Cho hàm số có bảng biến như sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có một nghiệm?
Đặt
Khi đó bất phương trình trở thành
Bất phương trình có nghiệm khi bất phương trình
có nghiệm
Cho hàm số có bảng biến như sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có một nghiệm?
Đặt
Khi đó bất phương trình trở thành
Bất phương trình có nghiệm khi bất phương trình
có nghiệm
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi:
Ta có:
Xét hàm số
=>
Ta có:
Cho hàm số có đạo hàm trên
và hàm số
là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; -2). Sai||Đúng
b) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai||Đúng
c) . Sai||Đúng
d) Hàm số đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
Cho hàm số
có đạo hàm trên
và hàm số
là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số
đồng biến trên khoảng (−∞; -2). Sai||Đúng
b) Hàm số
có hai điểm cực trị. Sai||Đúng
c)
. Sai||Đúng
d) Hàm số
đồng biến trên khoảng
. Đúng||Sai
a) Sai: Vì từ đồ thị của hàm số ta thấy
nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
b) Sai: Vì từ đồ thị của hàm số ta thấy
chỉ đổi dấu một lần qua x = 1 nên hàm số có một điểm cực trị.
c) Sai: Từ đồ thị ta có hàm số có dạng
Đồ thị hàm số đi qua
nên
Vậy
d) Đúng: Ta có:
Vẽ đường thẳng y = x − 1 trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số
Khi đó
Bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau:
Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−3; -1) nên g(x) đồng biến trên khoảng
Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f’(x) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

Bất phương trình (với m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi:
Đặt
Vì
=>
Xét hàm số
Ta có:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: thì
=> g(u) nghịch biến trên (0; 2)
Vậy để nghiệm đúng với mọi
thì
Có bao nhiêu giá trị nguyên của để đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn
.
Phương trình hoành độ giao điểm
Đồ thị hàm số cắt rục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn
(*) có đúng hai nghiệm lớn hơn
.
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của với đường thẳng
song song với trục hoành.
Xét hàm số .
.
Cho .
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, ycbt.
Vì nguyên nên
.
Vậy có giá trị nguyên của
thỏa bài toán.
Cho hàm số (với
là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số
để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng
tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn
còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn
, là khoảng
(với
,
,
là phân số tối giản). Khi đó,
nhận giá trị nào sau đây?
Xét phương trình hoành độ giao điểm .
Đặt ,
. Khi đó phương trình trở thành
và đặt .
Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại
điểm phân biệt thì phương trình
có hai nghiệm thỏa mãn
và khi đó hoành độ bốn giao điểm là
.
Do đó, từ điều kiện của bài toán suy ra hay
.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi
.
Vậy ,
nên
.
Anh H dự định sử dụng hết 5,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).
Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là . Đúng||Sai
b) Ta có . Sai|| Đúng
c) Thể tích của bể là . Sai|| Đúng
d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng . Đúng||Sai
Anh H dự định sử dụng hết 5,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).

Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là
. Đúng||Sai
b) Ta có
. Sai|| Đúng
c) Thể tích của bể là
. Sai|| Đúng
d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng
. Đúng||Sai
a) Đúng. Kích thước đáy của bể lần lượt là 2a, a; chiều cao bể là h (a, h > 0). Tổng diện tích 5 mặt của bể là:
b) Sai. Theo đề bài ta có: .
c) Sai. Gọi V là thể tích của bể cá, ta có:
d) Đúng. Ta có:
Bảng biến thiên:
Vậy dung tích lớn nhất của bể cá bằng .
Cho hàm số . Các giá trị của tham số thực m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3, x4 thoả mãn
là:
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc khoảng
?
Đặt
Phương trình tương đương
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 6 nghiệm phân biệt
=> Phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
Cho hàm số có đồ thị
và đường thẳng
. Biết rằng
là hai giá trị thực của
để đường thẳng
cắt đồ thị
tại
điểm phân biệt có hoành độ
thỏa mãn
. Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị
?
Xét phương trình hoành độ giao điểm của và
Để đường thẳng cắt đồ thị
tại
điểm phân biệt có hoành độ
.
Khi đó,
Vậy hay
.
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Số nghiệm của phương trình là:
Ta có:
Khi đó suy ra phương trình (1) có 1 nghiệm; phương trình (2) có 3 nghiệm và phương trình (3) có 1 nghiệm.
=> Phương trình có 5 nghiệm
Gọi và
là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số
. Khi đó độ dài đoạn
ngắn nhất bằng
Hàm số có đồ thị
như hình vẽ.
Gọi và
là hai điểm thuộc hai nhánh của
.
Ta có: .
Áp dụng BĐT Côsi ta có: .
Suy ra:
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
và
.
Vậy .
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm
phân biệt sao
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
.
Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt khác
.
Với thì phương trình
có ba nghiệm phân biệt là
(
là nghiệm của
).
Mà suy ra điểm có hoành độ
luôn là trung điểm của hai điểm còn lại nên luôn có 3 điểm A,B,C thoả mãn
Vậy
Cho hàm số bậc bacó đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình
là
Ta có:
với
Ta đặt: thì suy ra
Suy ra:
.
Từ đó ta có BBT của hàm số như hình vẽ bên:
Đặt thì ta cũng có BBT của
như sau:
Nhìn vào đồ thị trên ta có được:
Như vậy ta suy ra .
Mà hàm số đó có cực trị bằng tại
Suy ra
Như vậy:
Từ đó, ta phác họa được đồ thị với
như sau:
Dựa vào hình vẽ trên, ta kết luận phương trình có tất cả 10 nghiệm phân biệt
Cho đồ thị hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số
để
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt cách hoành độ
thỏa mãn
?
Để hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có ba nghiệm phân biệt:
Ta đặt . Khi đó để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình sau phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Do có nghiệm khác 1 nên hay
Ta có:
Để có hai nghiệm phân biệt thì hay
Theo bài ra ta có:
với
là nghiệm của phương trình bậc hai trên.
Áp dụng hệ thức Vi – et ra có:
Kết hợp các điều kiện ta có: .
Vậy đáp án đúng là .
Cho hàm số có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình là
Dựa vào đồ thị, ta thấy
+ Phương trình tương đương
+ Các hàm số và
đồng biến trên các khoảng
và
, và nhận xét rằng
không phải là nghiệm của phương trình
nên:
.
+ Trên khoảng , ta có
nên các phương trình và
có nghiệm duy nhất.
+ Trên khoảng , ta có
nên các phương trình và
có nghiệm duy nhất.
Do đó, phương trình có
nghiệm phân biệt.
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của để đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại đúng một điểm?
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:
Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên
Xét hàm số
Ta có:
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm khi (*) có đúng 1 nghiệm
Vì nguyên âm nên
Vậy có 10 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ (với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là
là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,84 dặm
Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ
(với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là
là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,84 dặm
Gọi hàm số mô phỏng đường bay của máy bay là .
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên ta có
.
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên ta có phương trình
.
Mặt khác, ta có và
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nên ta có
tức là
.
Từ và
ta có
.
Suy ra .
Thay ta được
.
Vậy khi máy bay ha cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất khoảng dặm.
Trong số các cặp số thực để bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
, tích
nhỏ nhất bằng
Đặt và
Giả sử không phải là nghiệm của phương trình
thì hàm số
sẽ đổi dấu khi qua điểm
, nghĩa là
không nghiệm đúng với mọi
.
Do đó yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là có nghiệm
suy ra hoặc
hoặc là phương trình
có hai nghiệm
và
Trường hợp 1:
Trường hợp 2: phương trình có hai nghiệm
và
Ta thay vào phương trình
có
.
Với có phương trình
Vì cũng là nghiệm của phương trình nên
.
Trong trường hợp 1: suy ra tích
nhỏ nhất khi
Và với , tích
thì bất phương trình đã cho tương đương với
thỏa mãn với mọi
(nhận)
Trong trường hợp 2: Tích
Vậy tích nhỏ nhất khi
.
Cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
. Tính giá trị của biểu thức
Vì là ba nghiệm của phương trình bậc ba
Ta có .
Khi đó:
Suy ra
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: