Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Phương trình mặt cầu (Mức Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Chọn đáp án chính xác

    Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;0;0),B(1;3;0),C( - 1;0;3),D(1;2;3). Tính bán kính R của (S)?

    Hướng dẫn:

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A;B;C;D

    Khi đó ta có phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ AI^{2} = CI^{2} \\ AI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 3)^{2} + c^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + 1)^{2} + b^{2} + (c - 3)^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 3b = - 3 \\ a - c = - 1 \\ a - 2b - 3c = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    Vậy bán kính cần tìm là: R = IA = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}

  • Câu 2: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính 70km. Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1km. Một máy bay trực thăng đang ở vị trí A( - 65; - 25;30) bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi 200km/h, quỹ đạo bay theo đường thẳng.

    a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900. Đúng||Sai

    b) [TH] Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

    c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng d có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.. Đúng||Sai

    d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là 35 phút. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính 70km. Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1km. Một máy bay trực thăng đang ở vị trí A( - 65; - 25;30) bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi 200km/h, quỹ đạo bay theo đường thẳng.

    a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900. Đúng||Sai

    b) [TH] Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

    c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng d có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.. Đúng||Sai

    d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là 35 phút. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Vùng kiểm không lưu của của đài kiểm soát trên là tập hợp những điểm cách tâm O(0;\ \ 0;\ \ 0) không quá 70km.

    Hay tập hợp các điểm ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu (S) có phương trình: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 70^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900.

    Suy ra mệnh đề đúng

    b) Ta có OA = \sqrt{( - 65)^{2} + ( - 25)^{2} + 30^{2}} \approx 75,8km

    Khi máy bay ở vị trí A( - 65; - 25;30) thì cách đài kiểm soát không lưu của sân bay một khoảng d \approx 75,8km > 70km

    Vậy đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay.

    Suy ra mệnh đề sai

    c) Từ thông tin của hệ trục và máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, quỹ đạo bay theo đường thẳng. Nên đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 1;\ 0). Đường thẳng d đi qua điểm A( - 65; - 25;30) nên có phương trình tham số: \left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra mệnh đề đúng

    d) Thay x,\ y,\ z theo t vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình:

    ( - 65 + t)^{2} + ( - 25 + t)^{2} + 30^{2} = 4900 \Leftrightarrow 2t^{2} - 180t + 850 = 0 \Leftrightarrow t = 5 hoặc t = 85

    Thay t = 5 vào phương trình của đường thẳng d ta được M( - 60; - 20;30).

    Thay t = 85 vào phương trình của đường thẳng d ta được N(20;60;30).

    Suy ra đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M( - 60; - 20;30) và N(20;60;30).

    Hay độ dài đoạn MN là khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay di chuyển trong phạm vi theo dõi của đài kiểm soát không lưu.

    MN = \sqrt{(60 + 20)^{2} + (20 + 60)^{2}} = 80\sqrt{2}km

    Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là thời gian máy bay di chuyển được quảng đường 80\sqrt{2}km.

    Thời gian đó bằng \frac{80\sqrt{2}}{200}.60 \approx 33,94 phút.

    Suy ra mệnh đề sai

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính tỉ số

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a, AB = BC = CD = a. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số \frac{R}{a}nhận giá trị nào sau đây?

    Hướng dẫn:

     Tính tỉ số

    Ta có SA \bot AD hay \widehat {SAD} = {90^0}

    Gọi E là trung điểm AD.

    Ta có EA = AB = BC nên ABCE là hình thoi.

    Suy ra CE = EA = \frac{1}{2}AD .

    Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:

    \left\{ \begin{array}{l}DC \bot AC\\DC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow DC \bot \left( {SAC} ight) \Rightarrow DC \bot SC   hay    \widehat {SCD} = {90^0}

    Tương tự, ta cũng có SB \bot BD hay \widehat {SBD} = {90^0}

    Ta có \widehat {SAD} = \widehat {SBD} = \widehat {SCD} = {90^0} nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính R = \frac{{SD}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }}{2} = a\sqrt 2.

    Suy ra \frac{R}{a} = \sqrt 2.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Viết phương trình mặt cầu

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm I(1; - 2;3). Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt trục Ox tại hai điểm A;B sao cho AB = 2\sqrt{3}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên H(1;0;0)

    IH = \sqrt{13} \Rightarrow R = IA = \sqrt{IH^{2} + AH^{2}} = 4

    Phương trình mặt cầu là: (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(1 - m)x +2(3 - 2m)y + 2(m - 2)z + 5m^{2} - 9m + 6 = 0

    Hướng dẫn:

    Ta có: a = m - 1;\ \ b = 2m - 3;\ \ c = 2 - m;\ \ d = 5m^{2} - 9m + 6

    Tâm I(x = m - 1;y = 2m - 3;z = 2 - m)

    \Rightarrow x + 1 = \frac{y + 3}{2} = 2 - z

    (S) là mặt cầu \Leftrightarrow (m - 1)^{2} + (2m - 3)^{2} + (2 - m)^{2} - 5m^{2} + 9m - 6 > 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 9m + 8 > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 8 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m - 1 < 0 \\ m - 1 > 7 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ x > 7 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng x + 1 = \frac{y + 3}{2} = 2 - z tương ứng với \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ x > 7 \\ \end{matrix} \right..

  • Câu 6: Thông hiểu
    Chọn các đáp án đúng

    Người ta định nghĩa mặt cầu (S) như sau, hãy chọn câu trả lời đúng. (Có thể chọn nhiều đáp án)

    Hướng dẫn:

    Tất cả các đáp án đã cho đều đúng.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Chọn đáp án chính xác

    Viết phương trình mặt cầu (S) tâm E( - 1,2,4) qua gốc O.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    M(x,y,z) \in (S) \Rightarrow EM^{2} = OE^{2}

    \Leftrightarrow (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 4)^{2} = 1 + 4 + 16

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4y - 8z = 0

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tìm phương trình mặt cầu (S)

    Cho đường thẳng d: \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1} và mặt phẳng (P):2x + y - 2z + 2 = 0. Phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; - 1;1) là:

    Hướng dẫn:

    Gọi I là tâm của (S).

    I \in d \Rightarrow I(1 + 3t; - 1 + t;t). Bán kính R = IA = \sqrt{11t^{2} - 2t + 1}.

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P)) = \frac{|5t + 3|}{3} = R .

    ⇔ 37t^{2} - 24t = 0 ⇔ \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \Rightarrow R = 1 \\ t = \dfrac{24}{37} \Rightarrow R = \dfrac{77}{37} \\ \end{matrix} \right..

    Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1.

    Suy ra I(1;-1;0).

    Vậy phương trình mặt cầu (S): (x- 1)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 1.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tìm điều kiện của tham số m

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giá trị dương của tham số m sao cho mặt phẳng (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu (x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: (Oxy) có phương trình z = 0

    Mặt cầu (x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1 có tâm I(3;0;2) và bán kính R = \sqrt{m^{2} + 1}

    Để mặt phẳng (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu (x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1 thì

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2|}{\sqrt{1}} = \sqrt{m^{2} + 1}

    \Leftrightarrow m^{2} + 1 = 4 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3}. Vì m nhận giá trị dương nên m = \sqrt{3}.

    Vậy m = \sqrt{3} thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tìm phương trình mặt cầu

    Cho điểm A(1;3;2), đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z}{- 2} và mặt phẳng (P):2x - 2y + z - 6 = 0. Phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P) là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    d có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 4 - t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} \right.

    Gọi I là tâm mặt cầu (S), do I thuộc d nên I( - 1 + 2t;4 - t; - 2t)

    Theo đề bài, (S) có bán kính R = IA = d\left( I;(P) \right).

    \Rightarrow \sqrt{(2 - 2t)^{2} + (t - 1)^{2} + (2 + 2t)^{2}} = \frac{\left| 2( - 1 + 2t) - 2(4 - t) - 2t - 6 \right|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}}

    \Leftrightarrow \sqrt{9t^{2} - 2t + 9} = \frac{|4t - 16|}{3}

    \Leftrightarrow 9\left( 9t^{2} - 2t + 9 \right) = (4t - 16)^{2}

    \Leftrightarrow 65t^{2} + 110t - 175 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = - \frac{35}{13} \\ \end{matrix} \right.

    Với t = 1 \Rightarrow I\left( {1;3; - 2} \right),R = 4 

    \Rightarrow (S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 16.

    Với t = - \frac{{35}}{{13}} \Rightarrow I\left( { - \frac{{83}}{{13}};\frac{{87}}{{13}};\frac{{70}}{{13}}} \right);R = \frac{{116}}{{13}}

    \Rightarrow (S):{\left( {x + \frac{{83}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{87}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{70}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{13456}}{{169}}.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Viết phương trình mặt cầu

    Mặt cầu tâm I(2;4;6) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình:

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu tâm I(2;4;6), bán kính R và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy): z = 0 \Leftrightarrow R = d\left( I;(Oxy) \right)

    \Leftrightarrow R = \frac{|6|}{1} = 6.

    Vậy (S):(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 36.

  • Câu 12: Nhận biết
    Xác định tọa độ tâm mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 4. Tâm mặt cầu (S) có tọa độ là:

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S):(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2} có tâm là I(a;b;c)

    Mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 4 có tâm I(2; - 1;3).

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tìm tọa độ tâm mặt cầu (S)

    Cho các điểm A(1;1;3) và B(2;2;0) và đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{1}. Mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm (S) là:

    Hướng dẫn:

    Gọi I(t;2 - t;3 + t) trên d vì IA = IB \Rightarrow t = - \frac{11}{6} \Rightarrow I\left( \frac{- 11}{6};\frac{23}{6};\frac{7}{6} \right).

  • Câu 14: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các nhận định

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngon hải đăng được đặt ở vị trí I(20;\ 35;\ 60), biết rằng ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km.

    a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là: (x - 20)^{2} + (y - 35)^{2} + (z - 60)^{2} = 4^{2}.Sai||Đúng

    b) Điểm B( - 290;\ \ - 165;\ \ 3660) nằm phía trong mặt cầu đó.Đúng||Sai

    c) Nếu người đi biển ở vị trí C(541\ ;\ 137\ ;\ - 690) thì không thể nhìn được ánh sáng từ ngọn hải đăng. Sai||Đúng

    d) Giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí điểm I(20;\ \ 35;\ \ 60) đến vị trí D(4020;\ \ 35;\ \ 3060). Vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển vẫn còn nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là M( - 3180;\ 35;\ 2460). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngon hải đăng được đặt ở vị trí I(20;\ 35;\ 60), biết rằng ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km.

    a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là: (x - 20)^{2} + (y - 35)^{2} + (z - 60)^{2} = 4^{2}.Sai||Đúng

    b) Điểm B( - 290;\ \ - 165;\ \ 3660) nằm phía trong mặt cầu đó.Đúng||Sai

    c) Nếu người đi biển ở vị trí C(541\ ;\ 137\ ;\ - 690) thì không thể nhìn được ánh sáng từ ngọn hải đăng. Sai||Đúng

    d) Giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí điểm I(20;\ \ 35;\ \ 60) đến vị trí D(4020;\ \ 35;\ \ 3060). Vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển vẫn còn nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là M( - 3180;\ 35;\ 2460). Sai||Đúng

    a) Sai

    Mặt cầu tâm I(20;\ 35;\ 60), bán kính R = 4\ km\ \ = 4000\ m có phương trình là:

    (x - 20)^{2} + (y - 35)^{2} + (z - 60)^{2} = 4000^{2}

    b) Đúng

    Ta có: IB = \sqrt{( - 310)^{2} + ( - 200)^{2} + 3600^{2}} \approx 3618,9 < R.

    Do đó, điểm B nằm phía trong mặt cầu đó.

    c) Sai

    Với C(541\ ;\ 137\ ;\ - 690), ta có: IC = \sqrt{521^{2} + 102^{2} + ( - 750)^{2}} \approx 918,9 < R.

    Do đó, nếu người đi biển đứng ở vị trí C(541\ ;\ 137\ ;\ - 690) thì vẫn nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng.

    d) Sai

    Gọi M(x\ ;\ \ y\ ;\ \ z) là điểm cuối cùng trên đoạn thẳng ID mà người đi biển vẫn còn nhìn thấy ánh sáng của ngon hải đăng.

    Khi đó, IM = R = 4000m.

    Ta có: ID = \sqrt{4000^{2} + 0^{2} + 3000^{2}} = 5000m.

    \overrightarrow{IM} = (x - 20; y -35; z - 60); \overrightarrow{ID} = (4000; 0;3000).

    Vì M thuộc đoạn thẳng ID và \frac{IM}{ID} = \frac{4000}{5000} = \frac{4}{5} nên \overrightarrow{IM} = \frac{4}{5}\overrightarrow{ID}.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 20 = \dfrac{4}{5}.4000 \\y - 35 = \dfrac{4}{5}.0 \\z - 60 = \dfrac{4}{5}.3000\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3220 \\y = 35 \\z = 2460\end{matrix} \right.\Rightarrow M(3220 ;35 ;2460).

  • Câu 15: Nhận biết
    Chọn đáp án thích hợp

    Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ?

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu tâm O(0;0;0) và bán kính R = 3 có phương trình: (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.

  • Câu 16: Vận dụng
    Viết phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1 và điểm A(2;2;2). Xét các điểm M \in (S) sao cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với (S). Điểm M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là

    Hướng dẫn:

    Tọa độ tâm mặt cầu là:I(1;1;1)

    Gọi M(x;y;z) khi đó: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x - 2;y - 2;z - 2) \\ \overrightarrow{IM} = (x - 1;y - 1;z - 1) \\ \end{matrix} ight..

    Theo đề bài ra ta có:

    \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{IM} = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)(x - 1) + (y - 2)(y - 1) + (z - 2)(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3x - 3y - 3z + 6 = 0(*)

    Mặt khác phương trình mặt cầu

    (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1

    \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 2z + 2 = 0(**)

    Lấy (*) trừ (**) ta được: x + y + z - 4 = 0.

  • Câu 17: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho điểm I(1;1; - 2) đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{1}. Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho \widehat{IAB} = 30^{o} là:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng d đi qua M( - 1;\ 3;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 2;\ 1) .

    Gọi H là hình chiếu của I trên

    Ta có: IH = d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{18} .

    \Rightarrow R = IA = 2\sqrt{18} .

    Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 72.

  • Câu 18: Nhận biết
    Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0

    \Leftrightarrow (x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 16

    Vậy tọa độ bán kính và bán kính mặt cầu lần lượt là: I(4; - 1;0),R = 4

  • Câu 19: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho điểm I(1;0;0)và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 2 + t \\ \end{matrix} \right.. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

    Hướng dẫn:

    Đường thẳng\Deltađi qua M = (1;\ 1;\ - 2)và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;\ 2;1)

    Ta có \overrightarrow{MI} = (0; -1;2) và \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack = (5; - 2; - 1)

    Gọi H là hình chiếu của I trên d.

    Ta có : IH = d(I;AB) = \frac{\left|\left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{5}.

    Xét tam giác IAB, có IH = R.\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow R = \frac{2IH}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{15}}{3}

    Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{20}{3}.

  • Câu 20: Nhận biết
    Chọn phương trình mặt cầu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt cầu tâm I bán kính R có dạng: (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: (x - 13)^{2} + (y - 24)^{2} + (z - 36)^{2} = 7^{2} .

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (60%):
    2/3
  • Vận dụng (20%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
24 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này