Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho điểm
thoả mãn
. Biết rằng khoảng cách từ
tới mặt phẳng
lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Ta có:
Giả sử khi đó ta có:
Mà
Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho điểm
thoả mãn
. Biết rằng khoảng cách từ
tới mặt phẳng
lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Ta có:
Giả sử khi đó ta có:
Mà
Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho hai mặt phẳng
,
. Lập phương trình mặt phẳng
đi qua
và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
?
Gọi là các điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng
.
thỏa hệ phương trình :
Cho .
Cho .
Lúc đó mặt phẳng chứa 3 điểm
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm
. Biết điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Biết điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Trong không gian cho 3 điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho tổng khoảng cách từ
và
đến
lớn nhất, biết rằng
không cắt đoạn
. Khi đó, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
?
Gọi BH, CK là khoảng cách từ B, C đến . Gọi I(2; 0; -1) là trung điểm của BC.
ID là khoảng cách từ I đến , khi đó BHKC là hình thang có ID là đường trung bình nên BH + CK = 2ID

Ta có suy ra mặt phẳng
nhận
làm véc tơ pháp tuyến, phương trình
và
đi qua
Trong không gian tọa độ , cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt 3 tia
lần lượt tại 3 điểm
sao cho
. Khi
nhỏ nhất, mặt phẳng
có phương trình:
. Tính
?
Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn: , với
Hay ta viết lại
:
, mà mp
đi qua M nên
.
Ta có:
Suy ra khi
.
Suy ra .
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình hộp chữ nhật
có điểm
trùng với gốc tọa độ
,
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình hộp chữ nhật
có điểm
trùng với gốc tọa độ
,
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ tọa độ ; cho điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của điểm
trên ba trục tọa độ
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Có là hình chiếu của
lên các trục tọa độ nên mặt phẳng cần tìm là
Cho tứ diện , có
đôi một vuông góc và
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
. Khoảng cách từ
đến mặt phẳng
là:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Ta có ,
sao cho
.
Khi đó: là trọng tâm tam giác
nên
là trung điểm
nên
là trung điểm
nên
.
Phương trình mặt phẳng là:
hay
Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng
là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
là:
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta có
Suy ra một vectơ pháp tuyến của là
Hơn nữa, trung điểm của AB là I(2; 4; −3) thuộc mặt phẳng (P) nên
.
Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho điểm
và hai mặt phẳng
và
. Tìm khẳng định đúng?
Có ,
Và
Trong không gian , cho bốn điểm
,
,
,
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho ba điểm
,
,
nằm cùng phía đối với
và tổng khoảng cách từ các điểm
,
,
đến mặt phẳng
là lớn nhất. Giả sử phương trình
có dạng:
. Khi đó,
bằng:
qua
nên ta có:
.
Nên .
Tổng các khoảng cách là (Vì tử số cùng dấu).
Hay .
Đẳng có khi . Vậy
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho
và mặt phẳng
. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
là
Đường thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình
.
Gọi
Trong không gian , cho các điểm
. Số điểm cách đều bốn mặt phẳng
là
Gọi là điểm cách đều bốn mặt phẳng đã cho.
Dễ thấy các mặt phẳng lần lượt là các mặt phẳng
.
Mặt phẳng (ABC) có phương trình tổng quát là .
Do I cách đều các mặt phẳng này nên ta có:
Ta có các trường hợp
Trường hợp 1. . Khi đó (1) tương đương:
Ta được hai điểm thỏa mãn bài toán.
Trường hợp 2. Trong ba số có hai số bằng nhau và bằng số đối của số còn lại.
Khi đó, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử (các trường hợp còn lại tương tự) và (1) tương đương:
Ta được hai điểm thỏa mãn bài toán.
Vậy số điểm cách đều bốn mặt phẳng đã cho là .
Trong không gian , cho điểm
và mặt phẳng
. Điểm
thay đổi thuộc
; điểm
thay đổi thuộc mặt phẳng
. Biết rằng tam giác
có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm
là.
Nhận xét mặt phẳng song song với trục
. Ta có AB ngắn nhất nếu B là hình chiếu của A trên Oz, còn lại chọn vị trí của C trên (P) để CA + CB nhỏ nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua (P) thì , ngoài ra A’B vuông góc với Oz nên chu vi
nhỏ nhất khi C, A’ và B thẳng hàng. Vậy tọa độ
.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng cắt hai trục
và
tại và tạo với mặt phẳng
một góc
.
Gọi là giao điểm của
và trục
Vecto pháp tuyến của là:
Vecto pháp tuyến của là:
Gọi là góc tạo bởi và
Vậy có hai mặt phẳng:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm . Tìm tọa độ điểm K thuộc trục Oy sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi I là điểm thỏa mãn .
Khi đó đạt giá trị nhỏ nhất
K là hình chiếu của I trên trục Oy, vậy điểm K cần tìm là
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho
,
và hai mặt phẳng
,
. Gọi
là điểm nằm trên hai mặt phẳng
và
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
.
Giao tuyến của và
là
.
Tính các khoảng cách từ đến
, ta có
.
Gọi là trung điểm
, điểm
cần tìm là hình chiếu của
trên
.
Mà nên
. Vậy
.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng
. Gọi M là điểm thuộc (P) sao cho
vuông tại M . Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng:
Ta có: suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB.
Gọi I là trung điểm AB , khi đó và
.
Ta tính được suy ra (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau hay M là tiếp điểm của (P) và (S). Vậy M là hình chiếu của I trên (P) .
Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là:
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
suy ra .
Suy ra .
Trong không gian , cho hai điểm
,
và mặt cầu
. Khi điểm M thay đổi thuộc (S), tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Cách 1. Phương pháp véc tơ.
Gọi là tâm mặt cầu, ta có
.
Ta có :
.
Vậy để tổng lớn nhất thì cùng hướng.
Nên .
Cách 2. Khảo sát – Khử bậc hai đưa về mặt phẳng.
Gọi , ta có:
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến .
Ta có nên
không cùng phương với
.
Suy ra không là vectơ pháp tuyến của (P).
Vậy khẳng định sai là: “Vectơ là một véc-tơ pháp tuyến của
”.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: