Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình mặt cầu (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện

    Cho hai điểm A(2, - 3, - 1);\ \ \ B( - 4,5, - 3). Tìm tập hợp các điểm M(x,y,z) sao cho \widehat{AMB} = 90^{o}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \overrightarrow{AM} = (x - 2,y + 3,z + 1);\ \ \overrightarrow{BM} = (x + 4,y - 5,z + 3)

    \widehat{AMB} = 90^{o} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM} = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)(x + 4) + (y + 3)(y - 5) + (z + 1)(z + 3) = 0

    \Leftrightarrow Mặt cầu x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 4z - 20 = 0

  • Câu 2: Vận dụng
    Thể tích của khối cầu ngoại tiếp

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60^0 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là:

    Hướng dẫn:

    Thể tích của khối cầu ngoại tiếp

    Gọi O = AC \cap BD, suy ra SO \bot \left( {ABCD} ight).

    Ta có {60^0}{m{ = }}\widehat {SB,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SB,OB} = \widehat {SBO}.

    Trong \triangle SOB, ta có SO = OB.\tan \widehat {SBO} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.

    Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.

    Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn B.

    Gọi I = SO \cap d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in SO\\I \in d\end{array} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = IB = IC = ID\\IS = IB\end{array} ight.

    \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS = R

    Xét \triangle SBD có \left\{ \begin{array}{l}SB = SD\\\widehat {SBD} = \widehat {SBO} = {60^o}\end{array} ight. \Rightarrow    \triangle SBD đều.

    Do đó d cũng là đường trung tuyến của \triangle SBD . Suy ra I là trọng tâm \triangle SBD .

    Bán kính mặt cầu R = SI = \frac{2}{3}SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.

    Suy ra V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{8\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm tọa độ tâm H của (C)

    Trong không gian Oxyz cho đường tròn:(C):\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0 \\ x - 2y + 2z + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.. Tọa độ tâm H của (C) là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 3)^{2} = 5

    Tâm mặt cầu là I(2, - 3, - 3)

    Xem đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng thiết diện x - 2y + 2z + 1 = 0

    \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 - 2t \\ z = - 3 + 2t \\ \end{matrix} \right. , thế x,y,z vào phương trình mặt phẳng thiết diện

    2 + t - 2( - 3 - 2t) + 2( - 3 + 2t) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}

    \Rightarrow Tọa độ tâm H của (C) là H\left( \frac{5}{3}, - \frac{7}{3}, - \frac{11}{3} \right)

  • Câu 4: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho mặt cầu (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A( - 6, - 1,3) . Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua. Tìm tập hợp các điểm M. (Chọn các đáp án đúng)

    Hướng dẫn:

    (S) có tâm I(2, - 3,1).\ \overrightarrow{IM} = (x - 2,y + 3,z + 1);\overrightarrow{AM} = (x + 6,y + 1,z - 3)

    \begin{matrix} \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AM} = (x - 2)(x + 6) + (y + 3)(y + 1) + (z + 1)(z - 3) = 0 \\ \Rightarrow M \in (S'):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 4y - 3z - 12 = 0;\ \ M \in (S) \\ \end{matrix}

    \Rightarrow M \in đường tròn \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 \\ 4x - y - 2z - 5 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    Hay \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 4y - 2z - 12 = 0 \\ 4x - y - 2z - 5 = 0 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 5: Vận dụng
    Xác định phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Viết phương trình mặt cầu \left( S_{3} \right) ngoại tiếp tứ diện.

    Hướng dẫn:

    Tứ diện ABCD đều \Rightarrow \left( S_{3} \right) có tâm E(2,2,2)

    Bán kính R_{3}^{2} = EA^{2} = (1 - 2)^{2} + (1 - 2)^{2} + (1 - 2)^{2} = 3

    \Rightarrow \left( S_{3} \right) = (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 3

  • Câu 6: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hai điểm A(2, - 3, - 1);\ \ \ B( - 4,5, - 3). Tìm tập hợp các điểm M(x,y,z) thỏa mãn \frac{MA}{MB} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Hướng dẫn:

    Theo bài ra ta có:

    2MA = \sqrt{3}MB \Leftrightarrow 4MA^{2} = 3MB^{2}

    \Leftrightarrow 4\left\lbrack (2 - x)^{2} + ( - 3 - y)^{2} + ( - 1 - z)^{2} \right\rbrack

    = 3\left\lbrack ( - 4 - x)^{2} + (5 - y)^{2} + ( - 3 - z)^{2} \right\rbrack

    Mặt cầu x^{2} + y^{2} + z^{2} - 40x - 54y - 10z - 94 = 0

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính bán kính r của đường tròn (C)

    Trong không gian cho đường tròn (C):\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 6z + 17 = 0 \\ x - 2y + 2z + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    Bán kính r của đường tròn (C) bằng:

    Hướng dẫn:

    Cùng đề trên nên có bán kính mặt cầu là R = \sqrt{5} .

    Khoảng cách từ I đến thiết diện là h = \frac{\left| 2 - 2( - 3) + 2( - 3) + 1 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} = 1 .

    \Rightarrow Bán kính của (C) là: r = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 2.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng (P):x+y+2z-13=0. Xét các mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức T=a^2+2b^2+3c^2 khi (S) có bán kính nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

     Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có IA + IH =2R nên R nhỏ nhất khi I, A, H thẳng hàng và I là trung điểm của AH.

    Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{matrix}ight.

    Tọa độ H là nghiệm (x;y;z) của hệ:

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \\ x+y+2z-13=0 \end{matrix}ight.

    \Rightarrow H(3;4;3)\Rightarrow I(2;3;1)

    Suy ra, ta có: T=a^2+2b^2+3c^2 =2^2+2.3^2+3.1^2=25

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Xác định số mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(3;7;1),B(8;3;8) và C(3;3;0). Gọi \left( S_{1} \right) là mặt cầu tâm A bán kính bằng 3 và \left( S_{2} \right) là mặt cầu tâm B bán kính bằng 6. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đi qua C và tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt cầu \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right)?

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt phẳng qua C có dạng (P):m(x - 3) + n(y - 3) + pz = 0,m^{2} + n^{2} + p^{2} > 0.

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc \left( S_{1} \right) ta có |4n + p| = 3\sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}} (1)

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc \left( S_{2} \right) ta có |5m + 8p| = 6\sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}} (2)

    Từ đây ta có phương trình |5m + 8p| = 2|4n + p| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 5m = 8n - 6p\ \ \ (3) \\ 5m = - 8n - 10p\ \ \ (4) \end{matrix} \right.

    Từ (1), (3) ta có:

    (4n + p)^{2} = 9\left\lbrack \left( \frac{8n - 6p}{5} \right)^{2} + n^{2} + p^{2} \right\rbrack

    \Leftrightarrow 401n^{2} - 1064np + 524p^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 2p \\ n = \frac{262}{401}p \end{matrix} \right.

    Trường hợp này ta tìm được hai mặt phẳng:

    \left( P_{1} \right):2x + 2y + z - 12 = 0

    \left( P_{2} \right):62x - 262y - 101z + 600 = 0

    Từ (1); (4) ta có:

    (4n + p)^{2} = 9\left\lbrack \left( \frac{8n + 10p}{5} \right)^{2} + n^{2} + p^{2} \right\rbrack

    \Leftrightarrow 401n^{2} + 1240np + 1100p^{2} = 0 \Leftrightarrow n = p = 0

    Trường hợp này không có mặt phẳng nào.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S):(x - 5)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 72 và điểm B(9; - 7;23). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Giả sử \overrightarrow{n}(1;m;n) là một vectơ pháp tuyến của (P). Khi đó

    Hướng dẫn:

    Giả sử mặt phẳng (P) có dạng:

    a(x - 0) + b(y - 8) + c(z - 2) = 0;\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0 \right).

    \Leftrightarrow ax + by + cz - 8b - 2c = 0

    Mặt cầu (S) có tâm I(5; - 3;7) và bán kính R = 6\sqrt{2}

    Điều kiện tiếp xúc:

    d\left( I;(P) \right) = 6\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{|5a- 3b + 7c - 8b - 2c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 6\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{|5a - 11b + 5c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 6\sqrt{2}(*).

    Mà d\left( B;(P) \right) = \frac{|9a - 7b+ 23c - 8b - 2c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}= \frac{|9a - 15b +21c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

    = \frac{\left| 5a - 11b + 5c + 4(a - b +4c) \right|} {\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

    \leq \frac{|5a - 11b + 5c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} + 4.\frac{|a - b + 4c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

    \leq 6\sqrt{2} + 4.\frac{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 4^{2}}.\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 18\sqrt{2}

    Dấu bằng xảy ra khi \frac{a}{1} = \frac{b}{- 1} = \frac{c}{4}

    Chọn a = 1;b = - 1;c = 4 thỏa mãn (*).

    Khi đó (P):x - y + 4z = 0

    Suy ra m = - 1;n = 4 \Rightarrow mn = - 4 .

  • Câu 11: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Phương trình mặt cầu nào dưới đây có tâm I(2;1;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):x + 2y + 2z + 2 = 0?

    Hướng dẫn:

    Do mặt cầu S(I;R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) \Leftrightarrow d\left( I;(P) \right) = R \Leftrightarrow R = 4 .

    \Rightarrow (S) : (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 16.

  • Câu 12: Vận dụng
    Viết phương trình mặt cầu (S)

    Trong không gian Oxyz, cho A(5; 0; 0), B(1; 2; −4), C(4; 3; 0) và mặt phẳng (α): x + 2y + 2z − 10 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và tiếp xúc mặt phẳng (α).

    Hướng dẫn:

    Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu cần tìm.

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AI = IB \\ AI = CI \\ AI = d\left( I;(\alpha) ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} +(z + 4)^{2}} \\\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} +z^{2}} \\\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \dfrac{|x + 2y + 2z -10|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y + 2z = 1 \\ x - 3y = 0 \\ 3\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = |x + 2y + 2z - 10| \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3y \\z = \dfrac{- 5y + 1}{2} \\65y^{2} - 130y + 65 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = 1 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Vậy phương trình mặt cầu tâm I(3; 1; −2) bán kính R = AI = 3 là (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 9.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngon hải đăng được đặt ở vị trí I(20;\ 35;\ 60), biết rằng ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km.

    a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là: (x - 20)^{2} + (y - 35)^{2} + (z - 60)^{2} = 4^{2}.Sai||Đúng

    b) Điểm B( - 290;\ \ - 165;\ \ 3660) nằm phía trong mặt cầu đó.Đúng||Sai

    c) Nếu người đi biển ở vị trí C(541\ ;\ 137\ ;\ - 690) thì không thể nhìn được ánh sáng từ ngọn hải đăng. Sai||Đúng

    d) Giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí điểm I(20;\ \ 35;\ \ 60) đến vị trí D(4020;\ \ 35;\ \ 3060). Vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển vẫn còn nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là M( - 3180;\ 35;\ 2460). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngon hải đăng được đặt ở vị trí I(20;\ 35;\ 60), biết rằng ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km.

    a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là: (x - 20)^{2} + (y - 35)^{2} + (z - 60)^{2} = 4^{2}.Sai||Đúng

    b) Điểm B( - 290;\ \ - 165;\ \ 3660) nằm phía trong mặt cầu đó.Đúng||Sai

    c) Nếu người đi biển ở vị trí C(541\ ;\ 137\ ;\ - 690) thì không thể nhìn được ánh sáng từ ngọn hải đăng. Sai||Đúng

    d) Giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí điểm I(20;\ \ 35;\ \ 60) đến vị trí D(4020;\ \ 35;\ \ 3060). Vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển vẫn còn nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là M( - 3180;\ 35;\ 2460). Sai||Đúng

    a) Sai

    Mặt cầu tâm I(20;\ 35;\ 60), bán kính R = 4\ km\ \ = 4000\ m có phương trình là:

    (x - 20)^{2} + (y - 35)^{2} + (z - 60)^{2} = 4000^{2}

    b) Đúng

    Ta có: IB = \sqrt{( - 310)^{2} + ( - 200)^{2} + 3600^{2}} \approx 3618,9 < R.

    Do đó, điểm B nằm phía trong mặt cầu đó.

    c) Sai

    Với C(541\ ;\ 137\ ;\ - 690), ta có: IC = \sqrt{521^{2} + 102^{2} + ( - 750)^{2}} \approx 918,9 < R.

    Do đó, nếu người đi biển đứng ở vị trí C(541\ ;\ 137\ ;\ - 690) thì vẫn nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng.

    d) Sai

    Gọi M(x\ ;\ \ y\ ;\ \ z) là điểm cuối cùng trên đoạn thẳng ID mà người đi biển vẫn còn nhìn thấy ánh sáng của ngon hải đăng.

    Khi đó, IM = R = 4000m.

    Ta có: ID = \sqrt{4000^{2} + 0^{2} + 3000^{2}} = 5000m.

    \overrightarrow{IM} = (x - 20; y -35; z - 60); \overrightarrow{ID} = (4000; 0;3000).

    Vì M thuộc đoạn thẳng ID và \frac{IM}{ID} = \frac{4000}{5000} = \frac{4}{5} nên \overrightarrow{IM} = \frac{4}{5}\overrightarrow{ID}.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 20 = \dfrac{4}{5}.4000 \\y - 35 = \dfrac{4}{5}.0 \\z - 60 = \dfrac{4}{5}.3000\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3220 \\y = 35 \\z = 2460\end{matrix} \right.\Rightarrow M(3220 ;35 ;2460).

  • Câu 14: Thông hiểu
    Xác định số phần bằng nhau

    Cho hình hợp chữ nhật ABCD.EFGH có A(0,0,0);\ \ \ B(4,0,0);\ \ \ D(0,6,0);\ \ \ E(0,0,2). Ba mặt phẳng: x - 2z = 0;\ \ y - 3 = 0;\ \ \ x + 2z - 4 = 0 chia hình hộp chữ nhật thanh mấy phần bằng nhau?

    Hướng dẫn:

    Hai mặt phẳng: x - 2z và x + 2z- 4 = 0 chia hình hộp chữ nhật thành 4 phần bằng nhau.

    Mặt phẳng y - 3 = 0 cắt 4 phần trên thành 8 phần bằng nhau. (Học sinh tự vẽ hình).

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tính độ dài đoạn thẳng MN

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho đường thẳng d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{4} và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 2. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi M và N là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Từ (S) Tâm I(1;2;1) và bán kính R = \sqrt{2}

    Từ d Vectơ \overrightarrow{u} = (2; - 1;4)

    Hạ \overrightarrow{u} = (2; - 1;4) \Rightarrow H(2 + 2t; - t;4t)

    \Rightarrow \overrightarrow{IH}.\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow (2t + 1).2 + ( - 1).( - 2 - t) + (4t - 1).4 = 0

    \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow H(2;0;0)

    Xét tam giác \Delta IHM vuông tại M ta có:

    MH^{2} = IH^{2} - IM^{2} = 62 = 4 \Rightarrow MH = 2.

    Ta có \frac{1}{MK^{2}} = \frac{1}{MH^{2}} + \frac{1}{MI^{2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow MK = \frac{2}{\sqrt{3}}.

    \Rightarrow MN = 2MK = \frac{4}{\sqrt{3}}.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3),B(6;5;5). Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rẳng (P):2x + by + cz + d = 0 với b;c;d\mathbb{\in Z}. Tính S = b +c + d.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{AB} = (4;4;2) = 2(2;2;1), \overrightarrow{AB} là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2x + 2y + z + d = 0.

    Gọi I là tâm mặt cầu thì I là trung điểm của AB suy ra I(4;3;4), bán kính mặt cầu R = \frac{AB}{2} = 3.

    Đặt IH = x suy ra HK = \sqrt{R^{2} - x^{2}} = \sqrt{9 - x^{2}}.

    Thể tích khối nón

    V = \frac{1}{3}IH.\pi.HK^{2} = \frac{1}{3}.\pi.\left( 9 - x^{2} \right)(3 + x)

    = \frac{1}{6}.\pi.(6 - 2x)(3 + x)(3 + x) \leq \frac{1}{6}.\pi\left( \frac{6 + 3 + 3}{3} \right)^{3}.

    Dấu bằng xảy ra khi 6 - 2x = 3 + x \Leftrightarrow x = 1.

    Ta có hệ: \left\{ \begin{matrix}d\left( A;(P) \right) = 4 \\d\left( I;(P) \right) = 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{|d + 9|}{3} = 4 \\\frac{|d + 18|}{3} = 1\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} d = 3 \hfill \\ d = - 21 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left[ \begin{gathered} d = - 21 \hfill \\ d = - 15 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow d = - 21

    Vậy (P):2x + 2y + z -21 =0.

    Suy ra: b + c + d = - 18.

  • Câu 17: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = t \\ z = 4 \\ \end{matrix} \right.và d':\left\{ \begin{matrix} x = t^{'} \\ y = 3 - t' \\ z = 0 \\ \end{matrix} \right.. Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và d’ là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A(2t;t;4) \in d;B(t';3 -t';0) \in d'

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (t' - 2t;3 - t' - t; - 4),\overrightarrow{u_{d}} = (2;1;0),\ \overrightarrow{u_{d'}} = (1; - 1;0)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d}} = 0 \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d'}} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 1 \Rightarrow A(2;1;4) \\ t' = 2 \Rightarrow B(2;1;0) \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow I(2;1;2) và R = 2 \Rightarrow (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 4.

  • Câu 18: Vận dụng
    Xác định các tham số m thỏa mãn yêu cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 2) và B(5; 7; 0). Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2my - 2(m + 1)z + m^{2} + 2m + 8 = 0 là phương trình của một mặt cầu (S) sao cho qua hai điểm A, B có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu (S) đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2my - 2(m + 1)z + m^{2} + 2m + 8 = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + m)^{2} + (z - m - 1)^{2} = m^{2} - 3(*)

    Suy ra (*) là phương trình mặt cầu

    \Leftrightarrow m^{2} - 3 > 0 \Leftrightarrow |m| > \sqrt{3}

    Khi đó, mặt cầu (S) có tâm I(2; −m; m + 1) và bán kính R = \sqrt{m^{2} - 3}

    Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, B.

    Theo giả thiết (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 1.

    Mặt khác, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là d = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{m^{2} - 4};\left( m^{2} - 4 \geq 0 ight)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (2;6; - 2) suy ra \overrightarrow{u} = (1;3; - 1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

    Suy ra đường thẳng AB là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Để có duy nhất mặt phẳng (P) thỏa mãn bài thì

    TH1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm I và I otin AB

    Ta có I ∈ (P) ⇔ d = 0 ⇔ m^2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2.

    + Với m = 2 ⇒ I(2; −2; 3) ∈ AB ⇒ m = 2 (loại).

    + Với m = −2 ⇒ I(2;2; - 1) otin AB⇒ m = −2 (thỏa mãn).

    TH2. Mặt phẳng (P) cách I một khoảng lớn nhất ⇔ d lớn nhất ⇔ d = d(I, AB). (*)

    \overrightarrow{IA} = (1;1 + m;1 - m)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 4 + 2m;2 - m;2 - m)

    \Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack ight| = |2 - m|\sqrt{6};\left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{11}

    Khi đó d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{|2 - m|\sqrt{6}}{\sqrt{11}}

    (*) \Leftrightarrow \sqrt{m^{2} - 4} = \frac{|2 - m|\sqrt{6}}{\sqrt{11}}

    \Leftrightarrow 5m^{2} + 24m - 68 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 2(ktm) \\m = - \dfrac{34}{5}(tm) \\\end{matrix} ight.

    Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 13}{- 1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{4} và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 67 = 0. Qua d dựng các mặt phẳng tiếp xúc với (S) lần lượt tại T_{1};T_{2}. Viết phương trình đường thẳng T_{1}T_{2}.

    Hướng dẫn:

    Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R = 3.

    Đường thẳng d đi qua điểm A(13; - 1;0), có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}( - 1;1;4).

    Mặt phẳng (P) chứa d có dạng (P):A(x - 13) + B(y + 1) + Cz = 0 ,\left( A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0 \right)

    Do d \subset (P) nên ta có - 1.A + 1.B + 4.C = 0 \Leftrightarrow B = A - 4C.

    Ta có điều kiện tiếp xúc: R = d\left( I;(P) \right) \Leftrightarrow 9 = \frac{| - 12A + 3B + 3C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

    \Leftrightarrow 9 = \frac{|9A + 9C|}{\sqrt{2A^{2} + 17B^{2} - 8AC^{2}}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A = 2C \\ A = 8C \end{matrix} \right.

    Suy ra hai mặt phẳng tiếp diện là \left( P_{1} \right):2x - 2y + z - 28 = 0, \left( P_{2} \right):8x + 4y + z - 100 = 0.

    Suy ra tọa độ các tiếp điểm T_{1}(7; - 4;6),T_{2}(9;6;4) \Rightarrow T_{1}T_{2}:\frac{x - 7}{1} = \frac{y + 4}{5} = \frac{z - 6}{- 1}

  • Câu 20: Vận dụng
    Tìm phương trình mặt phẳng (P)

    Cho hai điểm M(1; 0; 4) , N(1;1;2) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 2 = 0. Mặt phẳng (P) qua M, N và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:

    Hướng dẫn:

    Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; - 1;0) và bán kính R = 2, \overrightarrow{MN} = (0;1; - 2)

    Gọi \overrightarrow{n} = (A,B,C)với A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

    Vì (P) qua M, N nên \overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{MN} \Leftrightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{MN} = 0 \Leftrightarrow B - 2C = 0\ \ (1)

    Mặt phẳng (P) qua M(1 ; 0; 4) và nhận \overrightarrow{n} = (A,B,C) là vectơ pháp tuyến nên có phương trình

    A(x - 1) + B(y - 0) + C(z - 4) = 0\Leftrightarrow Ax + By + Cz - A - 4C = 0.

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)

    \Leftrightarrow d\left( I;(P) \right) = R \Leftrightarrow \frac{|1.A - 1.B + 0.C - A - 4C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = 2

    \Leftrightarrow |B + 4C| = 2\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}(2)

    Từ (1) và (2) \Rightarrow A^{2} - 4C^{2} = 0 (*)

    Trong (*), nếu C = 0 thì A = 0, và từ (1) suy ra B = 0 (vô lí). Do vậy C \neq 0.

    Chọn C = 1 \Rightarrow A = \pm 2.

    Với A = 2,\ C = 1, ta có B = 2. Khi đó (P):2x + 2y + z - 6 = 0.

    Với A = - 2,\ C = 1, ta có B = 2. Khi đó (P):2x - 2y - z + 2 = 0.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P):2x + 2y + z - 6 = 0 hoặc (P):2x - 2y - z + 2 = 0.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
15 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm