Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Cánh Diều Tích phân (Mức Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\cos ^2}x

    Gợi ý:

     \cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1

    \int {\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]dx} = \int {f\left( x ight)dx} + \int {g\left( x ight)dx}

    \int {\cos udu = \sin u + C}

    Hướng dẫn:

     f\left( x ight) = {\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2} = \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}

    \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left( {\frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}} ight)dx = } \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x + C

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), với f(x) = 3sinx + \frac{4}{cos^{2}x}, biết F(0) = 2. Tính F\left( \frac{\pi}{3} \right).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 3sinx + \frac{4}{cos^{2}x} \right)dx}

    = 3\int_{}^{}{\sin xdx} + 4\int_{}^{}{\frac{1}{cos^{2}x}dx}

    = - 3cosx + 4tanx + C.

    Do đó F(x) = - 3cosx + 4tanx + C.

    F(0) = 2 \Leftrightarrow - 3 + C = 2 \Leftrightarrow C = 5.

    Suy ra F(x) = - 3cosx + 4tanx + 5.

    Vậy F\left( \frac{\pi}{3} \right) = - 3cos\frac{\pi}{3} + 4tan\frac{\pi}{3} + 5 = \frac{7}{2} + 4\sqrt{3}.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Chọn hàm số thích hợp

    Cho F(x) = \frac{1}{6}.\ln\left| \frac{x -3}{x + 3} \right| + \frac{1}{12}. Hỏi F(x) là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Ta có

    F'(x) = \left( \frac{1}{6}.\ln\left| \frac{x - 3}{x + 3} ight| + \frac{1}{12} ight)'

    = \left( \frac{1}{6}.\ln|x - 3| - \frac{1}{6}.\ln|x + 3| + \frac{1}{12} ight)'

    = \left( \frac{1}{6}.\ln|x - 3| - \frac{1}{6}.\ln|x + 3| + \frac{1}{12} ight)'

    = \frac{1}{6}.\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{6}.\frac{1}{x + 3} = \frac{1}{6}.\frac{6}{x^{2} - 3^{2}} = \frac{1}{x^{2} - 9}

    Cách 2: Thực chất đây là công thức nguyên hàm mà tôi đã giới thiệu ở bảng nguyên hàm phía trên (dòng số 6 trong bảng).

    Áp dụng công thức trên ta có ngay f(x) = \frac{1}{x^{2} - 9}.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho \int_{}^{}{f(x)dx = x^{2} - x + C}. Khi đó \int_{}^{}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{dx}} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx = x^{2} - x + C} \Rightarrow f(x) = 2x - 1

    \Rightarrow f\left( x^{2} \right) = 2\left( x^{2} \right) - 1 = 2x^{2} - 1

    \int {f\left( {{x^2}} \right)dx} = \frac{2}{3}{x^3} - x + C

  • Câu 5: Vận dụng
    Xác định họ các nguyên hàm thỏa mãn điều kiện

    Họ các nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} trên khoảng \left( { - 1; + \infty } ight)

    Gợi ý:

     \int {\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]dx} = \int {f\left( x ight)dx} + \int {g\left( x ight)dx}

    Hướng dẫn:

     f\left( x ight) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}

    \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left[ {\frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight]dx} = 2\ln \left| {x + 1} ight| + \frac{3}{{x + 1}} + C

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f'(x) thỏa mãn f(2) = - \frac{1}{25} và f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} với mọi x\mathbb{\in R}. Giá trị của f(1) bằng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f'(x) = 4x^{3}.\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}} = 4x^{3}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}}dx} = \int_{}^{}{4x^{3}dx}

    \Leftrightarrow \frac{- 1}{f(x)} = x^{4} + C;\left( C = C_{2} - C_{1} \right)

    Vậy f(x) = - \frac{1}{x^{4} + C}

    Theo bài ra ta có: f(2) = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow - \frac{1}{2^{4} + C} = - \frac{1}{25} \Leftrightarrow C = 9

    Vậy f(x) = - \frac{1}{x^{4} + 9} \Leftrightarrow f(1) = - \frac{1}{1^{4} + 9} = - \frac{1}{10}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C với a;b là các số hữu tỉ. Khi đó a - b bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{3x - 7}{x + 2}

    Hướng dẫn:

    Ta có

    \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\frac{3x - 7}{x + 2}dx = \int_{}^{}{\frac{3(x + 2) - 13}{x + 2}dx}}}

    = \int_{}^{}{\left( 3 - \frac{13}{x + 2} ight)dx = \int_{}^{}{3dx - 13\int_{}^{}\frac{d(x + 2)}{x + 2}}}

    = 3x - 13ln|x + 2| + C

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C

  • Câu 10: Nhận biết
    Tìm họ nguyên hàm của hàm số

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 3x^{2} - 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight. có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(0) = 1 và F(x) liên túc trên \mathbb{R}. Giá trị biểu thức K = F( - 1) - F(2) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + C_{2}\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    F(0) = 1 \Rightarrow C_{2} = 1

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 1 tức là

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}F(x) = F(1)

    \Leftrightarrow 1 + C_{1} = C_{2} \Leftrightarrow C_{1} = 0

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    K = F( - 1) - F(2) = ( - 1 + 1 + 1) + \left( 2^{2} ight) = 5

  • Câu 12: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho \int_{}^{}{f(x)dx = F(x) + C.} Khi đó với a ≠ 0, ta có \int_{}^{}{f(ax + b)dx}bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:\int_{}^{}{f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C

  • Câu 13: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khẳng định nào sau đây đúng.

    Hướng dẫn:

    Khẳng định đúng là: “Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K.”

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm với mọi x\mathbb{\in R} và f'(x) = 2x + 1. Giá trị của f(2) - f(1) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow\int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(2x + 1)dx}}

    = x^{2} + x + C \Rightarrow \existsC_{1}\mathbb{\in R}:f(x) = x^{2} + x + C

    \Rightarrow f(2) - f(1) = 2^{2} + 2 +C_{1} - \left( 1^{2} + 1 + C_{1} ight) = 4

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức T

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ 1 ight\}thỏa mãn f'(x) = \frac{1}{x - 1}; f(0) = 2017;f(2) = 2018. Tính T = f(3) - f( - 1)?

    Hướng dẫn:

    Trên khoảng (1; + \infty) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(x - 1) + C_{1}

    \Rightarrow f(x) = \ln(x - 1) + C_{1}

    Mà f(2) = 2018 \Rightarrow C_{1} = 2018

    Trên khoảng ( - \infty;1) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(1 - x) + C_{2}

    \Rightarrow f(x) = \ln(1 - x) + C_{2}

    Mà f(0) = 2017 \Rightarrow C_{2} = 2017

    Vậy f(x) = \left\{ \begin{matrix} \ln(x - 1) + 2018\ \ \ khi\ x\ > \ 1 \\ \ln(1 - x) + 2017\ \ \ khi\ x\ < \ 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow T = f(3) - f( - 1) = 1.

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính tổng các nghiệm của phương trình

    Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }} thỏa mãn F(2) = 0 

    Hướng dẫn:

    \begin{matrix} F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx} \hfill \\ = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx} = \dfrac{1}{2}\int {d\frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}d\left( {8 - {x^2}} ight)} \hfill \\ \Rightarrow F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: F(2) = 0 => C = 2

    => F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + 2

    Xét phương trình F(x) = x ta có:

    \begin{matrix} F\left( x ight) = x \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - x \geqslant 0} \\ {8 - {x^2} = {{\left( {2 - x} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {{x^2} - 2x + 2 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {x = 1 \pm \sqrt 3 } \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng x = 1 - \sqrt 3

  • Câu 17: Nhận biết
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\cos3x.

    Hướng dẫn:

    Ta có \int_{}^{}{\cos3xdx = \frac{1}{3}\int_{}^{}{d(\sin3x)} = \frac{\sin3x}{3}} + C

  • Câu 18: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) = x\left( x^{2} + 1 \right)^{4}. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x); đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm M(1;6). Nguyên hàm F(x) là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{x\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}dx = \int_{}^{}\frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}{2}d\left( x^{2} + 1 \right)

    = \int_{}^{}\frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{4}}{2}d\left( x^{2} + 1 \right) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{5}}{10} + C = F(x)

    Mà đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm M(1;6) khi đó:

    \frac{\left( 1^{2} + 1 \right)^{5}}{10} + C = 6 \Rightarrow C = \frac{14}{5}

    Vậy đáp án cần tìm là: F(x) = \frac{\left( x^{2} + 1 \right)^{5}}{10} - \frac{14}{5}

  • Câu 19: Nhận biết
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2)?

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)dx} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ 2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight. và F(\pi) + F( - 1) = 1. Giá trị biểu thức T = F(2\pi) + F( - 5) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left( \pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1 \Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 0 tức là

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)

    \Leftrightarrow C_{1} = C_{2}(**). Từ (*) và (**) suy ra C_{1} = C_{2} = 1

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    T = F(2\pi) + F( - 5) = 17

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (60%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
21 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm