Trắc nghiệm Toán 12 CTST Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (Mức Khó)

Câu 1: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Khi kiểm tra sức khoẻ tổng quát của bệnh nhân ở một bệnh viện, người ta được kết quả như sau:

- Có $40\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày.

- Có $30\%$ bệnh nhân thường xuyên bị stress.s

- Trong số các bệnh nhân bị stress có $80\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày.

Chọn ngẫu nhiên 1 bệnh nhân.

a) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là $0,3$ Đúng||Sai

b) Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress, là $0,8.$ Đúng||Sai

c) Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là $0,24.$ Đúng||Sai

d) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày, là $0,6.$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Khi kiểm tra sức khoẻ tổng quát của bệnh nhân ở một bệnh viện, người ta được kết quả như sau:

- Có $40\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày.

- Có $30\%$ bệnh nhân thường xuyên bị stress.s

- Trong số các bệnh nhân bị stress có $80\%$ bệnh nhân bị đau dạ dày.

Chọn ngẫu nhiên 1 bệnh nhân.

a) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là $0,3$ Đúng||Sai

b) Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress, là $0,8.$ Đúng||Sai

c) Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là $0,24.$ Đúng||Sai

d) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày, là $0,6.$ Đúng||Sai

Xét các biến cố: $A$ : “Chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress”;

$B$ : “Chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày”

Khi đó, $P(A) = 0,3;P(B) = 0,4;P(B \mid A) = 0,8$ .

Suy ra xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = 0,3 \cdot 0,8 = 0,24$ ;

Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày, là $P\left( A|B \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,24}{0,4} = 0,6$ .

Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ.

Câu 2: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các kết luận

Một két nước ngọt đựng 24 chai nước có khối lượng và hình thức bề ngoài như nhau, trong đó có 16 chai loại I và 8 chai loại II. Bác Tùng lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai chai (lấy không hoàn lại). Xét các biến cố: $A$ : "Lần thứ nhất lấy ra chai nước loại I"; $B$ : "Lần thứ hai lấy ra chai nước loại $I$ ".
a) $P(B \mid A) = \frac{16}{23}$ . Sai||Đúng
b) $P\left( B \mid \overline{A} \right) = \frac{15}{23}$ . Sai||Đúng
c) $P\left( \overline{B} \mid A \right) = \frac{8}{23}$ . Đúng||Sai
d) $P\left( \overline{B} \mid \overline{A} \right) = \frac{7}{23}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một két nước ngọt đựng 24 chai nước có khối lượng và hình thức bề ngoài như nhau, trong đó có 16 chai loại I và 8 chai loại II. Bác Tùng lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai chai (lấy không hoàn lại). Xét các biến cố: $A$ : "Lần thứ nhất lấy ra chai nước loại I"; $B$ : "Lần thứ hai lấy ra chai nước loại $I$ ".
a) $P(B \mid A) = \frac{16}{23}$ . Sai||Đúng
b) $P\left( B \mid \overline{A} \right) = \frac{15}{23}$ . Sai||Đúng
c) $P\left( \overline{B} \mid A \right) = \frac{8}{23}$ . Đúng||Sai
d) $P\left( \overline{B} \mid \overline{A} \right) = \frac{7}{23}$ . Đúng||Sai

Ta có: $P(A) = \frac{16}{24} = \frac{2}{3};P\left( \overline{A} \right) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ .

Nếu lần thứ nhất lấy ra chai loại I thì két còn 23 chai nước, trong đó có 15 chai loại I, 8 chai loại II.

Suy ra $P(B \mid A) = \frac{15}{23}$ .

Nếu lần thứ nhất lấy ra chai loại II thì két còn 23 chai nước, trong đó có 16 chai loại I, 7 chai loại II.

Suy ra $P\left( B \mid \overline{A} \right) = \frac{16}{23}$ .

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(B) = P(A) \cdot P(B \mid A) + P\left( \overline{A} \right) \cdot P\left( B \mid \overline{A} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{15}{23} + \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{23} = \frac{2}{3}$

Ta có: $P\left( \overline{B} \mid A \right) = 1 - P(B \mid A) = 1 - \frac{15}{23} = \frac{8}{23}$ ;

$P\left( \overline{B} \mid \overline{A} \right) = 1 - P\left( B \mid \overline{A} \right) = 1 - \frac{16}{23} = \frac{7}{23}$

Câu 3: Vận dụng cao

Tính xác suất của biến cố

Bạn Tuấn hằng ngày ăn sáng bằng xôi hoặc bún. Nếu hôm nay bạn ăn sáng bằng xôi thì xác suất để hôm sau bạn ăn sáng bằng bún là $0,7$ . Xét một tuần mà thứ ba bạn ăn sáng bằng xôi. Biết xác suất để thứ năm tuần đó, bạn Tuấn ăn sáng bằng bún là $0,63$ . Hỏi nếu hôm nay bạn ăn sáng bằng bún thì xác suất để hôm sau bạn ăn sáng bằng xôi là

A.
$0,3$ .
B.
$0,4$ .
C.
$0,2$ .
D.
$0,1$ .

Hướng dẫn:

Giả sử nếu hôm nay bạn ăn sáng bằng bún thì xác suất để hôm sau bạn ăn sáng bằng xôi là $x$ $(x < 1)$ .

Gọi $A$ là biến cố “Thứ tư, bạn Tuấn ăn sáng bằng bún”,

$B$ là biến cố “Thứ năm, bạn Tuấn ăn sáng bằng bún”, khi đó $P(B) = 0,63$

Ta cần tính $P\left(\overline{B}|A \right)$

Ta có thứ ba bạn Tuấn ăn sáng bằng xôi nên $P(A) = 0,7$ , $P\left( \overline{A} \right) = 1 - 0,7 = 0,3$

Vì nếu hôm nay bạn ăn sáng bằng bún thì xác suất để hôm sau bạn ăn sáng bằng xôi là $x$ và ăn sáng bằng bún là $1 - x$ hay $P\left( B|A \right) = 1 - x$ .

Ta có $P\left( B|\overline{A} \right) = 0,7$

Theo công thức xác suất toàn phần:

$P(B) = P(A).P\left( B|A \right) +P\left( \overline{A} \right).P\left( B|\overline{A}\right)$

$\Rightarrow 0,63 = 0,7.(1 - x) + 0,3.0,7$

$\Rightarrow x = 0,4$

Vậy nếu hôm nay bạn ăn sáng bằng bún thì xác suất để hôm sau bạn ăn sáng bằng xôi là $0,4$ .

Câu 4: Thông hiểu

Tính xác suất lấy được chính phẩm

Có ba hộp giống nhau:

Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm.

Hộp thứ hai đựng 15 sản phẩm trong đó có 10 chính phẩm.

Hộp thứ ba đựng 20 sản phẩm trong đó có 15 chính phẩm.

Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm?

A.
$\frac{61}{90}$
B.
$\frac{31}{45}$
C.
$\frac{23}{36}$
D.
$\frac{8}{15}$

Hướng dẫn:

Gọi A là biến cố: “Lấy được chính phẩm”. Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với ba biến cố sau đây tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố:

$H_{1}$ - Sản phẩm lấy ra thuốc hộp I.

$H_{2}$ - Sản phẩm lấy ra thuốc hộp II.

$H_{3}$ - Sản phẩm lấy ra thuốc hộp III.

Vì theo giả thiết của bài toán, các biến cố $H_{1}$ ; $H_{2}$ ; $H_{3}$ là đồng khả năng, do đó:

$P\left( H_{1} ight) = P\left( H_{2} ight) = P\left( H_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Xác suất có điều kiện của biến cố A khi các biến cố $H_{1}$ ; $H_{2}$ ; $H_{3}$ xảy ra bằng:

$P\left( A|H_{1} ight) = \frac{6}{10};P\left( A|H_{2} ight) = \frac{10}{15};P\left( A|H_{3} ight) = \frac{15}{20}$

Do đó:

$P(A) = P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight).P\left( A|H_{2} ight) + P\left( H_{3} ight).P\left( A|H_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = \frac{1}{3}.\frac{6}{10} + \frac{1}{3}.\frac{10}{15} + \frac{1}{3}.\frac{15}{20} = \frac{124}{180} = \frac{31}{45}$

Câu 5: Vận dụng cao

Chọn đáp án đúng

Một chiếc máy bay có thể xuất hiện không phận của điểm A với xác suất là $\frac{2}{3}$ hoặc không phận của điểm B với xác suất là $\frac{1}{3}$ . Giả sử có 3 phương án bố trí 4 khẩu pháo để hạ máy bay như sau:

Phương án 1: 3 khẩu đặt ở điểm A và 1 khẩu đặt ở điểm B.

Phương án 2: 2 khấu đặt ở điểm A và 2 khẩu đặt ở điểm B.

Phương án 3: 1 khẩu đặt ở điểm A và 3 khẩu đặt ở điểm B.

Biết rằng xác suất bắn trúng (hạ máy bay) của mỗi khẩu bằng $0,7$ và các khẩu pháo bắn độc lập với nhau. Phương án nào xác suất bắn trúng máy bay cao nhất?

A.
Phương án 3
B.
Phương án 1
C.
Phương án 2

Hướng dẫn:

Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A và 1 khẩu đặt tại B Nếu có 3 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:

$1 - 0,3^{3} = 0,973$ (tính theo biến cố đối của biến cố: không có khẩu nào bắn trúng)

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án I:

$P_{1} = \frac{2}{3}.0,973 + \frac{1}{3}.0,7 = 0,882$

Phương án 2: 2 khẩu đặt tại 4 và 2 khẩu đặt tại B Nếu có 2 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:

$1 - 0,3^{2} = 0,91$

Tương tự, xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án II:

$P_{2} = \frac{2}{3}.0,91 + \frac{1}{3}.0,91 = 0,91$

Phương án 3: 1 khẩu đặt tại A và 3 khẩu đặt tại B com Nếu có 3 khẩu đặt tại B thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:

$1 - 0,3^{3} = 0,973$

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án III:

$P_{3} = \frac{2}{3}.0,7 + \frac{1}{3}.0,973 = 0,791$

Vậy phương án 2 có xác suất bắn trúng máy bay cao nhất.

Câu 6: Vận dụng cao

Tính xác suất để linh kiện là phế phẩm

Một xưởng sản xuất linh kiện điện tử có hai dây chuyền A và B. Dây chuyền A sản xuất $70\%$ số linh kiện, dây chuyền B sản xuất $30\%$ số linh kiện. Tỷ lệ phế phẩm của dây chuyền A là $3\%$ , của dây chuyền B là $5\%$ . Chọn ngẫu nhiên một linh kiện. Tính xác suất để linh kiện đó là phế phẩm.

A.
$3,6\%$ .
B.
$4,2\%$ .
C.
$4\%$ .
D.
$3,5\%$ .

Hướng dẫn:

Gọi biến cố $A$ : “Linh kiện được sản xuất từ dây chuyền A”.

Biến cố $B$ : “Linh kiện được sản xuất từ dây chuyền B”.

Biến cố $H$ : “Linh kiện là phế phẩm”.

Ta có $P(A) = 0,7;P(B) = 0,3;P\left( H|A \right) = 0,03;P\left( H|B \right) = 0,05$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để linh kiện đó là phế phẩm là:

$P(H) = P(A).P\left( H|A \right) + P(B).P\left( H|B \right)$

$= 0,7.0,03 + 0,3.0,05 = 0,036 = 3,6\%.$

Câu 7: Thông hiểu

Tính xác suất P

Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người tả lời “sẽ mua”, 97 người trả lời “có thể sẽ mua” và 69 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên tương ứng là 70%, 30% và 1%. Tính xác suất người được phỏng vấn sẽ mua sản phẩm?

A.
$0,325$
B.
$0,183$
C.
$0,287$
D.
$0,268$

Hướng dẫn:

Gọi H₁, H₂, H₃ lần lượt là 3 biến cố tương ứng với 3 cách trả lời của khách hàng được phỏng vấn:

H₁ – người đó trả lời “sẽ mua”

H₂ – người đó trả lời “có thể mua”

H₃ – người đó trả lời “không mua”

H₁, H₂, H₃ là một hệ đầy đủ các biến cố với xác suất tương ứng $\frac{34}{200};\frac{97}{200};\frac{69}{200}$

Ta xác định được: $P\left( A|H_{1} ight) = 0,7;P\left( A|H_{2} ight) = 0,3;P\left( A|H_{3} ight) = 0,01$

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

$P(A) = \frac{34}{200}.0,7 + \frac{97}{200}.0,3 + \frac{69}{200}.0,01 = 0,268$ .

Câu 8: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Một nhóm học sinh gồm $12$ nam và $13$ nữ đi tham quan Công viên nước Hạ Long, tới lúc tham gia trò chơi mỗi học sinh chọn một trong hai trò chơi là Sóng thần hoặc Đảo hải tặc. Xác suất chọn trò chơi Sóng thần của mỗi học sinh nam là $0,6$ và của mỗi học sinh nữ là $0,3$ . Chọn ngẫu nhiên một bạn của nhóm. Xét tính đúng, sai của mỗi khẳng định sau?

a) Xác suất để bạn được chọn là nam là $0,48$ . Đúng||Sai

b) Xác suất để bạn được chọn là nữ là $0,5$ .Sai|||Đúng

c) Xác suất để bạn được chọn là nam và tham gia trò chơi Đảo hải tặc là $0,195$ .Sai||Đúng

d) Xác suất để bạn được chọn là nữ và tham gia trò chơi Sóng thần là $0,156$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một nhóm học sinh gồm $12$ nam và $13$ nữ đi tham quan Công viên nước Hạ Long, tới lúc tham gia trò chơi mỗi học sinh chọn một trong hai trò chơi là Sóng thần hoặc Đảo hải tặc. Xác suất chọn trò chơi Sóng thần của mỗi học sinh nam là $0,6$ và của mỗi học sinh nữ là $0,3$ . Chọn ngẫu nhiên một bạn của nhóm. Xét tính đúng, sai của mỗi khẳng định sau?

a) Xác suất để bạn được chọn là nam là $0,48$ . Đúng||Sai

b) Xác suất để bạn được chọn là nữ là $0,5$ .Sai|||Đúng

c) Xác suất để bạn được chọn là nam và tham gia trò chơi Đảo hải tặc là $0,195$ .Sai||Đúng

d) Xác suất để bạn được chọn là nữ và tham gia trò chơi Sóng thần là $0,156$ . Đúng||Sai

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng

Gọi $A$ là biến cố “chọn được bạn nam” và $B$ là biến cố “chọn được bạn tham gia trò chơi Sóng thần”.

Nhóm có $12$ nam và $13$ nữ nên xác suất để chọn được một bạn nam là $\frac{12}{25} = 0,48$ .

Nhóm có $12$ nam và $13$ nữ nên xác suất để chọn được một bạn nữ là $\frac{13}{25} = 0,52$ .

Ta có $P(A) = \frac{12}{25} = 0,48$ và $P\left( B|A \right) = 0,6$ và $P\left( B|\overline{A} \right) = 0,3$ .

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

A diagram of a number of different languagesDescription automatically generated with medium confidence

Xác suất để bạn được chọn là nam và tham gia trò chơi Đảo hải tặc là $P\left( A\overline{B} \right) = 0,192$ .

Xác suất để bạn được chọn là nữ và tham gia trò chơi Sóng thần $P\left( \overline{A}B \right) = 0,156$ .

Câu 9: Vận dụng

Tính xác suất P

Có 3 hộp bi:

Hộp 1: Có 3 xanh, 4 đỏ, 5 vàng.

Hộp 2: Có 4 xanh, 5 đỏ, 6 vàng.

Hộp 3: Có 5 xanh, 6 đỏ, 7 vàng

Chọn ngẫu nhiên 1 hộp và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất để bi lấy ra là bi xanh. Nếu bi lấy ra không là bi xanh, tính xác suất để bi đó được lấy từ hộp 2?

A.
$33,25\%$
B.
$50,47\%$
C.
$45,12\%$
D.
$39,31\%$

Hướng dẫn:

Gọi $A_{1};A_{2};A_{3}$ lần lượt là các biến cố “Chọn được hộp thứ 1, 2, 3” ta có hệ $A_{1};A_{2};A_{3}$ là hệ biến cố xung khắc và đầy đủ:

$P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Gọi B là biến cố “Lấy được bi xanh”

Ta có:

$P(B) = P\left( A_{1} ight).P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( B|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(B) = \frac{1}{3}.\frac{3}{12} + \frac{1}{3}.\frac{4}{15} + \frac{1}{3}.\frac{5}{18} \approx 26,48\%$

$\overline{B}$ là biến cố bi lấy ra không phải là bi xanh, ta cần tính:

$P\left( A_{2}|B ight) = \frac{P\left( A_{2} ight).P\left( \overline{B}|A_{2} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{\frac{1}{3}.\frac{11}{15}}{1 - 0,2648} = 33,25\%$

Câu 10: Vận dụng

Tính xác suất để chọn được trứng không bị ung

Một cửa hàng bán trứng gà, có hai loại trứng, trong đó có $65\%$ loại trứng gà Mỹ và $35\%$ trứng gà Nga, các trứng có kích thước như nhau. Các trứng gà Mỹ có tỉ lệ bị ung (hư) là $2\%$ và các trứng gà Nga có tỉ lệ bị ung là $3\%$ . Một khách hàng chọn mua ngấu nhiên 1 trứng gà từ cửa hàng. Tính xác suất để chọn được trứng không bị ung. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

A.
0,87
B.
0,90
C.
0,98
D.
0,84

Hướng dẫn:

Xét các biến cố:

$A$ : "Khách hàng chọn được loại trứng gà Mỹ ";

$B$ : "Khách hàng chọn được loại trứng gà không bị ung".

Ta có: $P(A) = 0,65;\ P\left( \overline{A} \right) = 0,35;$

$P\left( B|A \right) = 1 - P\left( \overline{B}|A \right) = 1 - 0,02 = 0,98$ ;

$P\left( B|\overline{A} \right) = 1 - P\left( \overline{B}|\overline{A} \right) = 1 - 0,03 = 0,97$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(B) = P(A)P\left( B|A \right) + P\left( \overline{A} \right)P\left( B|\overline{A} \right)$

$= 0,65.0,98 + 0,35.0,97 = 0,9765 \approx 0,98$ .

Câu 11: Vận dụng cao

Tính xác suất P

Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. 1. Nếu viên rút ra sau cùng màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở hộp I cho vào hộp II?

A.
$60,80\%$
B.
$61,73\%$
C.
$64,97\%$
D.
$66,15\%$

Hướng dẫn:

Gọi D₁, X₁ tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp I sang hộp II",

D², X₂ tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp II sang hộp I".

Khi đó hệ D₁D₂, D₁X₂, X₁D₂, X₁X₂ tạo thành hệ đầy đủ.

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} P\left( {{D_1}{D_2}} ight) = \frac{4}{6}.\frac{4}{7};P\left( {{D_1}{X_2}} ight) = \frac{4}{6}.\frac{3}{7} \hfill \\ P\left( {{X_1}{D_2}} ight) = \frac{2}{6}.\frac{3}{7};P\left( {{X_1}{X_2}} ight) = \frac{2}{6}.\frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Gọi A là "viên bi rút ra sau cùng là màu đỏ".

Ta xác định được: $\left\{ \begin{gathered} P\left( {A|{D_1}{D_2}} ight) = \frac{4}{6};P\left( {A|{D_1}{X_2}} ight) = \frac{3}{6} \hfill \\ P\left( {A|{X_1}{D_2}} ight) = \frac{5}{6};P\left( {A|{X_1}{X_2}} ight) = \frac{4}{6} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:

$P(A) = P\left( D_{1}D_{2} ight)P\left( A|D_{1}D_{2} ight) + P\left( D_{1}X_{2} ight)P\left( A|D_{1}X_{2} ight)$

$+ P\left( X_{1}D_{2} ight)P\left( A|X_{1}D_{2} ight) + P\left( X_{1}X_{2} ight)P\left( A|X_{1}X_{2} ight)$

$= \frac{4}{6}.\frac{4}{7}.\frac{4}{6} + \frac{4}{6}.\frac{3}{7}.\frac{3}{6} + \frac{2}{6}.\frac{3}{7}.\frac{5}{6} + \frac{2}{6}.\frac{4}{7}.\frac{4}{6} = \frac{9}{14}$

Ta cần tính xác suất $B = \left( D_{1}D_{2} + D_{1}X_{2} ight)|A$

$\Rightarrow P(B) = \frac{P\left\lbrack \left( D_{1}D_{2} + D_{1}X_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}$

$= \frac{P\left\lbrack \left( D_{1}D_{2} ight)A ightbrack + P\left\lbrack \left( D_{1}X_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}$

$= \frac{P\left( D_{1}D_{2} ight)P\left( A|D_{1}D_{2} ight) + P\left( D_{1}X_{2} ight)P\left( A|D_{1}X_{2} ight)}{P(A)}$

$= \dfrac{{\dfrac{4}{7}.\dfrac{4}{7}.\dfrac{4}{6} + \dfrac{4}{6}.\dfrac{3}{7}.\dfrac{3}{6}}}{{\dfrac{9}{{11}}}} = \dfrac{{50}}{{81}} \approx 61,73\%$

Câu 12: Vận dụng cao

Chọn đáp án đúng

Một hãng hàng không cho biết rằng $5\%$ số khách đặt trước vé cho các chuyến đã định sẽ hoãn không đi chuyến bay đó. Do đó hãng đã đưa ra một chính sách là sẽ bán $52$ ghế cho một chuyến bay mà trong đó mỗi chuyến chỉ trở được $50$ khách hàng. Tìm xác suất để tất cả các khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay đều có ghế. Biết rằng xác suất bán được $51$ vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng $10\%$ ?

A.
$96,67\%$
B.
$92,10\%$
C.
$80,54\%$
D.
$79,45\%$

Hướng dẫn:

Gọi A là "bán được 52 vé", B là "bán được 51 vé" và C là "bán được nhiều nhất 50 vé".

Khi đó A, B, C tạo thành hệ đầy đủ.

Ta có $P(A) = 0,1; P(B) = 0,1; P(C) = 0,8$

Gọi H là "khách đặt chỗ trước và không hoãn chuyến đều có ghế".

Biến cố $H|A$ xảy ra nếu có ít nhất 2 khách hủy chuyến, H|B xảy ra nếu có ít nhất 1 khách hủy chuyến. Tính trực tiếp xác suất của các sự kiện này đều khá phức tạp.

Do đó để cho đơn giản ta tìm $P\left(\overline{H} ight)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}P\left( \overline{H}|A ight) = 0,95^{52}.0,05^{0} +52.0,95^{51}.0,05^{1} \\P\left( \overline{H}|B ight) = 0,95^{51}.0,05^{0} \\P\left( \overline{H}|C ight) = 0 \\\end{matrix} ight.$

Do đó:

$P\left( \overline{H} ight) =P(A).P\left( \overline{H}|A ight) + P(B).P\left( \overline{H}|Bight) + P(C).P\left( \overline{H}|C ight)$

$\Rightarrow P\left( \overline{H} ight)= 0,1\left( 0,95^{52}.0,05^{0} + 52.0,95^{51}.0,05^{1} ight)$ $+0,1.0,95^{51}.0,05^{0} + 0,8.0 \approx 0,033$

$\Rightarrow P(H) = 1 - P\left(\overline{H} ight) \approx 0,9667 = 96,67\%$

Câu 13: Vận dụng cao

Tính xác suất P

Ba khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi khẩu là $0,4;0,7;0,8$ . Biết rằng xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng một phát đạn là $30\%$ , khi trúng 2 phát đạn là $70\%$ , còn trúng 3 phát đạn thì chắc chắn mục tiêu bị tiêu diệt. Giả sử mỗi khẩu pháo bắn 1 phát. Tính xác suất để khẩu thứ 3 có đóng góp vào thành công đó?

A.
$95,78\%$
B.
$86,34\%$
C.
$91,12\%$
D.
$88,83\%$

Hướng dẫn:

Gọi $\ A_{i}$ : "Khẫu pháo thứ $i$ bắn trúng" $(i = 1,2,3$ )

$B_{k}$ : "Mục tiêu trúng $k$ phát đạn" $(k = 0,1,2,3)$

$B$ : "Mục tiêu bị tiêu diệt".

Ta có: $\left\{ B_{k},k = 0,1,2,3 ight\}$ là một hệ đầy đủ các biến cố và

$B_{0} = \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}\overline{A_{3}},\ B_{1} = A_{1}\overline{A_{2}}\overline{A_{3}} + \overline{A_{1}}A_{2}\overline{A_{3}} + \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}$

$B_{2} = A_{1}A_{2}\overline{A_{3}} + A_{1}\overline{A_{2}}A_{3} + \overline{A_{1}}A_{2}A_{3},\ B_{3} = A_{1}A_{2}A_{3}$

Ta có các giả thiết sau:

$P\left( A_{1} ight) = 0,4;P\left( A_{2} ight) = 0,7;P\left( A_{3} ight) = 0,8$

$P\left( B \mid B_{0} ight) = 0,P\left( B \mid B_{1} ight) = 0,3;P\left( B \mid B_{2} ight) = 0,7;P\left( B \mid B_{3} ight) = 1$

Từ đó, ta tính được:

$P\left( B_{0} ight) = P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight)$

$= (0,6)(0,3)(0,2)$

$= 0,036$

$P\left( B_{1} ight) = P\left( A_{1} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( A_{3} ight)$

$= (0,4)(0,3)(0,2) + (0,6)(0,7)(0,2) + (0,6)(0,3)(0,8)$

$= 0,252$

$P\left( B_{2} ight) = P\left( A_{1} ight)P\left( A_{2} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight) + P\left( A_{1} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( A_{3} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)P\left( A_{3} ight)$

$= (0,4)(0,7)(0,2) + (0,4)(0,3)(0,8) + (0,6)(0,7)(0,8)$

$= 0,488$

$P\left( B_{3} ight) = P\left( A_{1} ight)P\left( A_{2} ight)P\left( A_{3} ight)$

$= (0,4)(0,7)(0,8)$

$= 0,224$

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

$P(B) = P\left( B \mid B_{0} ight)P\left( B_{0} ight) + P\left( B \mid B_{1} ight)P\left( B_{1} ight) + P\left( B \mid B_{2} ight)P\left( B_{2} ight) + P\left( B \mid B_{3} ight)P\left( B_{3} ight)$

$= 0.(0,036) + (0,3)(0,252) + (0,7)(0,488) + 1.(0,224)$

$= 0,6412$

Khi đó ta có:

$P\left( BA_{3} ight) = P\left\lbrack BA_{3}\left( A_{1}A_{2} + \overline{A_{1}}A_{2} + A_{1}\overline{A_{2}} + \overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) ightbrack$

$= P\left( A_{1}A_{2}A_{3}B ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2}A_{3}B ight) + P\left( A_{1}\overline{A_{2}}A_{3}B ight) + P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}B ight)$

$= P\left( B \mid A_{1}A_{2}A_{3} ight)P\left( A_{1}A_{2}A_{3} ight) + P\left( B \mid \overline{A_{1}}A_{2}A_{3} ight)P\left( \overline{A_{1}}A_{2}A_{3} ight)$

$+ P\left( B \mid A_{1}\overline{A_{2}}A_{3} ight)P\left( A_{1}\overline{A_{2}}A_{3} ight) + P\left( B \mid \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3} ight)P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3} ight)$

$= 1.(0,224) + (0,7)\lbrack(0,6)(0,7)(0,8)brack + (0,7)\lbrack(0,4)(0,3)(0,8)brack$

$+ (0,3)\lbrack(0,6)(0,3)(0,8)brack$

$= 0,5696$

Do đó

$P\left( A_{3} \mid B ight) = \frac{P\left( BA_{3} ight)}{P(B)} = \frac{0,5696}{0,6412} = 0,8883$

Câu 14: Vận dụng

Tìm xác suất để lấy được quả bóng màu trắng

Có hai chiếc hộp đựng bóng. Hộp I có $7$ quả bóng trắng và $8$ quả bóng xanh. Hộp II có $5$ quả bóng trắng và $3$ quả bóng xanh. Trước tiên, từ hộp I lấy ra ngẫu nhiên $1$ quả bóng rồi cho vào hộp II. Sau đó, từ hộp II lấy ra ngẫu nhiên $1$ quả bóng. Xác suất để quả bóng được lấy ra màu trắng là

A.
$\frac{{82}}{{135}}$ .
B.
$\frac{{11}}{{18}}$ .
C.
$\frac{{83}}{{135}}$ .
D.
$\frac{{61}}{{128}}$ .

Hướng dẫn:

Gọi $A$ là biến cố: “Lấy được quả bóng trắng từ hộp I”.

Gọi $B$ là biến cố: “Lấy được quả bóng trắng từ hộp II”.

Theo công thức xác suất toàn phần

$P(B) = P(A).P\left( B\left| A \right.\ \right) + P\left( \overline{A} \right).P\left( B\left| \overline{A} \right.\ \right)$

Ta có $P(A) = \frac{7}{15}$ ; $P\left( \overline{A} \right) = 1 - P(A) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$ .

Nếu $A$ xảy ra thì hộp II có $6$ quả bóng trắng và $3$ quả bóng xanh.

Vậy $P\left( B\left| A \right.\ \right) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .

Nếu $A$ không xảy ra thì hộp II có $5$ quả bóng trắng và $4$ quả bóng xanh.

Vậy $P\left( B\left| \overline{A} \right.\ \right) = \frac{5}{9}$ .

Vậy $P(B) = \frac{7}{15}.\frac{2}{3} + \frac{8}{15}.\frac{5}{9} = \frac{82}{135}$ .

Câu 15: Vận dụng

Chọn đáp án đúng

Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là $0,5$ . Thống kê cho thấy $34\%$ cặp sinh đôi là trai; $30\%$ cặp sinh đôi là gái và $36\%$ cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật.

A.
$28\%$
B.
$18\%$
C.
$24\%$
D.
$21\%$

Hướng dẫn:

Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”

B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”

Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên $P\left( B|A ight) = 1$

Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên $P\left( B|\overline{A} ight) = P\left( \overline{B}|\overline{A} ight) = \frac{1}{2}$

Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:

$P(B) = 0,3 + 0,34 = 0,64$

$\Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 0,36$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B) = P\left( B|A ight).P(A) + P\left( B|\overline{A} ight).P\left( \overline{A} ight)$

$= P\left( B|A ight).P(A) + P\left( B|\overline{A} ight).\left\lbrack 1 - P(A) ightbrack$

Thay số ta xác định được $P(A) = 0,28$ .

Câu 16: Vận dụng cao

Chọn đáp án hợp nhất

Có 3 cửa hàng I, II, III cùng kinh doanh sản phẩm Y, trong đó thị phần của cửa hàng I, III như nhau và gấp đôi thị phần của cửa hàng II. Tỉ lệ sản phẩm loại A trong 3 cửa hàng lần lượt là $70\%; 75\% ; 50\%$ . Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 cửa hàng và tử đó mua một sản phẩm. Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A, hỏi khả năng người ấy đã mua được ở cửa hàng nào là nhiều nhất?

A.
Cửa hàng II
B.
Cửa hàng I
C.
Cửa hàng III

Hướng dẫn:

Gọi T: "Khách hàng mua được sản phẩm loại A"

A_i: "Mua ở cửa hàng i"

Ta có {A₁, A₂, A₃} là một hệ đầy đủ các biến cố và xác định được: $P\left( A_{1} ight) = \frac{2}{5} = 0,4;P\left( A_{2} ight) = \frac{1}{5} = 0,2;P\left( A_{3} ight) = \frac{2}{5} = 0,4$

$P\left( T|A_{1} ight) = 0,7;P\left( A|A_{2} ight) = 0,75;P\left( T|A_{3} ight) = 0,5$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A là:

$P(T) = P\left( A_{1} ight)P\left( T|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( A|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( T|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(T) = 0,4.0,7 + 0,2.0,75 + 0,4.0,5 = 0,63$

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P\left( A_{1}|T ight) = \frac{P\left( A_{1} ight)P\left( T|A_{1} ight)}{P(T)} = \frac{0,4.0,7}{0,63} = 0,4444$

$P\left( A_{21}|T ight) = \frac{P\left( A_{2} ight)P\left( T|A_{2} ight)}{P(T)} = \frac{0,2.0,75}{0,63} = 0,2381$

$P\left( A_{3}|T ight) = \frac{P\left( A_{3} ight)P\left( T|A_{3} ight)}{P(T)} = \frac{0,4.0,5}{0,63} = 0,3175$

Ta thấy rằng P(A₁|T) là lớn nhất tức là khả năng người ấy đã mua ở cửa hàng I là nhiều nhất.

Câu 17: Thông hiểu

Chọn đáp án thích hợp

Hàng ngày, Hùng luyện tập hai môn thể thao là bóng chuyền hoặc cầu lông. Nếu hôm nay Hùng chơi bóng chuyền thì xác suất để hôm sau Hùng chơi cầu lông là $0,6$ . Nếu hôm nay Hùng chơi cầu lông thì xác suất để hôm sau Hùng chơi bóng chuyền là $0,5$ . Xét một tuần mà thứ hai Hùng chơi bóng chuyền. Gọi hai biến cố:

$A$ : “Thứ ba Hùng chơi cầu lông”;

$B$ : “Thứ ba Hùng chơi cầu lông”

Ta có sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên trong hai ngày thứ ba, thứ tư như sau:

Xác suất bạn Hùng chơi cầu lông vào thứ tư là

A.
$0,3$ .
B.
$0,16$ .
C.
$0,24$ .
D.
$0,54$ .

Hướng dẫn:

Dựa theo sơ đồ hình cây, ta có

$P(B) = P(A).P\left( B|A \right) + P\left(\overline{A} \right)P\left( B|\overline{A} \right)$ $= 0,6.0,5 + 0,4.0,6 =0,54$ .

Câu 18: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có $60\%$ về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn $20\%$ số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là $80\%$ . Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là $90\%$ . Tính xác suất để trong một ngày nào đó sinh viên không về muộn.

A.
$0,52$
B.
$0,56$
C.
$0,48$
D.
$0,41$

Hướng dẫn:

Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn

$\overline{B}$ là biến cố sinh viên đó đi học không về muộn

E₁ là biến cố tan học về nhà ngay $= > P\left( E_{1} ight) = 0,6,P\left( B|E_{1} ight) = 0,3$

E₂ là biến cố tan học đi chơi game $= > P\left( E_{2} ight) = 0,2,P\left( B|E_{2} ight) = 0,8$

E₃ là biến cố tan học về đi chơi với bạn $= > P\left( E_{3} ight) = 0,2,P\left( B|E_{3} ight) = 0,9$

B có thể xảy ra một trong 3 biến cố

$P(B) = P\left( E_{1} ight).P\left( B|E_{1} ight) + P\left( E_{2} ight).P\left( B|E_{2} ight) + P\left( E_{3} ight).P\left( B|E_{3} ight)$

$= > P(B) = 0,52$

$= > P\left( \overline{B} ight) = 1 - 0,52 = 0,48$

Câu 19: Vận dụng

Tính xác suất theo yêu cầu

Để gây đột biến cho một tính trạng người ta tìm cách tác động lên hai gen $A, B$ bằng phóng xạ. Xác suất đột biến của tính trạng do gen $A$ là $0,4$ ; do gen B là $0,5$ và do cả hai gen là $0,9$ . Tính xác suất để có đột biến ở tính trạng đó biết rằng phóng xạ có thể tác động lên gen $A$ với xác suất $0,7$ và lên gen $B$ với xác suất $0,6$ ?

A.
$0,58$
B.
$0,44$
C.
$0,50$
D.
$0,43$

Hướng dẫn:

Gọi C là biến cố có đột biến ở tính trạng đang xét

A là biến cố phóng xạ tác dụng lên gen A

B là biến cố phóng xạ tác dụng lên gen B

C₁ là biến cố phóng xạ chỉ tác động lên gen A

C₂ là biến cố phóng xạ chỉ tác dụng lên gen B

C₃ là biến cố phóng xạ tác dụng lên cả 2 gen

$C_{4}$ là biến cố phóng xạ không tác dụng lên gen nào

Khi đó hệ $C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}$ là một hệ đầy đủ

$C_{1} = A\overline{\text{ }B},C_{2} =\overline{A}\text{ }B,C_{3} = AB,C_{4} = \overline{A}\overline{\text{}B}$

Mặt khác $A;B$ độc lập nên

$P\left( C_{1} ight) = P(\text{}A)P(\overline{\text{ }B}) = 0,28,P\left( C_{2} ight) =P(\overline{\text{ }A})P(\text{ }B) = 0,18$

$P\left( C_{3} ight) = P(\text{}A)P(\text{ }B) = 0,42;P\left( C_{4} ight) = P(\overline{\text{}A})P(\overline{\text{ }B}) = 0,12$

Mặt khác $P\left( C|C_{1} ight) =0,4;P\left( C|C_{2} ight) = 0,5;P\left( C|C_{3} ight) = 0,9$ và $P\left( C/C_{4} ight) = 0$

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(C) = 0,28.0,4 + 0,18.0,5 + 0,42.0,9 +0,12.0 = 0,58$

Câu 20: Vận dụng cao

Xét tính đúng sai của các kết luận

Ở cửa ra vào của nhà sách Nguyễn Văn Cừ có một thiết bị cảnh báo hàng hóa chưa được thanh toán khi qua cửa. Thiết bị phát chuông cảnh báo với $99\%$ các hàng hóa ra cửa mà chưa thanh toán và $0,1\%$ các hàng hóa đã thanh toán. Tỷ lệ hàng hóa qua cửa không được thanh toán là $0,1\%$ . Chọn ngẫu nhiên một hàng hóa khi đi qua cửa. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán là $99,9\%$ . Đúng||Sai

b) Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $1\%$ .Sai||Đúng

c) Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $0,1\%$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị không phát chuông cảnh báo là $0,001\%$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Ở cửa ra vào của nhà sách Nguyễn Văn Cừ có một thiết bị cảnh báo hàng hóa chưa được thanh toán khi qua cửa. Thiết bị phát chuông cảnh báo với $99\%$ các hàng hóa ra cửa mà chưa thanh toán và $0,1\%$ các hàng hóa đã thanh toán. Tỷ lệ hàng hóa qua cửa không được thanh toán là $0,1\%$ . Chọn ngẫu nhiên một hàng hóa khi đi qua cửa. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán là $99,9\%$ . Đúng||Sai

b) Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $1\%$ .Sai||Đúng

c) Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $0,1\%$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị không phát chuông cảnh báo là $0,001\%$ . Đúng||Sai

a) Đúngb) Saic) Đúngd) Đúng

Gọi $A$ là biến cố “Hàng qua cửa đã được thanh toán” và $B$ là biến cố “Thiết bị phát chuông cảnh báo”.

Tỷ lệ hàng qua cửa không được thanh toán là $0,1\%$ tức là $P\left( \overline{A} \right) = 0,1\%$ suy ra $P(A) = 100\% - 0,1\% = 99,9\%$ .

Ta có $P\left( B|A \right) = 0,1\%$ và $P\left( B|\overline{A} \right) = 99\%$ ;

$P\left( \overline{B}|A \right) = 100\% - P\left( B|A \right) = 99,9\%$ ; $P\left( \overline{B}|\overline{A} \right) = 100\% - P\left( B|\overline{A} \right) = 1\%$ .

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

A diagram of a number of numbersDescription automatically generated with medium confidence

Từ đây ta có:

Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán là $99,9\%$ .

Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $P\left( \overline{A}B \right) = 0,099\%$

Xác suất để hàng hóa qua cửa đã thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là $P\left( \overline{A}B \right) = 0,1\%$

Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị không phát chuông cảnh báo là $P\left( \overline{A}\overline{B} \right) = 0,001\%$ .

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức

Trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều

Trắc nghiệm Toán 12 Sách cũ