Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường phẳng (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tính tổng các tham số

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là ax + by + cz + 9 = 0. Tính tổng a + b + c

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

    Phương trình tham số của \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

    Khi đó \left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}

    Lại có: \cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}

    Vậy \widehat{NMH}lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

    Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

    Vectơ pháp tuyến của (Q) là \overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)

    Vectơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)

    Phương trình mặt phẳng (P) là 1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0

    \Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0

    Vậy a + b + c = 4

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tính diện tích tam giác MAB

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - z - 3 = 0 và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, B là hình chiếu của A lên (\alpha). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi A(0;0;a) với a > 0. Đường thẳng AB đi qua điểm A(0;0;a) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0; - 1) có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    B \in (\alpha) \Rightarrow t - a + t - 3 = 0

    \Rightarrow t = \frac{3 + a}{2} \Rightarrow B\left( \frac{3 + a}{2};0;\frac{a - 3}{2} \right)

    Vì tam giác MAB cân tại M \Rightarrow MA = MB

    \Rightarrow 1 + 1 + (a - 1)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} \right)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} \right)^{2}

    \Rightarrow a^{2} - 2a + 1 + 1 = \frac{a^{2} + 2a + 1}{4} + \frac{a^{2} - 10a + 25}{4}

    \Rightarrow 4a^{2} - 8a + 8 = 2a^{2} - 8a + 26

    \Rightarrow 2a^{2} = 18 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow A(0;0;3),B(3;0;0)

    Cách 1: Ta có:

    \overrightarrow{AM} = (1;1; - 2),\overrightarrow{BM} = ( - 2;1;1)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} \right\rbrack = (3;3;3)

    \Rightarrow S_{ABM} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} \right\rbrack \right| = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Cách 2: Gọi I là trung điểm của AB. Ta có I\left( \frac{3}{2};0;\frac{3}{2} \right).

    IM = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^{2} + ( - 1)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}.

    AB = \sqrt{3^{2} + 0^{2} + ( - 3)^{2}} = 3\sqrt{2}.

    Do đó S_{ABM} = \frac{1}{2}IM.AB = \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{6}}{2}.3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính khoảng cách giữa hai điểm

    Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A\left( {1;5;0} \right),B\left( {3;3;6} \right) và d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}. Gọi C là điểm trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Khoảng cách giữa 2 điểm A và C là

    Hướng dẫn:

    Khảo sát.

    Lấy điểm C( - 1 + 2x;1 - x;2x) \in d, ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 2;6),\overrightarrow{AC} = ( - 2 + 2x; - 4 - x;2x).

    Ta có:

    S = \frac{1}{2}\sqrt{44\left\lbrack ( - 2 + 2x)^{2} + ( - 4 - x)^{2} + 4x^{2} \right\rbrack - ( - 4 + 4x + 8 + 2x + 12x)^{2}}

    S = \sqrt{18x^{2} - 36x + 216} \geq \sqrt{198} = 3\sqrt{22}.

    Suy ra \min S = 3\sqrt{22} \Leftrightarrow x = 1, khi đó \overrightarrow{AC} = (0; - 5;2) \Rightarrow AC = \sqrt{29}.

  • Câu 4: Vận dụng
    Lập phương trìnhđường thẳng

    Đường thẳng \Delta đi qua điểm M(3;\ 1;\ 1), nằm trong mặt phẳng (\alpha):x + y - z - 3 = 0 và tạo với đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 4 + 3t \\ z = - 3 - 2t \end{matrix} \right. một góc nhỏ nhất thì phương trình của \Delta là

    Hướng dẫn:

    Giả sử d \cap (\alpha) = A, trên d lấy điểm B và hạ BH vuông góc với (\alpha) và BK\bot KA sao cho đường thẳng AK//\Delta. Khi đó \widehat{BAK} = \varphi là góc giữa \Delta và d.

    Ta có \sin\varphi = \frac{BK}{BA} \geq \frac{BH}{BA} , dấu bằng có khi K \equiv H. Khi đó \overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AH}.

    Ta có đường thẳng AH là giao tuyến của (P) chứa d và vuông góc (\alpha).

    \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack = (1;2;3) nên \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack = (5; - 4;1).

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( - 4;0;0)và đường thẳng\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = - 2 + 3t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} \right.. Gọi H(a;b;c) là hình chiếu của M lên \Delta. Tính a+b+c.

    Hướng dẫn:

    Gọi H là hình chiếu của M lên \Deltanên tọa độ của H có dạng H(1 - t; - 2 + 3t; - 2t) và \overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}

    \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u_{\Delta}} = 0 \Leftrightarrow 14t - 11 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{11}{14}

    \Rightarrow H(\frac{3}{14};\frac{5}{14};\frac{- 22}{14}) \Rightarrow a + b + c = - 1

  • Câu 6: Vận dụng
    Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

    Mặt phẳng \left( P ight):2x - 2y + 4z + 5 = 0  và đường thẳng (d):\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2z + 1 = 0\\y + 2z - 3 = 0\end{array} ight. :   

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta có vecto pháp tuyến của \left( P ight):\overrightarrow n = \left( {2, - 2,4} ight)

    Đường thẳng (d) được cho dưới dạng hệ của hai mặt phẳng: x - y + 2z + 1 = 0 và 2x + y - z - 3 = 0 cũng có 2 VTPT lần lượt \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1, - 1,2} ight);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2,1, - 1} ight)

    Như vậy, VTCP của (d) sẽ là tích có hướng của 2 VTPT: \left( d ight):\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = \left( { - 1,5,3} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow a = - 2 - 10 + 12 = 0

    Cho\,\,\,\,\,z = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\\2x + y = 3\end{array} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\y = \dfrac{5}{3}\end{array} ight.

    \Rightarrow A\left( {\frac{2}{3},\frac{5}{3},0} ight) \in \left( d ight) và tọa độ của A không thỏa mãn phương trình của (P).

    Vậy (d) // (P) .

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz,cho điểmA(2;3;0),\ \ B(0; - \sqrt{2};0),\ \ M\left( \frac{6}{5}; - \sqrt{2};2 \right)và đường thẳngd:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 2 - t \end{matrix} \right.\ . Điểm Cthuộcdsao cho chu vi tam giácABClà nhỏ nhất thì độ dài CMbằng

    Hướng dẫn:

    Vì AB không đổi nên ta cần tìm vị trí của C sao cho giá trị của tổng CA + CB nhỏ nhất.

    Ta có:

    T = AC + BC = \sqrt{2(t - 2)^{2} + 9} + \sqrt{t^{2} + (t - 2)^{2} + 2}

    = \sqrt{2t^{2} - 8t + 17} + \sqrt{2t^{2} - 4t + 6} \geq 3\sqrt{3}.

    Dấu bằng có khi t = \frac{7}{5}. Do đó CM = \sqrt{\left( t - \frac{6}{5} \right)^{2} + 2 + t^{2}} = 2.

    Cách 2. Tâm tỉ cự.

    Ghi x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(x + 0y - z)^{2}}{2} CALC nhập 2 = 3 = - 2 = có {d_{a}}^{2} = 9. CALC nhập 0 = - \sqrt{2} = - 2 = có {d_{b}}^{2} = 4.

    Gọi I là điểm sao cho 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}, tọa độ I(\frac{4}{5};\frac{6 - 2\sqrt{2}}{5};0).

    Sửa thành \frac{(x + 0y - z)}{2} CALC nhập \frac{4}{5} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{5} = - 2 =ta được t = \frac{7}{5}.

    Vậy M là hình chiếu của I trên d, tọa độ M(\frac{7}{5};0;\frac{3}{5}) nên CM = 2.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;3)và mặt phẳng (\alpha):2x - y - 3z - 1 = 0;

    a. Điểm A không nằm trên mặt phẳng (\alpha). Đúng||Sai

    b. Mặt phẳng (\alpha) có một véc tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 3). Đúng||Sai

    c. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và song song mặt phẳng(\alpha), Phương trình mặt phẳng (P) là: 2x - y - 3z + 7 = 0. Sai||Đúng

    d. Gọi B là điểm tùy ý trên mặt phẳng (P). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (\alpha)là d\left( B,(\alpha) \right) = \frac{10}{\sqrt{14}}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;3)và mặt phẳng (\alpha):2x - y - 3z - 1 = 0;

    a. Điểm A không nằm trên mặt phẳng (\alpha). Đúng||Sai

    b. Mặt phẳng (\alpha) có một véc tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 3). Đúng||Sai

    c. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và song song mặt phẳng(\alpha), Phương trình mặt phẳng (P) là: 2x - y - 3z + 7 = 0. Sai||Đúng

    d. Gọi B là điểm tùy ý trên mặt phẳng (P). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (\alpha)là d\left( B,(\alpha) \right) = \frac{10}{\sqrt{14}}. Đúng||Sai

    a. Đúng

    b. Đúng

    c. Sai

    (P) song song mặt phẳng(\alpha)nên có dạng: 2x - y - 3z + D = 0

    Do A(1;2;3) \in (P) nên: 2.1 - 2 - 3.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = 9.

    d. Đúng

    Ta có: (P) song song mặt phẳng(\alpha)nên

    d\left( B,\ (\alpha) \right) = d\left( A,(\alpha) \right) = \frac{|2.1 - 2 - 3.3 - 1|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 3)^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{14}}.

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyzcho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right. và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0.

    a) [NB] Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1). Đúng||Sai

    b) [TH] Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 30^{0}. Sai||Đúng

    c) [TH] Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm M(a;b;c) với a + b - c = - 1. Đúng||Sai

    d) [VD,VDC] Phương trình đường thẳng \Delta chứa trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{- 1}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyzcho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right. và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0.

    a) [NB] Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1). Đúng||Sai

    b) [TH] Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 30^{0}. Sai||Đúng

    c) [TH] Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại điểm M(a;b;c) với a + b - c = - 1. Đúng||Sai

    d) [VD,VDC] Phương trình đường thẳng \Delta chứa trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{- 1}. Đúng||Sai

    a) Đúng. Đường thẳng d có một vec tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1).

    b) Sai. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1; - 1;0).

    Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|}= \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{1}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}.

    c) Đúng. Tọa độ giao điểm giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là nghiệm hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ x - y + 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \\ 1 - t - 1 - 2t + 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 3 \\ z = 4 \\ t = 1 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M(0;3;4).

    d) Đúng. Đường thẳng \Delta chứa trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d nên có 1 vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} ightbrack = (1;1; - 1).

    Mặt khác đường thẳng \Delta cắt đường thẳng d nên \Delta đi qua giao điểm M(0;3;4).

    Vậy phương trình của đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{- 1}.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian Oxyz cho A(1; - 1;2), f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{matrix} \right., C(0;1; - 2). Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T = 12a + 12b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} \right) + 3\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} \right) = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} \right).

    Khi đó S = 6MI^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA}.

    Để S nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất, suy ra M\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};0 \right). Vậy T = - 1.

  • Câu 11: Vận dụng
    Xác định phương trình thích hợp nhất

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A( - 3;0;1),\ B(1; - 1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.

    Hướng dẫn:

    Gọi \Delta là đường thẳng cần tìm

    Gọi mặt phẳng (Q) qua A( - 3;0;1) và song song với (P). Khi đó: (Q):x - 2y + 2z + 1 = 0

    Gọi K,H lần lượt là hình chiếu của B lên \Delta,(Q). Ta có d(B,\Delta) = BK \geq BH. Do đó AH là đường thẳng cần tìm.

    (Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{Q}} = (1; - 2;2)

    BH qua B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{BH}} = \overrightarrow{n_{Q}} = (1; - 2;2)

    BH:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm A( - 3;0;1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{AH} = \left( \frac{26}{9};\frac{11}{9}; - \frac{2}{9} ight) = \frac{1}{9}(26;11; - 2)

    H \in BH \Rightarrow H(1 + t; - 1 - 2t;3 + 2t)

    H \in (P) \Rightarrow t = - \frac{10}{9} \Rightarrow H\left( - \frac{1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9} ight)

    Vậy phương trình của \Delta là \Delta:\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}

  • Câu 12: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{2} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = - 2 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} \right.. Phương trình đường thẳng nằm trong (\alpha):x + 2y - 3z - 2 = 0 và cắt hai đường thẳng d_{1},\ d_{2} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm

     

    • Gọi A = d_{1} \cap (\alpha)

     

    \begin{matrix} A \in d_{1} \Rightarrow A(2 - a;1 + 3a;1 + 2a) \\ A \in (\alpha) \Rightarrow a = - 1 \Rightarrow A(3; - 2; - 1) \\ \end{matrix}

     

    • Gọi B = d_{2} \cap (\alpha)

     

    \begin{matrix} B \in d_{2} \Rightarrow B(1 - 3b; - 2 + b; - 1 - b) \\ B \in (\alpha) \Rightarrow b = 1 \Rightarrow B( - 2; - 1; - 2) \\ \end{matrix}

     

    • d đi qua điểm A(3; - 2; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = ( - 5;1; - 1)

     

    Vậy phương trình chính tắc của d là \frac{x - 3}{- 5} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P):x - 2y + z - 1 = 0;(Q):x - 2y + z + 8 =0;(R):x - 2y + z - 4 = 0. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt (P),(Q),(R) lần lượt tại A,B,C. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}}.

    Gợi ý:

    Nhận xét (P)//(Q)//(R)

    Sử dụng BĐT Cauchy và định lí Ta-let đánh giá biểu thức T.

    Hướng dẫn:

    Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).

    Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng (P),(Q),(R) cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.

    Ta có BH = d\left( (Q),(P) ight) = 9;HK = d\left( (P),(R) ight) = 3

    Khi đó ta có:

    T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}} \geq 2\sqrt{AB^{2}.\frac{144}{AC^{2}}} = 24.\frac{AB}{AC} = 24.\frac{BH}{HK} = 24.\frac{9}{3} = 72

    Vậy T_{\min} = 72.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 1 = 0 và hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 3} = \frac{z}{2};d_{2}:\frac{x - 5}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z + 5}{- 5} . Biết rằng có 2 điểm M_{1};M_{2} trên d_{1} và hai điểm N_1;N_2 trên d_{2} sao cho M_{1}N_{1};N_{1}N_{2} song song mặt phẳng (P) đồng thời cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2. Tính d = M_{1}N_{1} + N_{1}N_{2}.

    Hướng dẫn:

    Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) sao cho khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng .

    Suy ra (Q) có phương trình dạng x - 2y + 2z + m = 0;(m \neq - 1) và (Q) chứa  M_{1}N_{1}  hoặc  N_{1}N_{2} .

    Theo giả thiết khoảng cách từ mp (Q) đến (P) bằng 2 nên ta có

    \frac{|m + 1|}{3} = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 5 \\ m = - 7 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy có 2 mặt phẳng song song và cách (P) một khoảng bằng 2 là:

    \left( Q_{1} \right):x - 2y + 2z + 5 = 0 và \left( Q_{2} \right):x - 2y + 2z - 7 = 0.

    + Theo giả thiết M_{1} = d_{1} \cap \left( Q_{1} \right),N_{1} = d_{2} \cap \left( Q_{1} \right) suy ra M_{1}(1; - 3; - 5),N_{1}(4; - 3; - 5) \Rightarrow M_{1}N_{1} = 5\sqrt{2}

    M_{2} = d_{1} \cap \left( Q_{2} \right),N_{2} = d_{2} \cap \left( Q_{2} \right) suy ra M_{2}(3;0;2),N_{2}( - 1; - 4;0) \Rightarrow M_{2}N_{2} = 6

    Vậy d = 6 + 5\sqrt{2}.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0; −1; 2), B(2; −3; 0), C(−2; 1; 1), D(0; −1; 3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Gọi M(x; y; z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x;y + 1;z - 2) \\ \overrightarrow{BM} = (x - 2;y + 3;z) \\ \overrightarrow{CM} = (x + 2;y - 1;z - 1) \\ \overrightarrow{DM} = (x;y + 1;z - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Từ giả thiết \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 1 \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x(x - 2) + (y + 1)(y + 3) + z(z - 2) = 1 \\ x(x + 2) + (y + 1)(y - 1) + (z - 1)(z - 3) = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z + 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm I_1(1; −2; 1), R_1 = 2 và mặt cầu tâm I_2(−1; 0; 2), R_2 = 2

    I_{1}I_{2} = \sqrt{5}

    Dễ thấy r = \sqrt{{R_{1}}^{2} - \left( \frac{I_{1}I_{2}}{2} ight)^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2}

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức S

    Cho đường thẳng d:\frac{x}{6} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z}{2} và ba điểm A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6). Điểm M(a;b;c) \in d thỏa mãn MA + 2MB + 3MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Gọi M(6t;3t + 1;2t) \in d và ta cần tính S = 11t + 1 khi MA + 2MB + 3MC = T đạt giá trị nhỏ nhất.

    T = \sqrt{(6t - 2)^{2} + (3t + 1)^{2} + 4t^{2}} + 2\sqrt{36t^{2} + (3t - 3)^{2} + 4t^{2}}

    + 3\sqrt{36t^{2} + (3t + 1)^{2} + (2t - 6)^{2}}

    T = \sqrt{49t^{2} - 18t + 5} + 2\sqrt{49t^{2} - 18t + 9} + 3\sqrt{49t^{2} - 18t + 37}.

    Dễ thấy các Parabol đồng thời đạt nhỏ nhất tại t = \frac{9}{49} và T_{\min} = \frac{2\sqrt{41} + 12\sqrt{10} + 6\sqrt{433}}{7}. Khi đó \mathbf{S =}\frac{\mathbf{148}}{\mathbf{49}}\mathbf{.}

  • Câu 17: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏnhất của m

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;3;5), B(1;2;4) và mặt cầu \left( S_{m} \right):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - m)^{2} = \frac{m^{2}}{4}. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để trên \left( S_{m} \right) tồn tại điểm M sao cho MA^{2} - MB^{2} = 9.

    Hướng dẫn:

    Gọi M(x;y;z), ta có:

    (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 5)^{2} - (x - 1)^{2} - (y - 2)^{2} - (z - 4)^{2} = 9

    Suy ra M \in (P):x + y + z - 4 = 0.

    Mặt khác M \in \left( S_{m} \right) có tâm I(1;1;m),R^{2} = \frac{m^{2}}{4} nên d^{2} \leq R^{2} \Leftrightarrow \frac{(m - 2)^{2}}{3} \leq \frac{m^{2}}{4}.

    Giải ra ta có 8 - 4\sqrt{3} \leq m \leq 8 + 4\sqrt{3}.

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tìm vecto pháp tuyến

    Cho đường thẳng d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight. và mặt phẳng (\alpha): 2x-y-2z-2=0. Mặt phẳng (P) qua d  và tạo với (\alpha ) một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P)  là:

    Hướng dẫn:

    Tìm vecto pháp tuyến

    Gọi \triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A);

    H là hình chiếu vuông góc của B lên (\alpha ); K là hình chiếu của H lên \triangle.

    Suy ra: (\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH} cố định; (\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}.

    Mà \widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH} (vì HK \leq HA)  \Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )

    Suy ra (\widehat{(P),(\alpha)}) nhỏ nhất bằng (\widehat{d, (\alpha)}) khi K\equiv A .

    Khi đó \triangle \perp dvà có một VTCP \vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1) .

    Vậy (P) có một VTPT là \vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1).

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2; - 2),B(2;2; - 4). Giả sử I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính T = a^{2} + b^{2} + c^{2}.

    Hướng dẫn:

    Ta có OA = AB = 2\sqrt{2} nên tam giác OAB cân tại OAB, vì vậy I thuộc đường trung tuyến qua A là (d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(1 + t;1 - t; - 2)

    IA = IO \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I(2;0; - 2)

    Do đó T = 8

  • Câu 20: Vận dụng cao
    2 đường thẳng chéo nhau viết PTTQ

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight. và \left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Hướng dẫn:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
32 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này