Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1 Nguyên Hàm CTST (Mức Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tính tổng các nghiệm phương trình

    Giả sử \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = - \frac{1}{g(x)} + C với C là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình g(x) = 0 bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)\left( x^{2} + 3x ight) + 1}

    Đặt t = x^{2} + 3x \Rightarrow dt = (2x + 3)dx

    \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 2)t + 1} = \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 1)^{2}} = - \frac{1}{t + 1} + C = - \frac{1}{x^{2} + 3x + 1} + C

    \Rightarrow g(x) = x^{2} + 3x + 1

    Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm x_{1};x_{2} và x_{1} + x_{2} = - 3.

  • Câu 2: Nhận biết
    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Một nguyên hàm của f(x) = \frac{x}{sin^{2}x} là :

    Hướng dẫn:

    Ta có: I =\int_{}^{}{\frac{x}{sin^2x}dx}

    Đặt: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{sin^{2}x}dx \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cot x \\ \end{matrix} \right.

    Khi đó: I = uv - \int_{}^{}{vdu} = -x\cot x + \int_{}^{}{\cot xdx}= - x\cot x + \ln\left| \sin x \right| +C

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ 2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight. và F(\pi) + F( - 1) = 1. Giá trị biểu thức T = F(2\pi) + F( - 5) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left( \pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1 \Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 0 tức là

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)

    \Leftrightarrow C_{1} = C_{2}(**). Từ (*) và (**) suy ra C_{1} = C_{2} = 1

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    T = F(2\pi) + F( - 5) = 17

  • Câu 5: Nhận biết
    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt[3]{x} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C.

  • Câu 6: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Biết xe^{x} là một nguyên hàm của hàm số f( - x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f'(x)e^{x} thỏa mãn F(0) = 1. Giá trị của F( - 1) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f( - x) = \left( xe^{x} ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Do đó f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{- ( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Nên f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 - x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)

    \Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x - 2)e^{x} = x - 2

    Vậy F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C

    Từ đó F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C = C + 2

    F(0) = 1 \Rightarrow C = - 1

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 \Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 = \frac{7}{2}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{\sin x} có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0. Giá trị của e^{F\left( \frac{2\pi}{3} ight)} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{\sin x}dx} =\int_{}^{}{\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}.\cos\frac{x}{2}}dx}

    = \int {\frac{1}{{2\tan \frac{x}{2}.{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx} = \int {\frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}d\left( {\tan \frac{x}{2}} ight)}= \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} ight| + C

    Lại có F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \ln\left| \tan\frac{\pi}{6} ight| + C = 0

    \Rightarrow C = - \ln\frac{\sqrt{3}}{3}= \ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln3

    Do đó: {e^{F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} ight)}} = {e^{\ln \left| {\tan \frac{\pi }{3}} ight| + \frac{1}{2}\ln 3}} = {e^{\ln 3}} = 3

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Tìm giá trị thực của F(\pi) = - \frac{1}{2} \cdot để F(x) = mx^{3} + x^{2} - 3x + 4 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = - x^{2} + 2x - 3.

    Hướng dẫn:

    Để F(x) = mx^{3} + x^{2} - 3x + 4 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = - x^{2} + 2x - 3.

    Ta có: F'(x) = f(x)

    Hay \left( mx^{3} + x^{2} - 3x + 4 \right)' = - x^{2} + 2x - 3

    \begin{matrix} \left( {m{x^3} + {x^2} - 3x + 4} \right)' = - {x^2} + 2x - 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 3m{x^2} + 2x - 3 = - {x^2} + 2x - 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 3m = - 1 \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Nhận biết
    Xác định họ nguyên hàm của hàm số f(x)

    Họ nguyên hàm của hàm sốf(x) = \tan x là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}{\tan x.dx = \int_{}^{}{\frac{\sin x.dx}{\cos x} = - \int_{}^{}{\frac{d(cosx)}{\cos x} = - \ln\left| \cos x \right| + C}}}

  • Câu 10: Thông hiểu
    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 2\cos 3x - {3^{x - 1}} thỏa mãn F\left( 0 ight) = 0. Tìm F(x)

    Gợi ý:

     \int {\left[ {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight]dx} = \int {f\left( x ight)dx} - \int {g\left( x ight)dx}

    Hướng dẫn:

     F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx }

    = \int {2\cos 3xdx - \int {{3^{x - 1}}dx - \frac{1}{3}\int {{3^x}dx} = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C} }

    Mặt khác F\left( 0 ight) = 0 \Rightarrow \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{{3\ln 3}}

    => F\left( x ight) = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^{x - 1}}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}

  • Câu 11: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Nguyên hàm \int_{}^{}{\left( sin2x + \cos x \right)dx} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{\left( sin2x + \cos x \right)dx} = - \frac{1}{2}cos2x + \sin x + C.

  • Câu 12: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), với f(x) = 3sinx + \frac{4}{cos^{2}x}, biết F(0) = 2. Tính F\left( \frac{\pi}{3} \right).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 3sinx + \frac{4}{cos^{2}x} \right)dx}

    = 3\int_{}^{}{\sin xdx} + 4\int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}

    = - 3cosx + 4tanx + C.

    Do đó F(x) = - 3cosx + 4tanx + C.

    F(0) = 2 \Leftrightarrow - 3 + C = 2 \Leftrightarrow C = 5.

    Suy ra F(x) = - 3cosx + 4tanx + 5.

    Vậy F\left( \frac{\pi}{3} \right) = - 3cos\frac{\pi}{3} + 4tan\frac{\pi}{3} + 5 = \frac{7}{2} + 4\sqrt{3}.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho \int_{}^{}{f(x)dx = x^{2} - x + C}. Khi đó \int_{}^{}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{dx}} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx = x^{2} - x + C} \Rightarrow f(x) = 2x - 1

    \Rightarrow f\left( x^{2} \right) = 2\left( x^{2} \right) - 1 = 2x^{2} - 1

    \int {f\left( {{x^2}} \right)dx} = \frac{2}{3}{x^3} - x + C

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.. Giá trị biểu thức F( - 1) - F(3) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 2 tức là

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)

    \Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 + C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32

    Do đó

    F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2} ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)

    = - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) = - 14 + 32 = 18

  • Câu 15: Thông hiểu
    Xác định hàm số f(x)

    Cho f'(x) = 2x - cos2x. Tìm f(x) biết f(0) = 0.

    Hướng dẫn:

    Ta có

    f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{(2x - cos2x)dx} = x^{2} - \frac{1}{2}sin2x + C.

    Mà f(0) = 0 \Rightarrow C = 0. Vậy f(x) = x^{2} - \frac{1}{2}sin2x.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{\ln x}{x}\sqrt{\ln^{2}x + 1}dx}

    Đặt \sqrt{ln^{2}x + 1} \Rightarrow t^{2}= \ln^{2}x + 1 \Rightarrow tdt = \frac{\ln x}{x}dx

    Khi đó F(x) = \int_{}^{}{t^{2}dt} =\frac{t^{3}}{3} + C = \frac{\sqrt{\left( \ln^{2}x + 1 ight)^{3}}}{3} +C.

  • Câu 17: Nhận biết
    Xác định họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{ - 2x}} + \frac{1}{{\sqrt x }}

    Gợi ý:

      \int {\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]dx} = \int {f\left( x ight)dx} + \int {g\left( x ight)dx}

    \int {{e^u}dx} = {e^u} + C

    \int {{u^n}dx} = \frac{{{u^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C,\left( {n e - 1} ight)

    Hướng dẫn:

     \begin{matrix} \int {\left( {{e^{ - 2x}} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}} ight)dx} = \int {{e^{ - 2x}}dx} + \int {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} dx = - \dfrac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}d\left( { - 2x} ight)} + 2\int {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} dx \hfill \\ = - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2} + 2\sqrt x + C = - \dfrac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Thông hiểu
    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Cho F(x) = (x - 1)e^{x} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x} nên

    F'(x) = f(x)e^{2x} \Leftrightarrow \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = f(x)e^{2x}

    Hay f(x)e^{2x} = e^{x} + (x - 1)e^{x} = xe^{x}

    Xét I = \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}}dx, đặt \left\{ \begin{matrix} u = e^{2x} \\ dv = f'(x)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = 2e^{2x}dx \\ v = f(x) \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó

    I = f(x)e^{2x} - \int_{}^{}{2f(x)e^{2x}}dx

    = xe^{x} - 2(x - 1)e^{x} + C = (2 - x)e^{x} + C

  • Câu 20: Vận dụng
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}

    Gợi ý:

     Sử dụng tích phân từng phần

    Hướng dẫn:

     \int {f\left( x ight)} dx = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}} dx = {\int {\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)} ^{10}}.\frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    Đặt t = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow dt = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}dx}} \Rightarrow \frac{1}{3}dt = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    => \int {f\left( x ight)} dx = \int {{t^{10}}.\frac{1}{3}dt = \frac{1}{{33}}.{t^{11}} + C}

    => \frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (60%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
24 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm