Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường phẳng (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;1),\ B( - 1;2;3) và đường thẳng \Delta\ :\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{3}. Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳng AB và \Delta là

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}}

    \overrightarrow{AB} = ( - 2;3;2)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = ( - 2;1;3)

    \left\{ \begin{matrix} d\bot AB \\ d\bot\Delta \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{a_{\Delta}} ightbrack = (7;2;4)

    Vậy phương trình chính tắc của d là \frac{x - 1}{7} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{4}

  • Câu 2: Vận dụng
    Tìm một vectơ thỏa mãn điều kiện

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M( - 2; - 2;1),A(1;2; - 3) và đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z}{- 1}. Tìm một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}\ của đường thẳng \Delta đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng \Delta nằm trong mp(P) đi qua Mvà vuông góc với đường thẳng d. Phương trình (P):2x + 2y - z + 9 = 0.

    Kẻ AK\bot\Delta,AH\bot(P) \Rightarrow AK \geq AH do đó yêu cầu bài toán ta có \Delta đi M và H.

    Ghi - \frac{2x + 2y - z + 9}{9} nhập 1 = 2 = - 3 = \ = STO M

    bấm AC ghi 2M + x + 2:2M + y + 2: - M + z - 1 = = \ = ta được ( - 1;0; - 2).

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Điểm đối xứng qua đường thẳng

    Cho điểm {m{A(2, - 1,1)}} và đường thẳng (\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.. Gọi A'  là điểm đối xứng của A qua (\triangle) . Tọa độ điểm A'  là:

    Hướng dẫn:

    Đưa phương trình (\triangle) về dạng tham số: \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (\triangle).

    Phương trình mp (P) có dạng - y + z + D = 0 , qua A nên D =  -2

    Phương trình (P) là: y - z + 2 = 0

    Thế x, y, z từ phương trình (\triangle) vào phương trình (P) được t=1

    \Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).

    I là trung điểm của AA' nên: {x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2

    \Rightarrow A'(0,7,1).

  • Câu 4: Vận dụng
    Viết PT tổng quát

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng MN.

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:

    M\left( {a,\frac{b}{2},0} ight);\,\,\,N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight) = > \,\,\overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{a}{2}, - \frac{b}{2},c} ight)

    (MN) là đường thẳng đi qua M và nhận vecto \overrightarrow {MN} là 1 VTCP có PT là:

    = > \frac{{2\left( {x - a} ight)}}{{ - a}} = \frac{{2y - b}}{{ - b}} = \frac{z}{c} = > \left\{ \begin{array}{l}2bx - 2ay - ab = 0\\2cx + az - 2ac = 0\end{array} ight.

  • Câu 5: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Cho hai điểm A(3;3;1),B(0;2;1) và mặt phẳng (P):x + y + z - 7 = 0. Đường thẳng d nằm trên (P) sao cho mọi điểm của d và cách đều hai điểm A, B có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Gọi K là điểm bất kì trên (d). Theo giả thiết: KA = KB tức là tam giác KAB cân, điều này chỉ xảy ra khi (d) nằm trên mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB. Ta đi xác định (Q):

    Gọi M là trung điểm AB thì:

    M\left( \frac{3 + 0}{2};\frac{3 +2}{2};\frac{1 +1}{2} \right) \Rightarrow M\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2};1 \right)

    Mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với AB tức là nhận \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 1;0) là vectơ pháp tuyến. Dó đó:

    (Q): - 3\left( x - \frac{3}{2} \right) - 1\left( y - \frac{5}{2} \right) + 0(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow (Q):3x + y - 7 = 0

    Do đó, (d) là giao tuyến của (P) và (Q) nên là nghiệm của hệ:

    \left\{ \begin{matrix} x + y + z - 7 = 0 \\ 3x + y - 7 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 7 - 3t \\ z = 2t \\ \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right).

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Xác định hoành độ đỉnh A

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại A, \widehat{ABC} = 30^{0}, BC = 3\sqrt{2}, đường thẳng BC có phương trình \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4}, đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (\alpha):x + z - 3 = 0. Biết rằng đỉnh C có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh A.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa:

    Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4} \\ x + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(2;3;1)

    Do C ∈ BC nên C(4 + c;5 + c; - 7 - 4c)

    Theo giả thiết BC = 3\sqrt{2} nên: 18(2 + c)^{2} = 18 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = - 1 \Rightarrow C(3;4; - 3) \\ c = - 3 \Rightarrow C(1;2;5) \\ \end{matrix} ight.

    Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).

    Gọi A(x;y;3 - x) \in (\alpha). Do \widehat{ABC} = 30^{0} nên:

    \left\{ \begin{matrix} AB = \frac{3\sqrt{6}}{2} \\ AC = \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (2 - z)^{2} = \frac{27}{2} \\ (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (6 - z)^{2} = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ 2x^{2} - 18x + y^{2} - 8y + \frac{113}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10x + 2y - 53 = 0 \\ 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ 2x^{2} - 8x + \left( \frac{53 - 10x}{2} ight)^{2} - 6.\left( \frac{53 - 10x}{2} ight) + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 4 \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A\left( \frac{9}{2};4; - \frac{3}{2} ight)

    Vậy đáp án cần tìm là \frac{9}{2}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.. Hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (Oxz) theo phương \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Giao điểm của d và mặt phẳng (Oxz) là: M_{0}(5;0;5).

    Trên d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight. chọn M bất kỳ không trùng với M_{0}(5;0;5); ví dụ: M(1; - 2;3).

    Gọi A là hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (Oxz) theo phương \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} .

    +/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} .

    +/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và (Oxz)

    +/ Ta tìm được A(3;0;1)

    Hình chiếu song song của d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight. lên mặt phẳng (Oxz) theo phương \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} là đường thẳng đi qua M_{0}(5;0;5) và A(3;0;1).

    Vậy phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 0 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    Cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - t \\ y = 2t - 1 \\ z = t + 2 \\ \end{matrix} \right. và mặt phẳng (\alpha):2x - y - 2z - 2 = 0. Mặt phẳng (P) qua d và tạo với (\alpha) một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:

    Hướng dẫn:

    Gọi \Delta = (\alpha) \cap (P);A = d \cap (\alpha);B \in d(B \neq A); H là hình chiếu vuông góc của B lên (\alpha); K là hình chiếu của H lên \Delta.

    Suy ra: \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) = \widehat{BAH} cố định; \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right) = \widehat{BKH}.

    Mà \widehat{BKH} \geq \widehat{BAH} (vì HK \leq HA) \Rightarrow \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) \leq \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right).

    Suy ra \left( \widehat{(P);(\alpha)} \right) nhỏ nhất bằng \left( \widehat{d;(\alpha)} \right) khi K \equiv A.

    Khi đó \Delta\bot d và có một VTCP \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack = - 3(1;0;1).

    (P) có một VTPT \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = 2( - 1;1;1).

  • Câu 9: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và điểm A(1;0;2).

    a) Điểm B(2;1; - 1) không thuộc đường thẳng d. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0;1). Sai||Đúng

    c) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;0;2), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}. Sai||Đúng

    d) M(a;b;c)là một điểm nằm trên đường thẳng d và cách điểm A một khoảng có độ dài bằng \sqrt{26}. Khi b > 0 thì a + b + c = 3. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và điểm A(1;0;2).

    a) Điểm B(2;1; - 1) không thuộc đường thẳng d. Đúng||Sai

    b) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;0;1). Sai||Đúng

    c) Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;0;2), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d là \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}. Sai||Đúng

    d) M(a;b;c)là một điểm nằm trên đường thẳng d và cách điểm A một khoảng có độ dài bằng \sqrt{26}. Khi b > 0 thì a + b + c = 3. Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Sai

    Phương án a) đúng: Thay tọa độ điểm B(1;2; - 1) vào phương trình đường thẳng d ta được: \left\{ \begin{matrix} 2 = 2 + t \\ 1 = t \\ - 1 = - 2 + t \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 0 \\ t = 0 \\ t = 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(1;2; - 1) \notin d.

    Phương án b) sai: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1;1).

    Phương án c) sai: Gọi H = d \cap \Delta \Leftrightarrow H \in d nên H(2 + t;t; - 2 + t).

    Ta có: \overrightarrow{AH} = (1 + t;t; - 4 + t) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta.

    Mà \Delta\bot d \Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0 \Leftrightarrow 1(1 + t) + 1.t + 1( - 4 + t) = 0 \Leftrightarrow t = 1

    \Rightarrow \overrightarrow{AH} = (2;1; - 3)

    Suy ra \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 3}

    Phương án d) sai: Ta có M \in d \Rightarrow M(2 + t;t;2 + t) nên \overrightarrow{AM} = (1 + t;t; - 4 + t).

    AM = \sqrt{26} \Leftrightarrow \sqrt{(1 + t)^{2} + t^{2} + ( - 4 + t)^{2}} = \sqrt{26}

    \Leftrightarrow 3t^{2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1 \\ t = 3 \end{matrix} \right.

    Mà b > 0 \Rightarrow t > 0. Vậy M(5;3;1) \Rightarrow a + b + c = 9.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{1} và \Delta_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{1}. Đường thẳng d song song với (P):x + y - 2z + 5 = 0 và cắt hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2} lần lượt tại A,B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    Gọi A = d \cap \Delta_{1},B = d\cap\Delta_{2}

    \begin{matrix} A \in \Delta_{1} \Rightarrow A( - 1 + a; - 2 + 2a;a) \\ B \in \Delta_{2} \Rightarrow B(2 + 2b;1 + b;1 + b) \\ \overrightarrow{AB} = ( - a + 2b + 3; - 2a + b + 3; - a + b + 1) \\ d//(P) \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 4 \\ \overrightarrow{AB} = (a - 5; - a - 1; - 3) \\ AB = \sqrt{2(a - 2)^{2} + 27} \geq 3\sqrt{3};\forall a\mathbb{\in R} \\ \end{matrix}

    Dấu " = " xảy ra khi a = 2 \Rightarrow A(1;2;2),B( - 2; - 1; - 1)

    \overrightarrow{AB} = (- 3; - 3; -3)

    d đi qua điểm A(1;2;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (1;1;1)

    Vậy phương trình của d là x - 1 = y - 2 = z - 2

  • Câu 11: Vận dụng
    Tính bán kính nhỏ nhất của mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng (P):x + 2y + z - 7 = 0 và đi qua hai điểm A(1\ ;\ 2\ ;\ 1), B(2\ ;\ 5\ ;\ 3). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) bằng

    Hướng dẫn:

    Phương trình trung trực của AB là (Q):x + 3y + 2z = 16. Suy ra tâm I mặt cầu thuộc đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q).

    Phương trình d:\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 9}{1}.

    Ta có \min R = \min IA = d(A,d), ghi \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(x - y + z)^{2}}{3}} CALC nhập 3 = 2 = -8 = kết quả \frac{\sqrt{546}}{3}.

  • Câu 12: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ O đến (P)

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ điểm A đến (P) là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P) bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.

    Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.

    Ta tìm được (P):x - 4y + z - 3 = 0 \Rightarrow d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức P

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x - my + z + 6m + 3 = 0 và (\beta):mx + y - mz + 3m - 8 = 0 (với m là tham số thực); hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng \Delta. Gọi \Delta' là hình chiếu của \Delta lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi m thay đổi thì đường thẳng \Delta' luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng Oxy. Tính giá trị biểu thức P = 10a^{2} - b^{2} + 3c^{2}.

    Hướng dẫn:

    Viết lại (\alpha):mx - m^{2}y + mz + 6m^{2} + 3m = 0, cộng theo vế với (\beta) ta được:

    mp(P):2mx + \left( 1 - m^{2} \right)y + 6m^{2} + 6m - 8 = 0, đây là mặt phẳng vuông góc với mp(Oxy) và chứa \Delta'.

    Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;0), bán kính R sao cho d\left( I,(P) \right) = R.

    Ta có:

    R^{2} = \frac{\left\lbrack 2ma + \left( 1 - m^{2} \right)b + 6m^{2} + 6m - 8 \right\rbrack^{2}}{4m^{2} + \left( m^{2} - 1 \right)^{2}}= \frac{\left\lbrack (6 - b)m^{2} + 2m(a + 3) + b - 8 \right\rbrack^{2}}{\left( m^{2} + 1 \right)^{2}}.

    Chọn a = - 3,b = 7 ta được R^{2} = 1 \Leftrightarrow R = 1 với mọi m.

    Khi đó P = 10a^{2} - b^{2} + 3c^{2} = 41.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Viết phương trình tham số của đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P):2x + y - 4z + 1 = 0. Đường thẳng (d) qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d).

    Hướng dẫn:

    Gọi B = d \cap Oz \Rightarrow B(0;0;b) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;\ b - 3)

    Lại có d\ //(P)\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1; - 4)

    Do đó \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow - 2 - 2 - 4b + 12 = 0 \Leftrightarrow b = 2

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2 - 1)

    Do đó, (d) là đường thẳng qua B(0; 0; 2) và nhận \overrightarrow{u} = (1;2;1) làm vectơ chỉ phương. Nên (d) có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 1}{1} cắt mặt phẳng (P):2x - 3y + z - 2 = 0 tại điểm I(a;b;c). Khi đó a + b + c bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có \left\{ I ight\} = d \cap (P) suy ra \left\{ \begin{matrix} I \in d \\ I \in (P) \\ \end{matrix} ight.

    Vì I \in d nên tọa độ của I có dạng (1 + 2t;3 - t;1 + t),t\mathbb{\in R}.

    Vì I \in (P) nên ta có phương trình:

    2(1 + 2t) - 3(3 - t) + 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1

    Vậy I(3;2;2) suy ra a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm I

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + y = 0\ ,(\alpha'):2x - y + z - 15= 0. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và d', biết đường thẳng d' có phương trình \left\{ \begin{matrix}x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.

    Hướng dẫn:

    Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}x + y = 0 \\2x - y + z - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - t + 2 + 2t = 0 \\2(1 - t) - (2 + 2t) + 3 - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - 3 \\x = 4 \\y = - 4 \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(4; - 4;3)

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Đường thảng là trục đối xứng của 2mp

    Cho điểm P(-3 , 1, -1)  và đường thẳng (d): \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.

    Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:

    Hướng dẫn:

    Chuyển (d) về dạng tham số : \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.

    Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: 3x + 4y + 2z + D = 0, cho qua P tính được D=7 .

    Ta có (Q): 3x + 4y + 2z + 7 = 0 .

    Thế x, y, z  theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được t = \frac{1}{2}

    Giao điểm I của (d) và (Q)  là I (1, -3, 1) .

    Vì I là trung điểm của PP’ nên \Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight).

  • Câu 18: Vận dụng cao
    PT hình chiếu của đường thẳng

    Cho hai đường thẳng: ({d_1}):\frac{{x - 3}}{{ - 7}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3},({d_2}):\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 9}}{{ - 1}}

    và mặt phẳng (\alpha ):x + y + z + 3 = 0 .

    Hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1})  lên mặt phẳng (\alpha ) có phương trình tổng quát:

    Hướng dẫn:

    Vectơ chỉ phương của ({d_1}):\overrightarrow a = ( - 7,2,3). Vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b = (1,2, - 1).

    Phương trình của mặt phẳng chứa ({d_2}) và có phương của ({d_1})có dạng: 

    2x + y + 4z + D = 0

    Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này 

    => D = -53

    Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng (\alpha ) là hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1}) lên (\alpha ): \left\{ \begin{array}{l}2x + y + 4z - 53 = 0\\x + y + z + 3 = 0\end{array} ight.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của OI

    Trong không gian Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,c là các số thực thay đổi, khác 0 và thỏa mãn a + b + c = 6. Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là I. Giá trị nhỏ nhất của OI bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi I(x;\ y;\ z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp OABC, nếu dựng thêm hình hộp chữ nhật có ba cạnh OA, OB, OC thì I là tâm của hình hộp, hay ta có I(x;\ y;\ z) = I\left( \frac{a}{2};\ \frac{b}{2};\ \frac{c}{2} \right).

    Suy ra x + y + z = \frac{a + b + c}{2} = 3

    \Rightarrow OI = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \geq \sqrt{\frac{1}{3}(x + y + z)^{2}} = \sqrt{3}.

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4), đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}và mặt phẳng (P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0. Đường thẳng (d) đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện ABCO và OACD bằng nhau, biết (d) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;b;c). Tính b + c.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có 1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}

    Nên BC = CD. Vì C ∈ ∆ \Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)

    C là trung điểm của BD nên D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6).

    Điểm D ∈ (P) nên 41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1

    ⇒ C(−1; −5; 3).

    \overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u} là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

    Vậy b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
29 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này