Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
?
Vì các vectơ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
?
Vì các vectơ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên
Cho tam giác có ba góc đều là góc nhọn. Gọi
là trọng tâm tam giác
,
là chân đường cao hạ từ
xuống cạnh
thỏa mãn:
. Điểm
đi động trên
sao cho
(Trong đó
là phân số tối giản,
). Tính giá trị biểu thức
khi độ dài véc tơ
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án: 9
Cho tam giác có ba góc đều là góc nhọn. Gọi
là trọng tâm tam giác
,
là chân đường cao hạ từ
xuống cạnh
thỏa mãn:
. Điểm
đi động trên
sao cho
(Trong đó
là phân số tối giản,
). Tính giá trị biểu thức
khi độ dài véc tơ
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án: 9
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
,
là điểm đối xứng của
qua
.
Khi đó tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên
là hình bình hành.
.
+ Dựng .
Ta có: .
Do đó nhỏ nhất khi
.
+ Ta có: .
+ Gọi là hình chiếu vuông góc của
lên
.
Ta có:
.
+ Do //
(vì cùng vuông góc với
).
Nên và
đồng dạng
.
+ có
là trung điểm
và
//
(do cùng vuông góc với
).
là đường trung bình.
Khi đó, là trung điểm
hay
.
Vậy .
Cho tam giác vuông tại
và có hai đỉnh
nằm trên mặt phẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của đỉnh
lên
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì
suy ra góc
là góc tù.
Cho hình hộp có tâm
. Gọi
là tâm hình bình hành
. Đặt
,
,
,
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa

Ta phân tích:
.
.
.
.
Cho hình hộp . Một đường thẳng
cắt các đường thẳng
lần lượt tại
sao cho
. Tính
.
Hình vẽ minh họa

Đặt .
Vì nên
,
Ta có
Do
.
Vậy .
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc.
là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Đặt . Khi đó
với
là ba số có tổng bằng 1.
Ta có:
Tương tự ta được
Do đó
Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa
Do đó
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.
Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới cùa một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật , mặt phẳng
song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc
của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp
có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng đều có cường độ là
và trọng lượng của khung sắt là
.
Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là các điểm sao cho
.
Vì có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
nên
có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng
một góc bằng
.
Vì là hình chữ nhật nên
cũng là hình chữa nhật.
Gọi là tâm của hình chữ nhật
. Ta suy ra
.
Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng góc
suy ra
.
Ta có nên
.
Tam giác vuông tại
nên
.
Ta có:
.
Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên , với
là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.
Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là:
Vì trọng lượng của khung sắt là nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là:
.
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh
, cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hai vectơ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ bằng
. Sai||Đúng
c) Tích vô hướng của bằng
. Đúng||Sai
d) Độ dài vectơ là
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh
, cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hai vectơ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ bằng
. Sai||Đúng
c) Tích vô hướng của bằng
. Đúng||Sai
d) Độ dài vectơ là
. Sai||Đúng
a) Sai
Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên
Suy ra hai vectơ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.
b) Sai
Ta có ABCD là hình chữ nhật nên
Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.
Suy ra
Ta có:
c) Đúng
Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.
Suy ra
Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:
Lại có M là trung điểm của SB nên
Ta tính được
Mà
d) Sai
Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD
Do đó
Suy ra
Cho hình lập phương ; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho hình lập phương ; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho tứ diện có
. Gọi
là góc giữa
và
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mặt khác
Do đó:
Vậy
Cho tứ diện đều cạnh
.
là điểm trên đoạn
sao cho
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Có 6 vectơ (khác vectơ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ và
bằng
. Sai||Đúng
c) Nếu thì
. Sai||Đúng
d) Tích vô hướng . Đúng||Sai
Cho tứ diện đều cạnh
.
là điểm trên đoạn
sao cho
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Có 6 vectơ (khác vectơ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ và
bằng
. Sai||Đúng
c) Nếu thì
. Sai||Đúng
d) Tích vô hướng . Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Sai: Các vectơ (khác vectơ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là:
.
Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu.
b) Sai:
c) Sai: .
Do đó suy ra
.
d) Đúng: Ta có:
Suy ra
Cho hình chóp Lấy các điểm
lần lượt thuộc các tia
sao cho
, trong đó
là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa
để mặt phẳng
đi qua trọng tâm của tam giác
.
Nếu thì
nên
.
Suy ra đi qua trọng tâm của tam giác
=> là đáp án đúng.
Một em nhỏ cân nặng trượt trên cầu trượt dài
(như trong hình dưới đây). Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là
. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
+ Với gia tốc rơi tự do có độ lớn là
thì độ lớn của trọng lực
tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là
.
+ Góc giữa độ dịch chuyển so với trọng lực
là
.
+ Công sinh bởi một lực
có độ dịch chuyển
được tính bởi công thức
thì công sinh bởi trọng lực
khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là
.

» Với gia tốc rơi tự do có độ lớn là
thì độ lớn của trọng lực
tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là
.
» Em nhỏ trượt từ điểm tới điểm
nên khi đó góc giữa độ dịch chuyển
so với trọng lực
là
.
» Ta có độ lớn của trọng lực tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là
nên công sinh bởi trọng lực
khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là
.
Cho hình chóp . Lấy các điểm
lần lượt thuộc các tia
sao cho
trong đó
là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng
đi qua trọng tâm của tam giác
thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Khi đó mà
Suy ra
Vì mặt phẳng đi qua trọng tâm của tam giác
suy ra
đồng phẳng.
Do đó tồn tại ba số sao cho
) và
s
Suy ra
Cho hình hộp . Gọi
và
lần lượt là tâm của hình bình hành
và
. Khẳng định nào sau đây sai ?
“Bốn điểm ,
,
,
đồng phẳng ». Đúng vì
cùng thuộc
“”. Đúng vì
“Ba vectơ không đồng phẳng ». Sai vì
Ba vectơ đồng phẳng.
””. Đúng vì theo câu trên
Cho hình hộp . Xác định vị trí các điểm
lần lượt trên
và
sao cho
. Tính tỉ số
bằng?
Hình vẽ minh họa

.
Giả sử .
Dễ dàng có các biểu diễn và
.
Từ đó suy ra
Để thì
Từ và
ta có:
.
Vậy các điểm được xác định bởi
.
Ta cũng có .
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho tam giác . Lấy điểm
nằm ngoài mặt phẳng
. Trên đoạn
lấy điểm
sao cho
và trên đoạn
lấy điểm
sao cho
. Biết biểu diễn
là duy nhất. Tính giá trị biểu thức
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có: ;
Lấy điểm P trên cạnh AC sao cho . Khi đó:
Cho hình hộp . Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa

lần lượt là trung điểm của
.
Ta có
đồng phẳng.
Cho tứ diện . Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Ta có N là trung điểm của CD nên
M là trung điểm của AB nên
Suy ra
Đang tải...
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: