Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường phẳng (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0; −1; 2), B(2; −3; 0), C(−2; 1; 1), D(0; −1; 3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Gọi M(x; y; z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x;y + 1;z - 2) \\ \overrightarrow{BM} = (x - 2;y + 3;z) \\ \overrightarrow{CM} = (x + 2;y - 1;z - 1) \\ \overrightarrow{DM} = (x;y + 1;z - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Từ giả thiết \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 1 \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x(x - 2) + (y + 1)(y + 3) + z(z - 2) = 1 \\ x(x + 2) + (y + 1)(y - 1) + (z - 1)(z - 3) = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z + 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm I_1(1; −2; 1), R_1 = 2 và mặt cầu tâm I_2(−1; 0; 2), R_2 = 2

    I_{1}I_{2} = \sqrt{5}

    Dễ thấy r = \sqrt{{R_{1}}^{2} - \left( \frac{I_{1}I_{2}}{2} ight)^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2}

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Đường thảng là trục đối xứng của 2mp

    Cho điểm P(-3 , 1, -1)  và đường thẳng (d): \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.

    Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:

    Hướng dẫn:

    Chuyển (d) về dạng tham số : \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.

    Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: 3x + 4y + 2z + D = 0, cho qua P tính được D=7 .

    Ta có (Q): 3x + 4y + 2z + 7 = 0 .

    Thế x, y, z  theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được t = \frac{1}{2}

    Giao điểm I của (d) và (Q)  là I (1, -3, 1) .

    Vì I là trung điểm của PP’ nên \Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight).

  • Câu 3: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1} và hai điểm A(1;\ 2; - 1),B(3; - 1; - 5). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng \Delta sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là:

    Hướng dẫn:

    Gọi I = \Delta \cap d. Khi đó I( - 1 + 2t;3t; - 1 - t)

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4),\overrightarrow{AI} = (2t - 2;3t - 2; - t)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AI} ightbrack = (8 - 15t;6t - 8;10 - 12t)

    Khoảng cách từ B đến d được tính như sau:

    d(B;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AI} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{AI} ight|} = \sqrt{\frac{405t^{2} - 576t + 228}{14t^{2} - 20t + 8}}

    Xét hàm số f(t) = \frac{405t^{2} - 576t + 228}{14t^{2} - 20t + 8} ta có:

    f'(t) = \dfrac{- 36t^{2} + 96t -48}{\left( 14t^{2} - 20t + 8 ight)^{2}} \Rightarrow f'(t) =\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = \dfrac{2}{3} \\t = 2 \\\end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên ta có: d(B;d) nhỏ nhất khi f(t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 27 tại t = \frac{2}{3}

    Suy ra \overrightarrow{AI} = \left( \frac{1}{3};2; - \frac{5}{3} ight)

    Khi đó vectơ \overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{AI} = (1;6; - 5) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d

    Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z + 1}{- 5}.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Xác định tọa độ giao điểm

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, giao điểm của mặt phẳng (P):x + y - z - 2 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - t \\ z = 3 + 3t \\ \end{matrix} ight. là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Ta có: 2 + t - t - (3 + 3t) - 2 = 0

    \Leftrightarrow - 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(1;1;0).

  • Câu 5: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d:\frac{x + 4}{- 2} = \frac{y - 3}{- 3} = \frac{z - 3}{1}.

    a) Đường thẳng \Delta song song với đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là: \overrightarrow{u_{\Delta}} = (4; - 2;4). Sai||Đúng

    b) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).Đúng||Sai

    c) Điểm K(3;5;2) thuộc vào đường thẳng \Delta đi qua điểm A và song song với đường thẳng d. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d:\frac{x + 4}{- 2} = \frac{y - 3}{- 3} = \frac{z - 3}{1}.

    a) Đường thẳng \Delta song song với đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là: \overrightarrow{u_{\Delta}} = (4; - 2;4). Sai||Đúng

    b) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).Đúng||Sai

    c) Điểm K(3;5;2) thuộc vào đường thẳng \Delta đi qua điểm A và song song với đường thẳng d. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A và song song với đường thẳng d có phương trình là: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}. Đúng||Sai

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Đúng

    Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = ( - 2; - 3;1).

    Đường thẳng \Delta đi qua A và song song với d nhận \overrightarrow{u_{d}} = ( - 2; - 3;1) làm một véctơ chỉ phương, nên đường thẳng \Delta có phương trình là:

    \left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = 3 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) hoặc \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) hoặc\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}.

    Khi đó ta có

    Phương án a): Sai vì một vectơ chỉ phương của \Delta là \begin{matrix} \\ \overrightarrow{u} = ( - 2; - 3;1) \end{matrix}.

    Phương án b): Đúng vì đường thẳng \Delta có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    Phương án c): Đúng vì thay toạ độ điểm K(3;5;2) vào phương trình đường thẳng \Delta thoả mãn.

    Phương án d): Đúng vì đường thẳng \Delta có phương trình: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;0),B(2;2;2),C( - 2;3;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để thể tích của tứ diện MABC bằng 3.

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2;1;2),\overrightarrow{AC}( - 2;2;1)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;6)

    Phương trình mặt phẳng (ABC):x + 2(y - 1) - 2z = 0

    \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0

    Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra

    S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2} \Rightarrow d\left( M;(ABC) ight) = \frac{3V_{M.ABC}}{S_{ABC}} = 2

    Mà M \in d \Rightarrow M(2t + 1; - t - 2;2t + 3)

    d\left( M;(ABC) ight) = \frac{| - 4t -10|}{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - \dfrac{5}{4} \\t = - \dfrac{17}{4} \\\end{matrix} ight.

    Với t = - \frac{5}{4} \Rightarrow M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)

    Với t = - \frac{17}{4} \Rightarrow M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight)

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4), đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}và mặt phẳng (P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0. Đường thẳng (d) đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện ABCO và OACD bằng nhau, biết (d) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;b;c). Tính b + c.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có 1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}

    Nên BC = CD. Vì C ∈ ∆ \Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)

    C là trung điểm của BD nên D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6).

    Điểm D ∈ (P) nên 41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1

    ⇒ C(−1; −5; 3).

    \overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u} là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

    Vậy b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4

  • Câu 8: Vận dụng
    Tìm tọa độ giao điểm

    Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;1;3) đồng thời cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại M,N,P sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) với (P) có toạ độ là:

    Hướng dẫn:

    Gọi M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)

    Theo giả thiết, ta có a;b;c là các số dương.

    Phương trình mặt phẳng (P) là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    (P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1

    Ta có: \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{3}{c}} = \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}}

    \Leftrightarrow 1 \geq \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc} \geq 3\sqrt[3]{6} \Leftrightarrow abc \geq 112

    V_{OMNP} = \frac{abc}{6} \geq 27. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 3 \\ c = 9 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy (P):\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1

    Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \\ z = 6 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy đáp án cần tìm là: (4; - 1;6).

  • Câu 9: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;3),B(3;0;2), C(0; - 2;1).

    a. Tọa độ các vecto \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 1),\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 3; - 2) Đúng||Sai

    b. Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x - 4y + 5z - 13 = 0. Đúng||Sai

    c. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BC bằng \frac{\sqrt{17}}{4}. Sai||Đúng

    d. Mặt phẳng (P) đi qua A,\ B và cách C một khoảng lớn nhất có phương trình 3x + 2y + z - 11 = 0.Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1;3),B(3;0;2), C(0; - 2;1).

    a. Tọa độ các vecto \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 1),\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 3; - 2) Đúng||Sai

    b. Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x - 4y + 5z - 13 = 0. Đúng||Sai

    c. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BC bằng \frac{\sqrt{17}}{4}. Sai||Đúng

    d. Mặt phẳng (P) đi qua A,\ B và cách C một khoảng lớn nhất có phương trình 3x + 2y + z - 11 = 0.Đúng||Sai

    a) Tọa độ các vecto \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 1),\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 3; - 2). Vậy mệnh đề a) đúng.

    b) Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right\rbrack = ( - 1;4; - 5).

    Ta có mặt phẳng (ABC) qua điểm A(2;1;3) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = ( - 1;4; - 5) nên có phương trình - 1(x - 2) + 4(y - 1) - 5(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x - 4y + 5z - 13 = 0.

    Vậy mệnh đề b đúng

    c) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm I\left( \frac{3}{2}; - 1;\frac{3}{2} \right) của BCvà nhận \overrightarrow{BC} = ( - 3; - 2; - 1) làm VTPT có phương trình: 3\left( x - \frac{3}{2} \right) + 2(y + 1) + 1\left( z - \frac{3}{2} \right) = 0

    \Leftrightarrow 3x + 2y + z - 4 = 0\ (\alpha)

    Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BC bằng

    d\left( A,(\alpha) \right) = \frac{|3.2 + 2.1 + 1.3 - 4|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{14}}. Vậy mệnh đề c sai.

    d) Gọi H,\ K lần lượt là hình chiếu của C lên mặt phẳng (P) và đường thẳng AB.

    Ta có CH = d\left( C,(P) \right) \leq CK \Rightarrow d\left( C,(P) \right) lớn nhất khi H \equiv K.

    Khi đó mặt phẳng (P) đi qua A,\ B và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

    Ta có \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n},\overrightarrow{AB} \right\rbrack = ( - 9; - 6; - 3)

    Suy ra (P):3x + 2y + z - 11 = 0.

    Vậy mệnh đề d đúng.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính tổng các phần tử của tập S

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho d_{1},d_{2} chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng \frac{5}{\sqrt{19}}. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

    Hướng dẫn:

    Vectơ chỉ phương của d_{1},d_{2} là \overrightarrow{u_{1}} = (2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)

    Khi đó: \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3;3;1).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa d_{1} song song với d_{2}.

    Tức là, (P) qua A(1;0;0) và nhận \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Ta có phương trình (P):3x - 3y - z - 3 = 0

    Xét điểm B(1;2;m) \in d_{2}. Do d_{1},d_{2} chéo nhau nên B otin (P) \Leftrightarrow m eq - 6.

    Lại có:

    d\left( d_{1};d_{2} ight) = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) ight) = \frac{5}{\sqrt{19}}

    \Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m - 3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 11 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng các phần tử của S là - 1 - 11 = - 12.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    PT hình chiếu của đường thẳng

    Cho hai đường thẳng: ({d_1}):\frac{{x - 3}}{{ - 7}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3},({d_2}):\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 9}}{{ - 1}}

    và mặt phẳng (\alpha ):x + y + z + 3 = 0 .

    Hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1})  lên mặt phẳng (\alpha ) có phương trình tổng quát:

    Hướng dẫn:

    Vectơ chỉ phương của ({d_1}):\overrightarrow a = ( - 7,2,3). Vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b = (1,2, - 1).

    Phương trình của mặt phẳng chứa ({d_2}) và có phương của ({d_1})có dạng: 

    2x + y + 4z + D = 0

    Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này 

    => D = -53

    Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng (\alpha ) là hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1}) lên (\alpha ): \left\{ \begin{array}{l}2x + y + 4z - 53 = 0\\x + y + z + 3 = 0\end{array} ight.

  • Câu 12: Vận dụng
    Lập phương trình đường thẳng d

    Trong không gian Oxyz, gọi d đi qua A( - 1;0; - 1), cắt \Delta_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 2}{- 1}, sao cho góc giữa d và \Delta_{2}:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{2} nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    Giả sử d cắt \Delta_{1}tại B(1 + 2t;2 + t; - 2 - t)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (2 + 2t;2 + t; - 1 - t) và ta có:

    \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} \right) \right| = \frac{| - 2 - 2t + 4 + 2t - 2 - 2t|}{3\sqrt{(2t + 2)^{2} + (t + 2)^{2} + (t + 1)^{2}}}

    = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{t^{2}}{6t^{2} + 14t + 9}} = \frac{2}{3}\sqrt{f(t)}.

    Suy ra maxf(t) = \frac{9}{5} tại t = \frac{- 9}{7}. Suy ra \overrightarrow{AB} = \frac{- 1}{7}(4; - 5; - 2).

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn đường thẳng \left( d_{1} ight):\frac{x - 3}{1} = \frac{y +1}{- 2} = \frac{z + 1}{1},\left( d_{2} ight):\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{3} ight):\frac{x - 1}{2} = \frac{y +1}{1} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{4} ight):\frac{x}{1} = \frac{y -1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

    Hướng dẫn:

    Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).

    Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.

    Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).

    (∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).

    Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;4;5), B(3;4;0), C(2; - 1;0) và mặt phẳng (P):3x - 3y - 2z - 12 = 0. Gọi M(a;b;c) thuộc (P) sao cho MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Giả sử I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = (1 - x;4 - y;5 - z) \\ \overrightarrow{IB} = (3 - x;4 - y; - z) \\ \overrightarrow{IC} = (2 - x; - 1 - y; - z) \\ \end{matrix} \right.

    \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = (10 - 5x;5 - 5y;5 - 5z);

    \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(2;1;1);

    MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2} = {\overrightarrow{MA}}^{2} + {\overrightarrow{MB}}^{2} + 3{\overrightarrow{MC}}^{2}

    = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right)^{2} + 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} \right)^{2}

    = 5MI^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} \right) + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    = 5MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} (vì \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0})

    Vì I cố định nên MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

    Gọi \Delta là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)

    Phương trình đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 3t \\ y = 1 - 3t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} \right..

    Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}x = 2 + 3t \\y = 1 - 3t \\z = 1 - 2t \\3x - 3y - 2z - 12 = 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = \dfrac{1}{2} \\x = \dfrac{7}{2} \\y = - \dfrac{1}{2} \\x = 0 \\\end{matrix} \right.

    \Rightarrow M\left( \frac{7}{2}; - \frac{1}{2};0 \right) \Rightarrow a + b + c = 3

  • Câu 15: Thông hiểu
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{1} và d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1}. Phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;2;3) vuông góc với d_{1} và cắt d_{2} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi B = \Delta \cap d_{2}

    \begin{matrix} B \in d_{2} \Rightarrow B(1 - t;1 + 2t; - 1 + t) \\ \overrightarrow{AB} = ( - t;2t - 1;t - 4) \\ \end{matrix}

    d_{1} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{1}} = (2; - 1;1)

    \begin{matrix} \Delta\bot d_{1} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{a_{1}} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_{1}} = 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow t = - 1 \\ \end{matrix}

    \Delta đi qua điểm A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (1; - 3; - 5)

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 5}.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    2 đường thẳng chéo nhau viết PTTQ

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight. và \left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Hướng dẫn:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 17: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏ nhất của MN

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):y - 1 = 0, đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 - t \\ z = 1 \end{matrix} \right. và hai điểm A( - 1; - 3;11), B\left( \frac{1}{2};0;8 \right). Hai điểm M, N thuộc mặt phẳng (P) sao cho d(M,d) = 2 và NA = 2NB. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN.

    Hướng dẫn:

    Gọi D sao cho \overrightarrow{DA} + 2\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow D(0; - 1;9); gọi C sao cho \overrightarrow{CA} - 2\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow C(2;3;5).

    Khi đó điểm N thuộc đường tròn giao tuyến của (P) và mặt cầu đường kính CD.

    Tâm mặt cầu I(1;1;7) \in (P), bán kính R = 3.

    Gọi H(1;1;1) = (P) \cap d, khi đó HI = 6 = d(I,d). Mà d(M,d) = 2 nên chọn M \in HI và HM = \frac{1}{3}HI = 2 \Rightarrow IM = 4 > R. Vậy \min MN = 4 - 3 = 1.

  • Câu 18: Vận dụng
    Lập phương trìnhđường thẳng

    Trong không gian \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 - 2t \\ z = - 1 + 2t \end{matrix} \right. lập phương trình đường thẳng \Delta song song với mặt phẳng (P):x + y + z - 7 = 0 và cắt d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1} và d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2} lần lượt tại hai điểm A,B sao choAB ngắn nhất.

    Hướng dẫn:

    Gọi A(2a + 1;a; - 2 - a) và B(b + 1;3b - 2;2 - 2b) lần lượt thuộc d_{1},\ d_{2}.

    Ta có \overrightarrow{BA} = (2a - b;a - 3b + 2;2b - a - 4) vuông góc với \overrightarrow{n} = (1;1;1) suy ra

    2a - b + a - 3b + 2 + 2b - a - 4 = 0 \Leftrightarrow b = a - 1.

    Khi đó \overrightarrow{BA} = (a + 1; - 2a + 5;a - 6) và độ dài {\overrightarrow{BA}}^{2} = (a + 1)^{2} + ( - 2a + 5)^{2} + (a - 6)^{2} = 6a^{2} - 30a + 62 \Rightarrow BA_{\min} = \frac{7}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}.

    Do đó \overrightarrow{BA} = \frac{3}{2}( - 1;0;1), \Delta đi qua A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} \right).

  • Câu 19: Vận dụng
    Chọn mệnh đề đúng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} + (z - 3)^{2} = 27 và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Phương trình của (P) là ax + by - z + c = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

    Hướng dẫn:

    Gọi I là tâm mặt cầu, H là tâm đường tròn giao tuyến và là hình chiếu của I trên (P).

    Kẻ IK vuông góc với d.

    Đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi (P) cách xa I nhất, mà IH \leq IK.Vậy ta phải có H \equiv K và (P) có một vtpt \overrightarrow{n_{P}} = \overrightarrow{IK}.

    Ghi \frac{2(x - 1) + y + 2(z - 2)}{9} CALC (nhập tọa độ I) 2 = 5 = 3 = \ = STO M

    ghi 1 + 2M - 2\ \ :\ \ M - 5\ \ :\ \ 2 + 2M - 3 bấm = \ \ = \ \ = ta có tọa độ véc tơ \overrightarrow{IK} = (1; - 4;1) \Rightarrow (P): - x + 4y - z + 3 = 0

    \Rightarrow a + b + c = - 1 + 4 + 3 = 6.

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A( - 3;0;1),B(1; - 1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song, (P) đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).

    Ta có: ( - 3 - 2.0 + 2.1 - 5)(1 + 2.1 + 2.3 - 5) < 0=> A; B nằm về hai phía với (P).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q)=> BH cố định và d\left( B;(Q) \right) = BH.

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay d//(P).

    Ta có: BK \geq BH \Leftrightarrow d(B,d) > d(B,AH) \Rightarrow d(B,d) bé nhất bằng BH khi K \equiv H.

    Gọi \overrightarrow{n} là VTPT của (ABH) \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{AB} \right\rbrack = ( - 2;6;7).

    d cần lập qua A, H và có VTCP \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n},\overrightarrow{n_{P}} \right\rbrack = (26;11; - 2).

    Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: \frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
35 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này