Trong không gian , cho hai đường thẳng
và
, (với
là tham số). Tìm
để hai đường thẳng
và
cắt nhau
Ta có:
đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương
đi qua điểm M2(1; m; −2) và có vectơ chỉ phương
Ta có:
và
cắt nhau
Trong không gian , cho hai đường thẳng
và
, (với
là tham số). Tìm
để hai đường thẳng
và
cắt nhau
Ta có:
đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương
đi qua điểm M2(1; m; −2) và có vectơ chỉ phương
Ta có:
và
cắt nhau
Trong không gian hệ tọa độ , cho điểm
,
,
và mặt phẳng
. Gọi
thuộc
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
.
Giả sử là điểm thỏa mãn
.
Khi đó
;
;
(vì
)
Vì I cố định nên đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).
Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)
Phương trình đường thẳng .
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:
Cho hai điểm và mặt phẳng
Đường thẳng d nằm trên
sao cho mọi điểm của d và cách đều hai điểm A, B có phương trình là
Gọi K là điểm bất kì trên . Theo giả thiết:
tức là tam giác KAB cân, điều này chỉ xảy ra khi
nằm trên mặt phẳng
là mặt phẳng trung trực của AB. Ta đi xác định
:
Gọi M là trung điểm AB thì:
Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB tức là nhận
là vectơ pháp tuyến. Dó đó:
Do đó, là giao tuyến của
và
nên là nghiệm của hệ:
Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm
và đường thẳng
. Gọi
là mặt phẳng chứa
sao cho khoảng cách từ điểm
đến
là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ
đến
bằng:
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.
Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.
Ta tìm được .
Trong không gian ,cho hai đường thẳng
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
là:
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng và
là:
Trong không gian với hệ tọa độ gọi
đi qua
, cắt
, sao cho góc giữa
và
là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng
là
Gọi
có vectơ chỉ phương
có vectơ chỉ phương
Xét hàm số , ta suy ra được
Do đó
Vậy phương trình đường thẳng là
Trong không gian với hệ tọa độ , cho tứ diện đều
có
với
. Tính
?
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G(2; 0; 3).
Ta có:
Đường thẳng đi qua G vuông góc với (ABC) có phương trình
Do đó
Mà
Vì
Hai đường thẳng và
Ta có đường thẳng (d’) qua E (-1, -1, 0) có vecto chỉ phương
Hai pháp vecto của hai đường thẳng lần lượt là
Vecto chỉ phương của
Ta có: và tọa độ
thỏa mãn phương trình của
Cho hai đường thẳng:
và mặt phẳng .
Hình chiếu của theo phương của
lên mặt phẳng
có phương trình tổng quát:
Vectơ chỉ phương của Vectơ chỉ phương của
Phương trình của mặt phẳng chứa và có phương của
có dạng:
Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này
=> D = -53
Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng là hình chiếu của
theo phương của
lên
:
Trong không gian với hệ tọa độ , cho
đường thẳng
,
,
,
. Số đường thẳng trong không gian cắt cả
đường thẳng trên là
đi qua điểm
và có VTCP
.
đi qua điểm
và có VTCP
.
.
Vì và
nên
song song với
.
Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng
và
.
đi qua điểm
và có
hay
có phương trình
.
Gọi . Xét hệ phương trình
.
Gọi . Xét hệ phương trình
.
Vì cùng phương với
nên
không thỏa mãn.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho
đường thẳng
,
,
,
. Gọi
là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng trên. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng
?
đi qua điểm
và có VTCP
.
đi qua điểm
và có VTCP
.
.
Vì và
nên
song song với
.
Gọi là mặt phẳng chứa hai đường thẳng
và
.
đi qua điểm
và có
hay
có phương trình
.
Gọi . Xét hệ phương trình
.
Gọi . Xét hệ phương trình
.
đi qua điểm
và có VTCP
có phương trình
.
Vì không cùng phương với
nên
thỏa mãn.
Dễ thấy .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho
. Điểm
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó,
có giá trị là:
Chọn sao cho
Ta tính được
Ta thấy
Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.
Vậy M là hình chiếu vuông góc của lên (Oxy)
Ta xác định được
Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm
và đường thẳng
. Tìm điểm
thuộc đường thẳng
để thể tích của tứ diện
bằng
.
Ta có
Phương trình mặt phẳng
Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra
Mà
Với
Với
Trong không gian cho đường thẳng
và mặt phẳng
.
a) [NB] Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:
. Đúng||Sai
b) [TH] Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
c) [TH] Đường thẳng cắt mặt phẳng
tại điểm
với
. Đúng||Sai
d) [VD,VDC] Phương trình đường thẳng chứa trong mặt phẳng
, vuông góc và cắt đường thẳng
là
. Đúng||Sai
Trong không gian cho đường thẳng
và mặt phẳng
.
a) [NB] Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:
. Đúng||Sai
b) [TH] Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
c) [TH] Đường thẳng cắt mặt phẳng
tại điểm
với
. Đúng||Sai
d) [VD,VDC] Phương trình đường thẳng chứa trong mặt phẳng
, vuông góc và cắt đường thẳng
là
. Đúng||Sai
a) Đúng. Đường thẳng có một vec tơ chỉ phương
.
b) Sai. Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến
.
Gọi là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
khi đó ta có:
.
c) Đúng. Tọa độ giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng
là nghiệm hệ phương trình:
.
Vậy đường thẳng cắt mặt phẳng
tại
.
d) Đúng. Đường thẳng chứa trong mặt phẳng
, vuông góc với đường thẳng
nên có 1 vectơ chỉ phương
.
Mặt khác đường thẳng cắt đường thẳng
nên
đi qua giao điểm
.
Vậy phương trình của đường thẳng .
Trong không gian , xét mặt phẳng
đi qua điểm
đồng thời cắt các tia
lần lượt tại
sao cho tứ diện
có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng
với
có toạ độ là:
Gọi
Theo giả thiết, ta có là các số dương.
Phương trình mặt phẳng (P) là
(P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên
Ta có:
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy
Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: .
Vậy đáp án cần tìm là: .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng :
và
:
qua
có vtcp
,
qua
có vtcp
.
,
.
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm
,
,
.
a. Tọa độ các vecto Đúng||Sai
b. Phương trình mặt phẳng là:
. Đúng||Sai
c. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
bằng
. Sai||Đúng
d. Mặt phẳng đi qua
và cách
một khoảng lớn nhất có phương trình
.Đúng||Sai
Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm
,
,
.
a. Tọa độ các vecto Đúng||Sai
b. Phương trình mặt phẳng là:
. Đúng||Sai
c. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
bằng
. Sai||Đúng
d. Mặt phẳng đi qua
và cách
một khoảng lớn nhất có phương trình
.Đúng||Sai
a) Tọa độ các vecto . Vậy mệnh đề a) đúng.
b) Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
.
Ta có mặt phẳng qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
nên có phương trình
.
Vậy mệnh đề b đúng
c) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đi qua trung điểm
của
và nhận
làm VTPT có phương trình:
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
bằng
. Vậy mệnh đề c sai.
d) Gọi lần lượt là hình chiếu của
lên mặt phẳng
và đường thẳng
.
Ta có lớn nhất khi
.
Khi đó mặt phẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
Ta có
Suy ra
Vậy mệnh đề d đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng
và
. Phương trình đường thẳng song song với
và cắt hai đường thẳng
là:
Gọi là đường thẳng cần tìm
Gọi
có vectơ chỉ phương
cùng phương
có một số
thỏa
Ta có
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của là
Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng
và hai điểm
. Tìm điểm
thuộc
sao cho
vuông tại
.
Điểm thuộc đường thẳng
nên
.
Ta có và
.
Tam giác vuông tại
khi và chỉ khi
Khi đó tọa độ điểm .
Cho 2 đường thẳng và
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với có phương trình tổng quát :
Phương trình (d) cho và vectơ chỉ phương của (d) là:
Phương trình cho vectơ chỉ phương của
là :
Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: