Cho mặt cầu và mặt phẳng
. Gọi
là đường tròn giao tuyến của
và
. Tính tọa độ tâm
của
.
(S) có tâm ; pháp vecto của (P) :
Cho mặt cầu và mặt phẳng
. Gọi
là đường tròn giao tuyến của
và
. Tính tọa độ tâm
của
.
(S) có tâm ; pháp vecto của (P) :
Cho các điểm và đường thẳng
. Phương trình mặt cầu
có tâm I và tiếp xúc d là:
Đường thẳngđi qua
và có một vectơ chỉ phương:
Phương trình mặt cầu là:
Trong không gian , cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt cầu chứa đường tròn giao tuyến của
và
đồng thời
tiếp xúc với mặt phẳng
. Gọi
là tâm của
. Tính giá trị biểu thức
Phương trình mặt cầu (S’) có dạng:
Mặt cầu có tâm
, bán kính
.
Mặt cầu tiếp xúc với
nên
Vậy .
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật với
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng
. Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp
và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

Ta có .
Trong , ta có
Ta có .
Mặt khác, ta lại có .
Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính
.
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu có phương trình
,
có tọa độ tâm I và bán kính R là:
Phương trình mặt cầu được viết lại :
Và
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R và mặt phẳng
có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc
. Đường thẳng OM cắt
tại N. Hình chiếu của O trên
là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Vì I là hình chiếu của O trên nên
mà
nên I là tiếp điểm của
và
.
Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.
Suy ra IN tiếp xúc với .
Tam giác OIN vuông tại I nên .
Trong không gian , cho mặt phẳng
và mặt cầu
tâm
bán kính
. Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng
và mặt cầu
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng và mặt cầu
là
Ta có:
Suy ra
Trong không gian với hệ toạ độ , cho phương trình
. Viết phương trình mặt phẳng
, biết
song song với mặt phẳng
và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi
?
Vì nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
Đường tròn lớn có chu vi là nên bán kính của
là
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3
Từ đó ta có:
Vì nên phương trình mặt phẳng (α) là
Trong không gian tọa độ , cho tọa độ hai điểm
. Phương trình mặt cầu đường kính
là:
Gọi I là trung điểm của AB suy ra
Mặt cầu đường kính có tâm
và bán kính
có phương trình là:
Cho hai đường thẳng và
. Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và d’ là:
Gọi
Ta có:
và
Cho mặt phẳng và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là:
Áp dụng CT, ta có (P) cắt (S)
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu
. Tính bán kính của mặt cầu
?
Phương trình mặt cầu:
với
có tâm
và bán kính
Ta có:
Khi đó
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu
và hai điểm
.
là dây cung của mặt cầu thỏa mãn
cùng hướng với
và
. Tính giá trị lớn nhất của
.
Ta có
;
.
Đặt , khi đó
.
Suy ra khi
cùng hướng.
Khi đó
.
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu
;
Ta có:
Tâm
đường thẳng:
là mặt cầu
Vậy tập hợp các tâm O là phần đường thẳng tương ứng với
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Tìm tất cả các giá trị của m để
tiếp xúc với mặt cầu
?
Ta có mặt cầu có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.
Mặt phẳng tiếp xúc với
khi và chỉ khi:
.
Trong không gian , có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để
là một phương trình mặt cầu
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi
Theo bài ra
Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho mặt cầu . Viết phương trình giao tuyến của
và mặt phẳng
Phương trình giao tuyến của và mặt phẳng
Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian. Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thoogns GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, tọa độ của một điểm trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí
cần tìm tọa độ. Như vậy điểm
là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Trong không gian với hệ tọa độ cho bốn vệ tinh
,
,
,
. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
a) Phương trình mặt cầu tâm bán kính bằng 6 có phương trình là:
.Đúng||Sai
b) Nếu điểm thuộc mặt cầu tâm
bán kính bằng 7 thì tọa độ điểm
thỏa mãn phương trình:
.Sai||Đúng
c) Khoảng cách từ điểm đến vệ tinh
là lớn nhất. Đúng||Sai
d) Biết khoảng cách từ điểm đến các vệ tinh lần lượt là
,
,
,
. Khi đó
.Sai||Đúng
Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian. Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thoogns GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, tọa độ của một điểm
trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí
cần tìm tọa độ. Như vậy điểm
là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Trong không gian với hệ tọa độ
cho bốn vệ tinh
,
,
,
. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
a) Phương trình mặt cầu tâm
bán kính bằng 6 có phương trình là:
.Đúng||Sai
b) Nếu điểm
thuộc mặt cầu tâm
bán kính bằng 7 thì tọa độ điểm
thỏa mãn phương trình:
.Sai||Đúng
c) Khoảng cách từ điểm
đến vệ tinh
là lớn nhất. Đúng||Sai
d) Biết khoảng cách từ điểm
đến các vệ tinh lần lượt là
,
,
,
. Khi đó
.Sai||Đúng
a) Đúng
Mặt cầu tâm bán kính bằng 6 có phương trình là:
b) Sai
Mặt cầu tâm bán kính bằng 7 có phương trình là:
.
Do đó, nếu điểm thuộc mặt cầu tâm
bán kính bằng 7 thì tọa độ điểm
thỏa mãn phương trình:
.
c) Đúng
Với bốn vệ tinh ,
,
,
và một điểm
, ta có:
Vậy khoảng cách từ điểm đến vệ tinh
là lớn nhất.
d) Sai
Khoảng cách từ điểm đến các vệ tinh lần lượt là
,
,
,
nên ta có hệ phương trình:
Do đó, .
Viết phương trình mặt cầu tâm
tiếp xúc với mặt phẳng
.
Bán kính
Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có trùng với ba trục
. Viết phương trình mặt cầu
tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương.
tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương tại trung điểm của mỗi cạnh. Tâm
là trung điểm của 6 đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đôi một có độ dài bằng
Bán kính
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: