Giải Toán 9 trang 83 tập 2 Kết nối tri thức
Giải Toán 9 trang 83 tập 2 Kết nối tri thức Bài 29 Tứ giác nội tiếp
Giải Toán 9 trang 83 tập 2 Kết nối tri thức cung cấp lời giải chi tiết các bài tập trong Bài 29: Tứ giác nội tiếp. Nội dung được biên soạn bám sát SGK, trình bày rõ ràng, giúp học sinh nắm vững tính chất của tứ giác nội tiếp, rèn luyện kỹ năng chứng minh hình học và học tốt môn Toán 9.
Giải luyện tập 2 trang 83 SGK Toán 9 Tập 2 KNTT
Cho hình thoi ABCD có các cạnh bằng 3 cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng tỏ rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.
Hướng dẫn giải:
Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác. Do đó MN // AC và 
\(MN = \frac{1}{2}AC\) (1)
Chứng minh tương tự đối với ∆ACD, ta cũng có PQ // AC và \(PQ = \frac{1}{2}AC\)(2)
Từ (1) và (2) ta có MN // PQ và MN = PQ.
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Vì ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD. (3)
Xét ∆ABD có M, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MQ là đường trung bình của tam giác. Do đó MQ // BD. (4)
Từ (1), (3) và (4) suy ra MN ⊥ MQ hay \(\widehat {NMQ} = {90^0}\)
Khi đó hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật.
Vì MNPQ là hình chữ nhật nên đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật có tâm là giao điểm hai đường chéo MP và NQ.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.
Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD và AB = CD.
Lại có M, P lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AM = MB = CP = PD và AM // CP.
Do đó tứ giác AMCP là hình bình hành.
Suy ra hai đường chéo AC và MP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lại có O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MP.
Khi đó, đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ có tâm là điểm O và bán kính là OM.
Xét ∆ABC có M, O lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MO là đường trung bình của tam giác. Do đó \(MO = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.3 = 1,5\) (cm).
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng 1,5 cm.
Giải thử thách nhỏ 2 trang 83 SGK Toán 9 Tập 2 KNTT
Nếu các hình chữ nhật có chung một đường chéo (ví dụ như hai hình chữ nhật ABCD và AECF trong Hình 9.36) thì các đỉnh của chúng có cùng nằm trên một đường tròn không?
Hướng dẫn giải:
Vì ABCD là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn đường kính AC, hay bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính AC.
Vì AECF là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn đường kính AC, hay bốn điểm A, E, C, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AC.
Do đó các điểm A, B, C, D, E, F cùng nằm trên đường kính AC.
Vậy các đỉnh của hai hình chữ nhật có chung một đường chéo thì các đỉnh của chúng cùng nằm trên một đường tròn đường kính là đường chéo chung đó.
Giải bài 9.18 trang 83 SGK Toán 9 KNTT
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Tính số đo của các góc còn lại của tứ giác trong mỗi trường hợp sau:\(a, \widehat {A} =60^{\circ} , \widehat {B} = 80^{\circ}\)
\(b, \widehat {B} =70^{\circ} , \widehat {C} = 90^{\circ}\)
\(c, \widehat {C} =100^{\circ} , \widehat {D} = 60^{\circ}\)\(d, \widehat {D} =110^{\circ} , \widehat {A} = 80^{\circ}\)
Hướng dẫn giải
Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°.
Do đó \(\widehat {A} + \widehat {C} = 180^{\circ},
\widehat {B} + \widehat {D} = 180^{\circ}\)
a, Ta có:
\(\widehat {A} + \widehat {C} =180^{\circ}\) hay \(\widehat {C} = 180^{\circ} - \widehat {C} = 180^{\circ} -60 ^{\circ} = 120^{\circ}\)
\(\widehat {B} + \widehat {D} = 180^{\circ}\) hay \(\widehat {D} = 180 ^{\circ} - \widehat {B} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}\)
b, Ta có:
\(\widehat {A} + \widehat {C} =180^{\circ}\) hay \(\widehat {A} = 180^{\circ} - \widehat {C} = 180^{\circ} -90 ^{\circ} = 90^{\circ}\)
\(\widehat {B} + \widehat {D} =180^{\circ}\) hay \(\widehat {D} = 180^{\circ} - \widehat {B} = 180^{\circ} -70 ^{\circ} = 110^{\circ}\)
c, Ta có:
\(\widehat {A} + \widehat {C} =180^{\circ}\) hay \(\widehat {A} = 180^{\circ} - \widehat {C} = 180^{\circ} -100 ^{\circ} = 80^{\circ}\)
\(\widehat {B} + \widehat {D} =180^{\circ}\) hay \(\widehat {B} = 180^{\circ} - \widehat {D} = 180^{\circ} -60 ^{\circ} = 120^{\circ}\)
d, Ta có;
\(\widehat {A} + \widehat {C} =180^{\circ}\) hay \(\widehat {C} = 180^{\circ} - \widehat {A} = 180^{\circ} -80 ^{\circ} = 100^{\circ}\)
\(\widehat {B} + \widehat {D} =180^{\circ}\) hay \(\widehat {B} = 180^{\circ} - \widehat {D} = 180^{\circ} -70 ^{\circ} = 110^{\circ}\)
Giải bài 9.19 trang 83 SGK Toán 9 tập 2 KNTT
Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng
\(\widehat {IBD} = \widehat {ICA}, \widehat {ICA} = \widehat {IBD}\) và \(IA . IB = IC . ID.\)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Vì tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó:
\(\widehat {DCA} = \widehat {ABD} = 180^{\circ}\)
Mà \(\widehat {DCA} + \widehat {ICA} = 180 ^{\circ}\) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ICA}\) hay \(\widehat {IDB} = \widehat {IAC}\)
\(\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = 180 ^{\circ}\)
Mà \(\widehat {BAC} + \widehat {IAC} = 180^{\circ}\) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {BDC} + \widehat {IAC} = 180^{\circ}\) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {BDC} = \widehat {IAC}\) hay \(\widehat {IBD} = \widehat {IAC}\)
Xét tam giác IAC và tam giác IDB, có:
\(\widehat {IAC} = \widehat {IBD}\) (chứng minh trên)
\(\widehat {IBD}\) là góc chung
=> ∆IAC ᔕ ∆IDB (g.g)
Suy ra \(\frac{IA}{ID}=\frac{IC}{IB}\) (tỉ số đồng dạng) nên IA . IB = IC . ID.
Giải bài 9.20 trang 83 SGK Toán 9 tập 2 KNTT
Cho hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Vì hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó:
\(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = 180 ^{\circ} (1)\)
Vì ABCD là hình bình hành nên hai góc đối bằng nhau, do đó \(\widehat {ABC} =\widehat {ADC} (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABC} + \widehat {ABC} = 180 ^{\circ}\).
Hay \(2\widehat {ABC} = 180 ^{\circ}\) do đó \(\widehat {ABC} = 90^{\circ}\)
Hình bình hành ABCD có \(\widehat {ABC} = 90^{\circ}\) nên là hình chữ nhật.
Vậy ABCD là hình chữ nhật.
Giải bài 9.21 trang 83 SGK Toán 9 KNTT
Cho hình thang ABCD (AB song song với CD) nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Vì hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó: \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180 ^{\circ}\).(1)
Vì ABCD là hình thang nên AB // CD, do đó \(\widehat {ABC} + \widehat {BCD} = 180^{\circ}\).(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\).
Hình thang ABCD có \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) nên là hình thang cân.
Giải bài 9.22 trang 83 SGK Toán 9 tập 2 KNTT
Tính diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng hình chữ nhật đó có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2,5 cm.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Giả sử ABCD là hình chữ nhật có AB = 2BC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 2,5 cm (hình vẽ).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn tâm O là giao điểm hai đường chéo AC, BD và bán kính bằng nửa độ dài đường chéo AC, hay AC là đường kính của đường tròn (O).
Do đó AC = 2 . 2,5 = 5 (cm).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat {ABC} = 90^{\circ}\).
Áp dụng định lí Pythagore vào ∆ABC vuông tại B, ta có:
AC2 = AB2 + BC2
Suy ra 52 = (2BC)2 + BC2
Do đó 25 = 4BC2 + BC2
Hay 5BC2 = 25, suy ra BC2 = 5, nên BC=√5(cm).
Khi đó, AB=2BC=2√5(cm).
Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là:
S=AB⋅BC=2√5⋅√5=10 (cm2).
Giải bài 9.23 trang 83 SGK Toán 9 tập 2 KNTT
Người ta muốn dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng 4 m và cao 3 m, bên ngoài khung cổng được bao bởi một khung thép dạng nửa đường tròn như Hình 9.37. Tính chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Giả sử ABCD là khung cổng hình chữ nhật (AB = CD = 3 m và AD = BC = 4 m) nội tiếp nửa đường tròn (O) (hình vẽ).
Gọi H là trung điểm của CD.
Khi đó HB=HC=1/2BC=1/2.4=2(m) và H nằm trên đường trung trực của BC.
Vì B, C cùng nằm trên nửa đường tròn (O) nên OB = OC, suy ra O nằm trên đường trung trực của BC.
Do đó OH là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên OH ⊥ BC.
Mà BC // AD (do ABCD là hình chữ nhật) nên OH ⊥ AD.
Xét tứ giác ABHO có \(\widehat {OAB} = \widehat {AOH}=\widehat {OBH}=90^{\circ}\) nên ABHO là hình chữ nhật.
Do đó OH = AB = 3 (m).
Xét ∆OBH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:
OB2 = OH2 + HB2 = 32 + 22 = 13.
Do đó OB=√13m.
Nửa chu vi đường tròn (O) là: π√13(m).
Vậy chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó là: π√13(m).
------------------------------------
Giải Toán 9 trang 83 tập 2 Kết nối tri thức là tài liệu hữu ích giúp học sinh hoàn thành tốt Bài 29: Tứ giác nội tiếp, đồng thời nắm chắc các tính chất, dấu hiệu nhận biết và phương pháp chứng minh thường gặp.
