Trong không gian , tìm tất cả các giá trị của
để phương trình
là phương trình của một mặt cầu?
Phương trình là một mặt cầu
.
Trong không gian , tìm tất cả các giá trị của
để phương trình
là phương trình của một mặt cầu?
Phương trình là một mặt cầu
.
Cho điểm và đường thẳng
. Phương trình mặt cầu có tâm
và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng
là:
Gọi H là hình chiếu của trên d
Vậy phương trình mặt cầu là:
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
và
. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình
là phương trình của một mặt cầu (S) sao cho qua hai điểm
có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu (S) đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1.
Ta có:
Suy ra (*) là phương trình mặt cầu
Khi đó, mặt cầu (S) có tâm và bán kính
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, B.
Theo giả thiết (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 1.
Mặt khác, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là
Ta có: suy ra
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Suy ra đường thẳng là:
Để có duy nhất mặt phẳng (P) thỏa mãn bài thì
TH1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm I và
Ta có
+ Với (loại).
+ Với m = −2 ⇒ ⇒ m = −2 (thỏa mãn).
TH2. Mặt phẳng (P) cách I một khoảng lớn nhất ⇔ d lớn nhất ⇔ d = d(I, AB). (*)
Khi đó
Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu.
Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng
vuông góc với đáy
. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng
đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm
nhận giá trị nào sau đây?

Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên
cân tại A , trung tuyến AM nên
(1)
Ta có
Do đó (2)
Từ (1) và (2), suy ra (*)
Lại có (**)
Từ (*) và (**), suy ra . Tương tự ta cũng có
Do đó nên năm điểm
cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm
. Viết phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác
và tiếp xúc với mặt phẳng
?
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Ta áp dụng tính chất sau: “Cho tam giác với I là tâm đường tròn nội tiếp, khi đó ta có:
với
”
Ta có:
Khi đó:
Mặt phẳng có phương trình
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên mặt cầu có bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Mặt cầu tâm tiếp xúc với trục Oz có phương trình:
Mặt cầu tâm , bán kính R và tiếp xúc trục Ox
.
Vậy
Lưu ý : Học sinh hoàn toàn có thể sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải quyết.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , mặt cầu
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
khác
thỏa mãn tam giác
có trọng tâm là điểm
. Tọa độ tâm của mặt cầu
là:
Gọi tọa độ các điểm trên ba tia lần lượt là
với
Vì G là trọng tâm tam giác nên
Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là:
Vì qua các điểm
nên ta có hệ phương trình:
Vậy tọa độ tâm của mặt cầu là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình mặt cầu tâm
bán kính
là:
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
Tổng quát .
Cho các điểm và đường thẳng
. Gọi
là mặt cầu đi qua
và có tâm thuộc đường thẳng
. Bán kính mặt cầu
bằng:
Tâm .
Vì đi qua
nên ta có
Vậy bán kính mặt cầu :
Với giá trị nào của m thì mặt phẳng cắt mặt cầu
?
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là
(P) cắt (S) khi:
Cho tứ diện OABC với . Mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện có tâm và bán kính là:
Tâm I của mặt cầu (S) có hình chiếu trên Ox, Oy, Oz lần lượt là trung điểm của OA, OB và OC.
Bán kính
Cho các điểm và
và đường thẳng
. Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm là:
Gọi trên d vì
Phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng
là:
Gọi là hình chiếu của
lên mặt phẳng
, ta có:
.
là bán kính mặt cầu cần tìm.
Vậy phương trình mặt cầu là
Hay
Trong không gian cho mặt cầu
Đường kính của
bằng
Ta có bán kính của là
nên đường kính của
bằng
.
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật với
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng
. Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp
và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

Ta có .
Trong , ta có
Ta có .
Mặt khác, ta lại có .
Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính
.
Mặt cầu có tâm là:
Phương trình mặt cầu có dạng
có tâm
, bán kính
Mặt cầu có tâm là
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu (S) có bán kính tiếp xúc với mặt phẳng
Ta có:
Tập hợp các tâm I của hai mặt phẳng song song và cách đều (P) một đoạn bằng 3:
Hai mặt cầu
Ta có:
Tâm
bán kinh
Tâm
, bán kính
và
tiếp xúc trong
Trong không gian , cho
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt cầu đi qua
và tiếp xúc mặt phẳng
.
Gọi là tâm mặt cầu cần tìm.
Theo bài ra ta có:
Vậy phương trình mặt cầu tâm I(3; 1; −2) bán kính là
.
Cho điểm và đường thẳng
Phương trình mặt cầu (S) có tâm
và cắt đường thẳng
tại hai điểm
sao cho tam giác
vuông là:
Gọi là hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
Ta có vectơ chỉ phương của :
và
Vì tam giác vuông tại
và
. Suy ra tam giác
vuông cân tại
, do đó bán kính:
Vậy phương trình mặt cầu .
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: