Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Vectơ và các phép toán trong không gian (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Cho hình chóp S.ABC có SA = a,SB = b,SC = c. Một mặt phẳng (\alpha) luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC, cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C'. Tìm giá trị nhỏ nhất của \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}.

    Hướng dẫn:

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có 3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}

    = \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'}.

    Mà G,A',B',C' đồng phẳng nên \frac{SA}{SA'} +\frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3\Leftrightarrow\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} =3

    Theo BĐT Cauchy schwarz:

    Ta có \left( \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \right)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq \left( \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} \right)^{2}

    \Leftrightarrow \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \geq \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

    Đẳng thức xảy ra khi

    \frac{1}{aSA'} = \frac{1}{bSB'} = \frac{1}{cSC'} kết hợp với \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} = 3 ta được;

    SA' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3a},SB' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3b},SC' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3c}.

    Vậy GTNN của \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} là \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

  • Câu 2: Vận dụng
    Xác định số khẳng định đúng

    Một em nhỏ cân nặng m = 25(kg) trượt trên cầu trượt dài 3,5(m) (như trong hình dưới đây). Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30{^\circ}. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

    + Với gia tốc rơi tự do \overrightarrow{g} có độ lớn là g = 9,8\left( m/s^{2} \right) thì độ lớn của trọng lực \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là 245(N).

    + Góc giữa độ dịch chuyển \overrightarrow{d} so với trọng lực \overrightarrow{P} là 30{^\circ}.

    + Công A(J) sinh bởi một lực \overrightarrow{F} có độ dịch chuyển \overrightarrow{d} được tính bởi công thức A = \left| \overrightarrow{F} \right|.\left| \overrightarrow{d} \right|.cos\left( \overrightarrow{F};\overrightarrow{d} \right) thì công sinh bởi trọng lực \overrightarrow{P} khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là 428,75(J).

    A drawing of a child on a slideDescription automatically generated

    Hướng dẫn:

    » Với gia tốc rơi tự do \overrightarrow{g} có độ lớn là g = 9,8\left( m/s^{2} \right) thì độ lớn của trọng lực \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là \left| \overrightarrow{P} \right| = m\left| \overrightarrow{g} \right| = 25.9,8 = 245(N).

    » Em nhỏ trượt từ điểm A tới điểm B nên khi đó góc giữa độ dịch chuyển \overrightarrow{d} so với trọng lực \overrightarrow{P} là \left( \overrightarrow{d,}\overrightarrow{P} \right) = \left( \overrightarrow{AB,}\overrightarrow{P} \right) = 60{^\circ}.

    » Ta có độ lớn của trọng lực \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là \left| \overrightarrow{P} \right| = m\left| \overrightarrow{g} \right| = 25.9,8 = 245(N) nên công sinh bởi trọng lực \overrightarrow{P} khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là A = \left| \overrightarrow{P} \right|.\left| \overrightarrow{d} \right|.cos\left( \overrightarrow{P,}\overrightarrow{d} \right) = 245.3,5.cos60{^\circ} = 428,75(J).

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T

    Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}?

    Hướng dẫn:

    Đặt \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}. Khi đó \overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} với x;y;z là ba số có tổng bằng 1.

    Ta có:

    \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}

    \Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} = (x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} + z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}

    \Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x - 1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} + z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}

    Tương tự ta được

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight)

    - \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3

    Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} + 1 \geq 1 + 1 = 2

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

    Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.

  • Câu 4: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{u},\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{v}, \overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{x}, \overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{y}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta phân tích:

    \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} =\overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{CA'}= \left(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'} \right) + \left(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AA'} \right) =2\overrightarrow{AA'}.

    \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} =\overrightarrow{BD'} + \overrightarrow{DB'}= \left(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DD'} \right) + \left(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BB'} \right) =2\overrightarrow{BB'} = 2\overrightarrow{AA'}.

    \Rightarrow \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = 4\overrightarrow{AA'} = - 4\overrightarrow{A'A} = - 4.2\overrightarrow{OI}.

    \Rightarrow 2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} \right).

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Chọn phương án thích hợp

    Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới cùa một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA,EB,EC,ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60{^\circ}. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

    A screenshot of a computerDescription automatically generated

    Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng \overrightarrow{F_{1}},\ \overrightarrow{F_{2}},\ \overrightarrow{F_{3}},\ \overrightarrow{F_{4}} đều có cường độ là 4700N và trọng lượng của khung sắt là 3000N.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A_{1},\ B_{1},\ C_{1},D_{1} lần lượt là các điểm sao cho \overrightarrow{EA_{1}} = \overrightarrow{F_{1}},\ \overrightarrow{EB_{1}} = \overrightarrow{F_{2}},\ \overrightarrow{EC_{1}} = \overrightarrow{F_{3}},\ \overrightarrow{ED_{1}} = \overrightarrow{F_{4}}.

    Vì EA,EB,EC,ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60^{o} nên EA_{1},EB_{1},EC_{1},ED_{1} có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \left( A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \right) một góc bằng 60^{o}.

    Vì ABCD là hình chữ nhật nên A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} cũng là hình chữa nhật.

    Gọi O là tâm của hình chữ nhật A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Ta suy ra EO\bot\left( A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \right).

    Do đó góc giữa đường thẳng EA_{1} và mặt phẳng \left( A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \right) bằng góc \widehat{EA_{1}O} suy ra \widehat{EA_{1}O} = 60^{o}.

    Ta có \left| \overrightarrow{F_{1}} \right| = \left| \overrightarrow{F_{2}} \right| = \left| \overrightarrow{F_{3}} \right| = \left| \overrightarrow{F_{4}} \right| = 4700N nên EA_{1} = EB_{1} = EC_{1} = ED_{1} = 4700N.

    Tam giác EOA_{1} vuông tại O nên EO = EA_{1}.sin\widehat{EA_{1}O} = 4700.sin60{^\circ} = 2350\sqrt{3}.

    Ta có:

    \overrightarrow {{F_1}} + \,\overrightarrow {{F_2}} + \,\overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}}

    = \overrightarrow {E{A_1}} + \,\overrightarrow {E{B_1}} + \overrightarrow {E{C_1}} + \overrightarrow {E{D_1}}

    = 4\overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} + \,\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{D_1}} = 4\overrightarrow {EO}.

    Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên \overrightarrow{F_{1}} + \ \overrightarrow{F_{2}} + \ \overrightarrow{F_{3}} + \overrightarrow{F_{4}} = \overrightarrow{P}, với \overrightarrow{P} là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

    Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là: \left| \overrightarrow{P} \right| = 4\left| \overrightarrow{EO} \right| = 4.2350\sqrt{3} = 9400\sqrt{3}N

    Vì trọng lượng của khung sắt là 3000N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là: 9400\sqrt{3} - 3000 \approx 13281N.

  • Câu 6: Vận dụng
    Chọn khẳng định sai

    Cho ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\overrightarrow{,c} không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Các vectơ \overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z} đồng phẳng\Leftrightarrow \exists m,n:\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}

    Mà : \overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{a} -2\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}= m\left( 3\overrightarrow{a}- 3\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} \right) + n\left(2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{c}\right)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m + 2n = 1 \\ - 3m - 3n = - 2 \\ 2m - 3n = 4 \\ \end{matrix} \right. (hệ vô nghiệm)

    Vậy không tồn tại hai số m,n:\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tìm câu sai

    Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Xác định câu sai trong các câu dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC,BCD,CDA,ABD là các tam giác đều.

    Đáp án \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}.

    Đúng vì \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}.

    Đáp án \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - \frac{a^{2}}{2}.

    Đúng vì \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}= - a.a.\cos60^{0} = \frac{- a^{2}}{2}.

    Đáp án \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}.

    Sai vì \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} =a.a.\cos60^{0} = \frac{a^{2}}{2}; \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD} = - \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD} = - a.a.\cos60^{0} = - \frac{a^{2}}{2}

    Đáp án AB\bot CD hay \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0.

    Đúng vì \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tính tích vô hướng hai vectơ

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{B'C'} nên \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} = 45^{0}

    Suy ra \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}= \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left|\overrightarrow{B'C'} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight)

    =a\sqrt{2}.a.\cos45^{0} =a^{2}

  • Câu 9: Vận dụng
    Xác định góc giữa cặp vectơ

    Cho tứ diệnABCD có AB = AC = AD và \widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0},\ \widehat{CAD} = 90^{0}. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{IJ}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giácICD có J là trung điểm đoạn CD.

    Ta có: \overrightarrow{I J} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)

    Vì tam giác ABC có AB = AC và \widehat{BAC} = 60{^\circ}

    Nên tam giác ABC đều. Suy ra: CI\bot AB

    Tương tự ta có tam giác ABD đều nên DI\bot AB.

    Xét \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB}= \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}.

    Suy ra \overrightarrow{I J}\bot\overrightarrow{AB}. Hay góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{IJ} bằng 90^{0}.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính giá trị của k

    Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (\alpha) cắt các tia SA,SB,SC,SG( G là trọng tâm tam giác ABC) lần lượt tại các điểm A',B',C',G'.Ta có \frac{SA}{SA'} + \frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = k\frac{SG}{SG'}. Hỏi k bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Do G là trọng tâm của \Delta ABC nên \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    \Rightarrow3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} +\overrightarrow{SC}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 3\frac{SG}{SG'}\overrightarrow{SG'} = \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} \\ + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'} \\ \end{matrix}

    Mặt khác A',B',C',G' đồng phẳng nên

    \frac{SA}{SA'} + \frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3\frac{SG}{SG'}.

  • Câu 11: Vận dụng
    Xác định vị trí điểm M

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của IJ). Xác định vị trí của M để \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| = 4\left| \overrightarrow{MG} \right| nên \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| nhỏ nhất khi M \equiv G.

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Chọn khẳng định đúng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E,F là các điểm thỏa nãm \overrightarrow{EA} = k\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FD} = k\overrightarrow{FC} còn P,Q,R là các điểm xác định bởi \overrightarrow{PA} = l\overrightarrow{PD},\overrightarrow{QE} = l\overrightarrow{QF},\overrightarrow{RB} = l\overrightarrow{RC}. Chứng minh ba điểm P,Q,R thẳng hàng. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EQ}\ \ (1)

    \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{FQ}\ \ (2)

    Từ (2) ta có l\overrightarrow{PQ} = l\overrightarrow{PD} + l\overrightarrow{DF} + l\overrightarrow{FQ}\ \ \ \ (3)

    Lấy (1) - (3) theo vế ta có

    (1 - l)\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AE} - l\overrightarrow{DF}

    \Rightarrow \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{1 - l}\overrightarrow{AE} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{DF}

    Tương tự \overrightarrow{QR} = \frac{1}{1 - l}\overrightarrow{EB} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{FC}

    Mặt khác \overrightarrow{EA} = k\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FD} = k\overrightarrow{FC} nên

    \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{1 -l}\overrightarrow{AE} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{DF}= \frac{-k}{1 - l}\overrightarrow{EB} - \frac{kl}{1 - l}\overrightarrow{FC} = -k\overrightarrow{QR}

    Vậy P,Q,R thẳng hàng.

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 14: Vận dụng
    Chọn khẳng định sai

    Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    “Nếu \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO} thì ABCD là hình thang » Đúng

    Vì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO} và SC\bot(BIH).

    Vì O,A,C và BIH thẳng hàng nên đặt \overrightarrow{OA} = k\overrightarrow{OC};OB = m\overrightarrow{OD}

    \Rightarrow (k + 1)\overrightarrow{OC} + (m + 1)\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}.

    Mà \overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD} không cùng phương nên k = - 2 và m = - 2

    \Rightarrow \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = 2 \Rightarrow AB//CD.

    “Nếu ABCD là hình bình hành thì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}.“. Đúng.

    Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái.

    “Nếu ABCD là hình thang thì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO}. ». Sai.

    Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD,BC thì sẽ sai.

    “Nếu \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO} thì ABCD là hình bình hành ». Đúng.

    Tương tự đáp án A với k = - 1,m = - 1 \Rightarrow O là trung điểm 2 đường chéo.

  • Câu 15: Vận dụng
    Tìm khẳng định sai

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC'B'. Khẳng định nào sau đây sai ?

    Hướng dẫn:

    “Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng ». Đúng vì \overrightarrow{IK},\overrightarrow{AC} cùng thuộc (B'AC)

    “\overrightarrow{IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'}”. Đúng vì \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IB'} +\overrightarrow{B'K}= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) + \frac{1}{2}\left( - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} \right)= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right)= \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} =\frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'}.

    “Ba vectơ \overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{B'C'} không đồng phẳng ». Sai vì \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IB'} +\overrightarrow{B'K}= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) + \frac{1}{2}\left( - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} \right)= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right).

    \Rightarrow \overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{B'C'} \Rightarrow Ba vectơ đồng phẳng.

    ”\overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = 2\overrightarrow{BC}”. Đúng vì theo câu trên\Rightarrow \overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{B'C'} = 2\overrightarrow{BC}.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Chọn kết luận đúng

    Cho \overrightarrow{a} và \overrightarrow{b} có \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} vuông góc với vectơ 5\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b} và \left| \overrightarrow{a} \right| = \left| \overrightarrow{b} \right|. Khi đó:

    Hướng dẫn:

    +Vì \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} vuông góc với vectơ 5\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b} nên:

    \left( \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} ight).\left( 5\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b} ight) = 0

    \Leftrightarrow 5{\overrightarrow{a}}^{2} - 8{\overrightarrow{b}}^{2} + 6\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = 0

    \Leftrightarrow \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = \frac{- 5{\overrightarrow{a}}^{2} + 8{\overrightarrow{b}}^{2}}{6}

    Ta có \left| \overrightarrow{a} ight| = \left| \overrightarrow{b} ight| \Leftrightarrow \left| \overrightarrow{a} ight|^{2} = \left| \overrightarrow{b} ight|^{2}. Suy ra \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = \frac{3{\overrightarrow{a}}^{2}}{6}

    \cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \dfrac{\dfrac{3{\overrightarrow{a}}^{2}}{6}}{{\overrightarrow{a}}^{2}} = \dfrac{1}{2}.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính tỉ số hai cạnh

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một đường thẳng \Delta cắt các đường thẳng AA',BC,C'D' lần lượt tại M,N,P sao cho \overrightarrow{NM} = 2\overrightarrow{NP}. Tính \frac{MA}{MA'}.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đặt \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}.

    Vì M \in AA' nên \overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AA'} = k\overrightarrow{c}

    N \in BC \Rightarrow \overrightarrow{BN} = l\overrightarrow{BC} = l\overrightarrow{a}, P \in C'D' \Rightarrow \overrightarrow{C'P} = m\overrightarrow{b}

    Ta có \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = - l\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c}

    \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{C'P} = (1 - l)\overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

    Do \overrightarrow{NM} = 2\overrightarrow{NP} \Rightarrow - l\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c} = 2\lbrack(1 - l)\overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\rbrack

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - l = 2(1 - l) \\ - 1 = 2m \\ k = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow k = 2,m = - \frac{1}{2},l = 2.

    Vậy \frac{MA}{MA'} = 2.

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Chọn khẳng định đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    + \ M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,\ \ AA_{1},DD_{1},CD.

    Ta có CD_{1}//(MNPQ);\ \ AD//(MNPQ);\ \ A_{1}C//(MNPQ)

    \Rightarrow \overrightarrow{CD_{1}},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A_{1}C} đồng phẳng.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Chọn biểu thức phân tích vectơ đúng

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Hãy phân tích vectơ \overrightarrow{B'C} theo các vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{a} +\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight)

    = - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính diện tích thiết diện

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, \widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA} = \alpha. Gọi (\beta) là mặt phẳng đi qua A và các trung điểm của SB,SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (\beta).

    Hướng dẫn:

    Hinh vẽ minh họa

    Gọi B',C' lần lượt là trung điểm của SB,SC. Thiết diện là tam giác AB'C'.

    Theo bài tập 5 thì S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{AB'^{2}AC'^{2} - \left( \overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{AC'} \right)^{2}}

    Ta có \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{SB'} - \overrightarrow{SA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA}

    \Rightarrow AB'^{2} = \frac{1}{4}SB^{2} + SA^{2} - \overrightarrow{SA}\overrightarrow{SB}

    = \frac{a^{2}}{4}(5 - 4cos\alpha).

    Tính tương tự, ta có

    \overrightarrow{AB'}\overrightarrow{AC'} = \frac{a^{2}}{4}(4 - 3cos\alpha).

    Vậy S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^{4}}{16}(5 - 4cos\alpha)^{2} - \frac{a^{4}}{16}(4 - 3cos\alpha)^{2}}

    = \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
17 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm