Trong không gian cho mặt cầu
và hai điểm
. Gọi
là điểm thuộc mặt cầu (S). Giá trị nhỏ nhất của
bằng
Tâm , tính
.
.
Đặt thì C nằm trong mặt cầu và:
.
Vậy .
Trong không gian cho mặt cầu
và hai điểm
. Gọi
là điểm thuộc mặt cầu (S). Giá trị nhỏ nhất của
bằng
Tâm , tính
.
.
Đặt thì C nằm trong mặt cầu và:
.
Vậy .
Cho hai mặt phẳng ,
có phương trình
và
Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng
và tiếp xúc với mặt phẳng
tại điểm
, biết rằng
thuộc mặt phẳng
và có hoành độ
, có phương trình là:
Vì và có hoành độ bằng 1 nên
.
Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên
.
Gọi là tâm của mặt cầu
cần tìm.
Ta có tiếp xúc với mp
tại M nên
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Ta có:
Bán kính mặt cầu
Vậy phương trình mặt cầu .
Trong không gian , cho mặt cầu
và hai điểm
và
. Điểm
thay đổi trên mặt cầu
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng
Ta có , gọi
. Điểm C bên trong
.
Ta có
Suy ra và
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm M thuộc mặt cầu
và ba điểm
. Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn
là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này?
Ta có: khi đó:
Mà
Suy ra .
Như vậy quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của (S) tâm I(3; −1; 0), bán kính R = 3 và (P)
Ta có:
Trong không gian , cho ba điểm
, trong đó
và
. Biết mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
. Thể tích của khối tứ diện
là:
Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2; 3) và bán kính . Khi đó:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 2b = 3c. Thay vào giả thiết ta có:
Vì OABC là tứ diện vuông tại O nên
Với giá trị nào của thì hai mặt cầu sau tiếp xúc trong?
có tâm
, bán kính
có tâm
bán kính
và
tiếp xúc trong
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp
là:

Gọi , suy ra
.
Ta có .
Trong , ta có
.
Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.
Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn B.
Gọi
Xét có
đều.
Do đó d cũng là đường trung tuyến của . Suy ra I là trọng tâm
.
Bán kính mặt cầu .
Suy ra
Trong không gian , cho mặt cầu
có tâm
có bán kính bằng
và mặt cầu
có tâm
có bán kính bằng
.
là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu
,
. Đặt
,
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm
đến
. Giá trị
bằng
Ta có suy ra tâm
thuộc mặt cầu
. Giả sử đường thẳng IJ cắt (P) tại K, ta có:
Phương trình mp(OIJ): .
Gọi A, B là hai tiếp điểm trong mp(OIJ), khi đó KAB là tam giác đều. Đường thẳng AB qua H thuộc IJ và dễ thấy H là trung điểm IJ, tọa độ .

Phương trình AB: cắt
khi
.
mp(P) qua K, vtpt là
và tương tự:
Phương trình . Từ đó:
.
Trong đó nên
Cho điểm đường thẳng
Phương trình mặt cầu
có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
.
Gọi H là hình chiếu của I trên d.
Ta có : .
.
Vậy phương trình mặt cầu là :
Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng
vuông góc với đáy
. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng
đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm
nhận giá trị nào sau đây?

Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên
cân tại A , trung tuyến AM nên
(1)
Ta có
Do đó (2)
Từ (1) và (2), suy ra (*)
Lại có (**)
Từ (*) và (**), suy ra . Tương tự ta cũng có
Do đó nên năm điểm
cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính
.
Trong không gian , cho mặt cầu
và mặt phẳng
, với
là tham số. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo một đường tròn có chu vi
. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc
bằng:
Mặt cầu có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.
Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:
Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.
Giá trị phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu:
?
Ta có:
là mặt cầu
Trong không gian , cho mặt cầu
. Có tất cả bao nhiêu điểm
(
là các số nguyên) thuộc mặt phẳng
sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của
đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
Do thuộc mặt phẳng
nên
.
Nhận xét: Nếu từ A kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc đến mặt cầu khi và chỉ khi
Tập các điểm thỏa đề là các điểm nguyên nằm trong hình vành khăn (kể cả biên), nằm trong mặt phẳng , tạo bởi 2 đường tròn đồng tâm
bán kính lần lượt là 1 và 2.

Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu
. Gọi
là mặt phẳng đi qua hai điểm
và cắt
theo giao tuyến là đường tròn
sao cho khối nón có đỉnh là tâm của
và đáy là đường tròn
có thể tích lớn nhất. Biết rằng
. Tính
Gọi H là tâm đường tròn (C) bán kính r, I là tâm mặt cầu bán kính R. Đặt IH = h.

Ta có và thể tích khối nón đỉnh I là
.
Suy ra .
Mặt phẳng đi qua hai điểm A, B nên ta có:
, do đó
Vậy
Cho hình chóp có đáy
là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng
là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
bằng
. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng
. Đẳng thức nào sau đây sai?
Ta có .
Tam giác ABC đều cạnh a nên .
Trong tam giác vuông SHA, ta có .
Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu .
Ta có
Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Suy ra và
.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra (1).
Ta có (2)
Từ (1) và (2) , suy ra nên
.
Trong tam giác vuông SHE, ta có .
Vậy .
Trong không gian cho tứ diện
với điểm
,
,
và
. Thể tích của mặt cầu nội tiếp tứ diện
là
Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:
Gọi là tâm và R là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện
Do đó:
I nằm cùng phái với A đối với suy ra:
.
I nằm cùng phía với B đối với suy ra:
.
I nằm cùng phía với C đối với suy ra:
.
I nằm cùng phía với D đối với suy ra:
.
Suy ra:
Suy ra:
Thể tích mặt cầu cần tìm là:
Cách khác: Sử dụng công thức nhanh.
(r là bán kính của mặt cầu nội tiếp)
Ta có:
,
.
.
,
,
,
.
Ta có:
.
Vậy: .
Trong không gian , cho mặt phẳng
và mặt cầu
cắt nhau theo giao tuyến đường tròn
. Gọi
là thể tích khối cầu
,
là thể tích khối nón
có đỉnh là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu
và vuông góc với mặt phẳng
, đáy là đường tròn
. Biết độ dài đường cao khối nón
lớn hơn bán kính của khối cầu
. Tính tỉ số
?
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:
Bán kính đường tròn là:
Thể tích khối cầu (S) là:
Chiều cao hình nón là .
Thể tích khối nón là
Vậy .
Cho ba điểm và mặt phẳng
. Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm
và có tâm thuộc mặt phẳng
là:
Phương mặt cầu có dạng:
, ta có :
Lấy ;
; kết hợp (4) ta được hệ:
Vậy phương trình mặt cầu là : .
Lưu ý : Ở câu này nếu nhanh trí chúng ta có thể sử dụng máy tính cầm tay thay ngay tọa độ tâm của các mặt cầu ở 4 đáp án trên vào phương trình mặt phẳng để loại ngay được các đáp án có tọa độ tâm không thuộc mặt phẳng
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau nằm trên?
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của :
Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là
Xét là mặt cầu
Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng
tương ứng với .
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu
;
Ta có:
Tâm
đường thẳng:
là mặt cầu
Vậy tập hợp các tâm O là phần đường thẳng tương ứng với
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: