Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Tích phân CTST (Mức Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}, với a \geq 0 có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Xét tích phân I = \int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}, với a \geq 0

    Ta biến đổi:

    I = \int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx} = \int_{0}^{1}{\frac{ax\left( ax^{2} + 1 ight)}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax\sqrt{ax^{2} + 1} ight)dx}.

    Ta nhận thấy: \left( ax^{2} + 1 ight)' = 2ax. Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = ax^{2} + 1 \Rightarrow dt = 2axdx.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = a + 1 \\ \end{matrix} ight..

    Ta có:

    I = {\int_{1}^{a + 1}{\frac{1}{2}tdt = \left. \ \left( \frac{1}{4}t^{2} ight) ight|}}_{1}^{a + 1} = \frac{1}{4}a(a + 2).

  • Câu 2: Nhận biết
    Tìm giá trị của I

    Cho tích phân I = \int_{a}^{b}{f(x)dx}. Biết rằng F(x) là nguyên hàm của f(x). Giá trị của I là:

    Hướng dẫn:

    Cho tích phân I = \int_{a}^{b}{f(x)dx}. Biết rằng F(x) là nguyên hàm của f(x). Giá trị của I là:

    Ta có ngay kết quả I = F(b) - F(a).

    Đáp án đúng là F(b)-F(a).

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tính tích phân

    Tính tích phân \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1 - sin^{3}x}{sin^{2}x}dx}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}{\left( \frac{1}{sin^{2}x} - \sin x ight)dx} = - \left. \ \cot x ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} + \left. \ \cos x ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}

    = \frac{- 2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2}{2}.

  • Câu 4: Vận dụng
    Xác định giá trị tích phân I

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{\ln\left( \sqrt{1 + x^{2}} - x \right)dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{\ln\left( \sqrt{1 + x^{2}} - x ight)dx}:

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = \ln\left( \sqrt{1 + x^{2}} - x ight) \\ dv = dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}dx \\ v = x \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I = \left. \ \left( x.ln\left( \sqrt{x^{2} + 1} - x ight) ight) ight|_{0}^{1} + \int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}dx}.

    Xét I_{1} = \int_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}dx}.

    Đặt t = x^{2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I_{1} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{t}}dt = \left. \ \left( \sqrt{t} ight) ight|_{1}^{2} = \sqrt{2} - 1.

    \Rightarrow I = I_{1} + \left. \ \left( x.ln\left( \sqrt{x^{2} + 1} - x ight) ight) ight|_{0}^{1} = \sqrt{2} - 1 + \ln\left( \sqrt{2} - 1 ight).

    Đáp án đúng là I = \sqrt{2} - 1 + \ln\left( \sqrt{2} - 1 ight).

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho tích phân \int_{0}^{4}\frac{dx}{3 +\sqrt{2x + 1}} = a + b.\ln\frac{2}{3} với a;b\mathbb{\in Z}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{0}^{4}\frac{dx}{3 + \sqrt{2x + 1}} = \int_{0}^{4}{\left( 1 - \frac{3}{3 + \sqrt{2x + 1}} ight)d\left( \sqrt{2x + 1} ight)}

    = \left. \ \left\lbrack \sqrt{2x + 1} -3\ln\left( \sqrt{2x + 1} + 3 ight) ightbrack ight|_{0}^{4} = 2 +3\ln\frac{2}{3}

    Suy ra a = 2;b = 3 \Rightarrow a + b = 5.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính quãng đường chất điểm đi được

    Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc {v_0} = 15 m/s thì tăng vận tốc với gia tốc a\left( t \right) = {t^2} + 4t (m/s2). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    v = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( t^{2} + 4t ight)dt}

    \Rightarrow v = 15 + \frac{t^{3}}{3} + 2t^{2}

    Mà s = \int_{}^{}{vdt} \Rightarrow s = 15t + \frac{t^{4}}{12} + \frac{2t^{3}}{3}.

    Sau 3 giây, chất điểm đi được quãng đường:

    s(3) = 15.3 + \frac{3^{4}}{12} + \frac{2.3^{3}}{3} = 69,75(m).

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tính tích phân I

    Cho \int_{0}^{6}{f(x)dx} = 12. Tính I = \int_{0}^{2}{f(3x)dx}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Đặt t = 3x \Rightarrow dt = 3dx. Đổi cận:

    x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 2 \Rightarrow t = 6

    \Rightarrow I = \int_{0}^{2}{f(3x)dx} = \frac{1}{3}\int_{0}^{6}{f(t)dt} = \frac{1}{3}\int_{0}^{6}{f(x)dx}= \frac{1}{3}.12 = 4

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho \int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}dx} = aln2 + bln3 + cln5 với a;b;c là các số thực. Giá trị của biểu thức T = a + b^{2} - c^{3} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}dx} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} ight)dx}

    = \left. \ \ln\left| \frac{x + 1}{x + 2} ight| ight|_{2}^{3} = \ln\frac{4}{5} - \ln\frac{3}{4} = 4ln2 - ln3 - ln5

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = - 1 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = a + b^{2} - c^{3} = 6

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I =\int_{1}^{e}{\frac{2\ln x\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx} có gái trị là:

    Hướng dẫn:

    Xét tích phân I = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}

    Ta nhận thấy: \left( ln^{2}x + 1 ight)' = \frac{2lnx}{x}.

    Ta dùng đổi biến số.

    Đặt t = ln^{2}x + 1 \Rightarrow dt = \frac{2lnx}{x}dx.

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    I = \int_{1}^{2}{\sqrt{t}dx} = \left. \ \left( \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} ight) ight|_{1}^{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

    Đáp án đúng là I = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính tích phân

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{2x\left( 1 - \ln x \right)dx} bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{e}{2x\left( 1 - \ln x ight)dx} = - \int_{1}^{e}{2x.lnxdx} + \int_{1}^{e}{2xdx}

    = e^{2} - 1 - 2\int_{1}^{e}{x.lnxdx}

    Đặt \left\{ \begin{matrix} \ln x = u \\ xdx = dv \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x}dx = du \\ \frac{x^{2}}{2} = v \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{1}^{e}{x\ln xdx} = \int_{1}^{e}{udv} = \left. \ uv ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{vdu}

    = \left. \ \ln x.\frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}\frac{x}{2}dx

    = \frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4}

    \Rightarrow I = e^{2} - 1 - \frac{e^{2} + 1}{2} = \frac{e^{2} - 3}{2}

  • Câu 11: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sin2x}{\cos x + cos3x}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta biến đổi:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sin2x}{\cos x + cos3x}dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{cos2x}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{2cos^{2}x - 1}dx}} = ... = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left. \ \left( \ln\frac{\sqrt{2}t - 1}{\sqrt{2}t + 1} ight) ight|_{1}^{\frac{1}{2}}

    = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 2} - \ln\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} ight), với t = \cos x.

    Đáp án đúng là I = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 2} - \ln\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} ight).

  • Câu 12: Thông hiểu
    Tính tích phân

    Cho hàm số f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 2x^{2} - x + 1;\forall x\mathbb{\in R}. Tính I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{f^{2}(x)d\left( f(x) ight)} = \left. \ \frac{f^{3}(x)}{3} ight|_{0}^{1} = - \frac{2}{3}.

  • Câu 13: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là v(t) = 3t^{2} + 5(m/s). Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

    S = \int_{4}^{10}{v(t)dt} = \int_{4}^{10}{\left( 3t^{2} + 5 ight)dt}

    = \left. \ \left( t^{3} + 5t ight) ight|_{4}^{10} = 996(m)

  • Câu 14: Nhận biết
    Tìm m thỏa mãn yêu cầu

    Đặt I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx} với m là tham số thực. Tìm giá trị của tham số m để I = 4?

    Hướng dẫn:

    Ta có: I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx} = \left. \ \left( mx^{2} + x ight) ight|_{1}^{2} = 3m + 1

    Do I = 4 \Leftrightarrow 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1.

  • Câu 15: Nhận biết
    Tính tích phân I

    Cho \int_{1}^{2}{f(x)dx} = - 3. Tính I = \int_{2}^{4}{f\left( \frac{x}{2} \right)dx}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Đặt \frac{x}{2} = t \Rightarrow dx = 2dt

    \Rightarrow I = \int_{1}^{2}{2f(t)dt} = 2\int_{1}^{2}{f(t)dt} = 2.( - 3) = - 6

  • Câu 16: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{\left( \frac{ax}{x + 1} - 2ax \right)dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{\left( \frac{ax}{x + 1} - 2ax ight)dx} có giá trị là:

    I = \int_{0}^{1}{\left( \frac{ax}{x + 1} - 2ax ight)dx} = a\int_{0}^{1}{\frac{x}{x + 1}dx - 2a\int_{0}^{1}{xdx}}

    = a\left. \ \left( x - \ln|x + 1| ight) ight|_{0}^{1} - a\left. \ \left( x^{2} ight) ight|_{0}^{1} = a(1 - ln2) - a = - aln2

    Đáp án đúng là I = - aln2.

  • Câu 17: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{\left( \frac{1}{x} + x \right)\ln xdx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{\left( \frac{1}{x} + x ight)\ln xdx} có giá trị là:

    I = \int_{1}^{e}{\left( \frac{1}{x} + x ight)\ln xdx} = \int_{1}^{e}{\frac{1}{x}\ln xdx} + \int_{1}^{e}{x\ln xdx}

    = \int_{0}^{1}{d\left( \ln x ight)} + \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2}\ln x ight) ight|_{1}^{e} - \frac{1}{2}\int_{1}^{e}{xdx}

    = 1 + \frac{e^{2}}{2} - \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{2} ight) ight|_{1}^{e} = \frac{e^{2} + 5}{4}

    Đáp án đúng là I = \frac{e^{2} + 5}{4}.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tính tích phân I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\cos^{3}x}dx}?

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    I = \int_{1}^{\frac{1}{2}}{\frac{- 1}{t^{3}}dt} = \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t^{3}}dt} = \left. \ - \frac{1}{2t^{2}} ight|_{\frac{1}{2}}^{1} = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức S

    Cho biết \int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2} ight)dx} = aln5 + bln2 + c với a;b;c\mathbb{\in Z}. Tính S = |a| + |b| + |c|?

    Hướng dẫn:

    Xét trên đoạn \lbrack 1;2brack ta có:

    \ln\left( 9 - x^{2} ight) = \ln(3 - x) + \ln(3 + x)

    Xét I_{1} = \int_{1}^{2}{\ln(3 - x)dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 - x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x - 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x - 3}dx}

    \Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 - x) ightbrackight|_{1}^{2} = 2\ln2 - 1

    Xét I_{2} = \int_{1}^{2}{\ln(3 + x)dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 + x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x + 3}dx}

    \Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 + x) ightbrackight|_{1}^{2} = 5\ln5 - 8\ln2 - 1

    Vậy \int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2}ight)dx} = I_{1} + I_{2} = 5\ln5 - 6\ln2 - 2 \Rightarrow S =13.

  • Câu 20: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack; f(b) = 5;\int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5}. Tính giá trị f(a)?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = 3\sqrt{5}

    \Leftrightarrow f(a) = f(b) - 3\sqrt{5} = \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (60%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
17 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm