Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 5: Phân thức đại số

Sách Chân trời sáng tạo

Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo bài 5: Phân thức đại số hướng dẫn giải chi tiết cho các bài tập trong SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo. Mời các em cùng tham khảo để nắm được nội dung bài học.

Giải Toán 8 CTST bài 5: Phân thức đại số

1. Phân thức đại số
2. Hai phân thức bằng nhau
- Khám phá 3 trang 28 Toán 8 Tập 1:
- Thực hành 3 trang 28 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
3. Tính chất của cơ bản của phân thức
4. Giải bài tập trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CTST:
Trắc nghiệm Phân thức đại số Chân trời sáng tạo

1. Phân thức đại số

Khám phá 1 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

a) Viết biểu thức biểu thị các đại lượng sau đây:

- Chiều rộng của hình chữ nhật có chiều dài bằng $a$ (m) và diện tích bằng $3$ ${m^2}$ ${m^2}$ .

- Thời gian để một người thợ làm được $x$ sản phẩm, biết rằng mỗi giờ người đó làm được $y$ sản phẩm.

- Năng suất trung bình của một mảnh ruộng gồm hai thửa, một thửa có diện tích $a$ (ha) cho thu hoạch được $m$ tấn lúa, thửa kia có diện tích $b$ (ha) cho thu hoạch $n$ tấn lúa.

b) Các biểu thức trên có đặc điểm bào giống nhau? Chúng có phải là đa thức không?

Bài giải

a) - Chiều rộng của hình chữ nhật là: $3:a = \dfrac{3}{a}$ $3:a = \dfrac{3}{a}$ (m)

- Thời gian người thợ làm $1$ sản phẩm là: $1:y = \dfrac{1}{y}$ $1:y = \dfrac{1}{y}$ (giờ)

Thời gian người thợ làm $x$ sản phẩm là: $x.\dfrac{1}{y} = \dfrac{x}{y}$ $x.\dfrac{1}{y} = \dfrac{x}{y}$ (giờ)

- Năng suất trung bình của một mảnh ruộng là: $m:a + n:b = \dfrac{m}{a} + \dfrac{n}{b}$ $m:a + n:b = \dfrac{m}{a} + \dfrac{n}{b}$ (tấn/ ${m^2}$ ${m^2}$)

b) Các biểu thức trên đều viết được dưới dạng $\dfrac{a}{b}$ $\dfrac{a}{b}$. Chúng không phải đa thức.

Khám phá 2 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Cho biểu thức $P = \frac{{{x^2} - 1}}{{2x + 1}}$ $P = \frac{{{x^2} - 1}}{{2x + 1}}$

a) Tính giá trị của biểu thức tại $x = 0$

b) Tại $x = - \frac{1}{2}$ $x = - \frac{1}{2}$, giá trị của biểu thức có xác định không? Tại sao?

Bài giải

a) Thay $x = 0$ vào biểu thức ta có:

$P = \frac{{{0^2} - 1}}{{2.0 + 1}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1$ $P = \frac{{{0^2} - 1}}{{2.0 + 1}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1$

Vậy $P = - 1$ khi $x = 0$

b) Thay $x = - \frac{1}{2}$ $x = - \frac{1}{2}$ vào biểu thức ta có:

$P = \frac{{{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} - 1}}{{2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 1}} = \frac{{\frac{1}{4} - 1}}{{ - 1 + 1}} = \frac{{\frac{{ - 3}}{4}}}{0}$ $P = \frac{{{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} - 1}}{{2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 1}} = \frac{{\frac{1}{4} - 1}}{{ - 1 + 1}} = \frac{{\frac{{ - 3}}{4}}}{0}$ không xác định

Vậy tại $x = - \frac{1}{2}$ $x = - \frac{1}{2}$ thì giá trị của biểu thức không xác định.

Thực hành 1 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tìm giá trị của phân thức:

a) $\frac{x^{2}-2x+1}{x+2}$ $\frac{x^{2}-2x+1}{x+2}$ tại x = -3, x= 1

b) $\frac{xy-3y^{2}}{x+y}$ $\frac{xy-3y^{2}}{x+y}$ tại x = 3, y = -1

Bài giải

a) Tại x = -3, ta có: $\frac{(-3)^{2}-2\times (-3)+1}{-3+2}=-16$ $\frac{(-3)^{2}-2\times (-3)+1}{-3+2}=-16$

Tại x =1, ta có: $\frac{1^{2}-2\times 1+1}{1+2}=0$ $\frac{1^{2}-2\times 1+1}{1+2}=0$

b) Tại x = 3, y = -1 ta có: $\frac{3\times (-1)-3\times (-1)^{2}}{3+(-1)}=-3$ $\frac{3\times (-1)-3\times (-1)^{2}}{3+(-1)}=-3$

Thực hành 2 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức :

a) $\frac{1}{2a+4}$ $\frac{1}{2a+4}$

b) $\frac{xy^{2}}{x-2y}$ $\frac{xy^{2}}{x-2y}$

Bài giải

a) Phân thức xác định khi $x+2\neq 0$ $x+2\neq 0$ hay $x\neq -2$ $x\neq -2$

b) Phân thức xác định khi $x-2y\neq 0$ $x-2y\neq 0$

Vận dụng trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Giá thành trung bình của một chiếc áo sơ mi được một xí nghiệp sản xuất cho bởi biểu thức $C(x)=\frac{0.0002x^{2}+12x+1000}{x}$ $C(x)=\frac{0.0002x^{2}+12x+1000}{x}$, trong đó x là số áo được sản xuất và C tính bằng nghìn đồng. Tính C khi x = 100, x = 1000

Bài giải

Tại x = 100, $C=\frac{0.0002\times 100^{2}+12\times 100+1000}{100}=130.02$ $C=\frac{0.0002\times 100^{2}+12\times 100+1000}{100}=130.02$ (nghìn đồng)

Tại x = 1000, $C=\frac{0.0002\times 1000^{2}+12\times 1000+1000}{1000}=121.2$ $C=\frac{0.0002\times 1000^{2}+12\times 1000+1000}{1000}=121.2$ (nghìn đồng)

2. Hai phân thức bằng nhau

Khám phá 3 trang 28 Toán 8 Tập 1:

Xét hai phân thức $M = \dfrac{x}{y}$ $M = \dfrac{x}{y}$ và $N = \dfrac{{{x^2} + x}}{{xy + y}}$ $N = \dfrac{{{x^2} + x}}{{xy + y}}$

a) Tính giá trị của các phân thức trên khi $x = 3$, $y = 2$ và khi $x = - 1$, $y = 5$.

Nêu nhận xét về giá trị của $M$ và $N$ khi cho $x$ và $y$ nhận những giá trị nào đó ( $y \ne 0$ $y \ne 0$ và $xy - y \ne 0$ $xy - y \ne 0$).

b) Nhân tử thức của phân thức này với mẫu thức của phân thức kia, rồi so sánh hai đa thức nhận được.

Bài giải

a) Điều kiện xác định của phân thức $M$: $y \ne 0$ $y \ne 0$

Điều kiện xác định của phân thức $N$: $xy + y \ne 0$ $xy + y \ne 0$ hay $xy \ne - y$ $xy \ne - y$

Khi $x = 3$, $y = 2$ (thoả mãn điều kiện xác định), ta có:

$M = \dfrac{3}{2}$ $M = \dfrac{3}{2}$

$N = \dfrac{{{3^2} + 3}}{{3.2 + 2}} = \dfrac{{9 + 3}}{{6 + 2}} = \dfrac{{12}}{8} = \dfrac{3}{2}$ $N = \dfrac{{{3^2} + 3}}{{3.2 + 2}} = \dfrac{{9 + 3}}{{6 + 2}} = \dfrac{{12}}{8} = \dfrac{3}{2}$

Vậy $M = N = \dfrac{3}{2}$ $M = N = \dfrac{3}{2}$ khi $x = 3$, $y = 2$

Khi $x = - 1$, $y = 5$ (thỏa mãn điều kiện xác định của $M$) ta có:

$M = \dfrac{{ - 1}}{5}$ $M = \dfrac{{ - 1}}{5}$

Vậy $M = \dfrac{{ - 1}}{5}$ $M = \dfrac{{ - 1}}{5}$ khi $x = - 1$, $y = 5$

Khi $x = - 1$, $y = 5$ thì $xy + y = \left( { - 1} \right).5 + 5 = 0$ $xy + y = \left( { - 1} \right).5 + 5 = 0$ nên không thỏa mãn điều kiện xác định của $N$. Vậy giá trị của phân thức $N$ tại $x = - 1$, $y = 5$ không xác định.

b) Ta có:

$x.\left( {xy + y} \right) = {x^2}y + xy$ $x.\left( {xy + y} \right) = {x^2}y + xy$

$\left( {{x^2} + x} \right).y = {x^2}y + xy$ $\left( {{x^2} + x} \right).y = {x^2}y + xy$

Vậy $x\left( {xy + y} \right) = \left( {{x^2} + x} \right)y$ $x\left( {xy + y} \right) = \left( {{x^2} + x} \right)y$

Thực hành 3 trang 28 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Mỗi cặp phân thức sau đây có bằng nhau không? Tại sao?

a) $\frac{xy^{2}}{xy+y}$ $\frac{xy^{2}}{xy+y}$ và $\frac{xy}{x+1}$ $\frac{xy}{x+1}$

b) $\frac{xy-y}{x}$ $\frac{xy-y}{x}$ và $\frac{xy-x}{y}$ $\frac{xy-x}{y}$

Bài giải

a) Ta có: $(xy^{2})(x+1)=x^{2}y^{2}+xy^{2}=xy(xy+y)$ $(xy^{2})(x+1)=x^{2}y^{2}+xy^{2}=xy(xy+y)$

Vậy $(xy^{2})(x+1)=xy(xy+y)$ $(xy^{2})(x+1)=xy(xy+y)$

Do đó $\frac{xy^{2}}{xy+y}=\frac{xy}{x+1}$ $\frac{xy^{2}}{xy+y}=\frac{xy}{x+1}$

b) Ta có: $(xy-y)y=xy^{2}-y^{2}$ $(xy-y)y=xy^{2}-y^{2}$

$x(xy-x)=x^{2}y-x^{2}$ $x(xy-x)=x^{2}y-x^{2}$

Do $xy^{2}-y^{2}\neq x^{2}y-x^{2}$ $xy^{2}-y^{2}\neq x^{2}y-x^{2}$ hay $(xy-y)y\neq x(xy-x)$ $(xy-y)y\neq x(xy-x)$

Vậy $\frac{xy-y}{x}\neq \frac{xy-x}{y}$ $\frac{xy-y}{x}\neq \frac{xy-x}{y}$

3. Tính chất của cơ bản của phân thức

Khám phá 4 trang 28 Toán 8 Tập 1:

Xét các phân thức $P = \dfrac{{{x^2}y}}{{x{y^2}}}$ $P = \dfrac{{{x^2}y}}{{x{y^2}}}$, $Q = \dfrac{x}{y}$ $Q = \dfrac{x}{y}$, $R = \dfrac{{{x^2} + xy}}{{xy + {y^2}}}$ $R = \dfrac{{{x^2} + xy}}{{xy + {y^2}}}$ .

a) Các phân thức trên có bằng nhau không? Tại sao?

b) Có thể biến đổi như thế nào nếu chuyển $Q$ thành $P$ và $R$ thành $Q$.$x + y$

Bài giải

a) Ta có:

${x^2}y.y = {x^2}{y^2}$ ${x^2}y.y = {x^2}{y^2}$

$x{y^2}.x = {x^2}{y^2}$ $x{y^2}.x = {x^2}{y^2}$

Do đó ${x^2}y.y = x{y^2}.x$ ${x^2}y.y = x{y^2}.x$

Vậy $P = Q$ (1)

Ta có:

$x.\left( {xy + {y^2}} \right) = {x^2}y + x{y^2}$ $x.\left( {xy + {y^2}} \right) = {x^2}y + x{y^2}$

$y.\left( {{x^2} + xy} \right) = {x^2}y + x{y^2}$ $y.\left( {{x^2} + xy} \right) = {x^2}y + x{y^2}$

Do đó $x.\left( {xy + {y^2}} \right) = y.\left( {{x^2} + xy} \right)$ $x.\left( {xy + {y^2}} \right) = y.\left( {{x^2} + xy} \right)$

Vậy $Q = R$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $P = Q = R$

b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức $Q$ với $xy$ để chuyển $Q$ thành $P$, ta được: $Q = \dfrac{x}{y} = \dfrac{{x.xy}}{{y.xy}} = \dfrac{{{x^2}y}}{{x{y^2}}}$ $Q = \dfrac{x}{y} = \dfrac{{x.xy}}{{y.xy}} = \dfrac{{{x^2}y}}{{x{y^2}}}$

Phân thức cả tử và mẫu của phân thức $R$ thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu của phân thức $R$ cho nhân tử chung $x + y$ để chuyển $R$ thành $Q$, ta được: $R = \dfrac{{{x^2} + xy}}{{xy + {y^2}}} = \dfrac{{x.\left( {x + y} \right)}}{{y.\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{x.\left( {x + y} \right):\left( {x + y} \right)}}{{y.\left( {x + y} \right):\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{x}{y}$ $R = \dfrac{{{x^2} + xy}}{{xy + {y^2}}} = \dfrac{{x.\left( {x + y} \right)}}{{y.\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{x.\left( {x + y} \right):\left( {x + y} \right)}}{{y.\left( {x + y} \right):\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{x}{y}$

Thực hành 4 trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Chứng tỏ hai phân thức $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b+ab^{2}}$ $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b+ab^{2}}$ và $\frac{a-b}{ab}$ $\frac{a-b}{ab}$ bằng nhau theo hai cách khác nhau.

Bài giải

Cách 1: Ta có $(a^{2}b+ab^{2})(a-b)=a^{3}b+a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}-ab^{3}$ $(a^{2}b+ab^{2})(a-b)=a^{3}b+a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}-ab^{3}$

$=a^{3}b-ab^{3}=ab(a^{2}-b^{2})$ $=a^{3}b-ab^{3}=ab(a^{2}-b^{2})$

Do đó $(a^{2}-b^{2})ab=(a^{2}+ab^{2})(a-b)$ $(a^{2}-b^{2})ab=(a^{2}+ab^{2})(a-b)$

Vậy $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b+ab^{2}}=\frac{a-b}{ab}$ $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b+ab^{2}}=\frac{a-b}{ab}$

Cách 2: $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b+ab^{2}}=\frac{(a+b)(a-b)}{(ab(a+b)}$ $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b+ab^{2}}=\frac{(a+b)(a-b)}{(ab(a+b)}$

$=\frac{a-b}{ab}$ $=\frac{a-b}{ab}$

Vậy $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b+ab^{2}}=\frac{a-b}{ab}$ $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b+ab^{2}}=\frac{a-b}{ab}$

Thực hành 5 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{3x^{2}+6xy}{6x^{2}}$ $\frac{3x^{2}+6xy}{6x^{2}}$

b) $\frac{2x^{2}-x^{3}}{x^{2}-4}$ $\frac{2x^{2}-x^{3}}{x^{2}-4}$

c) $\frac{x+1}{x^{3}+1}$ $\frac{x+1}{x^{3}+1}$

Bài giải

$a) \frac{3x^{2}+6xy}{6x^{2}}=\frac{3x(x+2y)}{6x^{2}}$ $a) \frac{3x^{2}+6xy}{6x^{2}}=\frac{3x(x+2y)}{6x^{2}}$

$=\frac{x+2y}{2x}$ $=\frac{x+2y}{2x}$

$b) \frac{2x^{2}-x^{3}}{x^{2}-4}=\frac{-x^{2}(x-2)}{(x-2)(x+2)}$ $b) \frac{2x^{2}-x^{3}}{x^{2}-4}=\frac{-x^{2}(x-2)}{(x-2)(x+2)}$

$=\frac{-x^{2}}{x+2}$ $=\frac{-x^{2}}{x+2}$

$c) \frac{x+1}{x^{3}+1}=\frac{x+1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$ $c) \frac{x+1}{x^{3}+1}=\frac{x+1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

$=\frac{1}{x^{2}-x+1}$ $=\frac{1}{x^{2}-x+1}$

4. Giải bài tập trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Bài tập 1 trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?

$\frac{3x+1}{2x-1};2x^{2}-5x+3;\frac{x+\sqrt{x}}{3x+2}$ $\frac{3x+1}{2x-1};2x^{2}-5x+3;\frac{x+\sqrt{x}}{3x+2}$

Bài giải

Các phân thức: $\frac{3x+1}{2x-1};2x^{2}-5x+3$ $\frac{3x+1}{2x-1};2x^{2}-5x+3$

Bài tập 2 trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Viết điều kiện xác định của các phân thức sau:

a) $\frac{4x-1}{2x-6}$ $\frac{4x-1}{2x-6}$

b) $\frac{x-10}{x+3y}$ $\frac{x-10}{x+3y}$

c) $3x^{2}-x+7$ $3x^{2}-x+7$

Bài giải

a) Phân thức xác định khi $2x-6\neq 0$ $2x-6\neq 0$ hay $x\neq 3$ $x\neq 3$

b) Phân thức xác định khi $x+3y\neq 0$ $x+3y\neq 0$

c) Phân thức xác định với mọi x

Bài tập 3 trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tìm giá trị của phân thức

a) $A=\frac{3x^{2}+3x}{x^{2}+2x+1}$ $A=\frac{3x^{2}+3x}{x^{2}+2x+1}$ tại x = -4

b) $B=\frac{ab-b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$ $B=\frac{ab-b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$ tại a = 4, b = -2

Bài giải

a) Tại $x = -4,A=\frac{3\times (-4)^{2}+3\times (-4)}{(-4)^{2}+2\times (-4)+1}=4$ $x = -4,A=\frac{3\times (-4)^{2}+3\times (-4)}{(-4)^{2}+2\times (-4)+1}=4$

b) Tại $a=4,b=-2,B=\frac{4\times (-2)-(-2)^{2}}{4^{2}-(-2)^{2}}=-1$ $a=4,b=-2,B=\frac{4\times (-2)-(-2)^{2}}{4^{2}-(-2)^{2}}=-1$

Bài tập 4 trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Tại sao?

a) $\frac{3ac}{a^{3}b}$ $\frac{3ac}{a^{3}b}$ và $\frac{6c}{2a^{2}b}$ $\frac{6c}{2a^{2}b}$

b) $\frac{3ab-3b^{2}}{6b^{2}}$ $\frac{3ab-3b^{2}}{6b^{2}}$ và $\frac{a-b}{2b}$ $\frac{a-b}{2b}$

Bài giải

a) $\frac{3ac}{a^{3}b}=\frac{3c}{a^{2}b}$ $\frac{3ac}{a^{3}b}=\frac{3c}{a^{2}b}$

$\frac{6c}{2a^{2}b}=\frac{3c}{a^{2}b}$ $\frac{6c}{2a^{2}b}=\frac{3c}{a^{2}b}$

Do đó: $\frac{3ac}{a^{3}b}=\frac{6c}{2a^{2}b}$ $\frac{3ac}{a^{3}b}=\frac{6c}{2a^{2}b}$

b) $\frac{3ab-3b^{2}}{6b^{2}}=\frac{3b(a-b)}{3b(2b}=\frac{a-b}{2b}$ $\frac{3ab-3b^{2}}{6b^{2}}=\frac{3b(a-b)}{3b(2b}=\frac{a-b}{2b}$

Do đó $\frac{3ab-3b^{2}}{6b^{2}}=\frac{a-b}{2b}$ $\frac{3ab-3b^{2}}{6b^{2}}=\frac{a-b}{2b}$

Bài tập 5 trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Tìm đa thức thích hợp thay vào ? trong các đẳng thức sau:

a) $\frac{3x+1}{x-1}=\frac{?}{x^{2}-1}$ $\frac{3x+1}{x-1}=\frac{?}{x^{2}-1}$

b) $\frac{x^{2}+2x}{x^{3}+8}=\frac{?}{x^{2}-2x+4}$ $\frac{x^{2}+2x}{x^{3}+8}=\frac{?}{x^{2}-2x+4}$

Bài giải

$a) \frac{3x+1}{x-1}=\frac{(3x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$ $a) \frac{3x+1}{x-1}=\frac{(3x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

$=\frac{3x^{2}+4x+1}{x^{2}-1}$ $=\frac{3x^{2}+4x+1}{x^{2}-1}$

Đa thức cần tìm là: $3x^{2}+4x+1$ $3x^{2}+4x+1$

b) $\frac{x^{2}+2x}{x^{3}+8}=\frac{x(x+2)}{(x+2)(x^{2}-2x+4}$ $\frac{x^{2}+2x}{x^{3}+8}=\frac{x(x+2)}{(x+2)(x^{2}-2x+4}$

$=\frac{x}{x^{2}-2x+4}$ $=\frac{x}{x^{2}-2x+4}$

Đa thức cần tìm là x

Bài tập 6 trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CTST:

Rút gọn các phân thức sau:

$a) \frac{3x^{2}y}{2xy^{5}}$ $a) \frac{3x^{2}y}{2xy^{5}}$

$b) \frac{3x^{2}-3x}{x-1}$ $b) \frac{3x^{2}-3x}{x-1}$

$c) \frac{ab^{2}-a^{2}b}{2a^{2}+a}$ $c) \frac{ab^{2}-a^{2}b}{2a^{2}+a}$

$\frac{12(x^{4}-1)}{18(x^{2}-1)}$ $\frac{12(x^{4}-1)}{18(x^{2}-1)}$

Bài giải

$a) \frac{3x^{2}y}{2xy^{5}}=\frac{3x}{2y^{4}}$ $a) \frac{3x^{2}y}{2xy^{5}}=\frac{3x}{2y^{4}}$

$b) \frac{3x^{2}-3x}{x-1}=\frac{3x(x-1)}{(x-1)}=3x$ $b) \frac{3x^{2}-3x}{x-1}=\frac{3x(x-1)}{(x-1)}=3x$

$c) \frac{ab^{2}-a^{2}b}{2a^{2}+a}=\frac{a(b^{2}-ab)}{a(2a+1}$ $c) \frac{ab^{2}-a^{2}b}{2a^{2}+a}=\frac{a(b^{2}-ab)}{a(2a+1}$

$=\frac{b^{2}-ab}{2a+1}$ $=\frac{b^{2}-ab}{2a+1}$

$d) \frac{12(x^{4}-1)}{18(x^{2}-1)}=\frac{12(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{18(x^{2}-1)}$ $d) \frac{12(x^{4}-1)}{18(x^{2}-1)}=\frac{12(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{18(x^{2}-1)}$

$=\frac{2(x^{2}+1)}{3}$ $=\frac{2(x^{2}+1)}{3}$