Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường phẳng (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Phương trình chính tắc

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight).

    Viết phương trình chính tắc của cạnh AB.

    Hướng dẫn:

    (AB) là đường thẳng đi qua A và B nên có 1 vecto chỉ phương:  \overrightarrow {AB} = \left( {1, - 3,7} ight)

    (AB) đi qua A (1, 2, -3) và nhận vecto \overrightarrow {AB} = \left( {1, - 3,7} ight) làm 1 VTCP có phương trình chính tắc là:

     \begin{array}{l}AB:x - 1 = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{7}\\ \Leftrightarrow {m{ }}x - 2 = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{{z - 4}}{7}\\ \Leftrightarrow \,\,x - 1 = \frac{{2 - y}}{3} = \frac{{z + 3}}{7}\end{array}

  • Câu 2: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz,  gọi d đi qua A( - 1;0; - 1), cắt \Delta_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 2}{- 1}, sao cho góc giữa d và \Delta_{2}:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{2} là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    Gọi M = d \cap \Delta_{1} \Rightarrow M(1 + 2t;2 + t; - 2 - t)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{AM} = (2t + 2;t + 2; - 1 - t)

    \Delta_{2} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{2}} = ( - 1;2;2)

    \cos\left( d;\Delta_{2} ight) = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{t^{2}}{6t^{2} + 14t + 9}}

    Xét hàm số f(t) = \frac{t^{2}}{6t^{2} + 14t + 9}, ta suy ra được \min f(t) = f(0) = 0 \Leftrightarrow t = 0

    Do đó \min\left\lbrack \cos(\Delta,d) ightbrack = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \overrightarrow{AM} = (2;2 - 1)

    Vậy phương trình đường thẳng d là \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính diện tích tam giác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng (\alpha):x - z - 3 = 0 và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, gọi B là hình chiếu của A lên (\alpha). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi A (0; 0; a).

    Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} ight.

    B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = 0 \\z = a - t \\x - z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{a + 3}{2} \\y = 0 \\z = \dfrac{a - 3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Suy ra B\left( \frac{a + 3}{2};0;\frac{a - 3}{2} ight)

    Tam giác MAB cân tại M nên MA = MB

    \Leftrightarrow 1 + 1 + (1 - a)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} ight)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} ight)^{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Nếu a = 3 thì tọa độ A (0; 0; 3), B (3; 0; 0). Diện tích tam giác MAB là S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.

    Vậy diện tích của tam giác MAB bằng: \frac{3\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 4: Vận dụng
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz,  cho ba đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 4 - t \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} \right. d_{2}:\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z}{- 3} và d_{2}:\frac{x + 1}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1}. Gọi \Delta là đường thẳng cắt d_{1},d_{2},d_{3} lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho AB = BC. Phương trình đường thẳng \Delta là

    Hướng dẫn:

    Gọi A \in d_{1},B \in d_{2},C \in d_{3}

    Ta có: A(a;4 - a; - 1 + 2a),B(b;2 - 3b; - 3b),C( - 1 + 5c;1 + 2c; - 1 + c)

    Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow A,B,C thẳng hàng và AB = BC

    \Leftrightarrow B là trung điểm AC \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 1 + 5c = 2b \\ 4 - a + 1 + 2c = 2(2 - 3b) \\ - 1 + 2a - a + c = 2( - 3b) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra A(1;3;1),B(0;2;0),,C( - 1;1; - 1)

    \Delta đi qua điểm B(0;2;0và có vecto chỉ phương là \overrightarrow{CB} = (1;1;1)

    Vậy phương trình đường thẳng \Delta là \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; −1; 2), B(−2; 0; 3), C(0; 1; −2). Điểm M(a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, T = 12a + 12b + c có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Chọn I sao cho 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

    Ta tính được I\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)

    Ta thấy

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight) \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight) + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} ight) + \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} \\ \end{matrix} ight.

    S = 6{\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI}\left( 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} ight)

    \Rightarrow S = 6MI^{2} +\underset{CONST}{\overset{4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +5\overrightarrow{IC}}{︸}}

    Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

    Vậy M là hình chiếu vuông góc của I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight) lên (Oxy) \Rightarrow M\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};0 ight)

    Ta xác định được \left\{ \begin{matrix}a = - \dfrac{1}{6} \\b = \dfrac{1}{12} \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = - 1

  • Câu 6: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 3 \\ z = - 2 + t \\ \end{matrix} \right.. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d_{1},\ d_{2} là.

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A(2 + a;1 - a;2 - a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B(b;3; - 2 + b)

    \overrightarrow{AB} = ( - a + b - 2;a + 2;a + b - 4)

    d_{1} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{1}} = (1; - 1; - 1)

    d_{2} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{2}} = (1;0;1)

    \left\{ \begin{matrix} d\bot d_{1} \\ d\bot d_{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{a_{1}} \\ \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{a_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_{1}} = 0 \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_{2}} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(2;1;2);B(3;3;1)

    d đi qua điểm A(2;1;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{AB} = (1;2; - 1)

    Vậy phương trình của d là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ .

  • Câu 7: Thông hiểu
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}, d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}. Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;2;3) vuông góc với d_{1} và cắt đường thẳng d_{2} có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1} có phương trình tham số là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Gọi giao điểm của ∆ và d2 là B(1 - t;1 + 2t; - 1 - t)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - t;2t - 1; - t - 4)

    Đường thẳng \Delta\bot d_{1} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d_{1}}} = 0

    \Rightarrow - t.3 + (2t - 1).2 + ( - t - 4)( - 1) = 0

    \Leftrightarrow 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 1

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1; - 3; - 3) là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

    Phương trình \Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 3}

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1} và mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0 Đường thẳng (P):x + y + z + 2 = 0 nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d đồng thời khoảng cách từ giao điểm I của d với (P) đến \Delta bằng \sqrt{42}. Gọi M(5;b;c) là hình chiếu vuông góc của I trên \Delta Giá trị của bc bằng

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}}(2;1; - 1).

    Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là \overrightarrow{n}(1;1;1).

    Gọi \overrightarrow{u_{2}} là vecto chỉ phương của đường thẳng \Delta. Khi đó \overrightarrow{u_{2}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (2; - 3;1)

    Vì I = d \cap (P) nên ta tìm được I(1; - 3;0)

    Gọi \Delta' là đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với \Delta, \Delta \cap \Delta' = M thỏa mãn IM = \sqrt{42}

    có vecto chỉ phương là: \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = (4;1; - 5).

    Khi đó có phương trình là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = - 3 + t \\ z = - 5t \\ \end{matrix} \right..

    Gọi M \in \Delta^{'} \Rightarrow M(1 + 4t; - 3 + t; - 5t), IM = \sqrt{42}

    \Rightarrow (4t)^{2} + t^{2} + (5t)^{2} = 42 \Leftrightarrow t = \pm 1.

    Vớit = 1 \Rightarrow M(5; - 2; - 5) \Rightarrow bc = 10.

    Với t = - 1 \Rightarrow M( - 3; - 4; - 5)(L)

    Vậy bc = 10

  • Câu 9: Vận dụng
    Tìm phương trình đường thẳng thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{1} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 3 \\ \end{matrix} \right.. Phương trình đường thẳng vuông góc với (P):7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d_{1},\ d_{2} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A(2a;1 - a; - 2 + a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B( - 1 + 2b;1 + b;3)

    \overrightarrow{AB} = ( - 2a + 2b - 1;a + b; - a + 5)

    (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (7;1; - 4)

    d\bot(P) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{p}} cùng phương

    \Leftrightarrow có một số k thỏa \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{n_{p}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 1 = 7k \\ a + b = k \\ - a + 5 = - 4k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 7k = 1 \\ a + b - k = 0 \\ - a + 4k = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 2 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    d đi qua điểm A(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{n_{P}} = (7;1 - 4)

    Vậy phương trình của d là \frac{x - 2}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 4}

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Chọn vectơ chỉ phương thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là \frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3} Biết rằng điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0) thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Hướng dẫn:

    Giả sử A(t;6 - 4t;6 - 3t), ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}} = (1; - 4; - 3) \\ \overrightarrow{AM} = ( - t;4t - 1; - 3 + 3t) \\ \overrightarrow{AN} = (1 - t; - 5 + 4t;3t - 6) \\ \end{matrix} \right.

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{AM} \right) \right| = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{AN} \right) \right|

    \Leftrightarrow \frac{|26t - 13|}{\sqrt{26t^{2} - 26t + 10}} = \frac{|26t - 39|}{\sqrt{26t^{2} - 78t + 62}}

    \Leftrightarrow \frac{|2t - 1|}{\sqrt{13t^{2} - 13t + 5}} = \frac{|2t - 3|}{\sqrt{13t^{2} - 39t + 31}}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( 4t^{2} - 4t + 1 \right)\left( 13t^{2} - 39t + 31 \right) = \left( 4t^{2} - 12t + 9 \right)\left( 13t^{2} - 13t + 5 \right) \\ \Leftrightarrow 14t = 14 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A(1;2;3) \Rightarrow \overrightarrow{AN} = (0; - 1; - 3) \\ \end{matrix}

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là \overrightarrow{u}(0;1;3)

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Xác định số đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \left( d_{1} \right):\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1}, \left( d_{2} \right):\frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{3} \right):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{4} \right):\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả đường thẳng trên là

    Hướng dẫn:

    \left( d_{1} \right) đi qua điểm M_{1}(3; - 1; - 1) và có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;1).

    \left( d_{2} \right) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1).

    \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 3;1;2).

    Vì \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} và \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) \neq \overrightarrow{0} nên \left( d_{1} \right) song song với \left( d_{2} \right).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \left( d_{1} \right) và \left( d_{2} \right).

    (P) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) hay \overrightarrow{n} = (1;1;1) có phương trình 1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0.

    Gọi A = \left( d_{3} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + t \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 1 \\ z = 1 \\ t = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(1; - 1;1).

    Gọi B = \left( d_{4} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t' \\ y = 1 - t' \\ z = - t' \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ t' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(0;1;0).

    Vì \overrightarrow{BA} = (1; - 2;1) cùng phương với \overrightarrow{u_{1}} nên (d) không thỏa mãn.

  • Câu 12: Vận dụng
    Viết phương trình đường phân giác

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt nhau \Delta_{1}:\frac{x +1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{3},\Delta_{2}:\frac{x + 1}{1} =\frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 3}. Trong mặt phẳng \left( \Delta_{1};\Delta_{2} ight), hãy viết phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi \Delta_{1};\Delta_{2}

    Hướng dẫn:

    Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là \overrightarrow{u_{1}} = (1;2;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)

    Ta có \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = - 4 < 0, suy ra góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} và \overrightarrow{u_{2}} là góc tù.

    Lại có \left| \overrightarrow{u_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{u_{2}} ight|

    Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u_{1}} - \overrightarrow{u_{2}} = (0;0;6) = 6(0;0;1)

    Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (0;0;1)

    Vậy phương trình đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A( - 3;0;1),B(1; - 1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song, (P) đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).

    Ta có: ( - 3 - 2.0 + 2.1 - 5)(1 + 2.1 + 2.3 - 5) < 0=> A; B nằm về hai phía với (P).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q)=> BH cố định và d\left( B;(Q) \right) = BH.

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay d//(P).

    Ta có: BK \geq BH \Leftrightarrow d(B,d) > d(B,AH) \Rightarrow d(B,d) bé nhất bằng BH khi K \equiv H.

    Gọi \overrightarrow{n} là VTPT của (ABH) \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{AB} \right\rbrack = ( - 2;6;7).

    d cần lập qua A, H và có VTCP \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n},\overrightarrow{n_{P}} \right\rbrack = (26;11; - 2).

    Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: \frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tính diện tích tam giác MAB

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - z - 3 = 0 và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, B là hình chiếu của A lên (\alpha). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi A(0;0;a) với a > 0. Đường thẳng AB đi qua điểm A(0;0;a) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0; - 1) có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    B \in (\alpha) \Rightarrow t - a + t - 3 = 0

    \Rightarrow t = \frac{3 + a}{2} \Rightarrow B\left( \frac{3 + a}{2};0;\frac{a - 3}{2} \right)

    Vì tam giác MAB cân tại M \Rightarrow MA = MB

    \Rightarrow 1 + 1 + (a - 1)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} \right)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} \right)^{2}

    \Rightarrow a^{2} - 2a + 1 + 1 = \frac{a^{2} + 2a + 1}{4} + \frac{a^{2} - 10a + 25}{4}

    \Rightarrow 4a^{2} - 8a + 8 = 2a^{2} - 8a + 26

    \Rightarrow 2a^{2} = 18 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow A(0;0;3),B(3;0;0)

    Cách 1: Ta có:

    \overrightarrow{AM} = (1;1; - 2),\overrightarrow{BM} = ( - 2;1;1)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} \right\rbrack = (3;3;3)

    \Rightarrow S_{ABM} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} \right\rbrack \right| = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Cách 2: Gọi I là trung điểm của AB. Ta có I\left( \frac{3}{2};0;\frac{3}{2} \right).

    IM = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^{2} + ( - 1)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}.

    AB = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + ( - 3)^{2}} = 3\sqrt{2}.

    Do đó S_{ABM} = \frac{1}{2}IM.AB = \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{6}}{2}.3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M = (1; - 1;2) và hai đường thẳng d_{1} : \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight. d_{2}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}. Đường thẳng \Delta đi qua diểm M và cắt cả hai đường thẳng d_{1},d_{2} có véc tơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;a;b). Tính a + b?

    Hướng dẫn:

    Gọi A,B lần lượt là giao điểm của đường thẳng \Delta với d_{1},d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A\left( t_{1};1 - t_{1}; - 1 ight);B \in d_{2} \Rightarrow B\left( - 1 + 2t_{2};1 + t_{2}; - 2 + t_{2} ight)

    M \in \Delta \Leftrightarrow M,A,B\ \text{thẳng\ hàng~} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}(1)

    \overrightarrow{MA} = \left( t_{1} - 1;2 - t_{1}; - 3 ight);\overrightarrow{MB} = \left( 2t_{2} - 2;t_{2} + 2;t_{2} - 4 ight)

    (1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 = k(2t_{2} - 2) \\ 2 - t_{1} = k(t_{2} + 2) \\ - 3 = k(t_{2} - 4) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 2kt_{2} + 2k = 1 \\ - t_{1} - kt_{2} - 2k = - 2 \\ kt_{2} - 4k = - 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} = 0 \\ kt_{2} = \frac{1}{3} \\ k = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.

    Từ t_{1} = 0 \Rightarrow A(0;1; - 1).

    Do đường thẳng \Delta đi qua điểm A và M nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta là \overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AM} = (1; - 2;3).

    Vậy a = - 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 1

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho bốn đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{- 2}; d_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{- 4}; d_{3}:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}; d_{4}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{- 1}. Gọi \Delta là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta.

    Hướng dẫn:

    Ta có d_{1}//d_{2}. Phương trình mặt phẳng \left( d_{1};d_{2} \right):y - z + 2 = 0

    Gọi \left\{ \begin{matrix}A = d_{3} \cap \left( d_{1};d_{2} \right) \Rightarrow A\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right) \\B = d_{4} \cap \left( d_{1};d_{2} \right) \Rightarrow B(4;2;0) \\\end{matrix} \right.

    Khi đó AB là đường thẳng \Delta. \overrightarrow{AB} = \left( 3;\frac{3}{2}; - \frac{3}{2} \right) \Rightarrow \overrightarrow{u_{2}} = (2;1; - 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta.

  • Câu 17: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn đường thẳng \left( d_{1} ight):\frac{x - 3}{1} = \frac{y +1}{- 2} = \frac{z + 1}{1},\left( d_{2} ight):\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{3} ight):\frac{x - 1}{2} = \frac{y +1}{1} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{4} ight):\frac{x}{1} = \frac{y -1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

    Hướng dẫn:

    Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).

    Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.

    Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).

    (∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).

    Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.

  • Câu 18: Vận dụng
    Phương trình đường trung trực

    Cho tam giác ABC có A\left( {3, - 1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,2, - 7} ight);\,\,\,\,C\left( { - 5,14, - 3} ight). Viết phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC của tam giác ABC. 

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta tính được \overrightarrow {BA} = \left( {2, - 3,6} ight),\overrightarrow {BC} = 2\left( { - 3,6,2} ight)

    Từ đó, suy ra VTPT của mặt phẳng (ABC) là: \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } ight] = - \left( {42,22, - 3} ight)

    Phương trình (ABC) là:

    \begin{array}{l}\left( {x - 3} ight)42 + \left( {y + 1} ight)22 + \left( {z + 1} ight)\left( { - 3} ight) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {ABC} ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0\end{array}

    Mặt khác, ta có M là trung điểm của BC nên M có tọa độ là M (-2, 8, -5)

    Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của cạnh BC là:

    \left( P ight):\,\,\left( {x + 2} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {y - 8} ight)6 + \left( {z + 5} ight)2 = 0

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( P ight):3x - 6y - 2z + 44 = 0\\ \Rightarrow \left( d ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0;\,\,3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array}

    Phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC:

    (d):\,\,\left\{ \begin{array}{l}42x + 22y - 3z - 107 = 0\\3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array} ight.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P):x - 2y + z - 1 = 0;(Q):x - 2y + z + 8 =0;(R):x - 2y + z - 4 = 0. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt (P),(Q),(R) lần lượt tại A,B,C. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}}.

    Gợi ý:

    Nhận xét (P)//(Q)//(R)

    Sử dụng BĐT Cauchy và định lí Ta-let đánh giá biểu thức T.

    Hướng dẫn:

    Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).

    Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng (P),(Q),(R) cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.

    Ta có BH = d\left( (Q),(P) ight) = 9;HK = d\left( (P),(R) ight) = 3

    Khi đó ta có:

    T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}} \geq 2\sqrt{AB^{2}.\frac{144}{AC^{2}}} = 24.\frac{AB}{AC} = 24.\frac{BH}{HK} = 24.\frac{9}{3} = 72

    Vậy T_{\min} = 72.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tìm phương trình đường thẳng

    Đường thẳng \Delta là giao tuyến của 2 mặt phẳng: x + z - 5 = 0 và x - 2y - z + 3 = 0 thì có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (P):x + z - 5 = 0 có 1 vtpt \overrightarrow{n_{1}} = (1;0;1)

    (Q):x - 2y - z + 3 = 0 có 1 vtpt \overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2; - 1)

    Gọi \Delta là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì \Delta có 1 vtcp \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right\rbrack = (2;2; - 2).

    Vậy đáp án cần tìm là: \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{- 1}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
19 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm