Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình mặt cầu CTST (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a;b;c dương. Biết A;B;C di động trên các tia Ox;Oy,Oz sao cho a + b + c = 2. Biết rằng khi a;b;c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ M(2016; 0; 0) tới mặt phẳng (P).

    Hướng dẫn:

    +) Gọi (\alpha),(\beta),(\gamma) lần lượt là mặt phẳng trung trực của các đoạn OA;OB;OC.

    Suy ra (\alpha):x - \frac{a}{2} = 0,(\beta):y - \frac{a}{2} = 0,(\gamma):z - \frac{a}{2} = 0

    +) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABCthì I = (\alpha) \cap (\beta) \cap (\gamma).

    Tìm được I\left( \frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{2} \right)

    +)a + b + c = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = 1, do đó I \in (P):x+y + z = 1

    +) d\left( M;(P) \right) = \frac{|2016 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2015}{\sqrt{3}}.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Một tháp kiểm soát không lưu ở sân bay cao 109 m đặt một đài kiểm soát không lưu ở độ cao 105m. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 450\ km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox là hướng tây, trục Oy là hướng nam và trục Oz là trục thẳng đứng (như hình vẽ), đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

    Một máy bay đang ở vị trí Acách mặt đất 8\ km, cách 268\ km về phía đông, 185\ km về phía nam so với tháp kiểm soát không lưu và đang chuyển động theo đường thẳng dcó vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (82; 76; 0) hướng về đài kiểm soát không lưu. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) Đài kiểm soát không lưu có toạ độ là (0;0;0).Sai||Đúng

    b) Vị trí Acó toạ độ là ( - 268;185;8). Đúng||Sai

    c) Đài kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí A. Đúng||Sai

    d) Khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là 217,96\ km. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một tháp kiểm soát không lưu ở sân bay cao 109 m đặt một đài kiểm soát không lưu ở độ cao 105m. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 450\ km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox là hướng tây, trục Oy là hướng nam và trục Oz là trục thẳng đứng (như hình vẽ), đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

    Một máy bay đang ở vị trí Acách mặt đất 8\ km, cách 268\ km về phía đông, 185\ km về phía nam so với tháp kiểm soát không lưu và đang chuyển động theo đường thẳng dcó vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (82; 76; 0) hướng về đài kiểm soát không lưu. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) Đài kiểm soát không lưu có toạ độ là (0;0;0).Sai||Đúng

    b) Vị trí Acó toạ độ là ( - 268;185;8). Đúng||Sai

    c) Đài kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí A. Đúng||Sai

    d) Khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là 217,96\ km. Sai||Đúng

    a) Sai.

    Gốc O trùng với vị trí chân tháp và đài kiểm soát không lưu được đặt ở độ cao 105\ mnên có toạ độ là (0;0;0,105)

    b) Đúng.

    Hệ trục toạ độ Oxyzcó trục Oxlà hướng tây, trục Oylà hướng nam và trục Ozlà trục thẳng đứng và vị trí Acách mặt đất 8\ km, cách 268\ kmvề phía đông, 185\ kmvề phía nam nên có toạ độ là ( - 268;185;8).

    c) Đúng.

    Khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu là:

    \sqrt{(0 + 268)^{2} + (0 - 185)^{2} + (0,105 - 8)^{2}} \approx 325,75 (km).

    Vì 325,75 < 450 nên đài kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí A.

    d) Sai.

    Gọi I(0;0;0,105) là vị trí đài kiểm soát không lưu.

    Phương trình tham số của đường thẳng dlà:\left\{ \begin{matrix} x = - 268 + 82t \\ y = 185 + 76t \\ z = 8 \end{matrix} \right. (tlà tham số)

    Gọi Mlà vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất khi đó:

    \left\{ \begin{matrix} M \in d \\ IM\bot d \end{matrix} \right. hay M( - 268 + 82t;185 + 76t;8) và

    \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{u} = 0

    \Leftrightarrow ( - 268 + 82t).82 + (185 + 76t).76 + (8 - 0,105).0 = 0

    \Leftrightarrow 12500t - 7916 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1979}{3125}

    \Rightarrow M( - 216,07;233,13;8)

    Khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là:

    \sqrt{( - 216,07)^{2} + (233,13) + (8 - 0,105)^{2}} \approx 317,96(km).

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng (P):x+y+2z-13=0. Xét các mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức T=a^2+2b^2+3c^2 khi (S) có bán kính nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

     Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có IA + IH =2R nên R nhỏ nhất khi I, A, H thẳng hàng và I là trung điểm của AH.

    Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{matrix}ight.

    Tọa độ H là nghiệm (x;y;z) của hệ:

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \\ x+y+2z-13=0 \end{matrix}ight.

    \Rightarrow H(3;4;3)\Rightarrow I(2;3;1)

    Suy ra, ta có: T=a^2+2b^2+3c^2 =2^2+2.3^2+3.1^2=25

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 16 và điểm A(1;2;3). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

    Hướng dẫn:

    Cách 1:

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P),(Q),(R) .

    Với điểm I bất kỳ, hạ II_{1};II_{2};II_{3} lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng (P),(Q),(R) thì ta luôn có: IA^{2} = I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2}\ \ \ (1).

    Thật vậy, ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz vớiO \equiv A, ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng (P),(Q),(R).

    Khi đó tọa độ I(a;b;c) thì:

    IA^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}\left( A;(Iyz) \right) + d^{2}\left( A;(Ixz) \right) + d^{2}\left( A;(Ixy) \right)

    hay IA^{2} = I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2}.

    Vậy (1) được chứng minh.

    Áp dụng giải bài :

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 1;2) và có bán kính r = 4.

    \overrightarrow{IA}(0;3;1) \Rightarrow IA = \sqrt{10}.

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P),(Q),(R) và cắt mặt cầu (S) theo ba đường tròn lần lượt là: \left( C_{1} \right),\left( C_{2} \right),\left( C_{3} \right)

    Gọi I_{1};I_{2};I_{3} và r_{1};r_{2};r_{3} lần lượt là tâm và bán kính của \left( C_{1} \right),\left( C_{2} \right),\left( C_{3} \right)

    Khi đó: II_{1}\bot(P) \Leftrightarrow I{I_{1}}^{2} + {r_{1}}^{2} = r^{2} \Leftrightarrow {r_{1}}^{2} = r^{2} - I{I_{1}}^{2}.

    Tương tự có: {r_{2}}^{2} = r^{2} - I{I_{2}}^{2};{r_{3}}^{2} = r^{2} - I{I_{3}}^{2}.

    Theo nhận xét ở trên ta có: IA^{2} = I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2}

    Ta có tổng diện tích các đường tròn là :

    S = \pi\left( {r_{1}}^{2} + {r_{2}}^{2} + {r_{3}}^{2} \right) = \pi\left( r^{2} - I{I_{1}}^{2} + r^{2} - I{I_{2}}^{2} + r^{2} - I{I_{3}}^{2} \right)

    = \pi\left\lbrack 3r^{2} - \left( I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2} \right) \right\rbrack

    = \pi\left( 3r^{2} - IA^{2} \right) = 38\pi.

    Cách 2:

    Đặt biệt hóa: Giả sử có 3 đường tròn \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right),\left( S_{3} \right); như hình bên trong đó \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right) đều là đường tròn lớn có bán kính là 4.

    I(1; - 1;2),A(1;2;3) suy ra IA = \sqrt{10};R = 4.

    Suy ra bán kính hình tròn \left( S_{3} \right) là r = \sqrt{16 - 10} = \sqrt{6}

    Tổng diện tích các hình tròn là: \pi.4^{2} + \pi.4^{2} + \pi.\left( \sqrt{6} \right)^{2} = 38\pi.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \left( S_{m} ight):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - m)^{2} = \frac{m^{2}}{4} với m > 0 là tham số thực) và hai điểm A(2;3;5),B(1;2;4). Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để trên \left( S_{m} ight) tồn tại điểm M sao cho MA^{2} - MB^{2} = 9?

    Hướng dẫn:

    Gọi M(x;y;z)

    Theo đề bài ra ta có:

    MA^{2} - MB^{2} = 9

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 5)^{2} - (x - 1)^{2} - (y - 2)^{2} - (z - 4)^{2} = 9

    \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0

    Mặt cầu (Sm) có tâm I(1; 1; m) và bán kính R = \frac{m}{2}

    Gọi (α): x + y + z − 4 = 0. Khi đó:

    M(1;1;m) \in \left( S_{m} ight) \Leftrightarrow d\left( I;(\alpha) ight) \leq R

    \Leftrightarrow \frac{|m - 2|}{\sqrt{3}} \leq \frac{m}{2} \Leftrightarrow m - 2 \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}m

    \Leftrightarrow m \geq 8 - 4\sqrt{3}

    Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số m cần tìm là m = 8 - 4\sqrt{3}.

  • Câu 6: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Tìm tập các tâm I của mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 4 = 0;(Q):x - 2y + 2z - 6 = 0.

    Hướng dẫn:

    Gọi A( - 4,0,0) và B(6, 0 , 0) lần lượt là giao điểm của trục x’Ox với (P) và (Q). Trung điểm E(1,0,0) của AB cách đều (P) và (Q).

    Tâm I cách đều (P) và (Q)

    \Rightarrow EI nằm trong mặt (R) qua E song song và cách đều (P) và (Q) ((P)//(Q)).

    \Rightarrow (R):x - 2y + 2z + D = 0,E \in (R) \Rightarrow D = - 1

    Vậy I \in (R):x - 2y + 2z - 1 = 0

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Tính thể tích khối tứ diện

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), trong đó a > 0,b > 0,c > 0 và \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7. Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = \frac{72}{7}. Thể tích của khối tứ diện OABC là.

    Hướng dẫn:

    Cách 1:

    Ta có : (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow bcx + acy + abz - abc = 0.

    Theo bài ra có: \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7 \Leftrightarrow bc + 2ca + 3ab = 7abc.

    Mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S) \Rightarrow d\left( I;(ABC) \right) = R

    \Leftrightarrow \frac{|bc + 2ca + 3ab - abc|}{\sqrt{b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2} + a^{2}b^{2}}} = \sqrt{\frac{72}{7}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{36}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \right) = \frac{7}{72} \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{7}{2}.

    Ta có \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7

    \Leftrightarrow 7 = \left( \frac{1}{a} + 2.\frac{1}{b} + 3.\frac{1}{c} \right)^{2} \leq (1 + 4 + 9)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \right).

    Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 2b = 3c \\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\b = 1 \\c = \frac{2}{3}\end{matrix} \right..

    VậyV_{OABC} = \frac{1}{6}abc = \frac{1}{6}.2.1.\frac{2}{3} = \frac{2}{9}.

    Cách 2:

    Ta có (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 và \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7 suy ra M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7}\right)\in (ABC).

    Lại có M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7} \right) \in (S) nên (ABC) tiếp xúc với (S) tại M.

    Suy ra (ABC):\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{\frac{2}{3}} = 1 nên V_{OABC} = \frac{1}{6}abc = \frac{1}{6}.2.1.\frac{2}{3} = \frac{2}{9}.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Xác định số phần bằng nhau

    Cho hình hợp chữ nhật ABCD.EFGH có A(0,0,0);\ \ \ B(4,0,0);\ \ \ D(0,6,0);\ \ \ E(0,0,2). Ba mặt phẳng: x - 2z = 0;\ \ y - 3 = 0;\ \ \ x + 2z - 4 = 0 chia hình hộp chữ nhật thanh mấy phần bằng nhau?

    Hướng dẫn:

    Hai mặt phẳng: x - 2z và x + 2z- 4 = 0 chia hình hộp chữ nhật thành 4 phần bằng nhau.

    Mặt phẳng y - 3 = 0 cắt 4 phần trên thành 8 phần bằng nhau. (Học sinh tự vẽ hình).

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính độ dài đoạn thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt cầu (S) tâm I(5; - 3;5), bán kính R = 2\sqrt{5}. Từ một điểm A thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B. Tính OA biết AB = 4.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là

    d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 5 - 2.( - 3) + 2.5 - 3 ight|}{3} = 6

    Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên tam giác AIB vuông tại B, do đó ta có:

    IA = \sqrt{IB^{2} + AB^{2}} = \sqrt{R^{2} + AB^{2}} = 6 = d\left( I;(P) ight)

    Đường thẳng IA đi qua I(5; −3; 5) có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1; - 2;2) nên có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 3 - 2t \\ z = 5 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do A = IA ∩ (P) nên 5 + t − 2(−3 − 2t) + 2(5 + 2t) − 3 = 0 ⇔ t = −2

    Vậy A(3; 1; 1) nên OA = \sqrt{11}.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Xác định vị trí tương đối của hai đối tượng

    Mặt phẳng (P):2x - 4y + 4z + 5 = 0 và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    a = 1;b = - 2;c = - 1;d = - 3 \Rightarrow R = 3. Tâm I = (1, - 2, - 1)

    d(I,P) = \frac{11}{6} < R = 3 \Rightarrow (P) cắt (S)

  • Câu 11: Thông hiểu
    Chọn phương trình mặt cầu thích hợp

    Cho điểm I(1;1; - 2) đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{1}. Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB = 6 là:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng(d)đi qua M( - 1;\ 3;2)và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 2;\ 1).

    Gọi H là hình chiếu của I trên (d).

    Ta có: IH = d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{18}

    \Rightarrow R^{2} = IH^{2} + \left(\frac{AB}{2} \right)^{2} = 27.

    Vậy phương trình mặt cầu: (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 27.

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 2)^2 = 9 hai hai điểm M(4; −4; 2),N(6; 0; 6). Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM + EN đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.

    Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:

    (EM + EN)^{2} \leq 2\left( EM^{2} + EN^{2} ight) = 2\left( 2EP^{2} + \frac{MN^{2}}{2} ight)

    nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.

    Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:

    \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}

    Tọa độ E thỏa hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 \\\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z - 2}{1} \\\end{matrix} ight.

    Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).

    Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là 2x−2y+z+9 = 0.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính bán kính r của đường tròn (C)

    Trong không gian cho đường tròn (C):\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0 \\ x - 2y + 2z + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    Bán kính r của đường tròn (C) bằng:

    Hướng dẫn:

    Cùng đề trên nên có bán kính mặt cầu là R = \sqrt{5} .

    Khoảng cách từ I đến thiết diện là h = \frac{\left| 2 - 2( - 3) + 2( - 3) + 1 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} = 1 .

    \Rightarrow Bán kính của (C) là: r = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 2.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

    Cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4z - 4 = 0 và ba điểmA(1,2, - 2);B( - 4,2,3);C(1, - 3,3) nằm trên mặt cầu (S). Bán kính r của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    h = \frac{|1 + 5.0 - 2 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 5^{2} + ( - 1)^{2}}} = \sqrt{3}

    \Rightarrow r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tìm phương trình mặt cầu

    Cho mặt phẳng (P):2x + 3y + z - 2 = 0 . Mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục Oz, bán kính bằng \frac{2}{\sqrt{14}} và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình:

    Hướng dẫn:

    Vì tâmI \in Oz \Rightarrow I(0;0;z)

    Mặt cầu (S)có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng

    (P) \Leftrightarrow d\left( I,(\beta) \right) = R \Leftrightarrow \frac{|2.0 + 3.0 + 1.z - 2|}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{14}}

    \Leftrightarrow |z - 2| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} z = 0 \Rightarrow I(0;0;0) \\ z = 4 \Rightarrow I(0;0;4) \\ \end{matrix} \right.

    Vậy phương trình mặt cầu .(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{2}{7} hoặc (S):x^{2} + y^{2} + (z - 4)^{2} = \frac{2}{7}.

  • Câu 16: Vận dụng
    Viết phương trình mặt cầu

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG}trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( S_{2} \right) nội tiếp hình lập phương.

    Hướng dẫn:

    \left( S_{2} \right) có tâm I\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) là trung điểm của 3 đoạn nối trung điểm các mặt đối diện đôi một có độ dài cạnh bằng 1. Bán kính R_{1} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left( S_{2} \right):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}

    \Rightarrow \left( S_{2} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0

  • Câu 17: Vận dụng
    Tìm bán kính

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng:

    Hướng dẫn:

    Tìm bán kính

    Gọi H là tâm của hình vuông ABCD.

    Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy.

    Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường phân giác trong của góc \widehat {SMH}{m{ (}}I \in SH).

    Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính r = IH.

    Ta có:

    \begin{array}{l}SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};{m{ }}\\SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};{m{ }}MH = \dfrac{a}{2}.\end{array}

    Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có: \frac{{IS}}{{IH}} = \frac{{MS}}{{MH}}

     

       \Rightarrow \frac{{SH}}{{IH}} = \frac{{MS + MH}}{{MH}}

    \Rightarrow IH = \dfrac{{SH.MH}}{{MS + MH}} = \frac{a}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }} = \dfrac{{a\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } ight)}}{4}

  • Câu 18: Vận dụng
    Xác định giá trị của k

    Cho hai điểm A(2, - 3, - 1);\ \ \ B( - 4,5, - 3). Định k để tập hợp các điểm M(x,y,z) sao cho AM^{2} + BM^{2} = 2\left( k^{2} + 1 \right),\ \ k \in \mathbb{R}^{+}, là một mặt cầu.

    Hướng dẫn:

    Theo bài ra ta có:

    AM^{2} + BM^{2} = 2\left( k^{2} + 1 \right)

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 1)^{2} + (x + 4)^{2}+ (y - 5)^{2} + (z + 3)^{2} = 2\left( k^{2} + 1 \right)

    \Leftrightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 4z + 31 - k^{2} = 0,\ \ k \in \mathbb{R}^{+}

    Ta có: a = - 1;b = 1;c = - 2;d = 31 - k^{2}

    (S) là mặt cầu \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 \Leftrightarrow k^{2} - 25 > 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} k < 5 \\ k > - 5 \\ \end{matrix} \right. Với k \in \mathbb{R}^{+} \Rightarrow k > 5

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tính chu vi đường tròn

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 20 = 0 và mặt phẳng (\alpha):x + 2y - 2z + 7 = 0 cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = 5.

    Ta có d\left( I,(\alpha) ight) = \ \frac{|1.1 + 2.2 - 2.0 + 7|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 4

    Vì d(I,(α)) < R nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).

    Lấy M ∈ (C) ⇒ M ∈ (S)

    Tam giác IHM vuông tại M \Rightarrow HM = \sqrt{IM^{2} - IH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3

    Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng 2π . HM = 6π.

  • Câu 20: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính 70km. Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1km. Một máy bay trực thăng đang ở vị trí A( - 65; - 25;30) bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi 200km/h, quỹ đạo bay theo đường thẳng.

    a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900. Đúng||Sai

    b) [TH] Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

    c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng d có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.. Đúng||Sai

    d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là 35 phút. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính 70km. Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1km. Một máy bay trực thăng đang ở vị trí A( - 65; - 25;30) bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi 200km/h, quỹ đạo bay theo đường thẳng.

    a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900. Đúng||Sai

    b) [TH] Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

    c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng d có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.. Đúng||Sai

    d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là 35 phút. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Vùng kiểm không lưu của của đài kiểm soát trên là tập hợp những điểm cách tâm O(0;\ \ 0;\ \ 0) không quá 70km.

    Hay tập hợp các điểm ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 70^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900.

    Suy ra mệnh đề đúng

    b) Ta có OA = \sqrt{( - 65)^{2} + ( - 25)^{2} + 30^{2}} \approx 75,8km

    Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì cách đài kiểm soát không lưu của sân bay một khoảng d \approx 75,8km > 70km

    Vậy đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay.

    Suy ra mệnh đề sai

    c) Từ thông tin của hệ trục và máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, quỹ đạo bay theo đường thẳng. Nên đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 1;\ 0). Đường thẳng d đi qua điểm A( - 65; - 25;30) nên có phương trình tham số: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra mệnh đề đúng

    d) Thay x,\ y,\ z theo t vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình:

    ( - 65 + t)^{2} + ( - 25 + t)^{2} + 30^{2} = 4900 \Leftrightarrow 2t^{2} - 180t + 850 = 0 \Leftrightarrow t = 5 hoặc t = 85

    Thay t = 5 vào phương trình của đường thẳng d ta được M( - 60; - 20;30).

    Thay t = 85 vào phương trình của đường thẳng d ta được N(20;60;30).

    Suy ra đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M( - 60; - 20;30) và N(20;60;30).

    Hay độ dài đoạn MN là khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay di chuyển trong phạm vi theo dõi của đài kiểm soát không lưu.

    MN = \sqrt{(60 + 20)^{2} + (20 + 60)^{2}} = 80\sqrt{2}km

    Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là thời gian máy bay di chuyển được quảng đường 80\sqrt{2}km.

    Thời gian đó bằng \frac{80\sqrt{2}}{200}.60 \approx 33,94 phút.

    Suy ra mệnh đề sai

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại

Đấu trường Toán 12 Phương trình mặt cầu CTST (Mức Khó)

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung
1
23 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này