Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 15 (Mức độ Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Định phương trình tham số của đường thẳng

    Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) qua B(5,2, - 3) và song song với đường thẳng (d):\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z + 2}{4}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (D)//(d) nên một vectơ chỉ phương của (D):\overrightarrow{a} = (2,3,4) = - ( - 2, - 3, - 4)

    \Rightarrow (D)\left\{ \begin{matrix} x = 5 - 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} \right.\ \ \ ;t\mathbb{\in R}

  • Câu 2: Nhận biết
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 3}{3}. Phương trình tham số của đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;3; - 4) và song song với d là

    Hướng dẫn:

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_d}} = \left( {2; - 1;3} ight)

    Vì  \Delta  song song với d nên \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{a_{d}} = (2; - 1;3)

     \Delta  đi qua điểm  M(1;3; - 4)  và có vectơ chỉ phương \overrightarrow {{a_\Delta }}

    Vậy phương trình tham số của  \Delta  là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = - 4 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ .

     

  • Câu 3: Nhận biết
    Tìm phương trình chính tắc

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của d?

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = ( - 1;1;1) và đi qua điểm M(2;1;0). Do đó phương trình chính tắc của d là: \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}

  • Câu 4: Vận dụng
    Viết phương trình đường phân giác

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt nhau \Delta_{1}:\frac{x +1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{3},\Delta_{2}:\frac{x + 1}{1} =\frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 3}. Trong mặt phẳng \left( \Delta_{1};\Delta_{2} ight), hãy viết phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi \Delta_{1};\Delta_{2}

    Hướng dẫn:

    Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là \overrightarrow{u_{1}} = (1;2;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)

    Ta có \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = - 4 < 0, suy ra góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} và \overrightarrow{u_{2}} là góc tù.

    Lại có \left| \overrightarrow{u_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{u_{2}} ight|

    Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u_{1}} - \overrightarrow{u_{2}} = (0;0;6) = 6(0;0;1)

    Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (0;0;1)

    Vậy phương trình đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 5: Thông hiểu
    Viết PT tổng quát

    Cho hai đường thẳng \left( {d'} ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 1 + t\\z = - 2 - t\end{array} ight.\,\,;\,\,\,\,\,\left( {d''} ight)\left\{ \begin{array}{l}x = m - 3\\y = 2 + 2m\\z = 1 - 4m\end{array} ight.\,\,;t,\,\,m \in \mathbb{R}

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua (d’)và song song với (d’’).

    Hướng dẫn:

     Vì (P) đi qua (d’) nên (P) nhận VTCP của (d’) làm 1 VTCP

    VTCP\left( P ight):\overrightarrow a = \left( { - 2,1, - 1} ight)

    Vì (P) song song với (d’’) nên (P) có VTCP thứ hai là :

    VTCP\left( P ight):\overrightarrow b = \left( {1,2, - 4} ight)

    Từ đây, ta suy ra VTPT của (P) chính là tích có hướng của 2 VTCP và :

    VTPT\left( P ight):\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = \left( {2,9,5} ight)

    Lấy điểm A(3,1,-2) trên đường thẳng (d’) mà (d’) nằm trong (P) nên ta có được A cũng phải thuộc (P):

    \begin{array}{l}A\left( {3,1, - 2} ight) \in \left( P ight) \Rightarrow \left( {x - 3} ight)2 + \left( {y - 1} ight)9 + \left( {z + 2} ight)5 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \left( P ight):2x + 9y + 5z - 5 = 0\end{array}

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của OI

    Trong không gian Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,c là các số thực thay đổi, khác 0 và thỏa mãn a + b + c = 6. Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là I. Giá trị nhỏ nhất của OI bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi I(x;\ y;\ z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp OABC, nếu dựng thêm hình hộp chữ nhật có ba cạnh OA, OB, OC thì I là tâm của hình hộp, hay ta có I(x;\ y;\ z) = I\left( \frac{a}{2};\ \frac{b}{2};\ \frac{c}{2} \right).

    Suy ra x + y + z = \frac{a + b + c}{2} = 3

    \Rightarrow OI = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \geq \sqrt{\frac{1}{3}(x + y + z)^{2}} = \sqrt{3}.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( - 4; - 2;4) và đường thẳng d:\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{4}. Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.

    Hướng dẫn:

    Gọi B\left( x_{B};y_{B};z_{B} \right) là giao điểm của (d) với (\Delta). Khi đó, ta có:

    \frac{x_{B} + 3}{2} = \frac{y_{B} - 1}{- 1} = \frac{z_{B} + 1}{4} = k

    \Rightarrow B(2k - 3; - k + 1;4k - 1)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (2k + 1; - k + 3:4k - 5);\overrightarrow{u_{d}} = (2; - 1;4)

    AB\bot(d) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d}} = 0

    \Leftrightarrow 2(2k + 1) - ( - k + 3) + 4.(4k - 5) = 0

    \Leftrightarrow k = \frac{21}{21} = 1 \Rightarrow B( - 1;0;3);(3;2; - 1)

    Phương trình (\Delta) chính là phương trình AB và là:

    \Delta:\frac{x + 4}{3} = \frac{y + 2}{2} + \frac{z - 4}{- 1}

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm A( - 2;2;1) cắt trục tung tại B sao cho OB = 2OA.

    Hướng dẫn:

    B \in Oy \Rightarrow B(0;b;0)

    OB = 2OA \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 6 \\ b = - 6 \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} B(0;6;0),\ \overrightarrow{AB} = (2;4; - 1) \\ B(0; - 6;0),\ \overrightarrow{AB} = (2; - 8; - 1) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x}{2} = \frac{y - 6}{4} = \frac{z}{- 1} và \frac{x}{2} = \frac{y + 6}{- 8} = \frac{z}{- 1}.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Xác định đường thẳng thích hợp

    Đường thẳng (D):x - 3y + 2z + 7 = 0;x- 2y + z - 5 = 0 vuông góc với đường thẳng nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Hai pháp vec-tơ của hai mặt phẳng x - 3y + 2z + 7 = 0;x - 2y + z - 5 = 0 là \overrightarrow{n_{1}} = (1, - 3,2);\overrightarrow{n_{2}} = (1, - 2,1) \Rightarrow \overrightarrow{a} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} \right\rbrack = (1,1,1)

    \left( d_{1} \right) có vec-tơ chỉ phương \overrightarrow{b} = (3, - 4,1)

    \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3 - 4 + 1 = 0 \Rightarrow (D)\bot\left( d_{1} \right)

    \left( d_{2} \right) có vec-tơ chỉ phương \overrightarrow{c} = ( - 2,1, - 2) \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = - 3 \neq 0

    \left( d_{3} \right) có vec-tơ chỉ phương \overrightarrow{d} = (1,2, - 3) \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{d} = 0 \Rightarrow (D)\bot\left( d_{3} \right)

  • Câu 10: Nhận biết
    Vị trí tương đối của hai đường thẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = - t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)và d':\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}. Vị trí tương đối của d và d' là

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (3; - 1; - 2) và đi qua điểm M(−1; 0; 1).

    Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d'}} = ( - 3;1;2).

    Hai vectơ \overrightarrow{u_{d}} và \overrightarrow{u_{d'}} cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.

    Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz bán kính của mặt cầu tâm I(1;3;5) và tiếp xúc với đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1} bằng

    Hướng dẫn:

    Bán kính mặt cầu cần tìm là khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d.

  • Câu 12: Nhận biết
    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng Oy có phương trình tham số là

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng Oy đi qua điểm A(0\ ;\ 2\ ;\ 0) và nhận vectơ đơn vị \overrightarrow{j} = (0;\ 1;\ 0) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:\left\{ \begin{matrix} x = 0 + 0.t \\ y = 2 + 1.t \\ z = 0 + 0.t \\ \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \left( t\mathbb{\in R} \right).

  • Câu 13: Thông hiểu
    Viết phương trình tham số

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác \overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;1) với M = \Delta \cap (P). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

    \overrightarrow{BC} = (0; - 2; - 4) = - 2(0;1;2)

    Vì d song song với M( - 3;1;1) nên d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (0;1;2)

    d qua A và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}}

    Vậy phương trình tham số của d là \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 4 + t \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ .

  • Câu 14: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3) và mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 9 = 0. Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (3;4; - 4) cắt (P) tại B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90^{o}. Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Hướng dẫn:

    Theo giả thiết thì M thuộc mặt cầu dường kính AB, tâm I là trung điểm AB. Gọi H là tâm đường tròn giao tuyến thì M thuộc đường tròn tâm H, có B cố định nên MB lớn nhất khi MB là đường kính của đường tròn tâm H, hay M là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Ta cần viết phươmh trình đường thẳng BM.

    Vào MENU 9 1 2 nhập 2 = 2 = 1 = \& 3 = 4 = 4 = ta có \overrightarrow{n_{Q}} = ( - 4;5;2) là vtpt của mp(Q) chứa A, B và vuông góc với (P).

    Phương trình (Q): - 4x + 5y + 2z = 0.

    Từ các phương trình (P) và (Q), cho x = t \Rightarrow y = - 2,z = 5 + 2t, cũng là phương trình của MB, và đi qua điểm I( - 1; - 2;3).

    Nhận xét.

    Đây là bài toán rất tốt để rèn luyện kiến thức về tọa độ không gian Oxyz, đòi hỏi đầy đủ về điểm - Đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu - giao tuyến - hình chiếu - vuông góc - song song tức là kiến thức khá cơ bản và tổng hợp trong một bài toán. Ngoài ra không kém phần trừu tượng, do đó cũng cần đòi hỏi kỹ năng giải nhanh, có thể không khó nhưng giải thông thường thì tốn khá nhiều thời gian.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix}x =3 - 2t \\y = 1 + 2t \\x = - 5 + t\end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và mặt phẳng (P):x + y - 5= 0.

    a) Vectơ \overrightarrow{u} = ( - 2;2;1) là một vectơ chỉ phương của \Delta. Đúng||Sai

    b) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Oyz) bằng 45^{0}. Đúng||Sai

    c) Đường thẳng đi qua N(2;3; - 4) và song song với \Delta có phương trình là \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 4}{1}. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng d vuông góc \Delta và tạo với (P) một góc 450 có một vectơ chỉ phương là  \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;4) . Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix}x =3 - 2t \\y = 1 + 2t \\x = - 5 + t\end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và mặt phẳng (P):x + y - 5= 0.

    a) Vectơ \overrightarrow{u} = ( - 2;2;1) là một vectơ chỉ phương của \Delta. Đúng||Sai

    b) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Oyz) bằng 45^{0}. Đúng||Sai

    c) Đường thẳng đi qua N(2;3; - 4) và song song với \Delta có phương trình là \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 4}{1}. Đúng||Sai

    d) Đường thẳng d vuông góc \Delta và tạo với (P) một góc 450 có một vectơ chỉ phương là  \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;4) . Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai

    Phương án a) đúng: Từ phương trình của \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2t \\ y = 1 + 2t \\ x = - 5 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) ta có \overrightarrow{u} = ( - 2;2;1) là một vectơ chỉ phương của \Delta.

    Phương án b) đúng: (P):x + y - 5 = 0; (Oyz):x = 0 nên ta có \cos\left( (P);(Oyz) \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}.

    Suy ra \left( (P);(Oyz) \right) =45^0.

    Phương án c) đúng: Đường thẳng \Delta_{1}// \Delta nên \Delta_{1} nhận \overrightarrow{u} = ( - 2;2;1) làm VTCP. Hơn nữa \Delta_{1} đi qua N(2;3; - 4) nên có phương trình là \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 4}{1}.

    Phương án d) sai: Gọi \overrightarrow{u_{1}} = (a;b;c) (với a^{2} + b^{2} + c^2 > 0) là một VTCP của d. Do d\bot\Delta nên \overrightarrow{u_{1}}\bot\overrightarrow{u} \Rightarrow \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u} = 0

    \Rightarrow - 2a + 2b + c = 0 \Rightarrow c = 2a - 2b(*)

    Hơn nữa \left( d;(P) \right) =45^0 nên \sin\left( d;(P) \right)= \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|a + b|}{\sqrt{2}.\sqrt{a^{2} + b^{2} +c^{2}}}

    \Leftrightarrow |a + b| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} \Leftrightarrow 2ab = c^{2}

    . Thay (*) vào ta được: (2a - 2b)^{2} = 2ab \Leftrightarrow 2a^{2} - 5ab + 2b^{2} = 0(**)

    Nếu b = 0 \Rightarrow a = 0;c = 0 (không thỏa mãn).

    Nếu b \neq 0, ta có (**) \Leftrightarrow 2.\left( \frac{a}{b} \right)^{2} - 5\left( \frac{a}{b} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{a}{b} = 2 \\ \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \end{matrix} \right..

    Với \frac{a}{b} = 2 \Rightarrow a = 2b, thay vào (*) ta được c = 2b. Do đó \overrightarrow{u_{1}} = (2b;b;2b);(b \neq 0)

    Với \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = 2a, thay vào (*) ta được c = - 2a. Do đó \overrightarrow{u_{1}} = (a;2a; - 2a);(a \neq 0)

    Vậy \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;4) không là một VTCP của d.

    Cách khác: Giả sử \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 2;4) là một VTCP của d. Khi đó \sin\left( d;(P) \right) = \frac{\left| 1.1 + ( - 2).1 + 4.0 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + 4^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{42}} \Rightarrow \left( d;(P) \right) \neq 45^{0} (mâu thuẫn).

    Vậy \overrightarrow{u_{1}} = (1;2;-4) không là một VTCP của d.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;5;3) và hai mặt phẳng (P):2x + y + 2z - 8 = 0,(Q):x - 4y + z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song với hai mặt phẳng (P),(Q)?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1;2) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 4;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (9;0; - 9)

    Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;0; - 1).

    Vậy phương trình đường thẳng d là \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tìm điểm thuộc đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;\ 3;\ - 2). Xét đường thẳng d thay đổi song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến dnhỏ nhất, dđi qua điểm nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Để khoảng cách từ A đến dnhỏ nhất thì điểm A, d và trục Oz đồng phẳng và khi đó: d(A,d) = d(A,Oz) - d(d,Oz) = 1.

    Phương trình d:x = 0,y = 2,z = t. Khi đó d đi qua điểm Q(0;\ 2;\ - 5).

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tính khoảng cách từ d đến (P)

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 2y - 8 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.. Khoảng cách giữa đưởng thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight. đi qua A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (2; - 1;1)

    Mặt phẳng (P):x + 2y - 8 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;2;0).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 2 - 2 + 0 = 0 \\ A otin (P) \\ \end{matrix} ight., nên đường thằng d song song với mặt phẳng (P).

    Vậy khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P):

    d\left( d;(P) ight) = d\left( A;(P) ight) = \frac{|1 + 4 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}

  • Câu 19: Thông hiểu
    Định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \Delta:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z - 1}{- 5} và d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z + 1}{2} bằng

    Hướng dẫn:

    Chọn \left\{ \begin{matrix} M(2;3;1) \in \Delta \\ N(1;0; - 1) \in d \\ \end{matrix} \right.

    Áp dụng công thức d(\Delta;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack.\overrightarrow{MN} \right|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack \right|} = \sqrt{5}

  • Câu 20: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 3 + t \\ z = 4 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 3 = 0.

    a) Vectơ \overrightarrow{n} = (1; - 2;2) là một vectơ pháp tuyến của (P). Đúng||Sai

    b) Điểm M(0;4;4) thuộc \Delta. Đúng||Sai

    c) Góc giữa \Delta và (P) bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    d) Đường thẳng d đi qua điểm M(0;4;4), song song với (P) và tạo với \Delta một góc 45^{0} có phương trình là \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{2}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 3 + t \\ z = 4 \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right) và mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 3 = 0.

    a) Vectơ \overrightarrow{n} = (1; - 2;2) là một vectơ pháp tuyến của (P). Đúng||Sai

    b) Điểm M(0;4;4) thuộc \Delta. Đúng||Sai

    c) Góc giữa \Delta và (P) bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    d) Đường thẳng d đi qua điểm M(0;4;4), song song với (P) và tạo với \Delta một góc 45^{0} có phương trình là \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{2}. Đúng||Sai

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Sai

    d) Đúng

    Phương án a) đúng: Từ phương trình của (P):x - 2y + 2z - 3 = 0 ta có \overrightarrow{n} = (1; - 2;2) là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Phương án b) đúng: Từ phương trình của \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 3 + t \\ z = 4 \end{matrix} \right. cho t = 1 ta được \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 4 \\ z = 4 \end{matrix} \right..

    Do đó M(0;4;4) \in \Delta.

    Phương án c) sai:

    Ta có \sin\left( \Delta;(P) \right) =\frac{\left| ( - 1).1 + 1.( - 2) + 0.2 \right|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 1^{2}+ 1^{2}}.\sqrt{1^2 + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{2}}. Do đó \left( \Delta;(P) \right) = 45^{0}

    Phương án d) đúng: Gọi \overrightarrow{u} = (a;b;c) (với a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0) là một VTCP của d.

    Do d//(P) nên \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0

    \Rightarrow a - 2b + 2c = 0 \Rightarrow 2c = 2b - a(*)

    Hơn nữa \left( d;(P) \right) = 45^{0} nên \cos\left( d;(P) \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \frac{| - a + b|}{\sqrt{2}.\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow |b - a| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow (b - a)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} \Leftrightarrow c^{2} = - 2ab \Leftrightarrow (2c)^{2} = - 8ab

    Thay (*) vào ta được

    \Leftrightarrow (2b - a)^2 = - 8ab\Leftrightarrow (2b + a)^{2} = 0 \Leftrightarrow a = - 2b.

    Thay vào (*) ta được c = 2b.

    Do đó \overrightarrow{u} = ( - 2b;b;2b) (với b \neq 0).

    Suy ra \overrightarrow{u_{1}} = \frac{1}{b}\overrightarrow{u} = ( - 2;1;2) cũng là một VTCP của d.

    Hơn nữa d đi qua điểm M(0;4;4) nên d có phương trình là \frac{x}{- 2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 4}{2}.

    Do đó ta có N(2;3;2) \in d nên \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{1} =\frac{z- 2}{2} cũng là phương trình của d.

    (Có thể kiểm tra tính đúng, sai của d) bằng cách sử dụng phương trình \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y - 3}{1} =\frac{z - 2}{2 } để kiểm tra thỏa mãn giả thiết M(0;4;4) \in d;d//(P) và \left( d;(P) \right) = 45^{0}).

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (65%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
49 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này