Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 89.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình mặt cầu (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Xác định số mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(3;7;1),B(8;3;8) và C(3;3;0). Gọi \left( S_{1} \right) là mặt cầu tâm A bán kính bằng 3 và \left( S_{2} \right) là mặt cầu tâm B bán kính bằng 6. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đi qua C và tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt cầu \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right)?

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt phẳng qua C có dạng (P):m(x - 3) + n(y - 3) + pz = 0,m^{2} + n^{2} + p^{2} > 0.

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc \left( S_{1} \right) ta có |4n + p| = 3\sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}} (1)

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc \left( S_{2} \right) ta có |5m + 8p| = 6\sqrt{m^{2} + n^{2} + p^{2}} (2)

    Từ đây ta có phương trình |5m + 8p| = 2|4n + p| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 5m = 8n - 6p\ \ \ (3) \\ 5m = - 8n - 10p\ \ \ (4) \end{matrix} \right.

    Từ (1), (3) ta có:

    (4n + p)^{2} = 9\left\lbrack \left( \frac{8n - 6p}{5} \right)^{2} + n^{2} + p^{2} \right\rbrack

    \Leftrightarrow 401n^{2} - 1064np + 524p^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 2p \\ n = \frac{262}{401}p \end{matrix} \right.

    Trường hợp này ta tìm được hai mặt phẳng:

    \left( P_{1} \right):2x + 2y + z - 12 = 0

    \left( P_{2} \right):62x - 262y - 101z + 600 = 0

    Từ (1); (4) ta có:

    (4n + p)^{2} = 9\left\lbrack \left( \frac{8n + 10p}{5} \right)^{2} + n^{2} + p^{2} \right\rbrack

    \Leftrightarrow 401n^{2} + 1240np + 1100p^{2} = 0 \Leftrightarrow n = p = 0

    Trường hợp này không có mặt phẳng nào.

  • Câu 2: Vận dụng
    Viết phương trình mặt cầu

    Cho mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z - 2 = 0 và mặt phẳng \left( P ight):3x + 2y + 6z + 1 = 0. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Viết phương trình mặt cầu (S') chứa (C) và điểm M(1,-2,1)

    Hướng dẫn:

     Phương trình của \left( {S'} ight):\left( S ight) + m\left( P ight) = 0,\,\,m e 0

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z - 2 + m\left( {3x + 2y + 6z + 1} ight) = 0

    (S') qua M\left( {1, - 2,1} ight) \Rightarrow 6m + 18 = 0 \Leftrightarrow m = - 3

    \Rightarrow \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 5x - 8y - 12z - 5 = 0

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

    Cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4z - 4 = 0 và ba điểmA(1,2, - 2);B( - 4,2,3);C(1, - 3,3) nằm trên mặt cầu (S). Bán kính r của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    h = \frac{|1 + 5.0 - 2 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 5^{2} + ( - 1)^{2}}} = \sqrt{3}

    \Rightarrow r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}.

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 4z = 0 và điểmM(1;2; - 1). Một đường thẳng thay đổi qua M cắt (S) tại hai điểm A; B. Tìm giá trị lớn nhất của tổng MA + MB.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 2; - 2) và bán kính R = 3. Trong khi IM = \sqrt{17} > 3 nên M nằm ngoài hình cầu (S).

    Gọi H là trung điểm của AB, có M nằm trên đường AB và nằm ngoài đoạn AB nên có MA + MB = 2MH.

    Mặt khác, tam giác IHM vuông tại H nên HM \leq MI. Vậy MA + MB \leq 2\sqrt{17}.

    Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng qua M và tâm I của mặt cầu, tức AB lúc này là đường kính của mặt cầu.

    Vậy giá trị lớn nhất của tổng MA + MB là 2\sqrt{17}.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tìm giá trị tham số m theo yêu cầu

    Với giá trị nào của m thì mặt phẳng (Q):x + y + z + 3 = 0 cắt mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2(m + 1)x + 2my - 2mz + 2m^{2} + 9 = 0?

    Hướng dẫn:

    a = m + 1;b = - m;c = m;d = 2m^{2} + 9. Tâm I(m + 1, - m,m)

    \Rightarrow R^{2} = (m + 1)^{2} + m^{2} + m^{2} - 2m^{2} - 9 = m^{2} + 2m - 8 > 0

    \Rightarrow m < - 4 \vee m > 2. (P) cắt (S) khi:

    d(I,P) < R \Leftrightarrow \frac{|m + 4|}{\sqrt{3}} < \sqrt{m^{2} + 2m - 8}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < - 4 \\ m > 5 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng (P):x+y+2z-13=0. Xét các mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức T=a^2+2b^2+3c^2 khi (S) có bán kính nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

     Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có IA + IH =2R nên R nhỏ nhất khi I, A, H thẳng hàng và I là trung điểm của AH.

    Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{matrix}ight.

    Tọa độ H là nghiệm (x;y;z) của hệ:

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \\ x+y+2z-13=0 \end{matrix}ight.

    \Rightarrow H(3;4;3)\Rightarrow I(2;3;1)

    Suy ra, ta có: T=a^2+2b^2+3c^2 =2^2+2.3^2+3.1^2=25

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Tính bán kính mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6), điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC), N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON = 12. Biết khi M thay đổi thì điểm N luôn nằm trên mặt cầu cố định. Tính bán kính mặt cầu đó

    Hướng dẫn:

    Giả sử N(x;y;z) \Rightarrow ON = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}.

    Do O, M, N thẳng hàng và N thuộc tia ON nên suy ra:

    OM.ON = 12 \Leftrightarrow\overrightarrow{OM} = \frac{12}{x^{2} + y^{2} +z^2}.\overrightarrow{ON}

    Do N \in (ABC) \Rightarrow 6x + 3y + 2z = x^{2} + y^{2} + z^{2}

    \Leftrightarrow (x - 3)^{2} + \left( y -\frac{3}{2} \right)^2 + (z - 1)^{2} = \frac{49}{4}

    Vậy N thuộc mặt cầu cố định bán kính R = \frac{7}{2}.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tìm số phần bằng nhau

    Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow{OA},\ \ \overrightarrow{OC},\ \ \overrightarrow{OG} trùng với ba trục \overrightarrow{Ox},\ \overrightarrow{Oy},\ \overrightarrow{Oz}. Sáu mặt phẳng x - y = 0;\ \ y - z = 0;z - x = 0; x + y = 1;\ \ y + z = 1;\ \ z + x = 1 chia hình lập phương thành bao nhiêu phân bằng nhau?

    Hướng dẫn:

     

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính độ dài đoạn thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt cầu (S) tâm I(5; - 3;5), bán kính R = 2\sqrt{5}. Từ một điểm A thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B. Tính OA biết AB = 4.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là

    d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 5 - 2.( - 3) + 2.5 - 3 ight|}{3} = 6

    Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên tam giác AIB vuông tại B, do đó ta có:

    IA = \sqrt{IB^{2} + AB^{2}} = \sqrt{R^{2} + AB^{2}} = 6 = d\left( I;(P) ight)

    Đường thẳng IA đi qua I(5; −3; 5) có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1; - 2;2) nên có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 3 - 2t \\ z = 5 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do A = IA ∩ (P) nên 5 + t − 2(−3 − 2t) + 2(5 + 2t) − 3 = 0 ⇔ t = −2

    Vậy A(3; 1; 1) nên OA = \sqrt{11}.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính bán kính mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),C(0;0;3),B(0;2;0). Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA^{2} = MB^{2} + MC^{2} là mặt cầu có bán kính là:

    Hướng dẫn:

    Giả sử M(x;y;z)

    Ta có:\left\{ \begin{matrix} MA^{2} = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} \\ MB^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\ MC^{2} = x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có:

    MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2}

    \Leftrightarrow - 2x + 1 = (y - 2)^{2} + x^{2} + (z - 3)^{2}

    \Leftrightarrow (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 2

    Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn MA^{2} = MB^{2} + MC^{2} là mặt cầu có bán kính là R = \sqrt{2}.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tính độ dài đoạn thẳng MN

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho đường thẳng d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{4} và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 2. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi M và N là tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Từ (S) Tâm I(1;2;1) và bán kính R = \sqrt{2}

    Từ d Vectơ \overrightarrow{u} = (2; - 1;4)

    Hạ \overrightarrow{u} = (2; - 1;4) \Rightarrow H(2 + 2t; - t;4t)

    \Rightarrow \overrightarrow{IH}.\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow (2t + 1).2 + ( - 1).( - 2 - t) + (4t - 1).4 = 0

    \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow H(2;0;0)

    Xét tam giác \Delta IHM vuông tại M ta có:

    MH^{2} = IH^{2} - IM^{2} = 62 = 4 \Rightarrow MH = 2.

    Ta có \frac{1}{MK^{2}} = \frac{1}{MH^{2}} + \frac{1}{MI^{2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow MK = \frac{2}{\sqrt{3}}.

    \Rightarrow MN = 2MK = \frac{4}{\sqrt{3}}.

  • Câu 12: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 và các điểm A(1; 0; 2); B(−1; 2; 2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A; B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax + by + cz + 3 = 0. Tính T = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 4.

    Nhận thấy: IA = IB = \sqrt{5} < R ⇒ A; B nằm bên trong mặt cầu.

    Gọi K là trung đểm của AB ⇒ K(0; 1; 2); IK ⊥ AB.

    Gọi H là hình chiếu của I trên (P),(P) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn tâm H bán kính r.

    Std nhỏ nhất ⇔ r nhỏ nhất ⇔ IH lớn nhất

    ⇔ IH = IK ⇔ H ≡ K.

    Khi đó mặt phẳng (P): Đi qua A và có VTPT là \overrightarrow{IK} = ( - 1; - 1; - 1)

    ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) : −x−y−z+3 = 0 ⇒ a+b+c = −3

  • Câu 13: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Một tháp kiểm soát không lưu ở sân bay cao 109 m đặt một đài kiểm soát không lưu ở độ cao 105m. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 450\ km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox là hướng tây, trục Oy là hướng nam và trục Oz là trục thẳng đứng (như hình vẽ), đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

    Một máy bay đang ở vị trí Acách mặt đất 8\ km, cách 268\ km về phía đông, 185\ km về phía nam so với tháp kiểm soát không lưu và đang chuyển động theo đường thẳng dcó vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (82; 76; 0) hướng về đài kiểm soát không lưu. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) Đài kiểm soát không lưu có toạ độ là (0;0;0).Sai||Đúng

    b) Vị trí Acó toạ độ là ( - 268;185;8). Đúng||Sai

    c) Đài kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí A. Đúng||Sai

    d) Khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là 217,96\ km. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một tháp kiểm soát không lưu ở sân bay cao 109 m đặt một đài kiểm soát không lưu ở độ cao 105m. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 450\ km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox là hướng tây, trục Oy là hướng nam và trục Oz là trục thẳng đứng (như hình vẽ), đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

    Một máy bay đang ở vị trí Acách mặt đất 8\ km, cách 268\ km về phía đông, 185\ km về phía nam so với tháp kiểm soát không lưu và đang chuyển động theo đường thẳng dcó vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (82; 76; 0) hướng về đài kiểm soát không lưu. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

    a) Đài kiểm soát không lưu có toạ độ là (0;0;0).Sai||Đúng

    b) Vị trí Acó toạ độ là ( - 268;185;8). Đúng||Sai

    c) Đài kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí A. Đúng||Sai

    d) Khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là 217,96\ km. Sai||Đúng

    a) Sai.

    Gốc O trùng với vị trí chân tháp và đài kiểm soát không lưu được đặt ở độ cao 105\ mnên có toạ độ là (0;0;0,105)

    b) Đúng.

    Hệ trục toạ độ Oxyzcó trục Oxlà hướng tây, trục Oylà hướng nam và trục Ozlà trục thẳng đứng và vị trí Acách mặt đất 8\ km, cách 268\ kmvề phía đông, 185\ kmvề phía nam nên có toạ độ là ( - 268;185;8).

    c) Đúng.

    Khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu là:

    \sqrt{(0 + 268)^{2} + (0 - 185)^{2} + (0,105 - 8)^{2}} \approx 325,75 (km).

    Vì 325,75 < 450 nên đài kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí A.

    d) Sai.

    Gọi I(0;0;0,105) là vị trí đài kiểm soát không lưu.

    Phương trình tham số của đường thẳng dlà:\left\{ \begin{matrix} x = - 268 + 82t \\ y = 185 + 76t \\ z = 8 \end{matrix} \right. (tlà tham số)

    Gọi Mlà vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất khi đó:

    \left\{ \begin{matrix} M \in d \\ IM\bot d \end{matrix} \right. hay M( - 268 + 82t;185 + 76t;8) và

    \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{u} = 0

    \Leftrightarrow ( - 268 + 82t).82 + (185 + 76t).76 + (8 - 0,105).0 = 0

    \Leftrightarrow 12500t - 7916 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1979}{3125}

    \Rightarrow M( - 216,07;233,13;8)

    Khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là:

    \sqrt{( - 216,07)^{2} + (233,13) + (8 - 0,105)^{2}} \approx 317,96(km).

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính tọa độ tâm I và bán kính R

    Cho mặt (S) tâm I ở trên z’Oz tiếp xúc với hai mặt phẳng (P):2x - 2y + z - 3 = 0 và (Q):\ \ x + 2y - 2z + 9 = 0. Tính tọa độ tâm I và bán kính R? (Có thể chọn nhiều đáp án).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I(0,0,z) \Rightarrow d(I,P) = d(I,Q)

    \Leftrightarrow \frac{|z - 3|}{3} = \frac{| - 2z + 9|}{3}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} z_{1} = 4 \\ z_{2} = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} R_{1} = \dfrac{1}{3} \\ R_{2} = 1 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy: \left\lbrack \begin{matrix} I_{1}(0,0,4);R_{1} = \dfrac{1}{3} \\ I_{2}(0,0,6);R_{2} = 1 \\ \end{matrix} \right.

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính tỉ số

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a, AB = BC = CD = a. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số \frac{R}{a}nhận giá trị nào sau đây?

    Hướng dẫn:

     Tính tỉ số

    Ta có SA \bot AD hay \widehat {SAD} = {90^0}

    Gọi E là trung điểm AD.

    Ta có EA = AB = BC nên ABCE là hình thoi.

    Suy ra CE = EA = \frac{1}{2}AD .

    Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:

    \left\{ \begin{array}{l}DC \bot AC\\DC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow DC \bot \left( {SAC} ight) \Rightarrow DC \bot SC   hay    \widehat {SCD} = {90^0}

    Tương tự, ta cũng có SB \bot BD hay \widehat {SBD} = {90^0}

    Ta có \widehat {SAD} = \widehat {SBD} = \widehat {SCD} = {90^0} nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính R = \frac{{SD}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }}{2} = a\sqrt 2.

    Suy ra \frac{R}{a} = \sqrt 2.

  • Câu 16: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;1; - 2), mặt phẳng (P):x + y + z + 1 = 0 và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 7 = 0. Gọi \Delta là đường thẳng đi qua A nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm B,\ Csao cho tam giác IB\ C có diện tích lớn nhất với I là tâm của mặt cầu (S). Phương trình của \Delta là

    Hướng dẫn:

    Nhận xét điểm A nằm bên trong mặt cầu, giao tuyến của (P) và (S) là một đường tròn tâm H bán kính r không đổi. Gọi K là trung điểm của BC thì:

    S_{IB\ C} = BK.IK = BK.\sqrt{IH^{2} + HK^{2}}.

    Ta có BK \leq BA và HK \leq HA, suy ra

    S_{\max} = BA.\sqrt{IH^{2} + HA^{2}} \Leftrightarrow K \equiv A \Rightarrow \Delta\bot HA. Tọa độ I(1;2;0).

    Ghi - \frac{x + y + z + 1}{3} CALC nhập 1 = 2 = 0 = \ = Sto M, bấm M + x:M + y:M + z = \ = \ =

    Ta được H(0;1; - 1) \Rightarrow \overrightarrow{HA} = (0;0; - 1) suy ra \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}};\overrightarrow{HA} \right\rbrack = (1; - 1;0).

  • Câu 17: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(2,0,1);\ \ \ B(1,3,2);\ \ \ C(3,2,0) có tâm nằm trong mặt phẳng (xOy)

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by + d = 0 vì tâm I \in (xOy) \Rightarrow c = 0

    A,\ B,\ C \in (S)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 4a - d = 5 \\ 2a + 6b - d = 14 \\ 6a + 4b - d = 13 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 6b = - 9 \\ 2a + 4b = 8 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow a = \frac{3}{5};\ \ b = \frac{17}{10};\ \ c = 0;\ \ d = - \frac{13}{5}

    \Rightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{6x}{5} - \frac{17y}{5} - \frac{13}{5} = 0

  • Câu 18: Vận dụng
    Xác định phương trình mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1; - 1;4) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ?

    Hướng dẫn:

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu (S). Mặt cầu (S) tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên:

    d\left( I;(Oxy) ight) = d\left( I;(Oyz) ight) = d\left( I;(Ozx) ight)

    \Leftrightarrow |a| = |b| = |c| = R(*)

    Mặt cầu đi qua điểm A(1; - 1;4)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} IA = R \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} IA^{2} = R^{2} \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + ( - a + 1)^{2} + (a - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a^{2} - 12a + 18 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} - 6a + 9 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = c = 3 \\ b = - 3 \\ R = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (S):(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 9

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tìm biểu thức liên hệ

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với  AB=2a, AD=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45^0 . Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

    Hướng dẫn:

    Tìm biểu thức liên hệ

    Ta có {45^0} = \widehat {SC,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SC,AC} = \widehat {SCA} .

    Trong \Delta SAC, ta có h = SA = a\sqrt 5

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot BN.

    Mặt khác, ta lại có NA \bot AC.

    Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính

    R = JN = \frac{{NC}}{2} = \frac{1}{2}.\sqrt {A{C^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{5a}}{4}.

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3),B(6;5;5). Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rẳng (P):2x + by + cz + d = 0 với b;c;d\mathbb{\in Z}. Tính S = b +c + d.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{AB} = (4;4;2) = 2(2;2;1), \overrightarrow{AB} là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng 2x + 2y + z + d = 0.

    Gọi I là tâm mặt cầu thì I là trung điểm của AB suy ra I(4;3;4), bán kính mặt cầu R = \frac{AB}{2} = 3.

    Đặt IH = x suy ra HK = \sqrt{R^{2} - x^{2}} = \sqrt{9 - x^{2}}.

    Thể tích khối nón

    V = \frac{1}{3}IH.\pi.HK^{2} = \frac{1}{3}.\pi.\left( 9 - x^{2} \right)(3 + x)

    = \frac{1}{6}.\pi.(6 - 2x)(3 + x)(3 + x) \leq \frac{1}{6}.\pi\left( \frac{6 + 3 + 3}{3} \right)^{3}.

    Dấu bằng xảy ra khi 6 - 2x = 3 + x \Leftrightarrow x = 1.

    Ta có hệ: \left\{ \begin{matrix}d\left( A;(P) \right) = 4 \\d\left( I;(P) \right) = 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{|d + 9|}{3} = 4 \\\frac{|d + 18|}{3} = 1\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} d = 3 \hfill \\ d = - 21 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left[ \begin{gathered} d = - 21 \hfill \\ d = - 15 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow d = - 21

    Vậy (P):2x + 2y + z -21 =0.

    Suy ra: b + c + d = - 18.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
54 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này