Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường thẳng trong không gian CTST (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Xác định hoành độ đỉnh A

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại A, \widehat{ABC} = 30^{0}, BC = 3\sqrt{2}, đường thẳng BC có phương trình \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4}, đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (\alpha):x + z - 3 = 0. Biết rằng đỉnh C có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh A.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa:

    Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4} \\ x + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(2;3;1)

    Do C ∈ BC nên C(4 + c;5 + c; - 7 - 4c)

    Theo giả thiết BC = 3\sqrt{2} nên: 18(2 + c)^{2} = 18 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = - 1 \Rightarrow C(3;4; - 3) \\ c = - 3 \Rightarrow C(1;2;5) \\ \end{matrix} ight.

    Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).

    Gọi A(x;y;3 - x) \in (\alpha). Do \widehat{ABC} = 30^{0} nên:

    \left\{ \begin{matrix} AB = \frac{3\sqrt{6}}{2} \\ AC = \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (2 - z)^{2} = \frac{27}{2} \\ (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (6 - z)^{2} = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ 2x^{2} - 18x + y^{2} - 8y + \frac{113}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10x + 2y - 53 = 0 \\ 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ 2x^{2} - 8x + \left( \frac{53 - 10x}{2} ight)^{2} - 6.\left( \frac{53 - 10x}{2} ight) + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 4 \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A\left( \frac{9}{2};4; - \frac{3}{2} ight)

    Vậy đáp án cần tìm là \frac{9}{2}.

  • Câu 2: Vận dụng
    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{3}. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \Delta sao cho (P) tạo với d:\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{2} một góc lớn nhất?

    Hướng dẫn:

    Cách 1. (Khử dần ẩn )

    Giả sử d cắt (P) tại A(3t - 3;t + 1;2t - 2), M_{0}(3;0; - 1) \in \Delta suy ra \overrightarrow{M_{0}A} = (3t - 6;t + 1;2t - 1).

    Gọi VTPT của (P) là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{M_{0}A},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right\rbrack = ( - t + 5; - 7t + 17;5t - 13).

    Gọi \varphi là góc tạo bởi (P) và d ta có:

    \sin\varphi = \left| \cos\left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{u_{d}} \right) \right|=\frac{6}{\sqrt{14}.\sqrt{(t - 5)^{2} + (7t - 17)^{2} + (5t -13)^{2}}}.

    Xét f(t) = 75t^{2} - 378t + 483 đạt nhỏ nhất tại t = \frac{63}{25} nên \overrightarrow{n} = \left( \frac{62}{25};\frac{- 16}{25};\frac{- 10}{25} \right) Hay chọn \overrightarrow{n} = (31; - 8; - 5) và phương trình(P): 31x - 8y - 5z - 98 = 0.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức S

    Cho đường thẳng d:\frac{x}{6} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z}{2} và ba điểm A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6). Điểm M(a;b;c) \in d thỏa mãn MA + 2MB + 3MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Gọi M(6t;3t + 1;2t) \in d và ta cần tính S = 11t + 1 khi MA + 2MB + 3MC = T đạt giá trị nhỏ nhất.

    T = \sqrt{(6t - 2)^{2} + (3t + 1)^{2} + 4t^{2}} + 2\sqrt{36t^{2} + (3t - 3)^{2} + 4t^{2}}

    + 3\sqrt{36t^{2} + (3t + 1)^{2} + (2t - 6)^{2}}

    T = \sqrt{49t^{2} - 18t + 5} + 2\sqrt{49t^{2} - 18t + 9} + 3\sqrt{49t^{2} - 18t + 37}.

    Dễ thấy các Parabol đồng thời đạt nhỏ nhất tại t = \frac{9}{49} và T_{\min} = \frac{2\sqrt{41} + 12\sqrt{10} + 6\sqrt{433}}{7}. Khi đó \mathbf{S =}\frac{\mathbf{148}}{\mathbf{49}}\mathbf{.}

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + y - z - 3 = 0 và hai điểm A(1;1;1), B( - 3; - 3; - 3). Mặt cầu (S) đi qua hai điểm A,B và tiếp xúc với (P) tại điểm C. Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó

    Hướng dẫn:

    Gọi D là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P), trong mặt phẳng (ABC) thì giao tuyến với mặt cầu là một đường tròn.

    Áp dụng tính chất tiếp tuyến và cát tuyến ta có: DC = \sqrt{DA.DB} = R không đổi, nên C thuộc đường tròn tâm D, bán kính R.

    Ta có

    \frac{DB}{DA} = \frac{d_{B}}{d_{A}} = \frac{d\left( B,(P) \right)}{d\left( A,(P) \right)} = \frac{| - 6|}{| - 2|} = 3

    \Leftrightarrow \frac{DA + AB}{DA} = 3 \Leftrightarrow DA = \frac{AB}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.

    Suy ra R = \sqrt{2\sqrt{3}.6\sqrt{3}} = 6.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1} và mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0 Đường thẳng (P):x + y + z + 2 = 0 nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d đồng thời khoảng cách từ giao điểm I của d với (P) đến \Delta bằng \sqrt{42}. Gọi M(5;b;c) là hình chiếu vuông góc của I trên \Delta Giá trị của bc bằng

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}}(2;1; - 1).

    Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là \overrightarrow{n}(1;1;1).

    Gọi \overrightarrow{u_{2}} là vecto chỉ phương của đường thẳng \Delta. Khi đó \overrightarrow{u_{2}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (2; - 3;1)

    Vì I = d \cap (P) nên ta tìm được I(1; - 3;0)

    Gọi \Delta' là đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với \Delta, \Delta \cap \Delta' = M thỏa mãn IM = \sqrt{42}

    có vecto chỉ phương là: \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = (4;1; - 5).

    Khi đó có phương trình là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = - 3 + t \\ z = - 5t \\ \end{matrix} \right..

    Gọi M \in \Delta^{'} \Rightarrow M(1 + 4t; - 3 + t; - 5t), IM = \sqrt{42}

    \Rightarrow (4t)^{2} + t^{2} + (5t)^{2} = 42 \Leftrightarrow t = \pm 1.

    Vớit = 1 \Rightarrow M(5; - 2; - 5) \Rightarrow bc = 10.

    Với t = - 1 \Rightarrow M( - 3; - 4; - 5)(L)

    Vậy bc = 10

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính tổng C

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1;5;0),B(3;3;6) và đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}. Gọi M(a;b;c) \in \Delta sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng C = MA + MB + AB?

    Hướng dẫn:

    Ta cóM(a;b;c) \in \Delta \Rightarrow M(2t - 1; - t + 1;2t).

    Từ đó ta có: C = MA + MB + AB = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} + 2\sqrt{11}.

    C(t) = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} + 2\sqrt{11}

    \Rightarrow C'(t) = \frac{9}{\sqrt{9t^{2} + 20}} + \frac{9t - 18}{\sqrt{9t^{2} - 36t + 56}} = 0

    \Rightarrow t = 1

    Lập BBT ta có: \min C(t) = C(1) \Rightarrow t = 1 \Rightarrow M(1;0;2).

    Khi đó: C = MA + MB + AB = T

    Đề xuất: Đánh giá f(t) = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} như sau

    f(t) = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56}

    = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9(t - 2)^{2} + 20}

    Trong hệ trục Oxy, chọn \overrightarrow{u} = \left( 2t;2\sqrt{5} \right),\overrightarrow{v} = \left( - 3(t - 2);2\sqrt{5} \right), \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 6;4\sqrt{5} \right). Khi đó
    f(t) = \left| \overrightarrow{u} \right| + \left| \overrightarrow{v} \right| \geq \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right| = 2\sqrt{14}.

    Đẳng thức xảy ra khi và chi khi \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} cùng hướng\Leftrightarrow \frac{3t}{- 3(t - 2)} = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M(1;0;2).

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3) và mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 9 = 0. Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (3;4; - 4) cắt (P) tại B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90^{o}. Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Hướng dẫn:

    Theo giả thiết thì M thuộc mặt cầu dường kính AB, tâm I là trung điểm AB. Gọi H là tâm đường tròn giao tuyến thì M thuộc đường tròn tâm H, có B cố định nên MB lớn nhất khi MB là đường kính của đường tròn tâm H, hay M là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Ta cần viết phươmh trình đường thẳng BM.

    Vào MENU 9 1 2 nhập 2 = 2 = 1 = \& 3 = 4 = 4 = ta có \overrightarrow{n_{Q}} = ( - 4;5;2) là vtpt của mp(Q) chứa A, B và vuông góc với (P).

    Phương trình (Q): - 4x + 5y + 2z = 0.

    Từ các phương trình (P) và (Q), cho x = t \Rightarrow y = - 2,z = 5 + 2t, cũng là phương trình của MB, và đi qua điểm I( - 1; - 2;3).

    Nhận xét.

    Đây là bài toán rất tốt để rèn luyện kiến thức về tọa độ không gian Oxyz, đòi hỏi đầy đủ về điểm - Đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu - giao tuyến - hình chiếu - vuông góc - song song tức là kiến thức khá cơ bản và tổng hợp trong một bài toán. Ngoài ra không kém phần trừu tượng, do đó cũng cần đòi hỏi kỹ năng giải nhanh, có thể không khó nhưng giải thông thường thì tốn khá nhiều thời gian.

  • Câu 8: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;3),B(3;0;2), C(0; - 2;1).

    a. Tọa độ các vecto \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 1),\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 3; - 2) Đúng||Sai

    b. Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x - 4y + 5z - 13 = 0. Đúng||Sai

    c. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BC bằng \frac{\sqrt{17}}{4}. Sai||Đúng

    d. Mặt phẳng (P) đi qua A,\ B và cách C một khoảng lớn nhất có phương trình 3x + 2y + z - 11 = 0.Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;3),B(3;0;2), C(0; - 2;1).

    a. Tọa độ các vecto \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 1),\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 3; - 2) Đúng||Sai

    b. Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x - 4y + 5z - 13 = 0. Đúng||Sai

    c. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BC bằng \frac{\sqrt{17}}{4}. Sai||Đúng

    d. Mặt phẳng (P) đi qua A,\ B và cách C một khoảng lớn nhất có phương trình 3x + 2y + z - 11 = 0.Đúng||Sai

    a) Tọa độ các vecto \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 1),\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 3; - 2). Vậy mệnh đề a) đúng.

    b) Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right\rbrack = ( - 1;4; - 5).

    Ta có mặt phẳng (ABC) qua điểm A(2;1;3) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = ( - 1;4; - 5) nên có phương trình - 1(x - 2) + 4(y - 1) - 5(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x - 4y + 5z - 13 = 0.

    Vậy mệnh đề b đúng

    c) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm I\left( \frac{3}{2}; - 1;\frac{3}{2} \right) của BCvà nhận \overrightarrow{BC} = ( - 3; - 2; - 1) làm VTPT có phương trình: 3\left( x - \frac{3}{2} \right) + 2(y + 1) + 1\left( z - \frac{3}{2} \right) = 0

    \Leftrightarrow 3x + 2y + z - 4 = 0\ (\alpha)

    Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BC bằng

    d\left( A,(\alpha) \right) = \frac{|3.2 + 2.1 + 1.3 - 4|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{14}}. Vậy mệnh đề c sai.

    d) Gọi H,\ K lần lượt là hình chiếu của C lên mặt phẳng (P) và đường thẳng AB.

    Ta có CH = d\left( C,(P) \right) \leq CK \Rightarrow d\left( C,(P) \right) lớn nhất khi H \equiv K.

    Khi đó mặt phẳng (P) đi qua A,\ B và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

    Ta có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n},\overrightarrow{AB} \right\rbrack = ( - 9; - 6; - 3)

    Suy ra (P):3x + 2y + z - 11 = 0.

    Vậy mệnh đề d đúng.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính bán kính mặt cầu

    Cho hai điểm A,B cố định trong không gian có độ dài AB là 4. Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA = 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi I là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} = 9\overrightarrow{IB}

    \Leftrightarrow 9\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0} \Rightarrow IB = \frac{1}{8}AB = \frac{1}{2},IA = \frac{9}{2}

    Từ MA = 3MB ta có:

    MI^{2} + IA^{2} + 2.\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA} = 9\left( MI^{2} + IB^{2} + 2.\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB} \right).

    8MI^{2} = IA^{2} - 9IB^{2} \Rightarrow MI^{2} = \frac{9}{4} \Rightarrow MI = \frac{3}{2}.

    Vậy bán kính mặt cầu bằng \frac{3}{2}.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b - 2c.

    Đáp án: 50

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b - 2c.

    Đáp án: 50

    Ta có: \overrightarrow{BC} = (100;0;50)

    Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP \overrightarrow{u} = (2;0;1)có dạng (BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.

    Điểm W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t) và \overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)

    Ta có: \overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0

    \Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30

    Vậy H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tìm độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 \\ z = - t \\ \end{matrix} \right. và d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = 4 + t \\ z = 4 \\ \end{matrix} \right. bằng

    Hướng dẫn:

    Ta tìm được \left\{ \begin{matrix} M(1;2;0) \in \Delta \\ N(3;4;4) \in d \\ \end{matrix} \right.

    Áp dụng công thức d(\Delta;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack.\overrightarrow{MN} \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack \right|} = 2\sqrt{6}.

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz,  cho đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}, mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P). Gọi \Delta là đường thẳng nằm trong (P) vuông góc với d và cách M một khoảng bằng \sqrt{42}. Phương trình đường thẳng (P) là.

    Hướng dẫn:

    Gọi M = d \cap (P)

    \mathbf{M \in d \Rightarrow M}\left( \mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{t}\mathbf{;}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{+ t}\mathbf{;}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{- t} ight)

    \mathbf{M \in}\left( \mathbf{P} ight)\mathbf{\Rightarrow t = -}\mathbf{1}\mathbf{\Rightarrow M}\left( \mathbf{1;}\mathbf{-}\mathbf{3;0} ight)

    \left( \mathbf{P} ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{\mathbf{n}_{\mathbf{P}}}\mathbf{=}\left( \mathbf{1;1;1} ight)

    \mathbf{d} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{\mathbf{a}_{\mathbf{d}}}\mathbf{=}\left( \mathbf{2;1;}\mathbf{-}\mathbf{1} ight)

    \mathbf{\Delta}có vectơ chỉ phương \overrightarrow{\mathbf{a}_{\mathbf{\Delta}}}\mathbf{=}\left\lbrack \overrightarrow{\mathbf{a}_{\mathbf{d}}}\mathbf{,}\overrightarrow{\mathbf{n}_{\mathbf{P}}} ightbrack\mathbf{=}\left( \mathbf{2;}\mathbf{-}\mathbf{3;1} ight)

    Gọi N(x;y;z) là hình chiếu vuông góc của M trên \Delta, khi đó \overrightarrow{MN} = (x - 1;y + 3;z).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ N \in (P) \\ MN = \sqrt{42} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 3y + z - 11 = 0 \\ x + y + z + 2 = 0 \\ (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + z^{2} = 42 \\ \end{matrix} ight.

    Giải hệ ta tìm được hai điểm N(5; - 2; - 5) và N( - 3; - 4;5)

    Với N(5; - 2; - 5), ta có \Delta:\frac{x - 5}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z + 5}{1}

    Với N( - 3; - 4;5), ta có \Delta:\frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z - 5}{1}

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kính r = 2. Xét đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - mt \\ z = (m - 1)t \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right), m là tham số thực. Giả sử (P),(Q) là mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với (S) lần lượt tại M,N. Khi đó đoạn MN ngắn nhất, hãy tính khoảng cách từ điểm B(1;0;4) đến đường thẳng d.

    Hướng dẫn:

    Ta có d nằm trong mặt phẳng (\alpha):x + y + z - 1 = 0 cố định. Gọi H là trung điểm của MN, K là hình chiếu của tâm I(1;2;3) trên d.

    Ta có r^{2} = IK.IH = IK.\sqrt{r^{2} - MH^{2}} \Leftrightarrow MH = r\sqrt{1 - \left( \frac{r}{IK} \right)^{2}}, suy ra MN = 2r\sqrt{1 - \left( \frac{r}{IK} \right)^{2}}.

    Để MN nhỏ nhất thì \frac{r}{IK} lớn nhất \Leftrightarrow IK nhỏ nhất \Leftrightarrow IK = IE, trong đó IE là khoảng cách từ I đến (\alpha). Khi đó d đi qua E là hình chiếu của I trên (\alpha).

    Ghi - \frac{x + y + z - 1}{3} CALC (nhập tọa độ I) STO M, bấm M+1 : M +2 : M + 3 = = = ta được tọa độ E\left( \frac{- 2}{3};\frac{1}{3};\frac{4}{3} \right) thay vào d ta có m = \frac{1}{5}. Khi đó chọn \overrightarrow{u_{d}} = (5; - 1; - 4).

    Ghi \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(5x - y - 4z)^{2}}{25 + 1 + 16}} CALC (nhập tọa độ \overrightarrow{M_{0}B}) 0 = 0 = 4 = được \frac{4\sqrt{273}}{21}.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Phương trình đường trung tuyến

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight).

    Viết phương trình tham số của trung tuyến AM ?

    Hướng dẫn:

     Vì AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC. Gọi M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} ight)

    Từ tọa độ của B và C, ta tính được tọa độ của M là nghiệm của hệ:

    \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{2 + 3}}{2}\\{y_M} = \frac{{ - 1 - 2}}{2}\\{z_M} = \frac{{4 + 5}}{2}\end{array} ight.\\ \Rightarrow M\left( {\frac{5}{2}, - \frac{3}{2},\frac{9}{2}} ight)\end{array}

    Ta có 1 vecto chỉ phương của (AM) là \overrightarrow {AM} = \left( {\frac{3}{2}, - \frac{7}{2},\frac{{15}}{2}} ight) = \frac{1}{2}\left( {3, - 7,15} ight)

    (AM) là đường thẳng đi qua A (1,2,-3) và nhận vecto (3,-7,15) làm 1 VTCP có phương trình là:

    \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - 7t\\z = 15t - 3\end{array} ight.\\(t \in R)\end{array}  

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyzcho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right. và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0.

    a) [NB] Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1). Đúng||Sai

    b) [TH] Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 30^{0}. Sai||Đúng

    c) [TH] Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm M(a;b;c) với a + b - c = - 1. Đúng||Sai

    d) [VD,VDC] Phương trình đường thẳng \Delta chứa trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{- 1}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyzcho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right. và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0.

    a) [NB] Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1). Đúng||Sai

    b) [TH] Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 30^{0}. Sai||Đúng

    c) [TH] Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm M(a;b;c) với a + b - c = - 1. Đúng||Sai

    d) [VD,VDC] Phương trình đường thẳng \Delta chứa trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{- 1}. Đúng||Sai

    a) Đúng. Đường thẳng d có một vec tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1).

    b) Sai. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1; - 1;0).

    Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|}= \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{1}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}.

    c) Đúng. Tọa độ giao điểm giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là nghiệm hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ x - y + 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ 1 - t - 1 - 2t + 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 3 \\ z = 4 \\ t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M(0;3;4).

    d) Đúng. Đường thẳng \Delta chứa trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d nên có 1 vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} ightbrack = (1;1; - 1).

    Mặt khác đường thẳng \Delta cắt đường thẳng d nên \Delta đi qua giao điểm M(0;3;4).

    Vậy phương trình của đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{- 1}.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3) và B(6;5;5). Xét khối nón (N) có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi (N) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) có phương trình dạng 2x + by + cz + d = 0. Giá trị của b + c + d bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi h = IH = d\left( I,(P) \right) , r là bán kính đáy nón, R = IA = 3 là bán kính mặt cầu.

    Ta có AH = 3 + h,\ \ r^{2} = 9 - h^{2} và thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi(3 + h)(9 - h^{2}).

    Ta có : (3 + h)(3 + h)(6 - 2h) \leq\left( \frac{3 + h + 3 + h + 6 - 2h}{3} \right)^{3} = 64\Rightarrow V\leq \frac{1}{6}\pi.64 = \frac{32\pi}{3}.

    Dấu bằng có khi 3 + h = 6 - 2h \Rightarrow h = 1 \Rightarrow AH = 4.

    Mặt phẳng (P) chứa đường tròn đáy của nón có \overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (2;2;1).

    Đặt \overrightarrow{AH} = t(2;2;1),t > 0 suy ra t = \frac{4}{3}

    \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \left( \frac{8}{3};\frac{8}{3};\frac{4}{3} \right) \Rightarrow H\left( \frac{16}{3};\frac{11}{3};\frac{10}{3} \right).

    Phương trình (P) là: 2x + 2y + z - 18 = 0. Vậy b + c + d = - 15.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P):x - 2y + z - 1 = 0;(Q):x - 2y + z + 8 =0;(R):x - 2y + z - 4 = 0. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt (P),(Q),(R) lần lượt tại A,B,C. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}}.

    Gợi ý:

    Nhận xét (P)//(Q)//(R)

    Sử dụng BĐT Cauchy và định lí Ta-let đánh giá biểu thức T.

    Hướng dẫn:

    Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).

    Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng (P),(Q),(R) cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.

    Ta có BH = d\left( (Q),(P) ight) = 9;HK = d\left( (P),(R) ight) = 3

    Khi đó ta có:

    T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}} \geq 2\sqrt{AB^{2}.\frac{144}{AC^{2}}} = 24.\frac{AB}{AC} = 24.\frac{BH}{HK} = 24.\frac{9}{3} = 72

    Vậy T_{\min} = 72.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (P):x - 2y + 2z - 5 = 0,A( - 3;0;1),B(1; - 1;3). Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì ( - 3 - 2\ .0 + 2\ .1 - 5).\left( 1 - 2.( - 1) + 2.3 - 5 ight) < 0 nên hai điểm A, B khác phía so với (P).

    Gọi H là hình chiếu của B lên d.

    Ta có: BH ≤ BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.

    Khi đó AB ⊥ d.

    VTPT của (P) là \overrightarrow{n} = (1; - 2;2),\overrightarrow{AB} = (4; - 1;2)

    VTCP của d là \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 2;6;7)

    Mà d qua A(−3; 0; 1) nên phương trình đường thẳng d là: \frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}

  • Câu 19: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{1}, mặt phẳng (P):2x - y - z + 5 = 0 và M(1; - 1;0). Đường thẳng \Delta đi qua điểm M, cắt d và tạo với (P) một góc 30^{0}. Phương trình đường thẳng \Delta là.

    Hướng dẫn:

    Gọi N = \Delta \cap d

    N \in d \Rightarrow N(2 + 2t;t; - 2 + t)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{MN} = (1 + 2t;1 + t; - 2 + t)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1; - 1)

    \sin\left\lbrack d,(P) ightbrack = \frac{\left| \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n_{P}} ight|}{\left| \overrightarrow{MN} ight|.\left| \overrightarrow{n_{P}} ight|} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \Rightarrow \overrightarrow{MN} = (1;1 - 2) \\ t = \frac{9}{5} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left( \frac{23}{5};\frac{14}{5}; - \frac{1}{5} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm M(1; - 1;0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{MN}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 2} và \frac{x - 1}{23} = \frac{y + 1}{14} = \frac{z}{- 1}

  • Câu 20: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và điểm A(1;0;2).

    a) Điểm B(2;1; - 1) không thuộc đường thẳng d. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0;1). Sai||Đúng

    c) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;0;2), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}. Sai||Đúng

    d) M(a;b;c)là một điểm nằm trên đường thẳng d và cách điểm A một khoảng có độ dài bằng \sqrt{26}. Khi b > 0 thì a + b + c = 3. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và điểm A(1;0;2).

    a) Điểm B(2;1; - 1) không thuộc đường thẳng d. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0;1). Sai||Đúng

    c) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;0;2), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}. Sai||Đúng

    d) M(a;b;c)là một điểm nằm trên đường thẳng d và cách điểm A một khoảng có độ dài bằng \sqrt{26}. Khi b > 0 thì a + b + c = 3. Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Sai

    Phương án a) đúng: Thay tọa độ điểm B(1;2; - 1) vào phương trình đường thẳng d ta được: \left\{ \begin{matrix} 2 = 2 + t \\ 1 = t \\ - 1 = - 2 + t \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 0 \\ t = 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(1;2; - 1) \notin d.

    Phương án b) sai: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1;1).

    Phương án c) sai: Gọi H = d \cap \Delta \Leftrightarrow H \in d nên H(2 + t;t; - 2 + t).

    Ta có: \overrightarrow{AH} = (1 + t;t; - 4 + t) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta.

    Mà \Delta\bot d \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0 \Leftrightarrow 1(1 + t) + 1.t + 1( - 4 + t) = 0 \Leftrightarrow t = 1

    \Rightarrow \overrightarrow{AH} = (2;1; - 3)

    Suy ra \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 3}

    Phương án d) sai: Ta có M \in d \Rightarrow M(2 + t;t;2 + t) nên \overrightarrow{AM} = (1 + t;t; - 4 + t).

    AM = \sqrt{26} \Leftrightarrow \sqrt{(1 + t)^{2} + t^{2} + ( - 4 + t)^{2}} = \sqrt{26}

    \Leftrightarrow 3t^{2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1 \\ t = 3 \end{matrix} \right.

    Mà b > 0 \Rightarrow t > 0. Vậy M(5;3;1) \Rightarrow a + b + c = 9.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
60 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này