Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường phẳng (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    PT hình chiếu của đường thẳng

    Cho hai đường thẳng: ({d_1}):\frac{{x - 3}}{{ - 7}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3},({d_2}):\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 9}}{{ - 1}}

    và mặt phẳng (\alpha ):x + y + z + 3 = 0 .

    Hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1})  lên mặt phẳng (\alpha ) có phương trình tổng quát:

    Hướng dẫn:

    Vectơ chỉ phương của ({d_1}):\overrightarrow a = ( - 7,2,3). Vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b = (1,2, - 1).

    Phương trình của mặt phẳng chứa ({d_2}) và có phương của ({d_1})có dạng: 

    2x + y + 4z + D = 0

    Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này 

    => D = -53

    Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng (\alpha ) là hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1}) lên (\alpha ): \left\{ \begin{array}{l}2x + y + 4z - 53 = 0\\x + y + z + 3 = 0\end{array} ight.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm M(2;1; - 5), đồng thời vuông góc với hai vectơ \overrightarrow{a} = (1;0;1)và \overrightarrow{b} = (4;1; - 1) là

    Hướng dẫn:

    \Delta đi qua điểm M(2;1; - 5), và có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } ight] = \left( { - 1;5;1} ight)

    Vậy phương trình chính tắc của   là d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 3 \\ z = - 2 + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{- 1}. Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm A(2;3; - 1) cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (\alpha):x + y + z - 1 = 0 bằng 2\sqrt{3}.

    Hướng dẫn:

    B \in d \Rightarrow B(1 + t;2 + 2t; - t)

    d\left( B,(\alpha) ight) = 2\sqrt{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} B(3;6; - 2),\ \overrightarrow{AB} = (1;3; - 1) \\ B( - 3; - 6;4),\ \overrightarrow{AB} = ( - 5; - 9;5) \\ \end{matrix} ight.S

    \Delta đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x + 3}{- 5} = \frac{y + 6}{- 9} = \frac{z - 2}{5} và \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 2}{- 1}.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ O đến (P)

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ điểm A đến (P) là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P) bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.

    Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.

    Ta tìm được (P):x - 4y + z - 3 = 0 \Rightarrow d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Xác định số đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \left( d_{1} \right):\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1}, \left( d_{2} \right):\frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{3} \right):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}, \left( d_{4} \right):\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả đường thẳng trên là

    Hướng dẫn:

    \left( d_{1} \right) đi qua điểm M_{1}(3; - 1; - 1) và có VTCP \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;1).

    \left( d_{2} \right) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có VTCP \overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1).

    \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 3;1;2).

    Vì \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} và \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) \neq \overrightarrow{0} nên \left( d_{1} \right) song song với \left( d_{2} \right).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng \left( d_{1} \right) và \left( d_{2} \right).

    (P) đi qua điểm M_{2}(0;0;1) và có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = ( - 5; - 5; - 5) hay \overrightarrow{n} = (1;1;1) có phương trình 1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0.

    Gọi A = \left( d_{3} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 + t \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 1 \\ z = 1 \\ t = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A(1; - 1;1).

    Gọi B = \left( d_{4} \right) \cap (P). Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t' \\ y = 1 - t' \\ z = - t' \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ t' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(0;1;0).

    Vì \overrightarrow{BA} = (1; - 2;1) cùng phương với \overrightarrow{u_{1}} nên (d) không thỏa mãn.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính diện tích tam giác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng (\alpha):x - z - 3 = 0 và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, gọi B là hình chiếu của A lên (\alpha). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi A (0; 0; a).

    Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} ight.

    B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = 0 \\z = a - t \\x - z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{a + 3}{2} \\y = 0 \\z = \dfrac{a - 3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Suy ra B\left( \frac{a + 3}{2};0;\frac{a - 3}{2} ight)

    Tam giác MAB cân tại M nên MA = MB

    \Leftrightarrow 1 + 1 + (1 - a)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} ight)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} ight)^{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Nếu a = 3 thì tọa độ A (0; 0; 3), B (3; 0; 0). Diện tích tam giác MAB là S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.

    Vậy diện tích của tam giác MAB bằng: \frac{3\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;0),B(2;2;2),C( - 2;3;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để thể tích của tứ diện MABC bằng 3.

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2;1;2),\overrightarrow{AC}( - 2;2;1)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;6)

    Phương trình mặt phẳng (ABC):x + 2(y - 1) - 2z = 0

    \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0

    Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra

    S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2} \Rightarrow d\left( M;(ABC) ight) = \frac{3V_{M.ABC}}{S_{ABC}} = 2

    Mà M \in d \Rightarrow M(2t + 1; - t - 2;2t + 3)

    d\left( M;(ABC) ight) = \frac{| - 4t -10|}{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - \dfrac{5}{4} \\t = - \dfrac{17}{4} \\\end{matrix} ight.

    Với t = - \frac{5}{4} \Rightarrow M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)

    Với t = - \frac{17}{4} \Rightarrow M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight)

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tính diện tích tam giác MAB

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - z - 3 = 0 và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, B là hình chiếu của A lên (\alpha). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi A(0;0;a) với a > 0. Đường thẳng AB đi qua điểm A(0;0;a) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0; - 1) có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    B \in (\alpha) \Rightarrow t - a + t - 3 = 0

    \Rightarrow t = \frac{3 + a}{2} \Rightarrow B\left( \frac{3 + a}{2};0;\frac{a - 3}{2} \right)

    Vì tam giác MAB cân tại M \Rightarrow MA = MB

    \Rightarrow 1 + 1 + (a - 1)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} \right)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} \right)^{2}

    \Rightarrow a^{2} - 2a + 1 + 1 = \frac{a^{2} + 2a + 1}{4} + \frac{a^{2} - 10a + 25}{4}

    \Rightarrow 4a^{2} - 8a + 8 = 2a^{2} - 8a + 26

    \Rightarrow 2a^{2} = 18 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow A(0;0;3),B(3;0;0)

    Cách 1: Ta có:

    \overrightarrow{AM} = (1;1; - 2),\overrightarrow{BM} = ( - 2;1;1)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} \right\rbrack = (3;3;3)

    \Rightarrow S_{ABM} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} \right\rbrack \right| = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Cách 2: Gọi I là trung điểm của AB. Ta có I\left( \frac{3}{2};0;\frac{3}{2} \right).

    IM = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^{2} + ( - 1)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}.

    AB = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + ( - 3)^{2}} = 3\sqrt{2}.

    Do đó S_{ABM} = \frac{1}{2}IM.AB = \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{6}}{2}.3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Xác định phương trình d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) và B( - 1;2;4). Phương trình d đi qua trọng tâm của \Delta OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là

    Hướng dẫn:

    Gọi G là trọng tâm \Delta OAB, ta có G(0;2;2)

    \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1;4;2) \\ \overrightarrow{OB} = ( - 1;2;4) \\ \end{matrix}

    Gọi \overrightarrow{a_{d}} là vectơ chỉ phương của d

    d\bot(OAB) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d\bot OA \\ d\bot OB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OA} \\ \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OB} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = (12; - 6;6) = 6(2; - 1;1)

    Vậy phương trình của d là \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 2}{1}

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tìm phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác nhọn ABC cóH(2;2;1);K\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right); O(0;0;0) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A;B;C trên các cạnh BC;CA;AB. Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Cách 1: I:OH = 3;OK = 4;HK = 5. Gọi I là trực tâm tam giác ABC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{4.2 + 5.0 + 3.\left( - \dfrac{8}{3} \right)}{12} = 0 \\y_{I} = \dfrac{3.\dfrac{4}{3} + 4.2 + 5.0}{12} = 1 \\z_{I} = \dfrac{3.\dfrac{8}{3} + 4.1 + 5.0}{12} = 1 \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    \overrightarrow{IH} = (2;1;0) \Rightarrow (\Delta):\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.

    A \in IH \Rightarrow A(2t;1 + t;1)

    \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OI} = 0 \Leftrightarrow t = - 2

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} A( - 4; - 1;1) \in d \\ \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{OI};\overrightarrow{OH} \right\rbrack = ( - 1;2; - 2) \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow (d):\frac{x + 4}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 1}{2}

    Cách 2: VTPT của (ABC) là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{OH};\overrightarrow{OK} \right\rbrack = 4(1; - 2;2).

    Vì \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OK} = 0 \Rightarrow \widehat{HOK} = 90^{0}.

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua O;\overrightarrow{n_{\alpha}} = \overrightarrow{OK} = \frac{4}{3}( - 2;1;2) \Rightarrow (\alpha): - 2x + y + 2z = 0.

    Gọi (\beta) là mặt phẳng đi qua O;\overrightarrow{n_{\beta}} = \overrightarrow{OH} = (2;2;1) \Rightarrow (\beta):2x + 2y + z = 0.

    Ta có d\left( A;(\alpha) \right) = d\left( A;(\beta) \right), đối chiếu phương án A;B;C;D thấy A( - 4; - 1;1) thỏa mãn.

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 3 \\ z = - 2 + t \\ \end{matrix} \right.. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d_{1},\ d_{2} là.

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A(2 + a;1 - a;2 - a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B(b;3; - 2 + b)

    \overrightarrow{AB} = ( - a + b - 2;a + 2;a + b - 4)

    d_{1} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{1}} = (1; - 1; - 1)

    d_{2} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{2}} = (1;0;1)

    \left\{ \begin{matrix} d\bot d_{1} \\ d\bot d_{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{a_{1}} \\ \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{a_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_{1}} = 0 \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_{2}} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(2;1;2);B(3;3;1)

    d đi qua điểm A(2;1;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{AB} = (1;2; - 1)

    Vậy phương trình của d là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ .

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Điểm đối xứng qua đường thẳng

    Cho điểm {m{A(2, - 1,1)}} và đường thẳng (\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.. Gọi A'  là điểm đối xứng của A qua (\triangle) . Tọa độ điểm A'  là:

    Hướng dẫn:

    Đưa phương trình (\triangle) về dạng tham số: \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (\triangle).

    Phương trình mp (P) có dạng - y + z + D = 0 , qua A nên D =  -2

    Phương trình (P) là: y - z + 2 = 0

    Thế x, y, z từ phương trình (\triangle) vào phương trình (P) được t=1

    \Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).

    I là trung điểm của AA' nên: {x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2

    \Rightarrow A'(0,7,1).

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tính tổng các tham số

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là ax + by + cz + 9 = 0. Tính tổng a + b + c

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

    Phương trình tham số của \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

    Khi đó \left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}

    Lại có: \cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}

    Vậy \widehat{NMH}lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

    Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

    Vectơ pháp tuyến của (Q) là \overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)

    Vectơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)

    Phương trình mặt phẳng (P) là 1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0

    \Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0

    Vậy a + b + c = 4

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm M

    Hai đường thẳng (D):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 3m - t \\ z = 2t - 1 \\ \end{matrix} \right. và (d):\left\{ \begin{matrix} x = 4 - 2m \\ y = m + 2 \\ z = - m \\ \end{matrix} \right. cắt nhau tại M có tọa độ \left( t,m\mathbb{\in R} \right).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (D) cắt (d) tại M \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 + 4t = 4 - 2m \\ - 3 - t = m + 2 \\ 2t - 1 = - m \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2t + m = 1 \\ t + m = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow t = 6;m = - 11

    Vậy M(26, - 9,11)

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz  cho điểm I(1;1;2), hai đường thẳng \Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 4 \\ \end{matrix} \right. và \Delta_{2}:\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng \Delta_{1},\Delta_{2} là.

    Hướng dẫn:

    Gọi \left( \alpha_{1} ight) là mặt phẳng qua I và \Delta_{1}

    \Delta_{1} đi qua M_{1}(3; - 1;4) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{1}} = (1;2;0)

    \overrightarrow{IM_{1}} = (2; - 2;2)

    \left( \alpha_{1} ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{IM_{1}} ightbrack = (4; - 2; - 6)

    Gọi \left( \alpha_{2} ight) là mặt phẳng qua I và \Delta_{2}

     

    \Delta_{2} đi qua M_{2}( - 2;0;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{2}} = (1;1;2)

    \overrightarrow{IM_{2}} = ( - 3; - 1;0)

    \left( \alpha_{2} ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{2}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{2}},\overrightarrow{IM_{2}} ightbrack = (2; - 6;2)

    d đi qua điểm I(1;1;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ightbrack = ( - 40; - 20; - 20)

    Vậy phương trình đường thẳng d là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính tổng các phần tử của tập S

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho d_{1},d_{2} chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng \frac{5}{\sqrt{19}}. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

    Hướng dẫn:

    Vectơ chỉ phương của d_{1},d_{2} là \overrightarrow{u_{1}} = (2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)

    Khi đó: \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3;3;1).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa d_{1} song song với d_{2}.

    Tức là, (P) qua A(1;0;0) và nhận \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Ta có phương trình (P):3x - 3y - z - 3 = 0

    Xét điểm B(1;2;m) \in d_{2}. Do d_{1},d_{2} chéo nhau nên B otin (P) \Leftrightarrow m eq - 6.

    Lại có:

    d\left( d_{1};d_{2} ight) = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) ight) = \frac{5}{\sqrt{19}}

    \Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m - 3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 11 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng các phần tử của S là - 1 - 11 = - 12.

  • Câu 17: Vận dụng
    Viết PT tổng quát

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng MN.

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:

    M\left( {a,\frac{b}{2},0} ight);\,\,\,N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight) = > \,\,\overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{a}{2}, - \frac{b}{2},c} ight)

    (MN) là đường thẳng đi qua M và nhận vecto \overrightarrow {MN} là 1 VTCP có PT là:

    = > \frac{{2\left( {x - a} ight)}}{{ - a}} = \frac{{2y - b}}{{ - b}} = \frac{z}{c} = > \left\{ \begin{array}{l}2bx - 2ay - ab = 0\\2cx + az - 2ac = 0\end{array} ight.

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;4;5), B(3;4;0), C(2; - 1;0) và mặt phẳng (P):3x - 3y - 2z - 12 = 0. Gọi M(a;b;c) thuộc (P) sao cho MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Giả sử I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = (1 - x;4 - y;5 - z) \\ \overrightarrow{IB} = (3 - x;4 - y; - z) \\ \overrightarrow{IC} = (2 - x; - 1 - y; - z) \\ \end{matrix} \right.

    \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = (10 - 5x;5 - 5y;5 - 5z);

    \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(2;1;1);

    MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2} = {\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2} + 3{\overrightarrow{MC}}^{2}

    = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right)^{2} + 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} \right)^{2}

    = 5MI^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} \right) + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    = 5MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} (vì \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0})

    Vì I cố định nên MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

    Gọi \Delta là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)

    Phương trình đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 3t \\ y = 1 - 3t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} \right..

    Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}x = 2 + 3t \\y = 1 - 3t \\z = 1 - 2t \\3x - 3y - 2z - 12 = 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = \dfrac{1}{2} \\x = \dfrac{7}{2} \\y = - \dfrac{1}{2} \\x = 0 \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow M\left( \frac{7}{2}; - \frac{1}{2};0 \right) \Rightarrow a + b + c = 3

  • Câu 19: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 1), đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình \frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5};\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}. Biết B (a; b; c), khi đó a + b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử đường cao là CH:\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1} ta có vectơ chỉ phương của CH là \overrightarrow {u} = (2; 5; −1).

    B thuộc đường trung tuyến BM:\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5} nên B(8 + 10t; −7 − 9t; 5 + 5 t).

    Suy ra \overrightarrow{AB} = (7 + 10t; - 8 - 9t;4 + 5t)

    Vì CH ⊥ AB nên \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} = 0⇔ −30t−30 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ B(−2; 2; 0).

    Vậy a + b + c = 0.

  • Câu 20: Vận dụng
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz,  cho ba đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 4 - t \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} \right. d_{2}:\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z}{- 3} và d_{2}:\frac{x + 1}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1}. Gọi \Delta là đường thẳng cắt d_{1},d_{2},d_{3} lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho AB = BC. Phương trình đường thẳng \Delta là

    Hướng dẫn:

    Gọi A \in d_{1},B \in d_{2},C \in d_{3}

    Ta có: A(a;4 - a; - 1 + 2a),B(b;2 - 3b; - 3b),C( - 1 + 5c;1 + 2c; - 1 + c)

    Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow A,B,C thẳng hàng và AB = BC

    \Leftrightarrow B là trung điểm AC \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 1 + 5c = 2b \\ 4 - a + 1 + 2c = 2(2 - 3b) \\ - 1 + 2a - a + c = 2( - 3b) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra A(1;3;1),B(0;2;0),,C( - 1;1; - 1)

    \Delta đi qua điểm B(0;2;0và có vecto chỉ phương là \overrightarrow{CB} = (1;1;1)

    Vậy phương trình đường thẳng \Delta là \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
19 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm