Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 6 (Mức độ Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tính số đo góc giữa hai đường thẳng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN,SC) bằng:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: AC = a\sqrt{2}

    \Rightarrow AC^{2} = 2a^{2} = SA^{2} + SC^{2}

    \Rightarrow \Delta SAC vuông tại S.

    Khi đó: \overrightarrow{NM}.\overrightarrow{SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} = 0

    \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{NM},\overrightarrow{SC} ight) = 90{^\circ} \Rightarrow (MN,SC) = 90{^\circ}

  • Câu 2: Vận dụng
    Xác định mối liên hệ giữa các hệ số

    Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm A',B',C' lần lượt thuộc các tia SA,SB,SC sao cho SA = a.SA',\ SB = b.SB',\ SC = c.SC', trong đó a,b,c là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa a,b,cđể mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC.

    Hướng dẫn:

    Nếu a = b = c = 1 thì SA = SA',SB = SB',SC = SC' nên (ABC) \equiv (A'B'C').

    Suy ra (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC

    =>a + b + c = 3 là đáp án đúng.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Biểu diễn vectơ

    Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Biểu diễn vectơ \overrightarrow{B'C} qua các vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Chọn đáp án đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AA'}

    = - \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm câu sai

    Cho hai vectơ \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b}. Xác định kết luận sai?

    Hướng dẫn:

    Nhận thấy \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight) và \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight) chỉ khác nhau về hệ số \frac{1}{2} và \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} ight).\frac{1}{4}

    Ta có \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight|^{2}= \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2} - \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)^{2}= 4\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}= \frac{1}{4}\left( \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} - \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight|^{2} ight)

    \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a} ight|}^2} - {{\left| {\overrightarrow b } ight|}^2}} ight) đúng, vì \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2}= \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}= \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} + 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}

    \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} ight|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight) đúng, vì \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)^{2}= \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight).\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}= \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} - 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}

    \Rightarrow \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} ight|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } ight|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } ight|}^2}} ight)

  • Câu 5: Vận dụng
    Tìm giá trị của k

    Gọi M,\ N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: \overrightarrow{PI} = k\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} \right).

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = 2\overrightarrow{PM}, \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PD} = 2\overrightarrow{PN}

    nên \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}\overrightarrow{+ PC} + \overrightarrow{PD} = 2\overrightarrow{PM} + 2\overrightarrow{PN}

    = 2(\overrightarrow{PM} + \overrightarrow{PN}) = 2.2.\overrightarrow{PI} = 4\overrightarrow{PI}

    Vậy k = \frac{1}{4}

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính góc giữa hai vecto

    Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính góc \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right).

    Hướng dẫn:

    Gọi M là trung điểm CD.

    Khi đó, \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \right).\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}

    Do tam giác ACD đều nên AM\bot CD \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} = 0

    Và tam giác BCD đều nên BM\bot CD \Rightarrow \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CD} = 0

    Vậy \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \left(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \right).\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD} = 0\Rightarrow\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD}.

    Kết luận \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 90{^\circ}.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} và \overrightarrow{v} tạo với nhau một góc 120{^\circ} và \left| \overrightarrow{u} \right| = 2, \left| \overrightarrow{v} \right| = 5. Tính \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right|

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| ight)^{2} = \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)^{2}

    = {\overrightarrow{u}}^{2} + 2\overrightarrow{u}\overrightarrow{v} + {\overrightarrow{v}}^{2}

    = \left| \overrightarrow{u} ight|^{2} + 2\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|\cos\left( \overrightarrow{u};\ \overrightarrow{v} ight) + \left| \overrightarrow{v} ight|^{2}

    = 2^{2} + 2.2.5.\left( - \frac{1}{2} ight) + 5^{2} = 19.

    Suy ra \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A;B;C;D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A;B;C;D tạo thành hình bình hành là:

    Hướng dẫn:

    Để A;B;C;D tạo thành hình bình thành thì \left\lbrack \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \\ \end{matrix} ight..

    Khi đó:

    \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}

    \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}, O là trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD. (Loại).

    \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD} (Loại)

    \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} (loại)

    Vậy đáp án cần tìm là \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là điểm trên đoạn CD sao cho ED = 2CE. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Có 6 vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{BC} bằng 60^{\circ}. Sai||Đúng

    c) Nếu \overrightarrow{BE} = m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} + p\overrightarrow{BD} thì m + n + p = \frac{2}{3}. Sai||Đúng

    d) Tích vô hướng \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} = \frac{a^{2}}{6}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là điểm trên đoạn CD sao cho ED = 2CE. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Có 6 vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{BC} bằng 60^{\circ}. Sai||Đúng

    c) Nếu \overrightarrow{BE} = m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} + p\overrightarrow{BD} thì m + n + p = \frac{2}{3}. Sai||Đúng

    d) Tích vô hướng \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} = \frac{a^{2}}{6}. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Sai: Các vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là: \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}.

    Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu.

    b) Sai:  (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) = 180^{\circ} - (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}) = 180^{\circ} - ABC = 120^{\circ} 

    c) Sai: \overrightarrow{BE} =\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}) =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}.

    Do đó m = 0,n = \frac{2}{3},p = \frac{1}{3} suy ra m + n + p = 1.

    d) Đúng: Ta có:

    \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE}) - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AB}

    = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}

    Suy ra

    \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{AD}.\left( \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)=\frac{2}{3}.\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}.{\overrightarrow{AD}}^{2} -\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}

    = \frac{2}{3}.a.a.\cos 60^{\circ} +\frac{1}{3}a^{2} - a.a.\cos60^{\circ} = \frac{a^{2}}{6}.

  • Câu 10: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Điều kiện cần và đủ để ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} không đồng phẳng là:

    Hướng dẫn:

    Ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

  • Câu 11: Nhận biết
    Chọn đẳng thức đúng

    Gọi O là tâm của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Theo quy tắc hình hộp ta có: \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}

    Vì O là trung điểm của AC' suy ra \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn khẳng định sai

    Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    “Nếu \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO} thì ABCD là hình thang » Đúng

    Vì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO} và SC\bot(BIH).

    Vì O,A,C và BIH thẳng hàng nên đặt \overrightarrow{OA} = k\overrightarrow{OC};OB = m\overrightarrow{OD}

    \Rightarrow (k + 1)\overrightarrow{OC} + (m + 1)\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}.

    Mà \overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD} không cùng phương nên k = - 2 và m = - 2

    \Rightarrow \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = 2 \Rightarrow AB//CD.

    “Nếu ABCD là hình bình hành thì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}.“. Đúng.

    Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái.

    “Nếu ABCD là hình thang thì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO}. ». Sai.

    Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD,BC thì sẽ sai.

    “Nếu \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO} thì ABCD là hình bình hành ». Đúng.

    Tương tự đáp án A với k = - 1,m = - 1 \Rightarrow O là trung điểm 2 đường chéo.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Xác định góc giữa hai vectơ

    Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0}. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{CD}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos60^{0} - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC}ight|.\cos60^{0}

    Mà AC = AD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0 \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ight) = 90^{0}

  • Câu 14: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn mệnh đề đúng?

    Hướng dẫn:

    Vì G là trọng tâm tứ diện ABCD nên suy ra:

    \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} ight) + \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC} ight) + \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AD} ight)

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)

  • Câu 15: Thông hiểu
    Xác định giá trị của k

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' CÓ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'} = k.\overrightarrow{AC'}. Giá trị của k bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'}

    Vậy k = 1.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Chọn đẳng thức đúng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{u},\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{v}, \overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{x}, \overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{y}. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    + Gọi J,\ K lần lượt là trung điểm của AB,\ CD.

    +Ta có: 2\overrightarrow{OI} =\overrightarrow{OJ} + \overrightarrow{OK}= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA} + \ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OD} \right)= - \frac{1}{4}(\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} + \ \overrightarrow{x} +\overrightarrow{y})

  • Câu 17: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}. Gọi I là trung điểm của B'C', K là giao điểm của A'I và B'D'. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì I là trung điểm của B’C’ suy ra \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'C'} = 2\overrightarrow{A'I}

    Và K là giao điểm của A'I';B'D' nên theo định lí Talet \Rightarrow \overrightarrow{A'K} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A'I}

    Ta có: \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'K} = \overrightarrow{AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow{A'I}

    = \overrightarrow{AA'} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'C'} ight) = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

    Khi đó

    \overrightarrow{DK} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AK} = \left( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} ight) + \overrightarrow{AK}

    = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \frac{4}{3}\overrightarrow{a} - \frac{2}{3}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

    Vậy \overrightarrow{DK} = \frac{1}{3}\left( 4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c} ight).

  • Câu 18: Vận dụng
    Tính tỉ số hai cạnh

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một đường thẳng \Delta cắt các đường thẳng AA',BC,C'D' lần lượt tại M,N,P sao cho \overrightarrow{NM} = 2\overrightarrow{NP}. Tính \frac{MA}{MA'}.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đặt \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}.

    Vì M \in AA' nên \overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AA'} = k\overrightarrow{c}

    N \in BC \Rightarrow \overrightarrow{BN} = l\overrightarrow{BC} = l\overrightarrow{a}, P \in C'D' \Rightarrow \overrightarrow{C'P} = m\overrightarrow{b}

    Ta có \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = - l\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c}

    \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{C'P} = (1 - l)\overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

    Do \overrightarrow{NM} = 2\overrightarrow{NP} \Rightarrow - l\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c} = 2\lbrack(1 - l)\overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\rbrack

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - l = 2(1 - l) \\ - 1 = 2m \\ k = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow k = 2,m = - \frac{1}{2},l = 2.

    Vậy \frac{MA}{MA'} = 2.

  • Câu 19: Nhận biết
    Chọn đáp án chính xác

    Trong không gian, cho hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{BC}. Vectơ \overrightarrow{AC} bằng

    Hướng dẫn:

    Theo quy tắc ba điểm: \overrightarrow{AC}\ = \ \overrightarrow{\ AB}\ + \ \overrightarrow{BC}.

  • Câu 20: Vận dụng
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

     

    a) Sai

     

    Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD

    Suy ra hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

    b) Sai

    Ta có ABCD là hình chữ nhật nên AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}

    Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

    Suy ra \tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    Ta có: \left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    c) Đúng

    Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

    Suy ra SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{5}

    Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

    AM = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Lại có M là trung điểm của SB nên MB = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Ta tính được \cos MAB = \frac{MA^{2} + AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    Mà \left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{MAB}

    \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}

    d) Sai

    Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

    Do đó MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Suy ra \left| \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{a\sqrt{5}}{2}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (60%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
26 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Xem thêm