Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Cánh Diều Tích phân (Mức Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Xác định giá trị của biểu thức

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x + 1}{x^{3} + 2x^{3} + x^{2}} trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn F(1) = \frac{1}{2}. Giá trị của biểu thức T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{2x + 1}{x^{2}(x + 1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} ight)dx}

    Suy ra F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + C mà F(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1 .Hay F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + 1

    Ta có:

    T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019)

    T = \left( - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 4 ight) + ... + \left( - \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} + 1 ight)

    T = - 1 + \frac{1}{2020} + 2019.1 = 2018 + \frac{1}{2020} = 2018\frac{1}{2020}

  • Câu 2: Vận dụng
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm I = \int_{}^{}{(x -1)\sin2x.dx}

    Hướng dẫn:

    I = \int_{}^{}{(x -1)\sin2xdx}

    Đặt x - 1 = u \Rightarrow dx = du.

    \sin2xdx = dv \Rightarrow v = -\dfrac{1}{2}.\cos2x

    Khi đó I = \frac{- (x - 1)}{2}.\cos2x +\frac{1}{2}\int_{}^{}{\cos2xdx}

    = \frac{(1 - x)\cos2x}{2} +\frac{1}{4}.\sin2x + C

  • Câu 3: Thông hiểu
    Chọn khẳng định đúng

    Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( 2x - 1 + \frac{1}{x} \right)^{2}

    = 4x^{2} - 4x + 1 + 2(2x - 1).\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    = 4x^{2} - 4x + 1 + 4 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    Khi đó:

    \int_{}^{}{\left( 2x - 1 + \frac{1}{x}\right)^{2}dx}= 4\int_{}^{}{x^{2}dx + \int_{}^{}{dx} +\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}}dx }{- 4\int_{}^{}xdx - \int_{}^{}\frac{2}{x}dx}+ 4\int_{}^{}{dx}

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức T

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\} thỏa mãn f'\left( x ight) = \frac{1}{{x - 1}};f\left( 0 ight) = 2017;f\left( 2 ight) = 2018. Giá trị của biểu thức T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight] là bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

     \begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}dx} \hfill \\ = \ln \left| {x - 1} ight| + C = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln \left( {x - 1} ight) + {C_1}{\text{ khi x > 1}}} \\ {\ln \left( {1 - x} ight) + {C_2}{\text{ khi x < 1}}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = 2017 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} ight) + {C_2} = 2017} \\ {f\left( 2 ight) = 2018 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} ight) + {C_1} = 2018} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_2} = 2017} \\ {{C_1} = 2018} \end{array}} ight.

    Khi đó

    \begin{matrix} T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight] \hfill \\ = \left[ {\ln \left( {3 - 1} ight) + 2018 - 2018} ight].\left[ {\ln \left( {1 - \left( { - 1} ight)} ight) + 2017 - 2017} ight] \hfill \\ = \ln 2.\ln 2 = {\ln ^2}2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 2^{x} + 3\sqrt{x} và f(4) = \ln\frac{16}{2}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3x^{\frac{1}{2}} ight)dx}

    = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2.x^{\frac{3}{2}} +C = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2\sqrt{x^{3}} + C.

    Theo bài ra ta có:

    f(4) = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow \frac{2^{4}}{\ln2} + 2\sqrt{4^{3}} + C = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow C = - 16

    Vậy f(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} +2\sqrt{x^{3}} - 16.

  • Câu 6: Vận dụng
    Viết phương trình tiếp tuyến

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0 ight\} thỏa mãn f(x) + xf'(x) = 3x^{2} và f(2) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) + xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow (x)'f(x) + xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow \left( xf'(x) ight)' = 3x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{\left( xf'(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{3x^{2}dx} \Leftrightarrow xf(x) = x^{3} + C

    Lại có f(2) = 8 \Rightarrow 2f(2) = 8 + C \Leftrightarrow 2.8 = C + 8 \Leftrightarrow C = 8

    Từ đó suy ra xf(x) = x^{3} + 8 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x^{3} + 8}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x^{3} + 8}{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2

    Ta có: f'(x) = \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}} \Rightarrow f'( - 2) = - 6;f( - 2) = 0

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là

    y = f'( - 2)(x + 2) + f( - 2)

    \Leftrightarrow y = - 6(x + 2) \Rightarrow y = - 6x - 12

  • Câu 7: Vận dụng
    Viết phương trình tiếp tuyến

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x).f^{2}(x) = x^{2} và f(2) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g(x) = f(x) + x^{2} tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f'(x).f^{2}(x) = x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{f'(x).f^{2}(x)dx} = \int_{}^{}{x^{2}dx}

    \Leftrightarrow \int_{}^{}{f^{2}(x)df(x)} = \frac{x^{3}}{3} + C

    \Leftrightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C. Theo bài ra ta có: f(2) = 2 \Rightarrow \frac{f^{3}(2)}{3} = \frac{2^{3}}{3} + C \Rightarrow C = 0

    Suy ra \frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} \Leftrightarrow f(x) = x

    Vậy g(x) = x^{2} + x \Rightarrow g'(x) = 2x + 1

    Ta có: g'(3) = 7;g(3) = 12

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    y = g'(3)(x - 3) + g(3)

    \Leftrightarrow y = 7(x - 3) + 12 \Leftrightarrow y = 7x - 9

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Một nguyên hàm của f(x) = \frac{x}{sin^{2}x} là :

    Hướng dẫn:

    Ta có: I =\int_{}^{}{\frac{x}{sin^2x}dx}

    Đặt: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \frac{1}{sin^{2}x}dx \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cot x \\ \end{matrix} \right.

    Khi đó: I = uv - \int_{}^{}{vdu} = -x\cot x + \int_{}^{}{\cot xdx}= - x\cot x + \ln\left| \sin x \right| +C

  • Câu 9: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{e^{x} + 3}.

    Hướng dẫn:

    Ta có

    \int_{}^{}{\frac{dx}{e^{x} + 3} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}dx}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)} = \int_{}^{}\frac{d\left( e^{x} ight)}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}}}

    = \frac{1}{3}\int_{}^{}{\left\lbrack \frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x} + 3} ightbrack d\left( e^{x} ight) = \frac{1}{3}\ln\left| \frac{e^{x}}{e^{x} + 3} ight| + C}

  • Câu 10: Vận dụng
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x} trên khoảng (0;\pi). Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\dfrac{2\cos x - 1}{\sin^{2}x}dx} =\int_{}^{}{\dfrac{2\cos x}{\sin^{2}x}dx} -\int_{}^{}{\dfrac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = \int_{}^{}\frac{2d\left( \sin xight)}{\sin^{2}x} - \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx} = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C

    Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x} trên khoảng (0;\pi) nên hàm số F(x) có công thức dạng F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C với mọi x \in (0;\pi)

    Xét hàm số F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C xác định và liên tục trên (0;\pi)

    Ta có: F'(x) = f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}

    \Rightarrow F'(x) = 0\Leftrightarrow \frac{2\cos x - 1}{\sin^{2}x} = 0

    \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Trên khoảng (0;\pi) phương trình F'(x) = 0 có một nghiệm x = \frac{\pi}{3}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    \underset{(0;\pi)}{\max F(x)} = F\left( \frac{\pi}{3} ight) = - \sqrt{3} + C. Theo bài ra ta có: - \sqrt{3} + C = \sqrt{3} \Rightarrow C = 2\sqrt{3}

    Do đó F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2\sqrt{3} suy ra F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Xác định nguyên hàm

    Tìm nguyên hàm I = \int_{}^{}{(2x - 1)e^{- x}dx}.

    Hướng dẫn:

    Đặt u = 2x - 1 \Rightarrow du = 2dx;

    e^{- x}dx = dv \Rightarrow v = - e^{- x}

    Lúc này ta có

    \int_{}^{}{(2x - 1)e^{- x}dx = - (2x - 1).e^{- x} + \int_{}^{}{2e^{- x}dx}}

    = - (2x - 1).e^{- x} - 2e^{- x} + C = - (2x + 1)e^{- x} + C

  • Câu 12: Thông hiểu
    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2)?

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2

    Xét từng đáp án ta thấy:

    \left( \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x \right)' = x^{2} + 3x + 2.

    Vậy nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2) là: F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2};f\left( 2 ight) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Hướng dẫn:

     Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( x ight)'f\left( x ight) + xf'\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {xf\left( x ight)} ight]' = 3{x^2} \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix} \int {\left[ {xf\left( x ight)} ight]'dx = \int {3{x^2}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow xf\left( x ight) = {x^3} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác f\left( 2 ight) = 8 \Rightarrow 3.f\left( 2 ight) = 8 + C \Rightarrow C = 8

    => xf\left( x ight) = {x^3} + 8 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{{{x^3} + 8}}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{{{x^3} + 8}}{x} = 0 \Rightarrow x = - 2

    Ta có: f'\left( x ight) = \frac{{2{x^3} - 8}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( { - 2} ight) = - 6} \\ {f\left( { - 2} ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( { - 2} ight)\left( {x + 2} ight) + f\left( { - 2} ight) \Rightarrow y = - 6x - 12

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức T

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)

    Gợi ý:

     Biến đổi f\left( x ight) = \frac{1}{{\left( {x + a} ight)\left( {x + b} ight)\left( {x + c} ight)}} = \frac{A}{{x + a}} + \frac{B}{{x + b}} + \frac{C}{{x + c}}

    Hướng dẫn:

     Ta có: f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{{x^2}}} + \frac{C}{{x + 1}} = \frac{{\left( {A + C} ight){x^2} + (A + B)x + B}}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A + C = 0} \\ {B = 1} \\ {A + B = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = - 1} \\ {B = 1} \\ {B = 1} \end{array}} ight.

    => F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( { - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} }

    => F\left( x ight) = - \ln \left| x ight| - \frac{1}{x} + \ln \left| {x + 1} ight| + C = \ln \left| {\frac{{x + 1}}{x}} ight| - \frac{1}{x} + C

    Khi đó: F\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_1}{\text{ khi x}} \in \left( {0; + \infty } ight)} \\ {\ln \left( {\dfrac{{ - x - 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_2}{\text{ khi x}} \in \left( { - 1; + \infty } ight)} \\ {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_3}{\text{ khi x}} \in \left( { - \infty ; - 1} ight)} \end{array}} ight.

    Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5

    => \left( {\ln 2 - 1 + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + {C_2}} ight) = \frac{1}{2}

    => {C_1} + {C_2} = 1

    => F\left( 2 ight) + F\left( { - 3} ight) = \left( {\ln \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) = \frac{5}{6}

  • Câu 15: Vận dụng
    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}}dx = \int_{}^{}{\frac{xdx}{x^{2}\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{d\left( x^{2} + 1 ight)}{x^{2}.\sqrt{x^{2} + 1}}}}

    = \int_{}^{}{\frac{d\left( \sqrt{x^{2} + 1} ight)}{x^{2}} = \int_{}^{}{\frac{d\left( \sqrt{x^{2} + 1} ight)}{\left( \sqrt{x^{2} + 1} ight)^{2} - 1} = \frac{1}{2}.ln\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} + C}}

    (Áp dụng công thức \int_{}^{}{\frac{du}{u^{2} - a^{2}} = \frac{1}{2a}.ln\left| \frac{u - a}{u + a} ight| + C})

  • Câu 16: Vận dụng
    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của I = \int_{}^{}{xsin^{2}x}dx là:

    Hướng dẫn:

    Ta biến đổi:

    I = \int_{}^{}{xsin^{2}x}dx = \int_{}^{}{x\left( \frac{1 - cos2x}{2} \right)dx}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{xdx - \frac{1}{2}\int_{}^{}{xcos2x}}dx = \frac{1}{4}x^{2} - \frac{1}{2}\underset{I_{1}}{\overset{\int_{}^{}{xcos2xdx}}{︸}} + C_{1}

    \mathbf{I}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\int_{}^{}{\mathbf{x}\mathbf{cos2}\mathbf{xdx}}.

    Đặt\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = cos2x \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = \frac{1}{2}sin2x \\ \end{matrix} \right..

    \Rightarrow I_{1} = \int_{}^{}{xcos2xdx} = \frac{1}{2}xsin2x - \frac{1}{2}\int_{}^{}{sin2xdx =} \frac{1}{2}xsin2x + \frac{1}{4}cos2x + C.

    \Rightarrow I = \frac{1}{4}\left( x^{2} - \frac{1}{2}cos2x - xsin2x \right) + C = \frac{1}{8}\left( 2x^{2} - 2xsin2x - cos2x \right) + C

    = - \frac{1}{8}cos2x + \frac{1}{4}\left( x^{2} + xsin2x \right) + C.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x}{(1 - x)^{3}}?

    Hướng dẫn:

    Nhận thấy x = 1 là nghiệm bội ba của phương trình (x - 1)^{3} = 0, do đó ta biến đổi:

    \frac{2x}{(1 - x)^{3}} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{(1 - x)^{2}} + \frac{C}{(1 - x)^{3}}

    =\frac{A\left( x^{2} - 2x + 1 ight) + B(1 - x) + C}{(1 - x)^{3}}

    = \frac{Ax^{2} + ( - 2A - B)x + A + B + C}{(1 - x)^{3}}

    Từ đây ta có \left\{ \begin{matrix} A = 0 \\ - 2A - B = 2 \\ A + B +C=0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 0 \\ B = -2 \\ C = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có \int_{}^{}{\frac{2x}{(1 - x)^{3}}dx = \int_{}^{}\left( \frac{- 2}{(1 - x)^{2}} + \frac{2}{(1 - x)^{3}} ight)dx }= \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{(x - 1)^{2}} + C

  • Câu 18: Vận dụng
    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2} là

    Hướng dẫn:

    Phân tích

    Ta có:

    \frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2} =\frac{4x - 3}{(x - 2)(x - 1)}

    = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} = \frac{Ax - 2A + Bx - B}{(x - 1)(x - 2)}

    Khi đó (A + B)x - 2A - B = 4x - 3, đồng nhất hệ số thì ta được

    \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 2A + B = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = - 1 \\ B = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Giải chi tiết

    Ta có \int_{}^{}{\frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2}dx}= \int_{}^{}{\left( \frac{- 1}{x - 1} + \frac{5}{x - 2} ight)dx}

    = - \ln|x - 1| + 5.ln|x - 2| + C

    = 4.ln|x - 2| + \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} ight| + C= 4.ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 1}{x - 2} ight| + C

    Đáp số bài tập kiểm tra khả năng vận dụng:

    \int_{}^{}{\frac{x^{2} + 2x - 1}{2x^{3} + 3x^{2} - 2x}dx }= \frac{1}{2}.\ln|x| + \frac{1}{10}.\ln|2x - 1| - \frac{1}{10}.\ln|x + 2| + C

  • Câu 19: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Biết xe^{x} là một nguyên hàm của hàm số f( - x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f'(x)e^{x} thỏa mãn F(0) = 1. Giá trị của F( - 1) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f( - x) = \left( xe^{x} ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Do đó f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{- ( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Nên f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 - x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)

    \Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x - 2)e^{x} = x - 2

    Vậy F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C

    Từ đó F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C = C + 2

    F(0) = 1 \Rightarrow C = - 1

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 \Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 = \frac{7}{2}

  • Câu 20: Vận dụng
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Cho F(x) = x^{2} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}?

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm

    \int_{}^{}{f(x)dx = F(x) \Rightarrow F'(x) = f(x)}.

    Từ giả thiết, ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}e^{2x}dx = F(x) \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{e^{2x}}

    Suy ra f'(x) = \frac{(2x)'.e^{2x} - 2x.\left( e^{2x} ight)'}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{(2 - 4x)e^{2x}}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{2 - 4x}{e^{2x}}.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx =}\int_{}^{}{\frac{2 - 4x}{e^{2x}}.e^{2x}dx = (2 - 4x)dx = 2x - 2x^{2}} + C

    Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

    Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

    \int_{}^{}{u(x)}v'(x)dx = u(x).v(x) - \int_{}^{}{v(x).u'(x)}dx.

    Ta có \int_{}^{}{e^{2x}.f'(x)dx = e^{2x}.f(x) - \int_{}^{}{f(x).2e^{2x}dx = f(x)e^{2x} - 2\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx}}}

    Từ giả thiết: \int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx} = F(x) = x^{2} \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = 2x - 2x^{2} + C}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (65%):
    2/3
  • Vận dụng (10%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
12 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm