Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1 Nguyên Hàm CTST (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hai hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \lbrack 1;2brack thỏa mãn f(1) = 4 và f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}. Giá trị f(2) bằng:

    Hướng dẫn:

    Chọn f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

    f(x) = xf'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}

    \Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d = x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix} a = 3a - 2 \\ b = 2b - 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow f(2) = 20

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho a;b là các số hữu tỉ thỏa mãn \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} = a(x + 2)\sqrt{x + 2} + b(x + 1)\sqrt{x + 1} + C. Tính giá trị biểu thức H = 3a + b?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} =}\int_{}^{}{\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}}{x + 2 - x + 1}dx}

    = \int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1} ight)dx}

    \Rightarrow I = \frac{2}{3}(x + 2)\sqrt{x + 2} - \frac{2}{3}(x + 1)\sqrt{x + 1} + C

    \Rightarrow a = \frac{2}{3};b = - \frac{2}{3} \Rightarrow H = \frac{4}{3}

  • Câu 3: Vận dụng
    Viết phương trình tiếp tuyến

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x) - f(x) = e^{x} và f(0) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y(x) = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f'(x) - f(x) = e^{x}. Nhân cả hai vế với e^{- x} ta được:

    e^{- x}f'(x) - e^{- x}.f(x) = 1

    \Leftrightarrow \left( e^{- x}.f(x) ight)' = 1

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \Leftrightarrow \int_{}^{}{\left( e^{- x}.f(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow e^{- x}.f(x) = x + C

    f(0) = 2 \Rightarrow f(0) = 0 + C \Leftrightarrow C = 2

    Suy ra e^{- x}.f(x) = x + 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x + 2}{e^{- x}} = (x + 2)e^{x}

    \Rightarrow f'(x) = (x + 3)e^{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm (x + 2)e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2

    Ta có: f'( - 2) = ( - 2 + 3)e^{- 2} = e^{- 2};f( - 2) = 0

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là: y = e^{- 2}(x + 2)

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên \left( {0; + \infty } ight) và thỏa mãn f(1) = 1, f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: f\left( x ight) > 0 và f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}

    => \frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}

    => \int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C

    Mà f(1) = 1 => C = - \frac{4}{3} và f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79

  • Câu 5: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(1) = 3 và x\left\lbrack 4 - f'(x) ightbrack = f(x) - 1 với mọi x > 0. Tính f(2)?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x\left\lbrack 4 - f'(x) ightbrack = f(x) - 1

    \Leftrightarrow f(x) + xf'(x) = 4x + 1

    \Leftrightarrow \left( xf(x) ight)' = 4x + 1

    \Leftrightarrow xf(x) = \int_{}^{}{\left( xf(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{(4x + 1)dx}

    \Leftrightarrow \int_{}^{}{(4x + 1)dx} = 2x^{2} + x + C

    Với x = 1 \Rightarrow 1.f(1) = 3 + C \Leftrightarrow 3 = 3 + C \Rightarrow C = 0

    Do đó xf(x) = 2x^{2} + x

    Vậy 2f(2) = 2.2^{2} + 2 \Rightarrow f(2) = 5

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm tập nghiệm của phương trình

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{e^{x} + 3} thỏa mãn F(0) = - \frac{1}{3}ln4. Tổng các nghiệm của phương trình 3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{e^{x} + 3} ight)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx}

    Đặt t = e^{x} \Rightarrow dt = e^{x}dx

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx} = \int_{}^{}{\frac{t}{t(t + 3)}dt}

    = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{1}{3t} - \frac{1}{3(t + 3)} ightbrack dt} = \frac{\ln|t|}{3} - \frac{\ln|t + 3|}{3} + C

    = \frac{\ln e^{x}}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C

    Theo bài ra ta có:

    F(0) = - \frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow \frac{x}{3} -\frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = -\frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow C = 0

    Ta có:

    3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2

    \Leftrightarrow 3\left( \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} ight) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2

    \Leftrightarrow x = 2

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Một nguyên hàm của f(x) = \frac{x}{sin^{2}x} là :

    Hướng dẫn:

    Ta có: I =\int_{}^{}{\frac{x}{sin^2x}dx}

    Đặt: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{sin^{2}x}dx \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cot x \\ \end{matrix} \right.

    Khi đó: I = uv - \int_{}^{}{vdu} = -x\cot x + \int_{}^{}{\cot xdx}= - x\cot x + \ln\left| \sin x \right| +C

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \dfrac{x}{(1+ x)^{5}} là

    Hướng dẫn:

    Đặt u = x + 1 thì u' = 1.

    Khi đó

    \int_{}^{}{\frac{x}{(1 + x)^{5}}dx = \int_{}^{}{\frac{u - 1}{u^{5}}du}}

    = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{u} - \frac{1}{u^{5}} ight)du = \int_{}^{}{u^{- 4}du - \int_{}^{}{u^{- 5}du}}}

    = - \frac{1}{3}.\frac{1}{u^{3}} + \frac{1}{4}.\frac{1}{u^{4}} + C.

    Thay u = x + 1 ta được \int_{}^{}{\frac{x}{(x + 1)^{5}}dx = \frac{1}{4(x + 1)^{4}} - \frac{1}{3(x + 1)^{3}} + C}

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x} trên khoảng (0;\pi). Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\dfrac{2\cos x - 1}{\sin^{2}x}dx} =\int_{}^{}{\dfrac{2\cos x}{\sin^{2}x}dx} -\int_{}^{}{\dfrac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = \int_{}^{}\frac{2d\left( \sin xight)}{\sin^{2}x} - \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx} = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C

    Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x} trên khoảng (0;\pi) nên hàm số F(x) có công thức dạng F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C với mọi x \in (0;\pi)

    Xét hàm số F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C xác định và liên tục trên (0;\pi)

    Ta có: F'(x) = f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}

    \Rightarrow F'(x) = 0\Leftrightarrow \frac{2\cos x - 1}{\sin^{2}x} = 0

    \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Trên khoảng (0;\pi) phương trình F'(x) = 0 có một nghiệm x = \frac{\pi}{3}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    \underset{(0;\pi)}{\max F(x)} = F\left( \frac{\pi}{3} ight) = - \sqrt{3} + C. Theo bài ra ta có: - \sqrt{3} + C = \sqrt{3} \Rightarrow C = 2\sqrt{3}

    Do đó F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2\sqrt{3} suy ra F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4.

  • Câu 10: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Biết xe^{x} là một nguyên hàm của hàm số f( - x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f'(x)e^{x} thỏa mãn F(0) = 1. Giá trị của F( - 1) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f( - x) = \left( xe^{x} ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Do đó f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{- ( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Nên f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 - x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)

    \Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x - 2)e^{x} = x - 2

    Vậy F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C

    Từ đó F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C = C + 2

    F(0) = 1 \Rightarrow C = - 1

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 \Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 = \frac{7}{2}

  • Câu 11: Thông hiểu
    Hàm số F(x) = 2sinx - 3cosx là một nguyên hàm của hàm số

    Hàm số F\left( x ight) = 2\sin x - 3\cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Gợi ý:

     \int {\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]dx} = \int {f\left( x ight)dx} + \int {g\left( x ight)dx}

    \int {\sin xudu = - \cos u + C}

    \int {\cos udu = \sin u + C}

    Hướng dẫn:

     F'\left( x ight) = f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x

  • Câu 12: Vận dụng
    Xác định nguyên hàm I

    Nguyên hàm của I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx là:

    Hướng dẫn:

    Ta đặt:

    \left\{ \begin{matrix}u = x \\du = \sin xcos^{2}x \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\u = - cos^{3}xdx \\\end{matrix} \right..

    \Rightarrow I = \int_{}^{}{x\sin xcos^{2}x}dx = - xcos^{3}x + \underset{I_{1}}{\overset{\int_{}^{}{cos^{3}xdx}}{︸}} + C_{1}.

    Xét I_{1} = \int_{}^{}{cos^{3}x}dx = \int_{}^{}{\cos x\left( 1 - sin^{2}x \right)dx}.

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx.

    \Rightarrow I_{1} = \int_{}^{}{\left( 1 - t^{2} \right)dt = t - \frac{1}{3}t^{3} + C_{2}}.

    \Rightarrow I = - xcos^{3}x + I_{1} = - xcos^{3}x + t - \frac{1}{3}t^{3} + C.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tìm tập nghiệm S của phương trình

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{{e^x} + 3}} thỏa mãn F\left( 0 ight) = - \frac{{ - 1}}{3}\ln 4. Tìm tập nghiệm S của phương trình 3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2

    Hướng dẫn:

    F\left( x ight) = \int {\frac{1}{{{e^x} + 3}}dx} = \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx}

     Đặt t = {e^x} \Rightarrow dt = {e^x}dx

    \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{t\left( {t + 3} ight)}}dt}

    = \int {\left( {\frac{1}{{3t}} - \frac{1}{{3\left( {t + 3} ight)}}} ight)dt = \frac{{\ln |t|}}{3} - \frac{{\ln |t + 3|}}{3} + C}

    = \frac{{\ln \left( {{e^x}} ight)}}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C

    F\left( 0 ight) = - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow - \frac{{\ln 4}}{3} + C = - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow C = 0

    Ta có:

    \begin{matrix} 3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 3\left[ {\dfrac{x}{3} - \dfrac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3}} ight] + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Thông hiểu
    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Cho F(x) = (x - 1)e^{x} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x} nên

    F'(x) = f(x)e^{2x} \Leftrightarrow \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = f(x)e^{2x}

    Hay f(x)e^{2x} = e^{x} + (x - 1)e^{x} = xe^{x}

    Xét I = \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}}dx, đặt \left\{ \begin{matrix} u = e^{2x} \\ dv = f'(x)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = 2e^{2x}dx \\ v = f(x) \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó

    I = f(x)e^{2x} - \int_{}^{}{2f(x)e^{2x}}dx

    = xe^{x} - 2(x - 1)e^{x} + C = (2 - x)e^{x} + C

  • Câu 15: Vận dụng
    Xác định nguyên hàm I

    Theo phương pháp đổi biến số với t = \cos x,u = \sin x, nguyên hàm của I = \int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:\int_{}^{}{\left( \tan x + \cot x \right)dx} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx + \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}}.

    Xét I_{1} = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx}.

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx \Rightarrow I_{1} = - \int_{}^{}{\frac{1}{t}dt = - \ln|t|} + C_{1}.

    Xét I_{2} = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx}.

    Đặt u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx \Rightarrow I_{2} = \int_{}^{}{\frac{1}{u}du} = \ln|u| + C_{2}.

    \Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = - \ln|t| + \ln|u| + C

  • Câu 16: Vận dụng
    Viết phương trình tiếp tuyến

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0 ight\} thỏa mãn f(x) + xf'(x) = 3x^{2} và f(2) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) + xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow (x)'f(x) + xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow \left( xf'(x) ight)' = 3x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{\left( xf'(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{3x^{2}dx} \Leftrightarrow xf(x) = x^{3} + C

    Lại có f(2) = 8 \Rightarrow 2f(2) = 8 + C \Leftrightarrow 2.8 = C + 8 \Leftrightarrow C = 8

    Từ đó suy ra xf(x) = x^{3} + 8 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x^{3} + 8}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x^{3} + 8}{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2

    Ta có: f'(x) = \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}} \Rightarrow f'( - 2) = - 6;f( - 2) = 0

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là

    y = f'( - 2)(x + 2) + f( - 2)

    \Leftrightarrow y = - 6(x + 2) \Rightarrow y = - 6x - 12

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Cho F\left( x ight) = \left( {x - 1} ight).{e^x} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'\left( x ight).{e^{2x}}

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}} nên:

    \begin{matrix} F'\left( x ight) = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {x - 1} ight).{e^x}} ight]' = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hay f\left( x ight).{e^{2x}} = {e^x} + \left( {x - 1} ight).{e^x} = x.{e^x}

    Xét I = \int {f'\left( x ight).{e^{2x}}dx}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = {e^{2x}}} \\ {dv = f'\left( x ight)dx} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = 2{e^{2x}}dx} \\ {v = f\left( x ight)} \end{array}} ight.

    Khi đó

    I = f\left( x ight).{e^{2x}} - \int {2f\left( x ight).{e^{2x}}dx} = x.{e^x} - 2\left( {x - 1} ight){e^x} + C = \left( {2 - x} ight).{e^x} + C

     

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Với phương pháp đổi biến số (x \rightarrow t), nguyên hàm I = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2x + 3}}dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta biến đổi: I = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{4 - (x - 1)^{2}}}dx}.

    Đặt x - 1 = 2sint,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right\rbrack \Rightarrow dx = 2costdt.

    \Rightarrow I = \int_{}^{}{dt = t + C}.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ {\left( {2x + 1} ight)^3}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. và F(4) + F( - 1) = 8. Giá trị biểu thức Q = F( - 2) + F(12) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx} = \left\{ \begin{gathered} \sqrt {2x + 1} + {C_1}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^4}}}{8}{\text{ + }}{{\text{C}}_2}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    F(4) + F( - 1) = 8\Rightarrow \sqrt{8 +1} + C_{1} + \frac{( - 2 + 1)^{4}}{8} + C_{2} = 8\Rightarrow C_{1} +C_{2} = \frac{39}{8}(*)

    Do đó: Q = F( - 2) + F(12) = \sqrt{2.12 + 1} + \frac{( - 4 + 1)^{4}}{8} + C_{1} + C_{2} = 20

  • Câu 20: Vận dụng
    Xác định hàm số

    Cho F(x) = \ln\left( \ln\left( \ln x \right) \right). Hỏi F(x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Để tìm F(x) là nguyên hàm của hàm số nào trong số 4 hàm số trên, ta sẽ đi đạo hàm F(x) từ đó suy ra f(x).

    Ta có

    F'(x) = \left\lbrack \ln\left( \ln\left( \ln x ight) ight) ightbrack'

    = \frac{1}{\ln\left( \ln x ight)}.\left\lbrack \ln\left( \ln x ight) ightbrack' = \frac{1}{\ln\left( \ln x ight)}.\frac{1}{\ln x}\left( \ln x ight)'

    = \frac{1}{\ln\left( \ln x ight)}.\frac{1}{\ln x}.\frac{1}{x} = \frac{1}{x.\ln x.\ln\left( \ln x ight)} = f(x).

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (70%):
    2/3
  • Vận dụng (10%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
19 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm