Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Tích phân CTST (Mức Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hai hàm số f(x) và f( - x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn 2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}. Tính tích phân I = \int_{- 2}^{2}{f(x)dx}?

    Hướng dẫn:

    Đặt t = - x \Rightarrow dt = - dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I = - \int_{2}^{- 2}{f( - t)dt} = \int_{- 2}^{2}{f( - x)dx}

    Theo bài ra ta có:

    2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}

    \Leftrightarrow 2\int_{- 2}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 2}^{2}{f( - x)dx} = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow 2I + 3I = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    Đặt x = 2\tan u \Rightarrow dx =2.\frac{1}{\cos^{2}u}du = 2\left( 1 + \tan^{2}u ight)du

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 2 \Rightarrow u = - \dfrac{\pi}{4} \\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi}{4} \\\end{matrix} ight.\Rightarrow I = \dfrac{1}{5}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\left( 1 + u^{2} ight)}{4 +4\tan^{2}u}du} = \frac{1}{10}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{du}

    = \left. \ \frac{1}{10}u ight|_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{10}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{20}

  • Câu 2: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân \int_{0}^{1}{xe^{- x^{2}}dx} bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Cách 1: Thử bằng máy tính

    Cách 2: I = \int_{0}^{1}{x.e^{- x^{2}}dx} = - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{( - 2x)e^{- x^{2}}dx}

    = - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{- x^{2}}d\left( - x^{2} ight)} = \left. \ - \frac{1}{2}e^{- x^{2}} ight|_{0}^{1} = - \frac{1}{2}.e^{- 1} + \frac{1}{2}

    = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e} = \frac{e - 1}{2e}

  • Câu 3: Nhận biết
    Tính tích phân

    Cho \int_{- 1}^{2}{f(x)dx} = 2 và \int_{- 1}^{2}{g(x)dx} = - 1, khi đó \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 1}^{2}{g(x)dx}

    = \left. \ \frac{1}{2}x^{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 + 3.( - 1) = \frac{5}{2}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{\left( \frac{1}{x} + x \right)\ln xdx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{1}^{e}{\left( \frac{1}{x} + x ight)\ln xdx} có giá trị là:

    I = \int_{1}^{e}{\left( \frac{1}{x} + x ight)\ln xdx} = \int_{1}^{e}{\frac{1}{x}\ln xdx} + \int_{1}^{e}{x\ln xdx}

    = \int_{0}^{1}{d\left( \ln x ight)} + \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2}\ln x ight) ight|_{1}^{e} - \frac{1}{2}\int_{1}^{e}{xdx}

    = 1 + \frac{e^{2}}{2} - \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{2} ight) ight|_{1}^{e} = \frac{e^{2} + 5}{4}

    Đáp án đúng là I = \frac{e^{2} + 5}{4}.

  • Câu 5: Nhận biết
    Chọn mệnh đề sai

    Giả sử f(x);g(x) là các hàm số bất kì liên tục trên \mathbb{R} và a;b;c là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hướng dẫn:

    Theo tính chất tích phân ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{a}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx} = 0

    \int_{a}^{b}{c.f(x)dx} = c.\int_{a}^{b}{f(x)dx};\forall x\mathbb{\in R}

    \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} - \int_{a}^{b}{g(x)dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx}

    Vậy mệnh đề sai: \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x)g(x) ightbrack dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}.\int_{a}^{b}{g(x)dx}

  • Câu 6: Nhận biết
    Chọn khẳng định sai

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = - \int_{b}^{a}{f(x)dx} nên khẳng định \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{b}^{a}{f(x)dx} sai.

  • Câu 7: Nhận biết
    Tính giá trị của biểu thức

    Biết rằng I_{1} = \int_{0}^{1}{\left( x + \sqrt{x + 1} \right)dx} = \frac{a}{6} + b\sqrt{2}. Giá trị của a - \frac{3}{4}b là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I_{1} = \int_{0}^{1}{\left( x + \sqrt{x + 1} ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{3}\sqrt{(x + 1)^{3}} ight) ight|_{0}^{1} = - \frac{1}{6} + \frac{4\sqrt{2}}{3}

    \Rightarrow a = - 1,b = \frac{4}{3} \Rightarrow a - \frac{3}{4}b = - 2

    Đáp án đúng là -2.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|}{x - 1}dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 ight|}{x - 1}dx có giá trị là:

    Ta có: \underset{f(x)}{\overset{x^{3} - 3x + 2}{︸}} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2}(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2.

    Bảng xét dấu:

    Ta có

    :I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{x^{3} - 3x + 2}{x - 1}dx = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + x - 2 ight)dx

    = \left. \ \left( \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} - 2x ight) ight|_{- 2}^{- 1} = \frac{7}{6}.

    Đáp án đúng là I = \frac{7}{6}.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính tích phân

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \lbrack - 1;3brack, biết f(3) = 5;f( - 1) = - 2; giá trị \int_{- 1}^{3}{f'(x)dx} là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{- 1}^{3}{f'(x)dx} = \left. \ f(x) ight|_{- 1}^{3} = f(3) - f( - 1) = 7

  • Câu 10: Nhận biết
    Tính thể tích hình phẳng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn \lbracka;bbrack. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hảm số y = f(x), trục hoảnh và hai đường thảng x = a,x = b. Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thế tích là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrackf(x) ightbrack^{2}dx}.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Tính tích phân I = \int_{0}^{\pi}{\left| \cos x \right|dx}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{\pi}{\left| \cos x ight|dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x ight|dx} + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\left| \cos x ight|dx}

    = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\cos xdx} = \left. \ \sin x ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \left. \ \sin x ight|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}

  • Câu 12: Thông hiểu
    Tìm tỉ số a và b

    Biết I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{x\cos2xdx} = a\pi\sqrt{3} + b\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2xdx}, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của \frac{a}{b} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{x\cos2xdx} = \left. \ \left( \frac{1}{2}x\sin2x ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2xdx}

    = - \frac{\pi\sqrt{3}}{24} - \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2xdx}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \dfrac{1}{24} \\ b = - \dfrac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \frac{1}{12}

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tính giá trị của tích phân

    Biết tích phân I_{1} = \int_{0}^{1}{2xdx} = a. Giá trị của I_{2} = \int_{a}^{2}\left( x^{2} + 2x \right)dx là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I_{1} = \int_{0}^{1}{2xdx} = \left. \ \left( x^{2} ight) ight|_{0}^{1} = 1

    \Rightarrow I_{2} = \int_{a}^{2}{\left( x^{2} + 2x ight)dx} = \int_{1}^{2}{\left( x^{2} + 2x ight)dx} = \left. \ \left( \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} ight) ight|_{1}^{2} = \frac{16}{3}

    Đáp án đúng là I_{2} = \frac{16}{3}.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Biết I_{1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left( 1 + tan^{2}x \right)dx} = a và I_{2} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} + \sqrt{x} \right)dx = \left. \ \left( bx^{3} + cx^{\frac{1}{3}} \right) \right|_{0}^{1}, a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của a + b + c là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I_{1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left( 1 + tan^{2}x ight)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{cos^{2}x}dx} = ... = \int_{0}^{1}{tdt} = 1, với t = \tan x.

    I_{2} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} + \sqrt{x} ight)dx = \left. \ \left( \frac{1}{3}x^{3} + \frac{2}{3}x^{\frac{1}{3}} ight) ight|_{0}^{1}.

    \Rightarrow a = 1,b = \frac{1}{3},c = \frac{2}{3} \Rightarrow a + b + c = 2.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tìm tích phân

    Biết \int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x ightbrack dx} = 1. Khi đó \int_{1}^{2}{f(x)dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x ightbrack dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} - 2\int_{1}^{2}{xdx} = 1

    \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} - 2\left. \ .x^{2} ight|_{1}^{2} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 \Leftrightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 1

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tìm thương số giữa b và c

    Biết tích phân I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = a. Giá trị của I_{2} = \int_{a}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} = bln2 - cln5. Thương số giữa b và c là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = \left. \ \left( \cos x ight) ight|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}.

    \Rightarrow I_{2} = \int_{a}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} = \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} = \frac{1}{3}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|_{\frac{5}{8}}^{2}.

    = \frac{4}{3}ln2 - \frac{1}{3}ln5 \Rightarrow b = \frac{4}{3},c = - \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{b}{c} = - 4

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính giá trị của tích phân

    Tích phân I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx có giá trị là:

    I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx = \int_{0}^{a}{(x + 1)\sqrt{x + 1}}dx - \int_{0}^{a}\sqrt{x + 1}dx

    = \int_{0}^{a}(x + 1)^{\frac{3}{2}}dx - \int_{0}^{a}(x + 1)^{\frac{1}{2}}dx

    = \left. \ \left\lbrack \frac{2}{5}(x + 1)^{\frac{5}{2}} ightbrack ight|_{0}^{a} - \left. \ \left\lbrack \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack ight|_{0}^{a}

    \ = \frac{2}{5}\sqrt{(x + 1)^{5}} - \frac{2}{3}\sqrt{(x + 1)^{3}} + \frac{4}{15}

    Đáp án đúng là I = \frac{{2\sqrt {{{\left( {a + 1} ight)}^5}} }}{5} - \frac{{2\sqrt {{{\left( {a + 1} ight)}^3}} }}{3} + \frac{4}{{15}}.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tính vận tốc của chất điểm

    Một chất điểm chuyển động với gia tốc a(t) = 6t^{2} + 2t\left( m/s^{2} ight). Vận tốc ban đầu của chất điểm là 2(m/s). Hỏi vận tốc của chất điểm sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2 giây bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Ta có: v(2) - v(0) = \int_{0}^{2}{a(t)dt}

    \Rightarrow v(2) = \int_{0}^{2}{\left( 6t^{2} + 2t ight)dt} + v(0)

    \Rightarrow v(2) = \left. \ \left( 2t^{3} + t^{2} ight) ight|_{0}^{2} + 2 = 22

  • Câu 19: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 7t(m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = - 70\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

    Hướng dẫn:

    Vận tốc vật đạt được sau 5s là: v_{0} = 7.5 = 35(m/s)

    Ta có: v_{2}(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{- 70dt} = - 70t + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 35(m/s) \Rightarrow v_{(t = 0)} = 35 \Rightarrow C = 35

    \Rightarrow v_{2}(t) = - 70t + 35

    Vật dừng hẳn khi v_{2}(t) = - 70t + 35 = 0 \Rightarrow t_{2} = \frac{1}{2}(s)

    Khi đó quãng đường đi được bằng

    S = \int_{0}^{5}{v_{1}(t)dt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{v_{2}(t)dt}

    = \int_{0}^{5}{7tdt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{( - 70t + 35)dt} = 96,25(m)

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tính tổng a và b

    Biết rằng: \int_{}^{}{e^{2x}.\cos3x.dx =e^{2x}(a\cos3x + b\sin3x) + c}, trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a + b có giá trị là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Đặt \left\{ \begin{matrix} e^{2x}dx = dv \\ cos3x = u \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} v = \frac{e^{2x}}{2} \\ - 3sin3xdx = du \\ \end{matrix} ight.

    I = \int_{}^{}{udv = uv - \int_{}^{}{vdu}}

    = \frac{e^{2x}}{2}.cos3x - \int_{}^{}{\frac{- e^{2x}}{2}.3sin3xdx}

    = \frac{e^{2x}}{2}.cos3x + \frac{3}{2}\int_{}^{}{e^{2x}.sin3xdx}

    Đặt sin3x = u_{1} \Rightarrow 3cos3xdx = du_{1}

    \int_{}^{}{e^{2x}.sin3xdx = \int_{}^{}{u_{1}dv = u_{1}v - \int_{}^{}{vdu_{1}}}}

    = \frac{e^{2x}}{2}.sin3x - \int_{}^{}{\frac{e^{2x}}{2}.3.cos3xdx = \frac{e^{2x}}{2}.sin3x - \frac{3}{2}.I}
    \Rightarrow I = \frac{e^{2x}.cos3x}{2} + \frac{3}{2}.\left( \frac{e^{2x}.sin3x}{2} - \frac{3}{2}I ight)

    \Leftrightarrow \frac{13}{4}I = e^{2x}\left( \frac{cos3x}{2} + \frac{3}{4}.sin3x ight)

    \Rightarrow I = e^{2x}\left( \frac{2cos3x}{13} + \frac{3}{13}.sin3x ight)

    \Rightarrow a + b = \frac{2}{13} + \frac{3}{13} = \frac{5}{13}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (60%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
19 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm