Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường thẳng trong không gian CTST (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tính tọa độ điểm M

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 4}{- 2} = \frac{z - 4}{- 1} và các điểm A(2;3; - 4), B(4;6; - 9). Gọi C,D là các điểm thay đổi trên \Delta sao cho CD = \sqrt{14} và mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. Khi đó tọa độ trung điểm M của CD là

    Hướng dẫn:

    Ta có các diện tích tam giác ACD,BCD không đổi, mặt phẳng (BCD) và điểm A cố định nên thể tích khối tứ diện ABCD không đổi. Gọi I, r là tâm và bán kinh mặt cầu nội tiếp tứ diện thì:

    r = \frac{3V}{S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}} , trong đó S_{1} = S_{ACD};S_{2} = S_{BCD};S_{3} = S_{CAB};S_{4} = S_{DAB}.

    Gọi CH,DK là các đường cao của các tam giác CAB,DAB. Ta có r lớn nhất khi S_{3} + S_{4} nhỏ nhất hay tổng CH + DK = h_{1} + h_{2} nhỏ nhất.

    Phương trình (AB):\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{- 5}. Gọi M(3t - 1; - 2t + 4; - t + 4) là trung điểm của CD. Dễ thấy CD = \left| \overrightarrow{u_{\Delta}} \right| = \sqrt{14}.

    Ta có \overrightarrow{MC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{u} \Rightarrow C\left( 3t - \frac{5}{2}; - 2t + 5; - t + \frac{9}{2} \right),D\left( 3t + \frac{1}{2}; - 2t + 3; - t + \frac{7}{2} \right) nên:

    {h_{1}}^{2} = \left( 3t - \frac{9}{2} \right)^{2} + ( - 2t + 2)^{2} + \left( - t + \frac{17}{2} \right)^{2}

    - \frac{\left( 5t - \frac{91}{2} \right)^{2}}{38} = \frac{507}{38}t^{2} - \frac{1521}{38}t + \frac{6387}{152}

    {h_{2}}^{2} = \left( 3t - \frac{3}{2} \right)^{2} + ( - 2t)^{2} + \left( - t + \frac{15}{2} \right)^{2}

    - \frac{\left( 5t - \frac{81}{2} \right)^{2}}{38} = \frac{507}{38}t^{2} - \frac{507}{38}t + \frac{2331}{152}

    Suy ra h_{1} + h_{2} = \sqrt{\frac{507}{38}t^{2} - \frac{1521}{38}t + \frac{6387}{152}} + \sqrt{\frac{507}{38}t^{2} - \frac{507}{38}t + \frac{2331}{152}}

    \geq 2\sqrt{\frac{2331}{152}} = \frac{3\sqrt{9842}}{38}.

    Vậy CH + DK = h_{1} + h_{2} nhỏ nhất tại t = 1 \Rightarrow M(2;2;3).

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính bán kính nhỏ nhất của mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng (P):x + 2y + z - 7 = 0 và đi qua hai điểm A(1\ ;\ 2\ ;\ 1), B(2\ ;\ 5\ ;\ 3). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) bằng

    Hướng dẫn:

    Phương trình trung trực của AB là (Q):x + 3y + 2z = 16. Suy ra tâm I mặt cầu thuộc đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q).

    Phương trình d:\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 9}{1}.

    Ta có \min R = \min IA = d(A,d), ghi \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(x - y + z)^{2}}{3}} CALC nhập 3 = 2 = -8 = kết quả \frac{\sqrt{546}}{3}.

  • Câu 3: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi đường thẳng d đi qua điểm A(1; - 1;2), song song với (P):2x - y - z + 3 = 0, đồng thời tạo với đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2} một góc nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là:

    Hướng dẫn:

    Đặt \overrightarrow{u_{d}} = (a,b,c) khi đó ta có:

    2a - b - c = 0 \Rightarrow c = 2a - b, \left| \overrightarrow{u_{d}} \right| = \sqrt{5a^{2} + 2b^{2} - 4ab}.

    Từ đó ta có

    \cos\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right) = \frac{5a - 4b}{3\sqrt{5a^{2} + 2b^{2} - 4ab}}

    \Rightarrow cos^{2}\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right) = \frac{25a^{2} - 40ab + 16b^{2}}{9\left( 5a^{2} + 2b^{2} - 4ab \right)}

    cos^{2}\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right) = \frac{25t^{2} - 40t + 16}{9\left( 5t^{2} - 4t + 2 \right)} = f(t)

    \Rightarrow \max f(t) = f\left( \frac{- 1}{5} \right) = \frac{25}{27} , khi đó 5a = -b.

    Cho a = 1, b = -5, c = 7 ta có \overrightarrow{u_{d}} = (1; - 5;7).

  • Câu 4: Vận dụng
    Viết phương trìnhmặt phẳng

    Trong không gian hệ trục toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2} và d':\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1}. Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) chứa d và (\alpha) tạo với d' một góc lớn nhất là

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Trắc nghiệm Casio.

    Ta kiểm được các mặt phẳng đều chứa d (có \overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{\alpha}} = 0 và đi qua điểm (1; - 1;2)). Tính sin^{- 1}\left( \frac{|A + 2B + C|}{\sqrt{6}.\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} \right) CALC nhập vtpt trong đáp án, \max\varphi \approx 35,26^{o}.

    Cách 2. Khử dần ẩn.

    Giả sử vtpt \overrightarrow{n_{\alpha}} = (a;b;c) vuông góc \overrightarrow{u_{d}} nên 2a + b + 2c = 0

    \Rightarrow b = - 2a - 2c. Ta có:

    \sin\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d'}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right) \right| = \frac{|a + 2b + c|}{\sqrt{6}.\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{3|a + c|}{\sqrt{6}.\sqrt{5a^{2} + 8ac + 5c^{2}}}, với a^{2} + c^{2} \neq 0 .

    Do vai trò ngang nhau, khi a = c thì \max\left( \sin\varphi \right) = \sqrt{\frac{1}{3}}.

    Chọn c = 1,a = 1,b = - 4 và phương trình (\alpha):x - 4y + z - 7 = 0.

    Nhận xét.

    Trong cách 2, ta khử dần ẩn từ a,b,c về còn hai ẩn a,c; Tổng quát: phải xét trường hợp a = 0 \cup a \neq 0 rồi chia cả tử và mẫu cho a để đưa về một ẩn t = \frac{c}{a}, tiếp theo là khảo sát hàm số biến t. Sau đây là cách 3 sử dụng một ẩn.

    Cách 3. Khảo sát.

    Gọi A(a - 1;2a;a + 1) = d' \cap (\alpha), điểm M(1; - 1;2) \in d \Rightarrow \overrightarrow{MA} = (a - 2;2a + 1;a - 1).

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{MA},\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = (3a + 3;2; - 3a - 4).

    Khi đó \sin\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{u_{d'}} \right) \right| = \frac{3}{\sqrt{6}.\sqrt{(3a + 3)^{2} + 4 + (3a + 4)^{2}}} lớn nhất nếu Parabol nhỏ nhất: P = 18a^{2} + 42a + 29, tại a = - \frac{42}{36} = - \frac{7}{6}.

    Vậy \overrightarrow{n_{\alpha}} = - \frac{1}{2}(1; - 4;1) và phương trình (\alpha):x - 4y + z = 7.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Khoảng cách nhỏ nhất

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-5=0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

    Hướng dẫn:

     khoảng cách nhỏ nhất

    Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).

    Ta có: (-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B nằm về hai phía với (P).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) \Rightarrow BH cố định và d(B,(Q))=BH.

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay d//(P) .

    Ta có: BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)bé nhất bằng BH  khi K trùng với điểm H.

    Gọi \vec{n} là VTPT của (ABH) \Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)

    Ta có đường thẳng d cần lập qua  A, H và có VTCP là \vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)

    Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: \dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Chọn vectơ chỉ phương thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là \frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3} Biết rằng điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0) thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Hướng dẫn:

    Giả sử A(t;6 - 4t;6 - 3t), ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}} = (1; - 4; - 3) \\ \overrightarrow{AM} = ( - t;4t - 1; - 3 + 3t) \\ \overrightarrow{AN} = (1 - t; - 5 + 4t;3t - 6) \\ \end{matrix} \right.

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{AM} \right) \right| = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{AN} \right) \right|

    \Leftrightarrow \frac{|26t - 13|}{\sqrt{26t^{2} - 26t + 10}} = \frac{|26t - 39|}{\sqrt{26t^{2} - 78t + 62}}

    \Leftrightarrow \frac{|2t - 1|}{\sqrt{13t^{2} - 13t + 5}} = \frac{|2t - 3|}{\sqrt{13t^{2} - 39t + 31}}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( 4t^{2} - 4t + 1 \right)\left( 13t^{2} - 39t + 31 \right) = \left( 4t^{2} - 12t + 9 \right)\left( 13t^{2} - 13t + 5 \right) \\ \Leftrightarrow 14t = 14 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A(1;2;3) \Rightarrow \overrightarrow{AN} = (0; - 1; - 3) \\ \end{matrix}

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là \overrightarrow{u}(0;1;3)

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1; - 3), B( - 3;2;1). Gọi (d) là đường thẳng đi qua M(1;2;3) sao cho tổng khoảng cách từ A đến (d) và từ B đến (d) là lớn nhất. Khi đó phương trình đường thẳng (d) là

    Hướng dẫn:

    Ta có d(A,d) \leq AM;d(B,d) \leq BM \Rightarrow max\left( d(A,d) + d(B,d) \right) = AM + BM.

    Khi đó (d) đi qua M và vuông góc với (ABM):x + 13y - 2z = 21.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:(D):\ \frac{x\ - \ x_{1}}{a_{1}} = \frac{y\ - \ y_{1}}{a_{2}} = \frac{z\ - \ z_{1}}{a_{3}},(d):\ \frac{x\ - \ x_{2}}{b_{1}} = \frac{y\ - \ y_{2}}{b_{2}} = \frac{z\ - \ z_{2}}{b_{3}}. Với a_{1},\ \ a_{2},\ \ a_{3},\ \ b_{1},\ \ b_{2},\ \ b_{3} \neq \ 0. Gọi \overrightarrow{a} = \left( \ a_{1},\ \ a_{2},\ \ a_{3} \right);\ \ \overrightarrow{b} = \left( \ b_{1},\ \ b_{2},\ \ b_{3} \right) và \overrightarrow{AB} = \left( \ x_{2}\ - \ x_{1},\ \ y_{2}\ - \ y_{1},\ \ z_{2}\ - \ z_{1} \right). (D) và (d) song song khi và chỉ khi:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} = 0 \Rightarrow (D) và (d) cùng nằm trong một mặt phẳnga_{1}:a_{2}:a_{3} = b_{1}:b_{2}:b_{3} \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}} \Rightarrow (D) và (d) cùng phương A\left( x_{1},y_{1},z_{1} \right) \in (D) và A \notin (d) \Rightarrow (D) và (d) song song.

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{- 1} =\frac{z - 5}{2},d_{2}:\frac{x - 4}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z +2}{2} và mặt phẳng (P):2x + 3y - 5z + 1 = 0. Đường thẳng vuông góc với (P), cắt d_{1} và d_{2} có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng d với các đường thẳng d_{1} và d_{2}.

    Khi đó, tọa độ của A, B có dạng A(3 + t; - 3 - t;5 + 2t),B(4 - 3s;1 + 2s; - 2 + 2s)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1 - 3s - t;4 + 2s + t; - 7 + 2s - 2t)

    Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ \overrightarrow{AB} cùng phương với vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2;3; - 5) của mặt phẳng (P).

    Do đó, ta có \frac{1 - 3s - t}{2} = \frac{4 + 2s + t}{3} = \frac{- 7 + 2s - 2t}{- 5}

    Suy ra s = 0 và t = −1.

    Do đó, A(2; −2; 3) và B(4; 1; −2).

    Đường thẳng d đi qua A và có nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tính độ dài MB

    Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2; - 3) và mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 9 = 0. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (Q):3x + 4y - 4z + 5 = 0 cắt mặt phẳng (P) tại B. Điểm M nằm trong mặt phẳng (P) sao cho M luôn nhìn AB dưới một góc vuông và độ dài MB lớn nhất. Tính độ dài MB.

    Hướng dẫn:

    Ta có đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (Q):3x + 4y - 4z + 5 = 0 có phương trình:

    (d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right). Ta có giao điểm của d và mặt phẳng (P) là B:

    B \in d \Rightarrow B(1 + 3t;2 + 4t; - 3 - 4t)

    B \in (P) \Rightarrow 2(1 + 3t) + 2(2 + 4t) + 3 + 4t + 9 = 0

    \Leftrightarrow t = - 1

    Vậy B( - 2; - 2;1).

    Điểm M nằm trong mặt phẳng (P) sao cho M luôn nhìn AB dưới một góc vuông nên M nằm trên đường tròn (C) là giao của mặt cầu đường kính AB với mặt phẳng (P). Khi đó độ dài MB lớn nhất khi và chỉ khi độ dài MB bằng đường kính của (C). Gọi bán kính của đường tròn (C) là r, trung điểm của AB là I \Rightarrow I\left( - \frac{1}{2};0; - 1 \right),d_{\left( I;(P) \right)} = 3

    Ta có {d^{2}}_{\left( I;(P) \right)} + r^{2} = \frac{AB^{2}}{4} \Rightarrow r = \frac{\sqrt{5}}{2}. Vậy độ dài MB lớn nhất là \sqrt{5}.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4), đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}và mặt phẳng (P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0. Đường thẳng (d) đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện ABCO và OACD bằng nhau, biết (d) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;b;c). Tính b + c.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có 1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}

    Nên BC = CD. Vì C ∈ ∆ \Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)

    C là trung điểm của BD nên D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6).

    Điểm D ∈ (P) nên 41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1

    ⇒ C(−1; −5; 3).

    \overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u} là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

    Vậy b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn đường thẳng \left( d_{1} ight):\frac{x - 3}{1} = \frac{y +1}{- 2} = \frac{z + 1}{1},\left( d_{2} ight):\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{3} ight):\frac{x - 1}{2} = \frac{y +1}{1} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{4} ight):\frac{x}{1} = \frac{y -1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

    Hướng dẫn:

    Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).

    Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.

    Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).

    (∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).

    Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3),\ \ B( - 2;0; - 1),M(2; - 1;4) và mặt phẳng (P):3x - 2y + z + 1 = 0. Khi đó:
    a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \overrightarrow{n} = (3; - 2;1). Đúng||Sai

    b) Phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua O và song song với mặt phẳng (P) là 3x - 2y + z = 0. Đúng||Sai

    c) Phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với đường thẳng AB là 3x + 2y - 2z - 4 = 0. Sai||Đúng

    d) Mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) và cách điểm N(1; - 1;5) một khoảng bằng \frac{11}{\sqrt{14}}có phương trình là 3x - 2y + z + 21 = 0. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3),\ \ B( - 2;0; - 1),M(2; - 1;4) và mặt phẳng (P):3x - 2y + z + 1 = 0. Khi đó:
    a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \overrightarrow{n} = (3; - 2;1). Đúng||Sai

    b) Phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua O và song song với mặt phẳng (P) là 3x - 2y + z = 0. Đúng||Sai

    c) Phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với đường thẳng AB là 3x + 2y - 2z - 4 = 0. Sai||Đúng

    d) Mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) và cách điểm N(1; - 1;5) một khoảng bằng \frac{11}{\sqrt{14}}có phương trình là 3x - 2y + z + 21 = 0. Sai||Đúng

    a) ĐÚNG

    Do (P):3x - 2y + z + 1 = 0 nên suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \overrightarrow{n} = (3; - 2;1).

    b) ĐÚNG

    Do \left\{ \begin{matrix} (P)//(Q) \\ O(0;0;0) \in (Q) \end{matrix} \right. nên ta có phương trình của mặt phẳng (Q): 3x - 2y + z = 0
    c) SAI

    Vì (Q)\bot AB suy ra mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (3;2; - 2)

    Khi đo phương trình phương trình của mặt phẳng (Q)đi qua M(2; - 1;4) là 3x + 2y - 2z + 4 = 0

    d) SAI

    (R)//(P) suy ra mặt phẳng (R) có phương trình 3x - 2y + z + D = 0

    d\left( N,(R) \right) = \frac{11}{\sqrt{14}} suy ra \frac{|10 + D|}{\sqrt{14}} = \frac{11}{\sqrt{14}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} D = 1 \\ D = - 21 \end{matrix} \right.

    Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là;

    \left( R_{1} \right):3x - 2y + z + 1 = 0\left( R_{2} \right):3x - 2y + z - 21 = 0

  • Câu 14: Thông hiểu
    Xác định phương trình tham số của d’

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1}, và mặt thẳng (P)\ :3x + 5y - z - 2 = 0. Gọi d'là hình chiếu của d lên (P).Phương trình tham số của d' là

    Hướng dẫn:

    Cách 1:

    Gọi A = d \cap (P)

    \begin{matrix} A \in d \Rightarrow A(12 + 4a;9 + 3a;1 + a) \\ A \in (P) \Rightarrow a = - 3 \Rightarrow A(0;0; - 2) \\ \end{matrix}

    d đi qua điểm B(12;9;1)

    Gọi H là hình chiếu của B lên (P)

    (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (3;5; - 1)

    BH đi qua B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{BH}} = \overrightarrow{n_{P}} = (3;5; - 1)

    \begin{matrix} BH:\left\{ \begin{matrix} x = 12 + 3t \\ y = 9 + 5t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ \\ H \in BH \Rightarrow H(12 + 3t;9 + 5t;1 - t) \\ H \in (P) \Rightarrow t = - \frac{78}{35} \Rightarrow H\left( \frac{186}{35}; - \frac{15}{7};\frac{113}{35} ight) \\ \overrightarrow{AH} = \left( \frac{186}{35}; - \frac{15}{7};\frac{183}{35} ight) \\ \end{matrix}

    d' đi qua A(0;0; - 2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d'}} = (62; - 25;61)

    Vậy phương trình tham số của d' là \left\{ \begin{matrix} x = 62t \\ y = - 25t \\ z = - 2 + 61t \\ \end{matrix} ight.

    Cách 2:

     

    • Gọi (Q) qua d và vuông góc với (P)

     

    d đi qua điểm B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (4;3;1)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (3;5; - 1)

    (Q) qua B(12;9;1) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{d}},\overrightarrow{n_{P}} ightbrack = ( - 8;7;11)

    (Q):8x - 7y - 11z - 22 = 0

     

    • d' là giao tuyến của (Q) và (P)

     

    Tìm một điểm thuộc d', bằng cách cho y = 0

    Ta có hệ \left\{ \begin{matrix} 3x - z = 2 \\ 8x - 11z = 22 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(0;0; - 2) \in d'

    d' đi qua điểm M(0;0; - 2)và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}};\overrightarrow{n_{Q}} ightbrack = (62; - 25;61)

    Vậy phương trình tham số của d' là \left\{ \begin{matrix} x = 62t \\ y = - 25t \\ z = - 2 + 61t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz cho A(0\ ;\ 0\ ;2\ )\ ,\ B(2\ ;\ 1\ ;\ 0)\ ,\ C(1\ ;\ 2\ ;\ - 1) và D(2\ ;\ 0\ ;\ - 2). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với (BCD) có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (BCD)\ .

    Ta có \overrightarrow{BC} = ( - 1\ ;\ 1\ ;\ - 1)\ ;\ \overrightarrow{BD} = (0\ ; - 1\ ;\ - 2).

    Mặt phẳng (BCD) có vec tơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{(BCD)} =\left\lbrack \overrightarrow{BD}\ ,\ \overrightarrow{BC}\ \right\rbrack= (3 ; 2 ; - 1) .

    Gọi {\overrightarrow{u}}_{d} là vec tơ chỉ phương của đường thẳng d.

    Vì d\bot(BCD) nên \overrightarrow{u_{d}} = {\overrightarrow{n}}_{(BCD)} = (3\ ;\ 2\ ;\ - 1).

    Đáp \left\{ \begin{matrix}x = 3\\y = 2 \\z = - 1 + 2t \\\end{matrix} \right. và \left\{ \begin{matrix} x = 3t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right. có VTCP \overrightarrow{u_{d}} = (3\ ;\ 2\ ;\ - 1) nên loại \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 3t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right. và \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 3t \\ y = - 2 + 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right..

    Ta thấy điểm A(0\ ;\ 0\ ;2\ ) thuộc đáp án \left\{ \begin{matrix} x = 3t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right. nên loại \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y =2 \\z = - 1 + 2t \\\end{matrix} \right..

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức P

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x - my + z + 6m + 3 = 0 và (\beta):mx + y - mz + 3m - 8 = 0 (với m là tham số thực); hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng \Delta. Gọi \Delta' là hình chiếu của \Delta lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi m thay đổi thì đường thẳng \Delta' luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng Oxy. Tính giá trị biểu thức P = 10a^{2} - b^{2} + 3c^{2}.

    Hướng dẫn:

    Viết lại (\alpha):mx - m^{2}y + mz + 6m^{2} + 3m = 0, cộng theo vế với (\beta) ta được:

    mp(P):2mx + \left( 1 - m^{2} \right)y + 6m^{2} + 6m - 8 = 0, đây là mặt phẳng vuông góc với mp(Oxy) và chứa \Delta'.

    Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;0), bán kính R sao cho d\left( I,(P) \right) = R.

    Ta có:

    R^{2} = \frac{\left\lbrack 2ma + \left( 1 - m^{2} \right)b + 6m^{2} + 6m - 8 \right\rbrack^{2}}{4m^{2} + \left( m^{2} - 1 \right)^{2}}= \frac{\left\lbrack (6 - b)m^{2} + 2m(a + 3) + b - 8 \right\rbrack^{2}}{\left( m^{2} + 1 \right)^{2}}.

    Chọn a = - 3,b = 7 ta được R^{2} = 1 \Leftrightarrow R = 1 với mọi m.

    Khi đó P = 10a^{2} - b^{2} + 3c^{2} = 41.

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tìm vecto pháp tuyến

    Cho đường thẳng d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight. và mặt phẳng (\alpha): 2x-y-2z-2=0. Mặt phẳng (P) qua d  và tạo với (\alpha ) một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P)  là:

    Hướng dẫn:

    Tìm vecto pháp tuyến

    Gọi \triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A);

    H là hình chiếu vuông góc của B lên (\alpha ); K là hình chiếu của H lên \triangle.

    Suy ra: (\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH} cố định; (\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}.

    Mà \widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH} (vì HK \leq HA)  \Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )

    Suy ra (\widehat{(P),(\alpha)}) nhỏ nhất bằng (\widehat{d, (\alpha)}) khi K\equiv A .

    Khi đó \triangle \perp dvà có một VTCP \vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1) .

    Vậy (P) có một VTPT là \vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1).

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 2;1;0), B(4;4; - 3), C(2;3; - 2) và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}. Gọi (\alpha) là mặt phẳng chứa (d) sao cho A, B, Cở cùng phía đối với mặt phẳng (\alpha). Gọi d_{1}, d_{2}, d_{3}lần lượt là khoảng cách từ A, B, C đến (\alpha). Tìm giá trị lớn nhất của T = d_{1} + 2d_{2} + 3d_{3}.

    Hướng dẫn:

    Gọi mp(\alpha):a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0, trong đó \overrightarrow{n_{\alpha}}.\overrightarrow{u_{d}} = 0 \Rightarrow a = 2b + c (1).

    Ta có d_{1} + 2d_{2} + 3d_{3} = \frac{| - 3a - c| + 2|3a + 3b - 4c| + 3|a + 2b - 3c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}, vì A, B, C cùng phía với (\alpha) nên T = \frac{|6a + 12b - 18c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} (2).

    Thay (1) vào (2), ta có: T = \frac{12|2b - c|}{\sqrt{(2b + c)^{2} + b^{2} + c^{2}}}

    T = 12\sqrt{\frac{4b^{2} - 4bc + c^{2}}{5b^{2} + 4bc + 2c^{2}}} \Rightarrow \max T = 12\sqrt{\frac{7}{2}} = 6\sqrt{14} \Leftrightarrow \frac{b}{c} = - \frac{2}{3}.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính bán kính của mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3a + at \\ y = - 2 + t \\ z = 2 + 3a + (1 + a)t \end{matrix} \right.. Biết rằng khi a thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định qua điểm M(1;1;1) và tiếp xúc với đường thẳng \Delta . Tìm bán kính mặt cầu đó.

    Hướng dẫn:

    Ta thấy đường thẳng \Delta nằm trong mặt phẳng cố định (P):x + y - z + 3 = 0 và \Delta luôn đi qua điểm cố định A(1; - 5; - 1).

    Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với (P) ta có phương trình d là x = 1 + t,y = - 5 + t,z = - 1 - t.

    Lấy điểm I(1 + t; - 5 + t; - 1 - t) \Rightarrow MI = \sqrt{t^{2} + (t - 6)^{2} + (t + 2)^{2}} và tính khoảng cách đến (P)

    \frac{|t + 1 + t - 5 + t + 1 + 3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{t^{2} + (t - 6)^{2} + (t + 2)^{2}}

    \Rightarrow 3t^{2} = 3t^{2} - 8t + 40 \Rightarrow t = 5 \Rightarrow I(6;0; - 6)

    Hay ta có R = \sqrt{3}|t| = 5\sqrt{3}.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1} và \Delta' = \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}. Xét điểm Mthay đổi trong không gian, gọi a,b lần lượt là khoảng cách từ M đến \Delta và \Delta'. Biểu thức a^{2} + 2b^{2}đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khiM \equiv M_{0}\left( x_{0},y_{0},z_{0} \right). Khi đó giá trị x_{0} + y_{0} bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có \Delta và \Delta' chéo nhau, gọi A(a;a;a + 1) \in \Delta,B(b + 1;2b;b) \in \Delta' sao cho AB là đoạn vuông góc chung.

    Tính \overrightarrow{AB} = (b + 1 - a;2b - a;b - 1 - a) cùng phương \overrightarrow{u} = (1;0; - 1), suy ra: a = 2b = 0 và A(0;0;1),B(1;0;0).

    Lấy M thuộc đoạn AB thì a = MA,b = MB.

    Khi đó MA^{2} + 2MB^{2} = 3MI^{2} + IA^{2} + 2IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} \right). Chọn M \equiv Ithỏa mãn:

    \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow I\left( \frac{2}{3};0;\frac{1}{3} \right). Vậy x_{0} + y_{0} = \frac{2}{3}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
34 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này