Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 2 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tìm số thực m thỏa mãn điều kiện

    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = -x3 – 3x2 + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1] bằng 0.

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số f(x) = -x3 – 3x2 + m trên đoạn [-1; 1] ta có:

    f’(x) = -3x2 – 6x

    f’(x) = 0 => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \leqslant x \leqslant 1} \\ { - 3{x^2} - 6x = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 0

    Ta tính được

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} ight) = 2 + m} \\ \begin{gathered} f\left( 0 ight) = m \hfill \\ f\left( 1 ight) = - 4 + m \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) = - 4 + m \hfill \\ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} f\left( x ight) = 0 \Rightarrow m = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Xác định số phần tử của tập hợp

    Gọi K là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m \in \left[ {0;2019} ight] để bất phương trình {x^2} - m + \sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} ight)}^3}} \leqslant 0 nghiệm đúng với mọi x \in \left[ { - 1;1} ight] . Số các phần tử của tập hợp K là:

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \sqrt {1 - {x^2}} ;x \in \left[ { - 1;1} ight] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} ight]

    Bất phương trình đã cho trở thành {t^3} - {t^2} + 1 - m \leqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant {t^3} - {t^2} + 1\left( * ight)

    Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi t \in \left[ {0;1} ight]

    Xét hàm số f\left( t ight) = {t^3} - {t^2} + 1 \Rightarrow f'\left( t ight) = 3{t^3} - 2t

    f'\left( t ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 0\left( L ight)} \\ {t = \dfrac{2}{3}\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.

    Vì \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = f\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( {\dfrac{2}{3}} ight) = \dfrac{{23}}{{27}}} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} ight]} f\left( t ight) = 1

    Do đó bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi t \in \left[ {0;1} ight] khi và chỉ khi m \geqslant 1

    Mặt khác m là số nguyên thuộc [0; 2019] nên m \in \left\{ {1;2;3;...;2019} ight\}

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính tổng x và y

    Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ trong đó AH = x,\ \ \ A E = 2,\ \ \ CG = y,\ \ \ C F = 3.

    Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Ta có S_{EFGH} nhỏ nhất \Leftrightarrow S = S_{\Delta\ AEH} + S_{\Delta\ CGF} + S_{\Delta\ DGH} lớn nhất (do S_{\Delta\ BEF} không đổi).

    Ta có:

    S = \frac{1}{2}.2x + \frac{1}{2}.3y + \frac{1}{2}(6 - x)(6 - y)

    = \frac{1}{2}xy - 2x - \frac{3}{2}y + 18(1)

    Do EFGH là hình thang nên hai tam giác AEH,\ \ \ CGF đồng dạng, do đó:

    \frac{AE}{CG} = \frac{AH}{CF} \Leftrightarrow \frac{2}{y} = \frac{x}{3} \Leftrightarrow xy = 6(2)

    Từ (1) và (2) suy ra S = 21 - 2x - \frac{9}{x}.

    Cách giải 1:

    Xét hàm số f(x) = 21 - 2x - \frac{9}{x} với x \in (0;6). Ta có:

    f'(x) = - 2 + \frac{9}{x^{2}} = \frac{9 - 2x^{2}}{x^{2}}; f'(x) = 0 \Leftrightarrow 9 - 2x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Bảng biến thiên:

    Vậy S = f(x) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = \frac{3\sqrt{2}}{2} \Rightarrow y = \frac{6}{x} = 2\sqrt{2}.

    Do vậy x + y = \frac{7\sqrt{2}}{2}.

    Cách giải 2:

    Ta có:

    S = 21 - 2x - \frac{9}{x} = 21 - \left( 2x + \frac{9}{x} \right).

    Ta thấy S lớn nhất khi và chỉ khi 2x + \frac{9}{x} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: 2x + \frac{9}{x} \geq 2\sqrt{2x.\frac{9}{x}} = 6\sqrt{2}.

    Dấu đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow 2x = \frac{9}{x} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow x = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Từ đây ta có y = 2\sqrt{2} \Rightarrow x + y = \frac{7\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 1;3brack và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \lbrack - 1;3brack. Giá trị của M - m bằng

    Hướng dẫn:

    Dựa và đồ thị suy ra M = f(3) = 3;\ \ \ m = f(2) = - 2

    Vậy M - m = 5

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số f(x) = \frac{x - m^{2} + m}{x + 1} với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \lbrack 0;1brack bằng - 2.

    Hướng dẫn:

    Đạo hàm f'(x) = \frac{m^2 - m +1}{(x + 1)^{2}} > 0,\forall x \in \lbrack 0;1brack.

    Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên \lbrack 0;1brack

    \Rightarrow \min_{\lbrack 0;1brack}f(x) = f(0) = - m^{2} + m

    Theo bài ra:

    \min_{\lbrack 0;1brack}f(x) = - 2 \Leftrightarrow - m^{2} + m = - 2

    \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh 6dm, bạn Hoa cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều (Hình vẽ sau).

    Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

    Đáp án: 7,3

    Đáp án là:

    Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh 6dm, bạn Hoa cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều (Hình vẽ sau).

    Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

    Đáp án: 7,3

    Gọi cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều là x(dm) với 0 < x < 6\sqrt{2} như hình bên.

    Ta có: AH = \frac{AC - HK}{2} = 3\sqrt{2} - \frac{x}{2}.

    Đường cao của hình chóp tứ giác đều là:

    h = \sqrt{AH^{2} - OH^{2}} = \sqrt{\left( 3\sqrt{2} - \frac{x}{2} ight)^{2} - \left( \frac{x}{2} ight)^{2}} = \sqrt{18 - 3x\sqrt{2}}.

    Thể tích khối chóp là:

    V = \frac{1}{3}hx^{2} = \frac{1}{3}x^{2}\sqrt{18 - 3x\sqrt{2}} = \frac{1}{3}\sqrt{x^{4}\left( 18 - 3x\sqrt{2} ight)}

    Để tìm giá trị lớn nhất của V, ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x^{4}\left( 18 - 3x\sqrt{2} ight)với 0 < x < 6\sqrt{2}.

    Ta có: f'(x) = x^{3}.\left( - 15x\sqrt{2} + 72 ight)

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{12\sqrt{2}}{5} \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên của f(x) như sau

    Từ bảng biến thiên ta có:

    \max_{\left( 0;6\sqrt{2} ight)}f(x) = f\left( \frac{12\sqrt{2}}{5} ight) \approx 477,75tại x = \frac{12\sqrt{2}}{5}.

    Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng:

    V_{\max} = \frac{1}{3}\sqrt{\left( \frac{12\sqrt{2}}{5} ight)^{4}\left( 18 - 3\sqrt{2}.\frac{12\sqrt{2}}{5} ight)} \approx 7,3\left( dm^{3} ight) .

  • Câu 7: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000.

    a) Nếu cơ sở bán mỗi chiếc khăn với giá 37000 thì số tiền lãi sau 1 tháng là 44. Sai||Đúng

    b) Sau khi cơ sở tăng giá mỗi chiếc khăn thêm x thì tổng số lợi nhuận một tháng của cơ sở được tính theo công thứcf(x) = - 100x^{2} + 1800x + 36000. Đúng||Sai

    c) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm 800 chiếc. Sai||Đúng

    d) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá 39000 đồng. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000.

    a) Nếu cơ sở bán mỗi chiếc khăn với giá 37000 thì số tiền lãi sau 1 tháng là 44. Sai||Đúng

    b) Sau khi cơ sở tăng giá mỗi chiếc khăn thêm x thì tổng số lợi nhuận một tháng của cơ sở được tính theo công thứcf(x) = - 100x^{2} + 1800x + 36000. Đúng||Sai

    c) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm 800 chiếc. Sai||Đúng

    d) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá 39000 đồng. Đúng||Sai

    Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là x .

    Vì cứ tăng giá thêm 1 thì số khăn bán ra giảm 100 chiếc nên tăng x thì số khăn bán ra giảm 100x chiếc.

    Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: 3000 - 100x chiếc.

    Lúc đầu bán với giá 30, mỗi chiếc khăn có lãi 12.

    Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: 12 + x .

    Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:

    f(x) = (3000 - 100x)(12 + x) .

    Xét hàm số f(x) = (3000 - 100x)(12 + x) trên (0; + \infty).

    Ta có: f(x) = - 100x^{2} + 1800x + 36000.

    f'(x) = - 200x + 1800

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 200x + 1800 = 0 \Leftrightarrow x = 9

    Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên (0;\ + \infty) ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khix = 9

    Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là 9.000 đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là39.000 đồng.

    Vậy:

    a) sai.         b) đúng.               c) sai.                     d) đúng.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Xác định giá trị lớn nhất của hàm số

    Xác định giá trị lớn nhất của hàm số y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - x} - 2\sqrt { - {x^2} + 4x - 3}

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 \geqslant 0} \\ {3 - x \geqslant 0} \end{array} \Rightarrow x \in \left[ {1;3} ight]} ight.

    Đặt \sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - x} = t ta có:

    \begin{matrix} t' = \dfrac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {3 - x} }} \hfill \\ t' = 0 \Rightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: t\left( 1 ight) = t\left( 3 ight) = \sqrt 2 \to \sqrt 2 \leqslant t \leqslant 2

    Khi đó:

    \begin{matrix} {t^2} = 2 + 2\sqrt {\left( {x - 1} ight)\left( {3 - x} ight)} \hfill \\ = 2 + 2\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = {t^2} - 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó: y = f\left( t ight) = t - \left( {{t^2} - 2} ight) = - {t^2} + t + 2

    Xét hàm số f\left( t ight) = t - \left( {{t^2} - 2} ight);\forall t \in \left[ {\sqrt 2 ;2} ight]

    Ta xác được \mathop {\max f\left( t ight) = \sqrt 2 }\limits_{\left[ {\sqrt 2 ;2} ight]} \Rightarrow \mathop {\max y = \sqrt 2 }\limits_{\left[ {\sqrt 2 ;2} ight]}

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Cho hàm số y = \frac{x^{2} - 4x}{2x + 1}. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \lbrack 0;3brack?

    Hướng dẫn:

    Hàm số y = \frac{x^{2} - 4x}{2x + 1} liên tục trên đoạn \lbrack 0;3brack

    Ta có: y' = \frac{2x^{2} + 2x - 4}{(2x + 1)^{2}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix} f(0) = 0 \\ f(1) = - 1 \\ f(3) = - \frac{3}{7} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1) < f(3) < f(0) nên \min_{\lbrack 0;3brack}y = y(1) = - 1.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m}. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây:

    a) Khi m = 0, ta có \min_{(0; + \infty)}y = - 2. Sai||Đúng

    b) Hàm số đã cho luôn có 2 cực trị. Đúng||Sai

    c) Với mọi giá trị của m, ta luôn có \min_{( - m; + \infty)}y - \underset{( - \infty; - m)}{max}y = 4. Đúng||Sai

    d) Khi m = - 3 thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;2\rbrack bằng 1. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m}. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây:

    a) Khi m = 0, ta có \min_{(0; + \infty)}y = - 2. Sai||Đúng

    b) Hàm số đã cho luôn có 2 cực trị. Đúng||Sai

    c) Với mọi giá trị của m, ta luôn có \min_{( - m; + \infty)}y - \underset{( - \infty; - m)}{max}y = 4. Đúng||Sai

    d) Khi m = - 3 thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;2\rbrack bằng 1. Đúng||Sai

    Tổng quan đáp án

    a. Sai

    b. Đúng

    c. Đúng

    d. Đúng

    a) Khi m = 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (0; + \infty) bằng 2.

    Thay m = 0 vào y = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m}, ta có

    y = \frac{x^{2} + 1}{x} \Rightarrow y' = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = 0\Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - 1 \notin (0; + \infty)\end{matrix} \right..

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    b) Ta có y = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m} \Rightarrow y' = \frac{x^{2} + 2mx + m^{2} - 1}{(x + m)^{2}}.

    + y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2mx + m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - m - 1;\ (\ x \neq - m) \\ x = - m + 1;\ (\ x \neq - m) \end{matrix} \right..

    \Rightarrow y' = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x \neq - m,\ \ \forall m.

    Vậy hàm số luôn có 2 cực trị.

    c) + y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} +2mx + m^{2} - 1 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - m - 1 \\x = - m + 1\end{matrix} \right..

    Ta có bảng biến thiên:

    Từ bảng biến thiên ta có:

    \max_{( -\infty; - m)}y = - 2 - m;\min_{( - m; + \infty)}y = 2 - m

    \Rightarrow \min_{( - m; + \infty)}y - \underset{( - \infty; - m)}{max}y= 4

    d) Khi m = - 3thay vào y = \frac{x^{2} + mx + 1}{x + m}, ta có y = \frac{x^{2} - 3x + 1}{x - 3}.

    + Hàm số y = \frac{x^{2} - 3x + 1}{x - 3} là hàm phân thức hữu tỉ, liên tục trên các khoảng ( - \infty;3) và (3; + \infty).

    Mặt khác \lbrack - 1;2\rbrack \subset ( - \infty;3) \Rightarrow Hàm số liên tục trên đoạn \lbrack - 1;2\rbrack.

    + Ta có y' = \frac{x^{2} - 6x + 8}{(x - 3)^{2}} > 0\ \ \forall x \in ( - 1;2) và y(2) = 1.

    Vì hàm số tăng trên ( - 1;2) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất \max_{\lbrack - 1;2\rbrack}y = y(2) = 1.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

    Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) = sin^{3}x + cos2x + \sin x + 3.

    Hướng dẫn:

    Ta có f(x) = sin^{3}x + cos2x + \sin x + 3 = sin^{3}x - 2sin^{2}x + \sin x + 4.

    Đặt t = \sin x\ ;( - 1 \leq t \leq1).

    Khi đó, bài toán trở thành ''Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(t) = t^{3} - 2t^{2} + t + 4 trên đoạn \lbrack - 1;1brack''.

    Đạo hàm g'(t) = 3t^{2} - 4t + 1

    \Rightarrow g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \in \lbrack - 1;1brack \\ t = \frac{1}{3} \in \lbrack - 1;1brack \\ \end{matrix} ight.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} g( - 1) = 0 \\ g\left( \dfrac{1}{3} ight) = \dfrac{112}{27} \\ g(1) = 4 \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow \max_{\lbrack - 1;1brack}g(t) = g\left( \dfrac{1}{3} ight) = \frac{112}{27}

    \Rightarrow \max_{x\mathbb{\in R}}f(x) = \frac{112}{27}

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tính tổng GTLN và GTNN của hàm số

    Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn 3x.f\left( x ight) - {x^2}.f'\left( x ight) = 2{f^2}\left( x ight), với f(x) ≠ 0 với ∀x ∈ (0; +∞) và f\left( 1 ight) = \frac{1}{3}. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [1;2]. Tính tổng M + m.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} 3x.f\left( x ight) - {x^2}.f'\left( x ight) = 2{f^2}\left( x ight) \hfill \\ \Rightarrow 3{x^2}f\left( x ight) - {x^3}f'\left( x ight) = 2x{f^2}\left( x ight) \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{3{x^2}f\left( x ight) - {x^3}f'\left( x ight)}}{{{f^2}\left( x ight)}} = 2x \hfill \\ \Rightarrow \left( {\dfrac{{{x^3}}}{{f\left( x ight)}}} ight)' = 2x \Rightarrow \dfrac{{{x^3}}}{{f\left( x ight)}} = {x^2} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Thay x = 1 vào ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{{f\left( 1 ight)}} = 1 + C} \\ {f\left( 1 ight) = \dfrac{1}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow C = 2

    \begin{matrix} \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2}} \hfill \\ f'\left( x ight) = \dfrac{{{x^4} + 6{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 2} ight)}^2}}} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Rightarrow x = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên

    Tính tổng GTLN và GTNN của hàm số

    Khi đó f(x) đồng biến trên [1; 2]

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = f\left( 1 ight) = \dfrac{1}{3}} \\ {M = f\left( 2 ight) = \dfrac{4}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow m + M = \dfrac{5}{3}

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tìm điều kiện của tham số m theo yêu cầu

    Hàm số y = 2x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 6mx + 1 nghịch biến trên khoảng (1;3) khi và chỉ khi:

    Hướng dẫn:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y = 2x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 6mx + 1

    \Rightarrow y' = 6x^{2} - 6(m + 1)x + 6m

    Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

    \Leftrightarrow y' \leq 0;\forall x \in (1;3)

    \Leftrightarrow 6x^{2} - 6(m + 1)x + 6m \leq 0;\forall x \in (1;3)

    \Leftrightarrow x^{2} - (m + 1)x + m \leq 0;\forall x \in (1;3)

    \Leftrightarrow m \geq x;\forall x \in (1;3)

    Vậy m \geq 3 là giá trị cần tìm.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tìm x để thể tích khối lăng trụ đạt max

    Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30\ (cm).

    Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là

    Hướng dẫn:

    Gọi p là nửa chu vi tam giác DHF.

    Ta có: DF = CH = x,\ FH = 30 - 2x \Rightarrow p = 15.

    Thể tích khối lăng trụ như hình vẽ là

    V = S_{\Delta FDH}.EF

    = 30\sqrt{15(15 - x)(15 - x)(15 - 30 + 2x)}

    = 30\sqrt{15(15 - x)^{2}(2x - 15)}.

    Xét hàm số f(x) = (15 - x)^{2}(2x - 15),x \in \left( \frac{15}{2};15 \right).

    f'(x) = - 2(15 - x)(2x - 15) + 2(15 - x)^{2}

    = - 2(15 - x)(3x - 30); f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 10 \\ x = 15(tm) \end{matrix} \right..

    Bảng biến thiên:

    Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: \max_{\left( \frac{15}{2};15 \right)}f(x) = 125 khi x = 10.

    Do đó thể tích khối lăng trụ như hình vẽ lớn nhất: V_{\max} = 750\sqrt{3}\ (cm^{3}).

    Khi đó: x = 10\ (cm).

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = \frac{x}{2} - \sqrt{x + 2} trên đoạn \lbrack - 1;34brack lần lượt là M và m. Tính giá trị của biểu thức A = M + 3m?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x + 2}} = \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{2\sqrt{x + 2}}

    y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x + 2} = 1 \Leftrightarrow x = - 1

    \left\{ \begin{matrix}f( - 1) = - \dfrac{3}{2} \\f(34) = 11 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}m = - \dfrac{3}{2} \\M = 11 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow A = \frac{13}{2}

  • Câu 16: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = \frac{mx + 5}{x - m} trên đoạn \lbrack 0;1brack bằng - 7. mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = - \frac{m^{2} + 5}{(x -m)^{2}} < 0;\forall x eq m \Rightarrow \Delta' = m^{2} + 2m -3

    Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;m) và (m; + \infty)

    Vì hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \lbrack 0;1brack nên m otin \lbrack 0;1brack

    Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \lbrack 0;1brack bằng - 7 nên suy ra

    \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m > 1 \hfill \\ f\left( 1 ight) = \frac{{m + 5}}{{1 - m}} = - 7 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ f\left( 1 ight) = \frac{{m + 5}}{{1 - m}} = - 7 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m > 1 \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {TM} ight) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( {KTM} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow m = 2 \in(0;2brack

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tìm giá trị lớn nhất của tham số m

    Cho hàm số f(x) = \frac{x - m^{2}}{x + 8} với m là tham số thực. Tìm giá trị lớn nhất của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \lbrack 0;3brack bằng - 2.

    Hướng dẫn:

    Đạo hàm y' = \frac{8 + m^{2}}{(x + 8)^{2}} > 0,\ \forall x \in \lbrack 0;3brack.

    Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên đoạn \lbrack 0;3brack

    \Rightarrow \min_{\lbrack 0;3brack}f(x) = f(0) = - \frac{m^{2}}{8}

    Thao bài ra: \min_{\lbrack 0;3brack}f(x) = - 2 \Leftrightarrow - \frac{m^{2}}{8} = - 2 \Leftrightarrow m = \pm 4

    Suy ra giá trị m lớn nhất là m = 4.

  • Câu 18: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số f(x) = x^{3} + \left( 1 + m^{2} ight)x + 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 0;1brack không vượt quá 7. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử là số nguyên?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = x^{3} + \left( 1 + m^{2} ight)x + 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 0;1brack không vượt quá 7. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử là số nguyên?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Thông hiểu
    Tìm giá trị tham số m

    Tính giá trị của tham số m biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = x + \sqrt{4 - x^{2}} + m là 3\sqrt{2}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y = x + \sqrt{4 - x^{2}} + m có tập xác định D = \lbrack - 2;2brack

    y' = 1 + \frac{- x}{\sqrt{4 - x^{2}}};\forall x \in ( - 2;2)

    y' = 0 \Leftrightarrow 1 + \frac{- x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = x

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 4 - x^{2} = x^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = \sqrt{2}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} y(2) = 2 + m \\ y( - 2) = 2 + m \\ y\left( \sqrt{2} ight) = 2\sqrt{2} + m \\ \end{matrix} ight. . Theo bài ra ta có: 2\sqrt{2} + m = 3\sqrt{2} \Leftrightarrow m = \sqrt{2}

    Vậy đáp án cần tìm là m = \sqrt{2}

  • Câu 20: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Có hai cây cột, một cây cao 12m và một cây cao 28mđứng cách nhau 30m.Chúng được giữ bằng hai sợi dây, gắn vào một cọc duy nhất nối từ mặt đất đến đỉnh mỗi cột. Gọi x là khoảng cách từ cột cao 12m đến cọc.

    Xét tính đúng sai của các nhận định dưới đây:

    a) Để tổng chiều dài của dây ngắn nhất thì x \in (0;30).Đúng||Sai

    b) Chiều dài sợi dây nối từ cọc đến đỉnh cột cao 28m là \sqrt{1684 + x^{2}}. Sai||Đúng

    c) Tổng chiều dài của dây là \sqrt{144 + x^{2}} + \sqrt{1684 - 60x + x^{2}}. Đúng||Sai

    d) Tổng chiều dài ngắn nhất của dây là 48,5m. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Có hai cây cột, một cây cao 12m và một cây cao 28mđứng cách nhau 30m.Chúng được giữ bằng hai sợi dây, gắn vào một cọc duy nhất nối từ mặt đất đến đỉnh mỗi cột. Gọi x là khoảng cách từ cột cao 12m đến cọc.

    Xét tính đúng sai của các nhận định dưới đây:

    a) Để tổng chiều dài của dây ngắn nhất thì x \in (0;30).Đúng||Sai

    b) Chiều dài sợi dây nối từ cọc đến đỉnh cột cao 28m là \sqrt{1684 + x^{2}}. Sai||Đúng

    c) Tổng chiều dài của dây là \sqrt{144 + x^{2}} + \sqrt{1684 - 60x + x^{2}}. Đúng||Sai

    d) Tổng chiều dài ngắn nhất của dây là 48,5m. Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai

    a) Rõ ràng để tổng chiều dài dây ngắn nhất thì cọc phải nằm trong khoảng giữa hai cây cột nên x \in (0;30).

    b) AC = x \Rightarrow BC = 30 - x nên chiều dài sợi dây nối từ cọc đến đỉnh cột cao 28m là:

    \sqrt{28^{2} + (30 - x)^{2}} = \sqrt{1684 - 60x + x^{2}}.

    c) Chiều dài sợi dây nối từ cọc đến đỉnh cột cao 12m là \sqrt{12^{2} + x^{2}} = \sqrt{144 + x^{2}}

    Suy ra tổng chiều dài của sợi dây là \sqrt{144 + x^{2}} + \sqrt{1684 - 60x + x^{2}}.

    d) Xét hàm số f(x) = \sqrt{144 + x^{2}} + \sqrt{1684 - 60x + x^{2}} với x \in \lbrack 0;30\rbrack

    Ta có f'(x) = \frac{x}{\sqrt{144 + x^{2}}} + \frac{x - 30}{\sqrt{1684 - 60x + x^{2}}}

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow x\sqrt{1684 - 60x + x^{2}} = (30 - x)\sqrt{144 + x^{2}}

    \Rightarrow x^{2}\left( 1684 - 60x + x^{2} \right) = (30 - x)^{2}\left( 144 + x^{2} \right)

    \Leftrightarrow 640x^{2} + 8540x - 129600 = 0

    \Leftrightarrow x = 9;x = - \frac{45}{2}

    Do x \in \lbrack 0;30\rbrack nên ta nhận x = 9

    Ta có f(0) \approx 53,04;f(9) = 50;f(30) = 60,31

    Vậy chiều dài ngắn nhất của dây là 50m.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (50%):
    2/3
  • Thông hiểu (30%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
34 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này