Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường phẳng (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; - 1;0) và đường thẳng : d:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{1}. Mặt phẳng (\alpha) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (\alpha) lớn nhất có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (\alpha), K là hình chiếu vuông góc của A lên d.

    Ta có: d(A;d) = AK cố định và d\left( A;(\alpha) \right) = AH \leq AK \Rightarrow d\left( A;(\alpha) \right)_{MAX} bằng AK khi H \equiv K.

    d:\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{1} qua M(2; - 1;1), có VTCP \overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;2;1).

    Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{AM} \right\rbrack = (2;0;2).

    Mặt phẳng (\alpha) có một VTPT là \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = ( - 4; - 4;4) = - 4(1;1; - 1) và (\alpha) qua M(2; - 1;1) có phương trình: 1(x - 2) + 1(y + 1) - 1(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - z = 0.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1), B(3;0;1) và C(2;2; - 2). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 2;2), \overrightarrow{AC} = (1;0; - 1).

    Mặt phẳng (ABC) có một véctơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rbrack = (2;4;2).

    Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có một véctơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;2;1).

    Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1}.

  • Câu 3: Vận dụng
    Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

    Mặt phẳng \left( P ight):2x - 2y + 4z + 5 = 0  và đường thẳng (d):\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2z + 1 = 0\\y + 2z - 3 = 0\end{array} ight. :   

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta có vecto pháp tuyến của \left( P ight):\overrightarrow n = \left( {2, - 2,4} ight)

    Đường thẳng (d) được cho dưới dạng hệ của hai mặt phẳng: x - y + 2z + 1 = 0 và 2x + y - z - 3 = 0 cũng có 2 VTPT lần lượt \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1, - 1,2} ight);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2,1, - 1} ight)

    Như vậy, VTCP của (d) sẽ là tích có hướng của 2 VTPT: \left( d ight):\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = \left( { - 1,5,3} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow a = - 2 - 10 + 12 = 0

    Cho\,\,\,\,\,z = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\\2x + y = 3\end{array} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\y = \dfrac{5}{3}\end{array} ight.

    \Rightarrow A\left( {\frac{2}{3},\frac{5}{3},0} ight) \in \left( d ight) và tọa độ của A không thỏa mãn phương trình của (P).

    Vậy (d) // (P) .

  • Câu 4: Vận dụng
    Tìm M để chuvi tam giác đạt min

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho A (1; 5; 0), B (3; 3; 6), đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \end{matrix} \right. và điểm M thuộc d. Tìm tọa độ của M để chu vi tam giác AMB nhỏ nhất?

    Hướng dẫn:

    Cần xác định vị trí M để MA + MB min. Phương trình d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2} (nháp)

    Ghi x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(2x - y + 2z)^{2}}{9} CALC (thay A vào tử d) 2 = 4 = 0 = kết quả 20.

    CALC (thay B vào tử d) 4 = 2 = 6 = kết quả 20. Đến đây gọi I(2; 4; 3) là trung điểm AB.

    Bấm ⏴Trở về sửa thành \frac{(2x - y + 2z)}{9} CALC nhập 3 = 3 = 3 = kết quả t = 1.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1} và d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2}. Gọi \Delta là đường thẳng song song với (P):x + y + z - 7 = 0 và cắt d_{1},\ d_{2} lần lượt tại hai điểm A,B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng \Delta là.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A \in d_{1} \Rightarrow A(1 + 2a;a; - 2 - a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B(1 + b; - 2 + 3b;2 - 2b)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (b - 2a;3b - a - 2; - 2b + a + 4)

    (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1;1;1)

    Vì \Delta//(P) nên \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 1.Khi đó \overrightarrow{AB} = ( - a - 1;2a - 5;6 - a)

    AB = \sqrt{( - a - 1)^{2} + (2a - 5)^{2} + (6 - a)^{2}}

    = \sqrt{6a^{2} - 30a + 62}

    = \sqrt{6\left( a - \frac{5}{2} ight)^{2} + \frac{49}{2}} \geq \frac{7\sqrt{2}}{2};\forall a\mathbb{\in R}

    Dấu " = " xảy ra khi a = \frac{5}{2} \Rightarrow A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} ight),\ \ \overrightarrow{AB} = \left( - \frac{7}{2};0;\frac{7}{2} ight)

    Đường thẳng \Delta đi qua điểm A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} ight) và vec tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;0;1)

    Vậy phương trình của \Deltalà \left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = - \frac{9}{2} + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính bán kính mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;6). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON = 12. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính bán kính của mặt cầu đó.

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt phẳng (ABC):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 (1).

    Gọi N(x;y;z), thì \overrightarrow{OM} = t.\overrightarrow{ON} = (tx;ty;tz),t > 0.

    Mà OM.ON = 12 suy ra t = \frac{12}{ON^{2}}.

    Do đó tọa độ M\left( \frac{12x}{ON^{2}};\frac{12y}{ON^{2}};\frac{12z}{ON^{2}} \right) thay vào (1) ta có:

    \frac{6x + 3y + 2z}{ON^{2}} = 1\Leftrightarrow ON^{2} = 6x + 3y + 2z

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 3y - 2z = 0.

    Vậy N thuộc mặt cầu cố định tâm I\left( 3;\frac{3}{2};1 \right), bán kính R = \sqrt{3^{2} + \left( \frac{3}{2} \right)^{2} + 1^{2}} = \frac{7}{2}.

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Đường thảng là trục đối xứng của 2mp

    Cho điểm P(-3 , 1, -1)  và đường thẳng (d): \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.

    Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:

    Hướng dẫn:

    Chuyển (d) về dạng tham số : \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.

    Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: 3x + 4y + 2z + D = 0, cho qua P tính được D=7 .

    Ta có (Q): 3x + 4y + 2z + 7 = 0 .

    Thế x, y, z  theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được t = \frac{1}{2}

    Giao điểm I của (d) và (Q)  là I (1, -3, 1) .

    Vì I là trung điểm của PP’ nên \Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight).

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{- 1} =\frac{z - 5}{2},d_{2}:\frac{x - 4}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z +2}{2} và mặt phẳng (P):2x + 3y - 5z + 1 = 0. Đường thẳng vuông góc với (P), cắt d_{1} và d_{2} có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng d với các đường thẳng d_{1} và d_{2}.

    Khi đó, tọa độ của A, B có dạng A(3 + t; - 3 - t;5 + 2t),B(4 - 3s;1 + 2s; - 2 + 2s)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1 - 3s - t;4 + 2s + t; - 7 + 2s - 2t)

    Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ \overrightarrow{AB} cùng phương với vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2;3; - 5) của mặt phẳng (P).

    Do đó, ta có \frac{1 - 3s - t}{2} = \frac{4 + 2s + t}{3} = \frac{- 7 + 2s - 2t}{- 5}

    Suy ra s = 0 và t = −1.

    Do đó, A(2; −2; 3) và B(4; 1; −2).

    Đường thẳng d đi qua A và có nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD biết A(1; 0; 1), B(−3; 0; 1) và điểm D có cao độ âm. Mặt phẳng (ABCD) đi qua gốc tọa độ O. Khi đó đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO} ightbrack = (0; - 4;0) Mặt phẳng (ABCD) đi qua điểm A và nhận \overrightarrow{n} = (0;1;0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình y = 0.

    Giả sử D\left( x_{D},\ y_{D},\ z_{D} ight). Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = 0 \\ \left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AB} ight| \\ D \in (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left( x_{D} - 1 ight)^{2} + {y_{D}}^{2} + \left( z_{D} - 1 ight)^{2} = 16 \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left( z_{D} - 1 ight)^{2} = 16 \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} z_{D} = 5 \\ z_{D} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vì D có cao độ âm nên D(1; 0; −3). Khi đó, tâm I của hình vuông ABCD có tọa độ I(−1; 0; −1).

    Trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đi qua I(−1; 0; −1) và nhận \overrightarrow{n} = (0;1;0) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính độ dài đường cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;0;1),B( - 3;2;0),C(2; - 2;3). Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 3;2;1),\overrightarrow{AC} = (2; - 2;2)

    \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (2;4;2)

    Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác ABC là \overrightarrow{u} = \frac{1}{12}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;0; - 1)

    Phương trình đường cao kẻ từ B là: \left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 2 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Ta thấy điểm P( - 1;2; - 2) thuộc đường thẳng trên.

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \ d:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{- 1} và điểm A(1;1;1). Hai điểm B, C di động trên đường thẳng d sao cho mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt phẳng (OAC).Gọi điểmB' là hình chiếu vuông góc của điểm B lên đường thẳng AC. Biết rằng quỹ tích các điểm B' là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này.

    Hướng dẫn:

    Nhận xét rằng đường thẳng OA vuông góc với d. Vẽ mp(P) chứa d và vuông góc với OA, phương trình (P) là x + y + z = 0.

    Ta thấy mp(P) đi qua O, mà mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt phẳng (OAC) nên \widehat{BOC} = 90^{o} hay OB\bot OC.

    Ta có B' thuộc mặt cầu (S) đường kính OA có tâm I\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right), bán kính R = \frac{\sqrt{3}}{2}.

    Mặt khác B' thuộc mặt phẳng (ABC) chứa A và d. Phương trình (ABC):

    2x + 5y - z - 6 = 0.

    Vậy B' \in (C) = (S) \cap (ABC) có r = \sqrt{R^{2} - h^{2}}.

    với h = d\left( I;(ABC) \right) = \frac{\sqrt{30}}{10} nên r = \sqrt{R^{2} - h^{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{5}}}{\mathbf{10}}.

  • Câu 12: Thông hiểu
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - 2z - 6 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Viết phương trình đường thẳng \Delta nằm trong mặt phẳng (\alpha) cắt đồng thời vuông góc với d?

    Hướng dẫn:

    Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 6 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(2;4; - 2)

    Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;0; - 2), đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1; - 1)

    Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)

    Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1) nên có phương trình chính tắc: \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}

  • Câu 13: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;1),\ B( - 1;2;3) và đường thẳng \Delta\ :\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{3}. Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳng AB và \Delta là

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}}

    \overrightarrow{AB} = ( - 2;3;2)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = ( - 2;1;3)

    \left\{ \begin{matrix} d\bot AB \\ d\bot\Delta \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{a_{\Delta}} ightbrack = (7;2;4)

    Vậy phương trình chính tắc của d là \frac{x - 1}{7} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{4}

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(3; 2; 1), C\left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight) và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng (MAB),(MBC),(MCA) hợp với mặt phẳng (ABC) các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).

    Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn

    BC.\overrightarrow{HA} + AC.\overrightarrow{HB} + AB.\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}

    Ta có AB = 3, AC = 4, BC = 5, suy ra

    \left\{ \begin{matrix} 5(x - 1) + 4(x - 3) + 3x + 5 = 0 \\ 5y + 4(y - 2) + 3y - 4 = 0\ \\ 5z + 4(z - 1) + 3z - 8 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow H(1;1;1)

    Phương trình đường thẳng MH nhận \overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{ABC}} làm vectơ chỉ phương nên MH là: \left\{ \begin{matrix} x\ = \ 1\ + \ t \\ y\ = \ 1\ - \ 2t \\ z\ = \ 1\ + \ 2t \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó: OM_{\min} = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MH};\overrightarrow{OH} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{MH} ight|} = \frac{\sqrt{26}}{3}

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; −1; 2), B(1; 1; 2) và đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}. Biết điểm M(a; b; c) thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị T = a + 2b + 3c bằng:

    Hướng dẫn:

    Vì S_{MAB} = \frac{1}{2}.AB.d(M,AB) nên SMAB nhỏ nhất khi d(M, AB) nhỏ nhất. Phương trình của AB:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Dễ dàng kiểm tra AB và d chéo nhau.

    Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB.

    Khi đó d(M, AB) = MH nhỏ nhất khi MH là đoạn vuông góc chung của d và AB.

    Ta có: M \in d \Rightarrow M( - 1 + s;s;1 + s),H \in AB

    \Rightarrow H(t; - 1 + 2t;2)

    \Rightarrow \overrightarrow{MH} = (t - s + 1;2t - s - 1;1 - s)

    Vectơ chỉ phương của d và AB theo thứ tự là \overrightarrow{u} = (1;1;1),\overrightarrow{v} = (1;2;0)

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{u} \\\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{v} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1(t - s + 1) + 1(2t - s - 1) + 1(1 - s) = 0\ \\1(t - s + 1) + 2(2t - s - 1) + 0(1 - s) = 0 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = 1 \\s = \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} ight.

    Vậy M\left( \frac{1}{3};\frac{4}{3};\frac{7}{3} ight) \Rightarrow T = 10

  • Câu 16: Vận dụng
    Lập phương trình mặt phẳng (Q)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 1} và mặt phẳng(P):2x - y + 2z - 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa \Delta sao cho (Q) tạo với (P) góc nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Gọi A là giao điểm của \Delta và (P), d là giao tuyến của (Q) và (P). Lấy điểm B thuộc \Delta và kẻ BH\bot(P) và BK\bot d.

    Khi đó \widehat{BKH} = \alpha là góc giữa (Q) và (P).

    Ta có \tan\alpha = \frac{HB}{HK} \geq \frac{HB}{HA}, dấu bằng có khi K trùng A hay d vuông góc với \Delta.

    Khi đó: \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{n_{P}} \right\rbrack = ( - 1;\ \ 6;\ 4) và \overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = (10; - 7;13).

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;6; - 7),\ \ B(3;2;1)và mặt phẳng (P) có phương trình x + y - z - 6 = 0

    a) Mặt phẳng (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}(1;1; - 1) Đúng||Sai

    b) Mặt phẳng (Q)đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P)có phương trình là x + y - z + 14 = 0 Sai||Đúng

    c) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn ABlà x - 2y + 4z + 18 = 0. Đúng||Sai

    d) Mlà một điểm trên mặt phẳng (P), tổng MA + MB ngắn nhất khi M\left( \frac{13}{5};\frac{14}{5};\frac{3}{5} \right) Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;6; - 7),\ \ B(3;2;1)và mặt phẳng (P) có phương trình x + y - z - 6 = 0

    a) Mặt phẳng (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}(1;1; - 1) Đúng||Sai

    b) Mặt phẳng (Q)đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P)có phương trình là x + y - z + 14 = 0 Sai||Đúng

    c) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn ABlà x - 2y + 4z + 18 = 0. Đúng||Sai

    d) Mlà một điểm trên mặt phẳng (P), tổng MA + MB ngắn nhất khi M\left( \frac{13}{5};\frac{14}{5};\frac{3}{5} \right) Sai||Đúng

    ĐúngSaiĐúngSai

    a. Mặt phẳng (P)có vecto pháp tuyến \overrightarrow{n}(1;1; - 1)

    b. Mặt phẳng (Q)song song với mặt phẳng (P)nên mặt phẳng (Q)có phương trình dạng x + y - z + d = 0\ \ (d \neq 0)

    Vì mặt phẳng (Q)đi qua A(1;6; - 7) nên ta có phương trình 1 + 6 + 7 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 14

    Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là x + y - z - 14 = 0

    c. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm I(2;4; - 3)của đoạn ABvà nhận \overrightarrow{AB}(2; - 4;8)làm vecto pháp tuyến có phương trình

    \ \ \ \ \ \ 2(x - 2) - 4(y - 4) + 8(z + 3) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 4z + 18 = 0

    d. Thay toạ độ điểm A,\ B vào phương trình mặt phẳng (P) ta có P(A).P(B) < 0 do đó điểm A,\ Bnằm về hai phía với mặt phẳng (P) do đó MA + MB ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)

    Đường thẳng AB đi qua A(1;6; - 7) và nhận \overrightarrow{AB}(2; - 4;8) làm vecto chỉ phương có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 6 - 4t \\ z = - 7 + 8t \end{matrix} \right.

    Toạ độ điểm Mthoả mãn hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 6 - 4t \\ z = - 7 + 8t \\ x + y - z - 6 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{13}{5} \\ y = \frac{14}{5} \\ z = - \frac{3}{5} \\ t = \frac{4}{5} \end{matrix} \right.

    Vậy toạ độ M\left( \frac{13}{5};\frac{14}{5}; - \frac{3}{5} \right)

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3) và B(6;5;5). Xét khối nón (N) có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi (N) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) có phương trình dạng 2x + by + cz + d = 0. Giá trị của b + c + d bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi h = IH = d\left( I,(P) \right) , r là bán kính đáy nón, R = IA = 3 là bán kính mặt cầu.

    Ta có AH = 3 + h,\ \ r^{2} = 9 - h^{2} và thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi(3 + h)(9 - h^{2}).

    Ta có : (3 + h)(3 + h)(6 - 2h) \leq\left( \frac{3 + h + 3 + h + 6 - 2h}{3} \right)^{3} = 64\Rightarrow V\leq \frac{1}{6}\pi.64 = \frac{32\pi}{3}.

    Dấu bằng có khi 3 + h = 6 - 2h \Rightarrow h = 1 \Rightarrow AH = 4.

    Mặt phẳng (P) chứa đường tròn đáy của nón có \overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (2;2;1).

    Đặt \overrightarrow{AH} = t(2;2;1),t > 0 suy ra t = \frac{4}{3}

    \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \left( \frac{8}{3};\frac{8}{3};\frac{4}{3} \right) \Rightarrow H\left( \frac{16}{3};\frac{11}{3};\frac{10}{3} \right).

    Phương trình (P) là: 2x + 2y + z - 18 = 0. Vậy b + c + d = - 15.

  • Câu 19: Vận dụng cao
    2 đường thẳng chéo nhau viết PTTQ

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight. và \left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Hướng dẫn:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 20: Vận dụng
    Viết phương trình đường vuông góc chung

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 1} =\frac{z - 4}{1},d_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z +3}{4}. Viết phương trình đường vuông góc chung của d_{1},d_{2}.

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d_{1},d_{2} lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;1),\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 1;4)

    Gọi ∆ là đường vuông góc chung giữa d_{1} và d_{2}, suy ra ∆ có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3; - 2;1)

    Giả sử ∆ giao với d_{1},d_{2} lần lượt tại \left\{ \begin{matrix} M(3 + m; - 1 - m;4 + m) \\ N(2 + 2n;4 - n; - 3 + 4n) \\ \end{matrix} ight., khi đó ta có \overrightarrow{MN} = ( - m + 2n - 1;m - n + 5; - m + 4n - 7)

    Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{MN} = 0 \\ \overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{MN} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3m + 7n - 13 = 0\ \\ - 7m + 21n - 35 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 2 \\ n = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Từ đó suy ra đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} và đi qua điểm M(1; 1; 2).

    Vậy ta có phương trình đường thẳng: \Delta:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
40 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này