Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 89.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường phẳng (Mức Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{1} và đường thẳng (\Delta):\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 2}{- 1}.

    a) Đường thẳng (d) qua điểm M(1; - 2;4) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right).Đúng||Sai

    b) Đường thẳng qua điểm N( - 5;2; - 2) và có một vectơ chỉ phương  \overrightarrow{v} = (2; - 1; - 1) .Sai||Đúng

    c) Đường thẳng (d) có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 3t \\ z = 4 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và đường thẳng \Delta có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t' \\ y = - t' \\ z = - 2 - t' \end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right).Đúng||Sai

    d) Đường thẳng (d) và đường thẳng \Delta vuông góc và cắt nhau.Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{1} và đường thẳng (\Delta):\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 2}{- 1}.

    a) Đường thẳng (d) qua điểm M(1; - 2;4) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right).Đúng||Sai

    b) Đường thẳng qua điểm N( - 5;2; - 2) và có một vectơ chỉ phương  \overrightarrow{v} = (2; - 1; - 1) .Sai||Đúng

    c) Đường thẳng (d) có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 3t \\ z = 4 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và đường thẳng \Delta có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t' \\ y = - t' \\ z = - 2 - t' \end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right).Đúng||Sai

    d) Đường thẳng (d) và đường thẳng \Delta vuông góc và cắt nhau.Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai

    Phương án a) đúng vì dựa vào phương trình chính tắc ta thấy đường thẳng (d) qua điểm M(1; - 2;4) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (2;3;1).

    Phương án b) sai vì: \frac{- 5 + 1}{2} = \frac{2}{- 1} \neq \frac{- 2 + 2}{- 1} do đó điểm N không thuộc đường thẳng \Delta.

    Phương án c) đúng vì từ phương trình d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 4}{1} = t suy ra \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 3t \\ z = 4 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)

    Và từ phương trình \Delta:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 2}{- 1} = t' suy ra \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t' \\ y = - t' \\ z = - 2 - t' \end{matrix} \right.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} \right)

    Phương án d) sai vì

    Đường thẳng (d) có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (2;3;1) và đường thẳng \Delta có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{v} = (2; - 1; - 1)

    Ta có \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 2.2 + 3.( - 1) + 1.( - 1) = 0 do đó d\bot\Delta.

    Gọi A là giao điểm (nếu có) của d và \Delta, tọa độ A là nghiệm hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} 1 + 2t = - 1 + 2t' \\ - 2 + 3t = - t' \\ 4 + t = - 2 - t' \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2t - 2t' = - 2\ \ \ (1) \\ 3t + t' = 2\ \ \ (2) \\ t + t' = - 6\ \ \ (3) \end{matrix} \right.

    Tù (1);(2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = \frac{1}{4} \\ t' = \frac{5}{4} \end{matrix} \right.

    Khi đó t + t' = \frac{3}{2} không thỏa mãn (3). Vậy hai đường thẳng (d) và \Delta vuông góc nhưng không cắt nhau.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Xác định vectơ chỉ phương

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;1;1),B( - 1;1;0),C(1;3;2). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?

    Hướng dẫn:

    Gọi M là trung điểm của BC, suy ra tọa độ điểm M(0;2;1).

    Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{AM} = ( - 1;1;0).

  • Câu 3: Thông hiểu
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}, d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}. Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;2;3) vuông góc với d_{1} và cắt đường thẳng d_{2} có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1} có phương trình tham số là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Gọi giao điểm của ∆ và d2 là B(1 - t;1 + 2t; - 1 - t)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - t;2t - 1; - t - 4)

    Đường thẳng \Delta\bot d_{1} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d_{1}}} = 0

    \Rightarrow - t.3 + (2t - 1).2 + ( - t - 4)( - 1) = 0

    \Leftrightarrow 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 1

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1; - 3; - 3) là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

    Phương trình \Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 3}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính khoảng cách giữa d và trục Ox

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách giữa đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 4}{3} và trục Ox.

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3) và đi qua điểm M(1; - 2;4)

    Trục Ox có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0) và đi qua điểm N(1;0;0)

    Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:

    d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack.\overrightarrow{MN} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack ight|} = \frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) ight|}{\left| (0;3;4) ight|} = 2

  • Câu 5: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2} và \bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}

    a) Vectơ có tọa độ (1;2;3) là một vectơ chỉ phương của \bigtriangleup_{1}. Sai||Đúng

    b) Đường thẳng \bigtriangleup_{2} đi qua điểm A(0; - 3;14). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng \bigtriangleup_{3} đi qua B(1;1; - 2) và vuông góc với \bigtriangleup_{1} có phương trình tham số là \bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai đường thẳng \bigtriangleup_{1} và \bigtriangleup_{2} khoảng 132^{0}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2} và \bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}

    a) Vectơ có tọa độ (1;2;3) là một vectơ chỉ phương của \bigtriangleup_{1}. Sai||Đúng

    b) Đường thẳng \bigtriangleup_{2} đi qua điểm A(0; - 3;14). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng \bigtriangleup_{3} đi qua B(1;1; - 2) và vuông góc với \bigtriangleup_{1} có phương trình tham số là \bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai đường thẳng \bigtriangleup_{1} và \bigtriangleup_{2} khoảng 132^{0}. Sai||Đúng

    a) Vectơ có tọa độ (2;1; - 2) là một vectơ chỉ phương của \bigtriangleup_{1} nên mệnh đề sai

    b) Mệnh đề đúng

    c) Gọi B = \bigtriangleup_{1} \cap \bigtriangleup_{3} \Rightarrow B(1 + 2t;2 + t;3 - 2t)

    \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2t; - 1 - t; - 5 + 2t\ ) \\ \overrightarrow{AB}\bot u_{\bigtriangleup_{1}} \Rightarrow t = 1 \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2; - 3\ ) \\ \end{matrix} nên mệnh đề đúng

    d) Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn nên mệnh đề sai

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính độ dài đường cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;0;1),B( - 3;2;0),C(2; - 2;3). Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 3;2;1),\overrightarrow{AC} = (2; - 2;2)

    \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (2;4;2)

    Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác ABC là \overrightarrow{u} = \frac{1}{12}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;0; - 1)

    Phương trình đường cao kẻ từ B là: \left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 2 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Ta thấy điểm P( - 1;2; - 2) thuộc đường thẳng trên.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Định phương trình tham số của đường thẳng

    Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) qua B(5,2, - 3) và song song với đường thẳng (d):\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z + 2}{4}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (D)//(d) nên một vectơ chỉ phương của (D):\overrightarrow{a} = (2,3,4) = - ( - 2, - 3, - 4)

    \Rightarrow (D)\left\{ \begin{matrix} x = 5 - 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} \right.\ \ \ ;t\mathbb{\in R}

  • Câu 8: Thông hiểu
    Xác định tọa độ hình chiếu của điểm A

    Trong không gian Oxyz, tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(3;2; - 1) lên mặt phẳng (\alpha):x + y + z = 0 là:

    Hướng dẫn:

    Gọi H là hình chiếu của A(3;2; - 1) lên mặt phẳng (\alpha):x + y + z = 0.

    Khi đó: AH nhận \overrightarrow{n}(1;1;1) là vectơ chỉ phương suy ra phương trình AH:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{1}.

    Do H \in AH \Rightarrow H(3 + t;\ \ 2 + t;\ - 1 + t).

    Do H \in (\alpha) \Rightarrow 3 + t + 2 + t - 1 + t = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{4}{3} \Rightarrow H\left( \frac{5}{3};\frac{2}{3}; - \frac{7}{3} \right).

  • Câu 9: Thông hiểu
    Định m để đường thẳng và mặt phẳng song song

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, tìm tất cả giá trị tham số m để đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1} song song với mặt phẳng (P):2x + y - m^{2}z + m = 0.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    d qua điểm M(1; 0; 1) và có VTCP là \overrightarrow{u} = (1;2;1)

    (P) có VTPT là \overrightarrow{n} = \left( 2;1; - m^{2} ight)

    Vì d // (P) nên \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2

    Với m = 2, (P): 2x + y − 4z + 2 = 0 ⇒ M ∈ (P) (loại).

    Với m = −2, (P): 2x + y − 4z − 2 = 0\Rightarrow M otin (P) (thỏa mãn).

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm A

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{1} và mặt phẳng (P):x - 2y - 2z + 5 = 0. Điểm A nào dưới đây thuộc d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng 3?

    Hướng dẫn:

    Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).

    Khoảng cách từ A đến (P) là

    \frac{\left| 2a + 2a - 2(a - 1) + 5 ight|}{\sqrt{9}} = 3

    \Leftrightarrow |2a + 9| = 9\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 0 \\a = - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

    Với a = 0 \Rightarrow A(0;\ 0; - 1)

  • Câu 11: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{2 - z}{1}. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q):2x - y - 2z - 2 = 0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A(1;2;3) cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng:

    Hướng dẫn:

    Giả sử (P) \cap (Q) = \Delta, trong mặt phẳng (P) thì d \cap \Delta = M.

    Trên d lấy điểm B và hạ BH,BK vuông góc với (Q) và \Delta. Khi đó \widehat{BKH} = \varphi là góc giữa (P) và (Q).

    Ta có \sin\varphi = \frac{BH}{BK} \geq \frac{BH}{BM} , dấu bằng có khi K \equiv M.

    Khi đó \Delta\bot d nên \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{n_{Q}} \right\rbrack.

    Tính được \overrightarrow{u_{\Delta}} = (3;0;3) hoặc chọn \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;0;1).

    Suy ra \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right\rbrack = (1;1; - 1) do đó phương trình (P):x + y - z + 3 = 0.

    Vậy d\left( A,(P) \right) = \sqrt{3}.

  • Câu 12: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, trục Oxcó phương trình tham số

    Hướng dẫn:

    Trục Oxđi qua O(0;0;0) và có véctơ chỉ phương \overrightarrow{i}(1;0;0)nên có phương trình tham số là: \left\{ \begin{matrix} x = 0 + 1.t \\ y = 0 + 0.t \\ z = 0 + 0.t \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} \right.\ .

  • Câu 13: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3;1; - 1) trên trục Oy có tọa độ là

    Hướng dẫn:

    Hình chiếu vuông góc của điểm M(3;1; - 1) trên trục Oy có tọa độ là (0;1;0).

  • Câu 14: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 1. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với (\alpha).

    Hướng dẫn:

    Mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 1 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1; - 1;2).

    Đường thẳng d_{1} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{d_{1}}} = (1; - 1;2) = \overrightarrow{n_{(\alpha)}}

    Suy ra d_{1}\bot(\alpha).

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 4) và hai điểm M, B thỏa mãn MA.\overrightarrow{MA} + MB.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}. Giả sử điểm M thay đổi trên đường thẳng d:\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 4}{1}. Khi đó điểm B thay đổi trên đường thẳng có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Từ hệ thức MA.\overrightarrow{MA} + MB.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \Rightarrow MA.\overrightarrow{MA} = - MB.\overrightarrow{MB} vì MA, MB là các đoạn thẳng nên hai véc tơ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} có hướng ngược nhau, hay là \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB},k < 0.

    Mà MA.\overrightarrow{MA} = - MB.\overrightarrow{MB} suy ra MA^{4} = MB^{4} \Rightarrow MA = MB từ đó ta được \overrightarrow{MA} = - \overrightarrow{MB} hay A và B đối xứng nhau qua M.

    Gọi M(2t - 3;2t + 1;t - 4) \in d

    \Rightarrow B(4t - 7;4t;2t - 12) \in \left\{ \begin{matrix} x = - 7 + 2t \\ y = 2t \\ z = - 12 + t \end{matrix} \right..

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính khoảng cách giữa hai điểm

    Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A\left( {1;5;0} \right),B\left( {3;3;6} \right) và d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}. Gọi C là điểm trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. Khoảng cách giữa 2 điểm A và C là

    Hướng dẫn:

    Khảo sát.

    Lấy điểm C( - 1 + 2x;1 - x;2x) \in d, ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 2;6),\overrightarrow{AC} = ( - 2 + 2x; - 4 - x;2x).

    Ta có:

    S = \frac{1}{2}\sqrt{44\left\lbrack ( - 2 + 2x)^{2} + ( - 4 - x)^{2} + 4x^{2} \right\rbrack - ( - 4 + 4x + 8 + 2x + 12x)^{2}}

    S = \sqrt{18x^{2} - 36x + 216} \geq \sqrt{198} = 3\sqrt{22}.

    Suy ra \min S = 3\sqrt{22} \Leftrightarrow x = 1, khi đó \overrightarrow{AC} = (0; - 5;2) \Rightarrow AC = \sqrt{29}.

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (P):x - 2y + 2z - 5 = 0,A( - 3;0;1),B(1; - 1;3). Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì ( - 3 - 2\ .0 + 2\ .1 - 5).\left( 1 - 2.( - 1) + 2.3 - 5 ight) < 0 nên hai điểm A, B khác phía so với (P).

    Gọi H là hình chiếu của B lên d.

    Ta có: BH ≤ BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.

    Khi đó AB ⊥ d.

    VTPT của (P) là \overrightarrow{n} = (1; - 2;2),\overrightarrow{AB} = (4; - 1;2)

    VTCP của d là \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 2;6;7)

    Mà d qua A(−3; 0; 1) nên phương trình đường thẳng d là: \frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}

  • Câu 18: Vận dụng
    Viết phương trìnhmặt phẳng

    Trong không gian hệ trục toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2} và d':\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1}. Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) chứa d và (\alpha) tạo với d' một góc lớn nhất là

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Trắc nghiệm Casio.

    Ta kiểm được các mặt phẳng đều chứa d (có \overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{\alpha}} = 0 và đi qua điểm (1; - 1;2)). Tính sin^{- 1}\left( \frac{|A + 2B + C|}{\sqrt{6}.\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} \right) CALC nhập vtpt trong đáp án, \max\varphi \approx 35,26^{o}.

    Cách 2. Khử dần ẩn.

    Giả sử vtpt \overrightarrow{n_{\alpha}} = (a;b;c) vuông góc \overrightarrow{u_{d}} nên 2a + b + 2c = 0

    \Rightarrow b = - 2a - 2c. Ta có:

    \sin\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d'}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right) \right| = \frac{|a + 2b + c|}{\sqrt{6}.\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{3|a + c|}{\sqrt{6}.\sqrt{5a^{2} + 8ac + 5c^{2}}}, với a^{2} + c^{2} \neq 0 .

    Do vai trò ngang nhau, khi a = c thì \max\left( \sin\varphi \right) = \sqrt{\frac{1}{3}}.

    Chọn c = 1,a = 1,b = - 4 và phương trình (\alpha):x - 4y + z - 7 = 0.

    Nhận xét.

    Trong cách 2, ta khử dần ẩn từ a,b,c về còn hai ẩn a,c; Tổng quát: phải xét trường hợp a = 0 \cup a \neq 0 rồi chia cả tử và mẫu cho a để đưa về một ẩn t = \frac{c}{a}, tiếp theo là khảo sát hàm số biến t. Sau đây là cách 3 sử dụng một ẩn.

    Cách 3. Khảo sát.

    Gọi A(a - 1;2a;a + 1) = d' \cap (\alpha), điểm M(1; - 1;2) \in d \Rightarrow \overrightarrow{MA} = (a - 2;2a + 1;a - 1).

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{MA},\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = (3a + 3;2; - 3a - 4).

    Khi đó \sin\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{u_{d'}} \right) \right| = \frac{3}{\sqrt{6}.\sqrt{(3a + 3)^{2} + 4 + (3a + 4)^{2}}} lớn nhất nếu Parabol nhỏ nhất: P = 18a^{2} + 42a + 29, tại a = - \frac{42}{36} = - \frac{7}{6}.

    Vậy \overrightarrow{n_{\alpha}} = - \frac{1}{2}(1; - 4;1) và phương trình (\alpha):x - 4y + z = 7.

  • Câu 19: Nhận biết
    Chọn phương trình đường thẳng thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz,  cho đường thẳng \Delta là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x - 2y - z + 1 = 0 và (\beta):2x + 2y - 3z - 4 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; - 1;0) và song song với đường thẳng \Delta là

    Hướng dẫn:

    \left( \alpha ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 2; - 1} ight)

    \left( \beta ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2;2; - 3} ight)

    d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } ight] = \left( {8;1;6} ight)

    Vậy phương của d là \frac{x - 1}{8} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{6}.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Phương trình tổng quát

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight).

    Viết phương trình tổng quát của cạnh AC.

    Gợi ý:

    Để dễ dàng viết phương trình tổng quát của (AC) như yêu cầu bài toán, ta sẽ viết phương trình chính tắc của AC.

    Hướng dẫn:

    (AC) là đường thẳng đi qua 2 điểm A và C nên nhận \overrightarrow {AC} = 2\left( {1, - 2,4} ight) làm 1 VTCP.

    (AC) đi qua C (3,-2,5) và có 1 VTCP là (1,-2,4) có phương trình chính tắc:

    \begin{array}{l}x - 3 = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{4}\\ \Rightarrow PTTQ\,\,\,(AC):\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\4x - z - 7 = 0\end{array} ight. \vee \left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\2y + z - 1 = 0\end{array} ight.\end{array}

     

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (60%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
73 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này