Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường phẳng (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{1} và \Delta_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{1}. Đường thẳng d song song với (P):x + y - 2z + 5 = 0 và cắt hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2} lần lượt tại A,B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    Gọi A = d \cap \Delta_{1},B = d\cap\Delta_{2}

    \begin{matrix} A \in \Delta_{1} \Rightarrow A( - 1 + a; - 2 + 2a;a) \\ B \in \Delta_{2} \Rightarrow B(2 + 2b;1 + b;1 + b) \\ \overrightarrow{AB} = ( - a + 2b + 3; - 2a + b + 3; - a + b + 1) \\ d//(P) \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 4 \\ \overrightarrow{AB} = (a - 5; - a - 1; - 3) \\ AB = \sqrt{2(a - 2)^{2} + 27} \geq 3\sqrt{3};\forall a\mathbb{\in R} \\ \end{matrix}

    Dấu " = " xảy ra khi a = 2 \Rightarrow A(1;2;2),B( - 2; - 1; - 1)

    \overrightarrow{AB} = (- 3; - 3; -3)

    d đi qua điểm A(1;2;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (1;1;1)

    Vậy phương trình của d là x - 1 = y - 2 = z - 2

  • Câu 2: Thông hiểu
    Xác định tọa độ hình chiếu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;0;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{2}. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d.

    Hướng dẫn:

    Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M(2;0;1) và vuông góc với đường thẳng d.

    Suy ra (P) nhận \overrightarrow{u_{d}} = (1;2;1) làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng

    (P):(x - 2) + 2y + z - 1 = 0

    \Leftrightarrow x + 2y + z - 3 = 0.

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d, suy ra H = d \cap (P).

    Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 2}{2} \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x - y = 2 \\y - 2z = - 4 \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 1 \\y = 0 \\z = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):2x + y - 2z + 9 = 0 và ba điểm A(2; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 3;-1). Điểm M ∈ (α) sao cho \left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Xét điểm I(a; b; c) thỏa mãn: 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó

    \left\{ \begin{matrix} 2(2 - a) - 3a - 4(1 - a) = 0\ \\ 2(1 - b) + 3(2 - b) - 4(3 - b) = 0\ \\ - 2c + 3(1 - c) - 4( - 1 - c) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0\ \\ b = - 4\ \\ c = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0; - 4;7)

    Khi đó:

    \left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| = \left| 2\overrightarrow{MI} + 3\overrightarrow{MI} - 4\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} ight| = IM

    Do đó \left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (\alpha).

    Do M(x;y;z) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (\alpha) nên ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IM} = k.\overrightarrow{n} \\ M \in (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2k\ \\ y + 4 = k\ \\ z - 7 = - 2k\ \\ 2x + y - 2z + 9 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 1 \\ x = 2\ \\ y = - 3\ \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy M = (2; - 3;5) \Rightarrow x_{M} + y_{M} + z_{M} = 4.

  • Câu 4: Vận dụng
    Phương trình đường trung trực

    Cho tam giác ABC có A\left( {3, - 1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,2, - 7} ight);\,\,\,\,C\left( { - 5,14, - 3} ight). Viết phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC của tam giác ABC. 

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta tính được \overrightarrow {BA} = \left( {2, - 3,6} ight),\overrightarrow {BC} = 2\left( { - 3,6,2} ight)

    Từ đó, suy ra VTPT của mặt phẳng (ABC) là: \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } ight] = - \left( {42,22, - 3} ight)

    Phương trình (ABC) là:

    \begin{array}{l}\left( {x - 3} ight)42 + \left( {y + 1} ight)22 + \left( {z + 1} ight)\left( { - 3} ight) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {ABC} ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0\end{array}

    Mặt khác, ta có M là trung điểm của BC nên M có tọa độ là M (-2, 8, -5)

    Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của cạnh BC là:

    \left( P ight):\,\,\left( {x + 2} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {y - 8} ight)6 + \left( {z + 5} ight)2 = 0

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( P ight):3x - 6y - 2z + 44 = 0\\ \Rightarrow \left( d ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0;\,\,3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array}

    Phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC:

    (d):\,\,\left\{ \begin{array}{l}42x + 22y - 3z - 107 = 0\\3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array} ight.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho bốn đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{- 2}; d_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{- 4}; d_{3}:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}; d_{4}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{- 1}. Gọi \Delta là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta.

    Hướng dẫn:

    Ta có d_{1}//d_{2}. Phương trình mặt phẳng \left( d_{1};d_{2} \right):y - z + 2 = 0

    Gọi \left\{ \begin{matrix}A = d_{3} \cap \left( d_{1};d_{2} \right) \Rightarrow A\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right) \\B = d_{4} \cap \left( d_{1};d_{2} \right) \Rightarrow B(4;2;0) \\\end{matrix} \right.

    Khi đó AB là đường thẳng \Delta. \overrightarrow{AB} = \left( 3;\frac{3}{2}; - \frac{3}{2} \right) \Rightarrow \overrightarrow{u_{2}} = (2;1; - 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính tổng C

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1;5;0),B(3;3;6) và đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}. Gọi M(a;b;c) \in \Delta sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng C = MA + MB + AB?

    Hướng dẫn:

    Ta cóM(a;b;c) \in \Delta \Rightarrow M(2t - 1; - t + 1;2t).

    Từ đó ta có: C = MA + MB + AB = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} + 2\sqrt{11}.

    C(t) = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} + 2\sqrt{11}

    \Rightarrow C'(t) = \frac{9}{\sqrt{9t^{2} + 20}} + \frac{9t - 18}{\sqrt{9t^{2} - 36t + 56}} = 0

    \Rightarrow t = 1

    Lập BBT ta có: \min C(t) = C(1) \Rightarrow t = 1 \Rightarrow M(1;0;2).

    Khi đó: C = MA + MB + AB = T

    Đề xuất: Đánh giá f(t) = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} như sau

    f(t) = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56}

    = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9(t - 2)^{2} + 20}

    Trong hệ trục Oxy, chọn \overrightarrow{u} = \left( 2t;2\sqrt{5} \right),\overrightarrow{v} = \left( - 3(t - 2);2\sqrt{5} \right), \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 6;4\sqrt{5} \right). Khi đó
    f(t) = \left| \overrightarrow{u} \right| + \left| \overrightarrow{v} \right| \geq \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right| = 2\sqrt{14}.

    Đẳng thức xảy ra khi và chi khi \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} cùng hướng\Leftrightarrow \frac{3t}{- 3(t - 2)} = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M(1;0;2).

  • Câu 7: Vận dụng
    Tìm tọa độ giao điểm

    Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;1;3) đồng thời cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại M,N,P sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) với (P) có toạ độ là:

    Hướng dẫn:

    Gọi M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)

    Theo giả thiết, ta có a;b;c là các số dương.

    Phương trình mặt phẳng (P) là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    (P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1

    Ta có: \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{3}{c}} = \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}}

    \Leftrightarrow 1 \geq \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc} \geq 3\sqrt[3]{6} \Leftrightarrow abc \geq 112

    V_{OMNP} = \frac{abc}{6} \geq 27. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 3 \\ c = 9 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy (P):\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1

    Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \\ z = 6 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy đáp án cần tìm là: (4; - 1;6).

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tìm tọa độ điểm M và tính chu vi tam giác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;5;0),B(3;3;6) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \\ \end{matrix} \right.. Một điểm M thay đổi trên d sao cho chu vi tam giác ABM nhỏ nhất. Khi đó tọa độ điểm M và chu vi tam giác ABM là:

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Phương pháp trắc nghiệm

    - Kiểm tra thấy chỉ có điểm M(1;0;2) thuộc d nên lại phương án B,C

    - Với M(1;0;2) tính chi vi tam giác ABM suy ra chọn D.

    Cách 2.

    - Lấy điểm M( - 1 + 2t;1 - t;2t) thuộc d

    - Tính chu vi tam giác ABM:

    P = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} + 2\sqrt{11}

    = \sqrt{(3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} \right)^{2}} + \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} \right)^{2}} + 2\sqrt{11} (dùng BĐT vectơ)

    \geq \sqrt{(3t + 6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \right)^{2}} = 2\left( \sqrt{29} + \sqrt{11} \right)

    Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow \frac{3t}{6 - 3t} = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \geq 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M(1;0;2).

  • Câu 9: Vận dụng
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 4y + z + 1 = 0 và hai điểm A(1; 0; 2), B(2; 5; 3). Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ nhất có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;b;c)

    Phương trình đường thẳng d có dạng \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = bt \\ z = 2 + ct \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do đường thẳng d k (P) nên 1 - 4b + c = 0 \Rightarrow c = 4b - 1.

    Khoảng cách từ B đến đường thẳng d là:

    d(B;d) = \frac{\left| \overrightarrow{u} \land \overrightarrow{AB} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{378b^{2} - 216b + 54}}{\sqrt{17b^{2} - 8b + 2}}

    Xét hàm số f(b) = \frac{378b^{2} - 216b + 54}{17b^{2} - 8b + 2} có

    f'(b) = \frac{648b^{2} - 324b}{\left( 17b^{2} - 8b + 2 ight)^{2}} \Rightarrow f'(b) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 0 \\ b = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta được khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất tại b = \frac{1}{2}

    Khi đó \overrightarrow{u} = \left( 1;\frac{1}{2};1 ight), chọn \overrightarrow{u} = (2;1;2).

    Phương trình đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2} hay \frac{x - 3}{2} = \frac{1 - y}{- 1} = \frac{z - 4}{2}.

  • Câu 10: Vận dụng
    Phương trình tổng quát

    Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) qua A (2, 3, 1)  cắt đường thẳng \left( {{d_1}} ight):\frac{{x - 2}}{3} = y + 3 = \frac{{z + 1}}{2} và vuông góc đường thẳng \left( {{d_2}} ight):x = t - 2;\,\,y = 4 - 2t;\,\,z = 3 - t,\,\,\,t \in R\,\,

    Hướng dẫn:

     Lấy điểm B\left( {2, - 3, - 1} ight) nằm trên đường thẳng (d1).

    Theo đề bài, ta có (d1) qua B\left( {2, - 3, - 1} ight) có vecto chỉ phương là \overrightarrow a = \left( {3,1,2} ight)

    Ta có: \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} = \left( {0, - 6, - 2} ight) = - 2\left( {0,3,1} ight)

    Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) chứa A và \left( {{d_1}} ight):\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = - \left( {5,3, - 9} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):5\left( {x - 2} ight) + 3\left( {y - 3} ight) - 9\left( {z - 1} ight) = 0 \Leftrightarrow 5x + 3y - 9z - 10 = 0 (1)

    Xét tiếp đường thẳng có vecto chỉ phương của là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua A và vuông góc với . Ta có phương trình mp (Q) là

    \left( Q ight):\left( {x - 2} ight) - 2\left( {y - 3} ight) - \left( {z - 1} ight) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - z + 5 = 0 (2)

    Từ (1) và (2) ta suy ra:

    \Rightarrow \left( d ight):5x + 3y - 9z - 10 = 0;x - 2y - z + 5 = 0

  • Câu 11: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 1} và mặt phẳng (P):x + 2y - 3z + 4 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P), cắt và vuông góc đường thẳng \Delta là:

    Hướng dẫn:

    Gọi M = \Delta \cap (P)

    M \in \Delta \Rightarrow M( - 2 + t;2 + t; - t)

    M \in (P) \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 3;1;1)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1;2; - 3)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = (1;1; - 1)

    Có \left. \ \begin{matrix} d \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \\ d\bot\Delta \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{a_{\Delta}} ightbrack = (1; - 2; - 1)

    d đi qua điểm M( - 3;1;1) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a_{d}}

    Vậy phương trình tham số của d là \left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ .

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Chọn vectơ chỉ phương thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là \frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3} Biết rằng điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0) thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Hướng dẫn:

    Giả sử A(t;6 - 4t;6 - 3t), ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}} = (1; - 4; - 3) \\ \overrightarrow{AM} = ( - t;4t - 1; - 3 + 3t) \\ \overrightarrow{AN} = (1 - t; - 5 + 4t;3t - 6) \\ \end{matrix} \right.

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{AM} \right) \right| = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{AN} \right) \right|

    \Leftrightarrow \frac{|26t - 13|}{\sqrt{26t^{2} - 26t + 10}} = \frac{|26t - 39|}{\sqrt{26t^{2} - 78t + 62}}

    \Leftrightarrow \frac{|2t - 1|}{\sqrt{13t^{2} - 13t + 5}} = \frac{|2t - 3|}{\sqrt{13t^{2} - 39t + 31}}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( 4t^{2} - 4t + 1 \right)\left( 13t^{2} - 39t + 31 \right) = \left( 4t^{2} - 12t + 9 \right)\left( 13t^{2} - 13t + 5 \right) \\ \Leftrightarrow 14t = 14 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A(1;2;3) \Rightarrow \overrightarrow{AN} = (0; - 1; - 3) \\ \end{matrix}

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là \overrightarrow{u}(0;1;3)

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tính tổng các tham số

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là ax + by + cz + 9 = 0. Tính tổng a + b + c

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

    Phương trình tham số của \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

    Khi đó \left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}

    Lại có: \cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}

    Vậy \widehat{NMH}lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

    Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

    Vectơ pháp tuyến của (Q) là \overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)

    Vectơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)

    Phương trình mặt phẳng (P) là 1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0

    \Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0

    Vậy a + b + c = 4

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0; −1; 2), B(2; −3; 0), C(−2; 1; 1), D(0; −1; 3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Gọi M(x; y; z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x;y + 1;z - 2) \\ \overrightarrow{BM} = (x - 2;y + 3;z) \\ \overrightarrow{CM} = (x + 2;y - 1;z - 1) \\ \overrightarrow{DM} = (x;y + 1;z - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Từ giả thiết \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 1 \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x(x - 2) + (y + 1)(y + 3) + z(z - 2) = 1 \\ x(x + 2) + (y + 1)(y - 1) + (z - 1)(z - 3) = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z + 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm I_1(1; −2; 1), R_1 = 2 và mặt cầu tâm I_2(−1; 0; 2), R_2 = 2

    I_{1}I_{2} = \sqrt{5}

    Dễ thấy r = \sqrt{{R_{1}}^{2} - \left( \frac{I_{1}I_{2}}{2} ight)^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2}

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tính độ dài đường cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;0;1),B( - 3;2;0),C(2; - 2;3). Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 3;2;1),\overrightarrow{AC} = (2; - 2;2)

    \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (2;4;2)

    Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác ABC là \overrightarrow{u} = \frac{1}{12}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;0; - 1)

    Phương trình đường cao kẻ từ B là: \left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 2 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Ta thấy điểm P( - 1;2; - 2) thuộc đường thẳng trên.

  • Câu 16: Vận dụng
    Viết phương trình đường phân giác

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt nhau \Delta_{1}:\frac{x +1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{3},\Delta_{2}:\frac{x + 1}{1} =\frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 3}. Trong mặt phẳng \left( \Delta_{1};\Delta_{2} ight), hãy viết phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi \Delta_{1};\Delta_{2}

    Hướng dẫn:

    Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là \overrightarrow{u_{1}} = (1;2;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)

    Ta có \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = - 4 < 0, suy ra góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} và \overrightarrow{u_{2}} là góc tù.

    Lại có \left| \overrightarrow{u_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{u_{2}} ight|

    Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u_{1}} - \overrightarrow{u_{2}} = (0;0;6) = 6(0;0;1)

    Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (0;0;1)

    Vậy phương trình đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 17: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 2; - 1),B\left( - \frac{4}{3}; - \frac{8}{3};\frac{8}{3} ight). Đường thẳng \Delta đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). Hỏi \Delta đi qua điểm nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có: OA = 3,OB = 4,AB = 5

    Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

    \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{AB.x_{O} + OB.x_{A} + OA.x_{B}}{AB + OB + OA} \\ y_{I} = \frac{AB.y_{O} + OB.y_{A} + OA.y_{B}}{AB + OB + OA} \\ z_{I} = \frac{AB.z_{O} + OB.z_{A} + OA.z_{B}}{AB + OB + OA} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \frac{4}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ y_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 2) + 3.\left( - \frac{8}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ z_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 1) + 3.\frac{8}{3}}{5 + 4 + 3} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{1}{3} \\ y_{I} = - \frac{4}{3} \\ z_{I} = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I\left( \frac{1}{3}; - \frac{4}{3};\frac{1}{3} ight)

    \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 8; - 4; - 8) = - 4(2;1;2)

    Phương trình đường thẳng \Delta:\frac{x - \frac{1}{3}}{2} = \frac{y + \frac{4}{3}}{1} = \frac{z - \frac{1}{3}}{2}

    Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).

  • Câu 18: Thông hiểu
    Định phương trình tổng quát của mặt phẳng

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng (D):x = 2t - 1;\ \ \ y = t + 2;\ \ \ z = 1 - 3t và (d):x - y - 1 = 0;\ \ \ z + 2 = 0

    Hướng dẫn:

    (D) qua M( - 1,2,1) và có vecto chỉ phương \overrightarrow{a} = (2,1, - 3)

    Cho y = t \Rightarrow x = t + 1;z = - 2 \Rightarrow (d):x = t + 1;y = t;z = - 2

    (d) qua N(1,0, - 2) và có vecto chỉ phương \overrightarrow{b} = (1,1,0)

    Pháp vecto của (P):\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack = (3, - 3,1)

    (P) qua trung điểm E\left( 0,1, - \frac{1}{2} \right) của đoạn MN.

    \Rightarrow (P):\ 3(x - 0) - 3(y - 1) + 1\left( z + \frac{1}{2} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6y + 2z + 5 = 0

  • Câu 19: Vận dụng
    Xác định tọa độ điểm H

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−1; 0; 1), B(1; 1; −1); C(5; 0; −2). Tìm tọa độ điểm H sao cho tứ giác ABCH lập thành hình thang cân với hai đáy AB, CH.

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2;1; - 2);M\left( 0;\frac{1}{2};0 ight) là trung điểm AB.

    Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của AB \Rightarrow (\alpha):2x + y - 2z - \frac{1}{2} = 0

    Gọi d là đường thẳng qua C và song song AB \Rightarrow d:\left\{ \begin{matrix} x = 5 + 2t \\ y = t \\ z = - 2 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Gọi I là hình chiếu của C lên (α).

    Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}x = 5 + 2t \\y = t \\z = - 2 - 2t \\2x + y - 2z - \dfrac{1}{2} = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - \dfrac{3}{2} \\z = 1 \\t = - \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I\left( 2; - \dfrac{3}{2};1ight)

    Do ABCH là hình thang cân nên H và C đối xứng nhau qua mp(α).

    ⇒ I là trung điểm CH

    ⇒ H(−1; −3; 4).

  • Câu 20: Vận dụng
    Xác định phương trình d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) và B( - 1;2;4). Phương trình d đi qua trọng tâm của \Delta OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là

    Hướng dẫn:

    Gọi G là trọng tâm \Delta OAB, ta có G(0;2;2)

    \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1;4;2) \\ \overrightarrow{OB} = ( - 1;2;4) \\ \end{matrix}

    Gọi \overrightarrow{a_{d}} là vectơ chỉ phương của d

    d\bot(OAB) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d\bot OA \\ d\bot OB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OA} \\ \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OB} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = (12; - 6;6) = 6(2; - 1;1)

    Vậy phương trình của d là \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 2}{1}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
19 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm