Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 89.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường phẳng (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính khoảng cách giữa hai điểm

    Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A\left( {1;5;0} \right),B\left( {3;3;6} \right) và d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}. Gọi C là điểm trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Khoảng cách giữa 2 điểm A và C là

    Hướng dẫn:

    Khảo sát.

    Lấy điểm C( - 1 + 2x;1 - x;2x) \in d, ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 2;6),\overrightarrow{AC} = ( - 2 + 2x; - 4 - x;2x).

    Ta có:

    S = \frac{1}{2}\sqrt{44\left\lbrack ( - 2 + 2x)^{2} + ( - 4 - x)^{2} + 4x^{2} \right\rbrack - ( - 4 + 4x + 8 + 2x + 12x)^{2}}

    S = \sqrt{18x^{2} - 36x + 216} \geq \sqrt{198} = 3\sqrt{22}.

    Suy ra \min S = 3\sqrt{22} \Leftrightarrow x = 1, khi đó \overrightarrow{AC} = (0; - 5;2) \Rightarrow AC = \sqrt{29}.

  • Câu 2: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng \Deltađi qua điểm B(1;1;2) cắt đường thẳng d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1} tại C sao cho tam giác OBCcó diện tích bằng \frac{\sqrt{83}}{2}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    C \in d \Rightarrow C(2 + t;3 - 2t; - 1 + t)

    \overrightarrow{OC} = (2 + t;3 - 2t; - 1 + t)

    \overrightarrow{OB} = (1;1;2)

    \left\lbrack \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} ightbrack = (5t - 7;t + 5;1 - 3t)

    S_{\Delta OBC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} ightbrack ight|

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \Rightarrow \overrightarrow{BC} = (3; - 2; - 1) \\ t = \frac{- 4}{35} \Rightarrow \overrightarrow{BC} = \left( \frac{31}{35};\frac{78}{35}; - \frac{109}{35} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{BC}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{- 1} và \frac{x - 1}{31} = \frac{y - 1}{78} = \frac{z - 2}{- 109}.

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tính tổng C

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1;5;0),B(3;3;6) và đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}. Gọi M(a;b;c) \in \Delta sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng C = MA + MB + AB?

    Hướng dẫn:

    Ta cóM(a;b;c) \in \Delta \Rightarrow M(2t - 1; - t + 1;2t).

    Từ đó ta có: C = MA + MB + AB = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} + 2\sqrt{11}.

    C(t) = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} + 2\sqrt{11}

    \Rightarrow C'(t) = \frac{9}{\sqrt{9t^{2} + 20}} + \frac{9t - 18}{\sqrt{9t^{2} - 36t + 56}} = 0

    \Rightarrow t = 1

    Lập BBT ta có: \min C(t) = C(1) \Rightarrow t = 1 \Rightarrow M(1;0;2).

    Khi đó: C = MA + MB + AB = T

    Đề xuất: Đánh giá f(t) = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} như sau

    f(t) = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56}

    = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9(t - 2)^{2} + 20}

    Trong hệ trục Oxy, chọn \overrightarrow{u} = \left( 2t;2\sqrt{5} \right),\overrightarrow{v} = \left( - 3(t - 2);2\sqrt{5} \right), \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 6;4\sqrt{5} \right). Khi đó
    f(t) = \left| \overrightarrow{u} \right| + \left| \overrightarrow{v} \right| \geq \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right| = 2\sqrt{14}.

    Đẳng thức xảy ra khi và chi khi \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} cùng hướng\Leftrightarrow \frac{3t}{- 3(t - 2)} = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M(1;0;2).

  • Câu 4: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1; - 2) và đường thẳng \Delta: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 2}{- 1}.

    a) Điểm N( - 1; - 2;2) thuộc đường thẳng \Delta. Sai||Đúng

    b) Đường thẳng đi qua M, N có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u} = (2;3; - 4). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng \Delta là: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{- 1}. Đúng||Sai

    d) Hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng \Delta là: H(a;b;c), khi đó a + b + c = - \frac{1}{3}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1; - 2) và đường thẳng \Delta: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 2}{- 1}.

    a) Điểm N( - 1; - 2;2) thuộc đường thẳng \Delta. Sai||Đúng

    b) Đường thẳng đi qua M, N có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u} = (2;3; - 4). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng \Delta là: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{- 1}. Đúng||Sai

    d) Hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng \Delta là: H(a;b;c), khi đó a + b + c = - \frac{1}{3}. Sai||Đúng

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai

    Phương án a) sai: Thay tọa độ điểm N( - 1; - 2;2) vào phương trình đường thẳng \Delta ta được: \frac{- 1 - 1}{1} = \frac{- 2 - 2}{2} \neq \frac{2 + 2}{- 1} \Rightarrow N \notin \Delta

    Phương án b) đúng: Ta có: \overrightarrow{MN} = ( - 2; - 3;4) = - (2;3; - 4). Đường thẳng qua M, N có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (2;3; - 4).

    Phương án c) đúng: Đường thẳng d qua M và song song với đường thẳng \Delta nên có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;2; - 1). Suy ra phương trình đường thẳng d: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{- 1}.

    Phương án d) sai: Hlà hình chiếu vuông góc của M lên \Delta. Phương trình tham số của đường thẳng \Delta là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = - 2 - t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    Mà H \in \Delta \Rightarrow H(1 + t;2 + 2t; - 2 - t).

    Ta có: \overrightarrow{MH} = (t;1 + 2t; - t)

    MH\bot d \Rightarrow \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u_{d}} = 0

    \Leftrightarrow 1.t + 2(1 + 2t) - 1.( - t) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}.

    Do đó H\left( \frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{- 5}{3} \right).

    Vậy a + b + c = \frac{1}{3}.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Khoảng cách nhỏ nhất

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-5=0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

    Hướng dẫn:

     khoảng cách nhỏ nhất

    Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).

    Ta có: (-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B nằm về hai phía với (P).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) \Rightarrow BH cố định và d(B,(Q))=BH.

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay d//(P) .

    Ta có: BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)bé nhất bằng BH  khi K trùng với điểm H.

    Gọi \vec{n} là VTPT của (ABH) \Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)

    Ta có đường thẳng d cần lập qua  A, H và có VTCP là \vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)

    Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: \dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian Oxyz cho A(1; - 1;2), f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{matrix} \right., C(0;1; - 2). Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T = 12a + 12b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} \right) + 3\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} \right) = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} \right).

    Khi đó S = 6MI^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA}.

    Để S nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất, suy ra M\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};0 \right). Vậy T = - 1.

  • Câu 7: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;0),B(2;2;2),C( - 2;3;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để thể tích của tứ diện MABC bằng 3.

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2;1;2),\overrightarrow{AC}( - 2;2;1)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;6)

    Phương trình mặt phẳng (ABC):x + 2(y - 1) - 2z = 0

    \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0

    Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra

    S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2} \Rightarrow d\left( M;(ABC) ight) = \frac{3V_{M.ABC}}{S_{ABC}} = 2

    Mà M \in d \Rightarrow M(2t + 1; - t - 2;2t + 3)

    d\left( M;(ABC) ight) = \frac{| - 4t -10|}{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - \dfrac{5}{4} \\t = - \dfrac{17}{4} \\\end{matrix} ight.

    Với t = - \frac{5}{4} \Rightarrow M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)

    Với t = - \frac{17}{4} \Rightarrow M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight)

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;2),B(3; - 4; - 2) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \end{matrix} \right.. Điểm I(a,b,c) thuộc d thỏa mãn IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T = a + b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Tâm tỉ cự.

    Ghi x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(4x - 6y - 8z)^{2}}{116} CALC nhập - 1 = - 1 = 3 = \ = có {d_{a}}^{2} = \frac{198}{29}. CALC nhập 1 = - 4 = - 1 = \ = có {d_{b}}^{2} = \frac{198}{29}.

    Gọi K là trung điểm AB, tọa độ K(2;\frac{- 5}{2};0).

    Sửa thành \frac{(4x - 6y - 8z)}{116} CALC nhập 0 = - 5/2 = 1 = \ = STO M (ở đây t = \frac{7}{116}).

    I là hình chiếu của K trên d, ghi 2 + 4M + ( - 6M) + ( - 1 - 8M) bấm = có T = \frac{23}{58}.

    Cách 2. Vị trí tương đối.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)//\overrightarrow{u_{d}}.

    Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB cắt d tại I, phương trình là: 2x - 3y - 4z = \frac{23}{2}. Ghi 2(2 + 4x) - 3( - 6x) - 4( - 1 - 8x) = \frac{23}{2}

    SHIFT SOLVE và sửa thành (2 + 4x) + ( - 6x) + ( - 1 - 8x) bấm = ta có \frac{23}{58}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 4) và hai điểm M, B thỏa mãn MA.\overrightarrow{MA} + MB.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}. Giả sử điểm M thay đổi trên đường thẳng d:\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 4}{1}. Khi đó điểm B thay đổi trên đường thẳng có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Từ hệ thức MA.\overrightarrow{MA} + MB.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \Rightarrow MA.\overrightarrow{MA} = - MB.\overrightarrow{MB} vì MA, MB là các đoạn thẳng nên hai véc tơ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} có hướng ngược nhau, hay là \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB},k < 0.

    Mà MA.\overrightarrow{MA} = - MB.\overrightarrow{MB} suy ra MA^{4} = MB^{4} \Rightarrow MA = MB từ đó ta được \overrightarrow{MA} = - \overrightarrow{MB} hay A và B đối xứng nhau qua M.

    Gọi M(2t - 3;2t + 1;t - 4) \in d

    \Rightarrow B(4t - 7;4t;2t - 12) \in \left\{ \begin{matrix} x = - 7 + 2t \\ y = 2t \\ z = - 12 + t \end{matrix} \right..

  • Câu 10: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là \frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3}. Biết rằng điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0) thuộc đường thẳng AC. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC.

    Hướng dẫn:

    Hình chiếu H của M trên đường phân giác trong góc A có tọa độ: H\left( \frac{1}{2};4;\frac{9}{2} ight)

    M’ là điểm đối xứng của M qua H. Từ đây ta tìm được tọa độ M’(1; 3; 6).

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC chính là vecto \overrightarrow{NM'} = (0;2;6).

    Suy ra, đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là (0; 1; 3)

  • Câu 11: Vận dụng cao
    PT hình chiếu của đường thẳng

    Cho hai đường thẳng: ({d_1}):\frac{{x - 3}}{{ - 7}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3},({d_2}):\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 9}}{{ - 1}}

    và mặt phẳng (\alpha ):x + y + z + 3 = 0 .

    Hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1})  lên mặt phẳng (\alpha ) có phương trình tổng quát:

    Hướng dẫn:

    Vectơ chỉ phương của ({d_1}):\overrightarrow a = ( - 7,2,3). Vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b = (1,2, - 1).

    Phương trình của mặt phẳng chứa ({d_2}) và có phương của ({d_1})có dạng: 

    2x + y + 4z + D = 0

    Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này 

    => D = -53

    Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng (\alpha ) là hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1}) lên (\alpha ): \left\{ \begin{array}{l}2x + y + 4z - 53 = 0\\x + y + z + 3 = 0\end{array} ight.

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tính tổng các tham số

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là ax + by + cz + 9 = 0. Tính tổng a + b + c

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

    Phương trình tham số của \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

    Khi đó \left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}

    Lại có: \cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}

    Vậy \widehat{NMH}lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

    Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

    Vectơ pháp tuyến của (Q) là \overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)

    Vectơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)

    Phương trình mặt phẳng (P) là 1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0

    \Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0

    Vậy a + b + c = 4

  • Câu 13: Vận dụng
    Tìm phương trình đường thẳng thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{1} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 3 \\ \end{matrix} \right.. Phương trình đường thẳng vuông góc với (P):7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d_{1},\ d_{2} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A(2a;1 - a; - 2 + a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B( - 1 + 2b;1 + b;3)

    \overrightarrow{AB} = ( - 2a + 2b - 1;a + b; - a + 5)

    (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (7;1; - 4)

    d\bot(P) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{p}} cùng phương

    \Leftrightarrow có một số k thỏa \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{n_{p}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 1 = 7k \\ a + b = k \\ - a + 5 = - 4k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 7k = 1 \\ a + b - k = 0 \\ - a + 4k = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 2 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    d đi qua điểm A(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{n_{P}} = (7;1 - 4)

    Vậy phương trình của d là \frac{x - 2}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 4}

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1} và \Delta' = \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}. Xét điểm Mthay đổi trong không gian, gọi a,b lần lượt là khoảng cách từ M đến \Delta và \Delta'. Biểu thức a^{2} + 2b^{2}đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khiM \equiv M_{0}\left( x_{0},y_{0},z_{0} \right). Khi đó giá trị x_{0} + y_{0} bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có \Delta và \Delta' chéo nhau, gọi A(a;a;a + 1) \in \Delta,B(b + 1;2b;b) \in \Delta' sao cho AB là đoạn vuông góc chung.

    Tính \overrightarrow{AB} = (b + 1 - a;2b - a;b - 1 - a) cùng phương \overrightarrow{u} = (1;0; - 1), suy ra: a = 2b = 0 và A(0;0;1),B(1;0;0).

    Lấy M thuộc đoạn AB thì a = MA,b = MB.

    Khi đó MA^{2} + 2MB^{2} = 3MI^{2} + IA^{2} + 2IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} \right). Chọn M \equiv Ithỏa mãn:

    \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow I\left( \frac{2}{3};0;\frac{1}{3} \right). Vậy x_{0} + y_{0} = \frac{2}{3}.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyzcho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right. và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0.

    a) [NB] Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1). Đúng||Sai

    b) [TH] Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 30^{0}. Sai||Đúng

    c) [TH] Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm M(a;b;c) với a + b - c = - 1. Đúng||Sai

    d) [VD,VDC] Phương trình đường thẳng \Delta chứa trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{- 1}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyzcho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right. và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0.

    a) [NB] Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1). Đúng||Sai

    b) [TH] Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 30^{0}. Sai||Đúng

    c) [TH] Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm M(a;b;c) với a + b - c = - 1. Đúng||Sai

    d) [VD,VDC] Phương trình đường thẳng \Delta chứa trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{- 1}. Đúng||Sai

    a) Đúng. Đường thẳng d có một vec tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1).

    b) Sai. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1; - 1;0).

    Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|}= \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{1}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}.

    c) Đúng. Tọa độ giao điểm giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là nghiệm hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ x - y + 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ 1 - t - 1 - 2t + 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 3 \\ z = 4 \\ t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M(0;3;4).

    d) Đúng. Đường thẳng \Delta chứa trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d nên có 1 vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} ightbrack = (1;1; - 1).

    Mặt khác đường thẳng \Delta cắt đường thẳng d nên \Delta đi qua giao điểm M(0;3;4).

    Vậy phương trình của đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{- 1}.

  • Câu 16: Vận dụng
    Viết phương trình đường vuông góc chung

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 1} =\frac{z - 4}{1},d_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z +3}{4}. Viết phương trình đường vuông góc chung của d_{1},d_{2}.

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d_{1},d_{2} lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;1),\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 1;4)

    Gọi ∆ là đường vuông góc chung giữa d_{1} và d_{2}, suy ra ∆ có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3; - 2;1)

    Giả sử ∆ giao với d_{1},d_{2} lần lượt tại \left\{ \begin{matrix} M(3 + m; - 1 - m;4 + m) \\ N(2 + 2n;4 - n; - 3 + 4n) \\ \end{matrix} ight., khi đó ta có \overrightarrow{MN} = ( - m + 2n - 1;m - n + 5; - m + 4n - 7)

    Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{MN} = 0 \\ \overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{MN} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3m + 7n - 13 = 0\ \\ - 7m + 21n - 35 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 2 \\ n = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Từ đó suy ra đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} và đi qua điểm M(1; 1; 2).

    Vậy ta có phương trình đường thẳng: \Delta:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; −1; 2), B(−2; 0; 3), C(0; 1; −2). Điểm M(a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, T = 12a + 12b + c có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Chọn I sao cho 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

    Ta tính được I\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)

    Ta thấy

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight) \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight) + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} ight) + \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} \\ \end{matrix} ight.

    S = 6{\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI}\left( 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} ight)

    \Rightarrow S = 6MI^{2} +\underset{CONST}{\overset{4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +5\overrightarrow{IC}}{︸}}

    Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

    Vậy M là hình chiếu vuông góc của I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight) lên (Oxy) \Rightarrow M\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};0 ight)

    Ta xác định được \left\{ \begin{matrix}a = - \dfrac{1}{6} \\b = \dfrac{1}{12} \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = - 1

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn đường thẳng \left( d_{1} ight):\frac{x - 3}{1} = \frac{y +1}{- 2} = \frac{z + 1}{1},\left( d_{2} ight):\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{3} ight):\frac{x - 1}{2} = \frac{y +1}{1} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{4} ight):\frac{x}{1} = \frac{y -1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

    Hướng dẫn:

    Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).

    Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.

    Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).

    (∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).

    Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;2; - 1) và mặt phẳng (P):x + z - 2 = 0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Ta có mặt phẳng (P): x + z - 2 =0

    \Rightarrow Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;0;1)

    Gọi đường thẳng cần tìm là \Delta. Vì đường thẳng \Delta vuông góc với (P)nên véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng \Delta.

    \Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;0;1)

    Vậy phương trình đường thẳng \Delta đi qua M(3;2; - 1) và có véc tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;0;1)là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} \right.\ .

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Chọn vectơ chỉ phương thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là \frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3} Biết rằng điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0) thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Hướng dẫn:

    Giả sử A(t;6 - 4t;6 - 3t), ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}} = (1; - 4; - 3) \\ \overrightarrow{AM} = ( - t;4t - 1; - 3 + 3t) \\ \overrightarrow{AN} = (1 - t; - 5 + 4t;3t - 6) \\ \end{matrix} \right.

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{AM} \right) \right| = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{AN} \right) \right|

    \Leftrightarrow \frac{|26t - 13|}{\sqrt{26t^{2} - 26t + 10}} = \frac{|26t - 39|}{\sqrt{26t^{2} - 78t + 62}}

    \Leftrightarrow \frac{|2t - 1|}{\sqrt{13t^{2} - 13t + 5}} = \frac{|2t - 3|}{\sqrt{13t^{2} - 39t + 31}}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \left( 4t^{2} - 4t + 1 \right)\left( 13t^{2} - 39t + 31 \right) = \left( 4t^{2} - 12t + 9 \right)\left( 13t^{2} - 13t + 5 \right) \\ \Leftrightarrow 14t = 14 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A(1;2;3) \Rightarrow \overrightarrow{AN} = (0; - 1; - 3) \\ \end{matrix}

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là \overrightarrow{u}(0;1;3)

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
38 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này