Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình mặt cầu (Mức Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Xác định phương trình mặt cầu

    Mặt cầu tâm I(2;4;6) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình:

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu tâm I(2;4;6), bán kính R và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz): y = 0 \Leftrightarrow R = d\left( I;(Oxz) \right)

    \Leftrightarrow R = \frac{|4|}{1} = 4.

    Vậy (S):(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 16.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tìm phương trình mặt cầu

    Cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.. Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và trục Ox là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A(t; - 1 + 3t;1) \in d;B(t';0;0) \in Ox

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (t' - t;1 - 3t; - 1), \overrightarrow{u_{d}} = (1;3;0),\ \overrightarrow{i} = (1;0;0).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d}} = 0 \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{i} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow t = t' = \frac{1}{3} và R = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( x - \frac{1}{3} \right)^{2} + y^{2} + \left( z - \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tìm biểu thức liên hệ

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với  AB=2a, AD=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45^0 . Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

    Hướng dẫn:

    Tìm biểu thức liên hệ

    Ta có {45^0} = \widehat {SC,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SC,AC} = \widehat {SCA} .

    Trong \Delta SAC, ta có h = SA = a\sqrt 5

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot BN.

    Mặt khác, ta lại có NA \bot AC.

    Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính

    R = JN = \frac{{NC}}{2} = \frac{1}{2}.\sqrt {A{C^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{5a}}{4}.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Xác định số phần bằng nhau

    Cho hình hợp chữ nhật ABCD.EFGH có A(0,0,0);\ \ \ B(4,0,0);\ \ \ D(0,6,0);\ \ \ E(0,0,2). Ba mặt phẳng: x - 2z = 0;\ \ y - 3 = 0;\ \ \ x + 2z - 4 = 0 chia hình hộp chữ nhật thanh mấy phần bằng nhau?

    Hướng dẫn:

    Hai mặt phẳng: x - 2z và x + 2z- 4 = 0 chia hình hộp chữ nhật thành 4 phần bằng nhau.

    Mặt phẳng y - 3 = 0 cắt 4 phần trên thành 8 phần bằng nhau. (Học sinh tự vẽ hình).

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S):\ \ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 tại điểm M có tọa độ dương. Mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \left( 1 + OA^{2} \right)\left( 1 + OB^{2} \right)\left( 1 + OC^{2} \right) là:

    Hướng dẫn:

    Do tính đối xứng nên T nhỏ nhất khi a = b = c > 0. Khi đó phương trình (P) theo đoạn chắn là: x + y + z - a = 0.

    Điều kiện tiếp xúc d\left( O,(P) \right) = \frac{|a|}{\sqrt{3}} = R = 1 \Rightarrow a = \sqrt{3}.

    Vậy \min T = \left( 1 + a^{2} \right)^{3} = 4^{3} = 64.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2), mặt phẳng (α): x−y +z −4 = 0 và mặt cầu (S):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 16. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (α) và đồng thời (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của (P) và trục x’Ox là

    Hướng dẫn:

    Gọi (C) là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) và (C) có tâm H, bán kính r.

    Bán kính r của đường tròn là nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất khi và chỉ khi d(I,(P)) lớn nhất.

    Vì M ∈ x'Ox nên gọi M(m; 0; 0).

    Suy ra mặt phẳng (P) chứa AM và (P) ⊥ (α).

    Khi đó \overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ightbrack = (3;2 + m;m - 1)

    Mà mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:

    3(x − 0) + (2 + m)(y − 2) + (m − 1)(z − 2) = 0 hay 3x + (2 + m)y + (m − 1)z −3m=0

    Ta có:

    d\left( I;(P) ight) = \frac{9}{\sqrt{2m^{2} + 2m + 14}} lớn nhất khi và chỉ khi 2m^{2} + 2m + 14 đạt giá trị nhỏ nhất

    Mà 2m^{2} + 2m + 14 = 2\left( m + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{27}{2} \geq \frac{27}{2}

    Do đó 2m^{2} + 2m + 14 nhỏ nhất khi và chỉ khi m = - \frac{1}{2}

    Vậy M\left( - \frac{1}{2};0;0 ight).

  • Câu 7: Thông hiểu
    Xác định phương trình đường thẳng d

    Cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P):x + y - 2z + 4 = 0. Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A(3; - 1;1) và song song với mặt phẳng (P) là:

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 2; - 1) \Rightarrow \overrightarrow{IA} = (2;1;2)

    Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại \left\lbrack \begin{matrix} t = \frac{7}{2} \\ t = - 1 \\ \end{matrix} \right. và song song với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vettơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}},\overrightarrow{IA} \right\rbrack = (4; - 6; - 1)

    Vậy phương trình đường thẳngd:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = - 1 - 6t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right.\ .

  • Câu 8: Thông hiểu
    Ghi đáp án vào ô trống

    Khi đặt hệ tọa độ Oxyz vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.

    Đáp án : 18km

    Đáp án là:

    Khi đặt hệ tọa độ Oxyz vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.

    Đáp án : 18km

    Ta có x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0

    \Leftrightarrow (x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 9^{2}.

    Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 18km.

    Đáp số: 18km.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Xác định phương trình mặt cầu

    Cho I(1;2;4) và mặt phẳng (P):2x + 2y + z - 1 = 0. Mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P), có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Bán kính mặt cầu là : R = d\left( I,(\alpha) \right) = \frac{|2.1 + 2.2 + 4 - 1|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 3.

    Phương trình mặt cầu là: (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 4)^{2} = 3

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm câu sai

    Cho hai mặt cầu (S) và (S’) lần lượt có tâm I và J, bán kính R và R’. Đặt d = IJ. Câu nào sau đây sai?

    I. d > |R - R'| \Rightarrow (S) và (S') trong nhau

    II. 0 < d < R + R' \Rightarrow (S) và (S') ngoài nhau

    III. d = |R - R'| \Rightarrow (S) và (S') tiếp xúc ngoài

    IV. d = R + R' \Rightarrow (S) và (S') tiếp xúc trong

    Hướng dẫn:

    d > |R - R'| \Rightarrow (S) và (S') ngoài nhau

    0 < d < R + R' \Rightarrow (S) và (S') cắt nhau

    d = |R - R'| \Rightarrow (S) và (S') tiếp xúc trong

    d = R + R' \Rightarrow (S) và (S') tiếp xúc ngoài.

    Vậy cả 4 mệnh đề đều sai.

  • Câu 11: Nhận biết
    Tính bán kính mặt cầu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0. Bán kính của mặt cầu (S) là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.0.x - 2.1y - 2.( - 1)z - 7 = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = - 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight. suy ra tâm mặt cầu là: I(0;1; - 1)

    Bán kính mặt cầu là:

    R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2} - 7} = 3

  • Câu 12: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 6z - 2 = 0 và mặt phẳng (P):3x + 2y + 6z + 1 = 0. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Viết phương trình mặt cầu cầu (S') chứa (C) và điểm M(1, - 2,1).

    Hướng dẫn:

    Phương trình của (S'):(S) + m(P) = 0,\ \ m \neq 0

    (S'):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 6z - 2 + m(3x + 2y + 6z + 1) = 0

    (S') qua M(1, - 2,1) \Rightarrow 6m + 18 = 0 \Leftrightarrow m = - 3

    \Rightarrow (S'):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 5x - 8y - 12z - 5 = 0

  • Câu 13: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho các điểm I( - 1;0;0) và đường thẳng d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{1}. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc d là:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳngdđi qua I(2;1;1)và có một vectơ chỉ phương:

    \overrightarrow{u} = (1;\ 2;\ 1) \Rightarrow d(I;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{5}

    Phương trình mặt cầu là: (x + 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 5.

  • Câu 14: Nhận biết
    Xác định tọa độ điểm thuộc mặt cầu

    Mặt cầu (S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 10y + 3z + 1 = 0 đi qua điểm có tọa độ nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt cầu. Tọa độ điểm nào thỏa mãn phương trình thì điểm đó thuộc mặt cầu.

    Kiểm tra đáp án thu được kết quả là: điểm (4; - 1;0). thuộc mặt cầu đã cho.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tìm độ lớn bán kính mặt cầu

    Cho hai điểm A;B cố định trong không gian có độ dài AB = 4. Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA = 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Ta có: MA = 3MB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}

    \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} = 9\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}

    \Leftrightarrow IA^{2} - 9IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} ight) = 8MI^{2}(*)

    Gọi I thỏa mãn \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BI} = \frac{1}{8}\overrightarrow{AB} nên IB = \frac{1}{2};IA = \frac{9}{2}

    Từ (*) suy ra 8MI^{2} = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2} \Rightarrow M \in S\left( I;\frac{3}{2} ight).

  • Câu 16: Thông hiểu
    Xác định phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện

    Phương trình mặt cầu có tâm I(4;6; - 1) và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

    Hướng dẫn:

    Gọi H là hình chiếu của I(4;6; - 1) trên Ox

    \Rightarrow H(4;0;0) \Rightarrow IH = d(I;Ox) = \sqrt{37}

    \Rightarrow R^{2} = IH^{2} + \left( \frac{AB}{2} \right)^{2} = 37 + 37 = 74

    Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 4)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 1)^{2} = 74.

  • Câu 17: Thông hiểu
    Viết phương trình mặt cầu

    Mặt cầu (S) tâm I( - 1;2; - 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):x + 2y + 2z + 1 = 0 có phương trình:

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) tâm I, tiếp xúc với mặt phẳng (P)

    \Leftrightarrow d\left( I;(P) \right) = R \Leftrightarrow R = \frac{2}{3}.

    \Rightarrow (S) : (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = \frac{4}{9}.

  • Câu 18: Nhận biết
    Xác định số phương trình mặt cầu

    Cho các phương trình sau: (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 1; x^{2} + (2y - 1)^{2} + z^{2} = 4;

    x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1 = 0; (2x + 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + 4z^{2} = 16.

    Số phương trình là phương trình mặt cầu là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: (2x + 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + 4z^{2} = 16 \Leftrightarrow \left(x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + z^{2}= 4

    (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 là phương trình của một mặt cầu.

    Có tất cả 3 phương trình mặt cầu

  • Câu 19: Nhận biết
    Tìm khoảng cách

    Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p. Một mặt phẳng (\alpha) cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là \frac{p}{2}. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (\alpha)  bằng: 

    Hướng dẫn:

    Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.

    Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R.

    Theo giả thiết, ta có \pi {R^2} = p \Leftrightarrow R = \sqrt {\frac{p}{\pi }} và \pi {r^2} = \frac{p}{2} \Leftrightarrow r = \sqrt {\frac{p}{{2\pi }}}

    Suy ra d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {\frac{p}{{2\pi }}}.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính GTNN của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(0;0\ ;\ 2) và B(3;4\ ;\ 1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \left( S_{1} \right):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 3)^{2} = 25 với \left( S_{2} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 14 = 0. Hai điểmM, N thuộc (P) sao choMN = 1. Giá trị nhỏ nhất của AM + BNlà

    Hướng dẫn:

    Trừ các vế hai mặt cầu, ta có phương trình (P):z = 0, tức là mặt phẳng (Oxy).

    Hạ AH,BK vuông góc với (P), tọa độ H(0;0;0),K(3;4;0) và HK = 5.

    Chọn M,N thuộc đoạn HK, đặt NK = t \Rightarrow HM = 4 - t.

    Khi đó AM + BN = \sqrt{2^{2} + (4 - t)^{2}} + \sqrt{1^{2} + t^{2}}

    \geq \sqrt{(2 + 1)^{2} + (4 - t + t)^{2}} = 5.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (60%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
61 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này