Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm
. Đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
. Tính tỉ số
?
Ta có:
Lại có và ba điểm
thẳng hàng
Vậy đáp án đúng là .
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm
. Đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
. Tính tỉ số
?
Ta có:
Lại có và ba điểm
thẳng hàng
Vậy đáp án đúng là .
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho . Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn M không trùng với các điểm A, B, C và
Gọi
Ta có:
.
Trong không gian , cho hai điểm
. Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác
là:
Ta có bài toán sau
Trong tam giác ABC, gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC ta có: với
Hình vẽ minh họa
Gọi A’ là chân đường phân giác kẻ từ A
Áp dụng công thức trong tam giác OMN ta có:
Vậy đáp án cần tìm là
Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm
và điểm
thỏa mãn
lớn nhất. Tính
.
Đáp án: 13
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
và điểm
thỏa mãn
lớn nhất. Tính
.
Đáp án: 13
Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi. Khi đó
.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính
Đáp án: 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính ![]()
Đáp án: 1
Giả sử .
Ta có
Vậy
Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài , chiều rộng
và cao
. Người ta trang trí một chiếc đèn chùm
ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn
treo chính giữa bức tường
và cách trần nhà
. Hỏi hai chiếc bóng đèn
cách nhau bao nhiêu
? (Làm tròn đến hàng phần mười).
Đáp án: 5,1
Phòng khách của một ngôi nhà được thiết kế có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài
, chiều rộng
và cao
. Người ta trang trí một chiếc đèn chùm
ngay tại chính giữa trần nhà. Để đảm bảo độ sáng cho căn phòng, chủ nhà còn thiết kế thêm một bóng đèn tròn
treo chính giữa bức tường
và cách trần nhà
. Hỏi hai chiếc bóng đèn
cách nhau bao nhiêu
? (Làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: 5,1
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có tọa độ các điểm .
Từ đó ta suy ra tọa độ các điểm .
Đèn chùm được đặt tại vị trí chính giữa trần nhà có dạng hình chữ nhật nên vị trí đặt là trung điểm của hai đường chéo
và
nên ta có
Gọi là hình chiếu của bóng đèn
lên nền nhà. Khi đó
là trung điểm của
nên
, do đó
.
Vậy ta tính được
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho các vectơ
. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
Đặt
Vậy là đẳng thức đúng.
Trong không gian , cho mặt phẳng
:
và hai điểm
,
. Điểm
sao cho tam giác
có diện tích nhỏ nhất. Tính
.
,
.
với
.
Do đó khi
.
Khi đó ta có .
Trong không gian , tìm tọa độ điểm
trên trục
cách đều hai điểm
và
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
.
Trong không gian , cho
, điểm
và
điểm sao cho
là trọng tâm tam giác
. Khi đó
bằng
Ta có:
Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều , có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài
mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu
bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh
, điểm cuối thuộc cạnh
) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho
ngắn nhất (như hình vẽ).
Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 72
Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều
, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài
mét. Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu
bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh
, điểm cuối thuộc cạnh
) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho
ngắn nhất (như hình vẽ).

Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 72
Để độ dài cây cầu ngắn nhất thì
là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
và
.
Đặt hệ trục Oxyz như hình vẽ:
Khi đó ,
Do đó
Số tiền cần làm cây cầu ngắn nhất là (tỷ đồng)
Trong không gian , cho
. Biết
trong đó
là số nguyên dương. Tìm
?
Đáp án: 135
Trong không gian
, cho
. Biết
trong đó
là số nguyên dương. Tìm
?
Đáp án: 135
Ta có .
Suy ra .
.
Vậy
Trong không gian , cho đường thẳng
và điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
. Độ dài đoạn thẳng
bằng
Cách 1: Phương trình tham số của đường thẳng là:
.
Một vtcp của là
.
Gọi là mặt phẳng đi qua điểm
và vuông góc với đường thẳng
. Khi đó
có vtpt là
.
Phương trình mặt phẳng :
.
là hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
nên
là giao điểm của
và
.
Xét hệ phương trình:
Thay vào
ta được:
.
Suy ra .
Độ dài đoạn thẳng là:
.
Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng là:
.
Một vtcp của là
.
.
Ta có .
Suy ra
Độ dài đoạn thẳng là:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian , cho ba điểm
. Tọa độ chân đường phân giác của góc
trong tam giác
là:
Ta có:
Gọi là chân đường phân giác kẻ từ
lên
của tam giác
.
Suy ra
Ta có:
Trong không gian , cho
,
. Tìm tọa độ điểm
thuộc trục tung sao cho
nhỏ nhất.
Khi đó:
.
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi
là hình chiếu vuông góc của
trên trục tung.
Phương trình mặt phẳng đi qua
và vuông góc với trục tung là
hay
.
Phương trình tham số của trục tung là .
Tọa độ điểm cần tìm là nghiệm
của hệ phương trình:
.
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa , cho vectơ
,
cùng phương với vectơ
. Biết vectơ
tạo với tia
một góc nhọn và
. Giá trị của tổng
bằng
Do cùng phương và nên ta có
.
Suy ra
.
Theo giả thiết vectơ tạo với tia
một góc nhọn nên
với
, do đó
.
Mà nên
.
Lại có , suy ra
.
Vậy .
Cho hình chóp có
là hình chữ nhật có
,
; giá trị của
là
Vì
Cho lăng trụ đứng , điểm
trên
sao cho
Đặt
Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
Hình vẽ minh họa
Ta có
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm
. Biết
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:
. Do đó
Ta có:
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: