Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Vectơ và các phép toán trong không gian (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Vận dụng
    Phân tích vectơ

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Điểm M được xác định bởi đẳng thức vectơ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Gọi \left\{ \begin{matrix} O = AC \cap BD \\ O' = A'C' \cap B'D' \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}

    = \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD} ight)

    = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + 4\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0} + 4\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO}

    Tương tự ta cũng có: \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO'}

    Từ đó suy ra

    \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO} + 4\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} ight) = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0}

    Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của OO'.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} và \overrightarrow{v} tạo với nhau một góc 120{^\circ} và \left| \overrightarrow{u} \right| = 2, \left| \overrightarrow{v} \right| = 5. Tính \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right|

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| ight)^{2} = \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)^{2}

    = {\overrightarrow{u}}^{2} + 2\overrightarrow{u}\overrightarrow{v} + {\overrightarrow{v}}^{2}

    = \left| \overrightarrow{u} ight|^{2} + 2\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|\cos\left( \overrightarrow{u};\ \overrightarrow{v} ight) + \left| \overrightarrow{v} ight|^{2}

    = 2^{2} + 2.2.5.\left( - \frac{1}{2} ight) + 5^{2} = 19.

    Suy ra \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}.

  • Câu 4: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{u},\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{v}, \overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{x}, \overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{y}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta phân tích:

    \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} =\overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{CA'}= \left(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'} \right) + \left(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AA'} \right) =2\overrightarrow{AA'}.

    \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} =\overrightarrow{BD'} + \overrightarrow{DB'}= \left(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DD'} \right) + \left(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BB'} \right) =2\overrightarrow{BB'} = 2\overrightarrow{AA'}.

    \Rightarrow \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = 4\overrightarrow{AA'} = - 4\overrightarrow{A'A} = - 4.2\overrightarrow{OI}.

    \Rightarrow 2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} \right).

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tính diện tích toàn phần hình trụ

    Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.

    Hướng dẫn:

    Do thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh bằng 3anên ta có bán kính đáy R = \frac{3a}{2} và độ dài đường sinh l=3a.

    Diện tích toàn phần hình trụ là: \frac{27\pi a^{2}}{2}

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính diện tích thiết diện

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, \widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA} = \alpha. Gọi (\beta) là mặt phẳng đi qua A và các trung điểm của SB,SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (\beta).

    Hướng dẫn:

    Hinh vẽ minh họa

    Gọi B',C' lần lượt là trung điểm của SB,SC. Thiết diện là tam giác AB'C'.

    Theo bài tập 5 thì S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{AB'^{2}AC'^{2} - \left( \overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{AC'} \right)^{2}}

    Ta có \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{SB'} - \overrightarrow{SA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA}

    \Rightarrow AB'^{2} = \frac{1}{4}SB^{2} + SA^{2} - \overrightarrow{SA}\overrightarrow{SB}

    = \frac{a^{2}}{4}(5 - 4cos\alpha).

    Tính tương tự, ta có

    \overrightarrow{AB'}\overrightarrow{AC'} = \frac{a^{2}}{4}(4 - 3cos\alpha).

    Vậy S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^{4}}{16}(5 - 4cos\alpha)^{2} - \frac{a^{4}}{16}(4 - 3cos\alpha)^{2}}

    = \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Xác định vị trí điểm M

    Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất?

    Hướng dẫn:

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

    Suy ra G cố định và \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    P = \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight)^{2}

    P = 3{\overrightarrow{MG}}^{2} + 2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight)^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    P = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2} \geq GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    Dấu “=” xảy ra khi M \equiv G

    Vậy P_{\min} = GA^{2} + GB^{2} + GC^{2} với M \equiv G là trọng tâm tam giác ABC.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Cho tam giác ABC có ba góc đều là góc nhọn. Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, Hlà chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC thỏa mãn: \overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}. Điểm I đi động trên BC sao cho \overrightarrow{BI} =\frac{m}{n}\overrightarrow{BC}(Trong đó \frac{m}{n} là phân số tối giản, m,\ n\mathbb{\in Z},\ n eq 0). Tính giá trị biểu thức Q = m + n khi độ dài véc tơ \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Đáp án: 9

    Đáp án là:

    Cho tam giác ABC có ba góc đều là góc nhọn. Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, Hlà chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC thỏa mãn: \overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}. Điểm I đi động trên BC sao cho \overrightarrow{BI} =\frac{m}{n}\overrightarrow{BC}(Trong đó \frac{m}{n} là phân số tối giản, m,\ n\mathbb{\in Z},\ n eq 0). Tính giá trị biểu thức Q = m + n khi độ dài véc tơ \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Đáp án: 9

    Hình vẽ minh họa

    Gọi Plà trung điểm của AC, E là điểm đối xứng của P qua G.

    Khi đó tứ giác AGCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên AGCE là hình bình hành.

    \Rightarrow \overrightarrow{GC} =\overrightarrow{AE}.

    + Dựng EF\bot BC\ \ (F \inBC).

    Ta có: \left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} ight| = \left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{AE} ight| = \left| \overrightarrow{IE} ight| = IE\geq EF.

    Do đó \left| \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{GC} ight| nhỏ nhất khi I \equiv F.

    + Ta có: \overrightarrow{BH} =\frac{1}{5}\overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{HC} =\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}.

    + Gọi Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC (Q \inBC).

    Ta có:

    \frac{BP}{BE} = \frac{3GP}{BP + PE} =\frac{3GP}{3GP + GP} = \frac{3}{4}.

    + Do PQ // EF(vì cùng vuông góc với BC).

    Nên \Delta BPQ và \Delta BEF đồng dạng

    \Rightarrow \frac{BQ}{BF} = \frac{BP}{BE}= \frac{3}{4} \Rightarrow\overrightarrow{BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{BQ}.

    + \Delta AHC có P là trung điểm AC và PQ // AH (do cùng vuông góc với BC).

    \Rightarrow PQ là đường trung bình.

    Khi đó, Q là trung điểm HC hay \overrightarrow{HQ} =\frac{1}{2}\overrightarrow{HC} =\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}.

    \overrightarrow{BF} =\frac{4}{3}\overrightarrow{BQ} = \frac{4}{3}(\overrightarrow{BH} +\overrightarrow{HQ}) = \frac{4}{3}(\frac{1}{5}\overrightarrow{BC} +\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}) =\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}

    Vậy M = 4 + 5 = 9.

  • Câu 9: Vận dụng
    Xác định mối liên hệ giữa các hệ số

    Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm A',B',C' lần lượt thuộc các tia SA,SB,SC sao cho SA = a.SA',\ SB = b.SB',\ SC = c.SC', trong đó a,b,c là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa a,b,cđể mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC.

    Hướng dẫn:

    Nếu a = b = c = 1 thì SA = SA',SB = SB',SC = SC' nên (ABC) \equiv (A'B'C').

    Suy ra (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC

    =>a + b + c = 3 là đáp án đúng.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực 2000(N), được thiết kế với tấm kim loại được giữ bởi ba đoạn cáp AB,AC,AD sao cho AB = AC = AD và BCD là tam giác đều, đồng thời các cạnh AB,AC,AD tạo với mặt phẳng (BCD) một góc có 30^{0}(như hình vẽ).

    Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án:  1333(N)

    Đáp án là:

    Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực 2000(N), được thiết kế với tấm kim loại được giữ bởi ba đoạn cáp AB,AC,AD sao cho AB = AC = AD và BCD là tam giác đều, đồng thời các cạnh AB,AC,AD tạo với mặt phẳng (BCD) một góc có 30^{0}(như hình vẽ).

    Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án:  1333(N)

    Đặt \overrightarrow{F} ={\overrightarrow{F}}_{1} + {\overrightarrow{F}}_{2} +{\overrightarrow{F}}_{3} thì \left|\overrightarrow{F} ight| = 2000(N).

    Chú ý thêm là: \left|{\overrightarrow{F}}_{1} ight| = \left| {\overrightarrow{F}}_{2}ight| = \left| {\overrightarrow{F}}_{3} ight|

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG} với G là trọng tâm \Delta BCD.

    Vì hình chóp A.BCD đều nên AG\bot mp(BCD)

    Do đó \widehat{ABG} = 30^{0}, suy ra AG = AB.sin30^{0} = \frac{AB}{2}\Rightarrow AB = 2AG.

    Khi gắn các lực vào ta có:

    \overrightarrow{F} =\overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}}= - \overrightarrow{F_{AB}} - \overrightarrow{F_{AC}} -\overrightarrow{F_{AD}} = - 3\overrightarrow{F_{AG}}

    \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } ight| = 3\left| {\overrightarrow {{F_{AG}}} } ight| \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_{AG}}} } ight| = \frac{{2000}}{3}\left( N ight)

    Từ đó: \left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{AB}} ight| = 2\left|\overrightarrow{F_{AG}} ight| = \frac{4000}{3}(N).

    Vậy lực căng mỗi sợi dây là \frac{4000}{3}\ N \approx 1333\ N.

  • Câu 11: Vận dụng
    Xác định vị trí điểm M

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của IJ). Xác định vị trí của M để \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| = 4\left| \overrightarrow{MG} \right| nên \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| nhỏ nhất khi M \equiv G.

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tính x; y theo k để ba điểm thẳng hàng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' và các điểm M,N,P xác định bởi

    \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB'}(k \neq 0),\overrightarrow{NB} = x\overrightarrow{NC'},\overrightarrow{PC} = y\overrightarrow{PD'}. Hãy tính x,y theo k để ba điểm M,N,P thẳng hàng.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đặt \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}.

    Từ giả thiết ta có :

    \overrightarrow{AM} = \frac{k}{k - 1}\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)\ \ \ (1)

    \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{b}+ \frac{x}{x - 1}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) (2)

    \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} +\frac{y}{y - 1}\left( \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}\right)(3)

    Từ đó ta có

    \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}= \frac{x}{x -1}\overrightarrow{a} - \frac{1}{k - 1}\overrightarrow{b} + \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{k}{k - 1} \right)\overrightarrow{c}

    + \left( \frac{x}{x - 1} - \frac{y}{y - 1} \right)\overrightarrow{c}.

    \overrightarrow{MP} =\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM}= \overrightarrow{a} -(\frac{y}{y - 1} + \frac{1}{k - 1})\overrightarrow{b} + \left(\frac{y}{y - 1} - \frac{k}{k - 1} \right)\overrightarrow{c}

    Ba điểm M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại \lambda sao cho \overrightarrow{MN} = \lambda\overrightarrow{MP}\ \ (*).

    Thay các vectơ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP} vào (*) và lưu ý \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} không đồng phẳng ta tính được x = \frac{1 + k}{1 - k},y = - \frac{1}{k}.

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Cho tứ diện ABCD, M là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng AM,BM,CM,DM cắt các mặt (BCD),(CDA),(DAB),(ABC) lần lượt tại A',B',C',D'. Mặt phẳng (\alpha) đi qua M và song song với (BCD) lần lượt cắt A'B',A'C',A'D' tại các điểm B_{1},C_{1},D_{1}.Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh M là trọng tâm của tam giác B_{1}C_{1}D_{1}.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì M nằm trong tứ diện ABCD nên

    tồn tại x,y,z,t > 0 sao cho x\overrightarrow{MA} + y\overrightarrow{MB} + z\overrightarrow{MC} + t\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}\ \ \ (1)

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (BCD).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} (\alpha)//(BCD) \\ (BB'A') \cap (\alpha) = MB_{1} \\ (BB'A') \cap (BCD) = BA' \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow MB_{1}//BA'.

    Do đó \frac{MB_{1}}{BA'} = \frac{MB'}{BB'} \Rightarrow \overrightarrow{MB_{1}} = \frac{MB'}{BB'}\overrightarrow{BA'}\ \ \ (2)

    Trong (1), chiếu các vec tơ lên đường thẳng BB' theo phương (ACD) ta được:

    x\overrightarrow{MB'} + y\overrightarrow{MB} + z\overrightarrow{MB'} + t\overrightarrow{MB'} = \overrightarrow{0} \Rightarrow (x + y + z)\overrightarrow{MB'} + y\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}

    \Rightarrow (x + y + z +t)\overrightarrow{MB'} = y\overrightarrow{BB'}\Rightarrow\frac{MB'}{BB'} = \frac{y}{x + y + z + t}

    Từ (2) suy ra \overrightarrow{MB_{1}} = \frac{y}{x + y + z + t}\overrightarrow{BA'}\ \ \ (3)

    Tương tự ta có \overrightarrow{MC_{1}} = \frac{z}{x + y + z + t}\overrightarrow{CA'}\ \ (4)

    \overrightarrow{MD_{1}} = \frac{z}{x + y + z + t}\overrightarrow{DA'}\ \ (5)

    Mặt khác chiếu các vec tơ trong (1) lên mặt phẳng (BCD) theo phương AA' tì thu được y\overrightarrow{A'B} + z\overrightarrow{A'C} + t\overrightarrow{A'D} = \overrightarrow{0}.

    Vậy từ (3),(4),(5) ta có \overrightarrow{MB_{1}} + \overrightarrow{MC_{1}}+ \overrightarrow{MD_{1}}= \frac{1}{x + y + z + t}\left(y\overrightarrow{BA'} + z\overrightarrow{CA'} +t\overrightarrow{DA'} \right) = \overrightarrow{0}, hay M là trọng tâm của tam giác B_{1}C_{1}D_{1}.

  • Câu 14: Vận dụng
    Xác định số khẳng định đúng

    Một em nhỏ cân nặng m = 25(kg) trượt trên cầu trượt dài 3,5(m) (như trong hình dưới đây). Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30{^\circ}. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

    + Với gia tốc rơi tự do \overrightarrow{g} có độ lớn là g = 9,8\left( m/s^{2} \right) thì độ lớn của trọng lực \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là 245(N).

    + Góc giữa độ dịch chuyển \overrightarrow{d} so với trọng lực \overrightarrow{P} là 30{^\circ}.

    + Công A(J) sinh bởi một lực \overrightarrow{F} có độ dịch chuyển \overrightarrow{d} được tính bởi công thức A = \left| \overrightarrow{F} \right|.\left| \overrightarrow{d} \right|.cos\left( \overrightarrow{F};\overrightarrow{d} \right) thì công sinh bởi trọng lực \overrightarrow{P} khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là 428,75(J).

    A drawing of a child on a slideDescription automatically generated

    Hướng dẫn:

    » Với gia tốc rơi tự do \overrightarrow{g} có độ lớn là g = 9,8\left( m/s^{2} \right) thì độ lớn của trọng lực \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là \left| \overrightarrow{P} \right| = m\left| \overrightarrow{g} \right| = 25.9,8 = 245(N).

    » Em nhỏ trượt từ điểm A tới điểm B nên khi đó góc giữa độ dịch chuyển \overrightarrow{d} so với trọng lực \overrightarrow{P} là \left( \overrightarrow{d,}\overrightarrow{P} \right) = \left( \overrightarrow{AB,}\overrightarrow{P} \right) = 60{^\circ}.

    » Ta có độ lớn của trọng lực \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là \left| \overrightarrow{P} \right| = m\left| \overrightarrow{g} \right| = 25.9,8 = 245(N) nên công sinh bởi trọng lực \overrightarrow{P} khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là A = \left| \overrightarrow{P} \right|.\left| \overrightarrow{d} \right|.cos\left( \overrightarrow{P,}\overrightarrow{d} \right) = 245.3,5.cos60{^\circ} = 428,75(J).

  • Câu 15: Vận dụng
    Tìm khẳng định sai

    Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M,Nsao cho AM = 3MD, BN = 3NC. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    «Các vectơ \overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN} đồng phẳng” . Sai vì

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BN} \hfill \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \overrightarrow {3MN} = \overrightarrow {3MD} + 3\overrightarrow {DB} + 3\overrightarrow {BN} \hfill \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {BD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \mathbf{\Rightarrow} \overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN} không đồng phẳng.

    « Các vectơ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ} đồng phẳng’. Đúng vì \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QN} \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \end{gathered} \right.

    \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} } \right)

    \mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}: đồng phẳng.

    “Các vectơ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ} đồng phẳng”. Đúng. Bằng cách biểu diễn \overrightarrow{PQ} tương tự như trên ta có \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} \right).

    « Các vectơ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{MN} đồng phẳng”. Đúng. Ta có \overrightarrow{MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{DC}.

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a và các góc \widehat{B'A'D'} = 60^{0},\widehat{B'A'A} = \widehat{D'A'A} = 120^{0}. Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A'D; AC' với B'D.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đặt \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{A'D'} = \overrightarrow{c}

    Ta có \overrightarrow{A'D} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} nên

    \cos\left( \widehat{AB,A'D} \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'D} \right) \right|

    = \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'D} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|\left| \overrightarrow{A'D} \right|} = \frac{\left| \overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right|}.

    Để ý rằng \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right| = a, \overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) = \frac{a^{2}}{2}.

    Từ đó \cos\left( \widehat{AB,A'D} \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{(AB,A'D)} = 60^{0}

    Ta có \overrightarrow{AC'} = \overline{b} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a},\overrightarrow{B'D} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}, từ đó tính được:

    \overrightarrow{AC'}\overrightarrow{B'D} =\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}\right)\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right) = 0\Rightarrow \widehat{(AC',B'D)} =90^{0}.

  • Câu 17: Thông hiểu
    Xác định khẳng định sai

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau.

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BB'}.\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} ight) = \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BC}

    = BB'.BA\left( \cos\widehat{B'BA} + cos\widehat{B'BC} ight)

    Vì AA'B'B và ABCD là hai hình thoi bằng nhau nên

    + \widehat{B'BA} = \widehat{B'BC} \Rightarrow \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BD} eq 0 suy ra BB' không vuông góc với BD

    + \widehat{B'BA} + \widehat{B'BC}= 180^{0}\Rightarrow \cos\widehat{B'BA} = - \cos\widehat{B'BC}\Rightarrow \overrightarrow{BB'}.\overrightarrow{BD} = 0 suy ra BB'\bot BD

    Nên đáp án BB'\bot BD có thể sai vì chưa có điều kiện của góc \widehat{B'BA} và \widehat{B'BC}

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn kết quả đúng

    Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D', trong đó mặt đáy là hình bình hành với \widehat{DAB} = 120{^\circ}. Biết độ dài các cạnh AB = 25cm,AD = 12cm và AA' = 12cm. Tính \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \right|.

    Hướng dẫn:

    Theo quy tắc hình hộp, ta có \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'},

    Vậy \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \right| = \left| \overrightarrow{AC'} \right| = AC'

    Với AC' = \sqrt{AC^{2} + A{A'}^{2}}

    Trong đó: AA' = 12(cm)

    Do tổng hai góc kề của một hình bình hành là 180{^\circ} nên ta có góc \widehat{ABC} = 60{^\circ}

    Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:

    AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2AB.BC.cos\widehat{ABC}

    = 25^{2} + 12^{2} - 2.25.12.cos60{^0} = 469.

    Vậy AC' = \sqrt{AC^{2} + A{A'}^{2}} = \sqrt{469 + 144} = \sqrt{613}(cm).

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Chọn khẳng định đúng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E,F là các điểm thỏa nãm \overrightarrow{EA} = k\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FD} = k\overrightarrow{FC} còn P,Q,R là các điểm xác định bởi \overrightarrow{PA} = l\overrightarrow{PD},\overrightarrow{QE} = l\overrightarrow{QF},\overrightarrow{RB} = l\overrightarrow{RC}. Chứng minh ba điểm P,Q,R thẳng hàng. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EQ}\ \ (1)

    \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{FQ}\ \ (2)

    Từ (2) ta có l\overrightarrow{PQ} = l\overrightarrow{PD} + l\overrightarrow{DF} + l\overrightarrow{FQ}\ \ \ \ (3)

    Lấy (1) - (3) theo vế ta có

    (1 - l)\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AE} - l\overrightarrow{DF}

    \Rightarrow \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{1 - l}\overrightarrow{AE} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{DF}

    Tương tự \overrightarrow{QR} = \frac{1}{1 - l}\overrightarrow{EB} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{FC}

    Mặt khác \overrightarrow{EA} = k\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FD} = k\overrightarrow{FC} nên

    \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{1 -l}\overrightarrow{AE} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{DF}= \frac{-k}{1 - l}\overrightarrow{EB} - \frac{kl}{1 - l}\overrightarrow{FC} = -k\overrightarrow{QR}

    Vậy P,Q,R thẳng hàng.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho \overrightarrow{MS} = - 2\overrightarrow{MA} và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho \overrightarrow{NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{NC}. Biết biểu diễn \overrightarrow{MN} = m.\overrightarrow{AB} + n.\overrightarrow{SC} là duy nhất. Tính giá trị biểu thức T = m + n?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Theo giả thiết ta có: \overrightarrow{MS} = - 2\overrightarrow{MA}; \overrightarrow{NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{NC}

    Lấy điểm P trên cạnh AC sao cho \overrightarrow{PC} = - 2\overrightarrow{PA}. Khi đó:

    \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{SC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 1

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
68 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này