Trong không gian , trục
có phương trình tham số
Trục đi qua
và có véctơ chỉ phương
nên có phương trình tham số là:
Trong không gian , trục
có phương trình tham số
Trục đi qua
và có véctơ chỉ phương
nên có phương trình tham số là:
Viết phương trình tham số của đường thẳng qua
và vuông góc với hai đường thẳng
Hai vectơ chỉ phương của và
Một vectơ chỉ phương của
Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
và
. Phương trình tham số của
là:
Nhận thấy đều thuộc (α) và (β) nên chúng cũng thuộc đường thẳng
.
Ta có là một vectơ chỉ phương của
.
Khi đó phương trình tham số của là:
.
Cho tam giác ABC có .
Viết phương trình chính tắc của cạnh AB.
(AB) là đường thẳng đi qua A và B nên có 1 vecto chỉ phương:
(AB) đi qua A (1, 2, -3) và nhận vecto làm 1 VTCP có phương trình chính tắc là:
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng
và
. Phương trình đường thẳng song song với
và cắt hai đường thẳng
là:
Gọi là đường thẳng cần tìm
Gọi
có vectơ chỉ phương
cùng phương
có một số
thỏa
Ta có
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của là
Trong không gian , khoảng cách từ điểm
tới đường thẳng
bằng
Đường thẳng đi qua
, có véc tơ chỉ phương
Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm
và hai mặt phẳng
. Dường thẳng đi qua
và song song với hai mặt phẳng
có phương trình là
Gọi là đường thẳng cần tìm.
Mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến là
và
có một vectơ pháp tuyến là
. Ta có
.
Khi đó, đi qua điểm
và nhận véc-tơ
làm vec-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng
là
Với thì điểm
thuộc
. Viết lại phương trình đường thẳng
Trong không gian , cho hai đường thẳng cắt nhau
. Trong mặt phẳng
, hãy viết phương trình đường phân giác
của góc nhọn tạo bởi
Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là
Ta có , suy ra góc giữa hai vectơ
và
là góc tù.
Lại có
Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là
Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng
. Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).
Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).
Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.
Ta có , từ đó suy ra
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
Trong không gian , cho đường thẳng
và mặt phẳng
.
a) Vectơ là một vectơ pháp tuyến của
. Đúng||Sai
b) Điểm thuộc
. Đúng||Sai
c) Góc giữa và
bằng
. Sai||Đúng
d) Đường thẳng d đi qua điểm , song song với
và tạo với
một góc
có phương trình là
. Đúng||Sai
Trong không gian , cho đường thẳng
và mặt phẳng
.
a) Vectơ là một vectơ pháp tuyến của
. Đúng||Sai
b) Điểm thuộc
. Đúng||Sai
c) Góc giữa và
bằng
. Sai||Đúng
d) Đường thẳng d đi qua điểm , song song với
và tạo với
một góc
có phương trình là
. Đúng||Sai
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Đúng |
Phương án a) đúng: Từ phương trình của ta có
là một vectơ pháp tuyến của
.
Phương án b) đúng: Từ phương trình của cho
ta được
.
Do đó .
Phương án c) sai:
Ta có . Do đó
Phương án d) đúng: Gọi (với
) là một VTCP của d.
Do nên
Hơn nữa nên
Thay (*) vào ta được
.
Thay vào (*) ta được .
Do đó (với
).
Suy ra cũng là một VTCP của d.
Hơn nữa d đi qua điểm nên d có phương trình là
.
Do đó ta có nên
cũng là phương trình của d.
(Có thể kiểm tra tính đúng, sai của d) bằng cách sử dụng phương trình để kiểm tra thỏa mãn giả thiết
và
).
Cho hai đường thẳng
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua (d’)và song song với (d’’).
Vì (P) đi qua (d’) nên (P) nhận VTCP của (d’) làm 1 VTCP
Vì (P) song song với (d’’) nên (P) có VTCP thứ hai là :
Từ đây, ta suy ra VTPT của (P) chính là tích có hướng của 2 VTCP và :
Lấy điểm A(3,1,-2) trên đường thẳng (d’) mà (d’) nằm trong (P) nên ta có được A cũng phải thuộc (P):
Trong không gian , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
và
là:
Ta có
Phương trình đường thẳng AB đi qua nhận vectơ
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là:
.
Trong không gian , cho hai điểm
và đường thẳng
có phương trình chính tắc là:
.
a) Điểm M và N cùng thuộc đường thẳng . Sai||Đúng
b) Đường thẳng có một vectơ chỉ phương
. Sai||Đúng
c) Đường thẳng đi qua điểm M và N có phương trình là:
. Sai||Đúng
d) Đường thẳng qua M, đồng thời vuông góc và cắt có phương trình là:
. Đúng||Sai
Trong không gian , cho hai điểm
và đường thẳng
có phương trình chính tắc là:
.
a) Điểm M và N cùng thuộc đường thẳng . Sai||Đúng
b) Đường thẳng có một vectơ chỉ phương
. Sai||Đúng
c) Đường thẳng đi qua điểm M và N có phương trình là:
. Sai||Đúng
d) Đường thẳng qua M, đồng thời vuông góc và cắt có phương trình là:
. Đúng||Sai
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Sai |
d) Đúng |
Phương án a) sai: Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng
ta được:
.
Thay tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳng ta được:
.
Phương án b) sai: Đường thẳng có một vectơ chỉ phương
. Dễ thấy
không cùng phương.
Phương án c) sai: Ta có: . Đường thẳng
qua M, N nên có một vectơ chỉ phương
.
Suy ra phương trình đường thẳng .
Phương án d) đúng: Phương trình tham số của đường thẳng là:
.
Gọi là đường thẳng qua M, đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng
.
Gọi nên
.
Ta có: ,
.
Chọn là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
nên phương trình tham số của đường thẳng
là:
.
Trong không gian , cho đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
. Một vectơ chỉ phương của
là:
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là .
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là
.
Cho hai đường thẳng :
và
Tìm câu đúng?
Chuyển đường thẳng và
về dạng tham số:
có vectơ chỉ phương
và qua
.
có vectơ chỉ phương
và hệ phương trình
vô nghiệm.
//
Trong không gian , đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng tọa độ
có phương trình tham số là:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tọa độ
nên nhận
làm vectơ chỉ phương. Mặt khác
đi qua
nên:
Đường thẳng
có phương trình là:
.
Cho tam giác ABC có . Phương trình tổng quát của đường cao AH.
Theo đề bài, ta tính được:
Mp (ABC) có 2 VTCP là nên vecto pháp tuyến của (ABC) chính là tích có hướng của 2 VTCP trên. Ta có:
Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên ta có .
Mặt khác nên ta viết được vecto chỉ phương của đường thẳng AH là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến
Từ đây, ta có phương trình chính tắc của
Trong không gian với hệ tọa độ gọi
đi qua điểm
, song song với
, đồng thời tạo với đường thẳng
một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng
là.
có vectơ chỉ phương
có vectơ chỉ phương
có vectơ pháp tuyến
Vì nên
Đặt , ta có:
Xét hàm số , ta suy ra được:
Do đó:
Chọn
Vậy phương trình đường thẳng là
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng
và
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:
Xét hệ phương trình
Cho
Cho
Đường thẳng d1 đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương
Đường thẳng d2 đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương
Ta có
Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
. Đường thẳng
đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
. Hỏi
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có:
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Phương trình đường thẳng
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: