Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình đường phẳng (Mức Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Xác định phương trình tham số của đường thẳng

    Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) qua I(1, - 3,2) và song song với đường thẳng (d):x = 3 + 4t;y = 2 - 2t;z = 3t - 1\left( t\mathbb{\in R} \right)

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (D)//(d) nên một vectơ chỉ phương của (D):\overrightarrow{a} = \overrightarrow{e_{1}} = (1,0,0)\ \ hay\ \ \overrightarrow{a} = - ( - 1,0,0)

    \left\{ \begin{matrix} x = 1+4t \\ y = -3-2t \\ z = 2+3t \\ \end{matrix} \right.\ \ \ ;t\mathbb{\in R} hay (D)\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 4m \\ y = 2m - 3 \\ z = 2 - 3m \\ \end{matrix} \right.\ ;m\mathbb{\in R}

  • Câu 2: Nhận biết
    Tìm phương trình tham số của đường thẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 4}{4} có phương trình tham số là

    Hướng dẫn:

    Gọi \overrightarrow{u} vectơ chỉ phương của đường thẳng d, ta chọn \overrightarrow{u}( - 3;2; - 4)

    Giả sử M_{0} \in d, chọn M_{0}(2, - 1;4) suy ra phương trình tham số d là:

    \left\{ \begin{matrix} x = 2 - 3m \\ y = - 1 + 2m \\ z = 4 - 4m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( m\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3) và mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 9 = 0. Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (3;4; - 4) cắt (P) tại B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90^{o}. Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Hướng dẫn:

    Theo giả thiết thì M thuộc mặt cầu dường kính AB, tâm I là trung điểm AB. Gọi H là tâm đường tròn giao tuyến thì M thuộc đường tròn tâm H, có B cố định nên MB lớn nhất khi MB là đường kính của đường tròn tâm H, hay M là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Ta cần viết phươmh trình đường thẳng BM.

    Vào MENU 9 1 2 nhập 2 = 2 = 1 = \& 3 = 4 = 4 = ta có \overrightarrow{n_{Q}} = ( - 4;5;2) là vtpt của mp(Q) chứa A, B và vuông góc với (P).

    Phương trình (Q): - 4x + 5y + 2z = 0.

    Từ các phương trình (P) và (Q), cho x = t \Rightarrow y = - 2,z = 5 + 2t, cũng là phương trình của MB, và đi qua điểm I( - 1; - 2;3).

    Nhận xét.

    Đây là bài toán rất tốt để rèn luyện kiến thức về tọa độ không gian Oxyz, đòi hỏi đầy đủ về điểm - Đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu - giao tuyến - hình chiếu - vuông góc - song song tức là kiến thức khá cơ bản và tổng hợp trong một bài toán. Ngoài ra không kém phần trừu tượng, do đó cũng cần đòi hỏi kỹ năng giải nhanh, có thể không khó nhưng giải thông thường thì tốn khá nhiều thời gian.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1} và \Delta' = \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}. Xét điểm Mthay đổi trong không gian, gọi a,b lần lượt là khoảng cách từ M đến \Delta và \Delta'. Biểu thức a^{2} + 2b^{2}đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khiM \equiv M_{0}\left( x_{0},y_{0},z_{0} \right). Khi đó giá trị x_{0} + y_{0} bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có \Delta và \Delta' chéo nhau, gọi A(a;a;a + 1) \in \Delta,B(b + 1;2b;b) \in \Delta' sao cho AB là đoạn vuông góc chung.

    Tính \overrightarrow{AB} = (b + 1 - a;2b - a;b - 1 - a) cùng phương \overrightarrow{u} = (1;0; - 1), suy ra: a = 2b = 0 và A(0;0;1),B(1;0;0).

    Lấy M thuộc đoạn AB thì a = MA,b = MB.

    Khi đó MA^{2} + 2MB^{2} = 3MI^{2} + IA^{2} + 2IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} \right). Chọn M \equiv Ithỏa mãn:

    \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow I\left( \frac{2}{3};0;\frac{1}{3} \right). Vậy x_{0} + y_{0} = \frac{2}{3}.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x - 3}{- 2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{1} và điểm A(2; - 1;0). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi M(3;0;1) \in d.

    \overrightarrow{AM}(1;1;1);\overrightarrow{u_{d}}( - 2; - 1;1) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = (2; - 3;1)

    \Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack \right| = \sqrt{14}

    Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) bằng d(A,d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u_{d}} \right|} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21}}{3}

  • Câu 6: Nhận biết
    Tìm phương trình chính tắc

    Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = - 2 + t \\ \end{matrix} \right.\ ?

    Hướng dẫn:

    Do đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = - 2 + t \\ \end{matrix} \right. đi qua điểm M(1;0; - 2) và có véc tơ chỉ phương \overrightarrow{u}(2;3;1) nên có phương trình chính tắc là \frac{x - 1}{2} =\frac{y}{3} = \frac{ z + 2}{1}.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tìm tọa độ hình chiếu của M

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2;3;4) trên mặt phẳng (P):2x - y - z + 6 = 0 là điểm nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).

    Khi đó phương trình tham số của ∆ là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).

    Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix}x = 2 + 2t \\y = 3 - t \\z = 4 - t \\2x - y - z + 6 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\y = \dfrac{7}{2} \\z = \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

    Vậy M'\left( 1;\frac{7}{2};\frac{9}{2} ight)

  • Câu 8: Thông hiểu
    Xác định phương trình tham số của d’

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1}, và mặt thẳng (P)\ :3x + 5y - z - 2 = 0. Gọi d'là hình chiếu của d lên (P).Phương trình tham số của d' là

    Hướng dẫn:

    Cách 1:

    Gọi A = d \cap (P)

    \begin{matrix} A \in d \Rightarrow A(12 + 4a;9 + 3a;1 + a) \\ A \in (P) \Rightarrow a = - 3 \Rightarrow A(0;0; - 2) \\ \end{matrix}

    d đi qua điểm B(12;9;1)

    Gọi H là hình chiếu của B lên (P)

    (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (3;5; - 1)

    BH đi qua B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{BH}} = \overrightarrow{n_{P}} = (3;5; - 1)

    \begin{matrix} BH:\left\{ \begin{matrix} x = 12 + 3t \\ y = 9 + 5t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ \\ H \in BH \Rightarrow H(12 + 3t;9 + 5t;1 - t) \\ H \in (P) \Rightarrow t = - \frac{78}{35} \Rightarrow H\left( \frac{186}{35}; - \frac{15}{7};\frac{113}{35} ight) \\ \overrightarrow{AH} = \left( \frac{186}{35}; - \frac{15}{7};\frac{183}{35} ight) \\ \end{matrix}

    d' đi qua A(0;0; - 2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d'}} = (62; - 25;61)

    Vậy phương trình tham số của d' là \left\{ \begin{matrix} x = 62t \\ y = - 25t \\ z = - 2 + 61t \\ \end{matrix} ight.

    Cách 2:

     

    • Gọi (Q) qua d và vuông góc với (P)

     

    d đi qua điểm B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (4;3;1)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (3;5; - 1)

    (Q) qua B(12;9;1) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{d}},\overrightarrow{n_{P}} ightbrack = ( - 8;7;11)

    (Q):8x - 7y - 11z - 22 = 0

     

    • d' là giao tuyến của (Q) và (P)

     

    Tìm một điểm thuộc d', bằng cách cho y = 0

    Ta có hệ \left\{ \begin{matrix} 3x - z = 2 \\ 8x - 11z = 22 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(0;0; - 2) \in d'

    d' đi qua điểm M(0;0; - 2)và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}};\overrightarrow{n_{Q}} ightbrack = (62; - 25;61)

    Vậy phương trình tham số của d' là \left\{ \begin{matrix} x = 62t \\ y = - 25t \\ z = - 2 + 61t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính cosin góc BAC

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 2;3), B(0;3;1), C(4;2;2). Côsin của góc \widehat{BAC}

    bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có: \cos\widehat{BAC} = \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} ight|\left| \overrightarrow{AC} ight|} với \overrightarrow{AB} = (1;5; - 2), \overrightarrow{AC} = (5;4; - 1).

    \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ight) = \frac{1.5 + 5.4 + ( - 2)( - 1)}{\sqrt{1^{2} + 5^{2} + ( - 2)^{2}}\sqrt{5^{2} + 4^{2} + ( - 1)^{2}}}

    = \frac{27}{\sqrt{30}\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính khoảng cách từ d đến (P)

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 2y - 8 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.. Khoảng cách giữa đưởng thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight. đi qua A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (2; - 1;1)

    Mặt phẳng (P):x + 2y - 8 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;2;0).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 2 - 2 + 0 = 0 \\ A otin (P) \\ \end{matrix} ight., nên đường thằng d song song với mặt phẳng (P).

    Vậy khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P):

    d\left( d;(P) ight) = d\left( A;(P) ight) = \frac{|1 + 4 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}

  • Câu 11: Thông hiểu
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; - 3;4), đường thẳng d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):2x + z - 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng \Delta qua M vuông góc với d và song song với (P).

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1} có vec tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (3; - 5; - 1).

    Mặt phẳng (P):2x + z - 2 = 0 có vec tơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(P)}} = (2;0;1).

    Đường thẳng ∆ vuông góc với d nên vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}

    Đường thẳng ∆ song song với (P) nên \overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = ( - 5; - 5;10)

    Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là \overrightarrow{u_{\Delta}} = \frac{- 1}{5}.\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = (1;1; - 2)

    Vậy phương trình đường thẳng ∆ là \Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}.

  • Câu 12: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:(D):\ \frac{x\ - \ x_{1}}{a_{1}} = \frac{y\ - \ y_{1}}{a_{2}} = \frac{z\ - \ z_{1}}{a_{3}},(d):\ \frac{x\ - \ x_{2}}{b_{1}} = \frac{y\ - \ y_{2}}{b_{2}} = \frac{z\ - \ z_{2}}{b_{3}}. Với a_{1},\ \ a_{2},\ \ a_{3},\ \ b_{1},\ \ b_{2},\ \ b_{3} \neq \ 0. Gọi \overrightarrow{a} = \left( \ a_{1},\ \ a_{2},\ \ a_{3} \right);\ \ \overrightarrow{b} = \left( \ b_{1},\ \ b_{2},\ \ b_{3} \right) và \overrightarrow{AB} = \left( \ x_{2}\ - \ x_{1},\ \ y_{2}\ - \ y_{1},\ \ z_{2}\ - \ z_{1} \right). (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rbrack.\overrightarrow{AB} \neq 0 \Rightarrow (D) và (d) chéo nhau.

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 1), đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình \frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5};\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}. Biết B (a; b; c), khi đó a + b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử đường cao là CH:\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1} ta có vectơ chỉ phương của CH là \overrightarrow {u} = (2; 5; −1).

    B thuộc đường trung tuyến BM:\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5} nên B(8 + 10t; −7 − 9t; 5 + 5 t).

    Suy ra \overrightarrow{AB} = (7 + 10t; - 8 - 9t;4 + 5t)

    Vì CH ⊥ AB nên \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} = 0⇔ −30t−30 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ B(−2; 2; 0).

    Vậy a + b + c = 0.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng

    Hai đường thẳng (d_{1}): \left\{ \begin{matrix} x - y - z - 7 = 0 \\ 3x - 4y - 11 = 0 \\ \end{matrix} \right. và (d_{2}) : \left\{ \begin{matrix} x + 2y - z + 1 = 0 \\ x + y + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right. cắt nhau tại điểm. Tọa độ của A là:

    Hướng dẫn:

    Từ phương trình của (d_{1}) ,tính x, y theo z được \left\{ \begin{matrix} x = 4z + 17 \\ y = 3z + 10 \\ \end{matrix} \right. .

    Thế vào phương trình của (d_{2}) , được z = - 4, từ đó x = 1,y = - 2 .

    Khi đó: A(1, -2, - 4).

  • Câu 15: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix}x =3 - 2t \\y = 1 + 2t \\x = - 5 + t\end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và mặt phẳng (P):x + y - 5= 0.

    a) Vectơ \overrightarrow{u} = ( - 2;2;1) là một vectơ chỉ phương của \Delta. Đúng||Sai

    b) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Oyz) bằng 45^{0}. Đúng||Sai

    c) Đường thẳng đi qua N(2;3; - 4) và song song với \Delta có phương trình là \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 4}{1}. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng d vuông góc \Delta và tạo với (P) một góc 450 có một vectơ chỉ phương là  \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;4) . Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix}x =3 - 2t \\y = 1 + 2t \\x = - 5 + t\end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và mặt phẳng (P):x + y - 5= 0.

    a) Vectơ \overrightarrow{u} = ( - 2;2;1) là một vectơ chỉ phương của \Delta. Đúng||Sai

    b) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Oyz) bằng 45^{0}. Đúng||Sai

    c) Đường thẳng đi qua N(2;3; - 4) và song song với \Delta có phương trình là \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 4}{1}. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng d vuông góc \Delta và tạo với (P) một góc 450 có một vectơ chỉ phương là  \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;4) . Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai

    Phương án a) đúng: Từ phương trình của \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2t \\ y = 1 + 2t \\ x = - 5 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) ta có \overrightarrow{u} = ( - 2;2;1) là một vectơ chỉ phương của \Delta.

    Phương án b) đúng: (P):x + y - 5 = 0; (Oyz):x = 0 nên ta có \cos\left( (P);(Oyz) \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}.

    Suy ra \left( (P);(Oyz) \right) =45^0.

    Phương án c) đúng: Đường thẳng \Delta_{1}// \Delta nên \Delta_{1} nhận \overrightarrow{u} = ( - 2;2;1) làm VTCP. Hơn nữa \Delta_{1} đi qua N(2;3; - 4) nên có phương trình là \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 4}{1}.

    Phương án d) sai: Gọi \overrightarrow{u_{1}} = (a;b;c) (với a^{2} + b^{2} + c^2 > 0) là một VTCP của d. Do d\bot\Delta nên \overrightarrow{u_{1}}\bot\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u} = 0

    \Rightarrow - 2a + 2b + c = 0 \Rightarrow c = 2a - 2b(*)

    Hơn nữa \left( d;(P) \right) =45^0 nên \sin\left( d;(P) \right)= \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|a + b|}{\sqrt{2}.\sqrt{a^{2} + b^{2} +c^{2}}}

    \Leftrightarrow |a + b| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} \Leftrightarrow 2ab = c^{2}

    . Thay (*) vào ta được: (2a - 2b)^{2} = 2ab \Leftrightarrow 2a^{2} - 5ab + 2b^{2} = 0(**)

    Nếu b = 0 \Rightarrow a = 0;c = 0 (không thỏa mãn).

    Nếu b \neq 0, ta có (**) \Leftrightarrow 2.\left( \frac{a}{b} \right)^{2} - 5\left( \frac{a}{b} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{a}{b} = 2 \\ \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \end{matrix} \right..

    Với \frac{a}{b} = 2 \Rightarrow a = 2b, thay vào (*) ta được c = 2b. Do đó \overrightarrow{u_{1}} = (2b;b;2b);(b \neq 0)

    Với \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = 2a, thay vào (*) ta được c = - 2a. Do đó \overrightarrow{u_{1}} = (a;2a; - 2a);(a \neq 0)

    Vậy \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;4) không là một VTCP của d.

    Cách khác: Giả sử \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;4) là một VTCP của d. Khi đó \sin\left( d;(P) \right) = \frac{\left| 1.1 + ( - 2).1 + 4.0 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + 4^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{42}} \Rightarrow \left( d;(P) \right) \neq 45^{0} (mâu thuẫn).

    Vậy \overrightarrow{u_{1}} = (1;2;-4) không là một VTCP của d.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \left( \alpha \right):2x - y + 2z - 3 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2;-3;-1), song song với hai mặt phẳng \left( \alpha \right);\left( {Oyz} \right) là.

    Hướng dẫn:

    \left( \alpha ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2; - 1;2} ight)

    (Oyz) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow i = \left( {1;0;0} ight)

    d đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{i} ightbrack = (0;2;1)

    Vậy phương của d là \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = - 3 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 17: Nhận biết
    Tìm điều kiện để hai đường thẳng song song

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M, nhận vectơ \overrightarrow{a} làm vectơ chỉ phương và đường thẳng d' đi qua điểm M', nhận vectơ \overrightarrow{a'} làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng d song song với d' là:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện để d//d' là: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 18: Thông hiểu
    Xác định vectơ chỉ phương

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}. Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).

    Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).

    Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 9; - 3), từ đó suy ra \overrightarrow{u} = (1;3;1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P):x - 2y + z - 1 = 0;(Q):x - 2y + z + 8 =0;(R):x - 2y + z - 4 = 0. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt (P),(Q),(R) lần lượt tại A,B,C. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}}.

    Gợi ý:

    Nhận xét (P)//(Q)//(R)

    Sử dụng BĐT Cauchy và định lí Ta-let đánh giá biểu thức T.

    Hướng dẫn:

    Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).

    Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng (P),(Q),(R) cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.

    Ta có BH = d\left( (Q),(P) ight) = 9;HK = d\left( (P),(R) ight) = 3

    Khi đó ta có:

    T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}} \geq 2\sqrt{AB^{2}.\frac{144}{AC^{2}}} = 24.\frac{AB}{AC} = 24.\frac{BH}{HK} = 24.\frac{9}{3} = 72

    Vậy T_{\min} = 72.

  • Câu 20: Nhận biết
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(1; - 3;5) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}(2; - 1;1) là:

    Hướng dẫn:

    Phương trình của đường thẳıg đi qua điểm M(1; - 3;5) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}(2; - 1;1) là: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (60%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
53 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này