khi đó, đường thẳng \Delta_{1} đi qua A và H thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Ta có: (P):x + 2y - z - 5 = 0 và H\left( \frac{1}{3};\frac{8}{3};\frac{2}{3} \right). \Delta_{1}có một VTCP: \overrightarrow{u_{1}} = 3\overrightarrow{AH} = ( - 2;5;8)

    Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d.

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (Q).

    Khi đó, đường thẳng \Delta_{2} đi qua A và K thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Ta có: (Q):x + z + 1 = 0 và K( - 2;0;1). \Delta_{2} có một VTCP: \overrightarrow{u_{2}} = \overrightarrow{AK} = ( - 3; - 1;3)

    \cos\left( \Delta_{1};\Delta_{2} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{25\sqrt{1767}}{1767}

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tính số đo góc nhị diện

    Cho tứ diện S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết AD = 2a,AB = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = \frac{a\sqrt{6}}{2}. Gọi E là trung điểm của AD. Tính số đo của góc phẳng nhị diện \lbrack S;BE;Abrack?

    Hướng dẫn:

    Ta có ABCE là hình vuông cạnh a.

    Gọi I = AC \cap BE.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BE\bot AI \\ BE\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BE\bot(SAI) \Rightarrow BE\bot SI.

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} (SBE)\bot(ABE) = BE \\ AI\bot BE \\ SI\bot BE \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \lbrack S,BE,Abrack = \widehat{SIA}

    Xét tam giác SIA vuông tại A: \tan\widehat{SIA} = \frac{SA}{IA} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{SIA} = 60^{0}

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A; AB = 3;AC = 4;AA' = \frac{\sqrt{61}}{2}; hình chiếu của B’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC. Gọi M là trung điểm cạnh (ABC) (tham khảo hình vẽ bên dưới).

    Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC') và (A'BC) bằng

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

    O \equiv A(0;0;0),B(3;0;0),C(0;4;0)

    Gọi N là trung điểm BC\Rightarrow N\left( \frac{3}{2};2;0 \right).

    NB' = \sqrt{BB'^{2} - BN^{2}} = 3 \Leftrightarrow B'\left( \frac{3}{2};2;3 \right)

    \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = - \frac{3}{2} \\ y_{A'} = 2 \Rightarrow A'\left( - \frac{3}{2};2;3 \right) \\ z_{A'} = 3 \end{matrix} \right.

    \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C'} = - \frac{3}{2} \\ y_{C'} - 4 = 2 \Rightarrow C'\left( - \frac{3}{2};6;3 \right) \\ z_{C'} = 3 \end{matrix} \right.

    M là trung điểm A'B' \Rightarrow M(0;2;3).

    \overrightarrow{AM} = (0;2;3),\overrightarrow{AC'} = \left( - \frac{3}{2};6;3 \right)

    \overrightarrow{A'B} = \left( \frac{9}{2}; - 2; - 3 \right),\overrightarrow{A'C} = \left( \frac{3}{2};2; - 3 \right)

    \overrightarrow{n_{(AMC')}} = \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AC'} \right\rbrack = \left( - 12; - \frac{9}{2};3 \right)

    \overrightarrow{n_{(A'BC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{A'B};\overrightarrow{A'C} \right\rbrack = (12;9;12)

    \Rightarrow \cos\left( \widehat{(AMC');(A'BC)} \right) = \cos\left( \overrightarrow{n_{(AMC')}};\overrightarrow{n_{(A'BC)}} \right)

    = \frac{\left|\overrightarrow{n_{(AMC')}}.\overrightarrow{n_{(A'BC)}}\right|}{\left| \overrightarrow{n_{(AMC')}} \right|.\left|\overrightarrow{n_{(A'BC)}} \right|} =\frac{33}{\sqrt{3157}}

  • Câu 5: Thông hiểu
    Ghi đáp án vào ô trống

    Nghiên cứu tư thế ngồi sử dụng máy tính laptop để đảm bảo sức khỏe và hiệu quả công việc các chuyên gia khuyến cáo tư thế ngồi như hình vẽ 1. Khi đó máy tình laptop để trên giá đỡ có độ mở màn hình như hình vẽ 2. Kích thước các cạnh đo được AB = 30\ cm;\ AC = 35\ cm;\ BC = 55\ cm. Tính số đo theo đơn vị độ góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng chứa bàn phím (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 115.

    Đáp án là:

    Nghiên cứu tư thế ngồi sử dụng máy tính laptop để đảm bảo sức khỏe và hiệu quả công việc các chuyên gia khuyến cáo tư thế ngồi như hình vẽ 1. Khi đó máy tình laptop để trên giá đỡ có độ mở màn hình như hình vẽ 2. Kích thước các cạnh đo được AB = 30\ cm;\ AC = 35\ cm;\ BC = 55\ cm. Tính số đo theo đơn vị độ góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng chứa bàn phím (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 115.

    Gọi d là đường thẳng chứa bản lề của máy tính.

    Suy ra d ⊥ AB, d ⊥ AC.

    Mặt khác AB ∩ AC = A ∈ d.

    Vậy góc \widehat{BAC} là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện cần tính.

    Ta có:

    \cos\widehat{BAC} = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2.AB.AC} = \frac{30^{2} + 35^{2} - 55^{2}}{2.30.35} = - \frac{3}{7} .

    Suy ra: \widehat{BAC} \approx 115^{0} .

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Khi đó ta có

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Do đó \alpha = 60^{0}

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi E;M lần lượt là trung điểm các cạnh BC;SA, \alpha là góc tạo bởi đường thẳng EM và mặt phẳng (SBD). Tính \tan\alpha.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử OA = 1.

    Chọn hệ trục tọa độ sao cho Ox \equiv OC;Oy \equiv OB;Oz \equiv OS,

    Ta có C(1;0;0), A( - 1;0;) => (SBD) nhận \overrightarrow{AC} = (2;0;0) là một vecto pháp tuyến.

    Từ SA = AB = OA\sqrt{2} = \sqrt{2} \Rightarrow SO = \sqrt{SA^{2} - OA^{2}} = 1.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} S(0;0;1) \\ A( - 1;0;0) \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M\left( - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2} \right).

    Ta có \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} C(1;0;0) \\ B(0;1;0) \end{matrix} \right.\ \Rightarrow E\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};0 \right)

    => EM nhận \overrightarrow{ME} = \left( 1;\frac{1}{2}; - \frac{1}{2} \right) là một vecto chỉ phương.

    \Rightarrow \sin\left( \widehat{EM;(SBD)} \right) = \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{ME}.\overrightarrow{AC} \right|}{ME.AC}

    = \frac{2}{\sqrt{1^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( - \frac{1}{2} \right)^{2}.2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

    \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \tan\alpha = \sqrt{2}.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1} và hai điểm A(1;2; - 1),B(3; - 1; - 5). Gọi d đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng \Delta sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng \Delta và d.

    Hướng dẫn:

    Giả sử d cắt  \Delta  tại M \Rightarrow M( - 1 + 2t;3t; - 1 - t), \overrightarrow{AM} = ( - 2 + 2t;3t - 2; - t),\overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)

    Gọi H là hình chiếu của B trên d .

    Khi đó, d(B;d) = BH \leq BA.

    Vậy d(B;d) lớn nhất bằng BA\Leftrightarrow H \equiv A \Leftrightarrow AM\bot AB

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow t = 2

    => d có một VTCP: \overrightarrow{u_{2}} = \overrightarrow{AM} = (1;2; - 1)

     \Delta  có một VTCP : \overrightarrow{u_{1}} = (2;3; - 1)

    Ta có \cos(\Delta;d) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = \frac{3\sqrt{21}}{13}

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Tính cosin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P):x + y + 2z = 0,(Q):x + y + 2z + 2 = 0; (R):x + y + 2z + 1 = 0. Một đường thẳng \Delta thay đổi cắt ba mặt phẳng (P);(Q);(R) lần lượt tại các điểm A;B;C. Tính cosin góc tạo bởi \Delta và mặt phẳng (R) khi biểu thức AB^{2} + \frac{8}{AC} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Ba mặt phẳng cùng có véc tơ pháp tuyến là (1;1;2) nên chúng song song với nhau.

    Khi đó ta có d\left( (P);(Q) \right) = \frac{|0 - 2|}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}; d\left( (P);(R) \right) = \frac{|0 - 1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}; d\left( (Q);(R) \right) = \frac{|2 - 1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}.

    Dựng đường thẳng qua C vuông góc với mặt phẳng (P);(Q);(R). Đường thẳng đó cắt mặt phẳng (R);(Q) lần lượt tạiM;N.

    Khi đó ta có AM = \frac{1}{\sqrt{6}};AN = \frac{2}{\sqrt{6}}.

    Xét \Delta CNB có MA//NB nên \frac{AC}{AB} = \frac{AM}{AN} = \frac{1}{2} \Rightarrow AB = 2AC.

    Khi đó:

    AB^{2} + \frac{8}{AC} = AB^{2} + \frac{8}{\frac{AB}{2}} = AB^{2} + \frac{16}{AB}

    = AB^{2} + \frac{8}{AB} + \frac{8}{AB} \geq 3\sqrt[3]{AB^{2}.\frac{8}{AB}.\frac{8}{AB}} = 3.4 = 12.

    Dấu = xảy ra AB^{2} = \frac{8}{AB} \Leftrightarrow AB = 2.

    Khi đó NB = \frac{\sqrt{30}}{3} nên \cos\left( \widehat{\Delta;(R)} \right) = \frac{NB}{AB} = \frac{\sqrt{30}}{6}.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, thỏa mãn điều kiện, AB = BC = a,AD = 2a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), SA = a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB,CD. Tính cosin của góc giữa MN và (SAC). (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

    Chọn đơn vị là a

    Có A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;2;0),S(0;0;1),M\left( \frac{1}{2};0;\frac{1}{2} \right),N\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2};0 \right).

    Vecto chỉ phương của \overrightarrow{MN}là \overrightarrow{MN} = \left( 0;\frac{3}{2};\frac{- 1}{2} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow{MN} = (0;3; - 1)

    Vecto pháp tuyến của (SAC)là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS} \right\rbrack = (1; - 1;0)

    Vậy \sin\left( MN,(SAC) \right) = \frac{|3|}{\sqrt{9 + 1}.\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{5}}{10}

    Suy ra: \cos\left( MN,(SAC) \right) = \sqrt{1 - \left( \frac{3\sqrt{5}}{10} \right)^{2}} = \frac{\sqrt{55}}{10} \approx 0,74

  • Câu 11: Thông hiểu
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ tọa độ Oxyz. Điểm A là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc đường thẳng \Delta:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4} cắt mặt bàn (P):x + y - 2z + 6 = 0 tại điểm F. Độ dài chân bàn FA = 40\sqrt{3}\ cm, khi đó hãy tính độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất (đơn vị cm)

    Đáp án: 40

    Đáp án là:

    Một chiếc bàn gấp gọn đã được thiết lập hệ tọa độ Oxyz. Điểm A là chân bàn tiếp xúc với mặt đất thuộc đường thẳng \Delta:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4} cắt mặt bàn (P):x + y - 2z + 6 = 0 tại điểm F. Độ dài chân bàn FA = 40\sqrt{3}\ cm, khi đó hãy tính độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất (đơn vị cm)

    Đáp án: 40

    Kí hiệu hình vẽ như sau:

    Đường thẳng \Delta:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{4} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1;4) .

    Mặt phẳng (P):x + y - 2z + 6 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;1; - 2) .

    \sin\left( \Delta,(P) ight) = \left| \cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \sin\varphi (vì hai góc phụ nhau)

    Độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là khoảng cách từ chân bàn A đến mặt phẳng (P)

    Suy ra d\left( A,(P) ight) = AH =FA.sin\varphi = 40\sqrt{3}.\sqrt{\frac{1}{3}} = 40\ cm .

  • Câu 12: Vận dụng
    Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 1),B(0;4;0) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x - y - 2z + 2015 = 0. Gọi \alpha là góc nhỏ nhất mà mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng (P). Giá trị của \cos\alpha là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (Q) đi qua A nên:

    (Q):a(x - 1) + b(y - 2) + c(z + 1) = 0

    (Q) đi qua B nên:

    a.(0 - 1) + b.(4 - 2) + c.(0 + 1) = 0

    \Rightarrow - a + 2b + c = 0 \Rightarrow a = 2b + c

    \Rightarrow (Q):(2b + c)(x - 1) + b(y - 2) + c(z + 1) = 0

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(Q)}} = (2b + c;b;c)

    (P):2x - y - 2z + 2015 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 1; - 2)

    \Rightarrow cos\left( \widehat{(P);(Q)} \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} \right) \right|

    \Rightarrow cos\left( \widehat{(P);(Q)} \right) = \frac{\left| 2(2b + c) - b - 2c \right|}{\sqrt{(2b + c)^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}}

    \Rightarrow cos(\alpha) = \frac{|3b|}{3.\sqrt{5b^{2} + 4bc + 2c^{2}}}

    Ta cần tìm \alpha_{\min} \Leftrightarrow (cos\alpha)_{\max}

    cos\alpha = \frac{|3b|}{3.\sqrt{5b^{2} + 4bc + 2c^{2}}} = \frac{|b|}{\sqrt{3b^{2} + 2(b + c)^{2}}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}

    Dấu " = " xảy ra khi: b = - c .

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức P

    Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d_{1}:\ \frac{x}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{2},\ \ d_{2}:\ \left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 1 \\ z = 1 - t \end{matrix} \right.. Gọi \varphi là góc giữa hai đường thẳng d_{1},\ d_{2}. Giá trị \cos\varphi có dạng \frac{a\sqrt{c}}{b}. Tính giá trị biểu thức P = b - 3a + c ?

    Hướng dẫn:

    Ta có {\overrightarrow{u}}_{d_{1}} = ( - 1;\ 2;\ 2),\ {\overrightarrow{u}}_{d_{2}} = (2;\ 0;\ - 1)

    Khi đó \cos\varphi = \frac{\left|{\overrightarrow{u}}_{d_{1}}.{\overrightarrow{u}}_{d_{2}}\right|}{\left| {\overrightarrow{u}}_{d_{1}} \right|\left|{\overrightarrow{u}}_{d_{2}} \right|}

    = \frac{\left| - 1.2 + 2.0 + 2.( -1) \right|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{2^{2} + 0^{2} + ( -1)^{2}}}= \frac{4}{3\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{15}.

    Vậy a = 4,b = 15,c = 5\Rightarrow b - 3a+ c = 15 - 3.4 + 5 = 8

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức M

    Xét tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. Gọi \alpha,\beta,\gamma lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA,OB,OC với mặt phẳng (ABC). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = (3 + cot^{2}\alpha).(3 + cot^{2}\beta).(3 + cot^{2}\gamma) là

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có sin^{2}\alpha = sin^{2}\widehat{HAO} = \frac{OH^{2}}{OA^{2}}, tương tự sin^{2}\beta = \frac{OH^{2}}{OB^{2}};sin^{2}\gamma = \frac{OH^2}{OC^{2}}

    Nên sin^{2}\alpha + sin^{2}\beta + sin^{2}\gamma = OH^{2}.(\frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} + \frac{1}{OC^{2}}) = 1.

    Và M = \frac{(2sin^{2}\alpha + 1).(2sin^{2}\beta + 1).(2sin^{2}\gamma + 1)}{sin^{2}\alpha.sin^{2}\beta.sin^{2}\gamma}

    Áp dụng BĐT Cauchy, ta có

    2sin^{2}\alpha + 1 = sin^{2}\alpha + sin^{2}\alpha + sin^{2}\alpha + sin^{2}\beta + sin^{2}\gamma \geq 5.\sqrt[5]{sin^{6}\alpha.sin^{2}\beta.sin^{2}\gamma}

    Tương tự, ta được

    (2sin^{2}\alpha + 1).(2sin^{2}\beta + 1).(2sin^{2}\gamma + 1) \geq 125sin^{2}\alpha.sin^{2}\beta.sin^{2}\gamma

    Suy ra M \geq 125.

    Dấu bằng xảy ra khi OA = OB = OC.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Viết phương trình mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{4} và mặt cầu (S) tâm I(1;2;1), bán kính R. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với (S) tạo với nhau góc 60^{0}. Hãy viết phương trình mặt cầu (S)?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M,N là tiếp điểm của mặt phẳng (P);(Q) và mặt cầu (S).

    Gọi H là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng d

    \Rightarrow IH = d(I;d) = \sqrt{6}.

    TH1: Góc \widehat{MHN} = 60^{0}:

    Theo bài ra ta có:

    R = IM = IH.\sin30^{0}= \sqrt{6}.\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}

    (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 1)^{2} = \frac{3}{2}.

    TH2: Góc \widehat{MHN} = 120^{0}:

    Theo bài ra ta có:

    R = IM = IH.\sin60^{0}= \sqrt{6}.\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{18}}{2}

    (S);(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 1)^{2} = \frac{9}{2}.

0/15
15 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (27%):
    2/3
  • Thông hiểu (20%):
    2/3
  • Vận dụng (53%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
1
19 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này