Cho , góc giữa
bằng
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Ta có:
Khi đó:
Vậy khẳng định sai là .
Cho , góc giữa
bằng
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Ta có:
Khi đó:
Vậy khẳng định sai là .
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
và
là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của các cạnh
nên ta có:
.
Mặt khác (vì I là trung điểm của MN) suy ra
Theo bài ra ta có:
Cho tứ diện . Trên các cạnh
và
lần lượt lấy
sao cho
,
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Hình vẽ minh họa

«Các vectơ đồng phẳng” . Sai vì
không đồng phẳng.
« Các vectơ đồng phẳng’. Đúng vì
: đồng phẳng.
“Các vectơ đồng phẳng”. Đúng. Bằng cách biểu diễn
tương tự như trên ta có
« Các vectơ đồng phẳng”. Đúng. Ta có
.
Cho hình lập phương có cạnh
. Gọi
là trung điểm của
. Tính tích vô hướng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có: hay
Do đó
Cho hình hộp đứng , trong đó mặt đáy là hình bình hành với
. Biết độ dài các cạnh
và
. Tính
.

Theo quy tắc hình hộp, ta có ,
Vậy
Với
Trong đó:
Do tổng hai góc kề của một hình bình hành là nên ta có góc
Áp dụng định lý cosin trong tam giác , ta có:
.
Vậy .
Cho tứ diện . Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
,
là trung điểm của
). Xác định vị trí của
để
nhỏ nhất.
Hình vẽ minh họa

Ta có nên
nhỏ nhất khi
.
Cho hình chóp có
. Một mặt phẳng
luôn đi qua trọng tâm của tam giác
, cắt các cạnh
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Gọi là trọng tâm của tam giác
. Ta có
.
Mà đồng phẳng nên
Theo BĐT Cauchy schwarz:
Ta có
.
Đẳng thức xảy ra khi
kết hợp với
ta được;
.
Vậy GTNN của là
.
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ
lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Cho tứ diện đều với
là trung điểm của
. góc giữa hai đường thẳng
có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa
Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Tương tự
Ta có:
Do đó
Mà nên
Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc
và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 124 N
Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc
và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc
và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 124 N
Gọi hai lực tạo với nhau một góc là
và
, ta có
N.
Lực còn lại là , ta có
N.
Gọi là hợp lực của ba lực trên ta có
.
N
Cho hình chóp có
,
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và các trung điểm của
. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
.
Hinh vẽ minh họa

Gọi lần lượt là trung điểm của
. Thiết diện là tam giác
.
Theo bài tập 5 thì
Ta có
.
Tính tương tự, ta có
.
Vậy
.
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc.
là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Đặt . Khi đó
với
là ba số có tổng bằng 1.
Ta có:
Tương tự ta được
Do đó
Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa
Do đó
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.
Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.
Cho hình chóp , mặt phẳng
cắt các tia
(
là trọng tâm tam giác
) lần lượt tại các điểm
.Ta có
. Hỏi k bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa

Do là trọng tâm của
nên
Mặt khác đồng phẳng nên
.
Cho tứ diện . Đặt
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của CD suy ra
Ta có:
Một em nhỏ cân nặng trượt trên cầu trượt dài
(như trong hình dưới đây). Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là
. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
+ Với gia tốc rơi tự do có độ lớn là
thì độ lớn của trọng lực
tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là
.
+ Góc giữa độ dịch chuyển so với trọng lực
là
.
+ Công sinh bởi một lực
có độ dịch chuyển
được tính bởi công thức
thì công sinh bởi trọng lực
khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là
.

» Với gia tốc rơi tự do có độ lớn là
thì độ lớn của trọng lực
tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là
.
» Em nhỏ trượt từ điểm tới điểm
nên khi đó góc giữa độ dịch chuyển
so với trọng lực
là
.
» Ta có độ lớn của trọng lực tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là
nên công sinh bởi trọng lực
khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là
.
Cho hình hộp . Điểm
được xác định bởi đẳng thức vectơ
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Gọi
Khi đó
Ta có:
Tương tự ta cũng có:
Từ đó suy ra
Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của .
Cho hình hộp có các cạnh đều bằng
và các góc
. Tính diện tích các tứ giác
và
.
Hình vẽ minh họa

Ta có:
nên
.
Dễ dàng tính được
,
.
Tính được
Vậy .
Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực , được thiết kế với tấm kim loại được giữ bởi ba đoạn cáp
sao cho
và
là tam giác đều, đồng thời các cạnh
tạo với mặt phẳng
một góc có
(như hình vẽ).
Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 1333(N)
Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực
, được thiết kế với tấm kim loại được giữ bởi ba đoạn cáp
sao cho
và
là tam giác đều, đồng thời các cạnh
tạo với mặt phẳng
một góc có
(như hình vẽ).

Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 1333(N)
Đặt thì
.
Chú ý thêm là:
Ta có:
với
là trọng tâm
.
Vì hình chóp đều nên
Do đó , suy ra
.
Khi gắn các lực vào ta có:
Từ đó: .
Vậy lực căng mỗi sợi dây là .
Cho tứ diện có
. Gọi
là diện tích toàn phần (tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của
.
Do tứ diện có
nên
.
Gọi là diện tích và
là bán kính đường tròn ngoại tiếp mỗi mặt đó thì
, nên bất đẳng thức cần chứng minh:
.
Theo công thức Leibbnitz:
Với điểm bất kì và
là trọng tâm của tam giác
thì
Cho trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ta được:
.
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm đoạn
và
là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
.
Ta có ,
nên
Vậy
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: