Trong không gian tọa độ , cho hai mặt phẳng
và
. Tìm
để
vuông góc với
?
Ta có: (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, tức là .
Trong không gian tọa độ , cho hai mặt phẳng
và
. Tìm
để
vuông góc với
?
Ta có: (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, tức là .
Cho tứ diện có
. Tính độ dài đường cao
của tứ diện
?
Ta có:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm
. Viết phương trình mặt phẳng qua
và song song với mặt phẳng
.
Phương pháp tự luận
+).
+) Mặt phẳng đi qua có VTPT
có phương trình:
.
+) Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .
Phương pháp trắc nghiệm
Gọi phương trình mặt phẳng có dạng
.
Sử dụng MTBT giải hệ bậc nhất 3 ẩn, nhập tọa độ 3 điểmvào hệ, chọn
ta được
. (Trong trường hợp chọn
vô nghiệm ta chuyển sang chọn
).
Suy ra mặt phẳng có VTPT
Mặt phẳng đi qua có VTPT
có phương trình:
.
Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn.
Trong không gian với hệ toạ độ , mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia
các đoạn bằng nhau có phương trình là:
Gọi là giao điểm của mặt phẳng
và các tia
.
Phương trình mặt phẳng qua A, B, C là:
.
Mặt phẳng qua điểm
Ta có
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm và có một vectơ chỉ phương
.
Theo đề bài ta có:
Như vậy, VTPT của (P) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương
Mp (P) đi qua và nhận vecto
làm 1 VTPT có phương trình là:
Ba mặt phẳng cắt nhau tại điểm
. Chọn kết luận đúng?
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Trong không gian tọa độ cho
,
và
là điểm thay đổi trên mặt phẳng
sao cho
,
cùng tạo với mặt phẳng
các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của
.
Tính khoảng cách từ A, B đến thi
. Gọi I là điểm thỏa mãn
Tọa độ , điểm M là hình chiếu của I trên
nên có tọa độ
. Từ đó
Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường
(như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình:
,
,
.

Tính khoảng giữa hai bức tường và
của tòa nhà.
Trước hết thực hiện kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các bức tường của tòa nhà.
có vectơ pháp tuyến là
có vectơ pháp tuyến là
. có vectơ pháp tuyến là
Ta có nên hai bức tường
và
song song nhau
nên bức tường
vuông góc với hai bức tường
và
,
Chọn điểm
Do hai bức tường và
song song nhau nên:
Trong không gian với hệ toạ độ ,cho hai đường thẳng
lần lượt có phương trình
,
. Phương trình mặt phẳng
cách đều hai đường thẳng
là:
Ta có đi qua
và có
,
đi qua
và có
;
nên
chéo nhau.
Do cách đều
nên
song song với
có dạng
Theo giả thiết thì
Trong không gian , cho hai điểm
và mặt phẳng
. Xét
là điểm thay đổi thuộc
, tính giá trị nhỏ nhất của
?
Trong không gian
, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Xét
là điểm thay đổi thuộc
, tính giá trị nhỏ nhất của
?
Cho hai mặt phẳng và
. Tìm tham số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau.
Đáp án: 4
Cho hai mặt phẳng
và
. Tìm tham số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau.
Đáp án: 4
Ta có:
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
. Đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
. Tỉ số
bằng
Ta có:
Trong không gian khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Dựa vào phương trình có vectơ pháp tuyến là
nên
Ta có: suy ra
Trong không gian , mặt phẳng
. Một véc tơ pháp tuyến của
có tọa độ là?
Mặt phẳng có VTPT là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai mặt phẳng
. Viết phương trình của mặt phẳng
song song với trục
và chứa giao tuyến của
và
?
Mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
và
nên có dạng:
Mặt phẳng song song với trục
nên
.
Chọn n = 1 ta có
Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm
. Mặt phẳng
đi qua
, trực tâm
của tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có
Phương trình mặt phẳng (ABC) là: .
Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là: .
Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là: .
Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên .
Mặt phẳng (P) đi qua A, H nên
Mặt phẳng (P) ⊥ (ABC) nên .
Vậy là một vectơ pháp tuyến của (P).
Chọn nên phương trình mặt phẳng (P) là
.
Trong không gian, cho hai điểm và
. Xét hai điểm
và
thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho
. Giá trị lớn nhất của
bằng
Gọi lần lượt là hình chiếu của
trên mp
. Vị trí các điểm như hình vẽ.

Ta có tỉ số .
Đặt .
Vậy .
Trong không gian , cho hai điểm
và
Xét hai điểm
và
thay đổi thuộc mặt phẳng
sao cho
. Giá trị lớn nhất của
bằng
Vẽ yếu tố phụ.

Vì A, B khác phía đối với mpnên lấy
đối xứng với
qua
.
Vẽ , khi đó
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A’, C, M thẳng hàng.
Gọi là hình chiếu của A, B trên mp
, độ dài
. Suy ra
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng
qua trục tung. Khi đó phương trình mặt phẳng
là?
Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng
.
Điểm là điểm đối xứng của
qua trục tung
là mặt phẳng đi qua
và là mặt phẳng đối xứng của
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho
. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của
.
Mặt phẳng trung trực nhận
làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm
của
nên ta có phương trình mặt phẳng
là:
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: