Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 14 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x + y + z - 2 = 0. Điểm M(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (P) thỏa mãn MA = MB = MC. Tính T = a + 2b + 3c?

    Hướng dẫn:

    Ta có M(a; b; c) ∈ (P) ⇔ a + b + c − 2 = 0 (1)

    MA^2 = (a − 2)^2 + (b − 0)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b^ 2 + c^ 2 − 4a − 2c + 5

    MB^2 = (a − 1)^2 + b^ 2 + c ^2 = a^ 2 + b^ 2 + c^ 2 − 2a + 1

    MC^2 = (a − 1)^2 + (b − 1)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b ^2 + c ^2 − 2a − 2b − 2c + 3

    Với MA = MB, ta có a + c − 2 = 0 (2)

    Với MA = MC, ta có a − b − 1 = 0 (3)

    Từ (1); (2); (3) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} a + b + c = 2 \\ a + c = 2 \\ a - b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 4

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tìm phương trình mặt phẳng thích hợp

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình (P)x + 2y + 2z - 1 = 0(Q):x + 2y - z - 3 = 0 và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 5. Mặt phẳng (\alpha) vuông với mặt phẳng (P),(Q) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 5 có tâm I(1; - 2;0) và bán kính R = \sqrt{5}

    Gọi \overrightarrow{n_{\alpha}} là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (\alpha)

    Ta có : {\overrightarrow{n}}_{\alpha} = \overrightarrow{n_{P}} \land {\overrightarrow{n}}_{Q} \Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha}} = ( - 6;3;0) = - 3(2; - 1;0) = - 3\overrightarrow{n_{1}}

    Lúc đó mặt phẳng (\alpha) có dạng :2x - y + m = 0.

    Do mặt phẳng (\alpha) tiếp xúc với mặt cầu (S)

    \Rightarrow d\left( I,(\alpha) \right) = \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{|m + 4|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 9 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy phương trình mặt phẳng (\alpha):2x - y + 1 = 0 hoặc 2x - y - 9 = 0.

  • Câu 3: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC} = 60^{0}, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,SA,SD và P là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC} = 60^{0}, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,SA,SD và P là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Vận dụng cao
    Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;1). Mặt phẳng (P) qua M cắt chiều dương của các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A;B;C thỏa mãn OA = 2OB. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp OABC?

    Hướng dẫn:

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c > 0.

    Khi đó mặt phẳng (P) có dạng: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

    Vì OA = 2OB \Rightarrow a = 2b \Rightarrow \frac{3}{2b} + \frac{1}{c} = 1

    Thể tích khối chóp OABC là: V = \frac{1}{6}abc = \frac{1}{3}b^{2}c

    Ta có: 1 = \frac{3}{2b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{4b} + \frac{3}{4b} + \frac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{9}{16b^{2}c}}

    \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{\frac{9}{16b^{2}c}} \leq \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{16b^{2}c}{9} \geq 27 \Leftrightarrow \frac{b^{2}c}{3} \geq \frac{81}{16}

    \Rightarrow V_{OABC}\min = \frac{81}{16} khi \dfrac{3}{4b} =\dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{9}{2} \\b = \dfrac{9}{4} \\c = 3 \\\end{matrix} ight..

  • Câu 5: Vận dụng
    PT mp cắt khối tứ diện

    Cho tứ giác ABCD có A\left( {0,1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,1,2} ight);\,\,C\left( {1, - 1,0} ight);\,\,\,\left( {0,0,1} ight). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (BCD) và chia tứ diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng \frac{1}{27} .

    Hướng dẫn:

    Tỷ số thể tích hai khối AMNE và ABCD: {\left( {\frac{{AM}}{{AB}}} ight)^3} = \frac{1}{{27}}

    \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow M chia cạnh BA theo tỷ số -2

    \Rightarrow E\left\{ \begin{array}{l}x=\dfrac{{1 + 2.0}}{3} = \dfrac{1}{3}\\y = \dfrac{{1 + 2.1}}{3} = 1\\z = \dfrac{{2 + 2\left( { - 1} ight)}}{3} = 0\end{array} ight.;\,\,

    \overrightarrow {BC} = - 2\left( {0,1,1} ight);\,\,\overrightarrow {BD} = - \left( {1,1,1} ight)

    Vecto pháp tuyến của \left( Q ight):\overrightarrow n = \left( {0,1, - 1} ight)

    \begin{array}{l} \Rightarrow M \in \left( Q ight) \Rightarrow \left( Q ight):\left( {x - \frac{1}{3}} ight)0 + \left( {y - 1} ight)1 + \left( {z - 0} ight)\left( { - 1} ight) = 0\\ \Rightarrow \left( P ight):y - z - 1 = 0\end{array}

  • Câu 6: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1). Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1). Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 7: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong hệ trục Oxyz, cho 3 điểm A( - 1;3;5), B(2;6; - 1), C( - 4; - 12;5) và mặt phẳng (P):x + 2y - 2z - 5 = 0. Gọi M là điểm di động trên (P). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right| là:

    Hướng dẫn:

    Gọi G( - 1; - 1;3) là trọng tâm tam giác ABC.

    Ta có S = \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right| = 3MG nhỏ nhất khi MG là khoảng cách từ G đến (P).

    Ghi 3 \times \frac{|x + 2y - 2z - 5|}{3} CALC nhập tọa độ G, kết quả bằng 14.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Chọn kết quả chính xác

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c là những số thực dương sao cho a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49. Tính T = a^{2} + b^{2} + c^{2} sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là lớn nhất

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt phẳng (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack =\dfrac{1}{\sqrt{\left( \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} +\dfrac{1}{c^{2}} ight)}} = d

    Xét \overrightarrow{u} = (a;2b;4c),\overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} ight) ta có:

    \left( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ight)^{2} \leq {\overrightarrow{u}}^{2}.{\overrightarrow{v}}^{2}

    \Rightarrow \left( a.\frac{1}{a} + 2b.\frac{1}{b} + 4c.\frac{1}{c} ight)^{2} \leq \left( a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} ight).\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)

    \Rightarrow 49 \leq 49.\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)

    \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 1 \Rightarrow d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack \leq 1

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{\dfrac{1}{a}} = \dfrac{2b}{\dfrac{1}{b}} = \dfrac{4c}{\dfrac{1}{c}}\\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a^{2} = 2b^{2} = 4c^{2} \\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 28c^{2} = 49 \Leftrightarrow c^{2} = \frac{7}{4} \Rightarrow F = 7c^{2} = \frac{49}{4}

    ⇒ \max d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack = 1, khi đó F = \frac{49}{4}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm M(1;2;1) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho độ dài OA,OB,OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (\alpha).

    Hướng dẫn:

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

    Phương trình mặt phẳng (α) có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có (α) đi qua điểm M(1; 2; 1) nên ta có \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 (∗)

    Vì OA, OB, OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên c = 2b = 4a.

    Thay vào (∗), ta được \frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}

    Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = \frac{9}{4} hay 4x + 2y + z - 9 = 0

    \Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( - 2;3;1) và B(5;\ 6;\ 2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tính tỉ số \frac{AM}{BM}.

    Hướng dẫn:

    Cách 1. (Tâm tỉ cự)

    Gọi tọa độ M(x\ ;\ 0\ ;\ z), ta có ba điểm A, B, M thẳng hàng khi và chỉ khi:

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k)\overrightarrow{OB}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2k + 5(1 - k) \\ 0 = 3k + 6(1 - k) \\ z = k + 2(1 - k) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow k = 2,x = - 9,z = 0 \Leftrightarrow M( - 9\ ;\ 0\ ;\ 0).

    Khi đó \frac{AM}{BM} = \sqrt{\frac{7^{2} + 3^{2} + 1^{2}}{14^{2} + 6^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{2}.

    Cách 2. (Vị trí tương đối – Tổng quát)

    Xét tam giác đồng dạng, ta có \frac{AM}{BM} = \frac{d_{a}}{d_{b}} = \frac{d\left( A,(Oxz) \right)}{d\left( B,(Oxz) \right)} = \frac{|3|}{|6|} = \frac{1}{2}.

  • Câu 11: Vận dụng
    Tính chiều rộng bức tường

    Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường (P),(Q),(R),(T) (như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình: (P):2x - y - z + 1 = 0, (Q):x + 3y - z - 2 = 0,(R):4x - 2y - 2z + 9 = 0,(T):2x + 6y - 2z + 15 = 0.

    Tính chiều rộng bức tường (Q)của tòa nhà.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (P):2x - y - z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{P} = (2; - 1; - 1)

    (Q):x + 3y - z - 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{Q} = (1;3; - 1)

    (R):4x - 2y - 2z + 9 = 0 có vectơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{R} = (4; - 2; - 2)

    (T):2x + 6y - 2z + 15 = 0 có vectơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{T} = (2;6; - 2)

    Ta có:

    {\overrightarrow{n}}_{R} = (4; - 2; - 2) = 2(2; - 1; - 1) \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{R} = 2{\overrightarrow{n}}_{P} nên hai bức tường (P) và (R)song song nhau

    {\overrightarrow{n}}_{T} = (2;6; - 2) = 2(1;3; - 1) \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{T} = 2{\overrightarrow{n}}_{Q} nên hai bức tường (T) và (Q) song song nhau

    {\overrightarrow{n}}_{P}.{\overrightarrow{n}}_{Q} = 2.1 + ( - 1).3 + ( - 1).( - 1) = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{P}\bot{\overrightarrow{n}}_{Q} nên bức tường (Q) vuông góc với hai bức tường (P) và (R)

    {\overrightarrow{n}}_{R}.{\overrightarrow{n}}_{Q} = 4.1 + ( - 2).3 + ( - 2).( - 1) = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{R}\bot{\overrightarrow{n}}_{Q} nên bức tường (R) vuông góc với hai bức tường (Q) và (T)

    Do hai bức tường (P) và (R)song song nhau nên chiều rộng bức tường (Q) là khoảng cách giữa hai bức tường (P) và (R).

    Chọn điểm N(0;0;1) \in (P)

    Do hai bức tường (P) và (R) song song nhau nên:

    d\left( (P),(R) \right) = d\left( N,(R)\right)= \frac{|4.0 - 2.0 - 2.1 + 9|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} =\frac{7}{\sqrt{6}} \approx 2,9m

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tính tổng?

    Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;4;5), B(3;4;0), C(2;-1;0) và mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-12=0. Gọi M(a; b; c) thuộc (P) sao cho MA^2+MB^2+3MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a+b+c.

    Hướng dẫn:

    Giả sử I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\vec{0} .

    Khi đó \overrightarrow{IA}(1-x;4-y;5-z), \overrightarrow{IB}(3-x;4-y;-z), \overrightarrow{IC}(2-x;-1-y;-z) ;

    \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=(10-5x;5-5y;5-5z); ;

    \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 \\ y=1 \\ z=1 \end{matrix}ight. \Rightarrow I (2;1;1);

    MA^2+MB^2+3MC^2 = \overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+3\overrightarrow{MC}^2

    = (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^2

    =5MI^2+2\vec{MI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC})+IA^2+IB^2+IC^2

    =5MI^2+IA^2+IB^2+IC^2   (vì \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\vec{0})

    Vì I cố định nên MA^2+MB^2+3MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P) .

    Gọi \triangle là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)

    Phương trình đường thẳng \triangle:\left\{\begin{matrix} x=2+3t \\ y=1-3t \\ z=1-2t \end{matrix}ight..

    Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:

     \left\{\begin{matrix} x=2+3t \\ 1-3t \\ z=1-2t \\3x-3y-2z-12=0 \end{matrix}ight. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} t=\dfrac{1}{2} \\ x=\dfrac{7}{2} \\ y=\dfrac{-1}{2} \\ z=0\end{matrix}ight.

    \Rightarrow M(\frac{7}{2};\frac{-1}{2};0) \Rightarrow a+b+c=3.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính P

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4;1;5), B(3;0;1),C( - 1;2;0) và điểm M(a;b;c) thỏa mãn \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} - 5\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} lớn nhất. TínhP = a - 2b + 4c.

    Hướng dẫn:

    Gọi \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} \right) - 5\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} \right) = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow I\left( 1;\frac{5}{2};\frac{17}{4} \right).

    Khi đó S = - 2MI^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} - 5\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA}.

    Để S lớn nhất thì MI nhỏ nhất, suy ra M\left( 1;\frac{5}{2};\frac{17}{4} \right) \equiv I. Vậy P = 13.

  • Câu 14: Vận dụng
    Xác định số mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng (Q):x + y + z + 3 = 0, cách điểm M(3;2;1) một khoảng bằng 3\sqrt{3} biết rằng tồn tại một điểm X(a;b;c) trên mặt phẳng đó thỏa mãn a + b + c < - 2?

    Hướng dẫn:

    Mặt phẳng song song với (Q) có dạng (P):x + y + z + m = 0,(m eq 3) mà

    d\left( M,(P) ight) = \frac{|3 + 2 + 1 + m|}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3(ktm) \\ m = - 15 \\ \end{matrix} ight.

    Với m = −15 thì với mọi X(a;b;c) \in (P) ta có a + b + c - 15 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = 15 > - 2

    Do đó không có mặt phẳng nào thỏa mãn đề bài

  • Câu 15: Vận dụng
    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;\ 1;\ - 1), B(0;\ - 2;\ 3) và mặt cầu (S):(x + 1)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 1. Khi điểm M thay đổi thuộc (S), tìm giá trị lớn nhất của biểu thức MA^{2} + 2MB^{2}.

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Phương pháp véc tơ.

    Gọi I( - 1;0;1) là tâm mặt cầu, ta có \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = (6; - 3;2) = \overrightarrow{IK}.

    Ta có :

    T = MA^{2} + 2MB^{2} = 3MI^{2} + IA^{2} + 2IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK} = 42 + 2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK}.

    Vậy để tổng lớn nhất thì \overrightarrow{MI},\overrightarrow{IK} cùng hướng.

    Nên \max T = 42 + 2.1.7 = 56.

    Cách 2. Khảo sát – Khử bậc hai đưa về mặt phẳng.

    Gọi M(x;y;z), ta có:

    T = (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} + 2\left\lbrack x^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} \right\rbrack

    T = 3\left( x^{2} + y^{2} + z^{2} \right) - 6x + 6y - 10z + 37

    = 3( - 1 - 2x + 2z) - 6x + 6y - 10z + 37

    \Leftrightarrow - 12x + 6y - 4z + 34 - T = 0

    \Rightarrow d\left( I,(P) \right) = \frac{|T - 42|}{14} \leq 1 \Rightarrow T \leq 14 + 42 = 56.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Viết PT mp song song

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua M (-2, 1, 3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,3z\,\, + \,\,7 = \,\,0.

    Hướng dẫn:

    Vì mp (P) // (Q) nên ta có PTTQ mp (P) sẽ có dạng là:

    \left( P ight):2x + 5y - 3z + D = 0

    Mặt khác, (P) qua M\left( { - 2,1,3} ight) \Rightarrow D = 8

    \Rightarrow \left( P ight):2x + 5y - 3z + 8 = 0

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Khoảng cách điểm đến mp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1;2), B(-3;1;0)  và mặt phẳng (P):x+y+3z-14=0. Gọi M là điểm thuộc (P) sao cho \triangle AMB vuông tại M . Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \widehat{AMB}=90^{\circ} suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB.

    Gọi I là trung điểm AB , khi đó I(0;0;1) và R=\frac{AB}{2}=\sqrt{11}.

    Ta tính được d(I;(P))=\sqrt{11}=R suy ra (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau hay M là tiếp điểm của (P) và (S). Vậy M là hình chiếu của I trên (P) .

    Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là: 

    \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \end{matrix}ight., t\in \mathbb{R}

    Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

     \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \\x+y+3z-14=0 \end{matrix}ight., t\in \mathbb{R}

    suy ra t=1.

    Suy ra M(1;1;4)\Rightarrow d(M;(Oxy))=4.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Xác định số điểm M thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P):x + y - z + 1 = 0 và (Q):x - y + z - 5 = 0. Có bao nhiêu điểm M trên trục Oy thỏa mãn M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)?

    Hướng dẫn:

    Vì M \in Oy nên M(0;y;0)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}d\left( M;(P) ight) = \dfrac{|y + 1|}{\sqrt{3}} \\d\left( M;(Q) ight) = \dfrac{| - y - 5|}{\sqrt{3}} \\\end{matrix} ight..

    Theo giả thiết:

    d\left( M;(P) ight) = d\left( M;(Q) ight) \Leftrightarrow \frac{|y + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{| - y - 5|}{\sqrt{3}}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y + 1 = - y - 5 \\ y + 1 = y + 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = - 3(TM) \\ 0y = 4(L) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow M(0; - 3;0)

    Vậy có 1 điểm M thỏa mãn bài.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;2;1), B( - 1;4; - 3). Lấy điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho |MA - MB| lớn nhất. Tọa độ M là

    Hướng dẫn:

    Ta có tỉ số t = \frac{d_{a}}{d_{b}} = \frac{|1|}{| - 3|} = \frac{1}{3} nên gọi C là điểm thỏa mãn \overrightarrow{CA} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CB} \Leftrightarrow C\left( 5;1;\frac{5}{2} \right). Khi đó điểm M cần tìm là hình chiếu của C trên (Oxy)nên tọa độ M(5;1;0).

  • Câu 20: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4) và mặt phẳng (P):x - y + z + 2 = 0. Tìm điểm N \in (P) sao cho S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4) và mặt phẳng (P):x - y + z + 2 = 0. Tìm điểm N \in (P) sao cho S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
33 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này