Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Ứng dụng hình học của Tích phân (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tính thể tích chi tiết máy

    Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.

    Các tứ giác ABCD,CDPQ là các hình vuông cạnh 2,5\ cm. Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có BE = 3,5\ cm. Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol (P) có đỉnh parabol nằm trên cạnh EF. Tính thể tích của chi tiết máy gần nhất với giá trị nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Gọi hình chiếu của P,\ Q trên AF và BE là R vàS.

    Vật thể được chia thành hình lập phương ABCD.PQRS có cạnh 2,5\ cm, thể tích V_{1} = \frac{125}{8}\ cm^{3} và phần còn lại có thể tích V_{2}.

    Khi đó thể tích vật thể V = V_{1} + V_{2} = \frac{125}{8} + V_{2}.

    Đặt hệ trục Oxyz sao cho O trùng vớiF, Ox trùng với FA, Oy trùng với tia Fy song song với AD.

    Khi đó Parabol (P) có phương trình dạng y = ax^{2}, đi qua điểm P\left( 1;\frac{5}{2} \right) do đó a = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{5}{2}x^{2}.

    Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox và đi qua điểm M(x;0;0),\ 0 \leq x \leq 1 ta được thiết diện là hình chữ nhật MNHK có cạnh là MN = \frac{5}{2}x^{2} và MK = \frac{5}{2}

    Do đó diện tích S(x) = \frac{25}{4}x^{2}

    Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có V_{2} = \int_{0}^{1}{\frac{25}{4}x^{2}dx} = \frac{25}{12}.

    Từ đó V = \frac{125}{8} + \frac{25}{12} = \frac{425}{24}cm^{3}

  • Câu 2: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

    Đáp án: 3200 m^{2}

    Đáp án là:

    Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

    Đáp án: 3200 m^{2}

    Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ:

    Ta có: A(30;0),B(0;20)

    \Rightarrow (P):y = \frac{- 1}{45}x^{2} + 20

    Khi đó diện tích phần parabol là:

    4\int_{0}^{30}{\left( \frac{- 1}{45}x^{2} + 20 ight)dx} = 1600\left( m^{2} ight)

    Vậy diện tích toàn phần của sân chơi là: 60.80 - 1600 = 3200\left( m^{2} ight)

  • Câu 3: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc, xây dựng, thiết bị nội thất,... Mặt trong (lọt lòng) và ngoài (phủ bì) của một bồn rửa (lavabo) bằng sứ có hình dạng là một nửa khối tròn xoay khi quay quanh một trục của 2 elip có chung các trục đối xứng (hình minh họa). Thông số kĩ thuật mặt trên của bồn rửa: dài x rộng là 660 \times 380mm (phủ bì) và elip (lọt lòng) có trục lớn, trục nhỏ ít hơn elip phủ bì một khoảng 40 mm. Tính thể tích chứa nước của bồn rửa (đơn vị: lít) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 18,8

    Đáp án là:

    Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc, xây dựng, thiết bị nội thất,... Mặt trong (lọt lòng) và ngoài (phủ bì) của một bồn rửa (lavabo) bằng sứ có hình dạng là một nửa khối tròn xoay khi quay quanh một trục của 2 elip có chung các trục đối xứng (hình minh họa). Thông số kĩ thuật mặt trên của bồn rửa: dài x rộng là 660 \times 380mm (phủ bì) và elip (lọt lòng) có trục lớn, trục nhỏ ít hơn elip phủ bì một khoảng 40 mm. Tính thể tích chứa nước của bồn rửa (đơn vị: lít) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 18,8

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy thích hợp với đơn vị trên trục là decimet.

    Phương trình elip lọt lòng: (E):\frac{x^{2}}{3,1^{2}} + \frac{y^{2}}{1,7^{2}} = 1 \Leftrightarrow y = \pm 1,7\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{3,1^{2}}}.

    Thể tích chứa nước của bồn rửa: V = \frac{1}{2}.\pi\int_{- 3,1}^{3,1}{1,7^{2}\left( 1 - \frac{x^{2}}{3,1^{2}} ight)dx} \approx 18,8 lít.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính thể tích khối tròn xoay

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y^{2} = 4x và y = x (với 0 \leq x \leq 4) được minh họa bằng hình vẽ bên (phần tô đậm):

    Cho (H) quay quanh trục Ox, thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y^{2} = 4x \Rightarrow y = 2\sqrt{x};(y \geq 0)

    Thể tích khối tròn xoay cần tính là

    V = \pi\int_{0}^{4}{\left( 2\sqrt{x} ight)^{2}dx} - \pi\int_{0}^{4}{x^{2}dx}

    = \left. \ 2\pi x^{2} ight|_{0}^{4} - \frac{\pi}{3}.\left. \ x^{3} ight|_{0}^{4} = \frac{32\pi}{3}

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.

    Chiều dài của đường hầm mô hình là 5cm, mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm tạo được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thứcy = 3 - \frac{2}{5}x (đơn vị là cm), với x là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

    Đáp án: 29

    Đáp án là:

    Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.

    Chiều dài của đường hầm mô hình là 5cm, mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm tạo được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thứcy = 3 - \frac{2}{5}x (đơn vị là cm), với x là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

    Đáp án: 29

    Xét một thiết diện parabol có chiều cao là h và độ dài đáy 2h và chọn hệ trục Oxy như hình vẽ bên

    Parabol (P) có phương trình (P):\ \ y = ax^{2} + h,\ \ (a < 0)

    Có B(h;\ 0) \in (P) \Leftrightarrow 0 = ah^{2} + h \Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}\ \ (do\ h > 0)

    Diện tích S của thiết diện: S = \int_{- h}^{h}{\left( - \frac{1}{h}x^{2} + h ight)\ dx} = \frac{4h^{2}}{3}, kết hợp chiều cao h = 3 - \frac{2}{5}x

    Ta được diện tích thiết diện là S(x) = \frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x ight)^{2}.

    Thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình:

    V = \int_{0}^{5}{S(x)\ dx} = \int_{0}^{5}{\frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x ight)^{2}\ dx} \approx 28,888

    Vậy V \approx 29\ \ \left( cm^{3} ight).

  • Câu 6: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1.

    Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) quanh trục hoành.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1.

    Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) quanh trục hoành.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 7: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2\left( x^{2} - 1ight);y = 1 - x^{2}. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2\left( x^{2} - 1ight);y = 1 - x^{2}. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho đường thẳng y = \frac{3}{4}x và parabol y = \frac{1}{2}x^{2} + a, (a là tham số thực dương). Gọi S_{1}, S_{2} lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S_{1} = S_{2} thì giá trị biểu thức 128a + 3 bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 30

    Đáp án là:

    Cho đường thẳng y = \frac{3}{4}x và parabol y = \frac{1}{2}x^{2} + a, (a là tham số thực dương). Gọi S_{1}, S_{2} lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S_{1} = S_{2} thì giá trị biểu thức 128a + 3 bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 30

    Ta có phương trình hoành độ giao điểm \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{4}x + a = 0 \Leftrightarrow 2x^{2} - 3x + 4a = 0.

    Theo đề bài phương trình có hai nghiệm 0 < x_{1} < x_{2} thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{3}{2}\ \ \ \ (*) \\ x_{1}x_{2} = 2a\ \ \ \ \ \ (**) \\ \end{matrix} ight..

    S_{1} - S_{2} = 0

    \Leftrightarrow \int_{0}^{x_{1}}{\left| \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{4}x + a ight|dx} + \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left| \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{4}x + a ight|dx} = 0

    \Leftrightarrow \int_{0}^{x_{2}}{\left| \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{4}x + a ight|dx} = 0

    \Leftrightarrow \left. \ \left| \frac{1}{6}x^{3} - \frac{3}{8}x^{2} + ax ight| ight|_{0}^{x_{2}} = 0 \Leftrightarrow \left| \frac{1}{6}x_{2}^{3} - \frac{3}{8}x_{2}^{2} + ax_{2} ight| = 0 \Rightarrow a = - \frac{x_{2}^{2}}{6} + \frac{3x_{2}}{8} (***).

    Từ (*) \Rightarrow x_{1} = \frac{3}{2} - x_{2}, thay vào (**)

    \Rightarrow \left( \frac{3}{2} - x_{2} ight)x_{2} = - \frac{x_{2}^{2}}{3} + \frac{3x_{2}}{4}

    \Leftrightarrow \frac{2x_{2}^{2}}{3} - \frac{3x_{2}}{4} = 0 \Rightarrow x_{2} = \frac{9}{8} \overset{(***)}{ightarrow}a = \frac{27}{128}.

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Tính thể tích V1

    Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằngR. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc 30^{0} ta thu được hai khối gỗ có thể tích là V_{1} và V_{2}, với V_{1} < V_{2}. Tính thể tích V_{1}.

    Hướng dẫn:

    Khi cắt khối gỗ hình trụ ta được một hình nêm có thể tích V_{1} như hình vẽ.

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

    Nửa đường tròn đường kính AB có phương trình là y = \sqrt{R^{2} - x^{2}},x \in \lbrack - R;R\rbrack.

    Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm M có hoành độ x, cắt hình nêm theo thiết diện là \Delta MNP vuông tại N và có \widehat{PMN} = 30^{0}.

    Ta có NM = y = \sqrt{R^{2} - x^{2}} \Rightarrow NP = MN.tan30^{0} = \frac{\sqrt{R^{2} - x^{2}}}{\sqrt{3}}.

    \Delta MNP có diện tích S(x) = \frac{1}{2}NM.NP = \frac{1}{2}.\frac{R^{2} - x^{2}}{\sqrt{3}}.

    Thể tích hình nêm là

    V_{1} = \int_{-R}^{R}{S(x)}dx = \frac{1}{2}\int_{- R}^{R}\frac{R^{2} -x^{2}}{\sqrt{3}}dx= \frac{1}{2\sqrt{3}}\left. \ \left( R^{2}x -\frac{1}{3}x^{3} \right) \right|_{- R}^{R} =\frac{2\sqrt{3}R^{3}}{9}.

  • Câu 10: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên.

    Phần tô đậm được đính đá với giá thành 500.000đ/m^{2}. Phần còn lại được tô màu với giá thành 250.000đ/m^{2}.

    Cho AB = 4dm;BC = 8dm. Hỏi để trang trí 1000 họa tiết như vậy cần số tiền bỏ ra là bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Vì AB = 4dm;BC = 8dm. \Rightarrow A( - 2;4),B(2;4),C(2; - 4),D( - 2; - 4).

    Parabol là: y = x^{2} hoặc y = - x^{2}

    Diện tích phần tô đậm là S_{1} = 4\int_{0}^{2}{x^{2}dx = \frac{32}{3}\begin{matrix} \\ \end{matrix}(dm^{2})}

    Diện tích hình chữ nhật là S = 4.8 = 32\begin{matrix} \\ \end{matrix}(m^{2})

    Diện tích phần trắng là S_{2} = S - S_{1} = 32 - \frac{32}{3} = \frac{64}{3}\begin{matrix} \\ \end{matrix}(dm^{2})

    Tổng chi phí trang chí là: T = \left( \frac{32}{3}.5000 + \frac{64}{3}.2500 \right).1000 \approx 106666667đ

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tính số tiền cần xây cầu

    Trong chương trình nông thôn mới của tỉnh Phú Yên, tại xã Hòa Mỹ Tây có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Biết 1\ m^{3} khối bê tông để đổ cây cầu có giá 5 triệu đồng. Tính số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu trên.

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

    .

    Gọi \left( P_{1} \right):y = a_{1}x^{2} + b_{1} là Parabol đi qua hai điểm A\left( \frac{19}{2};0 \right),B(0;2)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a.\left( \frac{19}{2} \right)^{2} + 2 \\ 2 = b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{1} = - \frac{8}{361} \\ b_{1} = 2 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{1} \right):y = - \frac{8}{361}x^{2} + 2.

    Gọi \left( P_{2} \right):y = a_{2}x^{2} + b_{2} là Parabol đi qua hai điểm C(10;0),D\left( 0;\frac{5}{2} \right)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a_{2}.(10)^{2} + \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} = b_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{2} = - \frac{1}{40} \\ b_{2} = \frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{2} \right):y = - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2}.

    Ta có thể tích của bê tông là:

    V = 5.2\left\lbrack \int_{0}^{10}\left( - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2} \right)dx - \int_{0}^{\frac{19}{2}}\left( - \frac{8}{361}x^{2} + 2 \right)dx \right\rbrack = 40\ m^{3}.

    Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: 5.40 = 200 triệu đồng

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H). Lúc dó S = 2S_{1} + 2S_{2}, trong đó S_{1} là diện tích phần gạch sọc ở bên phải Oy và S_{2} là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

    GọiA,B là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng y = k và đồ thị hàm sốy = \left| x^{2} - 1 ight|, trong đó A\left( \sqrt{1 - k};k ight) và B\left( \sqrt{1 + k};k ight).

    Thco yêu cầu bài toán S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}.

    \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}.

    \Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}

    = \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}

    \ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59.

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tính giá trị thể tích nhỏ nhất

    Gọi d là đường thẳng tùy ý đi qua điểm M(1;1) và có hệ số góc âm. Giả sử d cắt các trục Ox;Oy lần lượt tại A;B. Quay tam giác OAB quanh trục Oy thu được một khối tròn xoay có thể tích là V. Giá trị nhỏ nhất của V bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Rightarrow d:x = -\frac{b}{a}x + b\ \ \ (1)

    Mà M(1; 1) ∈ d nên \frac{1}{a} +\frac{1}{b} = 1 \Rightarrow a + b = 2ab\ \ (2)

    Từ (1) suy ra d có hệ số góc là k = -\frac{b}{a}; theo giả thiết ta có -\frac{b}{a} < 0 \Rightarrow ab > 0

    Nếu a < 0;b < 0 \Rightarrow a + b< 0 mẫu thuẫn với (2) suy ra a> 0;b > 0

    Mặt khác từ (2) suy ra b = \frac{a}{a -1} kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.

    Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao h = b và bán kính đường tròn đáy r = a

    Thể tích khối nón là V = \frac{1}{3}\pir^{2}h = \frac{1}{3}\pi a^{2}b = \frac{1}{3}\pi\frac{a^{3}}{a -1}

    Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi \frac{a^{3}}{a - 1} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Xét hàm số f(x) = \frac{x^{3}}{x - 1} =x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty)

    f'(x) = 2x + 1 - \frac{1}{(x -1)^{2}} = \frac{x^{2}(2x - 3)}{(x - 1)^{2}}

    f'(x) = 0 \Rightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \frac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng \frac{1}{3}\pi.f\left( \frac{3}{2} ight) =\frac{9\pi}{4}

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tính thể tích khối tròn xoay

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với A( - 1;2), B(5;5), C(5;0), D( - 1;0). Quay hình thang ABCD xung quanh trục Ox thì thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình đường thẳng AB là:

    \frac{x + 1}{5 + 1} = \frac{y - 2}{5 - 2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}

    Thể tích khối tròn xoay là:

    V = \pi\int_{- 1}^{5}{f^{2}(x)dx} = \pi\int_{- 1}^{5}{\left( \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} ight)^{2}dx} = 78\pi

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính số tiền để mua vật dụng trang trí

    Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5cm, OH = 4 cm. Biết giá trang trí hoa văn 1cm^{2} là 50.000 đồng, tính số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó.

    Hướng dẫn:

    Description: 28907191_574491819585491_67127502_n

    Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là: (P):y = - \frac{16}{25}x^{2} + \frac{16}{5}x.

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P):y = - \frac{16}{25}x^{2} + \frac{16}{5}x, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 5 là:

    S = \int_{0}^{5}\left( - \frac{16}{25}x^{2} + \frac{16}{5}x \right)dx = \frac{40}{3}.

    Tổng diện tích phần bị khoét đi: S_{1} = 4S = \frac{160}{3} cm^{2}.

    Diện tích của hình vuông là: S_{hv} = 100\ cm^{2}.

    diện tích bề mặt hoa văn là: S_{2} = S_{hv} - S_{1} = 100 - \frac{160}{3} = \frac{140}{3}\ cm^{2}.

    Vậy số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó là: \frac{140}{3}.50000 \approx 2333333 đồng

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tính diện tích S

    Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = - x^{3} + 3x^{2} - 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0;x = 2 là

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm

    - x^{3} + 3x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\left( x^{2} - 2x - 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 1 + \sqrt{3} \\ x = 1 - \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó:

    S = \int_{0}^{2}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight|dx}

    = \left| \int_{0}^{1}{\left( - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight)dx} ight| + \left| \int_{1}^{2}{\left( - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( - \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2x ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left. \ \left( - \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2x ight) ight|_{1}^{2} ight|

    = \frac{5}{2}

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính thể tích quả bóng

    Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 10 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng 16\pi\left( \ cm^{2} ight). Thể tích của quả bóng bằng (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân, đơn vị lít)

    Gợi ý:

    Sử dụng phương trình chính tắc của Elip: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, với 2a là độ dài trục lớn, 2b là độ dài trục nhỏ.

    Hướng dẫn:

    Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip.

    Độ dài trục lớn bằng 20\ cm \Rightarrow2a = 20 \Rightarrow a = 5\ \ (cm)

    Ta có diện tích đường tròn thiết diện là

    S = \pi b^{2} = 16\pi \Rightarrow b =4(\ cm)

    Ta sẽ có phương trình elip \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1

    \Rightarrow V = \pi\int_{- 5}^{5}{16\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)}dx \approx 335\ \ \left( \ cm^{3} ight) = 0,34\ (l).

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhánh đường cong y = x^{2} với x \geq 0, đường thẳng y = 2 - x và trục hoành bằng

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{2} = 2 - x \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2(ktm) \\ \end{matrix} ight.

    Ta có \Rightarrow S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - (2 - x) ight|d_{x}} = \frac{7}{6}

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính thể tích nước

    Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước.

    Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước.

    Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (45%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
17 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm