Trong không gian , mặt cầu
có bán kính bằng:
Bán kính của mặt cầu là
.
Trong không gian , mặt cầu
có bán kính bằng:
Bán kính của mặt cầu là
.
Cho hai điểm . Tìm tập hợp các điểm
sao cho
.
Ta có:
Mặt cầu
Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với đáy (
). Tính theo
diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
ta được:

Gọi , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông
.
Gọi I là trung điểm SC, suy ra
Do đó IO là trục của hình vuông , suy ra
(1)
Xét tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên . (2)
Từ (1) và (2), ta có:
Vậy diện tích mặt cầu (đvdt).
Trong không gian , có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để
là một phương trình mặt cầu
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi
Theo bài ra
Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu , điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là đường thẳng đi qua điểm
nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Biết rằng
có một vectơ chỉ phương
. Tính giá trị của biểu thức
.
Để AB nhỏ nhất thì AB cách xa tâm O nhất, gọi H là trung điểm AB thì , do đó ta cần có
, suy ra
.
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ , tìm tọa độ tâm
và bán kính
của mặt cầu
Tâm của có tọa độ là
Bán kính mặt cầu là:
.
Cho đường thẳng . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và trục Ox là:
Gọi
Ta có: và
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu
. Bán kính của mặt cầu
là:
Ta có:
suy ra tâm mặt cầu là:
Bán kính mặt cầu là:
Cho các điểm và
và đường thẳng
. Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm là:
Gọi trên d vì
Cho hình lập phương QABC.DEFG có cạnh bằng 1 có trùng với ba trục
. Viết phương trình mặt cầu
ngoại tiếp hình lập phương.
có tâm I là trung điểm chung của 4 đường chéo:
, bán kính
Trong không gian với hệ trục tọa độ , mặt cầu
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
khác
thỏa mãn tam giác
có trọng tâm là điểm
. Tọa độ tâm của mặt cầu
là:
Gọi tọa độ các điểm trên ba tia lần lượt là
với
Vì G là trọng tâm tam giác nên
Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là:
Vì qua các điểm
nên ta có hệ phương trình:
Vậy tọa độ tâm của mặt cầu là:
.
Trong không gian , cho điểm
và mặt cầu
. Mặt phẳng đi qua
cắt
theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là:
Ta có:
(S) có bán kính và tâm
,
nên I nằm trong hình cầu (S).
Gọi r là bán kính của đường tròn, (P) là mặt phẳng qua M, ta có:
Suy ra bán kính khi
là vectơ pháp tuyến của (P).
Vậy phương trình của mặt phẳng .
Cho điểm đường thẳng
. Phương trình mặt cầu
có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho
là:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
.
Gọi H là hình chiếu của I trên
Ta có: .
.
Vậy phương trình mặt cầu là:
Trong không gian , cho tứ diện
có tọa độ đỉnh
. Gọi
là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
. Viết phương trình mặt cầu
có tâm trùng với tâm của mặt cầu
và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu
?
Gọi phương trình mặt cầu có
Vì là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
nên ta có hệ phương trình
. Suy ra tâm mặt cầu
và bán kính
Vậy phương trình mặt cầu có tâm trùng với tâm của mặt cầu
và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu
là:
Cho mặt cầu và mặt phẳng
. Phương trình đường thẳng
tiếp xúc với mặt cầu
tại
và song song với mặt phẳng
là:
Mặt cầu có tâm
Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tại
và song song với mặt phẳng
nên đường thẳng d có vettơ chỉ phương
Vậy phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu
Ta có:
Vậy tọa độ bán kính và bán kính mặt cầu lần lượt là:
Cho tứ diện OABC với . Mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện có tâm và bán kính là:
Tâm I của mặt cầu (S) có hình chiếu trên Ox, Oy, Oz lần lượt là trung điểm của OA, OB và OC.
Bán kính
Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên trục
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm
bán kính
?
Hình chiếu vuông góc của trên
là:
Suy ra phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
.
Cho mặt cầu . Gọi
là giao điểm của
và trục
có tung độ âm. Viết phương trình tổng quát của tiếp diện
của
tại
.
Giao điểm của và trục
(loại)
Tiếp diện tại
Trong không gian với hệ toạ độ , cho phương trình
. Viết phương trình mặt phẳng
, biết
song song với mặt phẳng
và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi
?
Vì nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
Đường tròn lớn có chu vi là nên bán kính của
là
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3
Từ đó ta có:
Vì nên phương trình mặt phẳng (α) là
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: