Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường phẳng (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M = (1; - 1;2) và hai đường thẳng d_{1} : \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight. d_{2}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}. Đường thẳng \Delta đi qua diểm M và cắt cả hai đường thẳng d_{1},d_{2} có véc tơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;a;b). Tính a + b?

    Hướng dẫn:

    Gọi A,B lần lượt là giao điểm của đường thẳng \Delta với d_{1},d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A\left( t_{1};1 - t_{1}; - 1 ight);B \in d_{2} \Rightarrow B\left( - 1 + 2t_{2};1 + t_{2}; - 2 + t_{2} ight)

    M \in \Delta \Leftrightarrow M,A,B\ \text{thẳng\ hàng~} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}(1)

    \overrightarrow{MA} = \left( t_{1} - 1;2 - t_{1}; - 3 ight);\overrightarrow{MB} = \left( 2t_{2} - 2;t_{2} + 2;t_{2} - 4 ight)

    (1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 = k(2t_{2} - 2) \\ 2 - t_{1} = k(t_{2} + 2) \\ - 3 = k(t_{2} - 4) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 2kt_{2} + 2k = 1 \\ - t_{1} - kt_{2} - 2k = - 2 \\ kt_{2} - 4k = - 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} = 0 \\ kt_{2} = \frac{1}{3} \\ k = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.

    Từ t_{1} = 0 \Rightarrow A(0;1; - 1).

    Do đường thẳng \Delta đi qua điểm A và M nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta là \overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AM} = (1; - 2;3).

    Vậy a = - 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 1

  • Câu 2: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P):x - 2y + z - 1 = 0;(Q):x - 2y + z + 8 =0;(R):x - 2y + z - 4 = 0. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt (P),(Q),(R) lần lượt tại A,B,C. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}}.

    Gợi ý:

    Nhận xét (P)//(Q)//(R)

    Sử dụng BĐT Cauchy và định lí Ta-let đánh giá biểu thức T.

    Hướng dẫn:

    Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).

    Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng (P),(Q),(R) cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.

    Ta có BH = d\left( (Q),(P) ight) = 9;HK = d\left( (P),(R) ight) = 3

    Khi đó ta có:

    T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}} \geq 2\sqrt{AB^{2}.\frac{144}{AC^{2}}} = 24.\frac{AB}{AC} = 24.\frac{BH}{HK} = 24.\frac{9}{3} = 72

    Vậy T_{\min} = 72.

  • Câu 3: Vận dụng cao
    2 đường thẳng chéo nhau viết PTTQ

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight. và \left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Hướng dẫn:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm M

    Hai đường thẳng (D):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 3m - t \\ z = 2t - 1 \\ \end{matrix} \right. và (d):\left\{ \begin{matrix} x = 4 - 2m \\ y = m + 2 \\ z = - m \\ \end{matrix} \right. cắt nhau tại M có tọa độ \left( t,m\mathbb{\in R} \right).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (D) cắt (d) tại M \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 + 4t = 4 - 2m \\ - 3 - t = m + 2 \\ 2t - 1 = - m \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2t + m = 1 \\ t + m = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow t = 6;m = - 11

    Vậy M(26, - 9,11)

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tìm tọa độ hình chiếu của M

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2;3;4) trên mặt phẳng (P):2x - y - z + 6 = 0 là điểm nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).

    Khi đó phương trình tham số của ∆ là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).

    Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix}x = 2 + 2t \\y = 3 - t \\z = 4 - t \\2x - y - z + 6 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\y = \dfrac{7}{2} \\z = \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

    Vậy M'\left( 1;\frac{7}{2};\frac{9}{2} ight)

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4), đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}và mặt phẳng (P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0. Đường thẳng (d) đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện ABCO và OACD bằng nhau, biết (d) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;b;c). Tính b + c.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có 1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}

    Nên BC = CD. Vì C ∈ ∆ \Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)

    C là trung điểm của BD nên D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6).

    Điểm D ∈ (P) nên 41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1

    ⇒ C(−1; −5; 3).

    \overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u} là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

    Vậy b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4

  • Câu 7: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 - 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và d':\left\{ \begin{matrix} x = 6 + 2t' \\ y = 3 + 2t' \\ z = 7 + 9t' \end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right).

    a) Đường thẳng d đi qua điểm A(2;3;1). Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d’ đi qua điểm B(6;3;7). Đúng||Sai

    c) Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Sai||Đúng

    d) Cosin góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng \frac{35}{\sqrt{1513}}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 - 3t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và d':\left\{ \begin{matrix} x = 6 + 2t' \\ y = 3 + 2t' \\ z = 7 + 9t' \end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right).

    a) Đường thẳng d đi qua điểm A(2;3;1). Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d’ đi qua điểm B(6;3;7). Đúng||Sai

    c) Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Sai||Đúng

    d) Cosin góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng \frac{35}{\sqrt{1513}}. Đúng||Sai

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Sai

    d) Đúng

    Phương án a) đúng: Khi t = 0 thì \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \\ z = 1 \end{matrix} \right. nên đường thẳng d đi qua điểm A(2;3;1).

    Phương án b) đúng: Khi t' = 0 thì \left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = 3 \\ z = 7 \end{matrix} \right. nên đường thẳng d’ đi qua điểm B(6;3;7).

    Phương án c) sai:

    d đi qua điểm A(2;3;1), có vtcp \overrightarrow{a} = ( - 2; - 2; - 3).

    d’ đi qua điểm B(6;3;7), có vtcp \overrightarrow{b} = (2; 2;9).

    Ta có: \left\lbrack \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right\rbrack = ( - 12;12;0);\overrightarrow{AB} = (4;0;6)

    \left\lbrack \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} = - 48 \neq 0 nên d và d’ chéo nhau.

    Phương án d) đúng: \cos(d;d') = \frac{\left| \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|} = \frac{35}{\sqrt{1513}}

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 1 = 0 và hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 3} = \frac{z}{2};d_{2}:\frac{x - 5}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z + 5}{- 5} . Biết rằng có 2 điểm M_{1};M_{2} trên d_{1} và hai điểm N_1;N_2 trên d_{2} sao cho M_{1}N_{1};N_{1}N_{2} song song mặt phẳng (P) đồng thời cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2. Tính d = M_{1}N_{1} + N_{1}N_{2}.

    Hướng dẫn:

    Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) sao cho khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng .

    Suy ra (Q) có phương trình dạng x - 2y + 2z + m = 0;(m \neq - 1) và (Q) chứa  M_{1}N_{1}  hoặc  N_{1}N_{2} .

    Theo giả thiết khoảng cách từ mp (Q) đến (P) bằng 2 nên ta có

    \frac{|m + 1|}{3} = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 5 \\ m = - 7 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy có 2 mặt phẳng song song và cách (P) một khoảng bằng 2 là:

    \left( Q_{1} \right):x - 2y + 2z + 5 = 0 và \left( Q_{2} \right):x - 2y + 2z - 7 = 0.

    + Theo giả thiết M_{1} = d_{1} \cap \left( Q_{1} \right),N_{1} = d_{2} \cap \left( Q_{1} \right) suy ra M_{1}(1; - 3; - 5),N_{1}(4; - 3; - 5) \Rightarrow M_{1}N_{1} = 5\sqrt{2}

    M_{2} = d_{1} \cap \left( Q_{2} \right),N_{2} = d_{2} \cap \left( Q_{2} \right) suy ra M_{2}(3;0;2),N_{2}( - 1; - 4;0) \Rightarrow M_{2}N_{2} = 6

    Vậy d = 6 + 5\sqrt{2}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tìm tọa độ giao điểm

    Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;1;3) đồng thời cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại M,N,P sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) với (P) có toạ độ là:

    Hướng dẫn:

    Gọi M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)

    Theo giả thiết, ta có a;b;c là các số dương.

    Phương trình mặt phẳng (P) là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    (P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1

    Ta có: \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{3}{c}} = \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}}

    \Leftrightarrow 1 \geq \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc} \geq 3\sqrt[3]{6} \Leftrightarrow abc \geq 112

    V_{OMNP} = \frac{abc}{6} \geq 27. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 3 \\ c = 9 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy (P):\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1

    Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \\ z = 6 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy đáp án cần tìm là: (4; - 1;6).

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Đường thảng là trục đối xứng của 2mp

    Cho điểm P(-3 , 1, -1)  và đường thẳng (d): \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.

    Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:

    Hướng dẫn:

    Chuyển (d) về dạng tham số : \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.

    Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: 3x + 4y + 2z + D = 0, cho qua P tính được D=7 .

    Ta có (Q): 3x + 4y + 2z + 7 = 0 .

    Thế x, y, z  theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được t = \frac{1}{2}

    Giao điểm I của (d) và (Q)  là I (1, -3, 1) .

    Vì I là trung điểm của PP’ nên \Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight).

  • Câu 11: Vận dụng
    PTTQ của (d) khi là giao tuyến

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a;\,\,AD = b;\,\,AE = c trong hệ trục Oxyz  sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với  Ox,Oy,Oz . Gọi  M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của giao tuyến (d) của mặt phẳng (MNP) và (xOy)

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:

    M\left( {a,\frac{b}{2},0} ight);\,\,\,N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight);\,\,\,P\left( {0,b,\frac{c}{2}} ight)

    Như vậy ta tính được vecto \overrightarrow {MN} và \overrightarrow {MP} theo a, b, c.

    \overrightarrow {MN} = - \frac{1}{2}\left( {a,b, - 2c} ight);\,\,\,\overrightarrow {MP} = - \frac{1}{2}\left( {2a, - b, - c} ight)

    (MNP) có vecto pháp tuyến là tích có hướng của 2 vecto  \overrightarrow {MN} và \overrightarrow {MP}

    = > \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } ight] = - 3\left( {bc,ca,ab} ight) = \overrightarrow {{n_P}}

    (MNP) có đi qua M và nhận \overrightarrow {{n_P}} làm 1 VTCP có phương trình là:

    \begin{array}{l}\left( {MNP} ight):bc\left( {x - a} ight) + ca\left( {y - \frac{b}{2}} ight) + ab.z = 0\\ = > \left( {MNP} ight):2bcx + 2cay + 2abz - 3abc = 0\\ = > (d):2bcx + 2cay + 2abz - 3abc = 0;\,\,\,z = 0\end{array}

  • Câu 12: Vận dụng
    Góc giữa 2 đường thẳng

    Tính góc của hai đường thẳng \left( {d'} ight):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z + 2}}{4}và \left( d ight):x = 3 + 2t;\,\,y = 2t - 4;\,\,z = 2\,\,\,\left( {t \in R} ight).

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta có (d’) và (d) có vec-tơ chỉ phương lần lượt là:\overrightarrow a = \left( {2,4,4} ight);\overrightarrow b = \left( {2,2,0} ight)

    Áp dụng công thức cosin của góc giữa 2 đường thẳng, ta có:

    \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 4.0} ight|}}{{6.2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}

  • Câu 13: Vận dụng
    Xác định phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;1; - 2),B(4; - 1;1),C(0; - 3;1). Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là

    Hướng dẫn:

    Gọi G là trọng tâm ABC, ta có G(2 ; -1 ; 0)

    Gọi \overrightarrow{a_{d}} là vectơ chỉ phương của d

    \overrightarrow{AB} = (2; - 2;3)

    \overrightarrow{AC} = ( - 2; - 4;3)

    d\bot(ABC) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d\bot AB \\ d\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {\overrightarrow{a}}_{d}\bot\overrightarrow{AB} \\ {\overrightarrow{a}}_{d}\bot\overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow {\overrightarrow{a}}_{d} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (6; - 12; - 12) = 6(1; - 2; - 2)

    d đi qua G(2; - 1;0) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a_{d}} = (1; - 2; - 2)

    Vậy phương trình tham số của d là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{1} và \Delta_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{1}. Đường thẳng d song song với (P):x + y - 2z + 5 = 0 và cắt hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2} lần lượt tại A,B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    Gọi A = d \cap \Delta_{1},B = d\cap\Delta_{2}

    \begin{matrix} A \in \Delta_{1} \Rightarrow A( - 1 + a; - 2 + 2a;a) \\ B \in \Delta_{2} \Rightarrow B(2 + 2b;1 + b;1 + b) \\ \overrightarrow{AB} = ( - a + 2b + 3; - 2a + b + 3; - a + b + 1) \\ d//(P) \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 4 \\ \overrightarrow{AB} = (a - 5; - a - 1; - 3) \\ AB = \sqrt{2(a - 2)^{2} + 27} \geq 3\sqrt{3};\forall a\mathbb{\in R} \\ \end{matrix}

    Dấu " = " xảy ra khi a = 2 \Rightarrow A(1;2;2),B( - 2; - 1; - 1)

    \overrightarrow{AB} = (- 3; - 3; -3)

    d đi qua điểm A(1;2;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (1;1;1)

    Vậy phương trình của d là x - 1 = y - 2 = z - 2

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Max của khoảng cách

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0)  và đường thẳng d: \frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}  . Mặt phẳng (\alpha) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến  lớn nhất có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Mã của khoảng cách

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (\alpha) , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.

    Ta có: d(A, d)=AKcố định và  d(A, (\alpha))=AH\leq AK

    Suy ra  d(A, (\alpha)) lớn nhất bằng AK khi H\equiv K .

    Ta có (d): \frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1} qua M(2; -1; 1) , có VTCP \vec{u_d} = (-1; 2; 1) .

    Gọi (P)  là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT \vec{n_p}=[\vec{u_d}, \vec{AM}]=(2; 0; 2) .

    Mặt phẳng (\alpha) có một VTPT là \vec{n_\alpha}=[\vec{n_p}, \vec{u_d}]=(-4; -4; 4)=-4(1;1;-1) và (\alpha)  qua  M (2; -1; 1) có phương trình: 1.(x-2)+1.(y+1)-1.(z-1)=0\Leftrightarrow x+y-z=0

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0; −1; 2), B(2; −3; 0), C(−2; 1; 1), D(0; −1; 3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Gọi M(x; y; z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x;y + 1;z - 2) \\ \overrightarrow{BM} = (x - 2;y + 3;z) \\ \overrightarrow{CM} = (x + 2;y - 1;z - 1) \\ \overrightarrow{DM} = (x;y + 1;z - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Từ giả thiết \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 1 \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x(x - 2) + (y + 1)(y + 3) + z(z - 2) = 1 \\ x(x + 2) + (y + 1)(y - 1) + (z - 1)(z - 3) = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z + 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm I_1(1; −2; 1), R_1 = 2 và mặt cầu tâm I_2(−1; 0; 2), R_2 = 2

    I_{1}I_{2} = \sqrt{5}

    Dễ thấy r = \sqrt{{R_{1}}^{2} - \left( \frac{I_{1}I_{2}}{2} ight)^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2}

  • Câu 17: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và điểm A(1;0;2).

    a) Điểm B(2;1; - 1) không thuộc đường thẳng d. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0;1). Sai||Đúng

    c) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;0;2), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}. Sai||Đúng

    d) M(a;b;c)là một điểm nằm trên đường thẳng d và cách điểm A một khoảng có độ dài bằng \sqrt{26}. Khi b > 0 thì a + b + c = 3. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và điểm A(1;0;2).

    a) Điểm B(2;1; - 1) không thuộc đường thẳng d. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0;1). Sai||Đúng

    c) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;0;2), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}. Sai||Đúng

    d) M(a;b;c)là một điểm nằm trên đường thẳng d và cách điểm A một khoảng có độ dài bằng \sqrt{26}. Khi b > 0 thì a + b + c = 3. Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Sai

    Phương án a) đúng: Thay tọa độ điểm B(1;2; - 1) vào phương trình đường thẳng d ta được: \left\{ \begin{matrix} 2 = 2 + t \\ 1 = t \\ - 1 = - 2 + t \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 0 \\ t = 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(1;2; - 1) \notin d.

    Phương án b) sai: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1;1).

    Phương án c) sai: Gọi H = d \cap \Delta \Leftrightarrow H \in d nên H(2 + t;t; - 2 + t).

    Ta có: \overrightarrow{AH} = (1 + t;t; - 4 + t) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta.

    Mà \Delta\bot d \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0 \Leftrightarrow 1(1 + t) + 1.t + 1( - 4 + t) = 0 \Leftrightarrow t = 1

    \Rightarrow \overrightarrow{AH} = (2;1; - 3)

    Suy ra \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 3}

    Phương án d) sai: Ta có M \in d \Rightarrow M(2 + t;t;2 + t) nên \overrightarrow{AM} = (1 + t;t; - 4 + t).

    AM = \sqrt{26} \Leftrightarrow \sqrt{(1 + t)^{2} + t^{2} + ( - 4 + t)^{2}} = \sqrt{26}

    \Leftrightarrow 3t^{2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1 \\ t = 3 \end{matrix} \right.

    Mà b > 0 \Rightarrow t > 0. Vậy M(5;3;1) \Rightarrow a + b + c = 9.

  • Câu 18: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 1} và mặt phẳng (P):x + 2y - 3z + 4 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P), cắt và vuông góc đường thẳng \Delta là:

    Hướng dẫn:

    Gọi M = \Delta \cap (P)

    M \in \Delta \Rightarrow M( - 2 + t;2 + t; - t)

    M \in (P) \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 3;1;1)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1;2; - 3)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = (1;1; - 1)

    Có \left. \ \begin{matrix} d \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \\ d\bot\Delta \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{a_{\Delta}} ightbrack = (1; - 2; - 1)

    d đi qua điểm M( - 3;1;1) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a_{d}}

    Vậy phương trình tham số của d là \left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ .

  • Câu 19: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{1}, mặt phẳng (P):2x - y - z + 5 = 0 và M(1; - 1;0). Đường thẳng \Delta đi qua điểm M, cắt d và tạo với (P) một góc 30^{0}. Phương trình đường thẳng \Delta là.

    Hướng dẫn:

    Gọi N = \Delta \cap d

    N \in d \Rightarrow N(2 + 2t;t; - 2 + t)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{MN} = (1 + 2t;1 + t; - 2 + t)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1; - 1)

    \sin\left\lbrack d,(P) ightbrack = \frac{\left| \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n_{P}} ight|}{\left| \overrightarrow{MN} ight|.\left| \overrightarrow{n_{P}} ight|} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \Rightarrow \overrightarrow{MN} = (1;1 - 2) \\ t = \frac{9}{5} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left( \frac{23}{5};\frac{14}{5}; - \frac{1}{5} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm M(1; - 1;0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{MN}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 2} và \frac{x - 1}{23} = \frac{y + 1}{14} = \frac{z}{- 1}

  • Câu 20: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz  cho điểm I(1;1;2), hai đường thẳng \Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 4 \\ \end{matrix} \right. và \Delta_{2}:\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng \Delta_{1},\Delta_{2} là.

    Hướng dẫn:

    Gọi \left( \alpha_{1} ight) là mặt phẳng qua I và \Delta_{1}

    \Delta_{1} đi qua M_{1}(3; - 1;4) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{1}} = (1;2;0)

    \overrightarrow{IM_{1}} = (2; - 2;2)

    \left( \alpha_{1} ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{IM_{1}} ightbrack = (4; - 2; - 6)

    Gọi \left( \alpha_{2} ight) là mặt phẳng qua I và \Delta_{2}

     

    \Delta_{2} đi qua M_{2}( - 2;0;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{2}} = (1;1;2)

    \overrightarrow{IM_{2}} = ( - 3; - 1;0)

    \left( \alpha_{2} ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{2}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{2}},\overrightarrow{IM_{2}} ightbrack = (2; - 6;2)

    d đi qua điểm I(1;1;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ightbrack = ( - 40; - 20; - 20)

    Vậy phương trình đường thẳng d là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
21 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm