Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường phẳng (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz,  cho ba đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 4 - t \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} \right. d_{2}:\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z}{- 3} và d_{2}:\frac{x + 1}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1}. Gọi \Delta là đường thẳng cắt d_{1},d_{2},d_{3} lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho AB = BC. Phương trình đường thẳng \Delta là

    Hướng dẫn:

    Gọi A \in d_{1},B \in d_{2},C \in d_{3}

    Ta có: A(a;4 - a; - 1 + 2a),B(b;2 - 3b; - 3b),C( - 1 + 5c;1 + 2c; - 1 + c)

    Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow A,B,C thẳng hàng và AB = BC

    \Leftrightarrow B là trung điểm AC \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 1 + 5c = 2b \\ 4 - a + 1 + 2c = 2(2 - 3b) \\ - 1 + 2a - a + c = 2( - 3b) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra A(1;3;1),B(0;2;0),,C( - 1;1; - 1)

    \Delta đi qua điểm B(0;2;0và có vecto chỉ phương là \overrightarrow{CB} = (1;1;1)

    Vậy phương trình đường thẳng \Delta là \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}

  • Câu 2: Vận dụng
    Xác định phương trình d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) và B( - 1;2;4). Phương trình d đi qua trọng tâm của \Delta OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là

    Hướng dẫn:

    Gọi G là trọng tâm \Delta OAB, ta có G(0;2;2)

    \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1;4;2) \\ \overrightarrow{OB} = ( - 1;2;4) \\ \end{matrix}

    Gọi \overrightarrow{a_{d}} là vectơ chỉ phương của d

    d\bot(OAB) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d\bot OA \\ d\bot OB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OA} \\ \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OB} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = (12; - 6;6) = 6(2; - 1;1)

    Vậy phương trình của d là \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 2}{1}

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tính bán kính r của đường tròn

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A( - 3;1;1),\ \ B(1; - 1;5) và mặt phẳng (P):2x - y + 2z + 11 = 0. Mặt cầu (S) đi qua hai điểm A,B và tiếp xúc với (P) tại điểm C. Biết C thuộc một đường tròn (T) cố định. Tính bán kính r của đường tròn (T).

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (4; - 2;4) = 2(2; - 1;2) = 2\overrightarrow{n_{P}} nên AB vuông góc với (P).

    Gọi D là giao điểm của AB và (P), theo tính chất cát tuyến và tiếp tuyến, ta có : DC^{2} = DA.DB không đổi, do đó r = DC = \sqrt{DA.DB}.

    Với DA = d\left( A,(P) \right) = 2,DB = d\left( B,(P) \right) = 8, suy ra r = \sqrt{2.8} = 4.

  • Câu 4: Vận dụng
    Xác định phương trình thích hợp nhất

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A( - 3;0;1),\ B(1; - 1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.

    Hướng dẫn:

    Gọi \Delta là đường thẳng cần tìm

    Gọi mặt phẳng (Q) qua A( - 3;0;1) và song song với (P). Khi đó: (Q):x - 2y + 2z + 1 = 0

    Gọi K,H lần lượt là hình chiếu của B lên \Delta,(Q). Ta có d(B,\Delta) = BK \geq BH. Do đó AH là đường thẳng cần tìm.

    (Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{Q}} = (1; - 2;2)

    BH qua B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{BH}} = \overrightarrow{n_{Q}} = (1; - 2;2)

    BH:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm A( - 3;0;1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{AH} = \left( \frac{26}{9};\frac{11}{9}; - \frac{2}{9} ight) = \frac{1}{9}(26;11; - 2)

    H \in BH \Rightarrow H(1 + t; - 1 - 2t;3 + 2t)

    H \in (P) \Rightarrow t = - \frac{10}{9} \Rightarrow H\left( - \frac{1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9} ight)

    Vậy phương trình của \Delta là \Delta:\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính a +b

    Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;3), mặt phẳng (P):x + my + (2m + 1)z - m - 2 = 0, m là tham số thực. Gọi H(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P). Khi khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất, tính a + b.

    Hướng dẫn:

    Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng cố định d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 1}.

    Kẻ AH, AK lần lượt vuông góc với (P) và d, khi đó AH \leq AK nên khoảng cách AH lớn nhất bằng AK.

    Ta cần xác định H(a;b;c) là hình chiếu của A trên d, khi đó a + b = 3 + 3t.

    Ghi \frac{x + 2y - z}{6} bấm CALC nhập 0 = 0 = 3 = \ = ta được t = - \frac{1}{2} nên a + b = \frac{3}{2}.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    2 đường thẳng chéo nhau viết PTTQ

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight. và \left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Hướng dẫn:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 7: Vận dụng
    Điểm đối xứng qua mp

    Cho điểm A\left( {2,3,5} ight) và mặt phẳng \left( P ight):2x + 3y + z - 17 = 0. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P).Tọa độ điểm A’ là :

    Hướng dẫn:

    Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A vuông góc với (P): \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 5 + t\end{array} ight..

    Thế x, y, z theo t vào phương trình của (P), ta được:

    \begin{array}{l}2.(2 + 2t) + 3(3 + 3t) + 5 + t - 17 = 0\\ \Leftrightarrow 4 + 4t + 9 + 9t + 5 + t - 17 = 0\\ \Leftrightarrow 14t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow t = \frac{{ - 1}}{{14}}\end{array}

    Thế tiếp t = - \frac{1}{{14}} vào phương trình của (d) được giao điểm I của  (d) và (P): I\left( {\frac{{26}}{{14}},\frac{{39}}{{14}},\frac{{69}}{{14}}} ight)

    Mặt khác, I là trung điểm của AA' nên suy ra được: \Rightarrow A'\left( {\frac{{12}}{7},\frac{{18}}{7},\frac{{34}}{7}} ight)

  • Câu 8: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2\ ;1\ ; - 2), B(5\ ;1\ ;1) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6y + 12z + 9 = 0. Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu có tâm I(0; - 3; - 6), bán kính R = 6. Ta lại có \overrightarrow{IA} = (2;4;4) \Rightarrow IA = 6.

    Khi đó A là tiếp điểm và d nằm trong tiếp diện của mặt cầu tại A.

    Phương trình tiếp diện là (P):x + 2y + 2z = 0.

    Hạ BH\bot(P),BK\bot d thì BK \geq BH do đó d cần tìm là đường thẳng AH.

    Ghi - \frac{x + 2y + 2z}{9} CALC nhập 5 = 1 = 1 = \ \ = STO M,

    ghi M + x – 2 : 2M + y – 1 : 2M + z + 2 bấm = = = suy ra \overrightarrow{AH} = (2; - 2;1).

  • Câu 9: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 1} và mặt phẳng (P):x + 2y - 3z + 4 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P), cắt và vuông góc đường thẳng \Delta là:

    Hướng dẫn:

    Gọi M = \Delta \cap (P)

    M \in \Delta \Rightarrow M( - 2 + t;2 + t; - t)

    M \in (P) \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 3;1;1)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1;2; - 3)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = (1;1; - 1)

    Có \left. \ \begin{matrix} d \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \\ d\bot\Delta \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{a_{\Delta}} ightbrack = (1; - 2; - 1)

    d đi qua điểm M( - 3;1;1) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a_{d}}

    Vậy phương trình tham số của d là \left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ .

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian Oxyz cho A(1; - 1;2), f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{matrix} \right., C(0;1; - 2). Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T = 12a + 12b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} \right) + 3\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} \right) = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} \right).

    Khi đó S = 6MI^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA}.

    Để S nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất, suy ra M\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};0 \right). Vậy T = - 1.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tìm tọa độ điểm M và tính chu vi tam giác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;5;0),B(3;3;6) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \\ \end{matrix} \right.. Một điểm M thay đổi trên d sao cho chu vi tam giác ABM nhỏ nhất. Khi đó tọa độ điểm M và chu vi tam giác ABM là:

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Phương pháp trắc nghiệm

    - Kiểm tra thấy chỉ có điểm M(1;0;2) thuộc d nên lại phương án B,C

    - Với M(1;0;2) tính chi vi tam giác ABM suy ra chọn D.

    Cách 2.

    - Lấy điểm M( - 1 + 2t;1 - t;2t) thuộc d

    - Tính chu vi tam giác ABM:

    P = \sqrt{9t^{2} + 20} + \sqrt{9t^{2} - 36t + 56} + 2\sqrt{11}

    = \sqrt{(3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} \right)^{2}} + \sqrt{(6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} \right)^{2}} + 2\sqrt{11} (dùng BĐT vectơ)

    \geq \sqrt{(3t + 6 - 3t)^{2} + \left( 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \right)^{2}} = 2\left( \sqrt{29} + \sqrt{11} \right)

    Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow \frac{3t}{6 - 3t} = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \geq 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M(1;0;2).

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;2;0),B(2;0; - 2) và mặt phẳng (P):x + 2y - z - 1 = 0 . Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA = MB và góc \widehat{AMB} có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị a + 4b + c bằng

    Hướng dẫn:

    +) Vì MA = MB nên M thuộc mặt phẳng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Ta có phương trình trung trực của AB là (Q):y + z = 0

    +) M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P);(Q) nên M thuộc đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ - t \\ z = t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    Gọi M(1 + 3t; - t;t), ta có \cos\widehat{AMB} = \frac{\left| \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} \right|}{MA.MB} = \frac{11t^{2} - 2t + 1}{11t^{2} - 2t + 5}.

    Khảo sát hàm số f(t) = \frac{11t^{2} - 2t + 1}{11t^{2} - 2t + 5}, ta được \min f(t) = \frac{5}{27} khi t = \frac{1}{11}.

    Suy ra \widehat{AMB} có số đo lớn nhất khi t = \frac{1}{11}, ta có M\left( \frac{14}{11}; - \frac{1}{11};\frac{1}{11} \right) .

    Khi đó giá trị a + 4b + c = 1.

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b - 2c.

    Đáp án: 50

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b - 2c.

    Đáp án: 50

    Ta có: \overrightarrow{BC} = (100;0;50)

    Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP \overrightarrow{u} = (2;0;1)có dạng (BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.

    Điểm W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t) và \overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)

    Ta có: \overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0

    \Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30

    Vậy H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1} và mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0 Đường thẳng (P):x + y + z + 2 = 0 nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d đồng thời khoảng cách từ giao điểm I của d với (P) đến \Delta bằng \sqrt{42}. Gọi M(5;b;c) là hình chiếu vuông góc của I trên \Delta Giá trị của bc bằng

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}}(2;1; - 1).

    Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là \overrightarrow{n}(1;1;1).

    Gọi \overrightarrow{u_{2}} là vecto chỉ phương của đường thẳng \Delta. Khi đó \overrightarrow{u_{2}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{n} \right\rbrack = (2; - 3;1)

    Vì I = d \cap (P) nên ta tìm được I(1; - 3;0)

    Gọi \Delta' là đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với \Delta, \Delta \cap \Delta' = M thỏa mãn IM = \sqrt{42}

    có vecto chỉ phương là: \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = (4;1; - 5).

    Khi đó có phương trình là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = - 3 + t \\ z = - 5t \\ \end{matrix} \right..

    Gọi M \in \Delta^{'} \Rightarrow M(1 + 4t; - 3 + t; - 5t), IM = \sqrt{42}

    \Rightarrow (4t)^{2} + t^{2} + (5t)^{2} = 42 \Leftrightarrow t = \pm 1.

    Vớit = 1 \Rightarrow M(5; - 2; - 5) \Rightarrow bc = 10.

    Với t = - 1 \Rightarrow M( - 3; - 4; - 5)(L)

    Vậy bc = 10

  • Câu 15: Vận dụng
    Lập phương trình mặt phẳng (Q)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 1} và mặt phẳng(P):2x - y + 2z - 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa \Delta sao cho (Q) tạo với (P) góc nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Gọi A là giao điểm của \Delta và (P), d là giao tuyến của (Q) và (P). Lấy điểm B thuộc \Delta và kẻ BH\bot(P) và BK\bot d.

    Khi đó \widehat{BKH} = \alpha là góc giữa (Q) và (P).

    Ta có \tan\alpha = \frac{HB}{HK} \geq \frac{HB}{HA}, dấu bằng có khi K trùng A hay d vuông góc với \Delta.

    Khi đó: \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{n_{P}} \right\rbrack = ( - 1;\ \ 6;\ 4) và \overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = (10; - 7;13).

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính tổng các tham số

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là ax + by + cz + 9 = 0. Tính tổng a + b + c

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

    Phương trình tham số của \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

    Khi đó \left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}

    Lại có: \cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}

    Vậy \widehat{NMH}lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

    Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

    Vectơ pháp tuyến của (Q) là \overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)

    Vectơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)

    Phương trình mặt phẳng (P) là 1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0

    \Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0

    Vậy a + b + c = 4

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tìm phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác nhọn ABC cóH(2;2;1);K\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right); O(0;0;0) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A;B;C trên các cạnh BC;CA;AB. Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Cách 1: I:OH = 3;OK = 4;HK = 5. Gọi I là trực tâm tam giác ABC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{4.2 + 5.0 + 3.\left( - \dfrac{8}{3} \right)}{12} = 0 \\y_{I} = \dfrac{3.\dfrac{4}{3} + 4.2 + 5.0}{12} = 1 \\z_{I} = \dfrac{3.\dfrac{8}{3} + 4.1 + 5.0}{12} = 1 \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    \overrightarrow{IH} = (2;1;0) \Rightarrow (\Delta):\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.

    A \in IH \Rightarrow A(2t;1 + t;1)

    \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OI} = 0 \Leftrightarrow t = - 2

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} A( - 4; - 1;1) \in d \\ \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{OI};\overrightarrow{OH} \right\rbrack = ( - 1;2; - 2) \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow (d):\frac{x + 4}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 1}{2}

    Cách 2: VTPT của (ABC) là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{OH};\overrightarrow{OK} \right\rbrack = 4(1; - 2;2).

    Vì \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OK} = 0 \Rightarrow \widehat{HOK} = 90^{0}.

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua O;\overrightarrow{n_{\alpha}} = \overrightarrow{OK} = \frac{4}{3}( - 2;1;2) \Rightarrow (\alpha): - 2x + y + 2z = 0.

    Gọi (\beta) là mặt phẳng đi qua O;\overrightarrow{n_{\beta}} = \overrightarrow{OH} = (2;2;1) \Rightarrow (\beta):2x + 2y + z = 0.

    Ta có d\left( A;(\alpha) \right) = d\left( A;(\beta) \right), đối chiếu phương án A;B;C;D thấy A( - 4; - 1;1) thỏa mãn.

  • Câu 18: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Sai||ĐúngTrong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 4}{3} = \frac{y - 5}{- 4} = \frac{z + 2}{1}.

    a) Điểm A(3; - 4;1) nằm trên đường thẳng d. Sai||Đúng

    b) Một vectơ chỉ phương của d là \overrightarrow{u} = ( - 6;8; - 2). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng d song song với đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 4 + 3s \\ y = 5 - 4s \\ z = - 2 + s \end{matrix} \right.. 

    d) Đường thẳng \Delta song song với đường thẳng d, cắt cả hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2} vàd_{2}:\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z}{1} có phương trình là \frac{x + 4}{3} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z + 1}{1}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Sai||ĐúngTrong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 4}{3} = \frac{y - 5}{- 4} = \frac{z + 2}{1}.

    a) Điểm A(3; - 4;1) nằm trên đường thẳng d. Sai||Đúng

    b) Một vectơ chỉ phương của d là \overrightarrow{u} = ( - 6;8; - 2). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng d song song với đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 4 + 3s \\ y = 5 - 4s \\ z = - 2 + s \end{matrix} \right.. 

    d) Đường thẳng \Delta song song với đường thẳng d, cắt cả hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2} vàd_{2}:\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z}{1} có phương trình là \frac{x + 4}{3} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z + 1}{1}. Đúng||Sai

    a). Sai: Tọa độ điểm A(3; - 4;1) không thỏa mãn phương trình đường thẳng d.

    b) Đúng: Ta có \overrightarrow{u} = ( - 6;8; - 2) = - 2(3; - 4;1).

    c) Sai: Đường thẳng d trùng với đường thẳng \Delta.

    d) Đúng: Gọi B,\ \ C lần lượt là giao điểm của \Delta và d_{1},\ d_{2}.

    Khi đó B,\ \ C thuộc d_{1},\ \ d_{2} nên \left\{ \begin{matrix} x_{B} = 1 + 3t \\ y_{B} = - 1 + t \\ z_{B} = 2 + 2t \end{matrix} \right. và \left\{ \begin{matrix} x_{C} = - 2 + 2t' \\ y_{C} = 3 + 4t' \\ z_{C} = t' \end{matrix} \right..

    Vectơ chỉ phương của \Delta là \overrightarrow{BC} = ( - 3 + 2t' - 3t;4 + 4t' - t; - 2 + t' - 2t)

    Vì đường thẳng \Delta song song với d:\frac{x + 4}{3} = \frac{y - 5}{- 4} = \frac{z + 2}{1} nên \frac{- 3 + 2t' - 3t}{3} = \frac{4 + 4t' - t}{- 4} = \frac{- 2 + t' - 2t}{1}.

    Giải hệ ta được t' = - 1,\ \ t = - \frac{4}{3}. Suy ra B\left( - 3; - \frac{7}{3}; - \frac{2}{3} \right) và C( - 4; - 1; - 1).

    Dễ thấy C( - 4; - 1; - 1) \notin d nên phương trình đường thẳng \Delta đi qua B,\ \ C là \frac{x + 4}{3} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z + 1}{1}.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 1 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight. và hai điểm A(5;0;2),B(2; - 5;3). Tìm điểm M thuộc \Delta sao cho \bigtriangleup ABM vuông tại A.

    Hướng dẫn:

    Điểm M thuộc đường thẳng \Delta nên M( - 1 + 3t;1 + t;3t).

    Ta có \overrightarrow{AM} = (3t - 6;t + 1;3t - 2) và \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 5;1).

    Tam giác ABM vuông tại M khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0

    \Leftrightarrow - 3(3t - 6) - 5(t + 1) + 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1

    Khi đó tọa độ điểm M(2;2;3).

  • Câu 20: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là \frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3}. Biết rằng điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0) thuộc đường thẳng AC. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC.

    Hướng dẫn:

    Hình chiếu H của M trên đường phân giác trong góc A có tọa độ: H\left( \frac{1}{2};4;\frac{9}{2} ight)

    M’ là điểm đối xứng của M qua H. Từ đây ta tìm được tọa độ M’(1; 3; 6).

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC chính là vecto \overrightarrow{NM'} = (0;2;6).

    Suy ra, đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là (0; 1; 3)

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
37 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này