Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Cánh Diều Tích phân (Mức Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tìm giá trị biểu thức

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} và f'(x) - 2f(x) = 0. Tính f( - 1) biết rằng f(1) = 1?

    Hướng dẫn:

    Vì f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên ta có:

    f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Rightarrow \exists C\mathbb{\in R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C

    \Rightarrow \ln f(x) = 2x + C

    Cho x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2

    Do đó \ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tìm câu sai

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{2x - 3} . Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Chọn phương án sai.

    Hướng dẫn:

    Ta có F(x) = \int_{}^{}\frac{1}{2x - 3}dx = \int_{}^{}{\frac{1}{2}.\frac{1}{(2x - 3)}d(2x - 3)}

    = \frac{\ln|2x - 3|}{2} + C

    Từ đây ta thấy F(x) = \frac{\ln|2x - 3|}{2} + 10 đúng.

    Với F(x) = \frac{\ln|4x - 6|}{4} + 10 ta thấy

    \frac{\ln|4x - 6|}{4} + 10 = \frac{ln2 + \ln|2x - 3|}{4} + 10 eq F(x), vậy F(x) = \frac{\ln|4x - 6|}{4} + 10 sai.

  • Câu 4: Vận dụng
    Xác định hàm số f(x)

    Xác định hàm số f(x) biết rằng f'\left( x ight) = x\sqrt {1 + {x^2}} ;3f\left( 0 ight) = 4

    Gợi ý:

     f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx}

    Hướng dẫn:

     \begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \int {x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \dfrac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x^2} + 1} ight) = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} \hfill \\ \end{matrix}

    Mà 3f\left( 0 ight) = 4 \Rightarrow 3\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt {{0^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} ight] = 4 \Rightarrow C = 1

    Vậy hàm số cần tìm là f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1

  • Câu 5: Vận dụng
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x} trên khoảng (0;\pi). Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\dfrac{2\cos x - 1}{\sin^{2}x}dx} =\int_{}^{}{\dfrac{2\cos x}{\sin^{2}x}dx} -\int_{}^{}{\dfrac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = \int_{}^{}\frac{2d\left( \sin xight)}{\sin^{2}x} - \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx} = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C

    Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x} trên khoảng (0;\pi) nên hàm số F(x) có công thức dạng F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C với mọi x \in (0;\pi)

    Xét hàm số F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C xác định và liên tục trên (0;\pi)

    Ta có: F'(x) = f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}

    \Rightarrow F'(x) = 0\Leftrightarrow \frac{2\cos x - 1}{\sin^{2}x} = 0

    \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Trên khoảng (0;\pi) phương trình F'(x) = 0 có một nghiệm x = \frac{\pi}{3}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    \underset{(0;\pi)}{\max F(x)} = F\left( \frac{\pi}{3} ight) = - \sqrt{3} + C. Theo bài ra ta có: - \sqrt{3} + C = \sqrt{3} \Rightarrow C = 2\sqrt{3}

    Do đó F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2\sqrt{3} suy ra F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho F(x) = (x - 1)e^{x} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}.

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm \int_{}^{}{f(x)dx = F(x) \Rightarrow F'(x) = f(x)}.

    Từ giả thiết, ta có \int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx = F(x) \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = xe^{x}}

    \Rightarrow f(x) = \frac{xe^{x}}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{x}{e^{x}}.

    Suy ra f'(x) = \frac{(x)'.e^{x} - x.\left( e^{x} ight)'}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{e^{x} - x.e^{x}}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{e^{x}(1 - x)}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{1 - x}{e^{x}}.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = \int_{}^{}{\frac{1 - x}{e^{x}}.e^{2x}dx = \int_{}^{}{(1 - x)e^{x}dx}}}.

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = 1 - x \\ dv = e^{x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = - dx \\ v = e^{x} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow \int_{}^{}{(1 - x)e^{x}dx = (1 - x)e^{x} + \int_{}^{}{e^{x}dx}}= (1 - x)e^{x} + e^{x} + C = (2 -x)e^{x} + C.

    Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

    Ta có \int_{}^{}{e^{2x}.f'(x)dx = e^{2x}.f(x) - \int_{}^{}{f(x).2e^{2x}dx = f(x)e^{2x} - 2\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx}}}

    Từ giả thiết: \int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx = F(x) = (x - 1)e^{x}}

    \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = xe^{x}.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = xe^{x} - 2(x - 1)e^{x} + C = (2 - x)e^{x} + C}.

  • Câu 7: Nhận biết
    Chọn phát biểu đúng

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = 3x^{2} - 1. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có \int_{}^{}{\left( 3x^{2} - 1 ight)dx = x^{3} - x + C}.

  • Câu 8: Nhận biết
    Xác định nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 7^{x}.

    Hướng dẫn:

    Ta có \int_{}^{}{7^{x}dx = \int_{}^{}{7^{x}.\frac{d\left( 7^{x} ight)}{7^{x}.\ln7} = \int_{}^{}{\frac{d\left( 7^{x} ight)}{\ln7} = \frac{7^{x}}{\ln7} + C}}}.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 3x^{2} - 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight. có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(0) = 1 và F(x) liên túc trên \mathbb{R}. Giá trị biểu thức K = F( - 1) - F(2) bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + C_{2}\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    F(0) = 1 \Rightarrow C_{2} = 1

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 1 tức là

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}F(x) = F(1)

    \Leftrightarrow 1 + C_{1} = C_{2} \Leftrightarrow C_{1} = 0

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    K = F( - 1) - F(2) = ( - 1 + 1 + 1) + \left( 2^{2} ight) = 5

  • Câu 10: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Tìm \int_{}^{}{\sin^{5}x.\cos^{2}xdx}.

    Hướng dẫn:

    Vì lũy thừa của \sin x là số lẻ nên ta đổi biến u = \cos x \Rightarrow du = \left( \cos x ight)'dx.

    \int_{}^{}{\sin^{5}x.\cos^{2}xdx = - \int_{}^{}{\left( 1 - \cos^{2}x ight)^{2}.\cos^{2}x.\left( \cos ight)'dx}}

    = - \int_{}^{}{\left( 1 - u^{2} ight)^{2}.u^{2}du}

    = \int_{}^{}{\left( 2u^{4} - u^{2} - u^{6} ight)du}

    = \frac{2u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{7}}{7} + C

    = \frac{2\cos^{5}x}{5} - \frac{\cos^{3}x}{3} - \frac{\cos^{7}x}{7} + C.

  • Câu 11: Nhận biết
    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

    Gợi ý:

     Công thức áp dụng giải bài toán:

    \int {\cos udu = \sin u + C}

    Hướng dẫn:

     Ta có: \int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 12: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{ - 2x}} + \frac{1}{{\sqrt x }}

    Gợi ý:

      \int {\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]dx} = \int {f\left( x ight)dx} + \int {g\left( x ight)dx}

    \int {{e^u}dx} = {e^u} + C

    \int {{u^n}dx} = \frac{{{u^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C,\left( {n e - 1} ight)

    Hướng dẫn:

     \begin{matrix} \int {\left( {{e^{ - 2x}} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}} ight)dx} = \int {{e^{ - 2x}}dx} + \int {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} dx = - \dfrac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}d\left( { - 2x} ight)} + 2\int {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} dx \hfill \\ = - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2} + 2\sqrt x + C = - \dfrac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho \int_{}^{}{f(x)dx = F(x) + C.} Khi đó với a ≠ 0, ta có \int_{}^{}{f(ax + b)dx}bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:\int_{}^{}{f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C

  • Câu 14: Nhận biết
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2)?

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x + 2

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)dx} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x + C

  • Câu 15: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{\sin x} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}{\frac{dx}{\sin x} = \int_{}^{}{\frac{\sin x.dx}{1 - cos^{2}x} = \int_{}^{}\frac{- \sin x.dx}{cos^{2}x - 1}}}

    = \int_{}^{}{\frac{d\left( \cos x\right)}{cos^{2}x - 1} = \dfrac{1}{2}\ln\left| \dfrac{\cos x - 1}{\cos x +1} \right| + C}

  • Câu 16: Thông hiểu
    Chọn phương án thích hợp

    Nguyên hàm \int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{}^{}\left\lbrack sin^{2}(3x + 1) + \cos x \right\rbrack dx

    = \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1 - \cos(6x + 2)}{2} + \cos x \right\rbrack dx

    = \int_{}^{}\left\lbrack \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(6x + 2) + \cos x \right\rbrack dx

    = \frac{1}{2}x - 3sin(6x + 2) + \sin x + C

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tính giá trị của biểu thức

    Biết \int_{}^{}{x(x + 1)^{3}dx} = a(x + 1)^{5} + b(x + 1)^{4} + C, với a,b \in \mathbb{Q}. Tính giá trị S = {\left( {\frac{{a + b}}{{a.b}}} \right)^{2020}}

    Hướng dẫn:

    Ta có: x(x + 1)^{3} = (x + 1)^{4} - (x + 1)^{3}

    Khi đó \int_{}^{}{x(x + 1)^{3}dx} = \frac{1}{5}(x + 1)^{5} - \frac{1}{4}(x + 1)^{4} + C

    \Rightarrow a = \frac{1}{5};b = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow S = \left\lbrack \frac{\frac{1}{5} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{5}.\left( - \frac{1}{4} \right)} \right\rbrack^{2020} = 1

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Tìm một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{\ln x}{x}\sqrt{\ln^{2}x + 1}dx}

    Đặt \sqrt{ln^{2}x + 1} \Rightarrow t^{2}= \ln^{2}x + 1 \Rightarrow tdt = \frac{\ln x}{x}dx

    Khi đó F(x) = \int_{}^{}{t^{2}dt} =\frac{t^{3}}{3} + C = \frac{\sqrt{\left( \ln^{2}x + 1 ight)^{3}}}{3} +C.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Xác định hàm số

    Biết rằng hàm số y = f(x) có f'(x) = 3x^{2} + 2x + m;f(2) = 1 và đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 5. Hàm số f(x) là:

    Hướng dẫn:

    Theo lí thuyết \int_{}^{}{f'(x)dx = f(x) + C}

    Ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx =}\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 2x + m ight)dx} = x^{3} + x^{2} + mx + C

    Khi đó f(x) có dạng f(x) = x^{3} + x^{2} + mx + C_{1}

    Theo đề ta có: \left\{ \begin{matrix} f(2) = 1 \\ f(0) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{3} + 2^{2} + 2m + C_{1} = 1 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 3 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số là f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 5.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Cho F(x) = x^{2} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}?

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm

    \int_{}^{}{f(x)dx = F(x) \Rightarrow F'(x) = f(x)}.

    Từ giả thiết, ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}e^{2x}dx = F(x) \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x \Rightarrow f(x) = \frac{2x}{e^{2x}}

    Suy ra f'(x) = \frac{(2x)'.e^{2x} - 2x.\left( e^{2x} ight)'}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{(2 - 4x)e^{2x}}{\left( e^{2x} ight)^{2}} = \frac{2 - 4x}{e^{2x}}.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx =}\int_{}^{}{\frac{2 - 4x}{e^{2x}}.e^{2x}dx = (2 - 4x)dx = 2x - 2x^{2}} + C

    Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

    Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

    \int_{}^{}{u(x)}v'(x)dx = u(x).v(x) - \int_{}^{}{v(x).u'(x)}dx.

    Ta có \int_{}^{}{e^{2x}.f'(x)dx = e^{2x}.f(x) - \int_{}^{}{f(x).2e^{2x}dx = f(x)e^{2x} - 2\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx}}}

    Từ giả thiết: \int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx} = F(x) = x^{2} \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left( x^{2} ight)' = 2x.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = 2x - 2x^{2} + C}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (60%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
21 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm