Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1 CD Nguyên Hàm (Mức Khó)

Bài tập Toán 12 Cánh Diều Bài 1 – Có đáp án

Trắc nghiệm Toán 12: Nguyên hàm Cánh Diều - Vận dụng cao

Bạn là học sinh lớp 12 theo chương trình Cánh Diều đang muốn chinh phục các câu hỏi trắc nghiệm khó về nguyên hàm? Tài liệu này được biên soạn dành riêng cho học sinh khá – giỏi, với hệ thống câu hỏi trắc nghiệm mức độ vận dụng cao, bám sát nội dung Bài 1 – Nguyên hàm trong SGK. Ngoài ra, bài viết còn đi kèm bài tập tự luận nâng cao có lời giải chi tiết, giúp học sinh hiểu sâu bản chất, rèn luyện tư duy logic và tăng tốc hiệu quả trong giai đoạn ôn thi học kỳ hoặc thi tốt nghiệp THPT.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Cho F(x) = x^{2} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}?

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm

    \int_{}^{}{f(x)dx = F(x) \Rightarrow F'(x) = f(x)}.

    Từ giả thiết, ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}e^{2x}dx = F(x) \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{e^{2x}}

    Suy ra f'(x) = \frac{(2x)'.e^{2x} - 2x.\left( e^{2x} ight)'}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{(2 - 4x)e^{2x}}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{2 - 4x}{e^{2x}}.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx =}\int_{}^{}{\frac{2 - 4x}{e^{2x}}.e^{2x}dx = (2 - 4x)dx = 2x - 2x^{2}} + C

    Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

    Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

    \int_{}^{}{u(x)}v'(x)dx = u(x).v(x) - \int_{}^{}{v(x).u'(x)}dx.

    Ta có \int_{}^{}{e^{2x}.f'(x)dx = e^{2x}.f(x) - \int_{}^{}{f(x).2e^{2x}dx = f(x)e^{2x} - 2\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx}}}

    Từ giả thiết: \int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx} = F(x) = x^{2} \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = 2x - 2x^{2} + C}.

  • Câu 2: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho \int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + 2020 + C. Khi đó \int_{}^{}{f(3x)dx} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + 2020 + C

    Khi đó \int_{}^{}{f(3x)dx} = \frac{27x^{4}}{4} - 3x^{3} + \frac{2020}{3} + C

  • Câu 3: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}

    = 4x^{2} - 4x + 1 + 2(2x - 1).\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    = 4x^{2} - 4x + 1 + 4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    Khi đó:

    \int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x}\right)^{2}dx}= 4\int_{}^{}{x^{2}dx + \int_{}^{}{dx} +\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}}dx }{- 4\int_{}^{}xdx - \int_{}^{}\frac{2}{x}dx}+ 4\int_{}^{}{dx}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho f(x) = 1 + |x|. Một nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa F(1) = 1 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) = 1 + |x| = \left\lbrack \begin{matrix} 1 + x;x \geq 0 \\ 1 - x;x < 0 \\ \end{matrix} \right.

    Khi đó \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\lbrack \begin{matrix} x + \frac{x^{2}}{2} + C_{1};x \geq 0 \\ x - \frac{x^{2}}{2} + C_{2};x < 0 \\ \end{matrix} \right. mặt khác F(1) = 1

    \Leftrightarrow 1 + \frac{1^{2}}{2} + C_{1} = 1(x = 1 > 0) \Leftrightarrow C_{1} = - \frac{1}{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: \left\{ \begin{gathered} x + \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ x - \frac{{{x^2}}}{2} + {C_2}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Hãy xác định hàm số f(x) từ đẳng thức: x^{2} + xy + C = \int_{}^{}{f(y)dy}

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left( x^{2} + xy \right)' = x + C

    Vậy f(x) = x.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Tìm giá trị thực của F(\pi) = - \frac{1}{2} \cdot để F(x) = mx^{3} + x^{2} - 3x + 4 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = - x^{2} + 2x - 3.

    Hướng dẫn:

    Để F(x) = mx^{3} + x^{2} - 3x + 4 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = - x^{2} + 2x - 3.

    Ta có: F'(x) = f(x)

    Hay \left( mx^{3} + x^{2} - 3x + 4 \right)' = - x^{2} + 2x - 3

    \begin{matrix} \left( {m{x^3} + {x^2} - 3x + 4} \right)' = - {x^2} + 2x - 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 3m{x^2} + 2x - 3 = - {x^2} + 2x - 3 \hfill \\ \Leftrightarrow 3m = - 1 \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Biết \int_{}^{}{x(x + 1)^{3}dx} = a(x + 1)^{5} + b(x + 1)^{4} + C, với a,b \in \mathbb{Q}. Tính giá trị S = {\left( {\frac{{a + b}}{{a.b}}} \right)^{2020}}

    Hướng dẫn:

    Ta có: x(x + 1)^{3} = (x + 1)^{4} - (x + 1)^{3}

    Khi đó \int_{}^{}{x(x + 1)^{3}dx} = \frac{1}{5}(x + 1)^{5} - \frac{1}{4}(x + 1)^{4} + C

    \Rightarrow a = \frac{1}{5};b = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow S = \left\lbrack \frac{\frac{1}{5} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{5}.\left( - \frac{1}{4} \right)} \right\rbrack^{2020} = 1

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) = x\left( x^{2} + 1 \right)^{4}. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x); đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm M(1;6). Nguyên hàm F(x) là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{x\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}dx = \int_{}^{}\frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}{2}d\left( x^{2} + 1 \right)

    = \int_{}^{}\frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}{2}d\left( x^{2} + 1 \right) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{5}}{10} + C = F(x)

    Mà đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm M(1;6) khi đó:

    \frac{\left( 1^{2} + 1 \right)^{5}}{10} + C = 6 \Rightarrow C = \frac{14}{5}

    Vậy đáp án cần tìm là: F(x) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{5}}{10} - \frac{14}{5}

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức S

    Biết \int_{}^{}{3x^{2}(2020 + x^{3})^{2019}dx} = a(2020 + x^{3})^{b} + C, với a \in \mathbb{Q};{\text{ }}b \in \mathbb{Z}. Tính giá trị S = \frac{1}{{{{\left( {a.b} \right)}^{2020}}}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{3x^{2}(2020 + x^{3})^{2019}dx} = \int_{}^{}{(2020 + x^{3})^{2019}d\left( x^{3} + 2020 \right)} = \frac{1}{2020}(2020 + x^{3})^{2020} + C

    \Rightarrow a = \frac{1}{2020};b = 2020

    \Rightarrow S = \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{{2020}}.2020} \right)}^{2020}}}} = 1

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Biết \int_{}^{}{x(1 - x)^{2020}dx} = a(x - 1)^{2022} + b(x - 1)^{2021} + C, với a,b \in \mathbb{Q}. Tính giá trị S = \frac{{a - b}}{{ab}}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x(1 - x)^{2020} = (1 - x)^{2021} - (1 - x)^{2020}

    Khi đó:

    \int_{}^{}{x(1 - x)^{2020}dx} = - \frac{1}{2022}(1 - x)^{2022} - \frac{1}{2021}(1 - x)^{2021} + C

    = - \frac{1}{2022}(x - 1)^{2022} + \frac{1}{2021}(x - 1)^{2021} + C

    \Rightarrow a = - \frac{1}{2022};b = \frac{1}{2021} \Rightarrow S = \frac{- \frac{1}{2022} - \frac{1}{2021}}{- \frac{1}{2022} + \frac{1}{2021}} = 4043

  • Câu 11: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f'(x) thỏa mãn f(2) = - \frac{1}{25} và f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} với mọi x\mathbb{\in R}. Giá trị của f(1) bằng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}} = 4x^{3}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}}dx} = \int_{}^{}{4x^{3}dx}

    \Leftrightarrow \frac{- 1}{f(x)} = x^{4} + C;\left( C = C_{2} - C_{1} \right)

    Vậy f(x) = - \frac{1}{x^{4} + C}

    Theo bài ra ta có: f(2) = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow - \frac{1}{2^{4} + C} = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow C = 9

    Vậy f(x) = - \frac{1}{x^{4} + 9} \Leftrightarrow f(1) = - \frac{1}{1^{4} + 9} = - \frac{1}{10}

  • Câu 12: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho \int_{}^{}{x(x + 1)^{10}dx}. Nếu đặt t=x+1 thì \int_{}^{}{f(t)dt}là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{x(x + 1)^{10}dx} = \int_{}^{}{(t - 1).t^{10}dx}

    = \int_{}^{}{\left( t^{11} - t^{10} \right)dx} = \frac{t^{12}}{12} - \frac{t^{11}}{11} + C

  • Câu 13: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho \int_{}^{}{f(x)dx = x^{2} - x + C}. Khi đó \int_{}^{}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{dx}} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx = x^{2} - x + C} \Rightarrow f(x) = 2x - 1

    \Rightarrow f\left( x^{2} \right) = 2\left( x^{2} \right) - 1 = 2x^{2} - 1

    \int {f\left( {{x^2}} \right)dx} = \frac{2}{3}{x^3} - x + C

  • Câu 14: Thông hiểu
    Xác định nguyên hàm của hàm số f(x)

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)thỏa mãn điều kiện: f(x) = 2x - 3cosx,\ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 3

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{(2x - 3cosx)dx = x^{2} - 3sinx + C}

    F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 3 \Leftrightarrow \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2} - 3sin\frac{\pi}{2} + C = 3

    \Leftrightarrow C = 6 -\dfrac{\pi^{2}}{4}

    Vậy F(x) = x^{2} - 3sinx + 6 - \frac{\pi^{2}}{4}

  • Câu 15: Thông hiểu
    Xác định hàm số f(x)

    Nếu \int_{}^{}{f(x)dx = e^{x} + sin^2x+ C} thì f(x) là hàm nào ?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left( e^{x} + sin^{2}x + C\right)^{'} = e^{x} + sin2x.

0/15
15 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (13%):
    2/3
  • Thông hiểu (73%):
    2/3
  • Vận dụng (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
1
15 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm