Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 89.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình mặt cầu (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9  tâm I và mặt phẳng (P):2x+2y-z+24=0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M.

    Hướng dẫn:

     Ta có tâm I(1;2;3)  và bán kính R=3. Do d(I;(P))=9>R  nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) . Do H là hình chiếu của I lên (P) và MH lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mp (P) .

    \overrightarrow {IH} =\vec n_{(P)}=(2;2;-1).

    Phương trình đường thẳng IH là \left\{\begin{matrix} x=1+2t \\ y=2+2t \\ z=3-t \end{matrix}ight..

    Giao điểm của IH với (S): 9t^2=9 \Leftrightarrow t=\pm 1 \Rightarrow M_1 (3;4;2) \mbox{ và } M_2 (-1;0;4)

    Suy ra:

    M_1H=d(M_1;(P))=12;

    M_2H=d(M_2;(P))=6.

    Vậy điểm cần tìm là M(3;4;2).

  • Câu 2: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Cho mặt phẳng (P):x - 2y - 2z + 10 =0 và hai đường thẳng \Delta_{1}:\ \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}, \ \Delta_{2}:\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{4}. Mặt cầu (S) có tâm thuộc \Delta_{1}, tiếp xúc với \Delta_{2} và mặt phẳng (P), có phương trình:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right.; \Delta_{2} đi qua điểm A(2;0; - 3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{2}} = (1;1;4).

    Giả sử I(2 + t;t;1 - t) \in \Delta_{1} là tâm và R là bán kính của mặt cầu (S).

    Ta có: \overrightarrow{AI} = (t;t;4 - t) \left\lbrack \overrightarrow{AI},\overrightarrow{a_{2}} \right\rbrack = (5t - 4;4 - 5t;0)

    d\left( I;\Delta_{2} \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AI},\overrightarrow{a_{2}} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{a_{2}} \right|} = \frac{|5t - 4|}{3}

    d(I,(P)) = \frac{\left| 2 + t - 2t - 2(1 - t) + 10 \right|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|t + 10|}{3}.

    (S) tiếp xúc với \Delta_{2} và (P) d(I,\Delta_{2}) = d(I,(P)) |5t - 4| = |t + 10| \left\lbrack \begin{matrix} t = \frac{7}{2} \\ t = - 1 \\ \end{matrix} \right..

    Với t = \frac{7}{2} I\left( \frac{11}{2};\frac{7}{2}; - \frac{5}{2} \right), R = \frac{9}{2} (S):\left( x - \frac{11}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{7}{2} \right)^{2} + \left( z + \frac{5}{2} \right)^{2} = \frac{81}{4}.

    Với t = - 1 I(1; - 1;2),\ R = 3 (S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 9.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm tập hợp các điểm M

    Cho mặt cầu (S): {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A\left( { - 6, - 1,3} ight). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động qua (d). Tìm tập hợp các điểm M.

    (Có thể chọn nhiều đáp án)

    Hướng dẫn:

     Theo đề bài, (S) có tâm I\left( {2, - 3,1} ight).\,\overrightarrow {IM} = \left( {x - 2,y + 3,z + 1} ight);\,\,\overrightarrow {AM} = \left( {x + 6,y + 1,z - 3} ight)

    Ta có:

    \begin{array}{l}\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2} ight)\left( {x + 6} ight) + \left( {y + 3} ight)\left( {y + 1} ight) + \left( {z + 1} ight)\left( {z - 3} ight) = 0\\ \Rightarrow M \in \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 4y - 3z - 12 = 0;\,\,M \in \left( S ight)\end{array}

    \Rightarrow M \in  đường tròn  \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0\\4x - y - 2z - 5 = 0\end{array} ight.

    Hay \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 4y - 2z - 12 = 0\\4x - y - 2z - 5 = 0\end{array} ight.

  • Câu 4: Vận dụng
    Xác định phương trình mặt cầu

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG}trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( S_{3} \right) tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương.

    Hướng dẫn:

    \left( S_{2} \right) tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương tại trung điểm của mỗi cạnh. Tâm I\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) là trung điểm của 6 đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đôi một có độ dài bằng \sqrt{2}

    Bán kính R_{3} =\frac{\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow \left( S_{2} \right):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left( S_{3} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{4} = 0

  • Câu 5: Thông hiểu
    Xác định điểm không thuộc mặt cầu

    Gọi (S) là mặt cầu có tâm I(1; - 3;0) và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều. Điểm nào sau đây không thuộc mặt cầu (S):

    Hướng dẫn:

    Gọi H là hình chiếu của I(1; - 3;0) trên Ox

    \Rightarrow H(1;0;0) \Rightarrow IH = d(I;Ox) = 3

    \Rightarrow IH = R.\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow R = \frac{2IH}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}

    Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + z^{2} = 12 \mathbf{\Rightarrow}\left( \mathbf{2;}\mathbf{-}\mathbf{1;1} \right)\mathbf{\notin}\left( \mathbf{S} \right)\mathbf{.}

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt cầu (S_1): (x+3)^2+(y−2)^2+(z−4)^2 = 1, (S_2): x ^2 + (y − 2)^2 + (z − 4)^2 = 4, (S_3): x ^2 + y ^2 + z ^2 + 4x − 4y − 1 = 0. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu (S_1), (S_2), (S_3)?

    Hướng dẫn:

    Ta có \left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight) có tâm lần lượt là I_{1}( - 3;2;4),I_{2}(0;2;4),I_{3}( -2;2;0) và bán kính lần lượt là R_{1} = 1,R_{2} = 2,R_{3} = 3.

    Gọi (P):ax + by + cz + d = 0\left( a^{2} +b^{2} + c^{2} eq 0 ight) là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu nói trên. Khi đó:

    \left\{ \begin{matrix}d\left( I_{1};(P) ight) = R_{1} \\d\left( I_{2};(P) ight) = R_{2} \\d\left( I_{3};(P) ight) = R_{3} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}| - 3a + 2b + 4c + d| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\| - 2a + 2b + d| = 3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c + d| \\3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b + d| \\\end{matrix} ight.

    Xét phương trình

    3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b +d|

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3(2b + 4c + d) = 2( - 2a + 2b + d) \\3(2b + 4c + d) = - 2( - 2a + 2b + d) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}d = - 4a - 2b - 12c \\5d = 4a - 10b - 12c \\\end{matrix} ight.

    (1) Với d = - 4a - 2b - 12c. Thay vào 2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c +d|, ta được

    2| - 7a - 8c| = | - 4a -8c|

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}7a + 8c = 2a + 4c \\7a + 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = - \dfrac{6c}{5} \\a = - \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Với a = - \frac{6c}{5} \Rightarrow d = -\frac{36c}{5} - 2b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được:

    \left| \frac{18c}{5} + 2b + 4c -\frac{36c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{6c}{5} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow \left| \frac{2c}{5}ight| = \frac{1}{5} \cdot \sqrt{25b^{2} + 61c^{2}} \Leftrightarrow4c^{2} = 25b^{2} + 61c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0 (vô lí).

    Với a = - \frac{4c}{3} \Rightarrow d = -\frac{20c}{3} - 2b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được:

    \left| \frac{12c}{5} + 2b + 4c -\frac{20c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{4c}{3} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow \left| \frac{4c}{3}ight| = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9b^{2} + 25c^{2}}

    \Leftrightarrow 16c^{2} = 9b^{2} +25c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0 (vô lí).

    (2) Với 5d = 4a - 10b - 12c.

    Thay vào 2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b +4c + d|, ta được

    2| - 11a + 8c| = |4a + 8c

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}11a - 8c = 2a + 4c \\11a - 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{4c}{13} \\a = \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Với a = \frac{4c}{13} \Rightarrow 5d = -\frac{140c}{13} - 10b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được

    \left| \frac{60c}{13} ight| =\frac{5}{13} \cdot \sqrt{169b^{2} + 185c^{2}}

    \Leftrightarrow 11c^{2} = 169b^{2}\Leftrightarrow c = \pm \frac{13b}{\sqrt{11}}

    Với c = \frac{13b}{\sqrt{11}} : chọn b = \sqrt{11} \Rightarrow c = 13\Rightarrow Tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu \left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight).

    Với a = \frac{4c}{3} \Rightarrow 5d = -\frac{20c}{3} - 10b

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} ta được:

    \left| \frac{20c}{3} ight| =\frac{5}{3}.\sqrt{9b^{2} + 25c^{2}} \Leftrightarrow 9b^{2} + 9c^{2} = 0\Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 ⇒ a = 0, d = 0 (vô lí).

    Vậy tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu \left( S_{1} ight),\left( S_{2} ight),\left(S_{3} ight).

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Định phương trình mặt cầu

    Cho điểm A(2;\ 5;\ 1) và mặt phẳng (P):6x + 3y - 2z + 24 = 0, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784\pi và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

    Suy ra d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 6t \\ y = 5 + 3t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} \right.

    Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) nên H = d \cap (P).

    Vì H \in d nên H(2 + 6t;5 + 3t;1 - 2t).

    Mặt khác, H\in(P) nên ta có:

    6(2 + 6t) + 3(5 + 3t) - 2(1 - 2t) + 24 = 0 \Leftrightarrow t = - 1

    Do đó, H( - 4;\ 2;\ 3).

    Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.

    Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784\pi, suy ra 4\pi R^{2} = 784\pi \Rightarrow R = 14.

    Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên IH\bot(P) \Rightarrow I \in d.

    Do đó tọa độ điểm I có dạng I(2 + 6t;5 + 3t;1 - 2t), với t \neq - 1.

    Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:\left\{ \begin{matrix} d(I,(P)) = 14 \\ AI < 14 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{\left| 6(2 + 6t) + 3(5 + 3t) - 2(1 - 2t) + 24 \right|}{\sqrt{6^{2} + 3^{2} + ( - 2)^{2}}} = 14 \\ \sqrt{(6t)^{2} + (3t)^{2} + ( - 2t)^{2}} < 14 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = - 3 \\ \end{matrix} \right.\ \\ - 2 < t < 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow t = 1

    Do đó: I(8 ; 8 ; - 1).

    Vậy phương trình mặt cầu (S):(x - 8)^{2} + (y - 8)^{2} + (z + 1)^{2} = 196.

  • Câu 8: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính 70km. Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1km. Một máy bay trực thăng đang ở vị trí A( - 65; - 25;30) bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi 200km/h, quỹ đạo bay theo đường thẳng.

    a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900. Đúng||Sai

    b) [TH] Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

    c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng d có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.. Đúng||Sai

    d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là 35 phút. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính 70km. Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1km. Một máy bay trực thăng đang ở vị trí A( - 65; - 25;30) bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi 200km/h, quỹ đạo bay theo đường thẳng.

    a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900. Đúng||Sai

    b) [TH] Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

    c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng d có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.. Đúng||Sai

    d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là 35 phút. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Vùng kiểm không lưu của của đài kiểm soát trên là tập hợp những điểm cách tâm O(0;\ \ 0;\ \ 0) không quá 70km.

    Hay tập hợp các điểm ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 70^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900.

    Suy ra mệnh đề đúng

    b) Ta có OA = \sqrt{( - 65)^{2} + ( - 25)^{2} + 30^{2}} \approx 75,8km

    Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì cách đài kiểm soát không lưu của sân bay một khoảng d \approx 75,8km > 70km

    Vậy đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay.

    Suy ra mệnh đề sai

    c) Từ thông tin của hệ trục và máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, quỹ đạo bay theo đường thẳng. Nên đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 1;\ 0). Đường thẳng d đi qua điểm A( - 65; - 25;30) nên có phương trình tham số: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra mệnh đề đúng

    d) Thay x,\ y,\ z theo t vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình:

    ( - 65 + t)^{2} + ( - 25 + t)^{2} + 30^{2} = 4900 \Leftrightarrow 2t^{2} - 180t + 850 = 0 \Leftrightarrow t = 5 hoặc t = 85

    Thay t = 5 vào phương trình của đường thẳng d ta được M( - 60; - 20;30).

    Thay t = 85 vào phương trình của đường thẳng d ta được N(20;60;30).

    Suy ra đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M( - 60; - 20;30) và N(20;60;30).

    Hay độ dài đoạn MN là khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay di chuyển trong phạm vi theo dõi của đài kiểm soát không lưu.

    MN = \sqrt{(60 + 20)^{2} + (20 + 60)^{2}} = 80\sqrt{2}km

    Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là thời gian máy bay di chuyển được quảng đường 80\sqrt{2}km.

    Thời gian đó bằng \frac{80\sqrt{2}}{200}.60 \approx 33,94 phút.

    Suy ra mệnh đề sai

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng

    Cho mặt cầu (S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0 và điểm A( - 6, - 1,3). Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động (d) qua A. Gọi (P) là tiếp điểm của (S) tại M và (Q) là mặt phẳng qua M cắt hình cầu (S) theo hình trơn (C) có diện tích bằng \frac{1}{2} diện tích hình trơn lớn của (S). Tính góc tạo bởi (P) và (Q).

    Hướng dẫn:

    Diện tích thiết diện r^{2}\pi = \frac{\pi R^{2}}{2}

    \Leftrightarrow \left( R^{2} - IH^{2} \right)\pi = \frac{\pi R^{2}}{2} \Leftrightarrow IH = \frac{R\sqrt{2}}{2}

    \overrightarrow{IM}\bot(P);\ \ \overrightarrow{IH}\bot(Q) \Rightarrow \overrightarrow{MIH} = \alpha

    Là góc tạ bởi (P) và (Q)

    \Rightarrow \cos\alpha = \frac{IH}{IM} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 45^{o}

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thuộc mặt cầu (S):(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 và ba điểm A(1;0;0),B(2;1;3),C(0;2; - 3). Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn MA^{2} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = 8 là đường tròn cố định, tính bán kính đường tròn này.

    Hướng dẫn:

    (S) có tâm I(3;3;2) bán kính R_{1} = 3.

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó tọa độ G(1;1;0).

    \overrightarrow{GA} = (0; - 1;0);\overrightarrow{GB} = (1;0;3);\overrightarrow{GC} = ( - 1;1; - 3).

    MA^{2} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = 8

    \Leftrightarrow 3MG^{2} + GA^{2} + 2\overrightarrow{MB}\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} \right) + 2\overrightarrow{GB}\overrightarrow{GC} = 8

    \Leftrightarrow 3MG^{2} + 1 - 20 = 8 \Leftrightarrow MG = 3.

    Do đó, M nằm trên mặt cầu \left( S_{1} \right) tâm G bán kính R_{2} = 3 có phương trình (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 9.

    Vì IG = 2\sqrt{3} < R_{1} + R_{2} nên hai mặt cầu cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn tâm H, bán kính r, nằm trên mặt phẳng x + y + z - 5 = 0.

    Từ đó suy ra r = \sqrt{R^{2} -d^2\left( I;(P) \right)} = \sqrt{6}.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho phương trìnhx^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (\alpha), biết (\alpha) song song với mặt phẳng (P):2x + y - 2z + 11 = 0 và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi 8\pi?

    Hướng dẫn:

    Vì (α) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng 2x + y - 2z + c = 0

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.

    Đường tròn lớn có chu vi là 8\pi nên bán kính của (S) là \frac{8\pi}{2\pi} = 4

    Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3

    Từ đó ta có:

    d\left( I;(P) ight) = \frac{|2.1 + 2 - 2.3 + c|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3

    \Leftrightarrow | - 2 + c| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 11 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.

    Vì (α) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) là 2x + y - 2z - 7 = 0

  • Câu 12: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Cho x,y,z,\ a,b,c là các số thực thay đổi thỏa mãn (x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1 và a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP = (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2}.

    Hướng dẫn:

    Cách 2. Quỹ tích - Vị trí tương đối.

    Trong không gian Oxyz, xét M(x\ ;\ y\ ;\ z) \in (S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1 và điểm N(a\ ;\ b\ ;\ c) \in (\alpha):x + y + z - 3 = 0.

    Khi đó P = (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = NM^{2}.

    Gọi I( - 1\ ;\ - 1\ ;\ 2) là tâm mặt cầu, ta có d\left( I,(\alpha) \right) = \sqrt{3} > R = 1, suy ra \min MN = \sqrt{3} - 1 và do đó \min P = \left( \sqrt{3} - 1 \right)^{2} = 4 - 2\sqrt{3}.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Chọn phương án thích hợp

    Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(4,2, - 1) nhận đường thẳng (D): \frac{x - 2}{2} = y + 1 = \frac{z - 1}{2} làm tiếp tuyến.

    Hướng dẫn:

    (D) qua A(2, - 1,1) có vecto chỉ phương \overrightarrow{a} = (2,1,2) \Rightarrow \left| \overrightarrow{a} \right| = 3

    \overrightarrow{AI} = (2,3, - 2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{AI} \right\rbrack = ( - 8,8,4) \Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{AI} \right\rbrack \right| = 12

    \Rightarrow r = d(I,D) = \frac{12}{3} = 4

    \Rightarrow (S):(x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 16

  • Câu 14: Vận dụng
    Xác định phương trình mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1; - 1;4) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ?

    Hướng dẫn:

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu (S). Mặt cầu (S) tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên:

    d\left( I;(Oxy) ight) = d\left( I;(Oyz) ight) = d\left( I;(Ozx) ight)

    \Leftrightarrow |a| = |b| = |c| = R(*)

    Mặt cầu đi qua điểm A(1; - 1;4)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} IA = R \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} IA^{2} = R^{2} \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + ( - a + 1)^{2} + (a - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a^{2} - 12a + 18 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} - 6a + 9 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = c = 3 \\ b = - 3 \\ R = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (S):(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 9

  • Câu 15: Vận dụng
    Xác định phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Viết phương trình mặt cầu \left( S_{3} \right) ngoại tiếp tứ diện.

    Hướng dẫn:

    Tứ diện ABCD đều \Rightarrow \left( S_{3} \right) có tâm E(2,2,2)

    Bán kính R_{3}^{2} = EA^{2} = (1 - 2)^{2} + (1 - 2)^{2} + (1 - 2)^{2} = 3

    \Rightarrow \left( S_{3} \right) = (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 3

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tìm maxT

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(3;\ - 1;\ 2), B(1;\ 1;\ 2), C(1;\ - 1;\ 4), đường tròn (C) là giao của mặt phẳng (P):\ x + y + z - 4 = 0 và mặt cầu (S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 6z + 10 = 0. Hỏi có bao nhiêu điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho T = MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất?

    Hướng dẫn:

    Kiểm tra được ba điểm A, B, C đều thuộc mặt phẳng (P) và đều thuộc mặt cầu (S) hay chúng đều thuộc đường tròn (C) tâm K, bán kính r.

    Mặt khác ta có AB = BC = CA = 2\sqrt{2} hay tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn (C).

    Giả sử điểm M thuộc cung BC, đặt \widehat{MAC} = \alpha \Rightarrow \widehat{MAB} = 60^{o} - \alpha, ta có:

    MB + MC = 2r\sin\left( 60^{o} - \alpha \right) + 2r\sin\alpha

    \Rightarrow T \leq DA + 2r\sin\left( 60^{o} - \alpha \right) + 2r\sin\alpha

    Hay T \leq 2r\left\lbrack 1 + \sin\left( 60^{o} - \alpha \right) + \sin\alpha \right\rbrack = 2r\left\lbrack 1 + 2sin\left( 30^{o} \right)cos(30^{o} - \alpha) \right\rbrack

    T \leq 2r\left\lbrack 1 + \cos\left( 30^{o} - \alpha \right) \right\rbrack \leq 4r \Rightarrow \max T = 4r

    \Leftrightarrow \alpha = 30^{o} \Leftrightarrow M \equiv D là trung điểm cung BC.

    Tương tự ta có thêm hai trường hợp trên hai cung còn lại.

  • Câu 17: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian cho đường tròn (C):\left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 12x + 4y - 6z + 24 = 0 \\ 2x + 2y + z + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.

    Bán kính r của đường tròn (C) bằng:

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S)chứa (C) có tâm I(6, - 2,3) và R = 5 .

    Khoảng cách từ I đến mặt phẳng thiết diện là:

    h = \frac{\left| 2.6 + 2.( - 2) + 3 + 1 \right|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 4

    \Rightarrow r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} = \sqrt{25 - 16} = 3.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Lập phương trình mặt phẳng (P)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0, mặt phẳng (\alpha):x + 4y + z - 11 = 0. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (\alpha), (P) song song với giá của vectơ \overrightarrow{v} = (1;6;2) và (P) tiếp xúc với (S). Lập phương trình mặt phẳng (P).

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R\ = \ 4.

    Từ giả thiết suy ra \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack = (2; - 1;2), suy ra (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2; - 1;2)

    Vậy (P) có phương trình dạng 2x - y + 2z + m = 0

    Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2.1 + 3 + 2.2 + m|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4

    \Leftrightarrow |9 + m| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - 21 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là \left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 3 = 0 \\ 2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 19: Vận dụng
    Tìm phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG} trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( S_{1} \right) ngoại tiếp hình lập phương.

    Hướng dẫn:

    \left( S_{1} \right) có tâm I là trung điểm chung của 4 đường chéo: I\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right), bán kính R_{1} = \frac{1}{2}OE = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \left( S_{1} \right):\left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{3}{4}

    \Rightarrow \left( S_{1} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z = 0

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tìm giá trị của m thỏa mãn điều kiện

    Trong không gian tọa độ Oxyzcho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 6y + m = 0 và đường thẳng \Delta là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + 2y - 2z - 4 = 0 và (\beta):2x - 2y - z + 1 = 0. Đường thẳng \Delta cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn AB = 8 khi:

    Hướng dẫn:

    Ta có \left\{ \begin{matrix} x + 2y - 2z - 4 = 0 \\ 2x - 2y - z + 1 = 0 \end{matrix} \right..

    Phương trình tham số của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 2t \\ y = t \\ z = - 3 + 2t \end{matrix} \right..

    A \in (\Delta) \Rightarrow A( - 2 + 2t;t; - 3 + 2t).

    A \in (S) \Rightarrow ( - 2 + 2t)^{2} + t^{2} + ( - 3 + 2t)^{2} + 4( - 2 + 2t) - 6t + m = 0 (*).

    (*) \Leftrightarrow 9t^{2} - 18t + 5 + m = 0.

    Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi \Delta' = 36 - 9m > 0 \Leftrightarrow m < 4.

    Khi đó A\left( - 2 + 2t_{1};t_{1}; - 3 + 2t_{1} \right),B\left( - 2 + 2t_{2};t_{2}; - 3 + 2t_{2} \right).

    t_{1} + t_{1} = 2,t_{1}t_{2} = \frac{5 + m}{9}.

    AB = 8 \Leftrightarrow AB^{2} = 64.

    Suy ra 9\left( t_{2} - t_{1}\right)^{2} = 64 \Leftrightarrow 9\left\lbrack \left( t_{1} + t_{2}\right)^2- 4t_{1}t_{2} \right\rbrack = 64

    \Rightarrow 9.\left\lbrack 2^2 -4\left( \frac{5 + m}{9} \right) \right\rbrack = 64 \Leftrightarrow m = -12.

    Cách 2:

    Mặt cầu (S) có tâm I( - 2;3;0), R = \sqrt{13 - m}, m < 13.

    Đường thẳng (\Delta) qua M_{0}( - 2;0; - 3), có VTCP \overrightarrow{u} = (2;1;2)

    d = d\left( I;(\Delta) \right) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{IM_{0}};\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = 3

    Yêu cầu đề bài tương đương R^{2} = \frac{AB^{2}}{4} + d^{2} \Leftrightarrow 13 - m = 16 + 9 \Leftrightarrow m = - 12\ (n).

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
54 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này