Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (Mức Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho f(x) = 1 + |x|. Một nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa F(1) = 1 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) = 1 + |x| = \left\lbrack \begin{matrix} 1 + x;x \geq 0 \\ 1 - x;x < 0 \\ \end{matrix} \right.

    Khi đó \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\lbrack \begin{matrix} x + \frac{x^{2}}{2} + C_{1};x \geq 0 \\ x - \frac{x^{2}}{2} + C_{2};x < 0 \\ \end{matrix} \right. mặt khác F(1) = 1

    \Leftrightarrow 1 + \frac{1^{2}}{2} + C_{1} = 1(x = 1 > 0) \Leftrightarrow C_{1} = - \frac{1}{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: \left\{ \begin{gathered} x + \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{1}{2}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ x - \frac{{{x^2}}}{2} + {C_2}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x} ?

    Hướng dẫn:

    Ta có f(x) = \frac{e^{x} + x.e^{x}.\ln x}{x} = \frac{\left( 1 + x\ln x ight)e^{x}}{x}

    = \left( \frac{1}{x} + \ln x ight)e^{x} = \left\lbrack \left( \ln x ight)' + \ln x ightbrack e^{x}

    \Rightarrow F(x) = e^{x}.\ln x + C là nguyên hàm của hàm số đã cho.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tìm giá trị biểu thức

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} và f'(x) - 2f(x) = 0. Tính f( - 1) biết rằng f(1) = 1?

    Hướng dẫn:

    Vì f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên ta có:

    f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Rightarrow \exists C\mathbb{\in R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C

    \Rightarrow \ln f(x) = 2x + C

    Cho x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2

    Do đó \ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm F(x)

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} trên khoảng ( - 1; + \infty) là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}}

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}} ight)dx}= 2\ln|x + 1| +\frac{3}{x + 1} + C

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn phương án thích hợp

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{5x - 2}.

    Hướng dẫn:

    Ta có

    \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2}}}

    = \frac{1}{5}\int_{}^{}{\frac{d(5x - 2)}{5x- 2} = \frac{1}{5}\ln|5x - 2| + C}

  • Câu 6: Nhận biết
    Xác định hàm số theo yêu cầu

    Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + \sin(2x + 1)?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \left( \frac{1}{2}x^{2} - \cos(2x + 1) \right)^{'} = x + 2sin(2x + 1).

    \left( \frac{1}{2}x^{2} - 2cos(2x + 1) \right)^{'} = x + 4sin(2x + 1).

    \left( \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}\cos(2x + 1) \right)^{'} = x - \sin(2x + 1).

    \left( \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}\cos(2x + 1) \right)^{'} = x + \sin(2x + 1).

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}\cos(2x + 1)là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + \sin(2x + 1).

  • Câu 7: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left( 2 + \frac{e^{-x}}{\cos^{2}x} \right) là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{e^{x}\left( 2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2}x} ight)dx}}

    = 2\int_{}^{}{e^{x}dx + \int_{}^{}{\frac{dx}{\cos^{2}x} = 2e^{x} + \tan x + C}}

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 3x^{2} - 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight. có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(0) = 1 và F(x) liên túc trên \mathbb{R}. Giá trị biểu thức K = F( - 1) - F(2) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + C_{2}\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    F(0) = 1 \Rightarrow C_{2} = 1

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 1 tức là

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}F(x) = F(1)

    \Leftrightarrow 1 + C_{1} = C_{2} \Leftrightarrow C_{1} = 0

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    K = F( - 1) - F(2) = ( - 1 + 1 + 1) + \left( 2^{2} ight) = 5

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tìm kết quả đúng

    Tìm \int_{}^{}{xsin2xdx} ta thu được kết quả nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có: I = \int_{}^{}{xsin2xdx}

    Đặt: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = sin2xdx \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \frac{1}{2}cos2x \\ \end{matrix} \right.

    Khi đó:

    I = uv - \int_{}^{}{vdu = - \frac{1}{2}xcos2x + \frac{1}{2}}\int_{}^{}{cos2xdx}

    = - \frac{1}{2}xcos2x + \frac{1}{4}sin2x + C

  • Câu 10: Vận dụng
    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của I = \int_{}^{}{xsin^{2}x}dx là:

    Hướng dẫn:

    Ta biến đổi:

    I = \int_{}^{}{xsin^{2}x}dx = \int_{}^{}{x\left( \frac{1 - cos2x}{2} \right)dx}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{xdx - \frac{1}{2}\int_{}^{}{xcos2x}}dx = \frac{1}{4}x^{2} - \frac{1}{2}\underset{I_{1}}{\overset{\int_{}^{}{xcos2xdx}}{︸}} + C_{1}

    \mathbf{I}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\int_{}^{}{\mathbf{x}\mathbf{cos2}\mathbf{xdx}}.

    Đặt\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = cos2x \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = \frac{1}{2}sin2x \\ \end{matrix} \right..

    \Rightarrow I_{1} = \int_{}^{}{xcos2xdx} = \frac{1}{2}xsin2x - \frac{1}{2}\int_{}^{}{sin2xdx =} \frac{1}{2}xsin2x + \frac{1}{4}cos2x + C.

    \Rightarrow I = \frac{1}{4}\left( x^{2} - \frac{1}{2}cos2x - xsin2x \right) + C = \frac{1}{8}\left( 2x^{2} - 2xsin2x - cos2x \right) + C

    = - \frac{1}{8}cos2x + \frac{1}{4}\left( x^{2} + xsin2x \right) + C.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}

    Gợi ý:

     Tích phân từng phần:

    \int {u\left( x ight)v'\left( x ight)dx = u\left( x ight)v\left( x ight) - \int {v\left( x ight)u'\left( x ight)dx} }

    Hướng dẫn:

     Đặt t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    F\left( x ight) = \int {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int {\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2}} ight).2tdt = \int {\left( {2{t^2} + 2} ight)dt = \frac{{2{t^3}}}{3} + 2t + C} } }

    = \frac{{2\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} }}{3} + 2\sqrt {x + 1} + C = \frac{2}{3}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1} + C

  • Câu 12: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x(m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v = - 5t + 20(m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0(m/s). Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5\ s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 400\ m. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x(m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v = - 5t + 20(m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0(m/s). Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5\ s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 400\ m. Sai||Đúng

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0(m/s). Mệnh đề đúng

    b) Cho v = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t\ = \ 4\ (s). Mệnh đề sai

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C. Mệnh đề đúng

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là S = \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = 40\ (m). Mệnh đề sai

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Biết \int_{}^{}{x(x + 1)^{3}dx} = a(x + 1)^{5} + b(x + 1)^{4} + C, với a,b \in \mathbb{Q}. Tính giá trị S = {\left( {\frac{{a + b}}{{a.b}}} \right)^{2020}}

    Hướng dẫn:

    Ta có: x(x + 1)^{3} = (x + 1)^{4} - (x + 1)^{3}

    Khi đó \int_{}^{}{x(x + 1)^{3}dx} = \frac{1}{5}(x + 1)^{5} - \frac{1}{4}(x + 1)^{4} + C

    \Rightarrow a = \frac{1}{5};b = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow S = \left\lbrack \frac{\frac{1}{5} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{5}.\left( - \frac{1}{4} \right)} \right\rbrack^{2020} = 1

  • Câu 15: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 3 - 5\sin x và f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(3 - 5\sin x)dx = 3x + 5\cos x + C}}

    Do f(0) = 10 nên 3.0 + 5cos0 + C = 10 \Leftrightarrow C = 5.

    Vậy f(x) = 3x + 5\cos x + 5.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số

    Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x+ \frac{1}{\sin^2x} thỏa mãn F(\frac{\pi}{4}) = - 1 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{\left( 2x +\frac{1}{sin^{2}x} \right)dx = x^2- \cot x} + C

    F\left( \frac{\pi}{4} \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( \frac{\pi}{4} \right)^{2} - \cot\frac{\pi}{4} + C = - 1

    \Leftrightarrow C = \frac{\pi^{2}}{16}

    Vậy F(x) = - cotx + x^{2} - \frac{\pi^{2}}{16}

  • Câu 17: Nhận biết
    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}?

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx

    \int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Theo phương pháp đổi biến số (x \rightarrow t), nguyên hàm của I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{}^{}\frac{2sinx + 2cosx}{\sqrt[3]{1 - sin2x}}dx = \int_{}^{}\frac{2\left( \sin x + \cos x \right)}{\sqrt[3]{\left( \sin x - \cos x \right)^{2}}}dx.

    Đặt t = \sin x - \cos x \Rightarrow dt = \left( \sin x + \cos x \right)dx.

    \Rightarrow I = \int_{}^{}\frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}}dt = 2.\frac{1}{1 + \left( - \frac{2}{3} \right)}t^{\frac{1}{3}} + C = 6\sqrt[3]{t} + C.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{x^{2} + x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}.e^{x}

    Hướng dẫn:

    Ta có

    f(x) = \frac{x^{2} + x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}.e^{x} = \frac{\left( x^{2} - 1 ight) + x}{\sqrt{x^{2} - 1}}.e^{x}

    = \left\lbrack \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \sqrt{x^{2} - 1} ightbrack e^{x}= \left\lbrack \left( \sqrt{x^{2} - 1} ight)' + \sqrt{x^{2} - 1} ightbrack e^{x}

    \Rightarrow F(x) = \sqrt{x^{2} - 1}.e^{x} + C

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho a;b là các số hữu tỉ thỏa mãn \int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} = a(x + 2)\sqrt{x + 2} + b(x + 1)\sqrt{x + 1} + C. Tính giá trị biểu thức H = 3a + b?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} =}\int_{}^{}{\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}}{x + 2 - x + 1}dx}

    = \int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1} ight)dx}

    \Rightarrow I = \frac{2}{3}(x + 2)\sqrt{x + 2} - \frac{2}{3}(x + 1)\sqrt{x + 1} + C

    \Rightarrow a = \frac{2}{3};b = - \frac{2}{3} \Rightarrow H = \frac{4}{3}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (10%):
    2/3
  • Thông hiểu (75%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
13 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm