Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 89.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình mặt cầu CTST (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB, với A(6;2; - 5),B( - 4;0;7). Viết phương trình (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì mặt cầu (S) có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu (S) là trung điểm của AB.

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1).

    Vì (P) tiếp xúc với (S) tại A nên (P) đi qua A và nhận \overrightarrow{IA} = (5;1; - 6) làm vectơ pháp tuyến.

    Suy ra (P):5(x - 6) + (y - 2) - 6(z + 5) = 0

    \Rightarrow (P):5x + y - 6z - 62 = 0

  • Câu 2: Vận dụng
    Viết phương trình mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 2;3) và B( - 1;0;1) và mặt phẳng (P):x + y + z + 4 = 0. Phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng \frac{AB}{6} có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2) suy ra AB:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = - 2 + 2t \\ z = 3 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Ta có: R = \frac{AB}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}

    Tâm I thuộc AB nên I(1 - 2t; - 2 + 2t;3 - 2t)

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu nên

    d\left( I;(P) ight) = R

    \Leftrightarrow \frac{\left| (1 - 2t) + ( - 2 + 2t) + (2 - 2t) + 4 ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

    \Leftrightarrow |6 - 2t| = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 6 - 2t = 1 \\ 6 - 2t = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}t = \dfrac{5}{2} \Rightarrow I( - 4;3; - 2) \\t = \dfrac{7}{2} \Rightarrow I( - 6;5; - 4) \\\end{matrix} ight.

    Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−4; 3; −2), bán kính R = \frac{\sqrt{3}}{3}là:

    (x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \frac{1}{3}

    Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−6; 5; −4), bán kính R = \frac{\sqrt{3}}{3}là:

    (x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \frac{1}{3}

    Vậy đáp án cần tìm là: \left\lbrack\begin{matrix}(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \dfrac{1}{3} \\(x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính bán kính

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Cạnh bên , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:

    Hướng dẫn:

    Tính bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra SM \bot \left( {ABC} ight) \Rightarrow SM \bot AC.

    Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

    Ta có AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2, suy ra tam giác SAC đều.

    Gọi G là trọng tâm \triangle SAC , suy ra GS = GA = GC.    (1)

    Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Lại có SM \bot \left( {ABC} ight) nên SM là trục của tam giác ABC.

    Mà G thuộc SM nên suy ra GA = GB = GC.

    Từ (1) và (2), suy ra GS = GA = GB = GC hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

    Bán kính mặt cầu R = GS = \frac{2}{3}SM = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + ax + by + cz + d = 0 có bán kính R = \sqrt{19} đường thẳng d:\left\{\begin{matrix}x = 5 + t \\y = - 2 - 4t \\z = - 1- 4t\end{matrix} \right. và mặt phẳng (P):3x - y - 3z - 1 = 0 Trong các số \left\{ a;b;c;d \right\} theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa mãn a + b + c + d = 43 đồng thời tâm I của (S) thuộc đường thẳng d và (S) tiếp xúc mặt phẳng (P)?

    Hướng dẫn:

    Ta có I \in d \Rightarrow I(5 + t;2 - 4t; - 1 - 4t)

    Do (S) tiếp xúc với (P) nên d\left( I;(P) \right) = R = \sqrt{19}

    \Leftrightarrow |19 + 19t| = 19 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = - 2 \end{matrix} \right.

    Mặt khác (S) có tâm I\left( \frac{- a}{2};\frac{- b}{2};\frac{- c}{2} \right); bán kính R = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4} - d} = \sqrt{19}

    Xét khi t = 0 \Rightarrow I(5; - 2; - 1) \Rightarrow \left\{ a;b;c;d \right\} = \left\{ - 10;4;2;47 \right\}

    Do \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4} - d \ne 19 nên ta loại trường hợp này

    Xét khi t = 2 \Rightarrow \left\{ {a;b;c;d} \right\} = \left\{ { - 6; - 12; - 14;75} \right\}

    Do \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4} - d \neq 19 nên thỏa mãn.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tìm biểu thức liên hệ

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với  AB=2a, AD=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45^0 . Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

    Hướng dẫn:

    Tìm biểu thức liên hệ

    Ta có {45^0} = \widehat {SC,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SC,AC} = \widehat {SCA} .

    Trong \Delta SAC, ta có h = SA = a\sqrt 5

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot BN.

    Mặt khác, ta lại có NA \bot AC.

    Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính

    R = JN = \frac{{NC}}{2} = \frac{1}{2}.\sqrt {A{C^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{5a}}{4}.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 và các điểm A(1;0;2),B( - 1;2;2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax + by + cz + 3 = 0. Tính T = a + b +c.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 4.

    Vì IA = \sqrt{5} < R nên điểm A nằm bên trong mặt cầu. Suy ra (P) luôn cắt mặt cầu. Gọi r là bán

    kính đường tròn giao tuyến, ta có r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} với d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P).

    Diện tích hình tròn thiết diện nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính r nhỏ nhất, hay d lớn nhất.

    Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB ta có d lớn nhất khi d = IH tức IH vuông góc với (P).

    Phương trình đường thẳng AB:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 2 \end{matrix} \right.\ (t\mathbb{\in R})

    Gọi H(1 - t;t;2). \overrightarrow{IH} = ( - t;t - 2; - 1).

    IH\bot AB \Leftrightarrow t + (t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 1. Suy ra H(0;1;2).

    Mặt phẳng (P) nhận \overrightarrow{IH} làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A nên có phương trình

    - (x - 1) - y - (z - 2) = 0 \Leftrightarrow - x - y - z + 3 = 0.

    Vậy a + b + c =- 3.

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = a\sqrt 3, góc \widehat {ACB} bằng 30^0. Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60^0. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bằng:

    Hướng dẫn:

     Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Ta có {60^0} = \widehat {AB',\left( {ABC} ight)} = \widehat {AB',AB} = \widehat {B'AB}.

    Trong \Delta ABC, ta có

    AB = AC.\sin \widehat {ACB} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.

    Trong \Delta B'BA, ta có

    BB' = AB.\tan \widehat {B'AB} = \frac{{3a}}{2}

    Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC.

    Gọi I  là trung điểm A'C, suy ra  IN\parallel AA' \Rightarrow IN \bot \left( {ABC} ight).

    Do đó IN là trục của \Delta ABC , suy ra IA = IB = IC.  (1)

    Hơn nữa, tam giác A'AC vuông tại A có I là trung điểm A'C nên IA'=IC=IA . (2)

    Từ (1) và (2), ta có IA'=IA=IB=IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A'.ABC với bán kính R = IA' = \frac{{A'C}}{2} = \frac{{\sqrt {AA{'^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt {21} }}{4}.

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;2;1),N\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OMN và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)?

    Hướng dẫn:

    Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN

    Ta áp dụng tính chất sau: “Cho tam giác OMN với I là tâm đường tròn nội tiếp, khi đó ta có: a.\overrightarrow{IO} + b.\overrightarrow{IM} + c.\overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0} với a = MN,b = ON,c = OM”

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}OM = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3 \\ON = \sqrt{\left( - \dfrac{8}{3} ight)^{2} + \left( \dfrac{4}{3}ight)^{2} + \left( \dfrac{8}{3} ight)^{2}} = 4 \\MN = \sqrt{\left( - \dfrac{8}{3} - 2 ight)^{2} + \left( \dfrac{4}{3} - 2ight)^{2} + \left( \dfrac{8}{3} - 1 ight)^{2}} = 5 \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    5.\overrightarrow{IO} + 4.\overrightarrow{IM} + 3.\overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \dfrac{8}{3} ight)}{3 + 4 + 5} = 0\\y_{I} = \dfrac{5.0 + 4.2 + 3.\left( \dfrac{4}{3} ight)}{3 + 4 + 5} = 1\\z_{I} = \dfrac{5.0 + 4.2 + 3.\left( \dfrac{8}{3} ight)}{3 + 4 + 5} = 1\\\end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0

    Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) nên mặt cầu có bán kính R = d\left( I;(Oxz) ight) = 1

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: x^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1.

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Tính bán kính mặt cầu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và BC=a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB = a, \widehat {ASB} = {120^0}. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  là:

    Hướng dẫn:

     Tính bán kính mặt cầu

    Gọi M là trung điểm AB , suy ra SM \bot AB và SM \bot \left( {ABC} ight).

    Do đó SM là trục của tam giác ABC.

    Trong mặt phẳng (SMB), kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , bán kính R=SI

    Ta có AB = \sqrt {S{A^2} + S{B^2} - 2SA.SB.\cos \widehat {ASB}} = a\sqrt 3 .

    Trong tam giác vuông SMB, ta có SM = SB.\cos \widehat {MSB} = a.\cos {60^0} = \frac{a}{2}.

    Ta có \Delta SMB \backsim\Delta SPI, suy ra

    \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SI}} \Rightarrow R = SI = \frac{{SB.SP}}{{SM}} = a

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính diện tích mặt cầu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA = a\sqrt 6 và vuông góc với đáy (ABCD). Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta được:

    Hướng dẫn:

     Tính diện tích mặt cầu

    Gọi O = AC \cap BD, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

    Gọi I là trung điểm SC, suy ra IO\parallel SA \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} ight)

    Do đó IO là trục của hình vuông ABCD, suy ra IA = IB = IC = ID.  (1)

    Xét tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên IS = IC = IA.   (2)

    Từ (1) và (2), ta có: R = IA = IB = IC = ID = IS = \frac{{SC}}{2} = a\sqrt 2

    Vậy diện tích mặt cầu S = 4\pi {R^2} = 8\pi {a^2} (đvdt).

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tìm phương trình tổng quát của tiếp diện

    Viết phương trình tổng quát của tiếp diện của mặt cầu (S):\ \ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y - 2z - 10 = 0 song song với mặt phẳng (P):\ \ 2x - 3y + 6z - 7 = 0.

    Hướng dẫn:

    (S) có tâm I(2,1,1), bán kính R = 4.

    Tiếp điểm của (S) có phương trình:

    (Q):2x - 3y + 6z + m = 0

    \Rightarrow d(I,Q) = R \Leftrightarrow \frac{|m + 7|}{7} = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 21 \\ m = - 35 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} (Q):2x - 3y + 6z + 21 = 0 \\ (Q'):2x - 3y + 6z - 35 = 0 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 12: Vận dụng
    Xác định tổng các phần tử tập hợp T

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = 4 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = t \\ z = m - 1 + t \end{matrix} \right.. Gọi T là tập tất cả các giá trị của m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp diện của (S) tại A và B tạo với nhau góc lớn nhất. Tính tổng các phần tử của tập hợp T.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;0; - 2) và bán kính R = 2.

    Góc giữa hai mặt phẳng lớn nhất bằng 90^{o}, do đó IAMB tạo thành hình vuông. Suy ra IH = d(I,d) = \frac{R}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.

    IH^{2} = ( - 1)^{2} + 0^{2} + ( - 1 - m)^{2} - \frac{(1 + 0 - 1 - m)^{2}}{3} = 2

    \Leftrightarrow m^{2} + 2m + 2 - \frac{m^{2}}{3} = 2

    \Leftrightarrow 2m^{2} + 6m = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = - 3 \end{matrix} \right. .

    Vậy tổng các phần tử của tập hợp T bằng - 3.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính tích mn

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 5)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 72 và hai điểm A(0;8;2), B(9; - 7;23). Gọi mặt phẳng (P) đi qua A và (P) tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) lớn nhất. Giả sử \overrightarrow{n} = (1;m;n) là một véc tơ pháp tuyến của (P), khi đó tích mn là

    Hướng dẫn:

    Phương trình (P) là 1(x - 0) + m(y - 8) + n(z - 2) = 0. Do (P) tiếp xúc với (S) nên ta có: d\left( I,(P) \right) = R \Rightarrow \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = \sqrt{72}. Khoảng cách từ B đến (P) là:

    d\left( B,(P) \right) = \frac{|9 - 15m + 21n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = \frac{\left| 5 - 11m + 5n + 4(1 - m + 4n) \right|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}.

    Suy ra

    d\left( B,(P) \right) \leq \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} + \frac{4|1 - m + 4n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}

    \leq \sqrt{72} + 4.\frac{\sqrt{(1 + 1 + 16)\left( 1 + m^{2} + n^{2} \right)}}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 18\sqrt{2}.

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} (5 - 11m + 5n)(1 - m + 4n) > 0 \\ \frac{1}{1} = \frac{m}{- 1} = \frac{n}{4} \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow m = - 1,n = 4.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Viết phương trình mặt cầu

    Mặt cầu tâm I(2;4;6) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình:

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu tâm I(2;4;6), bán kính R và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy): z = 0 \Leftrightarrow R = d\left( I;(Oxy) \right)

    \Leftrightarrow R = \frac{|6|}{1} = 6.

    Vậy (S):(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 36.

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(2,0,1);\ \ \ B(1,3,2);\ \ \ C(3,2,0) có tâm nằm trong mặt phẳng (xOy)

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by + d = 0 vì tâm I \in (xOy) \Rightarrow c = 0

    A,\ B,\ C \in (S)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 4a - d = 5 \\ 2a + 6b - d = 14 \\ 6a + 4b - d = 13 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 6b = - 9 \\ 2a + 4b = 8 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow a = \frac{3}{5};\ \ b = \frac{17}{10};\ \ c = 0;\ \ d = - \frac{13}{5}

    \Rightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{6x}{5} - \frac{17y}{5} - \frac{13}{5} = 0

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tìm giá trị của m thỏa mãn điều kiện

    Trong không gian tọa độ Oxyzcho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 6y + m = 0 và đường thẳng \Delta là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + 2y - 2z - 4 = 0 và (\beta):2x - 2y - z + 1 = 0. Đường thẳng \Delta cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn AB = 8 khi:

    Hướng dẫn:

    Ta có \left\{ \begin{matrix} x + 2y - 2z - 4 = 0 \\ 2x - 2y - z + 1 = 0 \end{matrix} \right..

    Phương trình tham số của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 2t \\ y = t \\ z = - 3 + 2t \end{matrix} \right..

    A \in (\Delta) \Rightarrow A( - 2 + 2t;t; - 3 + 2t).

    A \in (S) \Rightarrow ( - 2 + 2t)^{2} + t^{2} + ( - 3 + 2t)^{2} + 4( - 2 + 2t) - 6t + m = 0 (*).

    (*) \Leftrightarrow 9t^{2} - 18t + 5 + m = 0.

    Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi \Delta' = 36 - 9m > 0 \Leftrightarrow m < 4.

    Khi đó A\left( - 2 + 2t_{1};t_{1}; - 3 + 2t_{1} \right),B\left( - 2 + 2t_{2};t_{2}; - 3 + 2t_{2} \right).

    t_{1} + t_{1} = 2,t_{1}t_{2} = \frac{5 + m}{9}.

    AB = 8 \Leftrightarrow AB^{2} = 64.

    Suy ra 9\left( t_{2} - t_{1}\right)^{2} = 64 \Leftrightarrow 9\left\lbrack \left( t_{1} + t_{2}\right)^2- 4t_{1}t_{2} \right\rbrack = 64

    \Rightarrow 9.\left\lbrack 2^2 -4\left( \frac{5 + m}{9} \right) \right\rbrack = 64 \Leftrightarrow m = -12.

    Cách 2:

    Mặt cầu (S) có tâm I( - 2;3;0), R = \sqrt{13 - m}, m < 13.

    Đường thẳng (\Delta) qua M_{0}( - 2;0; - 3), có VTCP \overrightarrow{u} = (2;1;2)

    d = d\left( I;(\Delta) \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{IM_{0}};\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = 3

    Yêu cầu đề bài tương đương R^{2} = \frac{AB^{2}}{4} + d^{2} \Leftrightarrow 13 - m = 16 + 9 \Leftrightarrow m = - 12\ (n).

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tìm phương trình tiếp diện của (S) tại một điểm

    Cho mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2}+ z^{2} = 14. Mặt cầu (S) cắt trục Oz tại A và B (z_{A} < 0). Phương trình nào sau đây là phương trình tiếp diện của (S) tại B:

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(2; - 1;0)

    Vì A \in Oz \Rightarrow A\left( 0;0;z_{A} \right) (z_{A} < 0)

    A \in (S) \Rightarrow (0 - 2)^{2} + (0 + 1)^{2} + {z_{A}}^{2} = 14

    \Rightarrow {z_{A}}^{2} = 9 \Rightarrow z_{A} = - 3

    Nên mặt cầu (S) cắt trục Oz tại A(0;0; - 3) và B(0;0;3)

    Gọi (\alpha) là tiếp diện của mặt cầu (S) tại B.

    Mặt phẳng (\alpha) qua B(0;0;3) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \overrightarrow{IB} = ( - 2;1;3)

    Vậy phương trình mặt phẳng (\alpha):2x - y - 3z + 9 = 0.

  • Câu 18: Vận dụng
    Tìm bán kính mặt cầu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  là:

    Hướng dẫn:

     Tìm bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Gọi I là trung điểm SC, suy ra IM ||SA nên IM \bot \left( {ABC} ight) .

    Do đó IM là trục của \triangle ABC, suy ra IA=IB=IC     (1)

    Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS=IC=IA.  (2)

    Từ (1) và (2) , ta có IS=IA=IB=IC

    hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

    Vậy bán kính R = IS = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} .

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; −2; 6), B(0; 1; 0) và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25. Mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 (với a, b, c là các số nguyên dương và a, b, c, d nguyên tố cùng nhau) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính tổng T = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 3;3; - 6) cùng phương với \overrightarrow{u} = (1; - 1;2) suy ra phương trình đường thẳng AB:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Xét mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25⇒ I(1; 2; 3), R = 5.

    Gọi H(t; 1 − t; 2t) là điểm trên AB sao cho AB ⊥ IH

    \Rightarrow \overrightarrow{IH} = (t - 1; - t - 1;2t)

    Vì AB ⊥ IH ⇒ t − 1 + t + 1 + 4t − 6 = 0 ⇒ t = 1⇒ H(1; 0; 2), \overrightarrow{IH} = (0; - 2; - 1)

    Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến giữa (P) và (S), K là hình chiếu vuông góc của I lên (P) ⇒ IK ≤ IH.

    Ta có r = \sqrt{R^{2} - IK^{2}} \geq \sqrt{R^{2} - IH^{2}}

    Dấu bằng chỉ xảy ra khi K ≡ H.

    Khi đó phương trình mặt phẳng (P) nhận \overrightarrow{IH} = (0; - 2; - 1) là vectơ pháp tuyến và đi qua điểm H(1; 0; 2) là 2y + z − 2 = 0 ⇒ T = 3

  • Câu 20: Thông hiểu
    Xác định phương trình mặt cầu

    Cho điểm I(1;0;0)và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{1}. Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB = 4 là:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng(d)đi qua M(1;\ 1; - 2)và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 2;\ 1).

    Gọi H là hình chiếu của I trên (d).

    Ta có:IH = d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{5}

    \Rightarrow R^{2} = IH^{2} + \left( \frac{AB}{2} \right)^{2} = 9.

    Vậy phương trình mặt cầu: (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
36 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này