Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
bằng:
Ta có:
Lại có:
Từ đó
Xét hàm số
=> Hàm số đồng biến trên
=>
=>
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
bằng:
Ta có:
Lại có:
Từ đó
Xét hàm số
=> Hàm số đồng biến trên
=>
=>
Một sợi dây kim loại dài được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r.

Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số bằng:
Gọi x (cm) là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn Chiều dài đoạn còn lại là
(cm).
Chu vi đường tròn diện tích hình tròn
Diện tích hình vuông cạnh là
.
Tổng diện tích hai hình:
.
Đạo hàm .
Suy ra hàm S chỉ có một điểm cực tiểu là .
Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại .
Với và
.
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
là:
Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn hàm số
có giá trị lớn nhất bằng
khi
Suy ra
Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
. Tính giá trị biểu thức
?
Vì trên đoạn thì
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:
Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên
là:
Đặt
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Dễ thấy nên hàm số xác định trên toàn trục số.
Gọi m là một giá trị tùy ý của hàm số, khi đó phương trình
Ta xét hai trường hợp sau:
TH1: Nếu m = 2 phương trình trở thành
Vậy phương trình có nghiệm khi m = 2
TH2: Nếu khi đó phương trình bậc 2 có nghiệm khi và chỉ khi:
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1;2] có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số . Biết
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Tập xác định
Ta có:
Từ
Từ (**) suy ra .
Vậy là đáp án cần tìm.
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức , trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.
Xét ta có:
Mặt khác
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là:
Tập xác định
Biến đổi f(x) như sau:
Đặt
Hàm số đã cho trở thành
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2018 tại
Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7km (hình vẽ), biết HE + KF = 24km và độ dài EF không đổi. Hỏi cần xây cây cầu cách thành phố B là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB) ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 16 km
Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7km (hình vẽ), biết HE + KF = 24km và độ dài EF không đổi. Hỏi cần xây cây cầu cách thành phố B là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB) ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 16 km
Đặt , với
Ta có:
Nhận định ngắn nhất khi
nhỏ nhất ( vì
không đổi).
Xét hàm số
.
Cho
Bảng biến thiên
Vậy
Khi đó
Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức , biết
với
là tham số và hàm số đồng biến trên
.
Ta có:
Hàm số đã cho đồng biến trên
Ta lại có:
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ trong đó

Tìm tổng để diện tích hình thang
đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có nhỏ nhất
lớn nhất (do
không đổi).
Ta có:
Do là hình thang nên hai tam giác
đồng dạng, do đó:
Từ (1) và (2) suy ra .
Cách giải 1:
Xét hàm số với
Ta có:
.
Bảng biến thiên:

Vậy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
.
Do vậy
Cách giải 2:
Ta có:
.
Ta thấy lớn nhất khi và chỉ khi
đạt giá trị nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương:
Dấu đẳng thức xảy ra
Từ đây ta có .
Một công ty bất động sản có 100 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá
triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê, và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm
đồng mỗi tháng thì có thêm
căn hộ bị bỏ trống. Gọi
là số lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ của công ty
. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?
a) Nếu giữ nguyên giá thuê mỗi căn hộ là triệu đồng một tháng thì công ty
thu về
triệu đồng mỗi tháng. Đúng||Sai
b) Sau lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ của công ty
, số căn hộ có người thuê là
. Đúng||Sai
c) Giá thuê một căn hộ của công ty là
đồng/tháng sau
lần tăng giá. Sai||Đúng
d) Công ty thu về nhiều nhất là
triệu đồng/tháng. Đúng||Sai
Một công ty bất động sản
có 100 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá
triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê, và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm
đồng mỗi tháng thì có thêm
căn hộ bị bỏ trống. Gọi
là số lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ của công ty
. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?
a) Nếu giữ nguyên giá thuê mỗi căn hộ là
triệu đồng một tháng thì công ty
thu về
triệu đồng mỗi tháng. Đúng||Sai
b) Sau
lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ của công ty
, số căn hộ có người thuê là
. Đúng||Sai
c) Giá thuê một căn hộ của công ty
là
đồng/tháng sau
lần tăng giá. Sai||Đúng
d) Công ty
thu về nhiều nhất là
triệu đồng/tháng. Đúng||Sai
a) Nếu giữ nguyên giá thuê mỗi căn hộ là triệu đồng một tháng thì công ty
thu về:
Suy ra mệnh đề đúng.
b) Sau lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ, công ty
có số căn hộ bị bỏ trống là:
.
Khi đó, số căn hộ có người thuê là: .
Suy ra mệnh đề đúng.
c) Sau lần tăng giá, giá thuê mỗi căn hộ của công ty
tăng thêm:
.
Khi đó, giá thuê mỗi căn hộ của công ty là:
.
Suy ra mệnh đề sai.
d) Mỗi tháng, công ty thu về:
.
Ta thấy: .
Công ty muốn có thu nhập thì không được tăng quá
lần tăng giá thuê mỗi căn hộ.
Xét hàm số:
trên
.
.
Ta có:
Suy ra .
Vậy công ty thu về nhiều nhất là
đồng/tháng hay
triệu đồng/tháng.
Suy ra mệnh đề đúng.
Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng
.

Thực hiện thao tác gấp góc dưới bên phải sao cho đỉnh được gấp nằm trên cạnh chiều dài còn lại. Hỏi chiều dài L tối thiểu của nếp gấp là bao nhiêu?
Xét mô hình với các điểm như hình vẽ.
Đặt (cm) với
.
Do nên
Trong tam giác vuông AEF có:
(hai góc bù nhau).
Ta có nên
(do
là góc nhọn của tam giác nên
).
Trong tam giác vuông có
.
Xét hàm với
, ta có:
;
.
Bảng biến thiên:

Vậy nên
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
, khi đó
Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba
.
Vị trí điểm cực đại là với đơn vị của hệ trục là
và vị trí điểm cực tiểu là
. Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình
. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 88,3 m
Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ
là một phần của đồ thị hàm số bậc ba
.

Vị trí điểm cực đại là
với đơn vị của hệ trục là
và vị trí điểm cực tiểu là
. Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình
. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 88,3 m
Gọi hàm số bậc ba
.
Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm .
Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm .
Vì hàm số có hai điểm cực trị
.
và
.
Gọi là điểm nằm trên hòn đảo và nối với mặt đường và
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường.
Suy ra là tiếp điểm của
với
.
Đường thẳng có hệ số góc
.
Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
.
.
Vì đơn vị của hệ trục là nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là
.
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 4] bằng -1?
Ta có:
Với ta được hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0; 4)
=>
Theo bài ra ta có:
Kết hợp với điều kiện => m = -3 là giá trị cần tìm
Vậy có 1 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu bài toán đề bài.
Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?
Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Giá trị của biểu thức
là:
Điều kiện xác định:
Xét hàm số trên
ta có:
Phương trình
Ta lại có:
=>
Một tạp chí bán được 25 000 đồng một cuốn. Chi phía xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức , C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 000 đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cá. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có khi bán tạp chí.
Một tạp chí bán được 25 000 đồng một cuốn. Chi phía xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức
, C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 000 đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cá. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có khi bán tạp chí.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: