Trong không gian , cho hình hộp
biết
,
,
,
. Tọa độ của điểm
là:
Gọi
là hình hộp
,
,
⇒
. Vậy:
.
Trong không gian , cho hình hộp
biết
,
,
,
. Tọa độ của điểm
là:
Gọi
là hình hộp
,
,
⇒
. Vậy:
.
Trong không gian , tìm tọa độ điểm
trên trục
cách đều hai điểm
và
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
.
Trong không gian , cho hai điểm
. Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác
là:
Ta có bài toán sau
Trong tam giác ABC, gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC ta có: với
Hình vẽ minh họa
Gọi A’ là chân đường phân giác kẻ từ A
Áp dụng công thức trong tam giác OMN ta có:
Vậy đáp án cần tìm là
Trong không gian , cho ba điểm
,
,
và
là điểm thuộc mặt phẳng
. Tính giá trị nhỏ nhất của
.
Đáp án: 27
Trong không gian
, cho ba điểm
,
,
và
là điểm thuộc mặt phẳng
. Tính giá trị nhỏ nhất của
.
Đáp án: 27
Gọi sao cho
.
Ta có: .
Suy ra .
Xét
.
Từ ta có
.
khi
ngắn nhất hay
là hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
.
Khi đó: .
Trong không gian vói hệ trục tọa độ , cho hình thang cân
có hai đáy
,
thỏa mãn
và diện tích bằng
, đỉnh
, phương trình đường thẳng chứa cạnh
là
. Tìm tọa độ điểm
biết
.
Hình vẽ minh họa
Gọi điểm là hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
.
Khi đó .
Đường thẳng có vtcp là:
.
Ta có:
.
Đường thẳng đi qua
và song song với
phương trình
là:
Theo bài ra ta có:
Với .
Với
Ta có:
Trong không gian , cho hai điểm
,
. Điểm
thuộc đoạn
sao cho
, tọa độ điểm
là
Gọi .
Vì điểm thuộc đoạn
sao cho
Vậy .
Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tịnh cho truớc nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ
, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm
,
; vị trí
thỏa mãn
. Khoảng cách từ điểm
đến điểm
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 3
Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm
trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tịnh cho truớc nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ
, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm
,
; vị trí
thỏa mãn
. Khoảng cách từ điểm
đến điểm
bằng bao nhiêu?
Đáp án: 3
Ta có, vị trí thỏa mãn
Vậy OM = 3
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho . Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn M không trùng với các điểm A, B, C và
Gọi
Ta có:
.
Trong không gian , cho tọa độ ba điểm
. Góc giữa hai đường thẳng
và
là
Ta có: .
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho hình hộp
biết
. Xác định tọa độ B’?
Hình vẽ minh họa
Giả sử điểm
Gọi
Suy ra . Vì
là hình hộp nên
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.
Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.
Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)
Ta có
OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0
⟺13906t - 76483 = 0 ⟺
Suy ra
Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm
. Với giá trị nào của
thì ba điểm đã cho thẳng hàng?
Ta có:
Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên cùng phương
Vậy đáp án cần tìm là .
Trong không gian vói hệ trục tọa độ , cho hình thang cân
có hai đáy
,
thỏa mãn
và diện tích bằng
, đỉnh
, phương trình đường thẳng chứa cạnh
là
. Tìm tọa độ điểm
biết hoành độ điểm
lớn hơn hoành độ điểm
.
Hình vẽ minh họa
Gọi điểm là hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
.
Khi đó .
Đường thẳng có vtcp là:
. Ta có:
.
Đường thẳng đi qua
và song song với
phương trình
là:
Theo bài ra ta có:
Với . Với
Ta có:
Trong không gian tọa độ , cho hai điểm
,
và
là điểm thay đổi trên mặt cầu
. Tập hợp các điểm
trên mặt cầu
thỏa mãn
có bao nhiêu phần tử?
Mặt cầu có tâm
, bán kính
.
Ta tìm điểm thỏa mãn
.
Có ,
;
.
Suy ra ,
.
Do đó
.
Ta thấy nên điểm
nằm ngoài mặt cầu
. Ta có
, suy ra có một điểm
thuộc đoạn
thỏa mãn đề bài.
Trong không gian cho
,
,
sao cho
nhỏ nhất. Tọa độ của
bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm
.
Gọi là hình chiếu của
xuống mặt phẳng
.
Ta có
.
Do không đổi nên
nhỏ nhất khi
nhỏ nhất
.
Gọi là đường thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
.
Khi đó nhận
làm vectơ chỉ phương.
Do đó có phương trình
.
.
.
Vậy .
Trong không gian , cho ba điểm
. Tọa độ chân đường phân giác của góc
trong tam giác
là:
Ta có:
Gọi là chân đường phân giác kẻ từ
lên
của tam giác
.
Suy ra
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm
. Đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
. Tính tỉ số
?
Ta có:
Lại có và ba điểm
thẳng hàng
Vậy đáp án đúng là .
Trong không gian cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là . Đúng||Sai
c) Cho , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian
cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là
. Đúng||Sai
c) Cho
, tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Sai: Hình chiếu của điểm trên trục
có tọa độ là
b) Đúng: Vì là trung điểm của
.
c) Đúng: Ta có .
vuông tại
.
d) Sai.
Gọi thỏa
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
.
Vậy .
Suy ra
Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm trong không gian
như hình vẽ. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
xuống mặt phẳng
. Cho biết
,
,
. Điểm
có toạ độ
. Tính giá trị
. (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6825
Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm
trong không gian
như hình vẽ. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
xuống mặt phẳng
. Cho biết
,
,
. Điểm
có toạ độ
. Tính giá trị
. (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).

Đáp án: 6825
Xét vuông tại
, ta có
Xét vuông tại
, ta có
Xét vuông tại
, ta có
.
Suy ra .
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: