Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Vectơ và các phép toán trong không gian (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Cho tam giác ABC có ba góc đều là góc nhọn. Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, Hlà chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC thỏa mãn: \overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}. Điểm I đi động trên BC sao cho \overrightarrow{BI} =\frac{m}{n}\overrightarrow{BC}(Trong đó \frac{m}{n} là phân số tối giản, m,\ n\mathbb{\in Z},\ n eq 0). Tính giá trị biểu thức Q = m + n khi độ dài véc tơ \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Đáp án: 9

    Đáp án là:

    Cho tam giác ABC có ba góc đều là góc nhọn. Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, Hlà chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC thỏa mãn: \overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}. Điểm I đi động trên BC sao cho \overrightarrow{BI} =\frac{m}{n}\overrightarrow{BC}(Trong đó \frac{m}{n} là phân số tối giản, m,\ n\mathbb{\in Z},\ n eq 0). Tính giá trị biểu thức Q = m + n khi độ dài véc tơ \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Đáp án: 9

    Hình vẽ minh họa

    Gọi Plà trung điểm của AC, E là điểm đối xứng của P qua G.

    Khi đó tứ giác AGCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên AGCE là hình bình hành.

    \Rightarrow \overrightarrow{GC} =\overrightarrow{AE}.

    + Dựng EF\bot BC\ \ (F \inBC).

    Ta có: \left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} ight| = \left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{AE} ight| = \left| \overrightarrow{IE} ight| = IE\geq EF.

    Do đó \left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} ight| nhỏ nhất khi I \equiv F.

    + Ta có: \overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{HC} =\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}.

    + Gọi Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC (Q \inBC).

    Ta có:

    \frac{BP}{BE} = \frac{3GP}{BP + PE} =\frac{3GP}{3GP + GP} = \frac{3}{4}.

    + Do PQ // EF(vì cùng vuông góc với BC).

    Nên \Delta BPQ và \Delta BEF đồng dạng

    \Rightarrow \frac{BQ}{BF} = \frac{BP}{BE}= \frac{3}{4} \Rightarrow\overrightarrow{BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{BQ}.

    + \Delta AHC có P là trung điểm AC và PQ // AH (do cùng vuông góc với BC).

    \Rightarrow PQ là đường trung bình.

    Khi đó, Q là trung điểm HC hay \overrightarrow{HQ} =\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} =\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}.

    \overrightarrow{BF} =\frac{4}{3}\overrightarrow{BQ} = \frac{4}{3}(\overrightarrow{BH} +\overrightarrow{HQ}) = \frac{4}{3}(\frac{1}{5}\overrightarrow{BC} +\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}) =\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}

    Vậy M = 4 + 5 = 9.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tính tỉ số hai cạnh

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định vị trí các điểm M,N lần lượt trên AC và DC' sao cho MN//BD'. Tính tỉ số \frac{MN}{BD'} bằng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{c}.

    Giả sử \overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DN} = y\overrightarrow{DC'}.

    Dễ dàng có các biểu diễn \overrightarrow{BM} = (1 - x)\overrightarrow{a} + x\overrightarrow{b} và \overrightarrow{BN} = (1 - y)\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}.

    Từ đó suy ra \overrightarrow{MN} = (x - y)\overrightarrow{a} + (1 - x)\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}\ \ (1)

    Để MN//BD' thì \overrightarrow{MN} = z\overrightarrow{BD'} = z\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) ta có: (x - y)\overrightarrow{a} + (1 - x)\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}\ \ = z\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)

    \Leftrightarrow (x - y - z)\overrightarrow{a} + (1 - x - z)\overrightarrow{b} + (y - z)\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - y - z = 0 \\ 1 - x - z = 0 \\ y - z = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{2}{3} \\ y = \frac{1}{3} \\ z = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right..

    Vậy các điểm M,N được xác định bởi \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DC'}.

    Ta cũng có \overrightarrow{MN} = z\overrightarrow{BD'} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD'} \Rightarrow \frac{MN}{BD'} = \frac{1}{3}.

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho tam giác ABC vuông tại A và có hai đỉnh B;C nằm trên mặt phẳng (P). Gọi A' là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên (P). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì

    \overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A}.\overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C}

    = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} ight)

    = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'A} = - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA'} < 0 suy ra góc \widehat{BA'C} là góc tù.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tìm khẳng định sai

    Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M,Nsao cho AM = 3MD, BN = 3NC. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    «Các vectơ \overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN} đồng phẳng” . Sai vì

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BN} \hfill \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \overrightarrow {3MN} = \overrightarrow {3MD} + 3\overrightarrow {DB} + 3\overrightarrow {BN} \hfill \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {BD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \mathbf{\Rightarrow} \overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN} không đồng phẳng.

    « Các vectơ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ} đồng phẳng’. Đúng vì \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QN} \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \end{gathered} \right.

    \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} } \right)

    \mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}: đồng phẳng.

    “Các vectơ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ} đồng phẳng”. Đúng. Bằng cách biểu diễn \overrightarrow{PQ} tương tự như trên ta có \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} \right).

    « Các vectơ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{MN} đồng phẳng”. Đúng. Ta có \overrightarrow{MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{DC}.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tìm giá trị của k

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: \overrightarrow{MN} = k\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \right)

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left. \ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} \\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} \\ \end{matrix} \right\}

    \Rightarrow 2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{DN} +\overrightarrow{CN}

    Mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên

    \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BM} = - \overrightarrow{MB};\ \ \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{NC} = - \overrightarrow{CN}

    Do đó 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \right).

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính giá trị của k

    Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (\alpha) cắt các tia SA,SB,SC,SG( G là trọng tâm tam giác ABC) lần lượt tại các điểm A',B',C',G'.Ta có \frac{SA}{SA'} + \frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = k\frac{SG}{SG'}. Hỏi k bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Do G là trọng tâm của \Delta ABC nên \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    \Rightarrow3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} +\overrightarrow{SC}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 3\frac{SG}{SG'}\overrightarrow{SG'} = \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} \\ + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'} \\ \end{matrix}

    Mặt khác A',B',C',G' đồng phẳng nên

    \frac{SA}{SA'} + \frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3\frac{SG}{SG'}.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tìm cosin góc giữa hai đường thẳng

    Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm cạnh BC. Khi đó \cos(AB;DM) bằng:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử cạnh tứ diện bằng a

    Tam giác BCD đều suy ra DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    Tam giác ABC đều suy ra AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    Ta có: \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{DM} ight|} =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}

    Mặt khác \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}

    = \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AM} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} ight) - \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight)

    = a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{4}

    \Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = \frac{\sqrt{3}}{6} > 0

    \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = (AB;DM)

    \Rightarrow \cos(AB;DM) = \frac{\sqrt{3}}{6}

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Chọn khẳng định đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    + \ M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,\ \ AA_{1},DD_{1},CD.

    Ta có CD_{1}//(MNPQ);\ \ AD//(MNPQ);\ \ A_{1}C//(MNPQ)

    \Rightarrow \overrightarrow{CD_{1}},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A_{1}C} đồng phẳng.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight|?

    Hướng dẫn:

    Vì các vectơ \frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{AC}}{AC};\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên

    \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight)^{2} = 3 \Leftrightarrow T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight| = \sqrt{3}

  • Câu 10: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{u},\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{v}, \overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{x}, \overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{y}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta phân tích:

    \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} =\overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{CA'}= \left(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'} \right) + \left(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AA'} \right) =2\overrightarrow{AA'}.

    \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} =\overrightarrow{BD'} + \overrightarrow{DB'}= \left(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DD'} \right) + \left(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BB'} \right) =2\overrightarrow{BB'} = 2\overrightarrow{AA'}.

    \Rightarrow \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = 4\overrightarrow{AA'} = - 4\overrightarrow{A'A} = - 4.2\overrightarrow{OI}.

    \Rightarrow 2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} \right).

  • Câu 11: Thông hiểu
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = AE = 2,AD = 3 và đặt \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}. Lấy điểm M thỏa \overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} và điểm N thỏa \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC}. (Quan sát hình vẽ).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \overrightarrow{MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b} Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight) Sai||Đúng

    c) \left( m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} = m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} + p^{2}\overrightarrow{c^{2}}, với m;n;p là các số thực. Đúng||Sai

    d) MN = \frac{\sqrt{61}}{5}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = AE = 2,AD = 3 và đặt \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}. Lấy điểm M thỏa \overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} và điểm N thỏa \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC}. (Quan sát hình vẽ).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \overrightarrow{MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b} Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight) Sai||Đúng

    c) \left( m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} = m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} + p^{2}\overrightarrow{c^{2}}, với m;n;p là các số thực. Đúng||Sai

    d) MN = \frac{\sqrt{61}}{5}. Đúng||Sai

    a) Đúng: Ta có

    \overrightarrow{MA} = - \overrightarrow{AM} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}

    b) Sai:

    \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{EA}) = \frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})

    c) Đúng:

    (m.\overrightarrow{a} +n.\overrightarrow{b} + p.\overrightarrow{c})^{2} =m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2}+p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2} +2mn.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+2np\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} +2mp.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}= m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2} + p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2}

    (vì \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đôi một vuông góc nên \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0).

    Ta có

    \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EN}

    = -\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} +\frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c})

    = \frac{2}{5}\overrightarrow{a} +\frac{1}{5}\overrightarrow{b} +\frac{3}{5}\overrightarrow{c}.

    d) Đúng:

    MN^{2} = {\overrightarrow{MN}}^{2} = \left( \frac{2}{5}\overrightarrow{a} + \frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{3}{5}\overrightarrow{c} ight)^{2}

    = \frac{4}{25}{\overrightarrow{a}}^{2} +\frac{1}{25}{\overrightarrow{b}}^{2} +\frac{9}{25}{\overrightarrow{c}}^{2}= \frac{4}{25}.4 + \frac{1}{25}.9 +\frac{9}{25}.4 = \frac{61}{25}

    Suy ra MN = \frac{\sqrt{61}}{5}.

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn khẳng định sai

    Cho ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\overrightarrow{,c} không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Các vectơ \overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z} đồng phẳng\Leftrightarrow \exists m,n:\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}

    Mà : \overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{a} -2\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}= m\left( 3\overrightarrow{a}- 3\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} \right) + n\left(2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{c}\right)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m + 2n = 1 \\ - 3m - 3n = - 2 \\ 2m - 3n = 4 \\ \end{matrix} \right. (hệ vô nghiệm)

    Vậy không tồn tại hai số m,n:\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}

  • Câu 13: Vận dụng
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

     

    a) Sai

     

    Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD

    Suy ra hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

    b) Sai

    Ta có ABCD là hình chữ nhật nên AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}

    Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

    Suy ra \tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    Ta có: \left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    c) Đúng

    Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

    Suy ra SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{5}

    Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

    AM = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Lại có M là trung điểm của SB nên MB = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Ta tính được \cos MAB = \frac{MA^{2} + AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    Mà \left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{MAB}

    \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}

    d) Sai

    Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

    Do đó MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Suy ra \left| \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{a\sqrt{5}}{2}

  • Câu 14: Thông hiểu
    Chọn đẳng thức đúng

    Cho tứ diện ABCD. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{c}, gọi G là trọng tâm của tam giácBCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm BC.

    \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG}

    = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight)

    \ \ \ \ \ \ \ \ = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)

    = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\left( - 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight) = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight).

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tìm điều kiện cần và đủ để tạo thành hình bình hành

    Trong không gian cho điểm O và bốn điểmA,B,C,D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A,B,C,D tạo thành hình bình hành là:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tìm k để các điểm đồng phẳng

    Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc AB,BC,CD,DA sao cho \overrightarrow{AM} =\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BN} =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AQ} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DP} =k\overrightarrow{DC}. Hãy xác định k để M,N,P,Q đồng phẳng.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Cách 1.

    Ta có \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{BA}

    \Rightarrow \overrightarrow{BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BA}.

    Lại có \overrightarrow{BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} do đó MN//AC.

    Vậy nếu M,N,P,Q đồng phẳng thì (MNPQ) \cap (ACD) = PQ \parallel AC

    \Rightarrow \frac{PC}{PD} = \frac{QA}{QD} = 1 hay \overrightarrow{DP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} \Rightarrow k = \frac{1}{2}.

    Cách 2. Đặt \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{c} thì không khó khăn ta có các biểu diễn

    \overrightarrow{MN} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}, \overrightarrow{MP} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c}, \overrightarrow{MN} = - \frac{1}{6}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b}

    Các điểm M,N,P,Q đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MQ} đồng phẳng \Leftrightarrow \exists x,y:\overrightarrow{MP} = x\overrightarrow{MN} + y\overrightarrow{MQ}

    \Leftrightarrow - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c} = x\left( - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{c} \right) + y\left( - \frac{1}{6}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} \right)

    Do các vec tơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b,}\overrightarrow{c} không đồng phẳng nên điều này tương đương với

    \left\{ \begin{matrix} - \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}y = - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3}y = - \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3}x = k \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \frac{3}{4},y = 1,k = \frac{1}{2}.

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tìm điều kiện của các hệ số a; b; c

    Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A';B';C' lần lượt thuộc các tia SA;SB;SC sao cho \frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c trong đó a;b;c là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó 3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0} mà \overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}

    Suy ra 3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}

    Vì mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'} đồng phẳng.

    Do đó tồn tại ba số l;m;n sao cho l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0) và l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}s

    \Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}

    Suy ra \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1

    \Rightarrow a + b + c = 3

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn đẳng thức đúng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (\alpha) cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại A',B',C',D'.Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO}

    \Leftrightarrow \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SC'} = \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'}

    Do A',B',C',D' đồng phẳng nên đẳng thức trên \Leftrightarrow \frac{SA}{SA'} + \frac{SC}{SC'} = \frac{SB}{SB'} + \frac{SD}{SD'}.

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc 80^{0} và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc 60^{0} và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 124 N

    Đáp án là:

    Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc 80^{0} và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc 60^{0} và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 124 N

    Gọi hai lực tạo với nhau một góc 80^{\circ} là \overrightarrow{F_{1}} và \overrightarrow{F_{2}}, ta có \left| \overrightarrow{F_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = 50N.

    Lực còn lại là \overrightarrow{F_{3}}, ta có \left| \overrightarrow{F_{3}} ight| = 60N.

    Gọi \overrightarrow{F} là hợp lực của ba lực trên ta có

    \left| \overrightarrow{F} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} ight)^{2}

    = \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{2}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|^{2} + 2\lbrack\left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} ight)

    + \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{3}} ight) + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{3}},\overrightarrow{F_{2}} ight)brack

    = 50^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 2\lbrack 50.50.cos80^{0}+ 50.60.cos60^{0} + 60.50.cos60^{0}brack \approx 15468.

    \Rightarrow |F| \approx 124 N

  • Câu 20: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Theo định luật II Newton: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: \overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}, trong đó \overrightarrow{a} là vectơ gia tốc \left( m/s^{2} \right), \overrightarrow{F} là vectơ lực (N)tác dụng lên vật, m(kg) là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5\ kg một gia tốc 20\ \ m/s^{2} thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

    A football ball on a fieldDescription automatically generated

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a} \Rightarrow \left| \overrightarrow{F} \right| = m\left| \overrightarrow{a} \right| = 0,5.20 = 10(N).

    Vậy muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5\ kg một gia tốc 20\ \ m/s^{2} thì cần một lực đá có độ lớn là 10(N).

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại

Đấu trường Toán 12 Vectơ và các phép toán trong không gian (Mức Khó)

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung
1
18 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này