Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình mặt cầu CTST (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tính chu vi đường tròn

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 20 = 0 và mặt phẳng (\alpha):x + 2y - 2z + 7 = 0 cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = 5.

    Ta có d\left( I,(\alpha) ight) = \ \frac{|1.1 + 2.2 - 2.0 + 7|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 4

    Vì d(I,(α)) < R nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).

    Lấy M ∈ (C) ⇒ M ∈ (S)

    Tam giác IHM vuông tại M \Rightarrow HM = \sqrt{IM^{2} - IH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3

    Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng 2π . HM = 6π.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính bán kính r của đường tròn (C)

    Trong không gian cho đường tròn (C):\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0 \\ x - 2y + 2z + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    Bán kính r của đường tròn (C) bằng:

    Hướng dẫn:

    Cùng đề trên nên có bán kính mặt cầu là R = \sqrt{5} .

    Khoảng cách từ I đến thiết diện là h = \frac{\left| 2 - 2( - 3) + 2( - 3) + 1 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} = 1 .

    \Rightarrow Bán kính của (C) là: r = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 2.

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;0;1),B(0;2;2) và C(3; - 1; - 1). Gọi \left( S_{1} \right) là mặt cầu tâm A bán kính bằng 1 và \left( S_{2} \right) là mặt cầu tâm B bán kính bằng 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đi qua C và tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt cầu \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right)?

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt phẳng qua C có dạng (P):m(x - 3) + n(y + 1) + p(z + 1) = 0,m^{2} + n^{2} + p^{2} > 0.

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc \left( S_{1} \right) ta có | - 3m + n + 2p| = \sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}} (1)

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc \left( S_{2} \right) ta có | - 3m + 3n + 3p| = 3\sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}} (2)

    Từ đây ta có phương trình

    | - 3m + 3n + 3p| = 3| - 3m + n + 2p|

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} p = 2m\ \ \ (3) \\ 3p = 4m - 2n\ \ \ (4) \end{matrix} \right.

    Từ (1), (3) ta có:

    |m + n| = \sqrt{5m^{2} + n^{2}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ n = 2m \end{matrix} \right.

    Trường hợp này ta tìm được hai mặt phẳng:

    \left( P_{1} \right):y + 1 = 0

    \left( P_{2} \right):x + 2y + 2z + 1 = 0

    Từ (1); (4) ta có:

    4m^{2} - 3mn + 2n^{2} = 0 \Leftrightarrow m - n = 0

    Trường hợp này không có mặt phẳng nào.

  • Câu 4: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian Oxyz cho đường tròn (C):\left\{ \begin{matrix} x^2 + y^2+ z^{2} - 2x - 4y - 6z - 67 = 0 \\ 2x - 2y + z + 5 = 0 \\ \end{matrix} \right.. Bán kính r của (C) bằng:

    Hướng dẫn:

    Viết lại phương trình mặt cầu (S) chứa (C) :

    (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81.

    Để biết tâm I(1,2,3) và bán kính R = 9 .

    \Rightarrow Bán kính của (C) là :r = \sqrt{81 - 4} = \sqrt{77} (do khoảng cách từ I đến mặt phẳng chứa (C) là h = \frac{|2.1 - 2.2 + 3 + 5|}{\sqrt{2^{2} + ( - 2)^{2} + 1^{2}}} = 2) .

  • Câu 5: Vận dụng
    Tìm phương trình mặt cầu

    Cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.. Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và trục Ox là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A(t; - 1 + 3t;1) \in d;B(t';0;0) \in Ox

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (t' - t;1 - 3t; - 1), \overrightarrow{u_{d}} = (1;3;0),\ \overrightarrow{i} = (1;0;0).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d}} = 0 \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{i} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow t = t' = \frac{1}{3} và R = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( x - \frac{1}{3} \right)^{2} + y^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Xác định giá trị tham số t

    Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong sau là mặt cầu:

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2\left( 2 - \ln t \right)x + 4lnt.y+ 2\left( \ln t + 1 \right)z + 5ln^{2}t + 8 = 0

    Hướng dẫn:

    Ta có: a = \ln t - 2;\ \ b = - 2lnt;\ \ c = - \ln t - 1;\ \ d = 5ln^{2}t + 8

    (S) là mặt cầu \Leftrightarrow \left( \ln t - 2 \right)^{2} + 4ln^{2}t + \left( \ln t + 1 \right)^{2} - 5ln^{2}t - 8 > 0

    \Leftrightarrow ln^{2}t - 2lnt - 3 > 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \ln t < - 1 \\ \ln t > 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < t < \frac{1}{e} \\ t > e^{3} \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Tính tổng

    Trong không gian cho ba điểm A(3;0;0), B(1;2;1) và C(2;-1;2). Biết mặt

    phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10;a;b). Tổng a+b là?

    Gợi ý:

    Áp dụng phương pháp tìm tọa độ tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện.

    Hướng dẫn:

     Phương trình (OAB) là: -y+2z=0.

    Phương trình (OAC) là:2y+z=0.

    Phương trình (OBC) là: x-z=0.

    Phương trình (ABC) là: 5x+3y+4z-15=0 .

    Gọi I(a';b';c') là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.

    Do đó:

    I nằm cùng phía với A đối với (OBC) suy ra: (a'-c')>0.

    I nằm cùng phía với B đối với (OAC) suy ra: (2b'+c')>0.

    I nằm cùng phía với C đối với (OAB) suy ra: (-b'+2c')>0.

    I nằm cùng phía với O đối với (ABC) suy ra: (5a'+3b'+4c'-15)<0.

    Suy ra:

    \left\{\begin{matrix} d(I,(OAB))=d(I,(OAC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(OBC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(ABC)) \end{matrix}ight.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|2b'+c'|}{\sqrt 5} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|a'-c'|}{\sqrt 2} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|5a'+3b'+4c'-15|}{5\sqrt 2} \end{matrix}ight.

     

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |-b'+2c'|= |2b'+c'| \\ \sqrt 2{|-b'+2c'|}= \sqrt 5|a'-c'|\\ \sqrt 10{|-b'+2c'|}= |5a'+3b'+4c'-15| \end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -b'+2c'= 2b'+c' \\ \sqrt 2{(-b'+2c')}= \sqrt 5(a'-c')\\ \sqrt 10{(-b'+2c')}= -(5a'+3b'+4c'-15)\end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a'=\dfrac{3}{ 2} \\ -b'=\dfrac{3 \sqrt 10 -9}{2} \\ c'=\dfrac{9 \sqrt 10 -27}{ 2} \end{matrix}ight.

    Suy ra:  I (\frac {3}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -9}{2}; \frac {9\sqrt{10} -27}{2}), \Rightarrow \overrightarrow {BI}= (\frac {1}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -13}{2}; \frac {9\sqrt{10} -29}{2}) ; \,\, \overrightarrow {BC}= (1;-3;1)

    \Rightarrow [\overrightarrow {BI}, \overrightarrow {BC}]= (-50+15 \sqrt{10} ; \frac {9\sqrt{10} -30}{2}; \frac {-3\sqrt{10} +10}{2})

    cùng phương với \vec n =(10;3;-1).

    Suy ra (BCI) có một VTPT là \vec n =(10;3;-1) =(10; a; b).

    Vậy: a+b=2.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Viết phương trình mặt cầu

    Phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) là:

    Hướng dẫn:

    Gọi Mlà hình chiếu của I(1;2;3) lên mặt phẳng (Oxz), ta có: M(1;0;3).

    \overrightarrow{IM} = (0; - 2;0) \Rightarrow R = IM = 2 là bán kính mặt cầu cần tìm.

    Vậy phương trình mặt cầu là (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 4

    Hay x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z + 10 = 0.

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S

    Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 2z - 3 = 0 và điểm A(5;3; - 2). Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M,N. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = AM + 4AN.

    Hướng dẫn:

    Tâm I(2; - 1;1) và bán kính mặt cầu R = 3

    AI = \sqrt{(2 - 5)^{2} + ( - 1 - 3)^{2} + (1 + 2)^{2}} = \sqrt{34}

    Gía trị nhỏ nhất xảy ra trong trường hợp AM > AN

    Đặt AN = x \Rightarrow \sqrt{34} - 3 \leq x < 5

    AM.AN = 25 \Rightarrow AM = \frac{25}{x}

    S = 4AM + AN = 4x + \frac{25}{x} = f(x)

    Xét f(x) = 4x + \frac{25}{x} trên \left\lbrack \sqrt{34} - 3;5 \right)

    f'(x) = 4 + \frac{25}{x^{2}} = \frac{4x^{2} - 25}{x^{2}} > 0;\forall x \in \left\lbrack \sqrt{34} - 3;5 \right)

    \Rightarrow S_{\min} khi x = \sqrt{34} - 3

    S_{\min} = 4\left( \sqrt{34} - 3 \right) + \frac{25}{\sqrt{34} - 3} = 5\sqrt{34} - 9

    Vậy GTNN S_{\min} = 5\sqrt{34} - 9 khi x = \sqrt{34} - 3.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tính khoảng cách lớn nhất

    Trong không gian Oxyz, , cho hai mặt cầu (S_1), (S_2) có phương trình lần lượt là (x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 1)^2 = 16 và (x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 5)^2 = 4. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu (S_1), (S_2). Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P).

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S1) có tâm I(2; 1; 1) và bán kính R_1 = 4.

    Mặt cầu (S2) có tâm J(2; 1; 5) và bán kính R_2 = 2.

    Gọi A, B lần lượt là hai tiếp điểm của (S1), (S2) với mặt phẳng (P).

    Gọi M là giao điểm của IJ với mặt phẳng (P). Ta có:

    \frac{MI}{MJ} = \frac{IA}{IB} = 2

    Suy ra J là trung điểm của IM, do đó M(2; 1; 9).

    Gọi véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \overrightarrow{n} = (a;b;c),\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight) khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là

    a(x − 2) + b(y − 1) + c(z − 9) = 0

    Ta có:

    d\left( I;(P) ight) = 4 \Leftrightarrow \frac{|8c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = 4

    \Leftrightarrow \frac{|c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3c^{2}

    \Leftrightarrow \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} = 3\ \ \ (1)

    Mặt khác d\left( O;(P) ight) = \frac{|2a + b + 9c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{|2a + b + 9c|}{2c} = \frac{1}{2}\left| \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} + 9 ight|\ \ \ (2)

    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

    \left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq \left( 2^{2} + 1^{2} ight)\left\lbrack \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} ightbrack\ \ \ (3)

    Từ (1) và (3) ta có: \left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq 15 \Leftrightarrow - \sqrt{15} \leq \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} \leq \sqrt{15}\ \ (4)

    Từ (2) và (4) suy ra:

    \frac{9 - \sqrt{15}}{2} \leq d\left( O;(P) ight) \leq \frac{9 + \sqrt{15}}{2}

    Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng \frac{9 + \sqrt{15}}{2}.

  • Câu 11: Vận dụng
    Xác định phương trình mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1; - 1;4) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ?

    Hướng dẫn:

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu (S). Mặt cầu (S) tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên:

    d\left( I;(Oxy) ight) = d\left( I;(Oyz) ight) = d\left( I;(Ozx) ight)

    \Leftrightarrow |a| = |b| = |c| = R(*)

    Mặt cầu đi qua điểm A(1; - 1;4)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} IA = R \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} IA^{2} = R^{2} \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + ( - a + 1)^{2} + (a - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a^{2} - 12a + 18 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} - 6a + 9 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = c = 3 \\ b = - 3 \\ R = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (S):(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 9

  • Câu 12: Vận dụng
    Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn biểu thức

    Cho tứ diện ABCD có A(1,2,3);\ \ \ B(0,0,3);\ \ \ C(0,2,0);\ \ \ D(1,0,0).Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn \left| \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{DM} \right| = 8

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left| \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{DM} \right|= \left| 4\left( x - \frac{1}{2} \right);4(y - 1);4\left( z - \frac{3}{2} \right) \right| = 8

    \Rightarrow 16\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + 16(y - 1)^{2} + 16\left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = 64

    Mặt cầu (S):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + (y - 1)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} \right)^{2} = 4

  • Câu 13: Vận dụng
    Thể tích của khối cầu ngoại tiếp

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60^0 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là:

    Hướng dẫn:

    Thể tích của khối cầu ngoại tiếp

    Gọi O = AC \cap BD, suy ra SO \bot \left( {ABCD} ight).

    Ta có {60^0}{m{ = }}\widehat {SB,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SB,OB} = \widehat {SBO}.

    Trong \triangle SOB, ta có SO = OB.\tan \widehat {SBO} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.

    Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.

    Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn B.

    Gọi I = SO \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in SO\\I \in d\end{array} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = IB = IC = ID\\IS = IB\end{array} ight.

    \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS = R

    Xét \triangle SBD có \left\{ \begin{array}{l}SB = SD\\\widehat {SBD} = \widehat {SBO} = {60^o}\end{array} ight. \Rightarrow    \triangle SBD đều.

    Do đó d cũng là đường trung tuyến của \triangle SBD . Suy ra I là trọng tâm \triangle SBD .

    Bán kính mặt cầu R = SI = \frac{2}{3}SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.

    Suy ra V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{8\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}

  • Câu 14: Vận dụng
    Tìm tập hợp các điểm M

    Cho mặt cầu (S): {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A\left( { - 6, - 1,3} ight). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động qua (d). Tìm tập hợp các điểm M.

    (Có thể chọn nhiều đáp án)

    Hướng dẫn:

     Theo đề bài, (S) có tâm I\left( {2, - 3,1} ight).\,\overrightarrow {IM} = \left( {x - 2,y + 3,z + 1} ight);\,\,\overrightarrow {AM} = \left( {x + 6,y + 1,z - 3} ight)

    Ta có:

    \begin{array}{l}\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2} ight)\left( {x + 6} ight) + \left( {y + 3} ight)\left( {y + 1} ight) + \left( {z + 1} ight)\left( {z - 3} ight) = 0\\ \Rightarrow M \in \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 4y - 3z - 12 = 0;\,\,M \in \left( S ight)\end{array}

    \Rightarrow M \in  đường tròn  \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0\\4x - y - 2z - 5 = 0\end{array} ight.

    Hay \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 4y - 2z - 12 = 0\\4x - y - 2z - 5 = 0\end{array} ight.

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính tỉ số

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \frac{{a\sqrt {21} }}{6}. Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số \frac{R}{h} bằng:

    Hướng dẫn:

     Tính tỉ số

    Gọi O là tâm \triangle ABC, suy ra SO \bot \left( {ABC} ight) và AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    Trong SOA, ta có h = SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{a}{2}

    Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:

    • I \in d nên IS =IA.
    • I \in SO nên IA=IB=IC.

    Do đó IA=IB=IC=IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

    Gọi M là tung điểm SA, ta có \Delta SMI\,\, \backsim \,\,\Delta SOA nên R = SI = \frac{{SM.SA}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}} = \frac{{7{m{a}}}}{{12}}

    Vậy \frac{R}{h} = \frac{7}{6}.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Chọn đáp án chính xác

    Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;0;0),B(1;3;0),C( - 1;0;3),D(1;2;3). Tính bán kính R của (S)?

    Hướng dẫn:

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A;B;C;D

    Khi đó ta có phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ AI^{2} = CI^{2} \\ AI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 3)^{2} + c^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + 1)^{2} + b^{2} + (c - 3)^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 3b = - 3 \\ a - c = - 1 \\ a - 2b - 3c = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    Vậy bán kính cần tìm là: R = IA = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}

  • Câu 17: Thông hiểu
    Viết phương trình tổng quát của đường kính AB

    Cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 4y - 4z - 12 = 0. Viết phương trình tổng quát của đường kính AB song song với đường thẳng (D):x = 2t + 1;y = 3;z = 5t + 2,t\mathbb{\in R}.

    Hướng dẫn:

    Tâm I(3,2,2); vecto chỉ phương của AB:\overrightarrow{a} = (2,0,5)

    \Rightarrow AB:x = 3 + 2t;\ \ y = 2;\ z = 2 + 5t,\ \ t\mathbb{\in R}

    \Rightarrow AB\left\{ \begin{matrix} \frac{x - 3}{2} = \frac{z - 2}{5} \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow AB\left\{ \begin{matrix} 5x - 2z - 11 = 0 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tính thể tích mặt cầu nội tiếp tứ diện

    Trong không gian ABCD cho tứ diện ABCD với điểm A(1;2;2), B( - 1;2; - 1), D(1;6; - 1) và D( - 1;6;2). Thể tích của mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD là

    Hướng dẫn:

    Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:

    (ABC):6x - 3y - 4z+ 8 = 0

    (BCD):6x - 3y + 4z + 16 = 0

    (CDA):6x + 3y + 4z - 20 = 0

    (ABD):6x + 3y - 4z - 4 = 0

    Gọi I(a';b';c') là tâm và R là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện DABC

    Do đó:

    I nằm cùng phái với A đối với (DBC) suy ra: 6a' - 3b' + 4c' + 16 > 0.

    I nằm cùng phía với B đối với (DAC) suy ra: 6a' + 3b' + 4c' - 20 < 0.

    I nằm cùng phía với C đối với (DAB) suy ra: 6a' + 3b' - 4c' - 4 > 0.

    I nằm cùng phía với D đối với (ABC) suy ra: 6a' - 3b' - 4c' + 8 < 0.

    Suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(DAC) \right) \\ d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(DBC) \right) \\ d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(ABC) \right) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' + 3b' + 4c' - 20| \\ |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' - 3b' + 4c' + 16| \\ |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' - 3b' - 4c' + 8| \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a' + 3b' - 4c' - 4 = - \left( 6a' + 3b' + 4c' - 20 \right) \\ 6a' + 3b' - 4c' - 4 = 6a' - 3b' + 4c' + 16 \\ 6a' + 3b' - 4c' - 4 = - \left( 6a' - 3b' - 4c' + 8 \right) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 0 \\ b' = 4 \\ c' = \frac{1}{2} \end{matrix} \right.

    Suy ra: I\left( 0;4;\frac{1}{2} \right),R = \sqrt{\frac{36}{61}}

    Thể tích mặt cầu cần tìm là: V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{288\pi\sqrt{61}}{3721}

    Cách khác: Sử dụng công thức nhanh.

    V_{ABCD} = \frac{1}{3}.r\left( S_{ABC} + S_{ABD} + S_{ADC} + S_{BCD} \right) (r là bán kính của mặt cầu nội tiếp)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 3),\overrightarrow{AC} = (0;4; - 3) ,\overrightarrow{AD} = ( - 2;4;0),\overrightarrow{DB} = (0; - 4; - 3), \overrightarrow{DC} = (2;0; - 3).

    V_{ABCD} = \frac{1}{6}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right\rbrack.\overrightarrow{AD} \right| = 8.

    S_{ABC} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right\rbrack \right| = \sqrt{61}, S_{ADC} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC} \right\rbrack \right| = \sqrt{61}, S_{ABD} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} \right\rbrack \right| = \sqrt{61},

    S_{BCD} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{BD};\overrightarrow{DC} \right\rbrack \right| = \sqrt{61}.

    Ta có:

    V_{ABCD} = \frac{1}{3}.r\left( S_{ABC} + S_{ABD} + S_{ADC} + S_{BCD} \right)

    \Leftrightarrow 8 = \frac{1}{3}.r4\sqrt{61} \Leftrightarrow r = \sqrt{\frac{36}{21}}.

    Vậy: \mathbf{V =}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{R}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{288}\mathbf{\pi}\sqrt{\mathbf{61}}}{\mathbf{3721}}.

  • Câu 19: Vận dụng
    Viết phương trình mặt phẳng (P)

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0 và mặt phẳng (α) : x + 4y + z − 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết (P) song song với giá của vectơ \overrightarrow{v} = (1;6;2), vuông góc với (α) và tiếp xúc với (S).

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R = 4.

    Vectơ pháp tuyến của (α) là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;4;1)

    Theo giả thiết, suy ra (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{v};\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ightbrack = (2; - 1;2)

    Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng 2x − y + 2z + D = 0

    Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2 + 3 + 4 + D|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4

    \Leftrightarrow |9 + D| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} D = 3 \\ D = - 21 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là: \left\lbrack \begin{matrix} (P):2x - y + 2z + 3 = 0 \\ (P):2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tính chu vi đường tròn

    Đường tròn giao tuyến của (S):(x - 1)^{2}+ (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 khi cắt bởi mặt phẳng (Oxy) có chu vi bằng :

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) tâm I(1;2;3), bán kính R = 4.

    Ta có : d\left( I;(Oxy) \right) = \left| z_{I} \right| = 3.

    Gọi r là bán kính đường tròn (C) giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (Oxy), ta suy ra :

    r = \sqrt{R^{2} - \left\lbrack d\left( I;(Oxy) \right) \right\rbrack^{2}} = \sqrt{7}.

    Vậy chu vi (C) bằng: 2\sqrt{7} \pi.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
17 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm