Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường thẳng trong không gian CTST (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian Oxyz cho A(1; - 1;2), f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{matrix} \right., C(0;1; - 2). Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T = 12a + 12b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} \right) + 3\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} \right) = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} \right).

    Khi đó S = 6MI^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA}.

    Để S nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất, suy ra M\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};0 \right). Vậy T = - 1.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Khoảng cách nhỏ nhất

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-5=0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

    Hướng dẫn:

     khoảng cách nhỏ nhất

    Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).

    Ta có: (-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B nằm về hai phía với (P).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) \Rightarrow BH cố định và d(B,(Q))=BH.

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay d//(P) .

    Ta có: BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)bé nhất bằng BH  khi K trùng với điểm H.

    Gọi \vec{n} là VTPT của (ABH) \Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)

    Ta có đường thẳng d cần lập qua  A, H và có VTCP là \vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)

    Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: \dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm phương trình đường thẳng thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{1} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 3 \\ \end{matrix} \right.. Phương trình đường thẳng vuông góc với (P):7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d_{1},\ d_{2} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A(2a;1 - a; - 2 + a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B( - 1 + 2b;1 + b;3)

    \overrightarrow{AB} = ( - 2a + 2b - 1;a + b; - a + 5)

    (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (7;1; - 4)

    d\bot(P) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{p}} cùng phương

    \Leftrightarrow có một số k thỏa \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{n_{p}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 1 = 7k \\ a + b = k \\ - a + 5 = - 4k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 7k = 1 \\ a + b - k = 0 \\ - a + 4k = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 2 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    d đi qua điểm A(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{n_{P}} = (7;1 - 4)

    Vậy phương trình của d là \frac{x - 2}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 4}

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức S

    Cho đường thẳng d:\frac{x}{6} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z}{2} và ba điểm A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6). Điểm M(a;b;c) \in d thỏa mãn MA + 2MB + 3MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Gọi M(6t;3t + 1;2t) \in d và ta cần tính S = 11t + 1 khi MA + 2MB + 3MC = T đạt giá trị nhỏ nhất.

    T = \sqrt{(6t - 2)^{2} + (3t + 1)^{2} + 4t^{2}} + 2\sqrt{36t^{2} + (3t - 3)^{2} + 4t^{2}}

    + 3\sqrt{36t^{2} + (3t + 1)^{2} + (2t - 6)^{2}}

    T = \sqrt{49t^{2} - 18t + 5} + 2\sqrt{49t^{2} - 18t + 9} + 3\sqrt{49t^{2} - 18t + 37}.

    Dễ thấy các Parabol đồng thời đạt nhỏ nhất tại t = \frac{9}{49} và T_{\min} = \frac{2\sqrt{41} + 12\sqrt{10} + 6\sqrt{433}}{7}. Khi đó \mathbf{S =}\frac{\mathbf{148}}{\mathbf{49}}\mathbf{.}

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kính r = 2. Xét đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - mt \\ z = (m - 1)t \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right), m là tham số thực. Giả sử (P),(Q) là mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với (S) lần lượt tại M,N. Khi đó đoạn MN ngắn nhất, hãy tính khoảng cách từ điểm B(1;0;4) đến đường thẳng d.

    Hướng dẫn:

    Ta có d nằm trong mặt phẳng (\alpha):x + y + z - 1 = 0 cố định. Gọi H là trung điểm của MN, K là hình chiếu của tâm I(1;2;3) trên d.

    Ta có r^{2} = IK.IH = IK.\sqrt{r^{2} - MH^{2}} \Leftrightarrow MH = r\sqrt{1 - \left( \frac{r}{IK} \right)^{2}}, suy ra MN = 2r\sqrt{1 - \left( \frac{r}{IK} \right)^{2}}.

    Để MN nhỏ nhất thì \frac{r}{IK} lớn nhất \Leftrightarrow IK nhỏ nhất \Leftrightarrow IK = IE, trong đó IE là khoảng cách từ I đến (\alpha). Khi đó d đi qua E là hình chiếu của I trên (\alpha).

    Ghi - \frac{x + y + z - 1}{3} CALC (nhập tọa độ I) STO M, bấm M+1 : M +2 : M + 3 = = = ta được tọa độ E\left( \frac{- 2}{3};\frac{1}{3};\frac{4}{3} \right) thay vào d ta có m = \frac{1}{5}. Khi đó chọn \overrightarrow{u_{d}} = (5; - 1; - 4).

    Ghi \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(5x - y - 4z)^{2}}{25 + 1 + 16}} CALC (nhập tọa độ \overrightarrow{M_{0}B}) 0 = 0 = 4 = được \frac{4\sqrt{273}}{21}.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏ nhất diện tích tam giác

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho A (1; 4; 2), B (-1; 2; 4), đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 5 - 4t \\ y = 2 + 2t \\ z = 4 + t \end{matrix} \right. và điểm M thuộc d. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMB?

    Hướng dẫn:

    Phương trình chính tắc của d:\frac{x - 5}{- 4} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 4}{1} (nháp).

    Tính các khoảng cách lần lượt từ A, B đến d, nhập công thức

    \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{( - 4x + 2y + z)^{2}}{16 + 4 + 1}}CALC (thay A vào tử của d) - \ 4 = 2 = - \ 2 = kết quả \frac{2\sqrt{105}}{7} CALC (thay B vào tử của d) - \ 6 = 0 = 0 = kết quả \frac{2\sqrt{105}}{7}.

    Do đó d_{a}\ = d_{b}.

    Đến đây gọi I(0; 3; 3) là trung điểm AB.

    CALC nhập - \ 5 = 1 = - \ 1 = kết quả h = \sqrt{6}. Mặt khác AB = 2\sqrt{3}.

    Suy ra S_{\min} = \frac{1}{2}AB.h = \frac{1}{2}.2\sqrt{3}.\sqrt{6} = 3\sqrt{2}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD biết A(1; 0; 1), B(−3; 0; 1) và điểm D có cao độ âm. Mặt phẳng (ABCD) đi qua gốc tọa độ O. Khi đó đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO} ightbrack = (0; - 4;0) Mặt phẳng (ABCD) đi qua điểm A và nhận \overrightarrow{n} = (0;1;0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình y = 0.

    Giả sử D\left( x_{D},\ y_{D},\ z_{D} ight). Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = 0 \\ \left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AB} ight| \\ D \in (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left( x_{D} - 1 ight)^{2} + {y_{D}}^{2} + \left( z_{D} - 1 ight)^{2} = 16 \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left( z_{D} - 1 ight)^{2} = 16 \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} z_{D} = 5 \\ z_{D} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vì D có cao độ âm nên D(1; 0; −3). Khi đó, tâm I của hình vuông ABCD có tọa độ I(−1; 0; −1).

    Trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đi qua I(−1; 0; −1) và nhận \overrightarrow{n} = (0;1;0) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 8: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;3)và mặt phẳng (\alpha):2x - y - 3z - 1 = 0;

    a. Điểm A không nằm trên mặt phẳng (\alpha). Đúng||Sai

    b. Mặt phẳng (\alpha) có một véc tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 3). Đúng||Sai

    c. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và song song mặt phẳng(\alpha), Phương trình mặt phẳng (P) là: 2x - y - 3z + 7 = 0. Sai||Đúng

    d. Gọi B là điểm tùy ý trên mặt phẳng (P). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (\alpha)là d\left( B,(\alpha) \right) = \frac{10}{\sqrt{14}}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;3)và mặt phẳng (\alpha):2x - y - 3z - 1 = 0;

    a. Điểm A không nằm trên mặt phẳng (\alpha). Đúng||Sai

    b. Mặt phẳng (\alpha) có một véc tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 3). Đúng||Sai

    c. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và song song mặt phẳng(\alpha), Phương trình mặt phẳng (P) là: 2x - y - 3z + 7 = 0. Sai||Đúng

    d. Gọi B là điểm tùy ý trên mặt phẳng (P). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (\alpha)là d\left( B,(\alpha) \right) = \frac{10}{\sqrt{14}}. Đúng||Sai

    a. Đúng

    b. Đúng

    c. Sai

    (P) song song mặt phẳng(\alpha)nên có dạng: 2x - y - 3z + D = 0

    Do A(1;2;3) \in (P) nên: 2.1 - 2 - 3.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = 9.

    d. Đúng

    Ta có: (P) song song mặt phẳng(\alpha)nên

    d\left( B,\ (\alpha) \right) = d\left( A,(\alpha) \right) = \frac{|2.1 - 2 - 3.3 - 1|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 3)^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{14}}.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; - 1;0),B(1;0; - 2),C(3; - 1; - 1). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (0;1; - 2),\overrightarrow{BC} = (2; - 1;1)

    Suy ra \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC} \right\rbrack = ( - 1; - 4; - 2)

    Khi đó d(A;BC) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{BC} \right|} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{14}}{2}

  • Câu 10: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; 1), B (0; 3; −1). Điểm M nằm trên mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 4 = 0 sao cho MA + MB nhỏ nhất là:

    Hướng dẫn:

    Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng (P) : 2x + y + z − 4 = 0 ta được: (2.2 + 1 + 1 − 4) (2.0 + 3 − 1 − 4) = −4 < 0

    Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).

    Vậy MA + MB ≥ AB dấu “ = ” xảy ra khi M = AB ∩ (P).

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2) chọn vtcp của đường thẳng AB: \overrightarrow{u} = (1; - 1;1).

    Vậy phương trình đường thẳng AB: \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Tọa độ (x; y; z) của M là nghiệm hệ:

    \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2x + y + z - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2(2 + t) + (1 - t) + (1 + t) - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(1;2;0)

  • Câu 11: Thông hiểu
    Viết phương trình tham số

    Viết phương trình tham số của đường thẳng \left( d ight):\,\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + z - 4 = 0\\2x + 5y - 3z + 4 = 0\end{array} ight.

    Hướng dẫn:

     Theo đề bài, đường thẳng d là giao của 2 mặt phẳng, ta gọi 2 mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng lần lượt là:\left( P ight):2x - 3y + z - 4 = 0;\,\left( Q ight):2x + 5y - 3z + 4 = 0

    Mp (P) và (Q) có 2 vecto pháp tuyến tương ứng là: \overrightarrow {{n_1}} = \left( {2, - 3,1} ight);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2,5, - 3} ight)

    Từ đây ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng (d) là tích có hướng của 2 VTPT:

    \overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = \left( {4,8,16} ight) \Leftrightarrow \overrightarrow a = 4\left( {1,2,4} ight)

    Cho y = 0, ta có:

    y = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + z = 4\\2x - 3z = - 4\end{array} ight.\, \Leftrightarrow x = 1;z = 2

    Đường thẳng (d) đi qua A( 1, 0, 2) và nhận vecto (1,2,4) làm 1 VTCP có PTTS là:

    A\left( {1,0,2} ight) \in \left( d ight) \Rightarrow \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + 4t\end{array} ight.\,\,;t \in R

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    Cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - t \\ y = 2t - 1 \\ z = t + 2 \\ \end{matrix} \right. và mặt phẳng (\alpha):2x - y - 2z - 2 = 0. Mặt phẳng (P) qua d và tạo với (\alpha) một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:

    Hướng dẫn:

    Gọi \Delta = (\alpha) \cap (P);A = d \cap (\alpha);B \in d(B \neq A); H là hình chiếu vuông góc của B lên (\alpha); K là hình chiếu của H lên \Delta.

    Suy ra: \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) = \widehat{BAH} cố định; \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right) = \widehat{BKH}.

    Mà \widehat{BKH} \geq \widehat{BAH} (vì HK \leq HA) \Rightarrow \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) \leq \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right).

    Suy ra \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right) nhỏ nhất bằng \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) khi K \equiv A.

    Khi đó \Delta\bot d và có một VTCP \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack = - 3(1;0;1).

    (P) có một VTPT \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = 2( - 1;1;1).

  • Câu 13: Vận dụng
    Khoảng cách giữa 2 đường thẳng

    Khoảng cánh giữa hai đường thẳng : {(d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + z + 4 = 0\end{array} ight. và  ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\y + z - 2 = 0\end{array} ight. là:

    Hướng dẫn:

     Chuyển d1 về dạng tham số :({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - y + z + 4 = 0\end{array} ight. \Rightarrow ({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - t\\z = - 4 - 2t\end{array} ight.

    Qua đó, ta có A(0,0, - 4) \in ({d_1}) và 1 vectơ chỉ phương của (d1): \overrightarrow a = (1, - 1, - 2).

    Chuyển (d2) về dạng tham số : ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\y + z - 2 = 0\end{array} ight. \Rightarrow ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = - 5 + 3t\\y = 2 - t\\z = t\end{array} ight.

    Qua đó, ta có B( - 5,2,0) \in ({d_2}) và 1 vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b (3, - 1,1).

    Áp dụng công thức tính Khoảng cách d1 và d2 , ta được:

    d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AB} } ight|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight]} ight|}} = \frac{9}{{\sqrt {62} }}

    .

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1} và d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2}. Gọi \Delta là đường thẳng song song với (P):x + y + z - 7 = 0 và cắt d_{1},\ d_{2} lần lượt tại hai điểm A,B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng \Delta là.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A \in d_{1} \Rightarrow A(1 + 2a;a; - 2 - a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B(1 + b; - 2 + 3b;2 - 2b)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (b - 2a;3b - a - 2; - 2b + a + 4)

    (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1;1;1)

    Vì \Delta//(P) nên \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 1.Khi đó \overrightarrow{AB} = ( - a - 1;2a - 5;6 - a)

    AB = \sqrt{( - a - 1)^{2} + (2a - 5)^{2} + (6 - a)^{2}}

    = \sqrt{6a^{2} - 30a + 62}

    = \sqrt{6\left( a - \frac{5}{2} ight)^{2} + \frac{49}{2}} \geq \frac{7\sqrt{2}}{2};\forall a\mathbb{\in R}

    Dấu " = " xảy ra khi a = \frac{5}{2} \Rightarrow A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} ight),\ \ \overrightarrow{AB} = \left( - \frac{7}{2};0;\frac{7}{2} ight)

    Đường thẳng \Delta đi qua điểm A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} ight) và vec tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;0;1)

    Vậy phương trình của \Deltalà \left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = - \frac{9}{2} + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.. Hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (Oxz) theo phương \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Giao điểm của d và mặt phẳng (Oxz) là: M_{0}(5;0;5).

    Trên d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight. chọn M bất kỳ không trùng với M_{0}(5;0;5); ví dụ: M(1; - 2;3).

    Gọi A là hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (Oxz) theo phương \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} .

    +/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} .

    +/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và (Oxz)

    +/ Ta tìm được A(3;0;1)

    Hình chiếu song song của d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight. lên mặt phẳng (Oxz) theo phương \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} là đường thẳng đi qua M_{0}(5;0;5) và A(3;0;1).

    Vậy phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 0 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tìm điểm thuộc đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ (d), cho đường thẳng

    \left( d_{1} \right):\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 2}, \left( d_{2} \right):\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{- 4}, \left( d_{3} \right):\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \\ \end{matrix} \right., \left( d_{4} \right):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t' \\ y = 2t' \\ z = 1 - t' \\ \end{matrix} \right.. Gọi (d) là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng trên. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng (d)?

    Hướng dẫn:

    \left( d_{1} \right) đi qua điểm M_{1}(1;2;0) và có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (1;2; - 2).

    \left( d_{2} \right) đi qua điểm M_{2}(2;2;0) và có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (2;4; - 4).

    \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (1;0;0).

    Vì \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} và \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = (0; - 2; - 2) \neq \overrightarrow{0} nên \left( d_{1} \right) song song với \left( d_{2} \right).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \left( d_{1} \right) và \left( d_{2} \right).

    (P) đi qua điểm M_{1}(1;2;0) và có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = (0; - 2; - 2) hay \overrightarrow{n} = (0;1;1) có phương trình 0(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow y + z - 2 = 0.

    Gọi A = \left( d_{3} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = t \\ y + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ t = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(1;1;1).

    Gọi B = \left( d_{4} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t' \\ y = 2t' \\ z = 1 - t' \\ y + z - 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t' = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(2;2;0).

    (d) đi qua điểm A(1;1;1) và có VTCP \overrightarrow{AB} = (1;1; - 1) có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right..

    Vì \overrightarrow{AB} không cùng phương với \overrightarrow{u_{1}} nên (d) thỏa mãn.

    Dễ thấy D(4;4; - 2) \in (d).

  • Câu 17: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{- 1}, mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 1)^{2} = 29 và A(1; - 2;1). Đường thẳng \Delta cắt d và (S) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Phương trình đường thẳng \Delta là

    Hướng dẫn:

    M \in d \Rightarrow M(2 + t;1 + 2t;1 - t)

    A là trung điểm MN \Rightarrow N( - t; - 5 - 2t;1 + t)

    N \in (S) \Rightarrow 6t^{2} + 14t - 20 = 0

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \Rightarrow \overrightarrow{MN} = ( - 4; - 10;2) = - 2(2;5; - 1) \\ t = - \frac{10}{3} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left( \frac{14}{3};\frac{22}{3}; - \frac{20}{3} ight) = \frac{2}{3}(7;11; - 10) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm A(1; - 2;1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{MN}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 1}{- 1} và \frac{x - 1}{7} = \frac{y + 2}{11} = \frac{z - 1}{- 10}

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Mối quan hệ giữa đường thẳng và mp

    Cho 2 đường thẳng (d)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} ight. và  (\triangle )\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} ight.

    Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với (\triangle ) có phương trình tổng quát :

    Hướng dẫn:

    Phương trình (d) cho A(2, - 1,1) \in (d) và vectơ chỉ phương của (d) là: \overrightarrow a = (2,1,0)

    Phương trình (\triangle ) cho vectơ chỉ phương của (\triangle ) là : \overrightarrow b = (0,1, - 1)

    Gọi M(x,y,z) là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = (x - 2,y + 1,z - 1);\,\,\,\,\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = ( - 1,2,2)\\\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AM} = 0 \Leftrightarrow - (x - 2) + 2(y + 1) + 2(z - 1) = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y - 2z - 2 = 0\end{array}

    Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 5 + 4t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và mặt phẳng (P):2x - y + 2z = 0 bằng :

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình 2(2 + t) - (5 + 4t) + 2(2 + t) = 0 \Leftrightarrow 0t + 3 = 0.

    Phương trình này vô nghiệm nên \Delta//(P).

    Chọn M(2;5;2) \in \Delta.

    Khi đó: d\left( \Delta;(P) \right) = d\left( M;(P) \right) = \frac{|2.2 - 5 + 2.2|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}} = 1

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{1} và \Delta_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{1}. Đường thẳng d song song với (P):x + y - 2z + 5 = 0 và cắt hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2} lần lượt tại A,B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    Gọi A = d \cap \Delta_{1},B = d\cap\Delta_{2}

    \begin{matrix} A \in \Delta_{1} \Rightarrow A( - 1 + a; - 2 + 2a;a) \\ B \in \Delta_{2} \Rightarrow B(2 + 2b;1 + b;1 + b) \\ \overrightarrow{AB} = ( - a + 2b + 3; - 2a + b + 3; - a + b + 1) \\ d//(P) \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 4 \\ \overrightarrow{AB} = (a - 5; - a - 1; - 3) \\ AB = \sqrt{2(a - 2)^{2} + 27} \geq 3\sqrt{3};\forall a\mathbb{\in R} \\ \end{matrix}

    Dấu " = " xảy ra khi a = 2 \Rightarrow A(1;2;2),B( - 2; - 1; - 1)

    \overrightarrow{AB} = (- 3; - 3; -3)

    d đi qua điểm A(1;2;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (1;1;1)

    Vậy phương trình của d là x - 1 = y - 2 = z - 2

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
63 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này