Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình mặt cầu CTST (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính GTNN của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 8y + 9 = 0 và hai điểm A(5;10;0),\ \ B(4;2;1). Gọi M là điểm thuộc mặt cầu (S). Giá trị nhỏ nhất của MA + 3MB bằng

    Hướng dẫn:

    Tâm I( - 1;4;0),R = 2\sqrt{2}, tính \overrightarrow{IA} = (6;6;0).

    MA = \sqrt{\left( \overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IA} \right)^{2}} = \sqrt{IM^{2} + IA^{2} - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IA}} = \sqrt{80 - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IA}}.

    Đặt \overrightarrow{IA} = 9\overrightarrow{IC} \Rightarrow \overrightarrow{IC} = \left( \frac{2}{3};\frac{2}{3};0 \right) \Leftrightarrow C\left( \frac{- 1}{3};\frac{14}{3};0 \right) thì C nằm trong mặt cầu và:

    MA = \sqrt{80 - 18\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IC}} = 3\sqrt{\frac{80}{9} - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IC}} = 3\sqrt{8 + \frac{8}{9} - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IC}} = 3MC.

    Vậy P = 3(MC + MB) \geq 3BC = 11\sqrt{2}.

  • Câu 2: Vận dụng
    Viết phương trình mặt cầu

    Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình (P):x - 2y + z - 1 = 0 và (Q):2x + y - z + 3 = 0. Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ x_{M} = 1, có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Vì M \in (Oxy) và có hoành độ bằng 1 nên M(1;y;0).

    Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Q) nên M \in (Q) \Rightarrow M(1; - 5;0).

    Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.

    Ta có (S) tiếp xúc với mp (Q) tại M nên IM\bot(Q).

    Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2;1; - 1).

    Ta có: IM\bot(Q)\Leftrightarrow \overrightarrow{MI} = t\overrightarrow{n},\ \left( t\mathbb{\in R} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 + 2t \\ b = -5 + t \\ c = - t \\ \end{matrix} \right.

    I \in (P) \Leftrightarrow 1 + 2t - 2( - 5 + t) - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 10 \Rightarrow I(21;5; - 10).

    Bán kính mặt cầu R = d\left( I;(Q) \right) = 10\sqrt{6}.

    Vậy phương trình mặt cầu (S):(x - 21)^{2}+ (y - 5)^{2} + (z + 10)^{2} = 600.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = 10 và hai điểm A(1\ ;2\ ; - 4) và B(1\ ;2\ ;14). Điểm M thay đổi trên mặt cầu (S). Giá trị nhỏ nhất của (MA + 2MB) bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{IA} = (0;2; - 6), gọi \overrightarrow{IC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{IA} = \left( 0;\frac{1}{2}; - \frac{3}{2} \right) \Leftrightarrow C\left( 1;\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right). Điểm C bên trong (S).

    Ta có AM^{2} = IA^{2} + IM^{2} - 2\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IM}

    = 40 + 10 - 8\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IM}

    = 4\left( 10 + \frac{5}{2} - 2\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IM} \right) = 4MC^{2}

    Suy ra MA = 2MC và S = MA + 2MB = 2(MB + MC) \geq 2BC = 3\sqrt{82}.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thuộc mặt cầu (S): (x − 3)^2 + (y + 1)^2 + z^ 2 = 9 và ba điểm A(1; 0; 0), B(2; 1; 3), C(0; 2; −3). Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn MA^{2} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}= 8 là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này?

    Hướng dẫn:

    Ta có:\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MA} = (1 - x; - y; - z) \\\overrightarrow{MB} = (2 - x;1 - y;3 - z) \\\overrightarrow{MC} = ( - x;2 - y; - 3 - z) \\\end{matrix} ight. khi đó:

    MA^{2} +2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = 8

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} +z^{2} + 2\left\lbrack x(x - 2) + (y - 1)(y - 2) + (z - 3)(z + 3)ightbrack = 8

    \Leftrightarrow 3.\left( x^{2} + y^{2} +z^{2} ight) - 6x - 6y - 21 = 0

    \Leftrightarrow M \in (S'):x^{2} +y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 7 = 0

    Mà M \in (S):(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} +z^{2} = 9

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} -6x + 2y + 1 = 0

    Suy ra M ∈ (P): 4x − 4y − 8 = 0.

    Như vậy quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của (S) tâm I(3; −1; 0), bán kính R = 3 và (P)

    Ta có: d\left( I;(P) ight) = \sqrt{2}\Leftrightarrow r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \sqrt{7}

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tính thể tích tứ diện

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó a > 0, b > 0, c > 0 và \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7. Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 3)^2 = 72/7. Thể tích của khối tứ diện OABC là:

    Hướng dẫn:

    Mặt phẳng (ABC) có phương trình là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2; 3) và bán kính R = \sqrt{\frac{72}{7}}. Khi đó:

    d\left( I;(ABC) ight) = \dfrac{\left|\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} ight|}{\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}} +\dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{\dfrac{72}{7}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{7}{2}

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:

    49 = \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} \leq \left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) = \frac{7}{2}.14 = 49

    Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 2b = 3c. Thay vào giả thiết ta có:

    a = 2;b = 1;c = \frac{2}{3}

    Vì OABC là tứ diện vuông tại O nên V_{OABC} = \frac{abc}{2} = \frac{2}{9}

  • Câu 6: Thông hiểu
    Xác định tham số m theo yêu cầu

    Với giá trị nào của m thì hai mặt cầu sau tiếp xúc trong?

    (S):(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 81;

    (S'):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = (m - 3)^{2},\ \ \ m > 3

    Hướng dẫn:

    (S) có tâm I(3, - 2, - 1), bán kính R = 9

    (S') có tâm J(1,2,3), bán kính R' = m - 3,m > 3.

    IJ^{2} = (1 - 3)^{2} + (2 + 2)^{2} + (3 + 1)^{2} = 36 \Rightarrow IJ = 6

    (S) và (S') tiếp xúc trong

    \Leftrightarrow \left| 9 - (m - 3) \right| = 6 \Leftrightarrow |12 - m| = 6

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 6 \\ m = 18 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 7: Vận dụng
    Thể tích của khối cầu ngoại tiếp

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60^0 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là:

    Hướng dẫn:

    Thể tích của khối cầu ngoại tiếp

    Gọi O = AC \cap BD, suy ra SO \bot \left( {ABCD} ight).

    Ta có {60^0}{m{ = }}\widehat {SB,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SB,OB} = \widehat {SBO}.

    Trong \triangle SOB, ta có SO = OB.\tan \widehat {SBO} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.

    Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.

    Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn B.

    Gọi I = SO \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in SO\\I \in d\end{array} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = IB = IC = ID\\IS = IB\end{array} ight.

    \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS = R

    Xét \triangle SBD có \left\{ \begin{array}{l}SB = SD\\\widehat {SBD} = \widehat {SBO} = {60^o}\end{array} ight. \Rightarrow    \triangle SBD đều.

    Do đó d cũng là đường trung tuyến của \triangle SBD . Suy ra I là trọng tâm \triangle SBD .

    Bán kính mặt cầu R = SI = \frac{2}{3}SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.

    Suy ra V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{8\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \left( S_{1} \right) có tâm I(2\ ;\ 1\ ;\ 1) có bán kính bằng 4 và mặt cầu \left( S_{2} \right) có tâm J(2\ ;\ 1\ ;\ 5) có bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu \left( S_{1} \right), \left( S_{2} \right). Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị M + m bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{IJ} = (0;0;4) \Rightarrow IJ = 4 = R_{1} suy ra tâm J thuộc mặt cầu \left( S_{1} \right). Giả sử đường thẳng IJ cắt (P) tại K, ta có: \frac{KI}{KJ} = \frac{R_{1}}{R_{2}} = 2 \Rightarrow \overrightarrow{IK} = 2\overrightarrow{IJ} = (0;0;8) \Rightarrow K(2;1;9).

    Phương trình mp(OIJ): x - 2y = 0.

    Gọi A, B là hai tiếp điểm trong mp(OIJ), khi đó KAB là tam giác đều. Đường thẳng AB qua H thuộc IJ và dễ thấy H là trung điểm IJ, tọa độ H(2\ ;\ 1\ ;\ 3).

    Phương trình AB: \left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = t \\ z = 3 \end{matrix} \right. cắt \left( S_{1} \right) khi (2t - 2)^{2} + (t - 1)^{2} + 2^{2} = 16

    \Rightarrow 5(t - 1)^{2} = 12.

    mp(P) qua K, vtpt \overrightarrow{IA} là (P):(2a - 2)(x - 2) + (a - 1)(y - 1) + 2(z - 9) = 0 và tương tự:

    Phương trình (P'):(2b - 2)(x - 2) + (b - 1)(y - 1) + 2(z - 9) = 0. Từ đó:

    M + m = \frac{3|a + 5|}{\sqrt{5(a - 1)^{2} + 4}} + \frac{3|b + 5|}{\sqrt{5(b - 1)^{2} + 4}}

    = \frac{3|a + 5| + 3|b + 5|}{\sqrt{12 + 4}} = \frac{3}{4}\left( |a + 5| + |b + 5| \right).

    Trong đó a = 1 + \sqrt{\frac{12}{5}},b = 1 - \sqrt{\frac{12}{5}} nên M + m = \frac{3}{4}(6 + 6) = 9.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Định phương trình mặt cầu (S)

    Cho điểm I(1;1; - 2) đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{1}. Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d đi qua M( - 1;\ 3;2)và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 2;\ 1).

    Gọi H là hình chiếu của I trên d.

    Ta có : IH = d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{18}.

    \Rightarrow IH = R.\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow R = \frac{2IH}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}.

    Vậy phương trình mặt cầu là : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 24.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính bán kính

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng SA = a\sqrt 2 vuông góc với đáy (ABCD) . Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng (\alpha) đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E, M, Fnhận giá trị nào sau đây?

    Hướng dẫn:

     Tính bán kính

    Mặt phẳng (\alpha) song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên EF||BD.

    \triangle SAC cân tại A , trung tuyến AM nên AM \bot SC  (1)

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} ight) \Rightarrow BD \bot SC

    Do đó EF \bot SC   (2)

    Từ (1) và (2), suy ra SC \bot \left( \alpha ight) \Rightarrow SC \bot AE   (*)

    Lại có \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AE  (**)

    Từ (*) và (**), suy ra AE \bot \left( {SBC} ight) \Rightarrow AE \bot SB. Tương tự ta cũng có AF \bot SD.

    Do đó \widehat {SEA} = \widehat {SMA} = \widehat {SFA} = {90^0} nên năm điểm S,{m{ }}A,{m{ }}E,{m{ }}M,{m{ }}F cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính R = \frac{{SA}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tính tổng tất cả các tham số m

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0 và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + m + 3 = 0, với m là tham số. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi 6\pi. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc T bằng:

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 25 có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.

    Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.

    Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:

    d\left( I;(P) ight) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4

    \Leftrightarrow \frac{|4 - 1 + 2 + m + 3|}{3} = 4

    \Leftrightarrow |m + 8| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 20 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.

  • Câu 12: Thông hiểu
    Tìm tham số để mặt cong là mặt cầu

    Giá trị \alpha phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu: (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2\left( 3 - cos^{2}\alpha \right)x+ 4\left( sin^{2}\alpha - 1 \right) + 2z + cos4\alpha + 8 = 0?

    Hướng dẫn:

    Ta có: a = 2cos^{2}\alpha - 3 = cos2\alpha - 2;b = 2\left( 1 - sin^{2}\alpha \right) = cos2\alpha + 1;c = - 1;

    d = cos4\alpha + 8 = 2cos^{2}2\alpha + 7.\ \ (S) là mặt cầu \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0

    \begin{matrix} \Leftrightarrow - 1 + \cos 2\alpha < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi < 2\alpha < \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} + k\pi < \alpha < \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Xác định số điểm A thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + \left( z + \sqrt{2} \right)^{2} = 3. Có tất cả bao nhiêu điểm A(a;b;c) (a;b;c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

    Hướng dẫn:

    Do A(a;b;c) thuộc mặt phẳng (Oxy) nên A(a;b;0).

    Nhận xét: Nếu từ A kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc đến mặt cầu khi và chỉ khi R \leq IA \leq R\sqrt{2}

    \Leftrightarrow 3 \leq a^{2} + b^{2} + 2 \leq 6 \Leftrightarrow 1 \leq a^{2} + b^{2} \leq 4

    Tập các điểm thỏa đề là các điểm nguyên nằm trong hình vành khăn (kể cả biên), nằm trong mặt phẳng (Oxy), tạo bởi 2 đường tròn đồng tâm O(0;0;0) bán kính lần lượt là 1 và 2.

    Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức P

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 27. Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;0; - 4),B(2;0;0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S) và đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết rằng (\alpha):ax + by - z + c = 0. Tính P = a - b + c

    Hướng dẫn:

    Gọi H là tâm đường tròn (C) bán kính r, I là tâm mặt cầu bán kính R. Đặt IH = h.

    Ta có r^{2} = R^{2} - h^{2} và thể tích khối nón đỉnh I là V = \frac{1}{3}h\pi r^{2} = \frac{1}{3}\pi h(R^{2} - h^{2}).

    Suy ra maxV = \frac{2R^{3}\pi\sqrt{3}}{27} = 18\pi \Leftrightarrow h = \frac{R}{\sqrt{3}} = 3.

    Mặt phẳng (\alpha):ax + by - z + c = 0 đi qua hai điểm A, B nên ta có:

    \left\{ \begin{matrix} 4 + c = 0 \\ 2a + c = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = - 4 \\ a = 2 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow (\alpha):2x + by - z - 4 = 0, do đó h = d(I,(\alpha)) = \frac{|2b + 5|}{\sqrt{5 + b^{2}}} = 3 \Rightarrow b = 2

    Vậy P = a - b + c = - 4.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Chọn câu sai

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng(ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60^0. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). Đẳng thức nào sau đây sai?

    Hướng dẫn:

    Chọn câu sai 

    Ta có {60^0} = \widehat {SA,\left( {ABC} ight)} = \widehat {SA,HA} = \widehat {SAH}.

    Tam giác ABC đều cạnh a nên AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} .

    Trong tam giác vuông SHA, ta có SH = AH.\tan \widehat {SAH} = \frac{{3a}}{2}.

    Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu R = d\left[ {G,\left( {SAB} ight)} ight].

    Ta có d\left[ {G,\left( {SAB} ight)} ight] = \frac{1}{3}d\left[ {C,\left( {SAB} ight)} ight] = \frac{2}{3}d\left[ {H,\left( {SAB} ight)} ight].

    Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AB và MB.

    Suy ra \left\{ \begin{array}{l}CM \bot AB\\CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array} ight. và  \left\{ \begin{array}{l}HE \bot AB\\HE = \dfrac{1}{2}CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\end{array} ight..

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra HK \bot SE    (1).

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}HE \bot AB\\AB \bot SH\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SHE} ight) \Rightarrow AB \bot HK.   (2)

    Từ (1) và (2) , suy ra HK \bot \left( {SAB} ight)  nên  d\left[ {H,\left( {SAB} ight)} ight] = HK.

    Trong tam giác vuông SHE, ta có HK = \frac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{3a}}{{2\sqrt {13} }}.

    Vậy R = \frac{2}{3}HK = \frac{a}{{\sqrt {13} }}.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính thể tích mặt cầu nội tiếp tứ diện

    Trong không gian ABCD cho tứ diện ABCD với điểm A(1;2;2), B( - 1;2; - 1), D(1;6; - 1) và D( - 1;6;2). Thể tích của mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD là

    Hướng dẫn:

    Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:

    (ABC):6x - 3y - 4z+ 8 = 0

    (BCD):6x - 3y + 4z + 16 = 0

    (CDA):6x + 3y + 4z - 20 = 0

    (ABD):6x + 3y - 4z - 4 = 0

    Gọi I(a';b';c') là tâm và R là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện DABC

    Do đó:

    I nằm cùng phái với A đối với (DBC) suy ra: 6a' - 3b' + 4c' + 16 > 0.

    I nằm cùng phía với B đối với (DAC) suy ra: 6a' + 3b' + 4c' - 20 < 0.

    I nằm cùng phía với C đối với (DAB) suy ra: 6a' + 3b' - 4c' - 4 > 0.

    I nằm cùng phía với D đối với (ABC) suy ra: 6a' - 3b' - 4c' + 8 < 0.

    Suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(DAC) \right) \\ d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(DBC) \right) \\ d\left( I;(DAB) \right) = d\left( I;(ABC) \right) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' + 3b' + 4c' - 20| \\ |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' - 3b' + 4c' + 16| \\ |6a' + 3b' - 4c' - 4| = |6a' - 3b' - 4c' + 8| \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a' + 3b' - 4c' - 4 = - \left( 6a' + 3b' + 4c' - 20 \right) \\ 6a' + 3b' - 4c' - 4 = 6a' - 3b' + 4c' + 16 \\ 6a' + 3b' - 4c' - 4 = - \left( 6a' - 3b' - 4c' + 8 \right) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 0 \\ b' = 4 \\ c' = \frac{1}{2} \end{matrix} \right.

    Suy ra: I\left( 0;4;\frac{1}{2} \right),R = \sqrt{\frac{36}{61}}

    Thể tích mặt cầu cần tìm là: V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{288\pi\sqrt{61}}{3721}

    Cách khác: Sử dụng công thức nhanh.

    V_{ABCD} = \frac{1}{3}.r\left( S_{ABC} + S_{ABD} + S_{ADC} + S_{BCD} \right) (r là bán kính của mặt cầu nội tiếp)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 3),\overrightarrow{AC} = (0;4; - 3) ,\overrightarrow{AD} = ( - 2;4;0),\overrightarrow{DB} = (0; - 4; - 3), \overrightarrow{DC} = (2;0; - 3).

    V_{ABCD} = \frac{1}{6}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right\rbrack.\overrightarrow{AD} \right| = 8.

    S_{ABC} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right\rbrack \right| = \sqrt{61}, S_{ADC} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC} \right\rbrack \right| = \sqrt{61}, S_{ABD} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} \right\rbrack \right| = \sqrt{61},

    S_{BCD} = \frac{1}{2}.\left| \left\lbrack \overrightarrow{BD};\overrightarrow{DC} \right\rbrack \right| = \sqrt{61}.

    Ta có:

    V_{ABCD} = \frac{1}{3}.r\left( S_{ABC} + S_{ABD} + S_{ADC} + S_{BCD} \right)

    \Leftrightarrow 8 = \frac{1}{3}.r4\sqrt{61} \Leftrightarrow r = \sqrt{\frac{36}{21}}.

    Vậy: \mathbf{V =}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{R}^{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{288}\mathbf{\pi}\sqrt{\mathbf{61}}}{\mathbf{3721}}.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính tỉ số thể tích

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y − 2z + 10 = 0 và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25 cắt nhau theo giao tuyến đường tròn (C). Gọi V_{1} là thể tích khối cầu (S), V_{2} là thể tích khối nón (N) có đỉnh là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng (P), đáy là đường tròn (C). Biết độ dài đường cao khối nón (N) lớn hơn bán kính của khối cầu (S). Tính tỉ số \frac{V_{1}}{V_{2}}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

    d = d\left( I;(P) ight) = \frac{|4 + 1 - 6 + 10|}{3} = 3

    Bán kính đường tròn (C) là: r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = 4

    Thể tích khối cầu (S) là: V_{1} = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{500\pi}{3}

    Chiều cao hình nón là h = R + d = 8.

    Thể tích khối nón làV_{2} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{128\pi}{3}

    Vậy \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{125}{32}.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x + y + z - 2 = 0. Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) là:

    Hướng dẫn:

    Phương mặt cầu (S) có dạng: x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2Ax - 2By - 2Cz + D = 0, ta có :

    \left\{ \begin{matrix} A(2;0;1) \in (S) \\ B(1;0;0) \in (S) \\ C(1;1;1) \in (S) \\ I \in (P) \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4A - 2C + D = - 5\ \ \ \ \ (1) \\ - 2A + D = - 1\ \ \ \ \ \ \ (2) \\ - 2A - 2B - 2C + D = - 3\ \ \ \ \ (3) \\ A + B + C = 2\ \ \ \ \ \ (4) \\ \end{matrix} \right.

    Lấy (1) - (2); (2) - (3); kết hợp (4) ta được hệ:

    \left\{ \begin{matrix} - 2A - 2C = - 4 \\ 2B + 2C = 2 \\ A + B + C = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 1 \\ B = 0 \Rightarrow \\ C = 1 \\ \end{matrix} \right.\ D = 1

    Vậy phương trình mặt cầu là : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2z + 1 = 0.

    Lưu ý : Ở câu này nếu nhanh trí chúng ta có thể sử dụng máy tính cầm tay thay ngay tọa độ tâm của các mặt cầu ở 4 đáp án trên vào phương trình mặt phẳng (P) để loại ngay được các đáp án có tọa độ tâm không thuộc mặt phẳng (P)

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tìm tập hợp các tâm

    Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau nằm trên?

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {1 - m} ight)x + 2\left( {3 - 2m} ight)y + 2\left( {m - 2} ight)z + 5{m^2} - 9m + 6 = 0

    Hướng dẫn:

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): 

    a = m - 1;\,\,b = 2m - 3;\,\,c = 2 - m;\,\,d = 5{m^2} - 9m + 6

    Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là I\left( {x = m - 1;y = 2m - 3;z = 2 - m} ight)

    \Rightarrow x + 1 = \frac{{y + 3}}{2} = 2 - z

    Xét (S) là mặt cầu \Leftrightarrow {\left( {m - 1} ight)^2} + {\left( {2m - 3} ight)^2} + {\left( {2 - m} ight)^2} - 5{m^2} + 9m - 6 > 0

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 9m + 8 > 0 \Leftrightarrow m < 1 \vee m > 8\\ \Leftrightarrow m - 1 < 0 \vee m - 1 > 7 \Leftrightarrow x < 0 \vee x > 7\end{array}

    Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng  x + 1 = \frac{{y + 3}}{2} = 2 - z

    tương ứng với x < 0\,\,\, \vee \,\,\,x > 7.

  • Câu 20: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu

    (S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m - 2)x+ 4y - 2z + 2m + 4 = 0; m\mathbb{\in R}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    a = 2 - m;b = - 2;c = 1;d = 2m + 4

    Tâm I;(x = 2 - m;y = - 2;z = 1)

    \Rightarrow I \in đường thẳng: y + 2 = 0;z - 1 = 0

    (S) là mặt cầu

    \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6m + 5 > 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 - x < 1 \\ 2 - x > 5 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 3 \\ x > 1 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy tập hợp các tâm O là phần đường thẳng :y + 2 = 0;z - 1 = 0 tương ứng với \left\lbrack \begin{matrix} x < - 3 \\ x > 1 \\ \end{matrix} \right.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
32 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này