Trong không gian với hệ trục tọa độ , khoảng cách từ
đến mặt phẳng
là
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ , khoảng cách từ
đến mặt phẳng
là
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Trong không gian , tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Trong không gian Oxyz, cho điểm và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
qua A và nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB với
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên ta có tọa độ điểm I là:
Mặt khác, ta lại có (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên (P) nhận làm 1 VTPT. Ta có VTPT của
Trong không gian với hệ tọa độ ; cho bốn điểm
. Tính thể tích tứ diện
.
Theo giả thiết ta có: suy ra
Vậy thể tích tứ diện là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai mặt phẳng
,
. Với giá trị thực của
bằng bao nhiêu để
song song
Để song song
.
Vậy .
Trong không gian , cho
điểm
,
,
,
, biết tọa độ
để
đạt giá trị nhỏ nhất thì
bằng
Gọi I là điểm thỏa mãn .
Ta có nên T nhỏ nhất khi M trùng I.
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ , mặt phẳng
đi qua
, song song với đường thẳng
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình:
Phương pháp tự luận
Ta có ,
Mặt phẳng đi qua
và có vectơ pháp tuyến
.
Phương pháp trắc nghiệm
Do kiểm tra mp
nào thỏa hệ
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
là:
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta có
Suy ra một vectơ pháp tuyến của là
Hơn nữa, trung điểm của AB là I(2; 4; −3) thuộc mặt phẳng (P) nên
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tứ diện
có các đỉnh
,
,
và
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
đồng thời cách đều
Trường hợp 1:
Trường hợp 2: đi qua trung điểm
của
.

Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng
qua mặt phẳng
. Khi đó phương trình mặt phẳng
là?
Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng
.
Điểm là điểm đối xứng của
qua trục tung
là mặt phẳng đi qua
và là mặt phẳng đối xứng của
.
Vậy .
Trong không gian tọa độ cho
,
và
là điểm thay đổi trên mặt phẳng
sao cho
,
cùng tạo với mặt phẳng
các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của
.
Tính khoảng cách từ A, B đến thi
. Gọi I là điểm thỏa mãn
Tọa độ , điểm M là hình chiếu của I trên
nên có tọa độ
. Từ đó
Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm
. Phương trình mặt phẳng
nào dưới đây đi qua
, gốc tọa độ
và cách đều hai điểm
và
?
Vì đi qua O nên phương trình mặt phẳng
có dạng
.
Vì A ∈ (P) và B, C cách đều (P) nên
Chọn a = −6, ta có b = 3, suy ra c = ±4.
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là hoặc
.
Trong không gian , cho
. Tính diện tích tam giác
?
Ta có:
Lại có diện tích tam giác là:
Cho hai mặt phẳng và
. Với
cho biết
và cặp vectơ chỉ phương
. Với
cho PTTQ
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của
và
, qua điểm
là:
Trước tiên, ta cần đưa phương trình về dạng tổng quát.
Theo đề bài, ta có và cặp vectơ chỉ phương
nên vecto pháp tuyến của mp
là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương.
Ta có .
Chọn làm vectơ pháp tuyến cho
thì phương trình tổng quát của
có dạng
.
Vậy phương trình
Để tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của và
ta xét chùm mặt phẳng :
Mặt khác, ta có
Thế vào (*) ta được:
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng
. Mặt phẳng
vuông góc với cả
và
đồng thời cắt trục
tại điểm có hoành độ bằng
. Phương trình của mặt phẳng
là:
Ta có: (P) có vectơ pháp tuyến , (Q) có vectơ pháp tuyến
.
Vì mặt phẳng (α) vuông góc với cả (P) và (Q) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là
Vì mặt phẳng (α) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên (α) đi qua điểm M(3; 0; 0).
Vậy (α) đi qua điểm M(3; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến nên (α) có phương trình
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thuộc
sao cho
ngắn nhất.
Gọi là điểm sao cho
Suy ra J(2; 3; 1).
Khi đó
Vậy đạt GTNN khi và chỉ khi
đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).
Vậy M(2; 3; 0).
Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
cắt các trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Gọi lần lượt là giao điểm của
với các trục
Ta có:
Trong không gian Oxyz, cho:
,
,
,
và
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. giá trị
bằng
Gọi là điểm thỏa mãn
. Ta tìm hình chiếu của I trên
Ghi
CALC (nhập tọa độ I)
STO M.
Bấm bấm
kết quả
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho
,
và hai mặt phẳng
,
. Gọi
là điểm nằm trên hai mặt phẳng
và
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
.
Giao tuyến của và
là
.
Tính các khoảng cách từ đến
, ta có
.
Gọi là trung điểm
, điểm
cần tìm là hình chiếu của
trên
.
Mà nên
. Vậy
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: