Cho tứ diện . Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Đặt
,
,
. Khẳng định nào sau đây đúng.
Ta có
.
Cho tứ diện . Gọi
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Đặt
,
,
. Khẳng định nào sau đây đúng.
Ta có
.
Trong không gian , cho các điểm
,
, điểm
và tam giác
vuông tại
, hình chiếu vuông góc của
trên
là điểm
. Khi đó điểm
luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy . Ta có
và
, suy ra
.
Ta có
, mà
. Suy ra
.
Mặt khác ta có
, .
Từ và
suy ra
và
.
Với suy ra
thuộc mặt phẳng
với
là mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng
.
Phương trình của là:
.
Với
vuông tại
.
Do đó thuộc mặt cầu
có tâm
là trung điểm của
và bán kính
.
Do đó điểm luôn thuộc đường tròn
cố định là giao tuyến của mp
với mặt cầu
.
Giả sử có tâm
và bán kính
thì
và
.
Vậy điểm luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng
.
Cho tam giác có ba góc đều là góc nhọn. Gọi
là trọng tâm tam giác
,
là chân đường cao hạ từ
xuống cạnh
thỏa mãn:
. Điểm
đi động trên
sao cho
(Trong đó
là phân số tối giản,
). Tính giá trị biểu thức
khi độ dài véc tơ
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án: 9
Cho tam giác
có ba góc đều là góc nhọn. Gọi
là trọng tâm tam giác
,
là chân đường cao hạ từ
xuống cạnh
thỏa mãn:
. Điểm
đi động trên
sao cho
(Trong đó
là phân số tối giản,
). Tính giá trị biểu thức
khi độ dài véc tơ
đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án: 9
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
,
là điểm đối xứng của
qua
.
Khi đó tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên
là hình bình hành.
.
+ Dựng .
Ta có: .
Do đó nhỏ nhất khi
.
+ Ta có: .
+ Gọi là hình chiếu vuông góc của
lên
.
Ta có:
.
+ Do //
(vì cùng vuông góc với
).
Nên và
đồng dạng
.
+ có
là trung điểm
và
//
(do cùng vuông góc với
).
là đường trung bình.
Khi đó, là trung điểm
hay
.
Vậy .
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Theo định luật Newton: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật:
, trong đó
là vectơ gia tốc
,
là vectơ lực
tác dụng lên vật,
là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng
một gia tốc
thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

Ta có .
Vậy muốn truyền cho quả bóng có khối lượng một gia tốc
thì cần một lực đá có độ lớn là
.
Cho ba vectơ không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Các vectơ đồng phẳng
Mà :
(hệ vô nghiệm)
Vậy không tồn tại hai số
Cho hình chóp . Lấy các điểm
lần lượt thuộc các tia
sao cho
trong đó
là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng
đi qua trọng tâm của tam giác
thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Khi đó mà
Suy ra
Vì mặt phẳng đi qua trọng tâm của tam giác
suy ra
đồng phẳng.
Do đó tồn tại ba số sao cho
) và
s
Suy ra
Cho tứ diện có
. Gọi
là diện tích toàn phần (tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của
.
Do tứ diện có
nên
.
Gọi là diện tích và
là bán kính đường tròn ngoại tiếp mỗi mặt đó thì
, nên bất đẳng thức cần chứng minh:
.
Theo công thức Leibbnitz:
Với điểm bất kì và
là trọng tâm của tam giác
thì
Cho trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ta được:
.
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ
lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Cho hình lăng trụ tam giác đều có
và. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Ta có
.
Suy ra .
Cho tứ diện . Gọi
lần lượt là tung điểm của
. Chọn mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta có:
Cho hình hộp CÓ
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Vậy .
Cho hình hộp . Xác định vị trí các điểm
lần lượt trên
và
sao cho
. Tính tỉ số
bằng?
Hình vẽ minh họa

.
Giả sử .
Dễ dàng có các biểu diễn và
.
Từ đó suy ra
Để thì
Từ và
ta có:
.
Vậy các điểm được xác định bởi
.
Ta cũng có .
Cho hình hộp có các cạnh đều bằng
và các góc
. Tính góc giữa các cặp đường thẳng
với
;
với
.
Hình vẽ minh họa

Đặt
Ta có nên
.
Để ý rằng ,
.
Từ đó
Ta có , từ đó tính được:
.
Một em nhỏ cân nặng trượt trên cầu trượt dài
(như trong hình dưới đây). Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là
. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
+ Với gia tốc rơi tự do có độ lớn là
thì độ lớn của trọng lực
tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là
.
+ Góc giữa độ dịch chuyển so với trọng lực
là
.
+ Công sinh bởi một lực
có độ dịch chuyển
được tính bởi công thức
thì công sinh bởi trọng lực
khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là
.

» Với gia tốc rơi tự do có độ lớn là
thì độ lớn của trọng lực
tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là
.
» Em nhỏ trượt từ điểm tới điểm
nên khi đó góc giữa độ dịch chuyển
so với trọng lực
là
.
» Ta có độ lớn của trọng lực tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là
nên công sinh bởi trọng lực
khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là
.
Cho tứ diện . Gọi
lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) . Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) . Sai||Đúng
d) nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a)
. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c)
. Sai||Đúng
d)
nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Đúng: .
b) Đúng: Vi là trung điểm của
nên
Vì là trung điểm của
nên
Vì là trung điểm của
nên
Do đó:
c) Sai:
d) Đúng
Ta có: .
.
Do đó: nhỏ nhất khi
Cho tứ diện . Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
,
là trung điểm của
). Xác định vị trí của
để
nhỏ nhất.
Hình vẽ minh họa

Ta có nên
nhỏ nhất khi
.
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh
, cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hai vectơ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ bằng
. Sai||Đúng
c) Tích vô hướng của bằng
. Đúng||Sai
d) Độ dài vectơ là
. Sai||Đúng
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh
, cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hai vectơ
là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ
bằng
. Sai||Đúng
c) Tích vô hướng của
bằng
. Đúng||Sai
d) Độ dài vectơ
là
. Sai||Đúng
a) Sai
Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên
Suy ra hai vectơ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.
b) Sai
Ta có ABCD là hình chữ nhật nên
Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.
Suy ra
Ta có:
c) Đúng
Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.
Suy ra
Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:
Lại có M là trung điểm của SB nên
Ta tính được
Mà
d) Sai
Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD
Do đó
Suy ra
Cho hình hộp . Một đường thẳng
cắt các đường thẳng
lần lượt tại
sao cho
. Tính
.
Hình vẽ minh họa

Đặt .
Vì nên
,
Ta có
Do
.
Vậy .
Cho lăng trụ tam giác . Đặt
. Biểu diễn vectơ
qua các vectơ
. Chọn đáp án đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: