Trong không gian với hệ trục tọa độ cho vectơ
. Khi đó tọa độ của
là.
Do .
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho vectơ
. Khi đó tọa độ của
là.
Do .
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
,
và
. Điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành. Tính
?
Đáp án: 3
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
,
và
. Điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành. Tính
?
Đáp án: 3
Gọi
Ta có:
là hình bình hành nên
.
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của là
. Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của là
. Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Đúng: Gọi là trung điểm
.
Ta có
b) Đúng: Ta có .
c) Đúng: Ta có .
Suy ra .
d) Sai: Gọi thỏa mãn
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
suy ra
.
Suy ra .
Vậy .
Trong không gian , cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh bằng 5 , giao điểm hai đường chéo
và
trùng với gốc
. Các vectơ
lần lượt cùng hướng với
,
và
như hình bên dưới. Toạ độ vectơ
với
là trung điểm của cạnh
, khi đó
bằng bao nhiêu?

Vì là hình thoi cạnh bằng 5 ,
là giao điểm của
và
nên
là trung điểm của
và
.
Xét vuông tại
, có
.
Vì và
cùng hướng và
nên
.
Vì và
cùng hướng và
nên
.
Ta có
Có mà
và
cùng hướng nên
.
Có và
cùng hướng và
nên
.
Có
Lại có .
Vì là trung điểm của
nên
.
Do đó .
Suy ra
Cho hình chóp có đáy
là tam giác đều cạnh bằng
vuông góc với đáy và
bằng 1. Thiết lập hệ tọa độ như hình vẽ bên dưới, tọa độ điểm
. Khi đó
bằng bao nhiêu?

Các vectơ đơn vị trên các trục lần lươt là
với
là điểm thuộc tia
sao cho
và
là điểm thuộc tia
sao cho
.
Vì đều và
nên
là trung điểm cùa
.
Mà nên
và
.
Vì và
cùng hướng và
nên
.
Theo quy tắc hình bình hành, ta có .
Suy ra . Vậy
Trong không gian , cho
,
. Điểm
thay đổi thuộc mặt phẳng
. Tính giá trị của biểu thức
khi
nhỏ nhất.
Gọi là điểm thỏa:
.
Ta có:
.
Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi
nhỏ nhất.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi là hình chiếu của
lên mặt phẳng
.
Suy ra .
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và
. Điểm
thỏa mãn
có tọa độ là:
Từ giả thiết nên ba điểm
thẳng hàng và
nằm khác phía so với điểm M do
âm.
Lại có
.
.
Gọi tọa độ , khi đó
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Giả sử điểm
. Tính giá trị biểu thức
?
Gọi điểm
Ta có:
Mà
Suy ra suy ra
Vậy
Trong không gian với hệ toạ độ , cho
. Tìm tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành.
Gọi tọa độ điểm .
Ta có: ,
.
Tứ giác là hình bình hành
Vậy .
Trong không gian cho ba điểm
và
Để
thẳng hàng thì giá trị
bằng
Ta có
thẳng hàng khi
cùng phương
Vậy
Trong không gian với hệ trục cho ba điểm
thẳng hàng. Khi đó
bằng
Có .
thẳng hàng
cùng phương
.
Dưới đây là một giá đỡ chịu hai lực. Biểu diễn từng lực dưới dạng vectơ Descartes

a. Sai||Đúng
b. Đúng||Sai
c. Độ lớn lực tổng hợp lên giá đỡ bằng Đúng||Sai
d. Góc tạo bởi lực tổng hợp lên trục là
Sai||Đúng
Dưới đây là một giá đỡ chịu hai lực. Biểu diễn từng lực dưới dạng vectơ Descartes

a. Sai||Đúng
b. Đúng||Sai
c. Độ lớn lực tổng hợp lên giá đỡ bằng Đúng||Sai
d. Góc tạo bởi lực tổng hợp lên trục là
Sai||Đúng
(a)
Độ lớn lực tác dụng lên từng trục tọa độ Descartes như sau:
» Chọn SAI.
(b)
Cắt mặt phẳng tọa độ lực tác dụng lên trục tọa độ là
là chiều ngang và
là chiều dọc như hình vẽ

Độ lớn lực tác dụng lên trục tọa độ
và
bằng
Cắt mặt phẳng tọa độ lực tác dụng lên trục tọa độ là
là chiều ngang và
là chiều dọc như hình vẽ

Vậy
» Chọn ĐÚNG.
(c) Độ lớn lực tổng hợp lên giá đỡ bằng
Lực tổng hợp tác dụng lên giá đỡ là :
» Chọn ĐÚNG.
(d) Góc tạo bởi lực tổng hợp lên trục là
Gọi là góc tạo bởi lực tổng hợp lên trục
.
» Chọn SAI.
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.
Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí cách điểm xuất phát
km về phía bắc và
km về phía tây, đồng thời cách mặt đất
km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía nam và
km về phía đông, đồng thời cách mặt đất
km.
Chọn hệ trục toạ độ với gốc
đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng
trùng với mặt đất, trục
hướng về phía bắc, trục
hướng về phía tây và trục
hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là . Sai||Đúng
b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá km. Đúng||Sai
c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng
d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ . Đúng||Sai
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.
Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí cách điểm xuất phát
km về phía bắc và
km về phía tây, đồng thời cách mặt đất
km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía nam và
km về phía đông, đồng thời cách mặt đất
km.
Chọn hệ trục toạ độ với gốc
đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng
trùng với mặt đất, trục
hướng về phía bắc, trục
hướng về phía tây và trục
hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là . Sai||Đúng
b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá km. Đúng||Sai
c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng
d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ . Đúng||Sai
a) Sai
Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là .
b) Đúng
Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là .
Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là
c) Sai
Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:
Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:
Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.
d) Đúng
Vị trí của chiếc flycam là
.
Khoảng cách bay của flycam là:
Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ là
Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ .
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
và
. Điểm
thỏa mãn
có tọa độ là:
Từ giả thiết nên ba điểm
thẳng hàng và
nằm cùng phía so với điểm
do
dương.
Lại có
.
Vậy B là trung điểm của MA.
Khi đó ta đươc tọa độ điểm .
Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước, ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo
. Khi đó

Gọi là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên
và
cùng hướng. Do vận tốc máy bay không đổi và thời gian bay từ
đến
bằng thời gian bay từ
đến
nên
.
Do đó, .
Mặt khác: nên
Vậy .
Vậy tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là .
Suy ra
Trong không gian , cho hình lập phương
có cạnh bằng 4, đỉnh
trùng với gốc
, các điểm
lần lượt nằm trên các tia
.
a. Tọa độ của điểm là:
Sai||Đúng
b. Tọa độ của vec tơ là:
Sai||Đúng
c. Tọa độ của vec tơ là:
Đúng||Sai
d. Tọa độ của vec tơ là:
Đúng||Sai
Trong không gian , cho hình lập phương
có cạnh bằng 4, đỉnh
trùng với gốc
, các điểm
lần lượt nằm trên các tia
.
a. Tọa độ của điểm là:
Sai||Đúng
b. Tọa độ của vec tơ là:
Sai||Đúng
c. Tọa độ của vec tơ là:
Đúng||Sai
d. Tọa độ của vec tơ là:
Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa

(a) Tọa độ của điểm là:
Do cùng hướng với
và
nên
hay
.
Suy ra: .
» Chọn SAI.
(b) Tọa độ của vec tơ là:
Do cùng hướng với
và
nên
hay
.
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: .
Suy ra: .
» Chọn SAI.
(c) Tọa độ của vec tơ là:
Do cùng hướng với
và
nên
hay
.
Suy ra: .
» Chọn ĐÚNG.
(d) Tọa độ của vec tơ là:
.
Theo quy tắc hình hộp, ta có: .
Suy ra:
» Chọn ĐÚNG.
Máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 15 phút tiếp theo bằng bao nhiêu?

Gọi là tọa độ của máy bay sau 15 phút tiếp theo.
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ gấp 2 lần thời gian bay từ
nên
Suy ra
Tọa độ của máy bay sau 15 phút tiếp theo là
Trong không gian cho hình hộp chữ nhật
có các cạnh
,
,
(xem hình vẽ dưới đây). Tọa độ
. Tính giá trị biểu thức

Ta có và hình chiếu của
lên
trùng với
nên
.
.
Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước, ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?

Gọi là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên
và
cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ
đến
gấp đôi thời gian bay từ
đến
nên
.
Do đó .
Mặt khác, nên
.
Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là .
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: