Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Ứng dụng hình học của Tích phân (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x + 3)^{2}, trục hoành và đường thẳng x = 0. Gọi A(0;9),B(b;0);( - 3 < b < 0). Tính giá trị của tham số b để đoạn thẳng AB chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Gợi ý:

    Ta có đồ thị hàm số y = (x +3)^{2} tiếp xúc với trục hoành tại x = - 3.

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x +3)^{2}, trục hoành và đường thẳng x= - 3,x = 0.

    Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x + 3)^{2}, đoạn thẳng AB và trục hoành.

    Gọi S2 là diện tích của tam giác OAB.

    Theo bài ra ta có:

    S_{1} = S_{2}

    \Leftrightarrow S = 2S_{2}\Leftrightarrow \int_{- 3}^{0}{(x + 3)^{2}dx} =2.\frac{1}{2}.OA.OB

    \Leftrightarrow - 9b = 9 \Leftrightarrowb = - 1

    Vậy b = - 1

  • Câu 2: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc, xây dựng, thiết bị nội thất,... Mặt trong (lọt lòng) và ngoài (phủ bì) của một bồn rửa (lavabo) bằng sứ có hình dạng là một nửa khối tròn xoay khi quay quanh một trục của 2 elip có chung các trục đối xứng (hình minh họa). Thông số kĩ thuật mặt trên của bồn rửa: dài x rộng là 660 \times 380mm (phủ bì) và elip (lọt lòng) có trục lớn, trục nhỏ ít hơn elip phủ bì một khoảng 40 mm. Tính thể tích chứa nước của bồn rửa (đơn vị: lít) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 18,8

    Đáp án là:

    Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc, xây dựng, thiết bị nội thất,... Mặt trong (lọt lòng) và ngoài (phủ bì) của một bồn rửa (lavabo) bằng sứ có hình dạng là một nửa khối tròn xoay khi quay quanh một trục của 2 elip có chung các trục đối xứng (hình minh họa). Thông số kĩ thuật mặt trên của bồn rửa: dài x rộng là 660 \times 380mm (phủ bì) và elip (lọt lòng) có trục lớn, trục nhỏ ít hơn elip phủ bì một khoảng 40 mm. Tính thể tích chứa nước của bồn rửa (đơn vị: lít) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 18,8

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy thích hợp với đơn vị trên trục là decimet.

    Phương trình elip lọt lòng: (E):\frac{x^{2}}{3,1^{2}} + \frac{y^{2}}{1,7^{2}} = 1 \Leftrightarrow y = \pm 1,7\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{3,1^{2}}}.

    Thể tích chứa nước của bồn rửa: V = \frac{1}{2}.\pi\int_{- 3,1}^{3,1}{1,7^{2}\left( 1 - \frac{x^{2}}{3,1^{2}} ight)dx} \approx 18,8 lít.

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đáp án là:

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

    Đồ thị của hàm số y = f(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm A( - 1;0)và A(2;1) có dạng hàm số (P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1.

    Đồ thị của hàm số y = g(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm C(1;0)và D(2; - 1) có dạng hàm số (P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1.

    Giao điểm của hai parabol tại x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}

    Do đó, diện tích của con cá là S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}

  • Câu 4: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho đường cong (C):y = x^{3}. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây??

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = 3x^{2} có A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a > 0)

    Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}

    x^{3} = 3a^{2}(x - a) + a^{3}

    \Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a \\ x = - 2a \\ \end{matrix} ight.

    Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

    S = 27 \Leftrightarrow \int_{- 2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27

    \Leftrightarrow \left| \int_{- 2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| = 27

    \Leftrightarrow \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{- 2a}^{a} ight| = 27

    \Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \sqrt{2}(tm) \\ a = - \sqrt{2}(ktm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2} ight)

  • Câu 5: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2\left( x^{2} - 1ight);y = 1 - x^{2}. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2\left( x^{2} - 1ight);y = 1 - x^{2}. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 6: Thông hiểu
    Chọn kết luận chính xác nhất

    Cho hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số f(x);g(x);h(x) như hình bên, bằng kết quả nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Diện tích miền tích phân được chia thành hai phần. Phần 1 với x nằm trong khoảng a đến b và phần 2 với x nằm trong khoảng b đến c:

    S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx} + \int_{b}^{c}{\left| g(x) - h(x) ight|dx}

    = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} + \int_{b}^{c}{\left\lbrack h(x) - g(x) ightbrack dx}

    = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} - \int_{b}^{c}{\left\lbrack g(x) - h(x) ightbrack dx}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên.

    Phần tô đậm được đính đá với giá thành 500.000đ/m^{2}. Phần còn lại được tô màu với giá thành 250.000đ/m^{2}.

    Cho AB = 4dm;BC = 8dm. Hỏi để trang trí 1000 họa tiết như vậy cần số tiền bỏ ra là bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Vì AB = 4dm;BC = 8dm. \Rightarrow A( - 2;4),B(2;4),C(2; - 4),D( - 2; - 4).

    Parabol là: y = x^{2} hoặc y = - x^{2}

    Diện tích phần tô đậm là S_{1} = 4\int_{0}^{2}{x^{2}dx = \frac{32}{3}\begin{matrix} \\ \end{matrix}(dm^{2})}

    Diện tích hình chữ nhật là S = 4.8 = 32\begin{matrix} \\ \end{matrix}(m^{2})

    Diện tích phần trắng là S_{2} = S - S_{1} = 32 - \frac{32}{3} = \frac{64}{3}\begin{matrix} \\ \end{matrix}(dm^{2})

    Tổng chi phí trang chí là: T = \left( \frac{32}{3}.5000 + \frac{64}{3}.2500 \right).1000 \approx 106666667đ

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ?

    Hướng dẫn:

    Xét \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = - 2 \\ y = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ là: S = \int_{- 1}^{0}{\left| \frac{x + 1}{x - 2} ight|dx}.

    Vì biểu thức \frac{x + 1}{x - 2} không đổi dấu trên miền \lbrack - 1;0brack nên:

    S = \left| \int_{- 1}^{0}{\frac{x + 1}{x - 2}dx} ight| = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 1 + \frac{3}{x - 2} ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( x + 3\ln|x - 2|ight) ight|_{- 1}^{0} ight| = \left| 1 + 3(\ln2 - \ln3) ight| =3\ln\frac{3}{2} - 1

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính thể tích quả bóng

    Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 10 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng 16\pi\left( \ cm^{2} ight). Thể tích của quả bóng bằng (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân, đơn vị lít)

    Gợi ý:

    Sử dụng phương trình chính tắc của Elip: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, với 2a là độ dài trục lớn, 2b là độ dài trục nhỏ.

    Hướng dẫn:

    Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip.

    Độ dài trục lớn bằng 20\ cm \Rightarrow2a = 20 \Rightarrow a = 5\ \ (cm)

    Ta có diện tích đường tròn thiết diện là

    S = \pi b^{2} = 16\pi \Rightarrow b =4(\ cm)

    Ta sẽ có phương trình elip \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1

    \Rightarrow V = \pi\int_{- 5}^{5}{16\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)}dx \approx 335\ \ \left( \ cm^{3} ight) = 0,34\ (l).

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Đáp án là:

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Cả hai bên cầu có tất cả 2.10 = 20 nhịp cầu.

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu, đỉnh I(25;2), điểm A(50;0)

    Gọi Parabol phía trên có phương trình: \left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx (vì O \in \left( P_{1} ight))

    \Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5} là phương trình parabol phía dưới

    (Vì bề dày nhịp cầu là 20cm = \frac{1}{5}m)

    Ta có I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}

    Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi y_{1};y_{2} và trục Ox nên ta có:

    S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}

    Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là S.0,2 \approx 1,985m^{3}.

    Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}

  • Câu 11: Thông hiểu
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) = \sqrt{x} và y = g(x) = x - 2 như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 3,3 m2

    Đáp án là:

    Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) = \sqrt{x} và y = g(x) = x - 2 như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 3,3 m2

    Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số y = \sqrt{x},y = x - 2.

    \sqrt{x} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x = (x - 2)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x^{2} - 5x + 4 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow x = 4. ight.

    Diện tích của hình phẳng cần tìm là

    S = \int_{0}^{4}\sqrt{x}dx - \int_{0}^{4}(x - 2)dx = \frac{10}{3} \approx 3,3(m^{2}).

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H). Lúc dó S = 2S_{1} + 2S_{2}, trong đó S_{1} là diện tích phần gạch sọc ở bên phải Oy và S_{2} là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

    GọiA,B là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng y = k và đồ thị hàm sốy = \left| x^{2} - 1 ight|, trong đó A\left( \sqrt{1 - k};k ight) và B\left( \sqrt{1 + k};k ight).

    Thco yêu cầu bài toán S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}.

    \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}.

    \Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}

    = \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}

    \ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59.

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tính diện tích các cánh hoa

    Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô đen như hình vẽ dưới).

    Tính diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch.

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng 10cm = 1dm), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình y = \frac{x^{2}}{2}, y = - \frac{x^{2}}{2},x = - \frac{y^{2}}{2},x = \frac{y^{2}}{2}.

    Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phàn tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm sốy = \frac{x^{2}}{2},y = \sqrt{2x} và hai đường thẳng x = 0;x = 2.

    Do đó diện tích một cánh hoa bằng

    \int_{0}^{2}{\left( \sqrt{2x} - \frac{x^{2}}{2} \right)dx} = \left. \ \left. \ \left( \frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{(2x)^{3}} - \frac{x^{3}}{6} \right) \right| \right|_{0}^{2}

    = \frac{4}{3}\left( dm^{2} \right) = \frac{400}{3}\left( cm^{2} \right) = \frac{4}{3}\left( dm^{2} \right) = \frac{400}{3}\left( cm^{2} \right).

  • Câu 14: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho hàm số y = f(x) = x^{2} - 5x + 4 có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số f(x) tạo với trục hoành và 2 đường thẳng x = 0,\ x = 4 một hình phẳng (H) gồm 2 phần có diện tích lần lượt là S_{1},\ S_{2}.

    Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

    a) [NB] f(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) = 2x - 5 trên \mathbb{R}. Đúng||Sai

    b) [TH] S_{1} = \frac{11}{6}. Đúng||Sai

    c) [TH] S_{1} = \int_{0}^{4}{f(x)dx} - S_{2}. Sai||Đúng

    d) [VD,VDC] Biết đường thẳng d:y = x + m( m là tham số ) cắt đồ thị y = f(x) tại hai điểm phân biệt và diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P) bằng \frac{4}{3}. Khi đó tổng các giá trị của tham số m bằng -4. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = x^{2} - 5x + 4 có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số f(x) tạo với trục hoành và 2 đường thẳng x = 0,\ x = 4 một hình phẳng (H) gồm 2 phần có diện tích lần lượt là S_{1},\ S_{2}.

    Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

    a) [NB] f(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) = 2x - 5 trên \mathbb{R}. Đúng||Sai

    b) [TH] S_{1} = \frac{11}{6}. Đúng||Sai

    c) [TH] S_{1} = \int_{0}^{4}{f(x)dx} - S_{2}. Sai||Đúng

    d) [VD,VDC] Biết đường thẳng d:y = x + m( m là tham số ) cắt đồ thị y = f(x) tại hai điểm phân biệt và diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P) bằng \frac{4}{3}. Khi đó tổng các giá trị của tham số m bằng -4. Đúng||Sai

    a) Đúng. Ta có: f'(x) = (x^{2} - 5x + 4)' = 2x - 5\ \ \ \forall x\mathbb{\in R}

    b) Đúng. Ta có:

    S_{1} = \int_{0}^{1}{f(x)dx = \int_{0}^{1}{(x^{2} - 5x + 4)dx =}}\frac{11}{6}

    c) Sai. Ta có

    \int_{0}^{4}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx + \int_{1}^{4}{f(x)dx}}

    = \int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx - \int_{1}^{4}{\left| f(x) ight|dx = S_{1} - S_{2}}}

    Suy ra : S_{1} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + S_{2}.

    d) Đúng.

    Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị hàm số f(x) là

    x^{2} - 5x + 4 = x + m \Leftrightarrow x^{2} - 6x + 4 - m = 0

    d và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

    \Leftrightarrow \Delta' = 9 - 4 + m = m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > - 5

    Theo Viète: x_{1} + x_{2} = 6;x_{1}x_{2} = 4 - m ( x_{1} < x_{2})

    Ta có

    S = \int_{x_{1}}^{x_{2}}\left( m - x^{2} + 6x - 4 ight)dx

    = \left. \ \left( (m - 4)x + 3x^{2} - \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{x_{1}}^{x_{2}}

    = \left( (m - 4) + 3\left( x_{1} + x_{2} ight) - \frac{1}{3}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - x_{1}x_{2} ightbrack ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)

    = \frac{4}{3}\sqrt{(m + 5)^{3}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow m = - 4

    Vậy S = - 4.

  • Câu 15: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào chỗ trống

    Một khối cầu có bán kính là 6\ dm, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3\ dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Thể tích mà chiếc lu chứa được là bao nhiêu dm^{3}(làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 622

    Đáp án là:

    Một khối cầu có bán kính là 6\ dm, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3\ dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Thể tích mà chiếc lu chứa được là bao nhiêu dm^{3}(làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 622

    Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn (C): (x - 6)^{2} + y^{2} = \ 36

    Nếu cho nửa trên trục Ox của (C) quay quanh trục Ox ta được mặt cầu có bán kính bằng 6.

    Nếu cho hình phẳng (H) giới hạn bởi nửa trên trục Ox của (C), trục Ox, hai đường thẳng x = 0;\ x = 3 quay xung quanh Ox ta sẽ được khối tròn xoay chính là 1 phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.

    Ta có (x - 6)^{2} + y^{2} = \ 36 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt{36 - (x - 6)^{2}}

    Suy ra nửa trên trục Ox của (C) có phương trình y = \sqrt{36 - (x - 6)^{2}} = \sqrt{12x - x^{2}}

    Thể tích vật thể tròn xoay khi cho (H) quay quanh Ox là V_{1} = \pi\int_{0}^{3}\left( 12x - x^{2} ight) = 45\pi.

    Thể tích khối cầu là V_{2} = \frac{4}{3}\pi.6^{3} = 288\pi.

    Thể tích cần tìm là V = V_{2} - 2V_{1} = 198\pi \approx 622.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính số tiền cần xây cầu

    Trong chương trình nông thôn mới của tỉnh Phú Yên, tại xã Hòa Mỹ Tây có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Biết 1\ m^{3} khối bê tông để đổ cây cầu có giá 5 triệu đồng. Tính số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu trên.

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

    .

    Gọi \left( P_{1} \right):y = a_{1}x^{2} + b_{1} là Parabol đi qua hai điểm A\left( \frac{19}{2};0 \right),B(0;2)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a.\left( \frac{19}{2} \right)^{2} + 2 \\ 2 = b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{1} = - \frac{8}{361} \\ b_{1} = 2 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{1} \right):y = - \frac{8}{361}x^{2} + 2.

    Gọi \left( P_{2} \right):y = a_{2}x^{2} + b_{2} là Parabol đi qua hai điểm C(10;0),D\left( 0;\frac{5}{2} \right)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a_{2}.(10)^{2} + \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} = b_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{2} = - \frac{1}{40} \\ b_{2} = \frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{2} \right):y = - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2}.

    Ta có thể tích của bê tông là:

    V = 5.2\left\lbrack \int_{0}^{10}\left( - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2} \right)dx - \int_{0}^{\frac{19}{2}}\left( - \frac{8}{361}x^{2} + 2 \right)dx \right\rbrack = 40\ m^{3}.

    Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: 5.40 = 200 triệu đồng

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tính tỉ số hai cạnh

    Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18\ \ m, chiều rộng chân đế 12\ \ m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \frac{AB}{CD} bằng

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

    Phương trình Parabol có dạng y = a.x^{2} (P).

    (P) đi qua điểm có tọa độ ( - 6; - 18) suy ra: - 18 = a.( - 6)^{2} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}

    \Rightarrow (P):y = - \frac{1}{2}x^{2}.

    Từ hình vẽ ta có: \frac{AB}{CD} = \frac{x_{1}}{x_{2}}.

    Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng AB:y = - \frac{1}{2}x_{1}^{2} là

    S_{1} = 2\int_{0}^{x_{1}}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{1}^{2} \right) \right\rbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}x_{1}^{2}x \right) \right|_{0}^{x_{1}} = \frac{2}{3}x_{1}^{3}.

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng CD y = - \frac{1}{2}x_{2}^{2} là

    S_{2} = 2\int_{0}^{x_{2}}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{2}^{2} \right) \right\rbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}x_{2}^{2}x \right) \right|_{0}^{x_{2}} = \frac{2}{3}x_{2}^{3}

    Từ giả thiết suy ra S_{2} = 2S_{1} \Leftrightarrow x_{2}^{3} = 2x_{1}^{3} \Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}.

    Vậy \frac{AB}{CD} = \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}.

  • Câu 18: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

    Đáp án: 3200 m^{2}

    Đáp án là:

    Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

    Đáp án: 3200 m^{2}

    Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ:

    Ta có: A(30;0),B(0;20)

    \Rightarrow (P):y = \frac{- 1}{45}x^{2} + 20

    Khi đó diện tích phần parabol là:

    4\int_{0}^{30}{\left( \frac{- 1}{45}x^{2} + 20 ight)dx} = 1600\left( m^{2} ight)

    Vậy diện tích toàn phần của sân chơi là: 60.80 - 1600 = 3200\left( m^{2} ight)

  • Câu 19: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 200 mỗi m^{2} trồng cây con và 4000 mỗi m^{2} trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 200 mỗi m^{2} trồng cây con và 4000 mỗi m^{2} trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng

    Cho parabol (P):y = x^{2} và hai điểm A;B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A\left( a;a^{2} ight) và (P):y = x^{2} là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.

    Không mất tính tổng quát giả sử a < b.

    Theo giả thiết ta có AB = 2 nên

    (b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4

    Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = (b + a)x - ab

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}

    Mặt khác (b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4 nên |b -a| \leq 2 do 1 + (b + a)^{2} \geq1

    Suy ra S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}

    Vậy S_{\max} = \frac{4}{3} dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
12 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm