Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Trắc nghiệm Toán 12 Tích phân CTST (Mức Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{- 2}^{- 1}\left( 2ax^{3} + \frac{1}{x} \right)dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{- 2}^{- 1}\left( 2ax^{3} + \frac{1}{x} ight)dx= \left. \ \left( \frac{a}{2}x^{4} + \ln|x| ight) ight|_{- 2}^{- 1} = - \frac{15a}{16} - ln2.

    Đáp án đúng là I = \frac{15a}{16} + ln2.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: x^{4} - x^{2} + 1 = \left( x^{2} - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Do \int_{- 1}^{2018}{\left| x^{4} - x^{2} + 1 ight|^{3}dx} = \int_{- 1}^{2018}{\left( x^{4} - x^{2} + 1 ight)^{3}dx}

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Cho các hàm số f(x) có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} eq 0. Giá trị của biểu thức \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} bằng:

    Hướng dẫn:

    Đặt \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = k

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f'(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}

    Vậy \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} = \frac{\left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}}{\left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}} = 1

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm vận tốc của xe đạp B

    Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) = \frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30}(m/s) trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a\left( m/s^{2} ight) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{25}{\left( \frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30} ight)dt} = \frac{375}{2}(m)

    Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm t(s) tính từ lúc B xuất phát là: v_{B}(t) = at

    Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{15}{(at)dt} = \left. \ \left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{15} = \frac{225a}{2}(m)

    \Rightarrow \frac{225a}{2} = \frac{375}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{3}

    Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: v_{B}(15) = 15a = 25(m/s)

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Cho I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( \sin3x + \cos^{2}x \right)dx} = \left. \ \left( a\cos3x + bx\sin + c\sin2x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{6}}. Giá trị của 3a + 2b + 4c là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I_{1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( \sin3x + \cos^{2}x ight)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( \sin3x + \frac{1 + \cos2x}{2} ight)dx}

    = \left. \ \left( - \frac{1}{3}cos3x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin2x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{3}}

    \Rightarrow a = - \frac{1}{3},b = \frac{1}{2},c = \frac{1}{4} \Rightarrow 3a + 2c + 4c = 1

  • Câu 6: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}dx} có giá trị bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}dx}

    Ta thử bằng máy tính để tìm ra kết quả.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tính tích phân I

    Tích phân I = \int_{- 1}^{0}\left( x^{3} + ax + 2 \right)dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{- 1}^{0}\left( x^{3} + ax + 2 ight)dx có giá trị là:

    I = \int_{- 1}^{0}\left( x^{3} + ax + 2 ight)dx

    = \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} + \frac{a}{2}x^{2} + 2x ight) ight|_{- 1}^{0} = \frac{7}{4} - \frac{a}{2}.

    Đáp án đúng là I\mathbf{=}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn phương án thích hợp

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \cos x - 1 \right)cos^{2}x}dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Ta biến đổi: I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \cos x - 1 ight)cos^{2}x}dx

    = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos x\left( 1 - sin^{2}x ight)}dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos^{2}x}dx

    = \left. \ \left( t - \frac{t^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{1} - \frac{1}{2}\left. \ \left( x + \frac{1}{2}sin2x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{3} - \frac{\pi}{4}, với t = \sin x.

    Đáp án đúng là I = - \frac{\pi }{4} + \frac{2}{3}.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tìm tất cả các số thực thỏa mãn điều kiện

    Có bao nhiêu số thực b \in (\pi;3\pi) sao cho \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1\Leftrightarrow \left. \ 2\sin2x ight|_{\pi}^{b} = 1

    \Leftrightarrow \sin2b = 1\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}b = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \\b = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do b \in (\pi;3\pi) nên có đúng 4 giá trị của b thỏa mãn.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính giá trị của tích phân

    Tích phân I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx có giá trị là:

    I = \int_{0}^{a}{x\sqrt{x + 1}}dx = \int_{0}^{a}{(x + 1)\sqrt{x + 1}}dx - \int_{0}^{a}\sqrt{x + 1}dx

    = \int_{0}^{a}(x + 1)^{\frac{3}{2}}dx - \int_{0}^{a}(x + 1)^{\frac{1}{2}}dx

    = \left. \ \left\lbrack \frac{2}{5}(x + 1)^{\frac{5}{2}} ightbrack ight|_{0}^{a} - \left. \ \left\lbrack \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} ightbrack ight|_{0}^{a}

    \ = \frac{2}{5}\sqrt{(x + 1)^{5}} - \frac{2}{3}\sqrt{(x + 1)^{3}} + \frac{4}{15}

    Đáp án đúng là I = \frac{{2\sqrt {{{\left( {a + 1} ight)}^5}} }}{5} - \frac{{2\sqrt {{{\left( {a + 1} ight)}^3}} }}{3} + \frac{4}{{15}}.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho \int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}dx} = aln2 + bln3 + cln5 với a;b;c là các số thực. Giá trị của biểu thức T = a + b^{2} - c^{3} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}dx} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} ight)dx}

    = \left. \ \ln\left| \frac{x + 1}{x + 2} ight| ight|_{2}^{3} = \ln\frac{4}{5} - \ln\frac{3}{4} = 4ln2 - ln3 - ln5

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = - 1 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = a + b^{2} - c^{3} = 6

  • Câu 12: Vận dụng
    Tìm tích phân I

    Tích phân I = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}dx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}dx} có giá trị là:

    I = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{(x - 1)(3 - x)}dx} = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{- 3 - x^{2} + 2x}dx} = \int_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{1 - (x - 2)^{2}}dx}.

    Đặt x - 2 = \sin t,t \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx = \cos tdt.

    Đổi cận\left\{ \begin{matrix} x = \frac{5}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6} \\ x = 3 \Rightarrow t = \frac{\pi}{2} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1 - sin^{2}t}.costdt} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{cos^{2}tdt}

    = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1 + cos2t}{2}dt = \frac{1}{2}\left. \ \left( x + \frac{1}{2}sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}

    Đáp án đúng là I = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}.

  • Câu 13: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Nếu \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 2;\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4. Khi đó \int_{0}^{2}{f(x)dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2 + 4 = 6.

  • Câu 14: Nhận biết
    Tìm tham số a thỏa mãn điều kiện

    Xác định giá trị của tham số a thỏa mãn \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = \left. \ \left( x^{3} + 2x ight) ight|_{0}^{a} = a^{3} + 2a

    \Rightarrow \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a^{3} + 2a = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a = 1

    Vậy đáp án a = 1.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Biết rằng \int_{0}^{\pi^{2}}{\left( \sin\sqrt{x} - \cos\sqrt{x} ight)dx = A + Bx} với A;B\mathbb{\in Z}. Chọn kết luận đúng?

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \sqrt{x} \Rightarrow t^{2} = x \Rightarrow 2tdt = dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = \pi^{2} \Rightarrow t = \pi \\ \end{matrix} ight. khi đó ta được:

    \int_{0}^{\pi^{2}}{\left( \sin\sqrt{x} -\cos\sqrt{x} ight)dx =}\int_{0}^{\pi}{\left( \sin t - \cos tight)tdt} = I

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = t \\ dv = \left( \sin t - \cos t ight)dt \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dt \\ v = - \cos t - \sin t \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow I = 2\left\lbrack \left. \ t\left( - \cos t - \sin t ight) ight|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi}{\left( \cos t + \sin t ight)dt} ightbrack

    \Rightarrow I = 2\left\lbrack \left. \ \pi + \left( \sin t - \cos t ight) ight|_{0}^{\pi} ightbrack = 4 + 2\pi

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 4 \\ B = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A + B = 6

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tìm vận tốc của anh B

    Anh A xuất phát từ D, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) = \frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18}(m/s) trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc anh A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, anh B cũng xuất phát từ D, chuyển động thẳng cùng hướng với anh A nhưng chậm hơn 5 giây so với anh A và có gia tốc bằng a\left( m/s^{2} ight) (a là hằng số). Sau khi anh B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp anh A. Vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Quãng đường anh A đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{15}{\left( \frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18} ight)dt} = 75(m)

    Vận tốc của anh B tại thời điểm t(s) tính từ lúc anh B xuất phát là: v_{B}(t) = at

    Quãng đường anh B đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{10}{(at)dt} = \left. \ \left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{10} = 50a(m)

    \Rightarrow 50a = 75 \Rightarrow a = \frac{3}{2}

    Vậy vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A là: v_{B}(20) = 10a = 15(m/s)

  • Câu 17: Nhận biết
    Tính tích phân I

    Cho \int_{1}^{2}{f(x)dx} = - 3. Tính I = \int_{2}^{4}{f\left( \frac{x}{2} \right)dx}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Đặt \frac{x}{2} = t \Rightarrow dx = 2dt

    \Rightarrow I = \int_{1}^{2}{2f(t)dt} = 2\int_{1}^{2}{f(t)dt} = 2.( - 3) = - 6

  • Câu 18: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là v(t) = 3t^{2} + 5(m/s). Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

    S = \int_{4}^{10}{v(t)dt} = \int_{4}^{10}{\left( 3t^{2} + 5 ight)dt}

    = \left. \ \left( t^{3} + 5t ight) ight|_{4}^{10} = 996(m)

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tìm thương số giữa b và c

    Biết tích phân I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = a. Giá trị của I_{2} = \int_{a}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} = bln2 - cln5. Thương số giữa b và c là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I_{1} = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = \left. \ \left( \cos x ight) ight|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}.

    \Rightarrow I_{2} = \int_{a}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} = \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + x}dx} = \frac{1}{3}\left. \ \left( \ln|t| ight) ight|_{\frac{5}{8}}^{2}.

    = \frac{4}{3}ln2 - \frac{1}{3}ln5 \Rightarrow b = \frac{4}{3},c = - \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{b}{c} = - 4

  • Câu 20: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho tích phân \int_{0}^{4}\frac{dx}{3 +\sqrt{2x + 1}} = a + b.\ln\frac{2}{3} với a;b\mathbb{\in Z}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{0}^{4}\frac{dx}{3 + \sqrt{2x + 1}} = \int_{0}^{4}{\left( 1 - \frac{3}{3 + \sqrt{2x + 1}} ight)d\left( \sqrt{2x + 1} ight)}

    = \left. \ \left\lbrack \sqrt{2x + 1} -3\ln\left( \sqrt{2x + 1} + 3 ight) ightbrack ight|_{0}^{4} = 2 +3\ln\frac{2}{3}

    Suy ra a = 2;b = 3 \Rightarrow a + b = 5.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (60%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
57 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này