Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Trắc nghiệm Toán 12 Vectơ và các phép toán trong không gian (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'; đáy là hình vuông cạnh a. Trên cạnh DC;BB' lần lượt lấy các điểm M;N sao cho DM = BN = x;(0 \leq x \leq a). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng A'C và MN.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'; đáy là hình vuông cạnh a. Trên cạnh DC;BB' lần lượt lấy các điểm M;N sao cho DM = BN = x;(0 \leq x \leq a). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng A'C và MN.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Thông hiểu
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với tọa độ các điểm A(1;0; - 2),B( - 2;3;4),C(4; - 6;1).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là (1; - 1;1). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{AB} = (3; - 3;6),\overrightarrow{AC} = ( - 3;6; - 3). Sai||Đúng

    c) Tam giác ABC là tam giác cân. Đúng||Sai

    d) Nếu ABDC là hình bình hành thì tọa độ điểm D là (7; - 9; - 5). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với tọa độ các điểm A(1;0; - 2),B( - 2;3;4),C(4; - 6;1).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là (1; - 1;1). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{AB} = (3; - 3;6),\overrightarrow{AC} = ( - 3;6; - 3). Sai||Đúng

    c) Tam giác ABC là tam giác cân. Đúng||Sai

    d) Nếu ABDC là hình bình hành thì tọa độ điểm D là (7; - 9; - 5). Sai||Đúng

    a) Đúng.

    Trọng tâm tam giác có tọa độ là:

    \left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = 1 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = - 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(1; - 1;1)

    b) Sai. Vì \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;6),\overrightarrow{AC} = (3; - 6;3)

    c) Đúng. Do AB = AC = 3\sqrt{6} nên tam giác ABC cân tại A.

    d) Sai. Gọi D(x;y;z), vì ABCD là hình bình hành nên

    \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow ( - 3;3;6) = (x - 4;y + 6;z - 1)

    \Leftrightarrow (x;y;z) = (1; - 3;7)

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Giá trị \overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}} là:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}} = \left( \overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} ight)\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_{1}} ight)

    = \overrightarrow{B_{1}B}.\overrightarrow{DD_{1}} + {\overrightarrow{BA}}^{2} + \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AD} = - a^{2} + a^{2} + \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Cho tam giác ABC có ba góc đều là góc nhọn. Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, Hlà chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC thỏa mãn: \overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}. Điểm I đi động trên BC sao cho \overrightarrow{BI} =\frac{m}{n}\overrightarrow{BC}(Trong đó \frac{m}{n} là phân số tối giản, m,\ n\mathbb{\in Z},\ n eq 0). Tính giá trị biểu thức Q = m + n khi độ dài véc tơ \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Đáp án: 9

    Đáp án là:

    Cho tam giác ABC có ba góc đều là góc nhọn. Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, Hlà chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC thỏa mãn: \overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}. Điểm I đi động trên BC sao cho \overrightarrow{BI} =\frac{m}{n}\overrightarrow{BC}(Trong đó \frac{m}{n} là phân số tối giản, m,\ n\mathbb{\in Z},\ n eq 0). Tính giá trị biểu thức Q = m + n khi độ dài véc tơ \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Đáp án: 9

    Hình vẽ minh họa

    Gọi Plà trung điểm của AC, E là điểm đối xứng của P qua G.

    Khi đó tứ giác AGCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên AGCE là hình bình hành.

    \Rightarrow \overrightarrow{GC} =\overrightarrow{AE}.

    + Dựng EF\bot BC\ \ (F \inBC).

    Ta có: \left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} ight| = \left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{AE} ight| = \left| \overrightarrow{IE} ight| = IE\geq EF.

    Do đó \left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} ight| nhỏ nhất khi I \equiv F.

    + Ta có: \overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{HC} =\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}.

    + Gọi Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC (Q \inBC).

    Ta có:

    \frac{BP}{BE} = \frac{3GP}{BP + PE} =\frac{3GP}{3GP + GP} = \frac{3}{4}.

    + Do PQ // EF(vì cùng vuông góc với BC).

    Nên \Delta BPQ và \Delta BEF đồng dạng

    \Rightarrow \frac{BQ}{BF} = \frac{BP}{BE}= \frac{3}{4} \Rightarrow\overrightarrow{BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{BQ}.

    + \Delta AHC có P là trung điểm AC và PQ // AH (do cùng vuông góc với BC).

    \Rightarrow PQ là đường trung bình.

    Khi đó, Q là trung điểm HC hay \overrightarrow{HQ} =\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} =\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}.

    \overrightarrow{BF} =\frac{4}{3}\overrightarrow{BQ} = \frac{4}{3}(\overrightarrow{BH} +\overrightarrow{HQ}) = \frac{4}{3}(\frac{1}{5}\overrightarrow{BC} +\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}) =\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}

    Vậy M = 4 + 5 = 9.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 6: Vận dụng
    Phân tích vectơ

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Điểm M được xác định bởi đẳng thức vectơ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Gọi \left\{ \begin{matrix} O = AC \cap BD \\ O' = A'C' \cap B'D' \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}

    = \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD} ight)

    = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + 4\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0} + 4\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO}

    Tương tự ta cũng có: \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO'}

    Từ đó suy ra

    \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO} + 4\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} ight) = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0}

    Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của OO'.

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Tính tỉ số hai cạnh

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định vị trí các điểm M,N lần lượt trên AC và DC' sao cho MN//BD'. Tính tỉ số \frac{MN}{BD'} bằng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{c}.

    Giả sử \overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DN} = y\overrightarrow{DC'}.

    Dễ dàng có các biểu diễn \overrightarrow{BM} = (1 - x)\overrightarrow{a} + x\overrightarrow{b} và \overrightarrow{BN} = (1 - y)\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}.

    Từ đó suy ra \overrightarrow{MN} = (x - y)\overrightarrow{a} + (1 - x)\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}\ \ (1)

    Để MN//BD' thì \overrightarrow{MN} = z\overrightarrow{BD'} = z\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) ta có: (x - y)\overrightarrow{a} + (1 - x)\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}\ \ = z\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)

    \Leftrightarrow (x - y - z)\overrightarrow{a} + (1 - x - z)\overrightarrow{b} + (y - z)\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - y - z = 0 \\ 1 - x - z = 0 \\ y - z = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{2}{3} \\ y = \frac{1}{3} \\ z = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right..

    Vậy các điểm M,N được xác định bởi \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DC'}.

    Ta cũng có \overrightarrow{MN} = z\overrightarrow{BD'} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD'} \Rightarrow \frac{MN}{BD'} = \frac{1}{3}.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tìm giá trị của k

    Gọi M,\ N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: \overrightarrow{PI} = k\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} \right).

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = 2\overrightarrow{PM}, \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PD} = 2\overrightarrow{PN}

    nên \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}\overrightarrow{+ PC} + \overrightarrow{PD} = 2\overrightarrow{PM} + 2\overrightarrow{PN}

    = 2(\overrightarrow{PM} + \overrightarrow{PN}) = 2.2.\overrightarrow{PI} = 4\overrightarrow{PI}

    Vậy k = \frac{1}{4}

  • Câu 9: Vận dụng
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;N;P;Q;R;S;G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN.

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}. Đúng||Sai

    c) 2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}. Sai||Đúng

    d) \left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight| nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;N;P;Q;R;S;G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN.

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}. Đúng||Sai

    c) 2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}. Sai||Đúng

    d) \left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight| nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Đúng: \left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{MR} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\overrightarrow{SN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{MR} =\overrightarrow{SN}.

    b) Đúng: Vi M là trung điểm của AB nên \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}

    Vì N là trung điểm của CD nên \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}

    Vì G là trung điểm của MN nên \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}

    Do đó: \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}

    c) Sai: \overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}

    d) Đúng

    Ta có: \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{IG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 4\overrightarrow{IG}.

    \Rightarrow |\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| = |4\overrightarrow{IG}| = 4IG.

    Do đó: |\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| nhỏ nhất khi IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G 

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm tích vô hướng hai vectơ

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{A'C'} có giá trị bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{BAC} = 45^{0}

    \Rightarrow \overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{A'C'} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = a.a.1 = a^{2}

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tính giá trị của tham số k

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BA'} + k\left( \overrightarrow{DB} +\overrightarrow{C'D} ight) = \overrightarrow{0}

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD'} = \overrightarrow{AD'} \\ \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC'} = \overrightarrow{D'A} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA'} + k\left( \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D} ight) = \overrightarrow{AD'} + k.\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AD'} + k.\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow (k - 1).\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = 1.

    Vậy k = 1.

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Chọn khẳng định đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    + \ M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,\ \ AA_{1},DD_{1},CD.

    Ta có CD_{1}//(MNPQ);\ \ AD//(MNPQ);\ \ A_{1}C//(MNPQ)

    \Rightarrow \overrightarrow{CD_{1}},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A_{1}C} đồng phẳng.

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn khẳng định sai

    Cho ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\overrightarrow{,c} không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Các vectơ \overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z} đồng phẳng\Leftrightarrow \exists m,n:\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}

    Mà : \overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{a} -2\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}= m\left( 3\overrightarrow{a}- 3\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} \right) + n\left(2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{c}\right)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m + 2n = 1 \\ - 3m - 3n = - 2 \\ 2m - 3n = 4 \\ \end{matrix} \right. (hệ vô nghiệm)

    Vậy không tồn tại hai số m,n:\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Cho hình chóp S.ABC có SA = a,SB = b,SC = c. Một mặt phẳng (\alpha) luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC, cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C'. Tìm giá trị nhỏ nhất của \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}.

    Hướng dẫn:

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có 3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}

    = \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'}.

    Mà G,A',B',C' đồng phẳng nên \frac{SA}{SA'} +\frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3\Leftrightarrow\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} =3

    Theo BĐT Cauchy schwarz:

    Ta có \left( \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \right)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq \left( \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} \right)^{2}

    \Leftrightarrow \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \geq \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

    Đẳng thức xảy ra khi

    \frac{1}{aSA'} = \frac{1}{bSB'} = \frac{1}{cSC'} kết hợp với \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} = 3 ta được;

    SA' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3a},SB' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3b},SC' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3c}.

    Vậy GTNN của \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} là \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực 2000(N), được thiết kế với tấm kim loại được giữ bởi ba đoạn cáp AB,AC,AD sao cho AB = AC = AD và BCD là tam giác đều, đồng thời các cạnh AB,AC,AD tạo với mặt phẳng (BCD) một góc có 30^{0}(như hình vẽ).

    Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án:  1333(N)

    Đáp án là:

    Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực 2000(N), được thiết kế với tấm kim loại được giữ bởi ba đoạn cáp AB,AC,AD sao cho AB = AC = AD và BCD là tam giác đều, đồng thời các cạnh AB,AC,AD tạo với mặt phẳng (BCD) một góc có 30^{0}(như hình vẽ).

    Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án:  1333(N)

    Đặt \overrightarrow{F} ={\overrightarrow{F}}_{1} + {\overrightarrow{F}}_{2} +{\overrightarrow{F}}_{3} thì \left|\overrightarrow{F} ight| = 2000(N).

    Chú ý thêm là: \left|{\overrightarrow{F}}_{1} ight| = \left| {\overrightarrow{F}}_{2}ight| = \left| {\overrightarrow{F}}_{3} ight|

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG} với G là trọng tâm \Delta BCD.

    Vì hình chóp A.BCD đều nên AG\bot mp(BCD)

    Do đó \widehat{ABG} = 30^{0}, suy ra AG = AB.sin30^{0} = \frac{AB}{2}\Rightarrow AB = 2AG.

    Khi gắn các lực vào ta có:

    \overrightarrow{F} =\overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}}= - \overrightarrow{F_{AB}} - \overrightarrow{F_{AC}} -\overrightarrow{F_{AD}} = - 3\overrightarrow{F_{AG}}

    \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } ight| = 3\left| {\overrightarrow {{F_{AG}}} } ight| \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_{AG}}} } ight| = \frac{{2000}}{3}\left( N ight)

    Từ đó: \left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{AB}} ight| = 2\left|\overrightarrow{F_{AG}} ight| = \frac{4000}{3}(N).

    Vậy lực căng mỗi sợi dây là \frac{4000}{3}\ N \approx 1333\ N.

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a và các góc \widehat{B'A'D'} = 60^{0},\widehat{B'A'A} = \widehat{D'A'A} = 120^{0}. Tính diện tích các tứ giác A'B'CD và ACC'A'.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c},\overrightarrow{B'D} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

    \Rightarrow \overrightarrow{A'C}.\overrightarrow{B'D} = \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) = 0

    \Rightarrow A'C\bot B'D nên S_{A'B'DC} = \frac{1}{2}A'C.B'D.

    Dễ dàng tính được A'C =a\sqrt{2},B'D = a\sqrt{2}

    \Rightarrow S_{A'B'CD} =\frac{1}{2}a\sqrt{2}a.\sqrt{2} = a^{2}

    S_{AA'C'C} = AA'AC\sin\left( \overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AC} \right), AA' = a,Ac = a\sqrt{3}.

    Tính được \sin\left( \overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AC} \right) = \sqrt{1 - cos^{2}\left( \overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AC} \right)} = \frac{\sqrt{6}}{3}

    Vậy S_{AA'C'C} = AA'AC\sin\left( \overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AC} \right) = a.a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{6}}{3} = a^{2}\sqrt{2}.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tìm giá trị của k

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: \overrightarrow{MN} = k\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \right)

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left. \ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} \\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} \\ \end{matrix} \right\}

    \Rightarrow 2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{DN} +\overrightarrow{CN}

    Mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên

    \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BM} = - \overrightarrow{MB};\ \ \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{NC} = - \overrightarrow{CN}

    Do đó 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \right).

  • Câu 18: Vận dụng
    Ghi đáp án vào chỗ trống

    Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

    Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900(km/h) lên 920(km/h), trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900(km/h) và 920(km/h) lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ \overrightarrow{F_{1}} và \overrightarrow{F_{2}} với \overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight). Tính giá trị của k (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

    Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900(km/h) lên 920(km/h), trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900(km/h) và 920(km/h) lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ \overrightarrow{F_{1}} và \overrightarrow{F_{2}} với \overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight). Tính giá trị của k (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Thông hiểu
    Tìm khẳng định sai

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?

    Hướng dẫn:

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}

    Vậy đáp án sai là: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a và các góc \widehat{B'A'D'} = 60^{0},\widehat{B'A'A} = \widehat{D'A'A} = 120^{0}. Tính góc giữa đường thẳng AC' với các đường thẳng AB,AD,AA'.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \left( \widehat{AC',AB} \right) = \left( \widehat{AC',AD} \right) = \left( \widehat{AC',AA'} \right) = \arccos\frac{\sqrt{6}}{3}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
75 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này