Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 Cánh Diều Bài 3 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức đã cho

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

    Gọi a là số đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Giá trị của biểu thức a^{2} + a bằng

    Hướng dẫn:

    Dựa vào đồ thị ta có

    \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = \frac{1}{2}. Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = \frac{1}{2}.

    \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^{+}}f(x) = + \infty, \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}^{-}}f(x) = - \infty Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = \frac{1}{2}

    \lim_{x \rightarrow - \frac{1}{2}^{+}}f(x) = - \infty, \lim_{x \rightarrow - \frac{1}{2}^{-}}f(x) = + \inftysuy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = - \frac{1}{2}

    Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận \Rightarrow a = 3.

    Vậy a^{2} + a = 12

  • Câu 2: Vận dụng
    Tìm số đường tiệm cận của hàm số

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

    Tìm số đường tiệm cận của hàm số

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} là:

    Gợi ý:

    Đường thẳng x = {x_0} là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f\left( x ight) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x ight) = \pm \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x ight) = \pm \infty

    Đường thẳng y = {y_0} là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f\left( x ight) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = {y_0};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = {y_0}

    Hướng dẫn:

    Phương trình f\left( x ight) = 2018 có 2 nghiệm phân biệt

    => Đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} có 2 đường tiệm cận đứng.

    Khi x \to - \infty thì y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}

    Khi x \to + \infty thì y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}

    Vậy đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} có 1 tiệm cận ngang.

     

  • Câu 3: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 \right\}, có bảng biến thiên như sau:

    Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Hướng dẫn:

    Từ bảng biến thiên, ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow ( - 1)^{-}}f(x) = + \infty \\ \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}f(x) = - \infty \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow x = - 1 là TCĐ.

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow - \infty}y = - 2 \\ \lim_{x ightarrow + \infty}y = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow y = - 2 là TCN.

    Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = - 1 và tiệm cận ngang y = - 2..

  • Câu 4: Thông hiểu
    Xác định hàm số tương ứng

    Cho đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây:

    Xác định hàm số tương ứng

    Đồ thị hàm số tương ứng với hàm số nào sau đây?

    Gợi ý:

    Đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x ight) = \pm \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x ight) = \pm \infty

    Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = {y_0};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = {y_0}

    Hướng dẫn:

    Từ đồ thị hàm số ta có tiệm cận đứng là x = 1, tiệm cận ngang là y = 1

    => Loại A và B

    Xét thấy giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; -2) => Chọn đáp án C

  • Câu 5: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên \mathbb{R} và có \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty;\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = + \infty. Phương trình f(x) = \frac{1}{2} có ba nghiệm phân biệt. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{1}{2f(x) - 1} là:

    Hướng dẫn:

    Đặt h(x) = \frac{1}{2f(x) - 1}.

    *) Tiệm cận ngang:

    Ta có: \lim_{x \rightarrow + \infty}h(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{2f(x) - 1} = 0.

    \lim_{x \rightarrow - \infty}h(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1}{2f(x) - 1} = 0.

    Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y = 0.

    *) Tiệm cận đứng:

    Xét phương trình: 2f(x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{2}.

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = \frac{1}{2} có ba nghiệm phân biệt a;b;c thỏa mãn a < b < c.

    Đồng thời \lim_{x \rightarrow a^{+}}h(x) = \lim_{x \rightarrow b^{-}}h(x) = \lim_{x \rightarrow c^{+}}h(x) = + \infty nên đồ thị hàm số y = h(x) có ba đường tiệm cận đứng là x = a;x = b;x = c.

    Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = h(x) là bốn.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm khẳng định đúng

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R}. Biết \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 2, \lim_{x \rightarrow \left( \frac{3}{2} \right)^{+}}f(x) = 1 và hàm số y = g(x) = \frac{5f(x) - 1}{\left\lbrack f^{2}(x) + 1 \right\rbrack(2x - 3)}. Trong các khẳng định sau về đồ thị hàm số y = g(x), khẳng định nào đúng:

    Hướng dẫn:

    Ta có :

    +) \lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{5f(x) - 1}{\left\lbrack f^{2}(x) + 1 \right\rbrack(2x - 3)} = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\frac{5f(x) - 1}{\left\lbrack f^{2}(x) + 1 \right\rbrack}}{2x - 3} = 0 suy ra đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị y = g(x).

    +) \lim_{x \rightarrow \left( \frac{3}{2} \right)^{+}}g(x) = \lim_{x \rightarrow \left( \frac{3}{2} \right)^{+}}\frac{5f(x) - 1}{\left\lbrack f^{2}(x) + 1 \right\rbrack(2x - 3)} = \lim_{x \rightarrow \left( \frac{3}{2} \right)^{+}}\frac{\frac{5f(x) - 1}{\left\lbrack f^{2}(x) + 1 \right\rbrack}}{2x - 3} = + \infty suy ra đường thẳng x = \frac{3}{2} là tiệm cận đứng của đồ thị y = g(x).

  • Câu 7: Vận dụng
    Xác định số đường tiệm cận

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Hướng dẫn:

    Từ đồ thị hàm số ta thấy:

    \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - 1 nên đường thẳng y = - 1 là một đường tiệm cận ngang.

    \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1 nên đường thẳng y = 1 là một đường tiệm cận ngang.

    Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = \pm 1.

    Tương tự

    \lim_{x \rightarrow - 2^{+}}f(x) = + \infty và \lim_{x \rightarrow - 2^{-}}f(x) = - \infty nên đường thẳng x = - 2 là đường tiệm cận đứng.

    \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty và và \lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = - \infty nên đường thẳng x = - 2 là đường tiệm cận đứng.

    Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = \pm 2.

    Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức T

    Cho hàm số y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}} có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Tính tổng T = a + 2b + 3c

    		Tính giá trị biểu thức T
    Gợi ý:

    Dựa vào đồ thị hàm số để xác định nghiệm của mẫu số và tử số từ đó suy ra các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    Tìm các giới hạn \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y để tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Hướng dẫn:

    Từ đồ thị hàm số ta có nhận xét như sau:

    Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (C)

    => x = \frac{{ - b}}{c} = 2 \Rightarrow b = - 2c

    Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C)

    => y = \frac{a}{c} = 1 \Rightarrow a = c

    Điểm có tọa độ (0; -1) thuộc đồ thị hàm số (C)

    => y(0) = -1 => \frac{2}{b} = - 1 \Rightarrow b = - 2

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = - 2} \\ {b = - 2c} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \\ {c = 1} \end{array}} ight. \Rightarrow T = a + 2b + 3c = 0

  • Câu 9: Vận dụng
    Xác định số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình vẽ

    Hỏi đồ thị hàm số g(x) = \frac{\sqrt{x}}{(x + 1)\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack} có bao nhiêu tiệm cận đứng?

    Hướng dẫn:

    Hàm số xác định \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ f^{2}(x) - f(x) \neq 0 \end{matrix} \right..

    Xét (x + 1)\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ f^{2}(x) - f(x) = 0 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow f^{2}(x) - f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = 0 \\ f(x) = 1 \end{matrix} \right..

    * Với f(x) = 0:

    Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x_{3} < x_{2} < 0 < x_{1}.

    Từ điều kiện (1) thì phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm x = x_{1}.

    * Với f(1) = 1:

    Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt x_{6} < x_{5} = 0 < x_{4}.

    Từ điều kiện (1) thì phương trình f(x) = 1 có 2 nghiệm x = x_{5} và x = x_{4} và cả 2 nghiệm này đều khác x_{1}.

    Suy ra phương trình (x + 1)\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

    Vậy đồ thị hàm số g(x) = \frac{\sqrt{x}}{(x + 1)\left\lbrack f^{2}(x) - f(x) \right\rbrack} có 3 tiệm cận đứng.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

    Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m trên khoảng ( - 20\ ;\ 20) để đồ thị hàm số y = \frac{1}{f(x) - m} có tiệm cận ngang.

    Hướng dẫn:

    Đồ thị hàm số y = \frac{1}{f(x) - m} có tiệm cận ngang nếu phương trình f(x) = m có nghiệm.

    Từ BBT suy ra m \leq 3.

    Kết hợp điều kiện m \in ( - 20\ ;\ 20), m \in Zta có m \in \left\{ - 19\ ;\ - 18\ ;\ ...\ ;\ 3 \right\}

    Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số mthỏa mãn đề bài là - 184.

  • Câu 11: Vận dụng
    Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

    Cho y = f(x) là hàm số bậc ba, liên tục trên \mathbb{R}.

    Đồ thị hàm số g(x) = \frac{1}{f\left( x^{2} + 3x \right) - 1} có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận.

    Hướng dẫn:

    Đặt t = x^{3} + 3x \Rightarrow t' = 3x^{2} + 3 > 0;\forall x\mathbb{\in R}.

    Ta có bảng biến thiên:

    Xét f\left( x^{3} + 3x \right) - 1 = 0. Vì y = f(x) là hàm số bậc ba nên phương trình f(t) = 1 có nhiều nhất 3 nghiệm t.

    Từ bảng biến thiên ta suy ra với mỗi giá trị t có đúng một giá trị x.

    Khi đó phương trình f\left( x^{3} + 3x \right) = 1 có nhiều nhất nghiệm x.

    Do đó đồ thị hàm số y = g(x) có nhiều nhất 3 tiệm cận đứng.

    Xét \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{1}{f\left( x^{3} + 3x \right) - 1} = \lim_{t \rightarrow \pm \infty}\frac{1}{f(t) - 1} = 0 (vì \lim_{t \rightarrow \pm \infty}f(t) = \pm \infty).

    Suy ra đồ thị hàm số y = g(x) có tiệm cận ngang là y = 0.

    Vậy đồ thị hàm số y = g(x) có nhiều nhất 4 đường tiệm cận.

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng:

    Tồn tại đúng một điểm M(a,b) trên đường cong y = \frac{1}{x-1} sao cho tiếp tuyến của đường cong tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2. Tính 4a + b + 10.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tính giá trị tham số m

    Cho đồ thị hàm số y = f(x) có bảng biến thiên xác định như hình. Biết rằng đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x_{0}, tiệm cận ngang là \ y = y_{0} và x_{0}y_{0} = 16. Hỏi m bằng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \lim_{x \rightarrow m^{+}}y = - \infty nên x = m là tiệm cận đứng.

    \underset{x \rightarrow + \infty}{\lim y = 8} nên y_{o} = 8 là tiệm cận ngang.

    Suy ra 8m = 16 \Leftrightarrow m = 2.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tính tổng các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

    Hướng dẫn:

    Nhìn bảng biến thiên ta thấy x = 0 hàm số không xác định nên x = 0 là TCĐ của đồ thị hàm số

    \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 3\Rightarrow y = 3 là TCN của đồ thị hàm số

    \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = 1 \Rightarrow y = 1là TCN của đồ thị hàm số

    Vậy hàm số có 3 tiệm cận

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R}, có \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty; \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm g(x) = \frac{f(x) + 1}{\sqrt{m.f^{2}(x) + 2}} có hai đường tiệm ngang là

    Hướng dẫn:

    TH1: m = 0

    \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x) + 1}{\sqrt{2}} = \pm \infty

    Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

    TH2: m < 0

    \lim_{x \rightarrow \pm \infty}f^{2}(x) = + \infty

    Suy ra \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left( m.f^{2}(x) + 2 \right) = - \infty

    Suy ra \lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) không tồn tại.

    TH3: m > 0

    \lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x) + 1}{\sqrt{m.f^{2}(x) + 2}}

    = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x)\left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)}{\left| f(x) \right|\sqrt{m + \frac{2}{f^{2}(x)}}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)}{\sqrt{m + \frac{2}{f^{2}(x)}}} = \frac{1}{\sqrt{m}}

    \lim_{x \rightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{f(x) + 1}{\sqrt{m.f^{2}(x) + 2}}

    = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{f(x)\left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)}{\left| f(x) \right|\sqrt{m + \frac{2}{f^{2}(x)}}} = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{- \left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)}{\sqrt{m + \frac{2}{f^{2}(x)}}} = - \frac{1}{\sqrt{m}}

    Đồ thị hàm số g(x) có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng y = \frac{1}{\sqrt{m}}, y = - \frac{1}{\sqrt{m}}.

    Tóm lại, tập hợp cần tìm là (0\ ;\ + \infty).

  • Câu 16: Thông hiểu
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4}. Khoảng cách từ điểm M(3; - 2) đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3,2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4}. Khoảng cách từ điểm M(3; - 2) đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3,2

    Ta có: y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4} = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4x + 4}.

    Xét \lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( y - \left( \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} ight) ight) = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{1}{4x + 4} = 0.

    Vậy đường tiệm cận xiên có phương trình y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3x - 4y - 1 = 0.

    Khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận xiên là:

    d = \frac{\left| 3.3 - 4.( - 2) - 1 ight|}{\sqrt{3^{2} + ( - 4)^{2}}} = \frac{16}{5} = 3,2

  • Câu 17: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{x - 1}{x^{2} - 8x + m} có ba đường tiệm cận?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x - 1}{x^{2} - 8x + m} = 0 nên suy ra hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là y = 0

    Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận thì phải có 2 tiệm cận đứng hay phương trình x^{2} - 8x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

    \left\{ \begin{matrix} 16 - m > 0 \\ 1^{2} - 8.1 + m eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 16 \\ m eq 7 \\ \end{matrix} ight.

    Do m nguyên dương nên có 14 giá trị m thỏa mãn.

  • Câu 18: Vận dụng
    Tìm số nguyên dương m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số f(x) đồng biến trên \mathbb{R}^{} thỏa mãn \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1 và \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty. Có bao nhiêu số nguyên dương m để đồ thị hàm số g(x) = \frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 2 \right)f(x)}{\left( x^{2} - 4x + m \right)\sqrt{f^{2}(x) + 1}} có đúng 2 đường tiệm cận.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định của hàm số g(x): x \geq - \frac{1}{3};x^{2} - 4x + m \neq 0.

    Vì x \geq - \frac{1}{3} nên không tồn tại giới hạn \lim_{x \rightarrow - \infty}g(x).

    Vì hàm số f(x) đồng biến trên \mathbb{R} và \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1 \Rightarrow f(x) > 1;\mathbb{\forall \in R}.

    Ta có: \lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x).\left( \sqrt{3x + 1} - 2 \right)}{\sqrt{f^{2}(x) + 1}.\left( x^{2} - 4x + m \right)}

    = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{f^{2}(x)}}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\sqrt{\frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{m}{x^{2}}} = 1.0 = 0

    Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x).

    Ta có g(x) = \frac{\left( \sqrt{3x + 1} - 2 \right)f(x)}{\left( x^{2} - 4x + m \right)\sqrt{f^{2}(x) + 1}}

    = \frac{(3x - 3)f(x)}{\left( x^{2} - 4x + m \right).\left( \sqrt{3x + 1} + 2 \right)\sqrt{f^{2}(x) + 1}}

    Đồ thị hàm số g(x) có đúng hai tiệm cận khi và chỉ khỉ nó có đúng một tiệm cận đứng, tức là phương trình x^{2} - 4x + m có nghiệm kép x_{0};x_{0} \geq - \frac{1}{3} hoặc có hai nghiệm phân biệt x_{1};x_{2} trong đó x_{1} = 1;x_{2} \neq 1;x_{2} \geq - \frac{1}{3} hoặc có hai nghiệm phân biệt x_{3};x_{4} trong đó x_{3} < - \frac{1}{3};x_{4} \geq - \frac{1}{3};x_{4} \neq 1.

    Xét bảng biến thiên của hàm số h(x) = - x^{2} + 4x:

    Ta có x^{2} - 4x + m = 0 \Leftrightarrow m = - x^{2} + 4x\ \ (1) .

    Từ bảng biến thiên suy ra \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = 3 \\ m < - \frac{13}{9} \end{matrix} \right.. Do m là số nguyên dương nên m \in \left\{ 3;4 \right\}.

  • Câu 19: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây

    Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = f(x) có tổng số đường tiệm cận ngang và đứng là 3 ?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện m \neq 0

    Ta có \lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty và \lim_{x \rightarrow 4^{+}}f(x) = - \infty nên đồ thị hàm số y = f(x) có 2 đường tiệm cận đứng (là hai đường thẳng x = 1 và x = 4)

    Cũng từ bảng biến thiên ta có \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = \frac{1}{m} và \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = m với điều kiện m \neq 0.

    Để đồ thị hàm số y = f(x) có tổng số đường tiệm cận ngang và đứng là 3

    \Leftrightarrow đồ thị hàm số y = f(x) có số đường tiệm cận ngang là 1

    \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) \Leftrightarrow \frac{1}{m} = m \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1.

    Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Định tham số m và n để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2, y = 2 lần lượt là TCĐ và TCN thì biểu thức 9m^{2} + 6mn + 36n^{2} có giá trị là

    Hướng dẫn:

    Từ BBT suy ra TCĐ là x = \frac{2 - 2m}{n}, TCN là y = \frac{m}{n};

    Yêu cầu bài toán: đường thẳng x = 2,y = 2 lần lượt là TCĐ và TCN nên

    \left\{ \begin{matrix} \frac{2 - 2m}{n} = 2 \\ \frac{m}{n} = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - 2m = 2n \\ m = 2n \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m + 2n = 2 \\ m - 2n = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = \frac{2}{3} \\ n = \frac{1}{3} \end{matrix} \right.

    Kết luận: vậy 9m^{2} + 6mn + 36n^{2} = \frac{28}{3}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (30%):
    2/3
  • Thông hiểu (65%):
    2/3
  • Vận dụng (5%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
58 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này