Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 CTST Bài 2 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tổng GTLN và GTNN của biểu thức P

    Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - xy + 3 = 0} \\ {2x + 3y - 14 \leqslant 0} \end{array}} ight.. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 3{x^2}y - x{y^2} - 2{x^3} + 2x bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 0,y > 0} \\ {{x^2} - xy + 3 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow y = \frac{{{x^2} + 3}}{x} = x + \frac{3}{x}

    Lại có: 2x + 3y - 14 \leqslant 0

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 2x + 3\left( {x + \dfrac{3}{x} - 14} ight) \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 14x + 9 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {1;\dfrac{9}{5}} ight] \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đó P = 3{x^2}\left( {x + \frac{3}{x}} ight) - x\left( {x + \frac{3}{x}} ight) - 2{x^3} + 2x = 5x - \frac{9}{x}

    Xét hàm số f\left( x ight) = 5x - \frac{9}{x};\forall x \in \left[ {1;\frac{9}{5}} ight]

    f'\left( x ight) = 5 + \frac{9}{{{x^2}}} > 0;\forall x \in \left[ {1;\frac{9}{5}} ight]

    => Hàm số đồng biến trên \left[ {1;\frac{9}{5}} ight]

    => f\left( 1 ight) \leqslant f\left( x ight) \leqslant f\left( {\frac{9}{5}} ight) \Rightarrow - 4 \leqslant f\left( x ight) \leqslant 4

    => \max P + \min P = 4 + \left( { - 4} ight) = 0

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính tỉ số giữa a và r

    Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r.

    Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số \frac{a}{r} bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi x (cm) là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn (0 < x < 60) \Rightarrow Chiều dài đoạn còn lại là 60 - x (cm).

    Chu vi đường tròn 2\pi r = x \Rightarrow r = \frac{x}{2\pi} \rightarrow diện tích hình tròn S_{1} = \pi.r^{2} = \frac{x^{2}}{4\pi}

    Diện tích hình vuông cạnh a = \frac{60 - x}{4} là S_{2} = \left( \frac{60 - x}{4} \right)^{2}.

    Tổng diện tích hai hình:

    S = S_{1} + S_{2} = \frac{x^{2}}{4\pi} + \left( \frac{60 - x}{4} \right)^{2} = \frac{(4 + \pi).x^{2} - 120\pi x + 3\ \ 600\pi}{16\pi} .

    Đạo hàm S' = \frac{(4 + \pi).x - 60\pi}{8\pi};\ \ \ S' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{60\pi}{4 + \pi};\ \ \ S'' = \frac{4 + \pi}{8\pi} > 0.

    Suy ra hàm S chỉ có một điểm cực tiểu là x = \frac{60\pi}{4 + \pi}.

    Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại x = \frac{60\pi}{4 + \pi}.

    Với x = \frac{60\pi}{4 + \pi} \Rightarrow r = \frac{30}{4 + \pi} và a = \frac{60}{4 + \pi} \Rightarrow \frac{a}{r} = 2.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn \lbrack 0;2brack là:

    Hướng dẫn:

    Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn \lbrack 0;2brack hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 4 khi x = \sqrt{2}

    Suy ra \underset{\lbrack 0;2brack}{Max}f(x) = 4

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Gọi m,n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x| + 2 trên \lbrack - 2; - 1brack. Tính giá trị biểu thức C = m + n?

    Hướng dẫn:

    Vì trên đoạn \lbrack - 2; - 1brack thì 0 \leq |x| \leq 2 \Leftrightarrow 2 \leq |x| + 2 \leq 4 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 4 \\ n = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C = 6

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

    Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f\left( 2 - x^{2} ight) trên \left\lbrack 0;\sqrt{2} ightbrack là:

    Hướng dẫn:

    Đặt t = 2 - x^{2};t' = - 2x \leq 0;\forall x \in \left\lbrack 0;\sqrt{2} ightbrack \Rightarrow t \in \lbrack 0;2brack

    \Rightarrow \max_{\left\lbrack 0;\sqrt{2} ightbrack}g(x) = \max_{\lbrack 0;2brack}f(t) = f(0)

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số 

    Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f\left( x ight) = \frac{{2{x^2} + 7x + 23}}{{{x^2} + 2x + 10}}

    Hướng dẫn:

    Dễ thấy nên hàm số xác định trên toàn trục số.

    Gọi m là một giá trị tùy ý của hàm số, khi đó phương trình

    \begin{matrix} \dfrac{{2{x^2} + 7x + 23}}{{{x^2} + 2x + 10}} = m \hfill \\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 7x + 23 = m\left( {{x^2} + 2x + 10} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} ight){x^2} + \left( {2m - 7} ight)x + 10m - 23 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta xét hai trường hợp sau:

    TH1: Nếu  m = 2 phương trình trở thành

    - 3x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1

    Vậy phương trình có nghiệm khi m = 2

    TH2: Nếu m e 2 khi đó phương trình bậc 2 có nghiệm khi và chỉ khi:

    \begin{matrix} \Delta = {\left( {2m - 7} ight)^2} - 4\left( {m - 2} ight)\left( {10m - 23} ight) \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 36m + 144m - 135 \geqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{3}{2} \leqslant m \leqslant \dfrac{5}{2} e 2 \hfill \\ \Rightarrow \max f\left( x ight) = \dfrac{5}{2},\min f\left( x ight) = \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 7: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng:

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 2 trên đoạn [-1;2] có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây?

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = \frac{x + m}{x^{2} + 1}. Biết \min_{\mathbb{R}}y = - 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: \min_{\mathbb{R}}y = - 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\forall x\mathbb{\in R}:\dfrac{x + m}{x^{2} + 1} \geq - 2(*) \\\exists x_{0}:\dfrac{x_{0} + m}{{x_{0}}^{2} + 1} = - 2(**) \\\end{matrix} ight.

    Từ (*) \Leftrightarrow \frac{x + m}{x^{2} + 1} \geq - 2 \Leftrightarrow 2x^{2} + x + m + 2 \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow 1 - 4.2.(m + 2) \leq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{- 15}{8}

    Từ (**) suy ra m = \frac{- 15}{8} \in ( - 2;0).

    Vậy - 2 < m < 0 là đáp án cần tìm.

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Tìm liều lượng thuốc lớn nhất cần dùng

    Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G\left( x ight) = 0,035{x^2}.\left( {15 - x} ight), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

    Hướng dẫn:

    Xét G\left( x ight) = 0,035{x^2}.\left( {15 - x} ight) ta có:

    \begin{matrix} G'\left( x ight) = 0,035\left( {30x - 3{x^2}} ight) \hfill \\ G'\left( x ight) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 10} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {G\left( 0 ight) = G\left( {15} ight) = 0} \\ {G\left( {10} ight) = 17,5} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;15} ight]} = 17,5 \Rightarrow x = 10

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số f\left( x ight) = \left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x + 3} ight)\left( {x + 4} ight) + 2019 là:

    Hướng dẫn:

    Tập xác định D = \mathbb{R}

    Biến đổi f(x) như sau:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = \left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x + 3} ight)\left( {x + 4} ight) + 2019 \hfill \\ f\left( x ight) = \left( {{x^2} + 5x + 4} ight)\left( {{x^2} + 5x + 6} ight) + 2019 \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt t = {x^2} + 5x + 4 \Rightarrow t = {\left( {x + \frac{5}{2}} ight)^2} - \frac{9}{4} \geqslant - \frac{9}{4};\forall x \in \mathbb{R}

    Hàm số đã cho trở thành

    f\left( y ight) = {t^2} + 2t + 2019 = {\left( {t + 1} ight)^2} + 2018 \geqslant 2018,\forall t \geqslant - \frac{9}{4}

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2018 tại t = - 1

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7km (hình vẽ), biết HE + KF = 24km và độ dài EF không đổi. Hỏi cần xây cây cầu cách thành phố B là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB) ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 16 km

    Đáp án là:

    Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7km (hình vẽ), biết HE + KF = 24km và độ dài EF không đổi. Hỏi cần xây cây cầu cách thành phố B là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB) ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 16 km

    Đặt HE = x_{}và_{}FK = y, với x,\ y > 0

    Ta có: HE + KF = 24 \Rightarrow x + y =24 \Rightarrow y = 24 - x

    \left\{ \begin{matrix}AE = \sqrt{25 + x^{2}} \\BF = \sqrt{49 + y^{2}} = \sqrt{49 + (24 - x)^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Nhận định AB ngắn nhất khi AE + BF nhỏ nhất ( vì EF không đổi).

    Xét hàm số f(x) = \sqrt{x^{2} + 25} +\sqrt{(24 - x)^{2} + 49}

    f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}} +\frac{x - 24}{\sqrt{x^{2} - 48x + 625}},\ \forall x \in(0;24).

    Cho f'(x) = 0 \Rightarrow x =10

    Bảng biến thiên

    Vậy\underset{(0;24)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \}{\min f(x)} = f(10) = 12\sqrt{5}

    Khi đó BF = \sqrt{49 + (24 - 10)^{2}} =7\sqrt{5} \approx 16\ km

  • Câu 12: Vận dụng
    Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

    Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4\left( {{m^2} + {n^2}} ight) - m - n, biết y = {\left( {x + m} ight)^3} + {\left( {x + n} ight)^3} - {x^3} với m,n là tham số và hàm số đồng biến trên \left( { - \infty ; + \infty } ight).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{\left( {x + m} ight)^2} + 3{\left( {x + n} ight)^2} - 3{x^2} \hfill \\ = 3\left[ {{x^2} + 2\left( {m + n} ight)x + {m^2} + {n^2}} ight] \hfill \\ \end{matrix}

    Hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R}

    \begin{matrix} y' \geqslant 0;\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + n} ight)^2} - {m^2} - {n^2} \leqslant 0 \hfill \\ \Rightarrow mn \leqslant 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có:

    \begin{matrix} P = 4\left( {{m^2} + {n^2}} ight) - \left( {m + n} ight) \hfill \\ = 4{\left( {m + n} ight)^2} - 8mn - \left( {m + n} ight) \hfill \\ \geqslant 4{\left( {m + n} ight)^2} - \left( {m + n} ight) \hfill \\ = 4{\left( {m + n} ight)^2} - 2.2\left( {m + n} ight).\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ = {\left[ {2\left( {m + n} ight) - \dfrac{1}{4}} ight]^2} - \dfrac{1}{{16}} \geqslant - \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \Rightarrow {P_{\min }} = - \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính tổng x và y

    Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ trong đó AH = x,\ \ \ A E = 2,\ \ \ CG = y,\ \ \ C F = 3.

    Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Ta có S_{EFGH} nhỏ nhất \Leftrightarrow S = S_{\Delta\ AEH} + S_{\Delta\ CGF} + S_{\Delta\ DGH} lớn nhất (do S_{\Delta\ BEF} không đổi).

    Ta có:

    S = \frac{1}{2}.2x + \frac{1}{2}.3y + \frac{1}{2}(6 - x)(6 - y)

    = \frac{1}{2}xy - 2x - \frac{3}{2}y + 18(1)

    Do EFGH là hình thang nên hai tam giác AEH,\ \ \ CGF đồng dạng, do đó:

    \frac{AE}{CG} = \frac{AH}{CF} \Leftrightarrow \frac{2}{y} = \frac{x}{3} \Leftrightarrow xy = 6(2)

    Từ (1) và (2) suy ra S = 21 - 2x - \frac{9}{x}.

    Cách giải 1:

    Xét hàm số f(x) = 21 - 2x - \frac{9}{x} với x \in (0;6). Ta có:

    f'(x) = - 2 + \frac{9}{x^{2}} = \frac{9 - 2x^{2}}{x^{2}}; f'(x) = 0 \Leftrightarrow 9 - 2x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Bảng biến thiên:

    Vậy S = f(x) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = \frac{3\sqrt{2}}{2} \Rightarrow y = \frac{6}{x} = 2\sqrt{2}.

    Do vậy x + y = \frac{7\sqrt{2}}{2}.

    Cách giải 2:

    Ta có:

    S = 21 - 2x - \frac{9}{x} = 21 - \left( 2x + \frac{9}{x} \right).

    Ta thấy S lớn nhất khi và chỉ khi 2x + \frac{9}{x} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: 2x + \frac{9}{x} \geq 2\sqrt{2x.\frac{9}{x}} = 6\sqrt{2}.

    Dấu đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow 2x = \frac{9}{x} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow x = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Từ đây ta có y = 2\sqrt{2} \Rightarrow x + y = \frac{7\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Một công ty bất động sản A có 100 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê, và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 200000 đồng mỗi tháng thì có thêm 4 căn hộ bị bỏ trống. Gọi x,\left( x\mathbb{\in N} \right) là số lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ của công ty A. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

    a) Nếu giữ nguyên giá thuê mỗi căn hộ là 3 triệu đồng một tháng thì công ty A thu về 300 triệu đồng mỗi tháng. Đúng||Sai

    b) Sau x lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ của công ty A, số căn hộ có người thuê là 100 - 4x. Đúng||Sai

    c) Giá thuê một căn hộ của công ty A là 200000x đồng/tháng sau x lần tăng giá. Sai||Đúng

    d) Công ty A thu về nhiều nhất là 320 triệu đồng/tháng. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một công ty bất động sản A có 100 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê, và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 200000 đồng mỗi tháng thì có thêm 4 căn hộ bị bỏ trống. Gọi x,\left( x\mathbb{\in N} \right) là số lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ của công ty A. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

    a) Nếu giữ nguyên giá thuê mỗi căn hộ là 3 triệu đồng một tháng thì công ty A thu về 300 triệu đồng mỗi tháng. Đúng||Sai

    b) Sau x lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ của công ty A, số căn hộ có người thuê là 100 - 4x. Đúng||Sai

    c) Giá thuê một căn hộ của công ty A là 200000x đồng/tháng sau x lần tăng giá. Sai||Đúng

    d) Công ty A thu về nhiều nhất là 320 triệu đồng/tháng. Đúng||Sai

    a) Nếu giữ nguyên giá thuê mỗi căn hộ là 3 triệu đồng một tháng thì công ty A thu về: 3\ \ .\ \ 100 = 300

    Suy ra mệnh đề đúng.

    b) Sau x lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ, công ty A có số căn hộ bị bỏ trống là: 4x.

    Khi đó, số căn hộ có người thuê là: 100 - 4x.

    Suy ra mệnh đề đúng.

    c) Sau x lần tăng giá, giá thuê mỗi căn hộ của công ty A tăng thêm: 200000x.

    Khi đó, giá thuê mỗi căn hộ của công ty A là: 3000000 + 200000x.

    Suy ra mệnh đề sai.

    d) Mỗi tháng, công ty A thu về: (100 - 4x).(3000000 + 200000x).

    Ta thấy: 100 - 4x > 0 \Leftrightarrow x < 25.

    Công ty A muốn có thu nhập thì không được tăng quá 24 lần tăng giá thuê mỗi căn hộ.

    Xét hàm số: y = (100 - 4x).(3000000 + 200000x) = - 800000x^{2} + 8000000x + 300000000 trên \lbrack 0;24\rbrack.

    y' = - 1600000x + 8000000 = 0 \Leftrightarrow x = 5 \in \lbrack 0;24\rbrack.

    Ta có: y(0) = 300000000

    y(5) = 320000000

    y(24) = 31200000

    Suy ra \underset{x \in \lbrack 0;24\rbrack}{Max}\ y = y(5) = 320000000.

    Vậy công ty A thu về nhiều nhất là 320000000 đồng/tháng hay 320 triệu đồng/tháng.

    Suy ra mệnh đề đúng.

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài 12\ cm và chiều rộng 6\ cm.

    Thực hiện thao tác gấp góc dưới bên phải sao cho đỉnh được gấp nằm trên cạnh chiều dài còn lại. Hỏi chiều dài L tối thiểu của nếp gấp là bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Xét mô hình với các điểm A,\ \ B,\ \ E,\ \ F,\ \ G như hình vẽ.

    Đặt EB = x (cm) với 0 < x < 6 \Rightarrow A E = 6 - x.

    Do \Delta EB G = \Delta E FG nên E F = BE = x.

    Trong tam giác vuông AEF có:

    \cos\widehat{AEF} = \frac{6 - x}{x} \Rightarrow \cos\widehat{BE F} = \frac{x - 6}{x} (hai góc bù nhau).

    Ta có \widehat{BEF} = 2\widehat{BEG} nên \cos\widehat{B E F} = cos(2\widehat{BE G}) = 2cos^{2}\widehat{BE G} - 1 = \frac{x - 6}{x}

    \Rightarrow \cos\widehat{B E G} = \sqrt{\frac{x - 3}{x}} (do \widehat{BE G} là góc nhọn của tam giác nên \cos\widehat{BE G} > 0).

    Trong tam giác vuông BE G có EG = \frac{BE}{\cos\widehat{BE G}} = \frac{x}{\sqrt{\frac{x - 3}{x}}} = \sqrt{\frac{x^{3}}{x - 3}} .

    Xét hàm f(x) = \frac{x^{3}}{x - 3} với x \in (0;6), ta có: f'(x) = \frac{3x^{2}(x - 3) - x^{3}}{(x - 3)^{2}} = \frac{2x^{3} - 9x^{2}}{(x - 3)^{2}} ;

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^{3} - 9x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0(L) \\ x = \frac{9}{2} \end{matrix} \right. .

    Bảng biến thiên:

    Vậy \min_{(0;6)}f(x) = \frac{243}{4} nên EG =\sqrt {f(x)} đạt giá trị nhỏ nhất bằng \frac{9\sqrt{3}}{2}, khi đó x = \frac{9}{2}.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba f(x).

    Vị trí điểm cực đại là (2;5) với đơn vị của hệ trục là 100m và vị trí điểm cực tiểu là (0;1). Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình y = 36 - 9x. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 88,3 m

    Đáp án là:

    Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba f(x).

    Vị trí điểm cực đại là (2;5) với đơn vị của hệ trục là 100m và vị trí điểm cực tiểu là (0;1). Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình y = 36 - 9x. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 88,3 m

    Gọi hàm số bậc ba y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

    \Rightarrow f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c.

    Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0;1) \Rightarrow d = 1.

    Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2;5) \Rightarrow 8a + 4b + 2c + 1 = 5.

    Vì hàm số có hai điểm cực trị x = 0;x = 2

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(0) = 0 \\ f'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ 12a + 4b = 0 \\ \end{matrix} ight. .

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1 và f'(x) = - 3x^{2} + 6x.

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight),\ x_{0} > 0, là điểm nằm trên hòn đảo và nối với mặt đường và d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường.

    Suy ra M là tiếp điểm của d với y = f(x).

    Đường thẳng y = 36 - 9x có hệ số góc k = - 9

    \Rightarrow f'\left( x_{0} ight) = - 9 \Leftrightarrow - 3x_{0}^{2} + 6x_{0} = - 9

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 3 \\ x_{0} = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(3;1).

    Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 9x + y - 36 = 0.

    h = \frac{|9.3 + 1 - 36|}{\sqrt{9^{2} + 1^{2}}} \approx 0,883.

    Vì đơn vị của hệ trục là 100m nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là 88,3m.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tìm m để hàm số đạt giá trị lớn nhất

    Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = \frac{{{x^2} - {m^2} - 2}}{{x - m}} trên đoạn [0; 4] bằng -1?

    Hướng dẫn:

    Ta có: f'\left( x ight) = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} ight)}^2}}} > 0;\forall m e 0

    Với x = m e \left[ {0;4} ight] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 4} \\ {m < 0} \end{array}} ight. ta được hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0; 4)

    => \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} ight]} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) = \frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}}

    Theo bài ra ta có: \frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 2} \\ {m = - 3} \end{array}} ight.

    Kết hợp với điều kiện \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 4} \\ {m < 0} \end{array}} ight. => m = -3 là giá trị cần tìm

    Vậy có 1 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu bài toán đề bài.

  • Câu 18: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Thông hiểu
    Giá trị của biểu thức M - 2m

    Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x\sqrt {1 - {x^2}}. Giá trị của biểu thức M - 2m là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: 1 - {x^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow - 1 \leqslant x \leqslant 1

    Xét hàm số y = x\sqrt {1 - {x^2}} trên \left[ { - 1;1} ight] ta có:

    f'\left( x ight) = \sqrt {1 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{1 - 2{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}

    Phương trình f'\left( x ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 < x < 1} \\ {1 - 2{x^2} = 0} \end{array} \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} ight\}} ight.

    Ta lại có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} ight) = f\left( 1 ight) = 0} \\ {f\left( {\dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2}} ight) = - \dfrac{1}{2}} \\ {f\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} ight) = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} = M = \dfrac{1}{2}} \\ {\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} = m = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.

    => M - 2m = \frac{1}{2} - 2\left( { - \frac{1}{2}} ight) = \frac{3}{2}

  • Câu 20: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một tạp chí bán được 25 000 đồng một cuốn. Chi phía xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức C\left( x ight) = 0,0001{x^2} - 0,2x + 11000, C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 000 đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cá. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có khi bán tạp chí.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một tạp chí bán được 25 000 đồng một cuốn. Chi phía xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức C\left( x ight) = 0,0001{x^2} - 0,2x + 11000, C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 000 đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cá. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có khi bán tạp chí.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (35%):
    2/3
  • Thông hiểu (40%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
31 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này