Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường thẳng trong không gian CTST (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tìm phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác nhọn ABC cóH(2;2;1);K\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right); O(0;0;0) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A;B;C trên các cạnh BC;CA;AB. Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Cách 1: I:OH = 3;OK = 4;HK = 5. Gọi I là trực tâm tam giác ABC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{4.2 + 5.0 + 3.\left( - \dfrac{8}{3} \right)}{12} = 0 \\y_{I} = \dfrac{3.\dfrac{4}{3} + 4.2 + 5.0}{12} = 1 \\z_{I} = \dfrac{3.\dfrac{8}{3} + 4.1 + 5.0}{12} = 1 \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    \overrightarrow{IH} = (2;1;0) \Rightarrow (\Delta):\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.

    A \in IH \Rightarrow A(2t;1 + t;1)

    \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OI} = 0 \Leftrightarrow t = - 2

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} A( - 4; - 1;1) \in d \\ \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{OI};\overrightarrow{OH} \right\rbrack = ( - 1;2; - 2) \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow (d):\frac{x + 4}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 1}{2}

    Cách 2: VTPT của (ABC) là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{OH};\overrightarrow{OK} \right\rbrack = 4(1; - 2;2).

    Vì \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OK} = 0 \Rightarrow \widehat{HOK} = 90^{0}.

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua O;\overrightarrow{n_{\alpha}} = \overrightarrow{OK} = \frac{4}{3}( - 2;1;2) \Rightarrow (\alpha): - 2x + y + 2z = 0.

    Gọi (\beta) là mặt phẳng đi qua O;\overrightarrow{n_{\beta}} = \overrightarrow{OH} = (2;2;1) \Rightarrow (\beta):2x + 2y + z = 0.

    Ta có d\left( A;(\alpha) \right) = d\left( A;(\beta) \right), đối chiếu phương án A;B;C;D thấy A( - 4; - 1;1) thỏa mãn.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1; - 2) và đường thẳng \Delta: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 2}{- 1}.

    a) Điểm N( - 1; - 2;2) thuộc đường thẳng \Delta. Sai||Đúng

    b) Đường thẳng đi qua M, N có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u} = (2;3; - 4). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng \Delta là: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{- 1}. Đúng||Sai

    d) Hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng \Delta là: H(a;b;c), khi đó a + b + c = - \frac{1}{3}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1; - 2) và đường thẳng \Delta: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 2}{- 1}.

    a) Điểm N( - 1; - 2;2) thuộc đường thẳng \Delta. Sai||Đúng

    b) Đường thẳng đi qua M, N có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u} = (2;3; - 4). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng \Delta là: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{- 1}. Đúng||Sai

    d) Hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng \Delta là: H(a;b;c), khi đó a + b + c = - \frac{1}{3}. Sai||Đúng

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai

    Phương án a) sai: Thay tọa độ điểm N( - 1; - 2;2) vào phương trình đường thẳng \Delta ta được: \frac{- 1 - 1}{1} = \frac{- 2 - 2}{2} \neq \frac{2 + 2}{- 1} \Rightarrow N \notin \Delta

    Phương án b) đúng: Ta có: \overrightarrow{MN} = ( - 2; - 3;4) = - (2;3; - 4). Đường thẳng qua M, N có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (2;3; - 4).

    Phương án c) đúng: Đường thẳng d qua M và song song với đường thẳng \Delta nên có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;2; - 1). Suy ra phương trình đường thẳng d: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{- 1}.

    Phương án d) sai: Hlà hình chiếu vuông góc của M lên \Delta. Phương trình tham số của đường thẳng \Delta là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = - 2 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    Mà H \in \Delta \Rightarrow H(1 + t;2 + 2t; - 2 - t).

    Ta có: \overrightarrow{MH} = (t;1 + 2t; - t)

    MH\bot d \Rightarrow \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u_{d}} = 0

    \Leftrightarrow 1.t + 2(1 + 2t) - 1.( - t) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}.

    Do đó H\left( \frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{- 5}{3} \right).

    Vậy a + b + c = \frac{1}{3}.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1), B(3;0;1) và C(2;2; - 2). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 2;2), \overrightarrow{AC} = (1;0; - 1).

    Mặt phẳng (ABC) có một véctơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rbrack = (2;4;2).

    Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có một véctơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;2;1).

    Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1}.

  • Câu 4: Vận dụng
    Viết phương trình đường phân giác

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt nhau \Delta_{1}:\frac{x +1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{3},\Delta_{2}:\frac{x + 1}{1} =\frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 3}. Trong mặt phẳng \left( \Delta_{1};\Delta_{2} ight), hãy viết phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi \Delta_{1};\Delta_{2}

    Hướng dẫn:

    Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là \overrightarrow{u_{1}} = (1;2;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)

    Ta có \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = - 4 < 0, suy ra góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} và \overrightarrow{u_{2}} là góc tù.

    Lại có \left| \overrightarrow{u_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{u_{2}} ight|

    Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u_{1}} - \overrightarrow{u_{2}} = (0;0;6) = 6(0;0;1)

    Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (0;0;1)

    Vậy phương trình đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 5: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 - 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và d':\left\{ \begin{matrix} x = 6 + 2t' \\ y = 3 + 2t' \\ z = 7 + 9t' \end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right).

    a) Đường thẳng d đi qua điểm A(2;3;1). Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d’ đi qua điểm B(6;3;7). Đúng||Sai

    c) Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Sai||Đúng

    d) Cosin góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng \frac{35}{\sqrt{1513}}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 - 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và d':\left\{ \begin{matrix} x = 6 + 2t' \\ y = 3 + 2t' \\ z = 7 + 9t' \end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right).

    a) Đường thẳng d đi qua điểm A(2;3;1). Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d’ đi qua điểm B(6;3;7). Đúng||Sai

    c) Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Sai||Đúng

    d) Cosin góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng \frac{35}{\sqrt{1513}}. Đúng||Sai

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Sai

    d) Đúng

    Phương án a) đúng: Khi t = 0 thì \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \\ z = 1 \end{matrix} \right. nên đường thẳng d đi qua điểm A(2;3;1).

    Phương án b) đúng: Khi t' = 0 thì \left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = 3 \\ z = 7 \end{matrix} \right. nên đường thẳng d’ đi qua điểm B(6;3;7).

    Phương án c) sai:

    d đi qua điểm A(2;3;1), có vtcp \overrightarrow{a} = ( - 2; - 2; - 3).

    d’ đi qua điểm B(6;3;7), có vtcp \overrightarrow{b} = (2; 2;9).

    Ta có: \left\lbrack \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right\rbrack = ( - 12;12;0);\overrightarrow{AB} = (4;0;6)

    \left\lbrack \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} = - 48 \neq 0 nên d và d’ chéo nhau.

    Phương án d) đúng: \cos(d;d') = \frac{\left| \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|} = \frac{35}{\sqrt{1513}}

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4), đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}và mặt phẳng (P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0. Đường thẳng (d) đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện ABCO và OACD bằng nhau, biết (d) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;b;c). Tính b + c.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có 1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}

    Nên BC = CD. Vì C ∈ ∆ \Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)

    C là trung điểm của BD nên D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6).

    Điểm D ∈ (P) nên 41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1

    ⇒ C(−1; −5; 3).

    \overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u} là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

    Vậy b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Xác định phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 4 = 0. Phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) sao cho d cắt và vuông góc với \Delta là

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1; - 1), và mặt phẳng (P):x + 2y + 2z - 4 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;1;2) suy ra \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (4; - 3;1).

    Gọi M = d \cap \Delta \Rightarrow M = (P) \cap \Delta

    M \in \Delta \Rightarrow M(t;1 + t;2 - t); M \in (P)

    \Rightarrow t + 2(1 + t) + 2(2 - t) - 4 = 0 \Rightarrow t = - 2

    Suy ra M = ( - 2; - 1;4).

    Đường thẳng đi qua M = ( - 2; - 1;4) và nhận \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (4; - 3;1) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: d:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 - 4t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 4 - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;2),B(3; - 4; - 2) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Điểm I(a;b;c) thuộc d là điểm thỏa mãn IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T = a + b + c bằng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)

    A = (1; - 1;2),B = (3; - 4; - 2) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4) cùng phương với \overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)

    Mà A(1; - 1;2) otin d \Rightarrow \overrightarrow{AB}//d \Rightarrow A,B,d đồng phẳng.

    Xét mặt phẳng chứa AB và d. Gọi A^{'} là điểm đối xứng của A qua d_{1}

    (\alpha) là mặt phẳng qua A, vuông góc với d.

    Khi đó, giao điểm H của d với (\alpha) là trung điểm của AA^{'}.

    (\alpha) có 1 vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2; - 3; - 4) đi qua A(1; - 1;2) có phương trình:

    2(x - 1) - 3(y + 1) - 4(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow 2x - 3y - 4z + 3 = 0

    H \in d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} \Rightarrow ight. Giả sử H(2 + 4t; - 6t; - 1 - 8t).

    H \in (\alpha) \Rightarrow 2(2 + 4t) - 3( - 6t) - 4( - 1 - 8t) + 3 = 0

    \Leftrightarrow 58t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{11}{58} \Rightarrow H\left( \frac{36}{29};\frac{33}{29};\frac{15}{29} ight)

    Ta có IA + IB = IA^{'} + IB^{'} \geq A^{'}B \Rightarrow min(IA + IB) = A^{'}B khi và chỉ khi I trùng với I_{0} là giao điểm của A^{'}B và d.

    \Rightarrow \overrightarrow{HI_{0}} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} - \dfrac{36}{29} = \dfrac{1}{2}.2 \\y_{I_{0}} - \dfrac{33}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 3) \\z_{I_{0}} - \dfrac{15}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 4) \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} = \dfrac{65}{29} \\y_{I_{0}} = - \dfrac{21}{58} \\z_{I_{0}} = - \dfrac{43}{29} \\\end{matrix} ight.\ ight.\\Rightarrow I_{0}\left( \dfrac{65}{29}; - \dfrac{21}{58}; - \frac{43}{29}ight)

    \Rightarrow a + b + c = \frac{65}{29} - \frac{21}{58} - \frac{43}{29} = - \frac{21}{58}.

  • Câu 9: Vận dụng cao
    2 đường thẳng chéo nhau viết PTTQ

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight. và \left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Hướng dẫn:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng (D):x = 2 + 3t;\ \ \ y = 1 - 2t;\ \ \ z = 2t - 1 và (d):x = t - 4;\ \ \ y = 3 - t;\ \ \ z = 3t + 1\ \ \ \left( t\mathbb{\in R} \right)

    Hướng dẫn:

    (D) qua A(2,1, - 1) và vecto chỉ phương \overrightarrow{a} = (3, - 2,2)

    (d) qua B( - 4,3,1) và vecto chỉ phương \overrightarrow{b} = (1, - 1,3)

    Pháp vecto của (P):\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack = - (4,7,1)

    (P) qua trung điểm MN( - 1,2,0) của đoạn AB.

    \Rightarrow (P):4(x + 1) + 7(y - 2) + (z - 0).1 = 0 \Leftrightarrow 4x + 7y + z - 10 = 0

  • Câu 11: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2} và \Delta_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{3}. Phương trình đường thẳng song song với d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = - 1 + t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} \right. và cắt hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi \Delta là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = \Delta \cap \Delta_{1},B = \Delta \cap \Delta_{2}

    A \in \Delta_{1} \Rightarrow A( - 1 + 3a;2 + a;1 + 2a)

    B \in \Delta_{2} \Rightarrow B(1 + b;2b; - 1 + 3b)

    \overrightarrow{AB} = ( - 3a + b + 2; - a + 2b - 2; - 2a + 3b - 2)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (0;1;1)

    \Delta//d \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{a_{d}} cùng phương

    \Leftrightarrow có một số k thỏa \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{a_{d}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3a + b + 2 = 0 \\ - a + 2b - 2 = k \\ - 2a + 3b - 2 = k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3a + b = - 2 \\ - a + 2b - k = 2 \\ - 2a + 3b - k = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có A(2;3;3);B(2;2;2)

    \Delta đi qua điểm A(2;3;3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (0; - 1; - 1)

    Vậy phương trình của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 12: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; −1; 2), B(1; 1; 2) và đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}. Biết điểm M(a; b; c) thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị T = a + 2b + 3c bằng:

    Hướng dẫn:

    Vì S_{MAB} = \frac{1}{2}.AB.d(M,AB) nên SMAB nhỏ nhất khi d(M, AB) nhỏ nhất. Phương trình của AB:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Dễ dàng kiểm tra AB và d chéo nhau.

    Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB.

    Khi đó d(M, AB) = MH nhỏ nhất khi MH là đoạn vuông góc chung của d và AB.

    Ta có: M \in d \Rightarrow M( - 1 + s;s;1 + s),H \in AB

    \Rightarrow H(t; - 1 + 2t;2)

    \Rightarrow \overrightarrow{MH} = (t - s + 1;2t - s - 1;1 - s)

    Vectơ chỉ phương của d và AB theo thứ tự là \overrightarrow{u} = (1;1;1),\overrightarrow{v} = (1;2;0)

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{u} \\\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{v} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1(t - s + 1) + 1(2t - s - 1) + 1(1 - s) = 0\ \\1(t - s + 1) + 2(2t - s - 1) + 0(1 - s) = 0 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = 1 \\s = \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} ight.

    Vậy M\left( \frac{1}{3};\frac{4}{3};\frac{7}{3} ight) \Rightarrow T = 10

  • Câu 13: Vận dụng
    Tìm phương trình đường thẳng thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{1} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 3 \\ \end{matrix} \right.. Phương trình đường thẳng vuông góc với (P):7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d_{1},\ d_{2} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A(2a;1 - a; - 2 + a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B( - 1 + 2b;1 + b;3)

    \overrightarrow{AB} = ( - 2a + 2b - 1;a + b; - a + 5)

    (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (7;1; - 4)

    d\bot(P) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{p}} cùng phương

    \Leftrightarrow có một số k thỏa \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{n_{p}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 1 = 7k \\ a + b = k \\ - a + 5 = - 4k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 7k = 1 \\ a + b - k = 0 \\ - a + 4k = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 2 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    d đi qua điểm A(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{n_{P}} = (7;1 - 4)

    Vậy phương trình của d là \frac{x - 2}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 4}

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tìm Vecto chỉ phương

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân

    giác trong góc A là \frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}.  Biết rằng điểm M(0; 5; 3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0)thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Hướng dẫn:

    Giả sử , A(t; 6-4t; 6-3t), ta có:

    \vec{u_d}=(1; -4; -3),

    \vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)

    \vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }

    Từ đây ta bình phương 2 vế được:

    (4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)

    \Leftrightarrow 14t=14

    \Leftrightarrow t=1

    \Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC  là  \vec{u}(0;1;3).

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.. Hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (Oxz) theo phương \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Giao điểm của d và mặt phẳng (Oxz) là: M_{0}(5;0;5).

    Trên d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight. chọn M bất kỳ không trùng với M_{0}(5;0;5); ví dụ: M(1; - 2;3).

    Gọi A là hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (Oxz) theo phương \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} .

    +/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} .

    +/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và (Oxz)

    +/ Ta tìm được A(3;0;1)

    Hình chiếu song song của d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight. lên mặt phẳng (Oxz) theo phương \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} là đường thẳng đi qua M_{0}(5;0;5) và A(3;0;1).

    Vậy phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 0 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 16: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{- 1}, mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 1)^{2} = 29 và A(1; - 2;1). Đường thẳng \Delta cắt d và (S) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Phương trình đường thẳng \Delta là

    Hướng dẫn:

    M \in d \Rightarrow M(2 + t;1 + 2t;1 - t)

    A là trung điểm MN \Rightarrow N( - t; - 5 - 2t;1 + t)

    N \in (S) \Rightarrow 6t^{2} + 14t - 20 = 0

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \Rightarrow \overrightarrow{MN} = ( - 4; - 10;2) = - 2(2;5; - 1) \\ t = - \frac{10}{3} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left( \frac{14}{3};\frac{22}{3}; - \frac{20}{3} ight) = \frac{2}{3}(7;11; - 10) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm A(1; - 2;1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{MN}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 1}{- 1} và \frac{x - 1}{7} = \frac{y + 2}{11} = \frac{z - 1}{- 10}

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 1 = 0 và hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 3} = \frac{z}{2};d_{2}:\frac{x - 5}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z + 5}{- 5} . Biết rằng có 2 điểm M_{1};M_{2} trên d_{1} và hai điểm N_1;N_2 trên d_{2} sao cho M_{1}N_{1};N_{1}N_{2} song song mặt phẳng (P) đồng thời cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2. Tính d = M_{1}N_{1} + N_{1}N_{2}.

    Hướng dẫn:

    Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) sao cho khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng .

    Suy ra (Q) có phương trình dạng x - 2y + 2z + m = 0;(m \neq - 1) và (Q) chứa  M_{1}N_{1}  hoặc  N_{1}N_{2} .

    Theo giả thiết khoảng cách từ mp (Q) đến (P) bằng 2 nên ta có

    \frac{|m + 1|}{3} = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 5 \\ m = - 7 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy có 2 mặt phẳng song song và cách (P) một khoảng bằng 2 là:

    \left( Q_{1} \right):x - 2y + 2z + 5 = 0 và \left( Q_{2} \right):x - 2y + 2z - 7 = 0.

    + Theo giả thiết M_{1} = d_{1} \cap \left( Q_{1} \right),N_{1} = d_{2} \cap \left( Q_{1} \right) suy ra M_{1}(1; - 3; - 5),N_{1}(4; - 3; - 5) \Rightarrow M_{1}N_{1} = 5\sqrt{2}

    M_{2} = d_{1} \cap \left( Q_{2} \right),N_{2} = d_{2} \cap \left( Q_{2} \right) suy ra M_{2}(3;0;2),N_{2}( - 1; - 4;0) \Rightarrow M_{2}N_{2} = 6

    Vậy d = 6 + 5\sqrt{2}.

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):2x + y - 2z + 9 = 0 và ba điểm A(2; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 3;-1). Điểm M ∈ (α) sao cho \left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Xét điểm I(a; b; c) thỏa mãn: 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó

    \left\{ \begin{matrix} 2(2 - a) - 3a - 4(1 - a) = 0\ \\ 2(1 - b) + 3(2 - b) - 4(3 - b) = 0\ \\ - 2c + 3(1 - c) - 4( - 1 - c) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0\ \\ b = - 4\ \\ c = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0; - 4;7)

    Khi đó:

    \left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| = \left| 2\overrightarrow{MI} + 3\overrightarrow{MI} - 4\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} ight| = IM

    Do đó \left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (\alpha).

    Do M(x;y;z) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (\alpha) nên ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IM} = k.\overrightarrow{n} \\ M \in (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2k\ \\ y + 4 = k\ \\ z - 7 = - 2k\ \\ 2x + y - 2z + 9 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 1 \\ x = 2\ \\ y = - 3\ \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy M = (2; - 3;5) \Rightarrow x_{M} + y_{M} + z_{M} = 4.

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; −1; 2), B(−2; 0; 3), C(0; 1; −2). Điểm M(a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, T = 12a + 12b + c có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Chọn I sao cho 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

    Ta tính được I\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)

    Ta thấy

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight) \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight) + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} ight) + \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} \\ \end{matrix} ight.

    S = 6{\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI}\left( 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} ight)

    \Rightarrow S = 6MI^{2} +\underset{CONST}{\overset{4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +5\overrightarrow{IC}}{︸}}

    Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

    Vậy M là hình chiếu vuông góc của I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight) lên (Oxy) \Rightarrow M\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};0 ight)

    Ta xác định được \left\{ \begin{matrix}a = - \dfrac{1}{6} \\b = \dfrac{1}{12} \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = - 1

  • Câu 20: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz  cho điểm I(1;1;2), hai đường thẳng \Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 4 \\ \end{matrix} \right. và \Delta_{2}:\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng \Delta_{1},\Delta_{2} là.

    Hướng dẫn:

    Gọi \left( \alpha_{1} ight) là mặt phẳng qua I và \Delta_{1}

    \Delta_{1} đi qua M_{1}(3; - 1;4) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{1}} = (1;2;0)

    \overrightarrow{IM_{1}} = (2; - 2;2)

    \left( \alpha_{1} ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{IM_{1}} ightbrack = (4; - 2; - 6)

    Gọi \left( \alpha_{2} ight) là mặt phẳng qua I và \Delta_{2}

     

    \Delta_{2} đi qua M_{2}( - 2;0;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{2}} = (1;1;2)

    \overrightarrow{IM_{2}} = ( - 3; - 1;0)

    \left( \alpha_{2} ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{2}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{2}},\overrightarrow{IM_{2}} ightbrack = (2; - 6;2)

    d đi qua điểm I(1;1;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ightbrack = ( - 40; - 20; - 20)

    Vậy phương trình đường thẳng d là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
19 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm