Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 6 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tìm điều kiện của các hệ số a; b; c

    Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A';B';C' lần lượt thuộc các tia SA;SB;SC sao cho \frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c trong đó a;b;c là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó 3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0} mà \overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}

    Suy ra 3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}

    Vì mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'} đồng phẳng.

    Do đó tồn tại ba số l;m;n sao cho l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0) và l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}s

    \Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}

    Suy ra \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1

    \Rightarrow a + b + c = 3

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tìm khẳng định đúng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c},\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}. Khẳng định nào sau đây đúng.

    Hướng dẫn:

    Ta có

    \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}

    = 2\overrightarrow{AP} - 2\overrightarrow{AM} = 2\left( \overrightarrow{MP} ight)

    \Leftrightarrow \overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}).

  • Câu 3: Thông hiểu
    Chọn đáp án chính xác

    Trong không gian, cho hình chóp S.ABC với G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} bằng.

    Hướng dẫn:

    Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}.

    Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

    \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}

    = \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GA} ight) + \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GB} ight) + \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GC} ight).

    = 3\overrightarrow{SG} + \left(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight)= 3\overrightarrow{SG}

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a và các góc \widehat{B'A'D'} = 60^{0},\widehat{B'A'A} = \widehat{D'A'A} = 120^{0}. Tính góc giữa đường thẳng AC' với các đường thẳng AB,AD,AA'.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \left( \widehat{AC',AB} \right) = \left( \widehat{AC',AD} \right) = \left( \widehat{AC',AA'} \right) = \arccos\frac{\sqrt{6}}{3}.

  • Câu 5: Vận dụng
    Xác định vị trí điểm M

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của IJ). Xác định vị trí của M để \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| = 4\left| \overrightarrow{MG} \right| nên \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| nhỏ nhất khi M \equiv G.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm giá trị của k

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: \overrightarrow{MN} = k\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \right)

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left. \ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} \\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} \\ \end{matrix} \right\}

    \Rightarrow 2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{DN} +\overrightarrow{CN}

    Mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên

    \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BM} = - \overrightarrow{MB};\ \ \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{NC} = - \overrightarrow{CN}

    Do đó 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \right).

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tìm câu sai

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} với tâm O.

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AB_{1}},\ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_{1}} = \overrightarrow{AD_{1}} mà \overrightarrow{AB_{1}} eq \overrightarrow{AD_{1}} nên \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_{1}} sai.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính diện tích thiết diện

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, \widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA} = \alpha. Gọi (\beta) là mặt phẳng đi qua A và các trung điểm của SB,SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (\beta).

    Hướng dẫn:

    Hinh vẽ minh họa

    Gọi B',C' lần lượt là trung điểm của SB,SC. Thiết diện là tam giác AB'C'.

    Theo bài tập 5 thì S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{AB'^{2}AC'^{2} - \left( \overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{AC'} \right)^{2}}

    Ta có \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{SB'} - \overrightarrow{SA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA}

    \Rightarrow AB'^{2} = \frac{1}{4}SB^{2} + SA^{2} - \overrightarrow{SA}\overrightarrow{SB}

    = \frac{a^{2}}{4}(5 - 4cos\alpha).

    Tính tương tự, ta có

    \overrightarrow{AB'}\overrightarrow{AC'} = \frac{a^{2}}{4}(4 - 3cos\alpha).

    Vậy S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^{4}}{16}(5 - 4cos\alpha)^{2} - \frac{a^{4}}{16}(4 - 3cos\alpha)^{2}}

    = \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{u},\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{v}, \overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{x}, \overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{y}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta phân tích:

    \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} =\overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{CA'}= \left(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'} \right) + \left(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AA'} \right) =2\overrightarrow{AA'}.

    \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} =\overrightarrow{BD'} + \overrightarrow{DB'}= \left(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DD'} \right) + \left(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BB'} \right) =2\overrightarrow{BB'} = 2\overrightarrow{AA'}.

    \Rightarrow \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = 4\overrightarrow{AA'} = - 4\overrightarrow{A'A} = - 4.2\overrightarrow{OI}.

    \Rightarrow 2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} \right).

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm câu sai

    Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Xác định câu sai trong các câu dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC,BCD,CDA,ABD là các tam giác đều.

    Đáp án \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}.

    Đúng vì \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}.

    Đáp án \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - \frac{a^{2}}{2}.

    Đúng vì \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}= - a.a.\cos60^{0} = \frac{- a^{2}}{2}.

    Đáp án \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}.

    Sai vì \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} =a.a.\cos60^{0} = \frac{a^{2}}{2}; \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD} = - \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD} = - a.a.\cos60^{0} = - \frac{a^{2}}{2}

    Đáp án AB\bot CD hay \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0.

    Đúng vì \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

    Hướng dẫn:

    Nếu \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} thì

    \overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành

    Mệnh đề sai \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} vì:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn kết quả đúng nhất

    Cho tam giác ABC, thì công thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    S_{ABC} = \frac{1}{2}ABAC\sin A = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AB^{2}sin^{2}A}

    = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2}\left( 1 - cos^{2}A \right)}

    = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - \left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}.

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tính x; y theo k để ba điểm thẳng hàng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' và các điểm M,N,P xác định bởi

    \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB'}(k \neq 0),\overrightarrow{NB} = x\overrightarrow{NC'},\overrightarrow{PC} = y\overrightarrow{PD'}. Hãy tính x,y theo k để ba điểm M,N,P thẳng hàng.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đặt \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}.

    Từ giả thiết ta có :

    \overrightarrow{AM} = \frac{k}{k - 1}\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)\ \ \ (1)

    \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{b}+ \frac{x}{x - 1}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) (2)

    \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} +\frac{y}{y - 1}\left( \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}\right)(3)

    Từ đó ta có

    \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}= \frac{x}{x -1}\overrightarrow{a} - \frac{1}{k - 1}\overrightarrow{b} + \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{k}{k - 1} \right)\overrightarrow{c}

    + \left( \frac{x}{x - 1} - \frac{y}{y - 1} \right)\overrightarrow{c}.

    \overrightarrow{MP} =\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM}= \overrightarrow{a} -(\frac{y}{y - 1} + \frac{1}{k - 1})\overrightarrow{b} + \left(\frac{y}{y - 1} - \frac{k}{k - 1} \right)\overrightarrow{c}

    Ba điểm M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại \lambda sao cho \overrightarrow{MN} = \lambda\overrightarrow{MP}\ \ (*).

    Thay các vectơ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP} vào (*) và lưu ý \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} không đồng phẳng ta tính được x = \frac{1 + k}{1 - k},y = - \frac{1}{k}.

  • Câu 14: Vận dụng
    Xác định số khẳng định đúng

    Một em nhỏ cân nặng m = 25(kg) trượt trên cầu trượt dài 3,5(m) (như trong hình dưới đây). Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30{^\circ}. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

    + Với gia tốc rơi tự do \overrightarrow{g} có độ lớn là g = 9,8\left( m/s^{2} \right) thì độ lớn của trọng lực \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là 245(N).

    + Góc giữa độ dịch chuyển \overrightarrow{d} so với trọng lực \overrightarrow{P} là 30{^\circ}.

    + Công A(J) sinh bởi một lực \overrightarrow{F} có độ dịch chuyển \overrightarrow{d} được tính bởi công thức A = \left| \overrightarrow{F} \right|.\left| \overrightarrow{d} \right|.cos\left( \overrightarrow{F};\overrightarrow{d} \right) thì công sinh bởi trọng lực \overrightarrow{P} khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là 428,75(J).

    A drawing of a child on a slideDescription automatically generated

    Hướng dẫn:

    » Với gia tốc rơi tự do \overrightarrow{g} có độ lớn là g = 9,8\left( m/s^{2} \right) thì độ lớn của trọng lực \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là \left| \overrightarrow{P} \right| = m\left| \overrightarrow{g} \right| = 25.9,8 = 245(N).

    » Em nhỏ trượt từ điểm A tới điểm B nên khi đó góc giữa độ dịch chuyển \overrightarrow{d} so với trọng lực \overrightarrow{P} là \left( \overrightarrow{d,}\overrightarrow{P} \right) = \left( \overrightarrow{AB,}\overrightarrow{P} \right) = 60{^\circ}.

    » Ta có độ lớn của trọng lực \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là \left| \overrightarrow{P} \right| = m\left| \overrightarrow{g} \right| = 25.9,8 = 245(N) nên công sinh bởi trọng lực \overrightarrow{P} khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là A = \left| \overrightarrow{P} \right|.\left| \overrightarrow{d} \right|.cos\left( \overrightarrow{P,}\overrightarrow{d} \right) = 245.3,5.cos60{^\circ} = 428,75(J).

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính giá trị của k

    Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (\alpha) cắt các tia SA,SB,SC,SG( G là trọng tâm tam giác ABC) lần lượt tại các điểm A',B',C',G'.Ta có \frac{SA}{SA'} + \frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = k\frac{SG}{SG'}. Hỏi k bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Do G là trọng tâm của \Delta ABC nên \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    \Rightarrow3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} +\overrightarrow{SC}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 3\frac{SG}{SG'}\overrightarrow{SG'} = \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} \\ + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'} \\ \end{matrix}

    Mặt khác A',B',C',G' đồng phẳng nên

    \frac{SA}{SA'} + \frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3\frac{SG}{SG'}.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tính tích vô hướng của hai vectơ

    Cho hình chóp OABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\left( \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight)

    = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB} = 0 - 0 = 0

    Vậy \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = 0

  • Câu 17: Vận dụng
    Tìm khẳng định sai

    Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M,Nsao cho AM = 3MD, BN = 3NC. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    «Các vectơ \overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN} đồng phẳng” . Sai vì

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BN} \hfill \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \overrightarrow {3MN} = \overrightarrow {3MD} + 3\overrightarrow {DB} + 3\overrightarrow {BN} \hfill \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {BD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \mathbf{\Rightarrow} \overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN} không đồng phẳng.

    « Các vectơ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ} đồng phẳng’. Đúng vì \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QN} \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \end{gathered} \right.

    \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} } \right)

    \mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}: đồng phẳng.

    “Các vectơ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ} đồng phẳng”. Đúng. Bằng cách biểu diễn \overrightarrow{PQ} tương tự như trên ta có \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} \right).

    « Các vectơ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{MN} đồng phẳng”. Đúng. Ta có \overrightarrow{MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{DC}.

  • Câu 18: Vận dụng
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

     

    a) Sai

     

    Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD

    Suy ra hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

    b) Sai

    Ta có ABCD là hình chữ nhật nên AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}

    Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

    Suy ra \tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    Ta có: \left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    c) Đúng

    Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

    Suy ra SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{5}

    Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

    AM = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Lại có M là trung điểm của SB nên MB = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Ta tính được \cos MAB = \frac{MA^{2} + AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    Mà \left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{MAB}

    \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}

    d) Sai

    Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

    Do đó MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Suy ra \left| \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{a\sqrt{5}}{2}

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A\left( 0\ ;\ 4\sqrt{2}\ ;\ 0 \right), B\left( 0\ ;\ 0\ ;\ 4\sqrt{2}\right), điểm C \in (Oxy) và tam giác OAC vuông tại C, hình chiếu vuông góc của O trên BC là điểm H. Khi đó điểm H luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Dễ thấy B \in Oz. Ta có A \in (Oxy)và C \in (Oxy), suy ra OB\bot(OAC).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} AC\bot OC \\ AC\bot OB \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow AC\bot(OBC), mà OH \subset(OBC). Suy ra AC \bot OH (1).

    Mặt khác ta có OH\bot BC (2), .

    Từ (1) và (2) suy ra OH\bot(ABC) \Rightarrow OH\bot AB và OH\bot HA.

    Với OH\bot AB suy ra H thuộc mặt phẳng (P) với (P) là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng AB.

    Phương trình của (P) là: y - z = 0.

    Với OH\bot HA \Rightarrow \Delta OHA vuông tại H.

    Do đó H thuộc mặt cầu (S) có tâm I\left( 0\ ;\ 2\sqrt{2}\ ;\ 0 ight) là trung điểm của OA và bán kính R = \frac{OA}{2} = 2\sqrt{2}.

    Do đó điểm H luôn thuộc đường tròn (T) cố định là giao tuyến của mp (P) với mặt cầu (S).

    Giả sử (T) có tâm K và bán kính r thì IK = d\left( I,(P) ight) = 2 và r = \sqrt{R^{2} - IK^{2}} = 2.

    Vậy điểm H luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng 2.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
18 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Xem thêm