Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm
và
. Phương trình d đi qua trọng tâm của
và vuông góc với mặt phẳng
là
Gọi G là trọng tâm , ta có
Gọi là vectơ chỉ phương của
Vậy phương trình của là
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm
và
. Phương trình d đi qua trọng tâm của
và vuông góc với mặt phẳng
là
Gọi G là trọng tâm , ta có
Gọi là vectơ chỉ phương của
Vậy phương trình của là
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho bốn điểm
. Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức
. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?
Gọi M(x; y; z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có
Từ giả thiết
Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm và mặt cầu tâm
Dễ thấy
Trong không gian hệ tọa độ , cho điểm
,
,
và mặt phẳng
. Gọi
thuộc
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
.
Giả sử là điểm thỏa mãn
.
Khi đó
;
;
(vì
)
Vì I cố định nên đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).
Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)
Phương trình đường thẳng .
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:
Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng tọa độ
. Viết phương trình đường thẳng
.
Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến và có phương trình y = 0.
Suy ra
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).
Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
và mặt phẳng
. Biết rằng tồn tại điểm
thuộc
sao cho
đạt giá trị lớn nhất. Tính
.
Thay tọa độ điểm M và N vào vế trái phương trình mặt phẳng (P), ta có nên hai điểm M, N nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P).
Khi đó ta có và đẳng thức xảy ra khi
Phương trình tham số của đường thẳng MN là
Tọa độ giao điểm của MN và (P) là nghiệm hệ phương trình
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm
. Tìm tọa độ điểm H sao cho tứ giác
lập thành hình thang cân với hai đáy
.
Ta có là trung điểm AB.
Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của AB
Gọi d là đường thẳng qua C và song song AB
Gọi I là hình chiếu của C lên (α).
Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
Do ABCH là hình thang cân nên H và C đối xứng nhau qua mp(α).
⇒ I là trung điểm CH
Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng
đi qua
và có vectơ chỉ phương
cắt
tại điểm
. Điểm
thay đổi trong
sao cho
luôn nhìn đoạn
dưới góc
. Khi độ dài
lớn nhất, đường thẳng
đi qua điểm nào trong các điểm sau?
Hình vẽ minh họa
Phương trình
Đường thẳng d cắt P tại .
Gọi H là hình chiếu của A lên (P).
Ta có:
Vì nên MB ⊥ MH suy ra
.
Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi
Vậy MB đi qua B, nhận là vectơ chỉ phương.
Phương trình do đó MB đi qua điểm
.
Mặt phẳng và đường thẳng
:
Theo đề bài, ta có vecto pháp tuyến của
Đường thẳng (d) được cho dưới dạng hệ của hai mặt phẳng: và
cũng có 2 VTPT lần lượt
Như vậy, VTCP của (d) sẽ là tích có hướng của 2 VTPT:
và tọa độ của A không thỏa mãn phương trình của (P).
Vậy (d) // (P) .
Cho tam giác ABC có . Viết phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC của tam giác ABC.
Theo đề bài, ta tính được
Từ đó, suy ra VTPT của mặt phẳng (ABC) là:
Phương trình (ABC) là:
Mặt khác, ta có M là trung điểm của BC nên M có tọa độ là M (-2, 8, -5)
Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của cạnh BC là:
Phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC:
Cho đường thẳng và mặt phẳng
. Mặt phẳng
qua d và tạo với
một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của
là:

Gọi ; H là hình chiếu vuông góc của B lên
; K là hình chiếu của H lên
.
Suy ra: cố định;
.
Mà (vì
)
.
Suy ra nhỏ nhất bằng
khi
.
Khi đó và có một VTCP
.
có một VTPT
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho
. Điểm
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó,
có giá trị là:
Chọn sao cho
Ta tính được
Ta thấy
Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.
Vậy M là hình chiếu vuông góc của lên (Oxy)
Ta xác định được
Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng
mặt cầu
và
. Đường thẳng
cắt
và
lần lượt tại
và
sao cho
là trung điểm của đoạn thẳng
. Phương trình đường thẳng
là
là trung điểm
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của là
và
Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Phương trình đường thẳng
đi qua điểm
song song với
và vuông góc với
là
có vectơ chỉ phương
có vectơ pháp tuyến
Gọi là vectơ chỉ phương
Vậy phương trình chính tắc của là
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm và mặt phẳng
. Gọi
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho
và góc
có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị
bằng
+) Vì nên M thuộc mặt phẳng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Ta có phương trình trung trực của AB là
+) M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng nên M thuộc đường thẳng
.
Gọi , ta có
.
Khảo sát hàm số , ta được
khi
.
Suy ra có số đo lớn nhất khi
, ta có
.
Khi đó giá trị .
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d: . Mặt phẳng
chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: cố định và
Suy ra lớn nhất bằng AK khi
.
Ta có (d): qua M(2; -1; 1) , có VTCP
.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT .
Mặt phẳng có một VTPT là
và
qua M (2; -1; 1) có phương trình:
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng
và
. Phương trình đường thẳng song song với
và cắt hai đường thẳng
là:
Gọi là đường thẳng cần tìm
Gọi
có vectơ chỉ phương
cùng phương
có một số
thỏa
Ta có
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của là
Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng
mặt phẳng
và
. Đường thẳng
đi qua điểm
, cắt
và tạo với
một góc
. Phương trình đường thẳng
là.
Gọi
có vectơ chỉ phương
có vectơ pháp tuyến
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của là
và
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng . Hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (Oxz) theo phương
có phương trình là:
Giao điểm của d và mặt phẳng (Oxz) là: .
Trên chọn M bất kỳ không trùng với
; ví dụ:
.
Gọi A là hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (Oxz) theo phương .
+/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với .
+/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và (Oxz)
+/ Ta tìm được
Hình chiếu song song của lên mặt phẳng (Oxz) theo phương
là đường thẳng đi qua
và
.
Vậy phương trình là:
Trong không gian ,cho hai đường thẳng
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
là:
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng và
là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm
và đường thẳng
:
. Mặt phẳng
chứa
sao cho khoảng cách từ
đến
lớn nhất có phương trình là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: cố định và
bằng
khi
.
qua
, có VTCP
.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT.
Mặt phẳng có một VTPT là
và
qua
có phương trình:
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: