Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho điểm
thoả mãn
. Biết rằng khoảng cách từ
tới mặt phẳng
lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Ta có:
Giả sử khi đó ta có:
Mà
Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho điểm
thoả mãn
. Biết rằng khoảng cách từ
tới mặt phẳng
lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Ta có:
Giả sử khi đó ta có:
Mà
Với giá trị nào của thì hai mặt phẳng sau song song:
Áp dụng điều kiện để 2 mp song song, ta xét:
Với thoả mãn cả 3 điều kiện trên
Một phần sân trường được định vị bởi các điểm , như hình vẽ.

Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao, biết là hình thang vuông ở
và
với độ dài
,
,
. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở
nên người ta lấy độ cao ở các điểm
,
,
xuống thấp hơn so với độ cao ở
là
,
,
tương ứng. Giá trị của
là số nào sau đây?
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
, tia
; tia
.
Khi đó, ;
;
;
.
Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm ,
,
xuống thấp hơn so với độ cao ở
là
,
,
tương ứng ta có các điểm mới
;
;
.
Theo bài ra có bốn điểm ;
;
;
đồng phẳng.
Phương trình mặt phẳng .
Do nên có:
.
Vậy .
Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng
biết
đi qua hai điểm
và vuông góc với mặt phẳng
.
Ta có và
có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Do đó, có phương trình là
.
Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh
,
, mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
là giao điểm của
với
. Khoảng cách từ trung điểm
của đoạn thẳng
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh
,
, mặt bên
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
và
là giao điểm của
với
. Khoảng cách từ trung điểm
của đoạn thẳng
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Cho tứ diện ABCD có . Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình :
Theo đề bài, từ các điểm , ta tính được các vecto tương ứng là:
cùng phương với
Chọn làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD.
Phương trình (P) có dạng:
Mặt khác, điểm
Vậy phương trình .
Trong không gian , mặt phẳng chứa trục
và đi qua điểm
có phương trình là:
Mặt phẳng chứa trục có dạng
Mặt phẳng đi qua điểm nên
Do đó chọn suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là
.
Trong không gian với hệ tọa đô , cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
sao cho thể tích tứ diện
nhỏ nhất.
đi qua điểm nào dưới đây?
Gọi với
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm
.
Trong không gian , cho bốn điểm
và
. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm
?
Hình vẽ minh họa
Ta có mặt phẳng (ABC): .
Suy ra thuộc mặt phẳng (ABC).
Số mặt phẳng qua ba trong bốn điểm A, B, C, D là 1.
Số mặt phẳng qua điểm O và hai trong bốn điểm A, B, C, D là .
Vậy số mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm là
.
Trong không gian cho mặt phẳng
và hai điểm
. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
lên mặt phẳng (P). Biết
. Tổng tất cả các giá trị của tham số m là
Hình vẽ minh họa
Xét trường hợp m = 1. Khi đó cả đều thuộc (P). Trong trường hợp này
(loại).
Khi . Ta tính toán các đại lượng:
Từ đó suy ra khác phía với (P) và
Gọi H là giao điểm của AB với (P).
Theo Thales ta có:
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AEH ta có:
Phương trình này có hai nghiệm và tổng hai nghiệm đó bằng: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho bốn điểm
. Gọi
là chân đường cao vẽ từ
của tứ diện
. Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
.
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm là
Phương trình mặt phẳng
H là chân đường cao vẽ từ A của tứ diện S.ABC nên H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
Mặt phẳng qua
với VTPT
.
Phương trình mặt phẳng
.
Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho mặt cầu
, điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và cắt mặt cầu
theo thiết diện là hình tròn
có diện tích nhỏ nhất ?
Mặt cầu có tâm
.
Ta có nên điểm
nằm trong mặt cầu.
Ta có :
Diện tích hình tròn nhỏ nhất
nhỏ nhất
lớn nhất.
Do Khi đó mặt phẳng
đi qua
và nhận
làm vtpt
Trong không gian . Cho
với
. Biết mặt phẳng
qua điểm
và thể tích tứ diện
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình
:
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Cho hình vuông có cạnh
. Trên hai tia
vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
. Tính góc
giữa hai mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa

Đặt hình vẽ vào hệ trục tọa độ sao cho
trùng với O(0; 0; 0), B thuộc Ox và có tọa độ B(a; 0; 0), D thuộc Oy và có thọa độ D(0; a; 0).
Khi đó ta được .
(AEF) có một vectơ pháp tuyến là
=> cũng là vectơ pháp tuyến của (CEF)
(CEF) có một vtơ pháp tuyến là:
cũng là vectơ pháp tuyến của (CEF).
.
Trong không gian , cho điểm
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục
lần lượt tại
sao cho
?
Từ giả thiết, ta có thể coi (với
).
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là .
Do (P) đi qua M(−1; 0; 3) nên .
Theo trên có c = ±a, kết hợp với phương trình vừa thu được, ta suy ra a = −1, c = 1.
Cũng theo trên, b = ±a, nên có 2 giá trị của b.
Suy ra có 2 bộ (a, b, c) thỏa mãn, hay có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu đề bài.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng
cắt ba trục tọa độ
lần lượt tại ba điểm
. Lúc đó thể tích
của khối tứ diện
là:
Gọi lần lượt là giao của mặt phẳng
với ba trục tọa độ
.
Khi đó và tứ diện
có
đôi một vuông góc tại O.
Do đó
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
. Giả sử
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Tính
.
Ta có:
Mặt phẳng (OAB) đi qua O và có vec-tơ pháp tuyến nên có phương trình
.
Ta xác định được
Theo giả thiết
Mặt khác
Giải hệ gồm (1), (2) và (3) ta được .
Vậy .
Trong không gian tọa độ , mặt phẳng
đi qua
và chắn trên tia
một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia
và
. Giả sử
, với
. Tính
.
Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia lần lượt là
.
Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là .
Do (α) đi qua M nên .
Suy ra .
Từ đó, ta tính được: .
Cho mặt phẳng qua điểm
và chắn trên ba trục tọa độ
theo ba đoạn có số đo đại số a, b, c. Viết phương trình tổng quát của
khi a, b, c tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2.
Theo đề bài, ta có a, b, c là cấp số nhân với công bội q=2
Phương trình của
(P) qua
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến .
Ta có nên
không cùng phương với
.
Suy ra không là vectơ pháp tuyến của (P).
Vậy khẳng định sai là: “Vectơ là một véc-tơ pháp tuyến của
”.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: