Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 CTST Bài 2 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức 3M + m

    Cho hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}} trên đoạn \left[ {0,2} ight]. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tính giá trị biểu thức 3M + m.

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}} trên đoạn \left[ {0,2} ight] ta có:

    f'\left( x ight) = \frac{8}{{{{\left( {x - 3} ight)}^2}}} < 0

    => f\left( x ight) là hàm số nghịch biến trên \left( {0;2} ight)

    => \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0;2} ight]} = f\left( 2 ight) = - 5} \\ {\mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0;2} ight]} = f\left( 0 ight) = \dfrac{1}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow 3M + m = - 2

  • Câu 2: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Mệnh đề nào sau đây là đúng về hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 5}}trên tập xác định của nó.

    Hướng dẫn:

    Tập xác định: D\mathbb{= R}.

    y' = \dfrac{\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 5}}}{x^{2} + 5}

    = \frac{x^{2} + 5 - x^{2} - x}{\sqrt{x^{2} + 5}\left( x^{2} + 5 ight)} = \frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} + 5}\left( x^{2} + 5 ight)}.

    y' = 0 \Leftrightarrow \frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} + 5}\left( x^{2} + 5 ight)} = 0

    \Leftrightarrow 5 - x = 0 \Leftrightarrow x = 5

    Bảng biến thiên:

    Từ bảng biến thiên có \max_{\mathbb{R}}y = y(5) = \frac{\sqrt{30}}{5} khi x = 5.

    Hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 5}} không có giá trị nhỏ nhất.

    Vậy hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính chi phí thấp nhất để thuê công nhân

    Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288\ \ \ dm^{3}. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500\ 000 đồng/m^{2}. Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Gọi x chiều rộng của đáy bể (x > 0).

    Khi đó chiều dài của bể là 2x.

    Thể tích của bể: V = 288\ dm^{3} =0,288\ m^{3} ,

    mà V = x.2x.h \Rightarrow h = \frac{V}{2x^{2}} = \frac{0,288}{2x^{2}} = \frac{0,144}{x^{2}} .

    Phần xây dựng của bể (trừ mặt trên của bể) có diện tích:

    S = 2.hx + 2.h.2x + x.2x = 6hx +2x^2

    = 6.\frac{0,144}{x^{2}}.x + 2x^{2} = \frac{0,864}{x} + 2x^{2}.

    Cách giải 1: Theo BĐT Cô-si, ta có:

    S = \frac{0,432}{x} + \frac{0,432}{x} + 2x^{2} \geq 3\sqrt[3]{\frac{0,432}{x}.\frac{0,432}{x}.2x^{2}} = \frac{54}{25} .

    Dấu đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow \frac{0,432}{x} = \frac{0,432}{x} = 2x^{2}

    \Leftrightarrow 2x^{3} = 0,432 \Leftrightarrow x = 0,6\ \ \ m (thỏa mãn).

    Vậy S_{Min} = \frac{54}{25}\ \ \ m^{2} \Rightarrow Chi phí thấp nhất phải trả: \frac{54}{25}.500\ \ 000 = 1\ \ 080\ 000 đồng.

    Cách giải 2: Xét hàm số S(x) = \frac{0,864}{x} + 2x^{2}\ \ \ ,x > 0.

    Đạo hàm: y' = - \frac{0,864}{x^{2}} + 4x = \frac{4x^{3} - 0,864}{x^{2}};

    y' = 0 \Leftrightarrow 4x^3 - 0,864= 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{5} = 0,6\ m.

    Bảng biến thiên:

    Vậy S_{Min} = \frac{54}{25}\ \ \ m^{2} \Rightarrow Chi phí thấp nhất phải trả: \frac{54}{25}.500\ \ 000 = 1\ \ 080\ 000 đồng.

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là 5(km/h). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h),(v > 5) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E(v) = c.v^{3}.t, trong đó c là hằng số dương, E được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng (a;b) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của b - a (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là 5(km/h). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h),(v > 5) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E(v) = c.v^{3}.t, trong đó c là hằng số dương, E được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng (a;b) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của b - a (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình).

    Một người muốn nhìn rõ màn ảnh nhất (góc nhìn lớn nhất) thì người đó phải đứng cách mặt phẳng chứa màn ảnh bao nhiêu mét? (độ dài OA bằng bao nhiêu?)

    Hướng dẫn:

    Đặt x = OA;x > 0 , đây là khoảng cách từ mắt đến mặt phẳng chứa màn hình.

    Ta có:

    \widehat{BOC} = \widehat{AOC} - \widehat{AOB}

    \Rightarrow \tan\left( \widehat{AOC} - \widehat{AOB} \right) = \frac{\tan\widehat{AOC} - \tan\widehat{AOB}}{1 + \tan\widehat{AOC}.tan\widehat{AOB}}

    Trong đó \tan\widehat{AOC} = \frac{AC}{AO} = \frac{3,2}{x};tan\widehat{AOB} = \frac{AB}{AO} = \frac{1,8}{x} .

    Vậy \tan\widehat{BOC} = \frac{\frac{3,2}{x} - \frac{1,8}{x}}{1 + \frac{3,2}{x}.\frac{1,8}{x}} = \frac{\frac{1,4}{x}}{\frac{x^{2} + 5,76}{x^{2}}} = \frac{1,4x}{x^{2} + 5,76}.

    Cách giải 1: Dùng phương pháp khảo sát hàm số

    Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm f(x) = \frac{1,4x}{x^{2} + 5,76};x > 0s

    Đạo hàm f'(x) = \frac{- 1,4x + 8,064}{\left( x^{2} + 5,76 \right)^{2}};f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 5,76 \Rightarrow x = 2,4.

    Bảng biến thiên:

    Vậy để góc nhìn lớn nhất \left( {\widehat{BOC}}_{\max} \right) thì \tan\widehat{BOC} đạt giá trị lớn nhất\Leftrightarrow f(x) đạt giá trị lớn nhất.

    Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \underset{(0; + \infty)}{\max f(x)} = \frac{7}{24}. Dấu “=” đạt được khi x = 2,4 (mét).

    Cách giải 2: Dùng bất đẳng thức Cô-si

    Xét f(x) = \frac{1,4x}{x^{2} + 5,76};x > 0

    Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương: x^{2} + 5,76 \geq 2\sqrt{5,76.x^{2}} = 4,8x

    \Leftrightarrow \frac{1,4x}{x^{2} + 5,76} \leq \frac{1,4x}{4,8x} = \frac{7}{24} .

    Suy ra \Rightarrow f(x) \leq \frac{7}{24}

    Dấu “=” đạt được\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} = 5,76 \\ x > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 2,4 m.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 1;3brack và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M,mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \lbrack - 1;3brack. Giá trị của M + m là

    Hướng dẫn:

    Dựa vào đồ thị ta thấy GTLN của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;3brack là M = 2 đạt được tại x = - 1 và GTNN của hàm số số trên đoạn \lbrack - 1;3bracklà m = - 4 đạt được tại x = 2

    \Rightarrow M + m = 2 + ( - 4) = - 2

  • Câu 7: Vận dụng
    Tìm m để bất phương trình có nghiệm

    Giá trị của tham số m để bất phương trình (x - 2 - m)\sqrt{x - 1} \leq m - 4 có nghiệm là:

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \sqrt{x - 1};(t \geq 0)

    Khi đó bất phương trình ban đầu trở thành:

    \left( t^{2} - m - 1 ight).t \leq m - 4 \Leftrightarrow m \geq \frac{t^{3} - t + 4}{t + 1}

    Xét hàm số f(t) = \frac{t^{3} - t + 4}{t + 1} trên \lbrack 0; + \infty)

    Ta có: f'(t) = \frac{2t^{3} + 3t^{2} - 5}{(t + 1)^{2}} = \frac{(t - 1)\left( 2t^{2} + 5t + 5 ight)}{(t + 1)^{2}}

    f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1

    Bảng biến thiên của f(t) = \frac{t^{3} - t + 4}{t + 1};t \in \lbrack 0; + \infty)

    Từ bảng biến thiên suy ra để bất phương trình có nghiệm thì m \geq 2.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao 2m, một phía rộng 1m, một phía rộng 1,2m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài 2m, 2,5m, 3m, 3,5m, 4m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

    Đáp án: 4

    Đáp án là:

    Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao 2m, một phía rộng 1m, một phía rộng 1,2m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài 2m, 2,5m, 3m, 3,5m, 4m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

    Đáp án: 4

    Ống thép muốn qua được hành lang (bên này qua bên kia) phải qua được góc vuông giữa hành lang.

    Vì vậy chiều dài l của ống thép phải thỏa mãn l \leq AN, \forall a \in \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) \Leftrightarrow l \leq \min_{\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)}AN(*)

    Ta có AN = \sqrt{AB^{2} + BN^{2}} = \sqrt{AB^{2} + 4}

    Trong đó AB = AM + MB = \frac{AH}{\sin\alpha} + \frac{BK}{\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1,2}{\cos\alpha}

    Xét hàm số g(\alpha) = \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1,2}{\cos\alpha}

    \Rightarrow g'(\alpha) = - \frac{\cos\alpha}{sin^{2}\alpha} + \frac{1,2sina}{cos^{2}a} = 0

    \Leftrightarrow 1,2sin^{3}\alpha = cos^{3}\alpha

    \Leftrightarrow \tan\alpha = \frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} \Leftrightarrow \alpha = \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}}

    Vì vậy \min_{\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)}g(\alpha) = g\left( \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} ight)

    \Rightarrow (*) \Leftrightarrow l \leq \sqrt{\left\lbrack g\left( \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} ight) ightbrack^{2} + 4} \approx 3,69504

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hai số thực x \geq 0;1 \leq y \leq 3 thỏa mãn 2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037?

    Đáp án: 2025

    Đáp án là:

    Cho hai số thực x \geq 0;1 \leq y \leq 3 thỏa mãn 2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037?

    Đáp án: 2025

    Giả thiết cho 2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4

    \Leftrightarrow 2^{x}.(2x + 1) = 2(2y + x + 2)2^{2y}

    \Leftrightarrow 2^{x}.(2x + 1) = 2^{2y + 1}(2y + x + 2)

    \Leftrightarrow 2^{2x}.(2x + 1) = 2^{2y + x + 1}(2y + x + 1 + 1)

    Xét hàm số f(t) = 2^{t}.(t + 1) trên (0\ ; + \infty)

    Suy ra f'(t) = 2^{t}.(t + 1)ln2 + 2^{t} > 0,\ \forall t \in (0\ ; + \infty)

    Vậy hàm số f(t) luôn đồng biến trên (0\ ; + \infty) nên ta có:

    \Leftrightarrow 2^{2x}.(2x + 1) = 2^{2y + x + 1}(2y + x + 1 + 1)

    \Leftrightarrow 2x = 2y + x + 1 \Leftrightarrow x = 2y + 1

    Suy ra: P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037

    = 2^{y - 1} - \left( y^{2} + 2y + 1 ight) + 2037

    = \frac{1}{4}.2^{y + 1} - (y + 1)^{2} + 2037

    Xét hàm số g(a) = \frac{1}{4}.2^{a} - a^{2};\ a \in \lbrack 2\ ;4brack

    g^{'(a)} = \frac{2^{a}.ln2}{4} - 2a

    \Rightarrow g''(a) = \frac{2^{a}.ln^{2}2}{4} - 2 < 0,\forall\ a \in \lbrack 2\ ;4brack

    \Rightarrow g'(a) luôn nghịch biến trên \lbrack 2\ ;4brack

    \Rightarrow \max_{\lbrack 2\ ;4brack}g'(a) = g'(2) = ln2 - 4 < 0

    \Rightarrow g(a) luôn nghịch biến trên \lbrack 2\ ;4brack

    \Rightarrow \min g(a) = g(4) = - 12

    Vậy \min P = - 12 + 2037 = 2025 khi y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3\ ;x = 7.

  • Câu 10: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y = f^{'}(x) như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in ( - 10;10) để hàm số y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx đồng biến trên khoảng ( - 2;1)?

    Đáp án: 6

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y = f^{'}(x) như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in ( - 10;10) để hàm số y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx đồng biến trên khoảng ( - 2;1)?

    Đáp án: 6

    Để hàm số y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx đồng biến trên khoảng ( - 2;1)

    \Leftrightarrow y' \geq 0,\forall x \in ( - 2;1)

    \Leftrightarrow 3f'(3x - 1) + 3x^{2} - 3m \geq 0,\forall x \in ( - 2;1)

    \Leftrightarrow m \leq f^{'}(3x - 1) + x^{2},\forall x \in ( - 2;1)(*)

    Đặt k(x) = f^{'}(3x - 1),h(x) = x^{2} và g(x) = f^{'}(3x - 1) + x^{2} = k(x) + h(x).

    Ta có: \min_{( - 2;1)}k(x) = k(0) = - 4.

    Do đó, ta có: \min_{( - 2;1)}f^{'}(3x - 1) = f^{'}( - 1) = - 4 khi 3x - 1 = - 1 \Leftrightarrow x = 0.

    \Rightarrow \min_{( - 2;1)}k(x) = k(0) = - 4.

    Do đó, \min_{( - 2;1)}g(x) = g(0) = k(0) + h(0) = 0 - 4 = - 4.

    Từ (*) ta có m \leq f^{'}(3x - 1) + x^{2},\forall x \in ( - 2;1)

    \Leftrightarrow m \leq \min_{( - 2;1)}g(x) \Leftrightarrow m \leq - 4.

    Mà m \in ( - 10;10) \Rightarrow m \in \{- 9;\ldots; - 4\}.

    Vậy có tất cả 6 số nguyên thỏa mãn.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát trong đất liền ra Côn Đảo. Biết BC = 60km, AB = 100km, góc \widehat{ABC} = 90{^\circ}, như hình vẽ. Mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000\ USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là 3000\ USD. Đặt x = AG.

    a) Khi x = 20\ km thì đường dây điện nối từ C về G dài 100km. Đúng||Sai

    b) Khi x = 20\ km thì tổng chi phí mắc điện là 560.000USD. Đúng||Sai

    c) Tổng chi phí mắc điện nhỏ nhất khi x = 50km. Sai||Đúng

    d) Tổng chi phí mắc điện nhỏ nhất là 540.000USD.Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát trong đất liền ra Côn Đảo. Biết BC = 60km, AB = 100km, góc \widehat{ABC} = 90{^\circ}, như hình vẽ. Mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000\ USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là 3000\ USD. Đặt x = AG.

    a) Khi x = 20\ km thì đường dây điện nối từ C về G dài 100km. Đúng||Sai

    b) Khi x = 20\ km thì tổng chi phí mắc điện là 560.000USD. Đúng||Sai

    c) Tổng chi phí mắc điện nhỏ nhất khi x = 50km. Sai||Đúng

    d) Tổng chi phí mắc điện nhỏ nhất là 540.000USD.Đúng||Sai

    Tổng quan đáp án bài tập:

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Sai

    d) Đúng

    a) Có AG = x \Rightarrow BG = 100 - x với 0 \leq x \leq 100.

    Xét tam giác CBG vuông tại B có CG = \sqrt{CB^{2} + BG^{2}} = \sqrt{3600 + (100 - x)^{2}}.

    Khi x = 20\ km \Rightarrow CG = 100\ km.

    b) Chi phí tiền mắc điện là f(x) = 3000x + 5000.\sqrt{3600 + (100 - x)^{2}}

    Khi x = 20\ km \Rightarrow CG = 100\ km và tổng chi phí mắc điện là T = f(20) = 560.000\ USD.

    c) Để chi phí mắc điện ít nhất thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.

    Ta có f'(x) = 3000 - 5000\frac{(100 - x)}{\sqrt{3600 + (100 - x)^{2}}}

    \Rightarrow f'(x) = 0 \Rightarrow f'(x) = 0

    \Leftrightarrow 3000 = 5000\frac{(100 - x)}{\sqrt{3600 +(100 - x)^{2}}}\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 55 \\x = 145(l)\end{matrix} \right..

    Ta có

    \begin{matrix} f(0) = 583095,1895USD \\ f(55) = 540.000USD \\ f(100) = 600.000USD \end{matrix}

    Vậy chi phí mắc điện nhỏ nhất khi x = 55km.

    d) chi phí mắc điện nhỏ nhất là 540.000USD

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm (1 \leq x \leq 500) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sân phẩm đó là F(x) = x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là G(x) = x + 1000 + \frac{250000}{x} (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

    Đáp án: 333

    Đáp án là:

    Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm (1 \leq x \leq 500) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sân phẩm đó là F(x) = x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là G(x) = x + 1000 + \frac{250000}{x} (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

    Đáp án: 333

    Chi phí sản xuất khi sản xuất x sản phẩm là

    C(x) = x.G(x)

    = x\left( x + 1000 + \frac{250000}{x} ight)

    = x^{2} + 1000x + 250000

    Do đó lợi nhận L(x)là:

    L(x) = F(x) - C(x)

    = \left( x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 ight) - \left( x^{2} + 1000x + 250000 ight)

    = x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000 - x^{2} - 1000x - 250000

    = x^{3} - 2000x^{2} + 1000000x

    Ta có:

    L'(x) = 3x^{2} - 4000x + 1000000

    L'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 4000x + 1000000 = 0 với 1 \leq x \leq 500

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1000(L) \\ x = \frac{1000}{3}(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vây doanh nghiệp nên sản xuất khoảng 333 sản phẩm để lợi nhuận đạt mức lớn nhất

  • Câu 13: Thông hiểu
    Xác định số giá trị nguyên của m

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack - 10;10brack để hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + 3mx + 2020 nghịch biến trên khoảng (1;2)?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = 3x^{2} - 6x + 3m \leq 0;\forall x \in (1;2)

    \Leftrightarrow m \leq - x^{2} + 2x;\forall x \in (1;2)

    Xét f(x) = - x^{2} + 2x trên khoảng (1;2) ta có bảng biến thiên:

    Suy ra m \leq 0 mà m \in \lbrack - 10;10brack nên m \in \left\{ - 10; - 9;...; - 1;0 ight\}

    Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Định giá trị lớn nhất của hàm số chứa căn

    Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x}.

    Hướng dẫn:

    TXĐ: D = \lbrack 2;4brack.

    Đạo hàm f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 2}} - \frac{1}{2\sqrt{4 - x}}

    \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in \lbrack 2;4brack

    Ta có \left\{ \begin{matrix} f(2) = \sqrt{2} \\ f(3) = 2 \\ f(4) = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow M = 2.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tìm giá trị lớn nhất của tham số m

    Cho hàm số f(x) = \frac{x - m^{2}}{x + 8} với m là tham số thực. Tìm giá trị lớn nhất của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \lbrack 0;3brack bằng - 2.

    Hướng dẫn:

    Đạo hàm y' = \frac{8 + m^{2}}{(x + 8)^{2}} > 0,\ \forall x \in \lbrack 0;3brack.

    Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên đoạn \lbrack 0;3brack

    \Rightarrow \min_{\lbrack 0;3brack}f(x) = f(0) = - \frac{m^{2}}{8}

    Thao bài ra: \min_{\lbrack 0;3brack}f(x) = - 2 \Leftrightarrow - \frac{m^{2}}{8} = - 2 \Leftrightarrow m = \pm 4

    Suy ra giá trị m lớn nhất là m = 4.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Xác định min max của hàm số trên đoạn

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R}, có đồ thị như hình vẽ bên.

    Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y = f(x) trên đoạn \lbrack - 2;2brack.

    Hướng dẫn:

    Nhận thấy trên đoạn \lbrack - 2;2brack

    Đồ thị hàm số có điểm thấp nhất có tọa độ ( - 2; - 5) và (1; - 5)

    \overset{}{ightarrow} Giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên đoạn \lbrack - 2;2brack bằng - 5.

    Đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ ( - 1; - 1) và (2; - 1)

    \overset{}{ightarrow} Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn \lbrack - 2;2brack bằng - 1.

  • Câu 17: Vận dụng
    Định giá trị lớn nhất của hàm số

    Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x} -2\sqrt{- x^2 + 4x - 3}.

    Hướng dẫn:

    TXĐ: D = \lbrack 1;3brack

    Đặt t = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x}\ \ \ \left( \sqrt{2} \leq t \leq 2 ight)

    \Rightarrow t^{2} = x - 1 + 3 - x + 2\sqrt{x - 1}\sqrt{3 - x}

    \Rightarrow - 2\sqrt{- x^{2} + 4x - 3} = 2 - t^{2}

    Khi đó, bài toán trở thành ''Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(t) = - t^{2} + t + 2 trên đoạn \left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack''.

    Xét hàm số g(t) = - t^{2} + t + 2 xác định và liên tục trên \left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack.

    Đạo hàm g'(t) = - 2t + 1 < 0,\ \forall t \in \left( \sqrt{2};2 ight).

    Suy ra hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn \left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack.

    Do đó \max_{\left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack}g(t) = g\left( \sqrt{2} ight) = \sqrt{2}\overset{}{ightarrow}\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \sqrt{2}.

    Bình luận: Sau khi đọc xong lời giải trên sẽ có nhiều bạn đọc thắc mắc là tại sao biết được t \in \left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack.

    Từ phép đặt ẩn phụ t = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x} = h(x).

    Đạo hàm h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}}

    \Rightarrow h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \lbrack 1;3brack

    Ta có \left\{ \begin{matrix} h(1) = \sqrt{2} \\ h(2) = 2 \\ h(3) = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \min_{\lbrack 1;3brack}h(x) = \sqrt{2} \\ \max_{\lbrack 1;3brack}h(x) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \sqrt{2} \leq h(x) \leq 2 \Rightarrow \sqrt{2} \leq t \leq 2

  • Câu 18: Vận dụng
    Tìm diện tích lớn nhất của đất rào

    Một người nông dân có 15.000.000 đồng muốn làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau.

    Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được

    Hướng dẫn:

    Gọi xlà chiều dài 1 mặt hàng rào hình chữ E (trong ba mặt song song,x > 0 ).

    Gọi ylà chiều dài mặt hàng rào hình chữ E song song với bờ sông (y > 0).

    Số tiền phải làm là:x.3.50000 + y.60000 = 15.000.000 \Leftrightarrow y = \frac{500 - 5x}{2}.

    Diện tích đất: S = x.y = x.\frac{500 - 5x}{2} = 250x - \frac{5}{2}x^{2}.

    Ta có: S' = 250 - 5x; S' = 0 \Leftrightarrow 250 - 5x \Leftrightarrow x = 50.

    Bảng biến thiên:

    Vậy: \underset{(0; + \infty)}{\max S} = 6250\ (m^{2}) khi x = 50.

  • Câu 19: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn như hình vẽ:

    Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn như hình vẽ:

    Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Vận dụng
    Tìm m để hàm số đạt giá trị lớn nhất

    Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = \frac{{{x^2} - {m^2} - 2}}{{x - m}} trên đoạn [0; 4] bằng -1?

    Hướng dẫn:

    Ta có: f'\left( x ight) = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} ight)}^2}}} > 0;\forall m e 0

    Với x = m e \left[ {0;4} ight] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 4} \\ {m < 0} \end{array}} ight. ta được hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0; 4)

    => \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} ight]} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) = \frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}}

    Theo bài ra ta có: \frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 2} \\ {m = - 3} \end{array}} ight.

    Kết hợp với điều kiện \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 4} \\ {m < 0} \end{array}} ight. => m = -3 là giá trị cần tìm

    Vậy có 1 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu bài toán đề bài.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (35%):
    2/3
  • Thông hiểu (40%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
49 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này