Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình mặt cầu CTST (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Xác định phương trình mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1; - 1;4) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ?

    Hướng dẫn:

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu (S). Mặt cầu (S) tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên:

    d\left( I;(Oxy) ight) = d\left( I;(Oyz) ight) = d\left( I;(Ozx) ight)

    \Leftrightarrow |a| = |b| = |c| = R(*)

    Mặt cầu đi qua điểm A(1; - 1;4)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} IA = R \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} IA^{2} = R^{2} \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + ( - a + 1)^{2} + (a - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a^{2} - 12a + 18 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} - 6a + 9 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = c = 3 \\ b = - 3 \\ R = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (S):(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 9

  • Câu 2: Thông hiểu
    Vị trí tương đối của 2 mặt cầu

    Cho hai mặt cầu sau:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0

    Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?

    Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

    Đáp án là:

    Cho hai mặt cầu sau:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0

    Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?

    Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

     Theo đề bài, ta suy ra các hệ số, tâm và bán kính của (S):

    \left( S ight):a = 2;\,\,b = - 3;\,\,c = 5;\,\,d = - 11 \Rightarrow Tâm I\left( {2, - 3,5} ight); bán kính R=7

    \left( {S'} ight) = a' = 1;\,\,b' = - 1;\,c' = 3;\,\,d' = - 5 \Rightarrow Tâm J\left( {1, - 1,3} ight); bán kính R'=4

    I{J^2} = {\left( {1 - 2} ight)^2} + {\left( { - 1 + 3} ight)^2} + {\left( {3 - 5} ight)^2} = 9 \Rightarrow IJ = 3 = R - R'

    (S) và (S') tiếp xúc trong.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm tọa độ giao điểm theo yêu cầu

    Cho mặt cầu (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A( - 6, - 1,3). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua A. Tính tọa độ giao điểm của AI và mặt cầu (S).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \overrightarrow{AI} = 2(4, - 1, - 2)\Rightarrow AI:x = 2 + 4t;y = - 3 - t;z = - 1 - 2t,\ \ t\mathbb{\in R}

    AI cắt (S) \Rightarrow(2 + 4t)^{2} + (3 + t)^{2} + (1 + 2t)^{2}- 4(2 + 4t) + 6( - 3 - t) + 2( - 1 - 2t) - 2 = 0

    \Leftrightarrow 21t^{2} - 16 = 0 \Leftrightarrow t = \pm \frac{4\sqrt{21}}{21}

    \Rightarrow Hai giao điểm \left( 2 \pm \frac{16\sqrt{21}}{21}; - 3 \mp \frac{4\sqrt{21}}{21}; - 1 \mp \frac{8\sqrt{21}}{21} \right)

  • Câu 4: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hai điểm A(2, - 3, - 1);\ \ \ B( - 4,5, - 3). Tìm tập hợp các điểm M(x,y,z) thỏa mãn \frac{MA}{MB} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Hướng dẫn:

    Theo bài ra ta có:

    2MA = \sqrt{3}MB \Leftrightarrow 4MA^{2} = 3MB^{2}

    \Leftrightarrow 4\left\lbrack (2 - x)^{2} + ( - 3 - y)^{2} + ( - 1 - z)^{2} \right\rbrack

    = 3\left\lbrack ( - 4 - x)^{2} + (5 - y)^{2} + ( - 3 - z)^{2} \right\rbrack

    Mặt cầu x^{2} + y^{2} + z^{2} - 40x - 54y - 10z - 94 = 0

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho 4 điểm A(3; - 2; - 2),\ B(3;2;0),\ C(0;2;1) và D( - 1;1;2). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Mặt phẳng (BCD)đi qua B(3;2;0)và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right\rbrack = (1;2;3)

    \Rightarrow (BCD):x + 2y + 3z - 7 = 0

    Vì mặt cầu (S)có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)nên bán kính

    R = d\left( A,(BCD) \right) = \frac{\left| 3 + 2.( - 2) + 3.( - 2) - 7 \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \sqrt{14}.

    Vậy phương trình mặt cầu (S):(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 14.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Viết phương trình mặt cầu

    Cho hai mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 2z - 3 = 0 và (S'):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 4y - 2z - 2 = 0. Gọi (C) là giao tuyến của (S) và (S'). Viết phương trình mặt cầu \left( S_{1} \right) qua (C) và điểm A(2,1, - 3).

    Hướng dẫn:

    \left( S_{1} \right) thuộc họ (chùm) mặt cầu có phương trình (S) + m(S') = 0,\ m \neq 0

    A \in \left( S_{1} \right) \Rightarrow 10m + 11 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{11}{10}. Thay vào phương trình trên:

    \Rightarrow \left( S_{1} \right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 106x + 64y - 42z + 8 = 0

  • Câu 7: Thông hiểu
    Xác định tập hợp điểm I thỏa mãn điều kiện

    Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu (S) có bán kính R = 3 tiếp xúc với mặt phẳng (P):\ 4x - 2y - 4z + 3 = 0

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    d(I,P) = 3 \Leftrightarrow \frac{|4x - 2y - 4z + 3|}{6} = 3

    \Rightarrow Tập hợp các tâm I của hai mặt phẳng song song và cách đều (P) một đoạn bằng 3: 4x - 2y - 4z - 15 = 0;4x - 2y - 4z + 21 = 0

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3),B(6;5;5). Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rẳng (P):2x + by + cz + d = 0 với b;c;d\mathbb{\in Z}. Tính S = b +c + d.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{AB} = (4;4;2) = 2(2;2;1), \overrightarrow{AB} là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2x + 2y + z + d = 0.

    Gọi I là tâm mặt cầu thì I là trung điểm của AB suy ra I(4;3;4), bán kính mặt cầu R = \frac{AB}{2} = 3.

    Đặt IH = x suy ra HK = \sqrt{R^{2} - x^{2}} = \sqrt{9 - x^{2}}.

    Thể tích khối nón

    V = \frac{1}{3}IH.\pi.HK^{2} = \frac{1}{3}.\pi.\left( 9 - x^{2} \right)(3 + x)

    = \frac{1}{6}.\pi.(6 - 2x)(3 + x)(3 + x) \leq \frac{1}{6}.\pi\left( \frac{6 + 3 + 3}{3} \right)^{3}.

    Dấu bằng xảy ra khi 6 - 2x = 3 + x \Leftrightarrow x = 1.

    Ta có hệ: \left\{ \begin{matrix}d\left( A;(P) \right) = 4 \\d\left( I;(P) \right) = 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{|d + 9|}{3} = 4 \\\frac{|d + 18|}{3} = 1\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} d = 3 \hfill \\ d = - 21 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left[ \begin{gathered} d = - 21 \hfill \\ d = - 15 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow d = - 21

    Vậy (P):2x + 2y + z -21 =0.

    Suy ra: b + c + d = - 18.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2), mặt phẳng (α): x−y +z −4 = 0 và mặt cầu (S):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 16. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (α) và đồng thời (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của (P) và trục x’Ox là

    Hướng dẫn:

    Gọi (C) là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) và (C) có tâm H, bán kính r.

    Bán kính r của đường tròn là nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất khi và chỉ khi d(I,(P)) lớn nhất.

    Vì M ∈ x'Ox nên gọi M(m; 0; 0).

    Suy ra mặt phẳng (P) chứa AM và (P) ⊥ (α).

    Khi đó \overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ightbrack = (3;2 + m;m - 1)

    Mà mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:

    3(x − 0) + (2 + m)(y − 2) + (m − 1)(z − 2) = 0 hay 3x + (2 + m)y + (m − 1)z −3m=0

    Ta có:

    d\left( I;(P) ight) = \frac{9}{\sqrt{2m^{2} + 2m + 14}} lớn nhất khi và chỉ khi 2m^{2} + 2m + 14 đạt giá trị nhỏ nhất

    Mà 2m^{2} + 2m + 14 = 2\left( m + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{27}{2} \geq \frac{27}{2}

    Do đó 2m^{2} + 2m + 14 nhỏ nhất khi và chỉ khi m = - \frac{1}{2}

    Vậy M\left( - \frac{1}{2};0;0 ight).

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính diện tích mặt cầu (S)

    Cho hình hợp chữ nhật ABCD.EFGH có A(0,0,0);\ \ \ B(4,0,0);\ \ \ D(0,6,0);\ \ \ E(0,0,2). Tính diện tích mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hợp chữ nhật.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hợp chữ nhật có tâm là trung điểm chung của 4 đường chéo bằng nhau của hình hộp và có đường chéo bằng đường chéo. (Học sinh tự vẽ hình)

    AG^{2} = AC^{2} + AE^{2} = AB^{2} + AD^{2} + AE^{2}= 16 + 36 + 4 = 56

    R = \frac{AG}{2} \Rightarrow R^{2} = \frac{AG^{2}}{4} = \frac{56}{4} = 14 \Rightarrow S = 4\pi R^{2} = 56\piđvdt

  • Câu 11: Vận dụng
    Xác định phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Viết phương trình mặt cầu \left( S_{3} \right) ngoại tiếp tứ diện.

    Hướng dẫn:

    Tứ diện ABCD đều \Rightarrow \left( S_{3} \right) có tâm E(2,2,2)

    Bán kính R_{3}^{2} = EA^{2} = (1 - 2)^{2} + (1 - 2)^{2} + (1 - 2)^{2} = 3

    \Rightarrow \left( S_{3} \right) = (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 3

  • Câu 12: Vận dụng
    Xác định giá trị của k

    Cho hai điểm A(2, - 3, - 1);\ \ \ B( - 4,5, - 3). Định k để tập hợp các điểm M(x,y,z) sao cho AM^{2} + BM^{2} = 2\left( k^{2} + 1 \right),\ \ k \in \mathbb{R}^{+}, là một mặt cầu.

    Hướng dẫn:

    Theo bài ra ta có:

    AM^{2} + BM^{2} = 2\left( k^{2} + 1 \right)

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 1)^{2} + (x + 4)^{2}+ (y - 5)^{2} + (z + 3)^{2} = 2\left( k^{2} + 1 \right)

    \Leftrightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 4z + 31 - k^{2} = 0,\ \ k \in \mathbb{R}^{+}

    Ta có: a = - 1;b = 1;c = - 2;d = 31 - k^{2}

    (S) là mặt cầu \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 \Leftrightarrow k^{2} - 25 > 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} k < 5 \\ k > - 5 \\ \end{matrix} \right. Với k \in \mathbb{R}^{+} \Rightarrow k > 5

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; 3) , B (6; 5; 5). Gọi (S) là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng (P) : 2x + by + cz + d = 0 với b, c, d ∈ \mathbb{Z}. Tính giá trị T = b − c + d.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (4;4;2) mà \overrightarrow{AB}\bot(P) nên \frac{2}{4} = \frac{b}{4} = \frac{c}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.

    Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).

    Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên (S) có I(4;3;4);R = \frac{AB}{2} = 3

    Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.

    Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức

    Ta có:

    V = \frac{1}{3}\pi r^{2}AH = \frac{1}{3}\pi r^{2}(R + IH)

    = \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( R + \sqrt{R^{2} - r^{2}} ight)

    = \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}} ight)

    Đặt f(r) = 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}};r \in (0;3brack

    \Rightarrow f'(r) = r\left( 6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \frac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} ight)

    \Rightarrow f'(r) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}r = 0(ktm) \\6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \dfrac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 2\sqrt{9 - r^{2}} = r^{2} - 6;\left( r^{2} \geq 6 ight)

    \Leftrightarrow r^{4} - 8r^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = 0(L) \\ r^{2} = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = - 2\sqrt{2}(L) \\ r = 2\sqrt{2}(tm) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow HI = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 1

    \Rightarrow \frac{AH}{AI} = \frac{AI + HI}{AI} = \frac{R + HI}{R} = \frac{4}{3}

    \Rightarrow AH = \frac{4}{3}AI \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AI} \Rightarrow H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight)

    Mà H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight) \in (P):2x + 2y + z + d = 0 \Rightarrow d = - 21

    Vậy T = b − c + d = −20.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tính chu vi của đường tròn

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x - y - z + 3 = 0 và hai điểm M( - 1;1; - 1),N(3; - 3;3). Mặt cầu (S) đi qua hai điểm M,N và tiếp xúc với (P) tại C. Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính chu vi của đường tròn đó.

    Hướng dẫn:

    Ta có MN đi qua M( - 1;1; - 1), nhận \frac{1}{4}\overrightarrow{MN} = \frac{1}{4}(4; - 4;4) = (1; - 1;1) là một vecto chỉ phương nên MN:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right).

    Thay \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + t \end{matrix} \right.vào (P) ta được - 1 + t + 1 + t + 1 - t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = 4

    Tọa độ điểm D(3;3;3) là giao điểm của của MN và (P). Do đó theo tính chất của phương tích ta được DM.DN = DI^{2} - R^{2}.

    Mặt khác vì DC là tiếp tuyến của mặt cầu (S) cho nên DC^{2} = DI^{2} - R^{2}.

    Do vậy DC^{2} = DM.DN = 36 \Rightarrow DC = 6 (là một giá trị không đổi).

    Vậy C luôn thuộc một đường tròn cố định tâm D với bán kính R = 6 suy ra chu vi của đường tròn là 12\pi.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S):(x - 5)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 72 và điểm B(9; - 7;23). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Giả sử \overrightarrow{n}(1;m;n) là một vectơ pháp tuyến của (P). Khi đó

    Hướng dẫn:

    Giả sử mặt phẳng (P) có dạng:

    a(x - 0) + b(y - 8) + c(z - 2) = 0;\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0 \right).

    \Leftrightarrow ax + by + cz - 8b - 2c = 0

    Mặt cầu (S) có tâm I(5; - 3;7) và bán kính R = 6\sqrt{2}

    Điều kiện tiếp xúc:

    d\left( I;(P) \right) = 6\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{|5a- 3b + 7c - 8b - 2c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 6\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{|5a - 11b + 5c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 6\sqrt{2}(*).

    Mà d\left( B;(P) \right) = \frac{|9a - 7b+ 23c - 8b - 2c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}= \frac{|9a - 15b +21c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

    = \frac{\left| 5a - 11b + 5c + 4(a - b +4c) \right|} {\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

    \leq \frac{|5a - 11b + 5c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} + 4.\frac{|a - b + 4c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

    \leq 6\sqrt{2} + 4.\frac{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 4^{2}}.\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 18\sqrt{2}

    Dấu bằng xảy ra khi \frac{a}{1} = \frac{b}{- 1} = \frac{c}{4}

    Chọn a = 1;b = - 1;c = 4 thỏa mãn (*).

    Khi đó (P):x - y + 4z = 0

    Suy ra m = - 1;n = 4 \Rightarrow mn = - 4 .

  • Câu 16: Thông hiểu
    Viết phương trình mặt cầu

    Cho hình lập phương OABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {OC} ,\,\,\overrightarrow {OG} trùng với ba trục \overrightarrow {Ox} ,{m{ }}\overrightarrow {Oy} ,{m{ }}\overrightarrow {Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( {{S_3}} ight) tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương.

    Hướng dẫn:

     \left( {{S_2}} ight) tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương tại trung điểm của mỗi cạnh.

    Tâm I\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} ight) là trung điểm chng của 6 đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đôi một có độ dài bằng \sqrt 2

    Bán kính {R_3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

    \begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{S_2}} ight):{\left( {x - \dfrac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {y - \dfrac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {z - \dfrac{1}{2}} ight)^2} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \left( {{S_3}} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \dfrac{1}{4} = 0\end{array}

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 2)^2 = 9 hai hai điểm M(4; −4; 2),N(6; 0; 6). Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM + EN đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.

    Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:

    (EM + EN)^{2} \leq 2\left( EM^{2} + EN^{2} ight) = 2\left( 2EP^{2} + \frac{MN^{2}}{2} ight)

    nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.

    Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:

    \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}

    Tọa độ E thỏa hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 \\\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z - 2}{1} \\\end{matrix} ight.

    Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).

    Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là 2x−2y+z+9 = 0.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tìm điều kiện tham số m thỏa mãn yêu cầu

    Với điều kiện nào của m thì mặt phẳng cong sau là mặt cầu? (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(3 - m)x- 3(m + 1)y - 2mz + 2m^{2} + 7 = 0

    Hướng dẫn:

    Ta có: a = m - 3;\ \ b = m + 1;\ \ c = m;\ \ d = 2m^{2} + 7

    (S) là mặt cầu \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0

    \Leftrightarrow (m - 3)^{2} + (m + 1)^{2} + m^{2} - 2m^{2} - 7 > 0\Leftrightarrow m^{2} - 4m + 3 > 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 3 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thuộc mặt cầu (S): (x − 3)^2 + (y + 1)^2 + z^ 2 = 9 và ba điểm A(1; 0; 0), B(2; 1; 3), C(0; 2; −3). Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn MA^{2} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}= 8 là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này?

    Hướng dẫn:

    Ta có:\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MA} = (1 - x; - y; - z) \\\overrightarrow{MB} = (2 - x;1 - y;3 - z) \\\overrightarrow{MC} = ( - x;2 - y; - 3 - z) \\\end{matrix} ight. khi đó:

    MA^{2} +2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = 8

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} +z^{2} + 2\left\lbrack x(x - 2) + (y - 1)(y - 2) + (z - 3)(z + 3)ightbrack = 8

    \Leftrightarrow 3.\left( x^{2} + y^{2} +z^{2} ight) - 6x - 6y - 21 = 0

    \Leftrightarrow M \in (S'):x^{2} +y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 7 = 0

    Mà M \in (S):(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} +z^{2} = 9

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} -6x + 2y + 1 = 0

    Suy ra M ∈ (P): 4x − 4y − 8 = 0.

    Như vậy quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của (S) tâm I(3; −1; 0), bán kính R = 3 và (P)

    Ta có: d\left( I;(P) ight) = \sqrt{2}\Leftrightarrow r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \sqrt{7}

  • Câu 20: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính 70km. Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1km. Một máy bay trực thăng đang ở vị trí A( - 65; - 25;30) bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi 200km/h, quỹ đạo bay theo đường thẳng.

    a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900. Đúng||Sai

    b) [TH] Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

    c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng d có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.. Đúng||Sai

    d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là 35 phút. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính 70km. Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1km. Một máy bay trực thăng đang ở vị trí A( - 65; - 25;30) bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi 200km/h, quỹ đạo bay theo đường thẳng.

    a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900. Đúng||Sai

    b) [TH] Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

    c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng d có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.. Đúng||Sai

    d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là 35 phút. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Vùng kiểm không lưu của của đài kiểm soát trên là tập hợp những điểm cách tâm O(0;\ \ 0;\ \ 0) không quá 70km.

    Hay tập hợp các điểm ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 70^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900.

    Suy ra mệnh đề đúng

    b) Ta có OA = \sqrt{( - 65)^{2} + ( - 25)^{2} + 30^{2}} \approx 75,8km

    Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì cách đài kiểm soát không lưu của sân bay một khoảng d \approx 75,8km > 70km

    Vậy đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay.

    Suy ra mệnh đề sai

    c) Từ thông tin của hệ trục và máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, quỹ đạo bay theo đường thẳng. Nên đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 1;\ 0). Đường thẳng d đi qua điểm A( - 65; - 25;30) nên có phương trình tham số: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra mệnh đề đúng

    d) Thay x,\ y,\ z theo t vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình:

    ( - 65 + t)^{2} + ( - 25 + t)^{2} + 30^{2} = 4900 \Leftrightarrow 2t^{2} - 180t + 850 = 0 \Leftrightarrow t = 5 hoặc t = 85

    Thay t = 5 vào phương trình của đường thẳng d ta được M( - 60; - 20;30).

    Thay t = 85 vào phương trình của đường thẳng d ta được N(20;60;30).

    Suy ra đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M( - 60; - 20;30) và N(20;60;30).

    Hay độ dài đoạn MN là khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay di chuyển trong phạm vi theo dõi của đài kiểm soát không lưu.

    MN = \sqrt{(60 + 20)^{2} + (20 + 60)^{2}} = 80\sqrt{2}km

    Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là thời gian máy bay di chuyển được quảng đường 80\sqrt{2}km.

    Thời gian đó bằng \frac{80\sqrt{2}}{200}.60 \approx 33,94 phút.

    Suy ra mệnh đề sai

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
19 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này