Phương trình mặt cầu tâm nào sau đây tiếp xúc với trục Ox:
Mặt cầu tâm , bán kính R và tiếp xúc trục Ox
.
Vậy
Lưu ý : Học sinh hoàn toàn có thể sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải quyết.
Phương trình mặt cầu tâm nào sau đây tiếp xúc với trục Ox:
Mặt cầu tâm , bán kính R và tiếp xúc trục Ox
.
Vậy
Lưu ý : Học sinh hoàn toàn có thể sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải quyết.
Cho 4 điểm và
. Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng
có phương trình là:
Mặt phẳng đi qua
và có vectơ pháp tuyến
Vì mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng
nên bán kính
.
Vậy phương trình mặt cầu
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
với
qua
Cho mặt cầu và 4 điểm
,
. Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu
?
Lần lượt thay tọa độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình mặt cầu , ta thấy chỉ có tọa độ điểm Q thỏa mãn.
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Tứ diện ABCD đều
có tâm
Bán kính
Bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm và
bằng:
Gọi phương trình mặt cầu có dạng
với
.
Do đi qua bốn điểm M, N, P, Q nên ta có hệ phương trình:
.
Vậy
Cho các điểm và
và đường thẳng
. Gọi
là mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. Đường kính mặt cầu
bằng:
Gọi trên d vì
đường kính là
Trong không gian , cho mặt phẳng
và mặt cầu
tâm
bán kính
. Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng
và mặt cầu
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng và mặt cầu
là
Ta có:
Suy ra
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm
và
. Phương trình mặt cầu tâm
và đi qua
có phương trình là:
Bán kính mặt cầu là
Phương trình mặt cầu tâm và
là:
Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có trùng với ba trục
. Viết phương trình mặt cầu
tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương.
tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương tại trung điểm của mỗi cạnh. Tâm
là trung điểm của 6 đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đôi một có độ dài bằng
Bán kính
Viết phương trình tổng quát của tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng
.
có tâm
, bán kính
Tiếp điểm của có phương trình:
Cho hai điểm ,
và mặt cầu
Mặt phẳng
qua M, N và tiếp xúc với mặt cầu
có phương trình:
Ta có mặt cầu (S) có tâm và bán kính
,
Gọi với
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
Vì qua M, N nên
Mặt phẳng qua
và nhận
là vectơ pháp tuyến nên có phương trình
.
Mặt phẳng tiếp xúc với
Từ (1) và (2) (*)
Trong (*), nếu thì
, và từ
suy ra
(vô lí). Do vậy
.
Chọn
Với , ta có
. Khi đó
.
Với , ta có
. Khi đó
.
Vậy phương trình mặt phẳng hoặc
.
Trong không gian tọa độ , mặt cầu tâm
bán kính
có phương trình là
Mặt cầu tâm và bán kính
có phương trình là:
Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có .
Theo giả thiết R = 2m và .
Vậy .
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu
(S): ,
.
Ta có:
Tâm
Vậy tập hợp các tâm I là elip
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm nhận đường thẳng (D):
làm tiếp tuyến.
qua
có vecto chỉ phương
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm
. Mặt cầu
có tâm
thuộc trục
và đi qua hai điểm
. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Tọa độ tâm của mặt cầu
là
.Đúng||Sai
b) Bán kính của mặt cầu
là
. Đúng||Sai
c) Mặt cầu có phương trình
.Sai||Đúng
d) Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
. Đúng||Sai
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
. Mặt cầu
có tâm
thuộc trục
và đi qua hai điểm
. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Tọa độ tâm
của mặt cầu
là
.Đúng||Sai
b) Bán kính
của mặt cầu
là
. Đúng||Sai
c) Mặt cầu
có phương trình
.Sai||Đúng
d) Mặt cầu
tiếp xúc với mặt phẳng
. Đúng||Sai
Gọi .
Vì đi qua hai điểm
nên
có tâm
, bán kính
.
Khi đó, phương trình mặt cầu là:
.
Ta có: .
.
Vậy cắt
theo giao tuyến là một đường tròn.
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tâm
tại điểm
có phương trình là:
Mặt cầu có tâm
Vì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
tại điểm
nên mặt phẳng
qua
và có vectơ pháp tuyến
Vậy phương trình mặt phẳng .
Lưu ý : Vì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm nên điểm
thuộc mặt phẳng cần tìm hơn nữa khoảng cách từ tâm
đến mặt phẳng cần tìm bằng
cũng chính là bán kính mặt cầu. Từ các nhận xét đó để tìm ra đáp án của bài này ta có thể làm như sau:
B1: Thay tọa độ vào các đáp án để loại ra mặt phẳng không chứa
B2: Tính và
và kết luận
Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm
. Mặt cầu
có tâm
và đi qua hai điểm
có phương trình là:
Ta có:
Vì đi qua hai điểm
nên
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng
Ta có:
Tâm
tiếp xúc
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: