Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường thẳng trong không gian CTST (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{2 - z}{1}. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q):2x - y - 2z - 2 = 0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A(1;2;3) cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng:

    Hướng dẫn:

    Giả sử (P) \cap (Q) = \Delta, trong mặt phẳng (P) thì d \cap \Delta = M.

    Trên d lấy điểm B và hạ BH,BK vuông góc với (Q) và \Delta. Khi đó \widehat{BKH} = \varphi là góc giữa (P) và (Q).

    Ta có \sin\varphi = \frac{BH}{BK} \geq \frac{BH}{BM} , dấu bằng có khi K \equiv M.

    Khi đó \Delta\bot d nên \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{n_{Q}} \right\rbrack.

    Tính được \overrightarrow{u_{\Delta}} = (3;0;3) hoặc chọn \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;0;1).

    Suy ra \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right\rbrack = (1;1; - 1) do đó phương trình (P):x + y - z + 3 = 0.

    Vậy d\left( A,(P) \right) = \sqrt{3}.

  • Câu 2: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn đường thẳng \left( d_{1} ight):\frac{x - 3}{1} = \frac{y +1}{- 2} = \frac{z + 1}{1},\left( d_{2} ight):\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{3} ight):\frac{x - 1}{2} = \frac{y +1}{1} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{4} ight):\frac{x}{1} = \frac{y -1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

    Hướng dẫn:

    Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).

    Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.

    Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).

    (∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).

    Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;2),B(3; - 4; - 2) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \end{matrix} \right.. Điểm I(a,b,c) thuộc d thỏa mãn IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T = a + b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Tâm tỉ cự.

    Ghi x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(4x - 6y - 8z)^{2}}{116} CALC nhập - 1 = - 1 = 3 = \ = có {d_{a}}^{2} = \frac{198}{29}. CALC nhập 1 = - 4 = - 1 = \ = có {d_{b}}^{2} = \frac{198}{29}.

    Gọi K là trung điểm AB, tọa độ K(2;\frac{- 5}{2};0).

    Sửa thành \frac{(4x - 6y - 8z)}{116} CALC nhập 0 = - 5/2 = 1 = \ = STO M (ở đây t = \frac{7}{116}).

    I là hình chiếu của K trên d, ghi 2 + 4M + ( - 6M) + ( - 1 - 8M) bấm = có T = \frac{23}{58}.

    Cách 2. Vị trí tương đối.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)//\overrightarrow{u_{d}}.

    Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB cắt d tại I, phương trình là: 2x - 3y - 4z = \frac{23}{2}. Ghi 2(2 + 4x) - 3( - 6x) - 4( - 1 - 8x) = \frac{23}{2}

    SHIFT SOLVE và sửa thành (2 + 4x) + ( - 6x) + ( - 1 - 8x) bấm = ta có \frac{23}{58}.

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 2;1;0), B(4;4; - 3), C(2;3; - 2) và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}. Gọi (\alpha) là mặt phẳng chứa (d) sao cho A, B, Cở cùng phía đối với mặt phẳng (\alpha). Gọi d_{1}, d_{2}, d_{3}lần lượt là khoảng cách từ A, B, C đến (\alpha). Tìm giá trị lớn nhất của T = d_{1} + 2d_{2} + 3d_{3}.

    Hướng dẫn:

    Gọi mp(\alpha):a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0, trong đó \overrightarrow{n_{\alpha}}.\overrightarrow{u_{d}} = 0 \Rightarrow a = 2b + c (1).

    Ta có d_{1} + 2d_{2} + 3d_{3} = \frac{| - 3a - c| + 2|3a + 3b - 4c| + 3|a + 2b - 3c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}, vì A, B, C cùng phía với (\alpha) nên T = \frac{|6a + 12b - 18c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} (2).

    Thay (1) vào (2), ta có: T = \frac{12|2b - c|}{\sqrt{(2b + c)^{2} + b^{2} + c^{2}}}

    T = 12\sqrt{\frac{4b^{2} - 4bc + c^{2}}{5b^{2} + 4bc + 2c^{2}}} \Rightarrow \max T = 12\sqrt{\frac{7}{2}} = 6\sqrt{14} \Leftrightarrow \frac{b}{c} = - \frac{2}{3}.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tính bán kính mặt cầu

    Cho hai điểm A,B cố định trong không gian có độ dài AB là 4. Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA = 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi I là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} = 9\overrightarrow{IB}

    \Leftrightarrow 9\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0} \Rightarrow IB = \frac{1}{8}AB = \frac{1}{2},IA = \frac{9}{2}

    Từ MA = 3MB ta có:

    MI^{2} + IA^{2} + 2.\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA} = 9\left( MI^{2} + IB^{2} + 2.\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB} \right).

    8MI^{2} = IA^{2} - 9IB^{2} \Rightarrow MI^{2} = \frac{9}{4} \Rightarrow MI = \frac{3}{2}.

    Vậy bán kính mặt cầu bằng \frac{3}{2}.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;4;5), B(3;4;0), C(2; - 1;0) và mặt phẳng (P):3x - 3y - 2z - 12 = 0. Gọi M(a;b;c) thuộc (P) sao cho MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Giả sử I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = (1 - x;4 - y;5 - z) \\ \overrightarrow{IB} = (3 - x;4 - y; - z) \\ \overrightarrow{IC} = (2 - x; - 1 - y; - z) \\ \end{matrix} \right.

    \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = (10 - 5x;5 - 5y;5 - 5z);

    \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(2;1;1);

    MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2} = {\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2} + 3{\overrightarrow{MC}}^{2}

    = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right)^{2} + 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} \right)^{2}

    = 5MI^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} \right) + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    = 5MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} (vì \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0})

    Vì I cố định nên MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

    Gọi \Delta là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)

    Phương trình đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 3t \\ y = 1 - 3t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} \right..

    Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}x = 2 + 3t \\y = 1 - 3t \\z = 1 - 2t \\3x - 3y - 2z - 12 = 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = \dfrac{1}{2} \\x = \dfrac{7}{2} \\y = - \dfrac{1}{2} \\x = 0 \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow M\left( \frac{7}{2}; - \frac{1}{2};0 \right) \Rightarrow a + b + c = 3

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 1), đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình \frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5};\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}. Biết B (a; b; c), khi đó a + b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử đường cao là CH:\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1} ta có vectơ chỉ phương của CH là \overrightarrow {u} = (2; 5; −1).

    B thuộc đường trung tuyến BM:\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5} nên B(8 + 10t; −7 − 9t; 5 + 5 t).

    Suy ra \overrightarrow{AB} = (7 + 10t; - 8 - 9t;4 + 5t)

    Vì CH ⊥ AB nên \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} = 0⇔ −30t−30 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ B(−2; 2; 0).

    Vậy a + b + c = 0.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    Cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - t \\ y = 2t - 1 \\ z = t + 2 \\ \end{matrix} \right. và mặt phẳng (\alpha):2x - y - 2z - 2 = 0. Mặt phẳng (P) qua d và tạo với (\alpha) một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:

    Hướng dẫn:

    Gọi \Delta = (\alpha) \cap (P);A = d \cap (\alpha);B \in d(B \neq A); H là hình chiếu vuông góc của B lên (\alpha); K là hình chiếu của H lên \Delta.

    Suy ra: \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) = \widehat{BAH} cố định; \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right) = \widehat{BKH}.

    Mà \widehat{BKH} \geq \widehat{BAH} (vì HK \leq HA) \Rightarrow \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) \leq \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right).

    Suy ra \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right) nhỏ nhất bằng \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) khi K \equiv A.

    Khi đó \Delta\bot d và có một VTCP \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack = - 3(1;0;1).

    (P) có một VTPT \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = 2( - 1;1;1).

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(2; - 4; - 1) tới đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} \right.bằng

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng \Delta đi qua N(0;2;3), có véc tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 1;2)

    \overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4);\ \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} \right\rbrack = (16;8; - 4).

    d(M,\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{14}.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Xác định số đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \left( d_{1} \right):\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1}, \left( d_{2} \right):\frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{3} \right):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{4} \right):\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả đường thẳng trên là

    Hướng dẫn:

    \left( d_{1} \right) đi qua điểm M_{1}(3; - 1; - 1) và có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;1).

    \left( d_{2} \right) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1).

    \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 3;1;2).

    Vì \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} và \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) \neq \overrightarrow{0} nên \left( d_{1} \right) song song với \left( d_{2} \right).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \left( d_{1} \right) và \left( d_{2} \right).

    (P) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) hay \overrightarrow{n} = (1;1;1) có phương trình 1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0.

    Gọi A = \left( d_{3} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + t \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 1 \\ z = 1 \\ t = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(1; - 1;1).

    Gọi B = \left( d_{4} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t' \\ y = 1 - t' \\ z = - t' \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ t' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(0;1;0).

    Vì \overrightarrow{BA} = (1; - 2;1) cùng phương với \overrightarrow{u_{1}} nên (d) không thỏa mãn.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tìm Vecto chỉ phương

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân

    giác trong góc A là \frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}.  Biết rằng điểm M(0; 5; 3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0)thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Hướng dẫn:

    Giả sử , A(t; 6-4t; 6-3t), ta có:

    \vec{u_d}=(1; -4; -3),

    \vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)

    \vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }

    Từ đây ta bình phương 2 vế được:

    (4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)

    \Leftrightarrow 14t=14

    \Leftrightarrow t=1

    \Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC  là  \vec{u}(0;1;3).

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 1 = 0 và hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 3} = \frac{z}{2};d_{2}:\frac{x - 5}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z + 5}{- 5} . Biết rằng có 2 điểm M_{1};M_{2} trên d_{1} và hai điểm N_1;N_2 trên d_{2} sao cho M_{1}N_{1};N_{1}N_{2} song song mặt phẳng (P) đồng thời cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2. Tính d = M_{1}N_{1} + N_{1}N_{2}.

    Hướng dẫn:

    Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) sao cho khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng .

    Suy ra (Q) có phương trình dạng x - 2y + 2z + m = 0;(m \neq - 1) và (Q) chứa  M_{1}N_{1}  hoặc  N_{1}N_{2} .

    Theo giả thiết khoảng cách từ mp (Q) đến (P) bằng 2 nên ta có

    \frac{|m + 1|}{3} = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 5 \\ m = - 7 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy có 2 mặt phẳng song song và cách (P) một khoảng bằng 2 là:

    \left( Q_{1} \right):x - 2y + 2z + 5 = 0 và \left( Q_{2} \right):x - 2y + 2z - 7 = 0.

    + Theo giả thiết M_{1} = d_{1} \cap \left( Q_{1} \right),N_{1} = d_{2} \cap \left( Q_{1} \right) suy ra M_{1}(1; - 3; - 5),N_{1}(4; - 3; - 5) \Rightarrow M_{1}N_{1} = 5\sqrt{2}

    M_{2} = d_{1} \cap \left( Q_{2} \right),N_{2} = d_{2} \cap \left( Q_{2} \right) suy ra M_{2}(3;0;2),N_{2}( - 1; - 4;0) \Rightarrow M_{2}N_{2} = 6

    Vậy d = 6 + 5\sqrt{2}.

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1)và đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} \right.. Trong tất cả các đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt đường thẳng (d);\left( d_{1} \right) là đường thẳng mà khoảng cách đến A là lớn nhất, \left( d_{2} \right) là đường thẳng mà khoảng cách đến A là nhỏ nhất. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng \left( d_{1} \right);\left( d_{2} \right)?

    Hướng dẫn:

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d)và đi qua O : (P):x - 2y - z = 0

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P)

    \Rightarrow H\left( \frac{4}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3} \right) \Rightarrow \overrightarrow{OH} = \frac{1}{3}(4;1;2) = \frac{1}{2}\overrightarrow{u_{1}}

    \left( d_{2} \right)là đường thẳng qua O và H. Suy ra \left( d_{2} \right) có một VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (4;1;2):

    Gọi B là giao điểm của (d)và \left( d_{2} \right)

    \Rightarrow B(1 + t; - 1 + t;3 - t)

    \Rightarrow \overrightarrow{OB} = (1 + t; - 1 + t;3 - t)

    Khoảng cách từ Ađến \left( d_{2} \right) lớn nhất khi

    OA\bot\left( d_{2} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 0 \Leftrightarrow t = - 3 \Leftrightarrow \overrightarrow{OB} = ( - 2; - 4;6)

    => d2 có một VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)

    Ta có\cos\left( d_{1};d_{2} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} = 0.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Phương trình đường trung tuyến

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight).

    Viết phương trình tham số của trung tuyến AM ?

    Hướng dẫn:

     Vì AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC. Gọi M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} ight)

    Từ tọa độ của B và C, ta tính được tọa độ của M là nghiệm của hệ:

    \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{2 + 3}}{2}\\{y_M} = \frac{{ - 1 - 2}}{2}\\{z_M} = \frac{{4 + 5}}{2}\end{array} ight.\\ \Rightarrow M\left( {\frac{5}{2}, - \frac{3}{2},\frac{9}{2}} ight)\end{array}

    Ta có 1 vecto chỉ phương của (AM) là \overrightarrow {AM} = \left( {\frac{3}{2}, - \frac{7}{2},\frac{{15}}{2}} ight) = \frac{1}{2}\left( {3, - 7,15} ight)

    (AM) là đường thẳng đi qua A (1,2,-3) và nhận vecto (3,-7,15) làm 1 VTCP có phương trình là:

    \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - 7t\\z = 15t - 3\end{array} ight.\\(t \in R)\end{array}  

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính diện tích tam giác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng (\alpha):x - z - 3 = 0 và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, gọi B là hình chiếu của A lên (\alpha). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi A (0; 0; a).

    Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} ight.

    B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = 0 \\z = a - t \\x - z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{a + 3}{2} \\y = 0 \\z = \dfrac{a - 3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Suy ra B\left( \frac{a + 3}{2};0;\frac{a - 3}{2} ight)

    Tam giác MAB cân tại M nên MA = MB

    \Leftrightarrow 1 + 1 + (1 - a)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} ight)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} ight)^{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Nếu a = 3 thì tọa độ A (0; 0; 3), B (3; 0; 0). Diện tích tam giác MAB là S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.

    Vậy diện tích của tam giác MAB bằng: \frac{3\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 16: Vận dụng
    Xác định tọa độ điểm H

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−1; 0; 1), B(1; 1; −1); C(5; 0; −2). Tìm tọa độ điểm H sao cho tứ giác ABCH lập thành hình thang cân với hai đáy AB, CH.

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2;1; - 2);M\left( 0;\frac{1}{2};0 ight) là trung điểm AB.

    Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của AB \Rightarrow (\alpha):2x + y - 2z - \frac{1}{2} = 0

    Gọi d là đường thẳng qua C và song song AB \Rightarrow d:\left\{ \begin{matrix} x = 5 + 2t \\ y = t \\ z = - 2 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Gọi I là hình chiếu của C lên (α).

    Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}x = 5 + 2t \\y = t \\z = - 2 - 2t \\2x + y - 2z - \dfrac{1}{2} = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - \dfrac{3}{2} \\z = 1 \\t = - \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I\left( 2; - \dfrac{3}{2};1ight)

    Do ABCH là hình thang cân nên H và C đối xứng nhau qua mp(α).

    ⇒ I là trung điểm CH

    ⇒ H(−1; −3; 4).

  • Câu 17: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; 1), B (0; 3; −1). Điểm M nằm trên mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 4 = 0 sao cho MA + MB nhỏ nhất là:

    Hướng dẫn:

    Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 4 = 0 ta được: (2.2 + 1 + 1 − 4) (2.0 + 3 − 1 − 4) = −4 < 0

    Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).

    Vậy MA + MB ≥ AB dấu “ = ” xảy ra khi M = AB ∩ (P).

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2) chọn vtcp của đường thẳng AB: \overrightarrow{u} = (1; - 1;1).

    Vậy phương trình đường thẳng AB: \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Tọa độ (x; y; z) của M là nghiệm hệ:

    \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2x + y + z - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2(2 + t) + (1 - t) + (1 + t) - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(1;2;0)

  • Câu 18: Thông hiểu
    Viết phương trình tham số của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x - 3y + z = 0 và (\beta):x + y - z + 4 = 0 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    Cách 1:

    Đặt y = t, ta có \left\{ \begin{matrix} x + z = 3t \\ x - z = - 4 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ z = 2 + 2t \\ \end{matrix} ight.

    Vậy phương trình tham số của d là \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = t \\ z = 2 + 2t \\ \end{matrix} ight.

    Cách 2:

    Tìm một điểm thuộc d, bằng cách cho y = 0

    Ta có hệ \left\{ \begin{matrix} x + z = 0 \\ x - z = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M( - 2;0;2) \in d

    (\alpha) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{\alpha}} = (1; - 3;1)

    (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{\beta}} = (1;1; - 1)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } ight] = \left( {2;2;4} ight)

    d đi qua điểm M(-2;0;2) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow {{a_d}}

    Vậy phương trình tham số của d là  \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = t \\ z = 2 + 2t \\ \end{matrix} ight. 

  • Câu 19: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn biểu thức

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; - 1) và mặt phẳng (P):x + y - 2z - 3 = 0. Tìm điểm M \in (P) sao cho |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| dạt giá trị nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Gọi I là điểm sao cho \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = 0 \Rightarrow I(0;0;0).

    Từ đó:

    |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| = |4\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC})| = 4IM \geq 4IH

    với H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

    Từ đó suy ra |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M \equiv H.

    Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là: \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight..

    Tọa độ diểm H là nghiệm (x;y;z) của hệ

    \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = t \\z = - 2t \\x + y - 2z - 3 = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{1}{2} \\y = \dfrac{1}{2} \\z = - 1 \\t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra H = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight).

    Vậy, tọa độ điểm M cần tìm là M = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight).

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;2),B(3; - 4; - 2) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Điểm I(a;b;c) thuộc d là điểm thỏa mãn IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T = a + b + c bằng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)

    A = (1; - 1;2),B = (3; - 4; - 2) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4) cùng phương với \overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)

    Mà A(1; - 1;2) otin d \Rightarrow \overrightarrow{AB}//d \Rightarrow A,B,d đồng phẳng.

    Xét mặt phẳng chứa AB và d. Gọi A^{'} là điểm đối xứng của A qua d_{1}

    (\alpha) là mặt phẳng qua A, vuông góc với d.

    Khi đó, giao điểm H của d với (\alpha) là trung điểm của AA^{'}.

    (\alpha) có 1 vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2; - 3; - 4) đi qua A(1; - 1;2) có phương trình:

    2(x - 1) - 3(y + 1) - 4(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow 2x - 3y - 4z + 3 = 0

    H \in d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} \Rightarrow ight. Giả sử H(2 + 4t; - 6t; - 1 - 8t).

    H \in (\alpha) \Rightarrow 2(2 + 4t) - 3( - 6t) - 4( - 1 - 8t) + 3 = 0

    \Leftrightarrow 58t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{11}{58} \Rightarrow H\left( \frac{36}{29};\frac{33}{29};\frac{15}{29} ight)

    Ta có IA + IB = IA^{'} + IB^{'} \geq A^{'}B \Rightarrow min(IA + IB) = A^{'}B khi và chỉ khi I trùng với I_{0} là giao điểm của A^{'}B và d.

    \Rightarrow \overrightarrow{HI_{0}} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} - \dfrac{36}{29} = \dfrac{1}{2}.2 \\y_{I_{0}} - \dfrac{33}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 3) \\z_{I_{0}} - \dfrac{15}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 4) \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} = \dfrac{65}{29} \\y_{I_{0}} = - \dfrac{21}{58} \\z_{I_{0}} = - \dfrac{43}{29} \\\end{matrix} ight.\ ight.\\Rightarrow I_{0}\left( \dfrac{65}{29}; - \dfrac{21}{58}; - \frac{43}{29}ight)

    \Rightarrow a + b + c = \frac{65}{29} - \frac{21}{58} - \frac{43}{29} = - \frac{21}{58}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
59 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này