Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 CTST Bài 2 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một công ty du lịch tổ chức tour du lịch với giá mỗi tour là 5000000 đồng một khách cho 30 khách. Từ khách thứ 31, cứ thêm một khách, giá của tour lại được giảm a nghìn (a là số nguyên dương). Số khách thêm của tour không quá 15 người. Biết rằng nếu nhận thêm từ 1 đến 8 khách thì doanh thu tăng dần theo số khách nhận thêm. Tìm giá trị lớn nhất của a.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một công ty du lịch tổ chức tour du lịch với giá mỗi tour là 5000000 đồng một khách cho 30 khách. Từ khách thứ 31, cứ thêm một khách, giá của tour lại được giảm a nghìn (a là số nguyên dương). Số khách thêm của tour không quá 15 người. Biết rằng nếu nhận thêm từ 1 đến 8 khách thì doanh thu tăng dần theo số khách nhận thêm. Tìm giá trị lớn nhất của a.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tìm min và max của hàm số

    Cho hai số thực x, y thỏa mãn x \geqslant 0;y \geqslant 0 và x + y = 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} lần lượt là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: 

    P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} ight) + y\left( {y + 1} ight)}}{{\left( {x + 1} ight)\left( {y + 1} ight)}} = \frac{{{{\left( {x + y} ight)}^2} - 2xy + 1}}{{xy + x + y + 1}} = \frac{{2 - 2xy}}{{2 + xy}}

    Đặt t = xy ta được P = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}}

    Vì x \geqslant 0;y \geqslant 0 \Rightarrow t \geqslant 0

    Mặt khác 1 = x + y \geqslant 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow xy \leqslant \frac{1}{4} \Rightarrow t \leqslant \frac{1}{4}

    Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số g\left( t ight) = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}} trên \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    Xét hàm số g\left( t ight) = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}} xác định và liên tục trên \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    Ta có: g'\left( t ight) = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {2 + t} ight)}^2}}} < 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{4}} ight)

    => Hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]} g\left( t ight) = g\left( {\dfrac{1}{4}} ight) = \dfrac{2}{3}} \\ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]} g\left( t ight) = g\left( 0 ight) = 1} \end{array}} ight.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

    Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) = sin^{3}x + cos2x + \sin x + 3.

    Hướng dẫn:

    Ta có f(x) = sin^{3}x + cos2x + \sin x + 3 = sin^{3}x - 2sin^{2}x + \sin x + 4.

    Đặt t = \sin x\ ;( - 1 \leq t \leq1).

    Khi đó, bài toán trở thành ''Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(t) = t^{3} - 2t^{2} + t + 4 trên đoạn \lbrack - 1;1brack''.

    Đạo hàm g'(t) = 3t^{2} - 4t + 1

    \Rightarrow g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \in \lbrack - 1;1brack \\ t = \frac{1}{3} \in \lbrack - 1;1brack \\ \end{matrix} ight.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} g( - 1) = 0 \\ g\left( \dfrac{1}{3} ight) = \dfrac{112}{27} \\ g(1) = 4 \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow \max_{\lbrack - 1;1brack}g(t) = g\left( \dfrac{1}{3} ight) = \frac{112}{27}

    \Rightarrow \max_{x\mathbb{\in R}}f(x) = \frac{112}{27}

  • Câu 4: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Xét hàm số y = - x - \frac{4}{x} trên đoạn \lbrack - 1;2brack. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Vì 0 \in \lbrack - 1;2brack và \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 0^{-}}y = + \infty \\ \lim_{x ightarrow 0^{+}}y = - \infty \\ \end{matrix} ight. nên hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm max của hàm số trên đoạn

    Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) = \left| x^{2} - 3x + 2 \right| - x trên đoạn \lbrack - 4;4\rbrack.

    Hướng dẫn:

    Hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn \lbrack - 4;4brack.

    Nếu x \in \lbrack 1;2brack thì x^{2} - 3x + 2 \leq 0 nên suy ra f(x) = - x^{2} + 2x - 2.

    Đạo hàm f'(x) = - 2x + 2

    \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \lbrack 1;2brack

    Ta có \left\{ \begin{matrix} f(1) = - 1 \\ \ f(2) = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ .

    Nếu x \in \lbrack - 4;1brack \cup \lbrack 2;4brack thì x^{2} - 3x + 2 \geq 0 nên suy ra f(x) = x^{2} - 4x + 2.

    Đạo hàm f'(x) = 2x - 4

    \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [ - 4;1] \cup \lbrack 2;4brack

    Ta có \left\{ \begin{matrix} f( - 4) = 34 \\ \ f(1) = - 1 \\ f(2) = - 2 \\ f(4) = 2 \\ \end{matrix} ight..

    So sánh hai trường hợp, ta được \max_{\lbrack - 4;4brack}f(x) = f( - 4) = 34

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) = \left| - x^{2} - 4x + 5 \right| trên đoạn \lbrack - 6;6\rbrack.

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số g(x) = - x^2- 4x + 5 liên tục trên đoạn \lbrack - 6;6brack.

    Đạo hàm g'(x) = - 2x - 4

    \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \in \lbrack - 6;6brack

    Lại có g(x) = 0 \Leftrightarrow - x^2 - 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \in \lbrack - 6;6brack \\ x = - 5 \in \lbrack - 6;6brack \\ \end{matrix} ight..

    Ta có \left\{ \begin{matrix} g( - 6) = - 7 \\ g( - 2) = 9 \\ g(6) = - 55 \\ g(1) = \ g( - 5) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \max_{\lbrack - 6;6brack}f(x) = \max_{\lbrack - 6;6brack}\left\{ \left| g( - 6) ight|;\left| g( - 2) ight|;\left| g(6) ight|;\left| g(1) ight|;\left| g( - 5) ight| ight\} = 55.

    Nhận xét. Bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Bạn Lan muốn dùng tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 3\ dm, chiều dài 5\ dm để làm một chiếc hộp không nắp, bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ có cạnh bằng x\ dm ở bốn góc của tấm bìa như hình vẽ. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) [NB] Điều kiện của x là 0 < x < \frac{3}{2}. Đúng||Sai

    b) [TH] Diện tích mặt đáy của chiếc hộp là (3 - 2x)(5 - 2x) Đúng||Sai

    c) [TH] Thể tích của chiếc hộp là 4x^{3} - 16x^{2} + 15. Sai||Đúng

    d) [VD, VDC] Với x = \frac{8 - \sqrt{19}}{6} thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Bạn Lan muốn dùng tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 3\ dm, chiều dài 5\ dm để làm một chiếc hộp không nắp, bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ có cạnh bằng x\ dm ở bốn góc của tấm bìa như hình vẽ. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) [NB] Điều kiện của x là 0 < x < \frac{3}{2}. Đúng||Sai

    b) [TH] Diện tích mặt đáy của chiếc hộp là (3 - 2x)(5 - 2x) Đúng||Sai

    c) [TH] Thể tích của chiếc hộp là 4x^{3} - 16x^{2} + 15. Sai||Đúng

    d) [VD, VDC] Với x = \frac{8 - \sqrt{19}}{6} thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất. Đúng||Sai

    a) Đúng. Điều kiện của x là 0 < x < \frac{3}{2}.

    b) Đúng. Chiều rộng của mặt đáy là 3 - 2x, chiều dài của mặt đáy là 5 - 2x.

    Diện tích mặt đáy của chiếc hộp là (3 - 2x)(5 - 2x)

    c) Sai. Chiều cao của chiếc hộp là x.

    Thể tích của chiếc hộp là (3 - 2x)(5 - 2x)x = 4x^{3} - 16x^{2} + 15x

    d) Đúng. Xét hàm số f(x) = 4x^{3} - 16x^{2} + 15x trên \left( 0;\frac{3}{2} ight)

    f'(x) = 12x^{2} - 32x + 15

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \dfrac{8 + \sqrt{19}}{6} \\ x = \dfrac{8 - \sqrt{19}}{6} \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Vậy x = \frac{8 - \sqrt{19}}{6} thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất.

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7km (hình vẽ), biết HE + KF = 24km và độ dài EF không đổi. Hỏi cần xây cây cầu cách thành phố B là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB) ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 16 km

    Đáp án là:

    Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7km (hình vẽ), biết HE + KF = 24km và độ dài EF không đổi. Hỏi cần xây cây cầu cách thành phố B là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB) ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 16 km

    Đặt HE = x_{}và_{}FK = y, với x,\ y > 0

    Ta có: HE + KF = 24 \Rightarrow x + y =24 \Rightarrow y = 24 - x

    \left\{ \begin{matrix}AE = \sqrt{25 + x^{2}} \\BF = \sqrt{49 + y^{2}} = \sqrt{49 + (24 - x)^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Nhận định AB ngắn nhất khi AE + BF nhỏ nhất ( vì EF không đổi).

    Xét hàm số f(x) = \sqrt{x^{2} + 25} +\sqrt{(24 - x)^{2} + 49}

    f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}} +\frac{x - 24}{\sqrt{x^{2} - 48x + 625}},\ \forall x \in(0;24).

    Cho f'(x) = 0 \Rightarrow x =10

    Bảng biến thiên

    Vậy\underset{(0;24)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \}{\min f(x)} = f(10) = 12\sqrt{5}

    Khi đó BF = \sqrt{49 + (24 - 10)^{2}} =7\sqrt{5} \approx 16\ km

  • Câu 10: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Có hai cây cột, một cây cao 12m và một cây cao 28mđứng cách nhau 30m.Chúng được giữ bằng hai sợi dây, gắn vào một cọc duy nhất nối từ mặt đất đến đỉnh mỗi cột. Gọi x là khoảng cách từ cột cao 12m đến cọc.

    Xét tính đúng sai của các nhận định dưới đây:

    a) Để tổng chiều dài của dây ngắn nhất thì x \in (0;30).Đúng||Sai

    b) Chiều dài sợi dây nối từ cọc đến đỉnh cột cao 28m là \sqrt{1684 + x^{2}}. Sai||Đúng

    c) Tổng chiều dài của dây là \sqrt{144 + x^{2}} + \sqrt{1684 - 60x + x^{2}}. Đúng||Sai

    d) Tổng chiều dài ngắn nhất của dây là 48,5m. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Có hai cây cột, một cây cao 12m và một cây cao 28mđứng cách nhau 30m.Chúng được giữ bằng hai sợi dây, gắn vào một cọc duy nhất nối từ mặt đất đến đỉnh mỗi cột. Gọi x là khoảng cách từ cột cao 12m đến cọc.

    Xét tính đúng sai của các nhận định dưới đây:

    a) Để tổng chiều dài của dây ngắn nhất thì x \in (0;30).Đúng||Sai

    b) Chiều dài sợi dây nối từ cọc đến đỉnh cột cao 28m là \sqrt{1684 + x^{2}}. Sai||Đúng

    c) Tổng chiều dài của dây là \sqrt{144 + x^{2}} + \sqrt{1684 - 60x + x^{2}}. Đúng||Sai

    d) Tổng chiều dài ngắn nhất của dây là 48,5m. Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai

    a) Rõ ràng để tổng chiều dài dây ngắn nhất thì cọc phải nằm trong khoảng giữa hai cây cột nên x \in (0;30).

    b) AC = x \Rightarrow BC = 30 - x nên chiều dài sợi dây nối từ cọc đến đỉnh cột cao 28m là:

    \sqrt{28^{2} + (30 - x)^{2}} = \sqrt{1684 - 60x + x^{2}}.

    c) Chiều dài sợi dây nối từ cọc đến đỉnh cột cao 12m là \sqrt{12^{2} + x^{2}} = \sqrt{144 + x^{2}}

    Suy ra tổng chiều dài của sợi dây là \sqrt{144 + x^{2}} + \sqrt{1684 - 60x + x^{2}}.

    d) Xét hàm số f(x) = \sqrt{144 + x^{2}} + \sqrt{1684 - 60x + x^{2}} với x \in \lbrack 0;30\rbrack

    Ta có f'(x) = \frac{x}{\sqrt{144 + x^{2}}} + \frac{x - 30}{\sqrt{1684 - 60x + x^{2}}}

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow x\sqrt{1684 - 60x + x^{2}} = (30 - x)\sqrt{144 + x^{2}}

    \Rightarrow x^{2}\left( 1684 - 60x + x^{2} \right) = (30 - x)^{2}\left( 144 + x^{2} \right)

    \Leftrightarrow 640x^{2} + 8540x - 129600 = 0

    \Leftrightarrow x = 9;x = - \frac{45}{2}

    Do x \in \lbrack 0;30\rbrack nên ta nhận x = 9

    Ta có f(0) \approx 53,04;f(9) = 50;f(30) = 60,31

    Vậy chiều dài ngắn nhất của dây là 50m.

  • Câu 11: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Bác T làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết rằng bác T sử dụng hết 8m^{2} kính. Hỏi dung tích lớn nhất của bế cá bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Bác T làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết rằng bác T sử dụng hết 8m^{2} kính. Hỏi dung tích lớn nhất của bế cá bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

    a) \max_{x\mathbb{\in R}}f(x) = 5. Đúng||Sai

    b) \min_{x\mathbb{\in R}}f(x) = 2. Sai||Đúng

    c) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên \lbrack - 1;1\rbrack là 7. Đúng||Sai

    d) \max_{x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} \right\rbrack}f\left( \sin x \right) = 5. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

    a) \max_{x\mathbb{\in R}}f(x) = 5. Đúng||Sai

    b) \min_{x\mathbb{\in R}}f(x) = 2. Sai||Đúng

    c) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên \lbrack - 1;1\rbrack là 7. Đúng||Sai

    d) \max_{x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} \right\rbrack}f\left( \sin x \right) = 5. Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai

    a) Trên \mathbb{R}, hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5.

    b) Trên \mathbb{R}, hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

    c) Trên \lbrack - 1;1\rbrack, hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5, giá trị nhỏ nhất bằng 2.

    Do đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên \lbrack - 1;1\rbracklà 7

    d) Ta có: \forall x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} \right\rbrack:\ \sin x \in \lbrack 0;1\rbrack\overset{}{\rightarrow}\max_{x \in \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} \right\rbrack}f\left( \sin x \right) = 3.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số f(x) = \sqrt{2x + 14} + \sqrt{5 - x}. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    TXĐ: D = \lbrack - 7;5brack.

    Đạo hàm f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 14}} - \frac{1}{2\sqrt{5 - x}}

    \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \lbrack - 7;5brack

    Ta có \left\{ \begin{matrix} f( - 7) = 2\sqrt{3} \\ f(5) = 2\sqrt{6} \\ f(1) = 6 \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow \min_{\lbrack - 7;5brack}f(x) = f( - 7) = 2\sqrt{3}

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - 3x + e^{m} với m là tham số. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \lbrack 0;2brack bằng 0. Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số đó là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f'(x) = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight. do xét trên \lbrack 0;2brack nên nhận x = 1

    Vì \left\{ \begin{matrix} f(1) = e^{m} - 2 \\ f(0) = e^{m} \\ f(2) = e^{m} + 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 0;2brack}f(x) = e^{m} - 2 = 0 \Leftrightarrow e^{m} = 2

    Từ đó \max_{\lbrack 0;2brack}f(x) = e^{m} + 2 = 4.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Cho hàm số y = \frac{x^{2} - 4x}{2x + 1}. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \lbrack 0;3brack?

    Hướng dẫn:

    Hàm số y = \frac{x^{2} - 4x}{2x + 1} liên tục trên đoạn \lbrack 0;3brack

    Ta có: y' = \frac{2x^{2} + 2x - 4}{(2x + 1)^{2}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix} f(0) = 0 \\ f(1) = - 1 \\ f(3) = - \frac{3}{7} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1) < f(3) < f(0) nên \min_{\lbrack 0;3brack}y = y(1) = - 1.

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính tỉ số giữa a và r

    Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r.

    Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số \frac{a}{r} bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi x (cm) là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn (0 < x < 60) \Rightarrow Chiều dài đoạn còn lại là 60 - x (cm).

    Chu vi đường tròn 2\pi r = x \Rightarrow r = \frac{x}{2\pi} \rightarrow diện tích hình tròn S_{1} = \pi.r^{2} = \frac{x^{2}}{4\pi}

    Diện tích hình vuông cạnh a = \frac{60 - x}{4} là S_{2} = \left( \frac{60 - x}{4} \right)^{2}.

    Tổng diện tích hai hình:

    S = S_{1} + S_{2} = \frac{x^{2}}{4\pi} + \left( \frac{60 - x}{4} \right)^{2} = \frac{(4 + \pi).x^{2} - 120\pi x + 3\ \ 600\pi}{16\pi} .

    Đạo hàm S' = \frac{(4 + \pi).x - 60\pi}{8\pi};\ \ \ S' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{60\pi}{4 + \pi};\ \ \ S'' = \frac{4 + \pi}{8\pi} > 0.

    Suy ra hàm S chỉ có một điểm cực tiểu là x = \frac{60\pi}{4 + \pi}.

    Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại x = \frac{60\pi}{4 + \pi}.

    Với x = \frac{60\pi}{4 + \pi} \Rightarrow r = \frac{30}{4 + \pi} và a = \frac{60}{4 + \pi} \Rightarrow \frac{a}{r} = 2.

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tìm số phần tử của tập hợp S

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - 3x^{2} + m^{2} - 2m với m là tham số. Gọi S tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn 3\max_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) + 2\min_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) \leq 112. Số phần tử của tập hợp S bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f\left( |x| ight) = f\left( | - x| ight);\forall x\mathbb{\in R}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) = \max_{0;3}f(x) \\ \min_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) = \min_{\lbrack 0;3brack}f(x) \\ \end{matrix} ight.

    Đạo hàm f'(x) = 3x^{2} - 6x = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow f(0) = m^{2} - 2m \\ x = 2 \Rightarrow f(2) = m^{2} - 2m - 4 \\ \end{matrix} ight. và f(3) = m^{2} - 2m

    Suy ra 3\max_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) + 2\min_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) \leq 112

    \Leftrightarrow 3\left( m^{2} - 2m ight) + 2\left( m^{2} - 2m - 4 ight) \leq 112

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m - 24 \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 6

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3;...;5;6 ight\}

    Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của tham số m.

  • Câu 18: Vận dụng
    Định giá trị m thỏa mãn bất phương trình

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và thỏa mãn f(x) > f'(x) + 1;\forall x\mathbb{\in R}. Bất phương trình f(x) < me^{x} + 1 nghiệm đúng với mọi x \in (0; + \infty) khi và chỉ khi

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f(x) < me^{x} + 1 \Leftrightarrow f(x) - 1 < me^{x}

    \Leftrightarrow \frac{f(x) - 1}{e^{x}} < m.

    Xét hàm số g(x) = \frac{f(x) - 1}{e^{x}} có

    g'(x) = \frac{f'(x) - \left\lbrack f(x) - 1 ightbrack}{e^{x}} < 0;\forall x \in (0; + \infty)

    Bảng biến thiên

    Vậy bất phương trình f(x) < me^{x} + 1 nghiệm đúng với mọi x \in (0; + \infty) khi và chỉ khi m \geq f(0) - 1.

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Xét tính đúng sai của các nhậnđịnh

    Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước 3m \times 8m. Người ta cắt mỗi góc của tấm bìa một hình vuông có cạnh là x để tạo ra hình hộp chữ nhật không nắp. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

    a) Điều kiện của x là 0 < x < \frac{3}{2}. Đúng||Sai

    b) Diện tích mặt đáy của chiếc hộp là (8 - 2x)(3 - 2x). Đúng||Sai

    c) Thể tích của chiếc hộp là (8 - 2x)^{2}(3 - 2x). Sai||Đúng

    d) Với x = \frac{2}{3}(m) thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước 3m \times 8m. Người ta cắt mỗi góc của tấm bìa một hình vuông có cạnh là x để tạo ra hình hộp chữ nhật không nắp. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

    a) Điều kiện của x là 0 < x < \frac{3}{2}. Đúng||Sai

    b) Diện tích mặt đáy của chiếc hộp là (8 - 2x)(3 - 2x). Đúng||Sai

    c) Thể tích của chiếc hộp là (8 - 2x)^{2}(3 - 2x). Sai||Đúng

    d) Với x = \frac{2}{3}(m) thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Ta có chiều dài, chiều rộng, chiều cao của chiếc hộp lần lượt là 8 - 2x;3 - 2x;\ x.

    Suy ra điều kiện của x là 0 < x < \frac{3}{2}. Vậy a) Đúng.

    b) Đáy của chiếc hộp là hình chữ nhật có diện tích là S = (8 - 2x)(3 - 2x). Vậy b) Đúng.

    c) Thể tích của chiếc hộp là: V = x(8 - 2x)(3 - 2x). Vậy c) Sai.

    d) Xét hàm số: V(x) = x(3 - 2x)(8 - 2x) = 4x^{3} - 22x^{2} + 24x trên \left( 0;\frac{3}{2} \right).

    Ta có: V'(x) = 12x^{2} - 44x + 24 = 4\left( 3x^{2} - 11x + 6 \right).

    Khi đó: V'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ x = \frac{2}{3} \end{matrix} \right..

    Bảng biến thiên:

    Từ BBT ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \left( 0;\frac{3}{2} \right) khi x = \frac{2}{3}. Vậy d) Đúng

  • Câu 20: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Mệnh đề nào sau đây là đúng về hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 5}}trên tập xác định của nó.

    Hướng dẫn:

    Tập xác định: D\mathbb{= R}.

    y' = \dfrac{\sqrt{x^{2} + 5} - (x + 1)\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 5}}}{x^{2} + 5}

    = \frac{x^{2} + 5 - x^{2} - x}{\sqrt{x^{2} + 5}\left( x^{2} + 5 ight)} = \frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} + 5}\left( x^{2} + 5 ight)}.

    y' = 0 \Leftrightarrow \frac{5 - x}{\sqrt{x^{2} + 5}\left( x^{2} + 5 ight)} = 0

    \Leftrightarrow 5 - x = 0 \Leftrightarrow x = 5

    Bảng biến thiên:

    Từ bảng biến thiên có \max_{\mathbb{R}}y = y(5) = \frac{\sqrt{30}}{5} khi x = 5.

    Hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 5}} không có giá trị nhỏ nhất.

    Vậy hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (35%):
    2/3
  • Thông hiểu (40%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
43 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này