Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình mặt cầu CTST (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz cho điểm A(5;3; - 2) và mặt cầu (S) có phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 2z - 3 = 0. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt (S) hai điểm phân biệt M,N. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = AM + 4AN.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu tâm I(2; - 1;1), bán kính R = 3. Ta có IA^{2} = 34.

    Gọi H là trung điểm MN và chọn vị trí M, N như hình vẽ. Khi đó:

    S = 4AN + AM = 4(AH - HN) + AH + HM = 5AH - 3HN

    S = 5\sqrt{34 - IH^{2}} - 3\sqrt{9 - IH^{2}} = 5\sqrt{34 - t^{2}} - 3\sqrt{9 - t^{2}}.

    Khảo sát hàm số trên \lbrack 0;3) thì S_{\min} = 5\sqrt{34} - 9 \approx 20.155 tại t = 0.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tìm điểm thuộc mặt cầu (S)

    Mặt cầu (S) có tâm I(2;1; -1) và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông. Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu (S):

    Hướng dẫn:

    Gọi H là hình chiếu của I(2;1; -1) trên Ox\Rightarrow H(2;0;0) \Rightarrow IH = d(I,\ Ox) = \sqrt{2}

    \Rightarrow R^{2} = IH^{2} + \left( \frac{AB}{2} \right)^{2} = 4

    Vậy phương trình mặt cầu là : (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 4

    \Rightarrow (2;1;1) \in (S).

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian Oxyz cho đường tròn (C):\left\{ \begin{matrix} x^2 + y^2+ z^{2} - 2x - 4y - 6z - 67 = 0 \\ 2x - 2y + z + 5 = 0 \\ \end{matrix} \right.. Bán kính r của (C) bằng:

    Hướng dẫn:

    Viết lại phương trình mặt cầu (S) chứa (C) :

    (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81.

    Để biết tâm I(1,2,3) và bán kính R = 9 .

    \Rightarrow Bán kính của (C) là :r = \sqrt{81 - 4} = \sqrt{77} (do khoảng cách từ I đến mặt phẳng chứa (C) là h = \frac{|2.1 - 2.2 + 3 + 5|}{\sqrt{2^{2} + ( - 2)^{2} + 1^{2}}} = 2) .

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1;2; - 2). Mặt phẳng (\alpha) đi qua H và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho H là trực tâm của \Delta ABC. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC?

    Hướng dẫn:

    Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) lần lượt thuộc các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

    Khi đó ta có phương trình mặt phẳng (α) đi qua các điểm A, B, C là

    \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Vì H \in (\alpha) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{2}{c} = 1\ \ (1)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (1 - a;2; - 2);\overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{BH} = (1;2 - b; - 2);\overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight.

    Theo đề bài ta có H là trực tâm \Delta ABC, ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}\bot\overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{BH}\bot\overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2b - 2c = 0 \\ - a - 2c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2c \\ b = - c \\ \end{matrix} ight. thay vào (1) ta được:

    \frac{1}{- 2c} + \frac{2}{- c} - \frac{2}{c} = 1 \Rightarrow c = - \frac{9}{2} \Rightarrow a = 9;b = \frac{9}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A(9;0;0) \\B\left( 0;\dfrac{9}{2};0 ight) \\C\left( 0;0; - \dfrac{9}{2} ight) \\\end{matrix} ight.. Gọi I\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp tứ giác OABC, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}OI = IA \\OI = IB \\OI = IC \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = \left( x_{0} - 9 ight)^{2} +{y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} \\{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = {x_{0}}^{2} + \left( y_{0} -\dfrac{9}{2} ight)^{2} + {z_{0}}^{2} \\{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = {x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} +\left( z_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{x_{0}}^{2} = \left( x_{0} - 9 ight)^{2} \\{y_{0}}^{2} = \left( y_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\{z_{0}}^{2} = \left( z_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - x_{0} - 9 \\y_{0} = - y_{0} - \dfrac{9}{2} \\z_{0} = - z_{0} - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} = \dfrac{9}{2} \\y_{0} = \dfrac{9}{4} \\z_{0} = - \frac{9}{4} \\\end{matrix} ight.

    Vậy I\left( \frac{9}{2};\frac{9}{4}; - \frac{9}{4} ight);R = OI = \frac{9\sqrt{6}}{4}

    \Rightarrow S_{(I)} = 4\pi R^{2} = 4\pi.\left( \frac{9\sqrt{6}}{4} ight)^{2} = \frac{243\pi}{2}

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 16 và điểm A(1;2;3). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

    Hướng dẫn:

    Cách 1:

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P),(Q),(R) .

    Với điểm I bất kỳ, hạ II_{1};II_{2};II_{3} lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng (P),(Q),(R) thì ta luôn có: IA^{2} = I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2}\ \ \ (1).

    Thật vậy, ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz vớiO \equiv A, ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng (P),(Q),(R).

    Khi đó tọa độ I(a;b;c) thì:

    IA^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} = d^{2}\left( A;(Iyz) \right) + d^{2}\left( A;(Ixz) \right) + d^{2}\left( A;(Ixy) \right)

    hay IA^{2} = I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2}.

    Vậy (1) được chứng minh.

    Áp dụng giải bài :

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 1;2) và có bán kính r = 4.

    \overrightarrow{IA}(0;3;1) \Rightarrow IA = \sqrt{10}.

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P),(Q),(R) và cắt mặt cầu (S) theo ba đường tròn lần lượt là: \left( C_{1} \right),\left( C_{2} \right),\left( C_{3} \right)

    Gọi I_{1};I_{2};I_{3} và r_{1};r_{2};r_{3} lần lượt là tâm và bán kính của \left( C_{1} \right),\left( C_{2} \right),\left( C_{3} \right)

    Khi đó: II_{1}\bot(P) \Leftrightarrow I{I_{1}}^{2} + {r_{1}}^{2} = r^{2} \Leftrightarrow {r_{1}}^{2} = r^{2} - I{I_{1}}^{2}.

    Tương tự có: {r_{2}}^{2} = r^{2} - I{I_{2}}^{2};{r_{3}}^{2} = r^{2} - I{I_{3}}^{2}.

    Theo nhận xét ở trên ta có: IA^{2} = I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2}

    Ta có tổng diện tích các đường tròn là :

    S = \pi\left( {r_{1}}^{2} + {r_{2}}^{2} + {r_{3}}^{2} \right) = \pi\left( r^{2} - I{I_{1}}^{2} + r^{2} - I{I_{2}}^{2} + r^{2} - I{I_{3}}^{2} \right)

    = \pi\left\lbrack 3r^{2} - \left( I{I_{1}}^{2} + I{I_{2}}^{2} + I{I_{3}}^{2} \right) \right\rbrack

    = \pi\left( 3r^{2} - IA^{2} \right) = 38\pi.

    Cách 2:

    Đặt biệt hóa: Giả sử có 3 đường tròn \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right),\left( S_{3} \right); như hình bên trong đó \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right) đều là đường tròn lớn có bán kính là 4.

    I(1; - 1;2),A(1;2;3) suy ra IA = \sqrt{10};R = 4.

    Suy ra bán kính hình tròn \left( S_{3} \right) là r = \sqrt{16 - 10} = \sqrt{6}

    Tổng diện tích các hình tròn là: \pi.4^{2} + \pi.4^{2} + \pi.\left( \sqrt{6} \right)^{2} = 38\pi.

  • Câu 6: Vận dụng
    Xác định phương trình mặt cầu

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG}trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( S_{3} \right) tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương.

    Hướng dẫn:

    \left( S_{2} \right) tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương tại trung điểm của mỗi cạnh. Tâm I\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) là trung điểm của 6 đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đôi một có độ dài bằng \sqrt{2}

    Bán kính R_{3} =\frac{\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow \left( S_{2} \right):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left( S_{3} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{4} = 0

  • Câu 7: Vận dụng
    Tìm tọa độ giao điểm theo yêu cầu

    Cho mặt cầu (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A( - 6, - 1,3). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua A. Tính tọa độ giao điểm của AI và mặt cầu (S).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \overrightarrow{AI} = 2(4, - 1, - 2)\Rightarrow AI:x = 2 + 4t;y = - 3 - t;z = - 1 - 2t,\ \ t\mathbb{\in R}

    AI cắt (S) \Rightarrow(2 + 4t)^{2} + (3 + t)^{2} + (1 + 2t)^{2}- 4(2 + 4t) + 6( - 3 - t) + 2( - 1 - 2t) - 2 = 0

    \Leftrightarrow 21t^{2} - 16 = 0 \Leftrightarrow t = \pm \frac{4\sqrt{21}}{21}

    \Rightarrow Hai giao điểm \left( 2 \pm \frac{16\sqrt{21}}{21}; - 3 \mp \frac{4\sqrt{21}}{21}; - 1 \mp \frac{8\sqrt{21}}{21} \right)

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức T

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; - 2;6),B(0;1;0) và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25. Mặt phẳng (P):ax + by + cz - 2 = 0 đi qua A,B và cắt (S) theo giao tuyến là hình tròn có bán kinh nhỏ nhất. Tính T = a + b + c?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R = 5.

    Mặt phẳng (P) có vtpt \overrightarrow{n_{p}} = (a;b;c);\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0 \right).

    Do B(0;1;0) \in (P):b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 2.

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 3;3; - 6) = - 3(1; - 1;2), phương trình đường thẳng AB:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)

    Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến, K là hình chiếu của I trên AB, H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).

    Ta có: K \in AB \Rightarrow K(t;1 - t;2t)

    \Rightarrow \overrightarrow{IK} = (t - 1; - t - 1;2t - 3)

    IK\bot AB \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{IK} = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow{IK} = (0; - 2; - 1)

    r = \sqrt{R^{2} - d^{2}\left( I;(P) \right)} = \sqrt{25 - d^{2}\left( I;(P) \right)} = \sqrt{25 - IH^{2}}

    Ta có: r đạt min thì IH đạt max.

    Mà IH \leq IK \Rightarrow IH_{\min} \Leftrightarrow H \equiv K \Rightarrow (P)\bot IK \Rightarrow\overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{IK} cùng phương

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{P}} = k.\overrightarrow{IK} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = - 2k = 2 \\ c = - k \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ k = - 1 \\ b = 2 \\ c = 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 2 \\ c = 1 \end{matrix} \right.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính tích mn

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 5)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 72 và hai điểm A(0;8;2), B(9; - 7;23). Gọi mặt phẳng (P) đi qua A và (P) tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) lớn nhất. Giả sử \overrightarrow{n} = (1;m;n) là một véc tơ pháp tuyến của (P), khi đó tích mn là

    Hướng dẫn:

    Phương trình (P) là 1(x - 0) + m(y - 8) + n(z - 2) = 0. Do (P) tiếp xúc với (S) nên ta có: d\left( I,(P) \right) = R \Rightarrow \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = \sqrt{72}. Khoảng cách từ B đến (P) là:

    d\left( B,(P) \right) = \frac{|9 - 15m + 21n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = \frac{\left| 5 - 11m + 5n + 4(1 - m + 4n) \right|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}.

    Suy ra

    d\left( B,(P) \right) \leq \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} + \frac{4|1 - m + 4n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}

    \leq \sqrt{72} + 4.\frac{\sqrt{(1 + 1 + 16)\left( 1 + m^{2} + n^{2} \right)}}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 18\sqrt{2}.

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} (5 - 11m + 5n)(1 - m + 4n) > 0 \\ \frac{1}{1} = \frac{m}{- 1} = \frac{n}{4} \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow m = - 1,n = 4.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Định phương trình mặt cầu (S)

    Cho điểm I(1;1; - 2) đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{1}. Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d đi qua M( - 1;\ 3;2)và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 2;\ 1).

    Gọi H là hình chiếu của I trên d.

    Ta có : IH = d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{18}.

    \Rightarrow IH = R.\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow R = \frac{2IH}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}.

    Vậy phương trình mặt cầu là : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 24.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tính bán kính mặt cầu

    Bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm M(1;0;1),\ N(1;0;0),\ P(2;1;0) và Q(1;1;1) bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0.

    Do (S) đi qua bốn điểm M, N, P, Q nên ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} - 2a - 2c + d = - 2 \\ - 2a + d = - 1 \\ - 4a - 2b + d = - 5 \\ - 2a - 2b - 2c + d = - 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = \dfrac{3}{2} \\ b = \dfrac{1}{2} \\ c = \dfrac{1}{2} \\ d = 2 \\ \end{matrix} \right..

    Vậy R = \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} - 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Tìm tập các tâm I của mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 4 = 0;(Q):x - 2y + 2z - 6 = 0.

    Hướng dẫn:

    Gọi A( - 4,0,0) và B(6, 0 , 0) lần lượt là giao điểm của trục x’Ox với (P) và (Q). Trung điểm E(1,0,0) của AB cách đều (P) và (Q).

    Tâm I cách đều (P) và (Q)

    \Rightarrow EI nằm trong mặt (R) qua E song song và cách đều (P) và (Q) ((P)//(Q)).

    \Rightarrow (R):x - 2y + 2z + D = 0,E \in (R) \Rightarrow D = - 1

    Vậy I \in (R):x - 2y + 2z - 1 = 0

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Xác định số điểm A thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + \left( z + \sqrt{2} \right)^{2} = 3. Có tất cả bao nhiêu điểm A(a;b;c) (a;b;c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

    Hướng dẫn:

    Do A(a;b;c) thuộc mặt phẳng (Oxy) nên A(a;b;0).

    Nhận xét: Nếu từ A kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc đến mặt cầu khi và chỉ khi R \leq IA \leq R\sqrt{2}

    \Leftrightarrow 3 \leq a^{2} + b^{2} + 2 \leq 6 \Leftrightarrow 1 \leq a^{2} + b^{2} \leq 4

    Tập các điểm thỏa đề là các điểm nguyên nằm trong hình vành khăn (kể cả biên), nằm trong mặt phẳng (Oxy), tạo bởi 2 đường tròn đồng tâm O(0;0;0) bán kính lần lượt là 1 và 2.

    Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 14: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu

    (S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m - 2)x+ 4y - 2z + 2m + 4 = 0; m\mathbb{\in R}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    a = 2 - m;b = - 2;c = 1;d = 2m + 4

    Tâm I;(x = 2 - m;y = - 2;z = 1)

    \Rightarrow I \in đường thẳng: y + 2 = 0;z - 1 = 0

    (S) là mặt cầu

    \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6m + 5 > 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 - x < 1 \\ 2 - x > 5 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 3 \\ x > 1 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy tập hợp các tâm O là phần đường thẳng :y + 2 = 0;z - 1 = 0 tương ứng với \left\lbrack \begin{matrix} x < - 3 \\ x > 1 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tìm tham số để mặt cong là mặt cầu

    Giá trị \alpha phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu: (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2\left( 3 - cos^{2}\alpha \right)x+ 4\left( sin^{2}\alpha - 1 \right) + 2z + cos4\alpha + 8 = 0?

    Hướng dẫn:

    Ta có: a = 2cos^{2}\alpha - 3 = cos2\alpha - 2;b = 2\left( 1 - sin^{2}\alpha \right) = cos2\alpha + 1;c = - 1;

    d = cos4\alpha + 8 = 2cos^{2}2\alpha + 7.\ \ (S) là mặt cầu \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0

    \begin{matrix} \Leftrightarrow - 1 + \cos 2\alpha < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi < 2\alpha < \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} + k\pi < \alpha < \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho 4 điểm A(3; - 2; - 2),\ B(3;2;0),\ C(0;2;1) và D( - 1;1;2). Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Mặt phẳng (BCD)đi qua B(3;2;0)và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right\rbrack = (1;2;3)

    \Rightarrow (BCD):x + 2y + 3z - 7 = 0

    Vì mặt cầu (S)có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)nên bán kính

    R = d\left( A,(BCD) \right) = \frac{\left| 3 + 2.( - 2) + 3.( - 2) - 7 \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \sqrt{14}.

    Vậy phương trình mặt cầu (S):(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 14.

  • Câu 17: Vận dụng
    Xác định tọa độ tâm I

    Cho tứ diện ABCD có A(3,6, - 2);B(6,0,1);C( - 1,2,0);D(0,4,1). Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tọa độ:

    Hướng dẫn:

    Gọi I(x,y,z) là tâm cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ BI^{2} = CI^{2} \\ CI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 2)^{2} = (x - 6)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} \\ (x - 6)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\ (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = x^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 1)^{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6x - 12y + 6z = - 12 \\ - 14x + 4y - 2z = - 32 \\ 2x + 4y + 2z = 12 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2y + z = - 2 \\ 7x - 2y + z = 16 \\ x + 2y + z = 6 \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow I(3,2, - 1)

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 và các điểm A(1;0;2),B( - 1;2;2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax + by + cz + 3 = 0. Tính T = a + b +c.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 4.

    Vì IA = \sqrt{5} < R nên điểm A nằm bên trong mặt cầu. Suy ra (P) luôn cắt mặt cầu. Gọi r là bán

    kính đường tròn giao tuyến, ta có r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} với d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P).

    Diện tích hình tròn thiết diện nhỏ nhất khi và chỉ khi bán kính r nhỏ nhất, hay d lớn nhất.

    Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB ta có d lớn nhất khi d = IH tức IH vuông góc với (P).

    Phương trình đường thẳng AB:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 2 \end{matrix} \right.\ (t\mathbb{\in R})

    Gọi H(1 - t;t;2). \overrightarrow{IH} = ( - t;t - 2; - 1).

    IH\bot AB \Leftrightarrow t + (t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 1. Suy ra H(0;1;2).

    Mặt phẳng (P) nhận \overrightarrow{IH} làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A nên có phương trình

    - (x - 1) - y - (z - 2) = 0 \Leftrightarrow - x - y - z + 3 = 0.

    Vậy a + b + c =- 3.

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 13}{- 1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{4} và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 67 = 0. Qua d dựng các mặt phẳng tiếp xúc với (S) lần lượt tại T_{1};T_{2}. Viết phương trình đường thẳng T_{1}T_{2}.

    Hướng dẫn:

    Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R = 3.

    Đường thẳng d đi qua điểm A(13; - 1;0), có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}( - 1;1;4).

    Mặt phẳng (P) chứa d có dạng (P):A(x - 13) + B(y + 1) + Cz = 0 ,\left( A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0 \right)

    Do d \subset (P) nên ta có - 1.A + 1.B + 4.C = 0 \Leftrightarrow B = A - 4C.

    Ta có điều kiện tiếp xúc: R = d\left( I;(P) \right) \Leftrightarrow 9 = \frac{| - 12A + 3B + 3C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

    \Leftrightarrow 9 = \frac{|9A + 9C|}{\sqrt{2A^{2} + 17B^{2} - 8AC^{2}}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A = 2C \\ A = 8C \end{matrix} \right.

    Suy ra hai mặt phẳng tiếp diện là \left( P_{1} \right):2x - 2y + z - 28 = 0, \left( P_{2} \right):8x + 4y + z - 100 = 0.

    Suy ra tọa độ các tiếp điểm T_{1}(7; - 4;6),T_{2}(9;6;4) \Rightarrow T_{1}T_{2}:\frac{x - 7}{1} = \frac{y + 4}{5} = \frac{z - 6}{- 1}

  • Câu 20: Thông hiểu
    Điều kiện để có mặt cầu

    Giá trị (\alpha) phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - {{\cos }^2}\alpha } ight)x + 4\left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} ight) + 2z + \cos 4\alpha + 8 = 0? (k\in \mathbb{Z})

    Hướng dẫn:

     Ta có: a = 2{\cos ^2}\alpha - 3 = \cos 2\alpha - 2;\,b = 2\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } ight) = \cos 2\alpha + 1;c = - 1;

    d = \cos 4\alpha + 8 = 2{\cos ^2}2\alpha + 7.\,\,\left( S ight) là mặt cầu \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0

    \Leftrightarrow - 1 + \cos 2\alpha < - \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi < 2\alpha < \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi

    \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} + k\pi < \alpha < \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
40 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này