Cho hàm số và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Tính
Ta có:
Cho hàm số và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Tính
Ta có:
Đồ thị của hàm số (với
là tham số) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Kết luận nào sau đây đúng?
Phương trình hoành độ giao điểm
Đặt . Phương trình trở thành
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt, nghĩa là
Gọi ;
là nghiệm cỉa phương trình (1) và
là nghiệm của phương trình (2)
Theo giả thiết ta có:
Ta có hệ:
Vậy
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình
có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng
?
Ta đặt: .
(dựa vào bảng biến thiên)
.
Mặt khác:
;
;
;
.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta được: yêu cầu bài toán tương đương
. Vậy có tất cả 30 giá trị của tham số
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ:

Biết (C) cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
?
Do đồ thi hàm số có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang là y = 2
=> Hàm số có dạng
=>
Ta có:
Cho hàm số có đạo hàm
liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình (m là tham số thực) nghiệm đúng với
khi và chỉ khi
Ta có:
Xét hàm số với
Ta có:
=> Hàm số g(x) luôn đồng biến trên
Ta có bảng biến thiên như sau:

=> (*) nghiệm đúng khi
Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f’(x) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

Bất phương trình (với m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi:
Đặt
Vì
=>
Xét hàm số
Ta có:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: thì
=> g(u) nghịch biến trên (0; 2)
Vậy để nghiệm đúng với mọi
thì
Tập tất cả các giá trị của tham số để phương trình
có 4 nghiệm phân biệt là
Ta có: .
Xét hàm số , khi đó:
.
Suy ra .
Vậy để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì: .
Một bể bơi chứa lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ
gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ
lít/phút.
a) Sau phút khối lượng muối trong bể là
(gam). Đúng||Sai
b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là . Sai||Đúng
c) Xem là một hàm số xác định trên nửa khoảng
, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là
. Đúng||Sai
d) Khi ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức
(gam/lít). Đúng||Sai
Một bể bơi chứa
lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ
gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ
lít/phút.
a) Sau
phút khối lượng muối trong bể là
(gam). Đúng||Sai
b) Nồng độ muối trong bể sau t phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là
. Sai||Đúng
c) Xem
là một hàm số xác định trên nửa khoảng
, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó có phương trình là
. Đúng||Sai
d) Khi
ngày càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức
(gam/lít). Đúng||Sai
Sau t phút, khối lượng muối trong bể là (gam)
Thể tích của lượng nước trong bể là (lít).
Vậy nồng độ muối sau phút là:
(gam/lít).
Ta có
Vậy đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
:
Ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng
làm đường tiệm cận ngang, tức là khi t càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức 30 (gam/lít).
Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ nước muối bơm vào bể.
a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
Gọi và
là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số
. Khi đó độ dài đoạn
ngắn nhất bằng
Hàm số có đồ thị
như hình vẽ.
Gọi và
là hai điểm thuộc hai nhánh của
.
Ta có: .
Áp dụng BĐT Côsi ta có: .
Suy ra:
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
và
.
Vậy .
Cho hàm số có đạo hàm trên
và hàm số
là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; -2). Sai||Đúng
b) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai||Đúng
c) . Sai||Đúng
d) Hàm số đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
Cho hàm số
có đạo hàm trên
và hàm số
là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số
đồng biến trên khoảng (−∞; -2). Sai||Đúng
b) Hàm số
có hai điểm cực trị. Sai||Đúng
c)
. Sai||Đúng
d) Hàm số
đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
a) Sai: Vì từ đồ thị của hàm số ta thấy
nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
b) Sai: Vì từ đồ thị của hàm số ta thấy
chỉ đổi dấu một lần qua x = 1 nên hàm số có một điểm cực trị.
c) Sai: Từ đồ thị ta có hàm số có dạng
Đồ thị hàm số đi qua
nên
Vậy
d) Đúng: Ta có:
Vẽ đường thẳng y = x − 1 trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số
Khi đó
Bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau:
Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−3; -1) nên g(x) đồng biến trên khoảng
Cho hàm số có bảng biến như sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có một nghiệm?
Đặt
Khi đó bất phương trình trở thành
Bất phương trình có nghiệm khi bất phương trình
có nghiệm
Trong hệ trục toạ độ , cho đồ thị hàm số
với
mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm
, biết hoành độ điểm
thuộc đồ thị
mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là
(loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức
?
Trong hệ trục toạ độ
, cho đồ thị hàm số
với
mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm
, biết hoành độ điểm
thuộc đồ thị
mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là
(loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức
?
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình có nghiêm đúng với
khi và chỉ khi :
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình
có nghiêm đúng với
khi và chỉ khi :
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Số nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Khi đó suy ra phương trình (1) có 1 nghiệm; phương trình (2) có 3 nghiệm và phương trình (3) có 1 nghiệm.
=> Phương trình có 5 nghiệm
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hai hàm số
và
cắt nhau tại
điểm phân biệt?
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
Điều kiện:
Ta có:
Xét hàm số trên
Nhận thấy, hàm số liên tục trên các khoảng
Ta có,
với
Suy ra, hàm số đồng biến trên
.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hai hàm số và
cắt nhau tại
điểm phân biệt khi
.
Tìm để đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại hai điểm
sao cho độ dài
là nhỏ nhất.
Gọi hàm số có đồ thị là
và đường thẳng
có đồ thị là
Xét phương trình hoành độ giao điểm của và
:
Để cắt
tại hai điểm
Phương trình
có hai nghiệm phân biệt khác
với
Giả sử hoành độ giao điểm của và
là
.
Khi đó .
Theo hệ thức Vi-ét ta có
Ta có
Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Vậy thì độ dài
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
Cho đồ thị hàm số . Giả sử
có khoảng cách đến đường thẳng
nhỏ nhất. Chọn khẳng định đúng?
Ta có:
Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) bằng:
Xét hàm số
Ta có bảng biến thiên
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số tại
Vậy
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng
Phương trình (*) có 1 nghiệm
Phương trình (**) có 2 nghiệm
=> Số nghiệm của phương trình là 3 nghiệm
Tất cả giá trị của tham số để đồ thị hàm số
cắt các trục tọa độ
lần lượt tại
sao cho diện tích tam giác
bằng 8 là
Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung là
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là:
Giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là .
Diện tích tam giác là:
Cho hàm số . Tổng bình phương các giá trị của tham số
để phương trình
có đúng 3 nghiệm thực phân biệt bằng
Ta có
Hàm số
đồng biến trên
.
Mặt khác , khi đó
.
Từ
.
Ta có đồ thị sau:
Theo yêu cầu bài toán tương đương . Vậy
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: