Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 6 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính diện tích thiết diện

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, \widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA} = \alpha. Gọi (\beta) là mặt phẳng đi qua A và các trung điểm của SB,SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (\beta).

    Hướng dẫn:

    Hinh vẽ minh họa

    Gọi B',C' lần lượt là trung điểm của SB,SC. Thiết diện là tam giác AB'C'.

    Theo bài tập 5 thì S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{AB'^{2}AC'^{2} - \left( \overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{AC'} \right)^{2}}

    Ta có \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{SB'} - \overrightarrow{SA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA}

    \Rightarrow AB'^{2} = \frac{1}{4}SB^{2} + SA^{2} - \overrightarrow{SA}\overrightarrow{SB}

    = \frac{a^{2}}{4}(5 - 4cos\alpha).

    Tính tương tự, ta có

    \overrightarrow{AB'}\overrightarrow{AC'} = \frac{a^{2}}{4}(4 - 3cos\alpha).

    Vậy S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^{4}}{16}(5 - 4cos\alpha)^{2} - \frac{a^{4}}{16}(4 - 3cos\alpha)^{2}}

    = \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tìm câu sai

    Cho \overrightarrow{a} = 3,^{}\overrightarrow{b} = 5 góc giữa hai vecto bằng 120{^\circ}. Tìm câu sai dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2} = \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} + 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}

    = \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} + 2\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} ight)

    = 9 + 25 + 2.3.5\left( - \frac{1}{2} ight) = 19 \Rightarrow \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{19}

    \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)^{2} = \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} - 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}

    = \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{b} ight|^{2} - 2\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} ight)

    = 9 + 25 - 2.3.5\left( - \frac{1}{2} ight) = 49 \Rightarrow \left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{49} = 7

    \left| \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + 4\left| \overrightarrow{b} ight|^{2} - 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}

    = \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + 4\left| \overrightarrow{b} ight|^{2} - 4\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} ight)

    = 9 + 4.25 - 4.3.5\left( - \frac{1}{2} ight) = 139 \Rightarrow \left| \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight| = \sqrt{139}

    \left| \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + 4\left| \overrightarrow{b} ight|^{2} + 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}

    = \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} + 4\left| \overrightarrow{b} ight|^{2} + 4\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} ight)

    = 9 + 4.25 + 4.3.5\left( - \frac{1}{2} ight) = 79 \Rightarrow \left| \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} ight| = \sqrt{79}

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm giá trị của k

    Gọi M,\ N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: \overrightarrow{PI} = k\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} \right).

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = 2\overrightarrow{PM}, \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PD} = 2\overrightarrow{PN}

    nên \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}\overrightarrow{+ PC} + \overrightarrow{PD} = 2\overrightarrow{PM} + 2\overrightarrow{PN}

    = 2(\overrightarrow{PM} + \overrightarrow{PN}) = 2.2.\overrightarrow{PI} = 4\overrightarrow{PI}

    Vậy k = \frac{1}{4}

  • Câu 4: Vận dụng
    Xác định góc giữa cặp vectơ

    Cho tứ diệnABCD có AB = AC = AD và \widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0},\ \widehat{CAD} = 90^{0}. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{IJ}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giácICD có J là trung điểm đoạn CD.

    Ta có: \overrightarrow{I J} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)

    Vì tam giác ABC có AB = AC và \widehat{BAC} = 60{^\circ}

    Nên tam giác ABC đều. Suy ra: CI\bot AB

    Tương tự ta có tam giác ABD đều nên DI\bot AB.

    Xét \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB}= \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}.

    Suy ra \overrightarrow{I J}\bot\overrightarrow{AB}. Hay góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{IJ} bằng 90^{0}.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Chọn khẳng định đúng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E,F là các điểm thỏa nãm \overrightarrow{EA} = k\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FD} = k\overrightarrow{FC} còn P,Q,R là các điểm xác định bởi \overrightarrow{PA} = l\overrightarrow{PD},\overrightarrow{QE} = l\overrightarrow{QF},\overrightarrow{RB} = l\overrightarrow{RC}. Chứng minh ba điểm P,Q,R thẳng hàng. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EQ}\ \ (1)

    \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{FQ}\ \ (2)

    Từ (2) ta có l\overrightarrow{PQ} = l\overrightarrow{PD} + l\overrightarrow{DF} + l\overrightarrow{FQ}\ \ \ \ (3)

    Lấy (1) - (3) theo vế ta có

    (1 - l)\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AE} - l\overrightarrow{DF}

    \Rightarrow \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{1 - l}\overrightarrow{AE} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{DF}

    Tương tự \overrightarrow{QR} = \frac{1}{1 - l}\overrightarrow{EB} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{FC}

    Mặt khác \overrightarrow{EA} = k\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FD} = k\overrightarrow{FC} nên

    \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{1 -l}\overrightarrow{AE} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{DF}= \frac{-k}{1 - l}\overrightarrow{EB} - \frac{kl}{1 - l}\overrightarrow{FC} = -k\overrightarrow{QR}

    Vậy P,Q,R thẳng hàng.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tìm câu sai

    Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Xác định câu sai trong các câu dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC,BCD,CDA,ABD là các tam giác đều.

    Đáp án \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}.

    Đúng vì \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}.

    Đáp án \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - \frac{a^{2}}{2}.

    Đúng vì \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}= - a.a.\cos60^{0} = \frac{- a^{2}}{2}.

    Đáp án \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}.

    Sai vì \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} =a.a.\cos60^{0} = \frac{a^{2}}{2}; \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD} = - \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD} = - a.a.\cos60^{0} = - \frac{a^{2}}{2}

    Đáp án AB\bot CD hay \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0.

    Đúng vì \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0.

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho tam giác ABC vuông tại A và có hai đỉnh B;C nằm trên mặt phẳng (P). Gọi A' là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên (P). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì

    \overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A}.\overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C}

    = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} ight)

    = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'A} = - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA'} < 0 suy ra góc \widehat{BA'C} là góc tù.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Gọi M là trung điểm của AD. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD} ight)

    = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}A_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)

    = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}B_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)

    = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Theo định luật II Newton: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: \overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}, trong đó \overrightarrow{a} là vectơ gia tốc \left( m/s^{2} \right), \overrightarrow{F} là vectơ lực (N)tác dụng lên vật, m(kg) là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5\ kg một gia tốc 20\ \ m/s^{2} thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

    A football ball on a fieldDescription automatically generated

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a} \Rightarrow \left| \overrightarrow{F} \right| = m\left| \overrightarrow{a} \right| = 0,5.20 = 10(N).

    Vậy muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5\ kg một gia tốc 20\ \ m/s^{2} thì cần một lực đá có độ lớn là 10(N).

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a và các góc \widehat{B'A'D'} = 60^{0},\widehat{B'A'A} = \widehat{D'A'A} = 120^{0}. Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A'D; AC' với B'D.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đặt \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{A'D'} = \overrightarrow{c}

    Ta có \overrightarrow{A'D} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} nên

    \cos\left( \widehat{AB,A'D} \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'D} \right) \right|

    = \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'D} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|\left| \overrightarrow{A'D} \right|} = \frac{\left| \overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right|}.

    Để ý rằng \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right| = a, \overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) = \frac{a^{2}}{2}.

    Từ đó \cos\left( \widehat{AB,A'D} \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{(AB,A'D)} = 60^{0}

    Ta có \overrightarrow{AC'} = \overline{b} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a},\overrightarrow{B'D} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}, từ đó tính được:

    \overrightarrow{AC'}\overrightarrow{B'D} =\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}\right)\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right) = 0\Rightarrow \widehat{(AC',B'D)} =90^{0}.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tính tỉ số hai cạnh

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định vị trí các điểm M,N lần lượt trên AC và DC' sao cho MN//BD'. Tính tỉ số \frac{MN}{BD'} bằng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{c}.

    Giả sử \overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DN} = y\overrightarrow{DC'}.

    Dễ dàng có các biểu diễn \overrightarrow{BM} = (1 - x)\overrightarrow{a} + x\overrightarrow{b} và \overrightarrow{BN} = (1 - y)\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}.

    Từ đó suy ra \overrightarrow{MN} = (x - y)\overrightarrow{a} + (1 - x)\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}\ \ (1)

    Để MN//BD' thì \overrightarrow{MN} = z\overrightarrow{BD'} = z\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) ta có: (x - y)\overrightarrow{a} + (1 - x)\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}\ \ = z\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)

    \Leftrightarrow (x - y - z)\overrightarrow{a} + (1 - x - z)\overrightarrow{b} + (y - z)\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - y - z = 0 \\ 1 - x - z = 0 \\ y - z = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{2}{3} \\ y = \frac{1}{3} \\ z = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right..

    Vậy các điểm M,N được xác định bởi \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DC'}.

    Ta cũng có \overrightarrow{MN} = z\overrightarrow{BD'} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD'} \Rightarrow \frac{MN}{BD'} = \frac{1}{3}.

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Cho hình chóp S.ABC có SA = a,SB = b,SC = c. Một mặt phẳng (\alpha) luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC, cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C'. Tìm giá trị nhỏ nhất của \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}.

    Hướng dẫn:

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có 3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}

    = \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'}.

    Mà G,A',B',C' đồng phẳng nên \frac{SA}{SA'} +\frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3\Leftrightarrow\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} =3

    Theo BĐT Cauchy schwarz:

    Ta có \left( \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \right)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq \left( \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} \right)^{2}

    \Leftrightarrow \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \geq \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

    Đẳng thức xảy ra khi

    \frac{1}{aSA'} = \frac{1}{bSB'} = \frac{1}{cSC'} kết hợp với \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} = 3 ta được;

    SA' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3a},SB' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3b},SC' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3c}.

    Vậy GTNN của \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} là \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Cho tứ diện ABCD, M là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng AM,BM,CM,DM cắt các mặt (BCD),(CDA),(DAB),(ABC) lần lượt tại A',B',C',D'. Mặt phẳng (\alpha) đi qua M và song song với (BCD) lần lượt cắt A'B',A'C',A'D' tại các điểm B_{1},C_{1},D_{1}.Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh M là trọng tâm của tam giác B_{1}C_{1}D_{1}.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì M nằm trong tứ diện ABCD nên

    tồn tại x,y,z,t > 0 sao cho x\overrightarrow{MA} + y\overrightarrow{MB} + z\overrightarrow{MC} + t\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}\ \ \ (1)

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (BCD).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} (\alpha)//(BCD) \\ (BB'A') \cap (\alpha) = MB_{1} \\ (BB'A') \cap (BCD) = BA' \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow MB_{1}//BA'.

    Do đó \frac{MB_{1}}{BA'} = \frac{MB'}{BB'} \Rightarrow \overrightarrow{MB_{1}} = \frac{MB'}{BB'}\overrightarrow{BA'}\ \ \ (2)

    Trong (1), chiếu các vec tơ lên đường thẳng BB' theo phương (ACD) ta được:

    x\overrightarrow{MB'} + y\overrightarrow{MB} + z\overrightarrow{MB'} + t\overrightarrow{MB'} = \overrightarrow{0} \Rightarrow (x + y + z)\overrightarrow{MB'} + y\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}

    \Rightarrow (x + y + z +t)\overrightarrow{MB'} = y\overrightarrow{BB'}\Rightarrow\frac{MB'}{BB'} = \frac{y}{x + y + z + t}

    Từ (2) suy ra \overrightarrow{MB_{1}} = \frac{y}{x + y + z + t}\overrightarrow{BA'}\ \ \ (3)

    Tương tự ta có \overrightarrow{MC_{1}} = \frac{z}{x + y + z + t}\overrightarrow{CA'}\ \ (4)

    \overrightarrow{MD_{1}} = \frac{z}{x + y + z + t}\overrightarrow{DA'}\ \ (5)

    Mặt khác chiếu các vec tơ trong (1) lên mặt phẳng (BCD) theo phương AA' tì thu được y\overrightarrow{A'B} + z\overrightarrow{A'C} + t\overrightarrow{A'D} = \overrightarrow{0}.

    Vậy từ (3),(4),(5) ta có \overrightarrow{MB_{1}} + \overrightarrow{MC_{1}}+ \overrightarrow{MD_{1}}= \frac{1}{x + y + z + t}\left(y\overrightarrow{BA'} + z\overrightarrow{CA'} +t\overrightarrow{DA'} \right) = \overrightarrow{0}, hay M là trọng tâm của tam giác B_{1}C_{1}D_{1}.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính tỉ số hai cạnh

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một đường thẳng \Delta cắt các đường thẳng AA',BC,C'D' lần lượt tại M,N,P sao cho \overrightarrow{NM} = 2\overrightarrow{NP}. Tính \frac{MA}{MA'}.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đặt \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}.

    Vì M \in AA' nên \overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AA'} = k\overrightarrow{c}

    N \in BC \Rightarrow \overrightarrow{BN} = l\overrightarrow{BC} = l\overrightarrow{a}, P \in C'D' \Rightarrow \overrightarrow{C'P} = m\overrightarrow{b}

    Ta có \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = - l\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c}

    \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{C'P} = (1 - l)\overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

    Do \overrightarrow{NM} = 2\overrightarrow{NP} \Rightarrow - l\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c} = 2\lbrack(1 - l)\overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\rbrack

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - l = 2(1 - l) \\ - 1 = 2m \\ k = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow k = 2,m = - \frac{1}{2},l = 2.

    Vậy \frac{MA}{MA'} = 2.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Chọn đẳng thức đúng

    Cho tứ diện ABCD. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{c}, gọi G là trọng tâm của tam giácBCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm BC.

    \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG}

    = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight)

    \ \ \ \ \ \ \ \ = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)

    = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\left( - 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight) = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight).

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T

    Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}?

    Hướng dẫn:

    Đặt \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}. Khi đó \overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} với x;y;z là ba số có tổng bằng 1.

    Ta có:

    \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}

    \Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} = (x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} + z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}

    \Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x - 1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} + z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}

    Tương tự ta được

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight)

    - \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3

    Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} + 1 \geq 1 + 1 = 2

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

    Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.

  • Câu 17: Vận dụng
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;N;P;Q;R;S;G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN.

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}. Đúng||Sai

    c) 2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}. Sai||Đúng

    d) \left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight| nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;N;P;Q;R;S;G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN.

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}. Đúng||Sai

    c) 2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}. Sai||Đúng

    d) \left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight| nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Đúng: \left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{MR} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\overrightarrow{SN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{MR} =\overrightarrow{SN}.

    b) Đúng: Vi M là trung điểm của AB nên \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}

    Vì N là trung điểm của CD nên \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}

    Vì G là trung điểm của MN nên \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}

    Do đó: \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}

    c) Sai: \overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}

    d) Đúng

    Ta có: \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{IG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 4\overrightarrow{IG}.

    \Rightarrow |\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| = |4\overrightarrow{IG}| = 4IG.

    Do đó: |\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| nhỏ nhất khi IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G 

  • Câu 18: Thông hiểu
    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}.

    Với mọi điểm O bất kì khác A, B, C, D, ta có:

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Phân tích vectơ

    Cho hình hộp ABCD.EFGH có \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{b};\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{c}. Gọi I là trung điểm của đoạn BG. Biểu thị \overrightarrow{AI} theo ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BG}

    = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{BC} ight) = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight|?

    Hướng dẫn:

    Vì các vectơ \frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{AC}}{AC};\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên

    \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight)^{2} = 3 \Leftrightarrow T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight| = \sqrt{3}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
28 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này