Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 CTST Bài 4 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất

    Cho hàm số y = \frac{x}{1 - x}\ \ \ \ \ (C) và điểm A( - 1;1). Tìm m để đường thẳng d:\ \ y = mx - m - 1 cắt (C)tại hai điểm phân biệt M,N sao cho AM^{2} + AN^{2} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: \frac{x}{1 - x} = mx - m - 1 (đk: x eq 1)

    \begin{matrix} \Rightarrow x = (1 - x)(mx - m - 1) \\ \Leftrightarrow x = mx - m - 1 - mx^{2} + mx + x \\ \Leftrightarrow mx^{2} - 2mx + m + 1 = 0\ \ (*) \\ \end{matrix}

    Để (C) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M,N thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ \Delta' = m^{2} - m(m + 1) = - m > 0 \\ m - 2m + m + 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow m < 0

    Giả sửM\left( x_{1};y_{1} ight),N\left( x_{2};y_{2} ight).

    Theo hệ thức viét : x_{1} + x_{2} = 2;\ \ x_{1}x_{2} = \frac{m + 1}{m}

    \Rightarrow y_{1} + y_{2} = m\left( x_{1} + x_{2} ight) - 2m - 2 = 2m - 2m - 2 = - 2

    và y_{1}.y_{2} = \left( mx_{1} - m - 1 ight)\left( mx_{2} - m - 1 ight)

    = m^{2}x_{1}x_{2} - m(m + 1)\left( x_{1} + x_{2} ight) + (m + 1)^{2}

    = m(m + 1) - 2m(m + 1) + (m + 1)^{2} = m+ 1

    Ta có:

    AM^{2} + AN^{2} = \left( x_{1} + 1 ight)^{2} + \left( y_{1} - 1 ight)^{2} + \left( x_{2} + 1 ight)^{2} + \left( y_{2} - 1 ight)^{2}

    = \left( x_{1} + x_{2} + 2 ight)^{2} - 2\left( x_{1} + 1 ight)\left( x_{2} + 1 ight) + \left( y_{1} + y_{2} - 2 ight)^{2} - 2\left( y_{1} - 1 ight)\left( y_{2} - 1 ight)

    = \left( x_{1} + x_{2} + 2 ight)^{2} - 2\left( x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 ight)+ \left( y_{1} + y_{2} - 2 ight)^{2} - 2\left( y_{1}y_{2} - \left( y_{1} + y_{2} ight) + 1 ight)

    = (2 + 2)^{2} - 2\left( \frac{m + 1}{m} + 2 + 1 ight)+ ( - 2 - 2)^{2} - 2\left( m + 1 - ( - 2) + 1 ight)

    = 18 - 2\left( \frac{m + 1}{m} ight) - 2m = 18 - 2 - 2.\frac{1}{m} - 2m

    = 16 + 2.\left\lbrack \frac{1}{- m} + ( - m) ightbrack \geq 16 + 2.2 = 20 (Áp dụng BĐT Côsi)

    Suy ra: AM^{2} + AN^{2} đạt giá trị nhỏ nhất là 20 khi \frac{1}{- m} = - m \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy m = - 1 (vì m < 0).

  • Câu 2: Vận dụng
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Cho hàm số y = \frac{x + 1}{x - 1} có đồ thị như sau:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) là đồ thị của hàm số y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|. Đúng||Sai

    b) là đồ thị của hàm số y = \frac{|x + 1|}{x - 1}. Đúng||Sai

    c) là đồ thị của hàm số y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|. Sai|| Đúng

    d) Đồ thị của hàm số y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight| và y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight| là khác nhau. Sai|| Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{x + 1}{x - 1} có đồ thị như sau:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) là đồ thị của hàm số y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|. Đúng||Sai

    b) là đồ thị của hàm số y = \frac{|x + 1|}{x - 1}. Đúng||Sai

    c) là đồ thị của hàm số y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|. Sai|| Đúng

    d) Đồ thị của hàm số y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight| và y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight| là khác nhau. Sai|| Đúng

    a) Đồ thị hàm số y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|

    - Giữ nguyên phần trên trục Ox.

    - Đối xứng với phần bị bỏ của đồ thị y = \frac{x + 1}{x - 1} qua trục Ox.

    b) Ta có: y = \frac{|x + 1|}{x - 1} = \left\{ \begin{matrix} \frac{x + 1}{x - 1};\ \ \ khi\ x \geq - 1;x eq 1 \\ - \frac{x + 1}{x - 1};\ \ \ khi\ x < - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó đồ thị hàm số y = \frac{|x + 1|}{x - 1} gồm hai phần:

    Phần 1: Đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 1} với x \geq - 1;x eq 1.

    Phần 2: Đối xứng với phần còn lại của đồ thị y = f(x)với x < −1 qua trục Ox.

    c) Đồ thị y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight| gồm hai phần:

    Phần 1: Giữ nguyên phần trên Ox

    Phần 2: Đối xứng với phần bị bỏ của đồ thị y = \frac{|x + 1|}{x - 1} qua trục Ox.

    d) Đồ thị của hàm số y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight| và y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight| là giống nhau.

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tìm các giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu

    Cho hàm y = f(x) là hàm đa thức bậc bốn. Biết rằng f(0) = 0, f( - 3) = f\left( \frac{3}{2} \right) = - \frac{19}{4} và đồ thị hàm số y = f'(x) có dạng như hình vẽ.

    Xét hàm số g(x) = \left| 4f(x) + 2x^{2} \right| - 2m^{2} + 1 với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m \in ( - 50;50) để phương trình g(x) = 1 có đúng hai nghiệm thực?

    Hướng dẫn:

    Ta có \left| 4f(x) + 2x^{2} ight| - 2m^{2} + 1 = 1

    \Leftrightarrow \left| 4f(x) + 2x^{2} ight| = 2m^{2}(1)

    Xét hàm số h(x) = 4f(x) + 2x^{2}, ta có h'(x) = 4\left\lbrack f'(x) - ( - x) ightbrack.

    Dựa vào đồ thị hàm số f'(x) và đường thẳng y = - x.

    Ta thấy: h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = 0 \\ x = \frac{3}{2} \\ \end{matrix} ight.

    và h( - 3) = 4f( - 3) + 2( - 3)^{2} = - 1, h(0) = 0, h\left( \frac{3}{2} ight) = 4f\left( \frac{3}{2} ight) + 2\left( \frac{3}{2} ight)^{2} = - \frac{29}{2}.

    Do đó ta có bảng biến thiên hàm số h(x) như sau

    Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số \left| h(x) ight|như sau

    Do đó để phương trình (1)có đúng hai nghiệm thực thì 2m^{2} > \frac{29}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > \frac{\sqrt{29}}{2} \\ m < - \frac{\sqrt{29}}{2} \\ \end{matrix} ight..

    Mà m là số nguyên thuộc ( - 50;50) nên \left\lbrack \begin{matrix} 3 \leq m \leq 49 \\ - 49 \leq m \leq - 3 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy có 94 số nguyên m thỏa mãn.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tìm giá trị của tham số a

    Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y = x^{3} + (x + 10)x^{2} - x + 1 cắt trục hoành tại đúng một điểm?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

    x^{3} + (a + 10)x^{2} - x + 1 = 0(*)

    \Leftrightarrow x^{3} + 10x^{2} - x + 1 = - ax^{2}

    Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình nên (*) \Leftrightarrow - \frac{x^{3} + 10x^{2} - x + 1}{x^{2}} = a

    Xét hàm số f(x) = - \frac{x^{3} + 10x^{2} - x + 1}{x^{2}};\left( \forall x\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 0 ight\} ight)

    Ta có: f'(x) = - \frac{x^{3} + x - 2}{x^{3}} = - \frac{(x - 1)\left( x^{2} + x + 2 ight)}{x^{3}}

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:

    Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm khi (*) có đúng 1 nghiệm \Leftrightarrow a > - 11

    Vì a nguyên âm nên a \in \left\{ - 10; - 9; - 8;...; - 1 ight\}

    Vậy có 10 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Xác định số nghiệm thực của phương trình

    Cho hàm số f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

    Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f\left( x^{3}f(x) \right) + 1 = 0 là

    Hướng dẫn:

    Dựa vào đồ thị, ta thấy f\left( x^{3}f(x) ight) + 1 = 0

    \Leftrightarrow f\left( x^{3}f(x) ight) = - 1

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{3}f(x) = a \in ( - 6; - 5)(1) \\ x^{3}f(x) = b \in ( - 3; - 2)(2) \\ x^{3}f(x) = 0(3) \\ \end{matrix} ight.

    + Phương trình (3) tương đương \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ f(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = x_{1},\left( - 6 < x_{1} < a < - 5 ight) \\ \end{matrix} ight.

    + Các hàm số g(x) = \frac{a}{x^{3}} và h(x) = \frac{b}{x^{3}} đồng biến trên các khoảng ( - \infty;0) và (0; + \infty), và nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên: (1) \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = g(x) \\ f(x) = h(x) \\ \end{matrix} ight..

    + Trên khoảng ( - \infty;0), ta có \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty;\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = - 1 \\ \lim_{x ightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}h(x) = 0 \\ \lim_{x ightarrow 0^{-}}g(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}h(x) = + \infty \\ \end{matrix} ight.

    nên các phương trình f(x) = g(x) và f(x) = h(x) có nghiệm duy nhất.

    + Trên khoảng (0; + \infty), ta có \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = - \infty;\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = - 1 \\ \lim_{x ightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x ightarrow + \infty}h(x) = 0 \\ \lim_{x ightarrow 0^{+}}g(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}h(x) = - \infty \\ \end{matrix} ight.

    nên các phương trình f(x) = g(x) và f(x) = h(x) có nghiệm duy nhất.

    Do đó, phương trình f\left( x^{3}f(x) ight) + 1 = 0 có 6 nghiệm phân biệt.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tìm m để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt

    Cho hàm số f(x) = log_{3}x + 3^{x} - 3^{\frac{1}{x}}. Tổng bình phương các giá trị của tham số m để phương trình f\left( \frac{1}{4|x - m| + 3} \right) + f\left( x^{2} - 4x + 7 \right) = 0 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có f'(x) = \frac{1}{xln3} + 3^{x} \cdot ln3 + \frac{1}{x^{2}} \cdot 3^{\frac{1}{x}} \cdot ln3 > 0,\forall x > 0

    \Rightarrow Hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; + \infty)(1).

    Mặt khác f\left( \frac{1}{x} ight) = log_{3}\frac{1}{x} + 3^{\frac{1}{x}} - 3^{x} = - \left( log_{3}x - 3^{\frac{1}{x}} + 3^{x} ight) = - f(x), khi đó

    f\left( \frac{1}{4|x - m| + 3} ight) + f\left( x^{2} - 4x + 7 ight) = 0

    \Leftrightarrow - f(4|x - m| + 3) + f\left( x^{2} - 4x + 7 ight) = 0

    \Leftrightarrow f\left( 4|x - m| + 3 ight) = f\left( x^{2} - 4x + 7 ight)\ \ (2).

    Từ (1),(2) \Rightarrow 4|x - m| + 3 = x^{2} - 4x + 7

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 4m = - x^{2} + 8x - 4 \\ 4m = x^{2} + 4 \\ \end{matrix} ight..

    Ta có đồ thị sau:

    Theo yêu cầu bài toán tương đương \left\lbrack \begin{matrix} 4m = 4 \\ 4m = 8 \\ 4m = 12 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.\ ight.. Vậy 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 14.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Xét sự đúng sai của các nhận định

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và đồ thị như Hình 3.

    Xét tính đúng sai của các nhận định dưới đây:

    a) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - \infty;0). Đúng||Sai

    b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_{0} = - 2. Sai||Đúng

    c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không dương trên khoảng ( - 1;1). Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 0;3\rbrack bằng 1. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và đồ thị như Hình 3.

    Xét tính đúng sai của các nhận định dưới đây:

    a) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - \infty;0). Đúng||Sai

    b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_{0} = - 2. Sai||Đúng

    c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không dương trên khoảng ( - 1;1). Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 0;3\rbrack bằng 1. Sai||Đúng

    Theo Hình 3, ta có:

    a) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - \infty;0)

    b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_{0} = 0.

    c) Vì hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) nên đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng đó và nghịch biến trên khoảng ( - 1;0) nên đạo hàm của hàm số nhận giá trị không dương trên khoảng đó .

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 0;3\rbrack bằng 2 .

    Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn đồ thị ứng với hàm số đã cho

    Hình vẽ nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = - \left( {a - x} ight){\left( {b - x} ight)^2} biết a > b > 0

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số y = f\left( x ight) = - \left( {a - x} ight){\left( {b - x} ight)^2} = \left( {x - a} ight){\left( {x - b} ight)^2} ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = + \infty } \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = - \infty } \end{array}} ight. => Đồ thị hàm số có dạng chữ N xuôi

    Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ y\left( 0 ight) = - a{b^2} mà a > 0 => y\left( 0 ight) < 0

    Mặt khác f'\left( x ight) = {\left( {x - b} ight)^2} + 2\left( {x - a} ight)\left( {a - b} ight) = \left( {x - b} ight)\left( {3x - 2a - b} ight)

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( b ight) = 0} \\ {f'\left( b ight) = 0} \end{array}} ight.

    => Đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với Ox tại điểm M\left( {b;0} ight)

  • Câu 9: Vận dụng
    Tìm tập hợp tham số m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f\left( \sin x \right) = m có nghiệm thuộc khoảng (0;\pi) là

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \sin x \Rightarrow \forall x \in (0;\pi) \Rightarrow t \in (0;1brack

    Vậy phương trình trở thành f(t) = m.

    Dựa và đồ thị hàm số suy ra m \in \lbrack - 1;1).

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính tổng các giá trị tham số m

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tổng các giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt \Leftrightarrow - 4 < m < 2

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 3; - 2; - 1;0;1 ight\}

    Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bằng -5.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện

    Cho hai hàm số y = \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1} vày = |x + 2| - x + m

    (m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là \left( C_{1} \right) và \left( C_{2} \right). Tập hợp tất cả các giá trị của m để \left( C_{1} \right) và \left( C_{2} \right) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1} = |x + 2| - x + m

    \Leftrightarrow \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1} - |x + 2| + x = m(1)

    Hàm số p(x) = \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1} - |x + 2| + x.

    = \left\{ \begin{matrix} \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1} - 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \geq - 2 \\ \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1}\ + 2x + 2\ \ \ \ khi\ x < - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có

    p'(x) = \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{(x - 2)^{2}} + \frac{1}{(x - 1)^{2}} + \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{(x + 1)^{2}} > 0,\forall x \in ( - 2; +\infty)\backslash\left\{ - 1;0;1;2 ight\} \\\frac{1}{(x - 2)^{2}} + \frac{1}{(x - 1)^{2}} + \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{(x + 1)^2} + 2 > 0,\forall x < - 2 \\\end{matrix} ight.

    nên hàm số y = p(x) đồng biến trên mỗi khoảng ( - \infty; - 1), ( - 1;0), (0;1), (1;2), (2; + \infty).

    Mặt khác ta có \lim_{x ightarrow + \infty}p(x) = 2 và \lim_{x ightarrow - \infty}p(x) = - \infty.

    Bảng biến thiên hàm số y = g(x):

    Do đó để \left( C_{1} ight) và \left( C_{2} ight) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 4 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = p(x) tại 4 điểm phân biệt \Leftrightarrow m \geq 2.

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{2x + 1}{x + 2}. Giả sử M(a;b) \in (C) có khoảng cách đến đường thẳng d:y = 3x + 6 nhỏ nhất. Chọn khẳng định đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: M\left( a;\frac{2a + 1}{a + 2} ight);(a eq - 2)

    Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) bằng:

    d(M;d) = \dfrac{\left| 3a - \dfrac{2a +1}{a + 2} + 6 ight|}{\sqrt{3^{2} + 1}}= \frac{1}{\sqrt{10}}.\left| 3a+ 6 - \frac{2a + 1}{a + 2} ight|= \frac{1}{\sqrt{10}}.\left|\frac{3a^{2} + 10a + 11}{a + 2} ight|

    Xét hàm số f(a) = \frac{3a^{2} + 10a + 11}{a + 2};(a eq - 2)

    f'(a) = \frac{3\left( a^{2} + 4a + 3 ight)}{(a + 2)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 1 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \left| f(a) ight| = 4 tại a = - 1

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = - 2

  • Câu 13: Vận dụng
    Số nghiệm thực phân biệt của phương trình

    Cho hàm số f\left( x ight) = {x^3} - 3x + 1. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f\left( {f\left( x ight)} ight) = f\left( 2 ight) là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f\left( {f\left( x ight)} ight) = f\left( 2 ight) = 3

    Đồ thị của hàm số f\left( x ight) = {x^3} - 3x + 1 được minh họa bằng hình vẽ sau:

    Số nghiệm thực phân biệt của phương trình

    Từ đồ thị ta suy ra

    f\left( {f\left( x ight)} ight) = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = 2} \\ {f\left( x ight) = - 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - 3x + 1 = 2} \\ {{x^3} - 3x + 1 = - 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - 3x + 1 = 0\left( * ight)} \\ {{x^3} - 3x + 2 = 0\left( {**} ight)} \end{array}} ight.

    Phương trình (*) có 3 nghiệm thực

    Phương trình (**) có 2 nghiệm thực

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f\left( \left| \frac{3sinx - \cos x - 1}{2cosx - \sin x + 4} \right| + 2 \right) = f\left( \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} \right) có nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Ta có: - 1 \leq \sin x \leq 1,\ \ - 1 \leq \cos x \leq 1 nên suy ra 2cosx - \sin x + 4 > 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}.

    Đặt t = \frac{3sinx - \cos x - 1}{2cosx - \sin x + 4} \Rightarrow t(2cosx - \sin x + 4) = 3sinx - \cos x - 1

    \Leftrightarrow (2t + 1)cosx - (t + 3)sinx = - (4t + 1).

    Phương trình trên có nghiệm khi

    (2t + 1)^{2} + (t + 3)^{2} \geq (4t + 1)^{2}

    \Leftrightarrow \frac{- 9}{11} \leq t \leq 1 \Rightarrow 2 \leq |t| + 2 \leq 3.

    Nhìn vào hình trên ta thấy hàm số f(x) luôn đồng biến trên \lbrack 2\ ;\ 3brack nên phương trình f\left( \left| \frac{3sinx - \cos x - 1}{2cosx - \sin x + 4} ight| + 2 ight) = f\left( \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} ight) hay phương trình f\left( |t| + 2 ight) = f\left( \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} ight) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình |t| + 2 = \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} có nghiệm t thỏa mãn điều kiện 2 \leq |t| + 2 \leq 3

    \Leftrightarrow 2 \leq \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} \leq 3 \Rightarrow m^{2} + 4m - 1 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 - \sqrt{5} \leq m \leq - 2 + \sqrt{5}

    Mà m\mathbb{\in Z} nên có tất cả 5 giá trị m thỏa mãn.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tính giá trị f(0)

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị đi qua điểm A(1;1),B(2;4),C(3;9). Các đường thẳng AB,AC,BC lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm M,N,P (M khác A và B, N khác A và C, P khác B và C. Biết rằng tổng các hoành độ của M,N,P bằng 5, giá trị của f(0) là

    Hướng dẫn:

    Từ giả thuyết bài toán ta giả sử

    f(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 3) + x^{2} (a eq 0)

    Ta có: AB:y = 3x - 2, AC:y = 4x - 3, BC:y = 5x - 6.

    Khi đó:

    Hoành độ của M là nghiệm của phương trình:

    a\left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight)\left( x_{M} - 3 ight) + {x_{M}}^{2} = 3x_{M} - 2

    \Leftrightarrow a\left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight)\left( x_{M} - 3 ight) + \left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow a\left( x_{M} - 3 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{M} = 3 - \frac{1}{a}.

    Hoành độ của N là nghiệm của phương trình:

    a\left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 2 ight)\left( x_{N} - 3 ight) + {x_{N}}^{2} = 4x_{N} - 3

    \Leftrightarrow a\left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 2 ight)\left( x_{N} - 3 ight) + \left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 3 ight) = 0

    \Leftrightarrow a\left( x_{N} - 2 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{N} = 2 - \frac{1}{a}.

    Hoành độ của P là nghiệm của phương trình:

    a\left( x_{P} - 1 ight)\left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) + {x_{P}}^{2} = 5x_{P} - 6

    \Leftrightarrow a\left( x_{P} - 1 ight)\left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) + \left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) = 0

    \Leftrightarrow a\left( x_{P} - 1 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{P} = 1 - \frac{1}{a}.

    Từ giả thuyết ta có; x_{M} + x_{N} + x_{P} = 5 \Leftrightarrow 6 - \frac{3}{a} = 5 \Leftrightarrow a = 3.

    Do đó: f(x) = 3(x - 1)(x - 2)(x - 3) + x^{2}

    f(0) = - 18.

  • Câu 16: Vận dụng
    Tìm giá trị lớn nhất của tham số m

    Giá trị lớn nhất của m để đường thẳng (d):y = x - m + 1 cắt đồ thị hàm số y = x^{3} + 2(m - 2)x^{2} + (8 - 5m)x + m - 5 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x_{1},\ x_{2},\ x_{3} thỏa mãn điều kiện x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 20 là

    Hướng dẫn:

    Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình

    x^{3} + 2(m - 2)x^{2} + (8 - 5m)x + m - 5 = x - m + 1

    \Leftrightarrow (x - 2)\left\lbrack x^{2} + (2m - 2)x - m + 3 ightbrack = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{3} = 2 \\ x^{2} + (2m - 2)x - m + 3 = 0(1) \\ \end{matrix} ight..

    Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt \Leftrightarrow phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x_{1};x_{2} khác 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' = (m - 1)^{2} + (m - 3) > 0 \\ 4 + (2m - 2).2 - m + 3 eq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m < - 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m eq - 1 \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < - 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight. (2).

    Khi đó, \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - (2m - 2) \\ x_{1}x_{2} = - m + 3 \\ \end{matrix} ight..

    Theo giả thiết x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 20 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 2x_{1}x_{2} + x_{3}^{2} = 20

    \Leftrightarrow (2m - 2)^{2} + 2(m - 3) + 4 = 20

    \Leftrightarrow 2m^{2} - 3m - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - \frac{3}{2} \\ \end{matrix} ight.(thỏa mãn (2)).

    Vậy giá trị lớn nhất của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số và có bảng biến thiên như hình vẽ.

    Tính giá trị biểu thức

    Tính T = ab + bc + 2ca

    Hướng dẫn:

    Ta có: 

    \begin{matrix} y' = 4a{x^3} + 2bx \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 0 ight) = 3} \\ {y\left( 1 ight) = 2} \\ {y'\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {c = 3} \\ {a + b + c = 2} \\ {4a + 2b = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {c = 3} \\ {a = 1} \\ {b = - 2} \end{array}} ight. \Rightarrow T = - 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn phát biểu đúng

    Cho hàm số y = x^{3} + 3mx^{2} - m^{3} có đồ thị \left( C_{m} \right) và đường thẳng d:y = m^{2}x + 2m^{3}. Biết rằng m_{1},\ m_{2}\ \left( m_{1} > m_{2} \right) là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị \left( C_{m} \right) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x_{1},\ \ x_{2},\ \ x_{3} thỏa mãn {x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} + \ {x_{3}}^{4} = 83. Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị m_{1},\ \ m_{2}?

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và \left( C_{m} ight)

    x^{3} + 3mx^{2} - m^{3} = m^{2}x + 2m^{3}

    \Leftrightarrow x^{3} + 3mx^{2} - m^{2}x - 3m^{3} = 0

    \Leftrightarrow \left( x^{3} - m^{2}x ight) + \left( 3mx^{2} - 3m^{3} ight) = 0

    \begin{matrix} \Leftrightarrow x\left( x^{2} - m^{2} ight) + 3m\left( x^{2} - m^{2} ight) = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 3m)\left( x^{2} - m^{2} ight) = 0 \\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3m \\ x = m \\ x = - m \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix}

    Để đường thẳng d cắt đồ thị \left( C_{m} ight) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x_{1},\ x_{2},\ x_{3} \Leftrightarrow m eq 0.

    Khi đó, {x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} + \ {x_{3}}^{4} = 83 \Leftrightarrow m^{4} + ( - m)^{4} + ( - 3m)^{4} = 83

    \Leftrightarrow 83m^{4} = 83 \Leftrightarrow m = \pm 1

    Vậy m_{1} = 1,\ m_{2} = - 1 hay m_{1} + m_{2} = 0.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Xác định số nghiệm của phương trình

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f(x) = \frac{1}{2} là

    Hướng dẫn:

    Số nghiệm thực của phương trình f(x) = \frac{1}{2} bằng số giao điểm của đường thẳng y = \frac{1}{2} và có đồ thị hàm số y = f(x).

    Ta thấy đường thẳng y = \frac{1}{2} cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm nên phương trình f(x) = \frac{1}{2} có 4 nghiệm.

  • Câu 20: Vận dụng
    Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây

    Cho hàm số y = f\left( x ight) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

    Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây

    Hỏi hàm số y = f\left( {2x - 1} ight) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 < x < 0} \\ {x > 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow y' = 2f'\left( {2x - 1} ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 < 2x - 1 < 0} \\ {2x - 1 > 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < x < \dfrac{1}{2}} \\ {x > 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đó hàm số y = f\left( {2x - 1} ight) đồng biến trên khoảng \left( {\frac{1}{4};\frac{1}{3}} ight)

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (35%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
21 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm