Giải Toán 9 trang 89 tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 9 trang 89 tập 2 Kết nối tri thức Bài 30 Đa giác đều

Giải Toán 9 trang 89 tập 2 Kết nối tri thức cung cấp lời giải chi tiết các bài tập trong Bài 30: Đa giác đều, giúp học sinh nắm vững đặc điểm, tính chất và phương pháp giải các dạng toán liên quan. Nội dung bám sát SGK, trình bày khoa học, hỗ trợ học tốt Toán 9 và nâng cao kỹ năng hình học.

Thử thách nhỏ 2 trang 89 SGK Toán 9 Tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

Giả sử lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) (hình vẽ).

Vì lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) nên OA = OB = OC = OD = OE = OF.

Vì ABCDEF là lục giác đều nên AB = BC = CD = DE = EF = FA.

Xét tam giác OAB và tam giác OBC có:

OA = OB, OB = OC, AB = BC.

Do đó ∆OAB = ∆OBC (c.c.c).

Chứng minh tương tự ta có

∆OAB = ∆OBC = ∆COD = ∆DOE = ∆EOF = ∆FOA.

Suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOF} = \widehat {FOA}\)

Mà \(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} + \widehat {COD} + \widehat {DOE}\)\(+ \widehat {EOF} + \widehat {FOA} = {360^0}\)

Do đó \(6\widehat {AOB} = {360^0}\)

Suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE}\)\(= \widehat {EOF} = \widehat {FOA} = {360^0}.6 = {60^0}\)

Khi đó phép quay ngược chiều 72° tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OB, điểm A tạo nên cung AB có số đo 60°.

Vậy mỗi phép quay thuận chiều 60° tâm O ở mỗi đỉnh A, B, C, D, E, F sẽ giữ nguyên lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm O.

Giải bài 9.24 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải

Hình b là hình vuông, hình d là hình lục giác đều vì hai hình đều có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Trong các hình dưới đây (H.9.53), hình nào vẽ hai điểm M và N thỏa mãn phép quay thuận chiều 60° tâm O biến điểm M thành điểm N?

Giải bài 9.25 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải

Phép quay thuận chiều 60° tâm O biến điểm M thành điểm N tức là điểm N thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay thuận kim đồng hồ đến tia ON và điểm M tạo nên cung MN có số đo là 60°.

Trong các hình đã cho, hình d là hình cần tìm.

Giải bài 9.26 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 KNTT 

Hướng dẫn giải

Vì tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính 2 cm nên ta có \(OA = OB = OC = 2 cm\).

Vì ABC là tam giác đều nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trọng tâm của tam giác.

Gọi H là giao điểm của AO và BC. Khi đó AH vừa là đường trung trực, vừa đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác.

Khi đó: \(AO = \frac{2}{3}AH\)\(\Rightarrow AH = \frac{3}{2}AO = \frac{3}{2}.2 = 3\left( {cm} \right)\)

Vì ∆ABC đều nên \(\widehat {ABC}=60^{\circ}\)°.

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:

\(BH=\frac{AH}{tan\widehat {ABH}} = \frac{3}{tan60^{\circ} } = \frac{3}{\sqrt{3} } =\sqrt{3}\)

Vì AH là đường trung tuyến của ∆ABC nên H là trung điểm của BC

\(=> BC = 2BH = 2\sqrt{3} (cm)\)

Vậy các cạnh của tam giác ABC có độ dài bằng \(2\sqrt{3}\) cm.

Giải bài 9.27 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Vì ABCD là hình thoi nên \(AB = BC = CD = DA.\)

Vì \(M, N, P, Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB, BC, CD, DA\) nên

\(MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MB{\rm{ }} = \frac{1}{2}AB{\rm{ }}\)

\(NB{\rm{ }} = {\rm{ }}NC{\rm{ }} = \frac{1}{2}BC\)

\({\rm{ }}PC{\rm{ }} = {\rm{ }}PD{\rm{ }} = \frac{1}{2}CD{\rm{ }}\)

\(QD{\rm{ }} = {\rm{ }}QA{\rm{ }} = \frac{1}{2}DA\)

Khi đó: \(AM{\rm{ }} = {\rm{ }}MB{\rm{ }} = {\rm{ }}NB{\rm{ }} = {\rm{ }}NC{\rm{ }}\)\(= {\rm{ }}PC{\rm{ }} = {\rm{ }}PD{\rm{ }} = {\rm{ }}QD{\rm{ }}\)\(= {\rm{ }}QA{\rm{ }} = \frac{1}{2}AB\)(1)

Xét tam giác ABD có \(AB = AD\) nên ∆ABD cân tại A, lại có \(\widehat A = {60^0}\) nên ∆ABD là tam giác đều.

Do đó AB = BD (2) và \(\widehat {ABD} = \widehat {ADB} = 60^{\circ}\).

Lại có M, Q là lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MQ là đường trung bình của tam giác. Do đó MQ // BD và \(MQ{\rm{ }} = \frac{1}{2}BD\). (3)

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(NP{\rm{ }} = \frac{1}{2}BD\). (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(MB = BN = NP = PD = DQ = QM\)

Vì MQ // BD nên \(\widehat {AMQ} = \widehat {ABD}= 60^{\circ}\) (so le trong).

Mà \(\widehat {AMQ} + \widehat {BMQ} = 180^\circ\) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {BMQ}=180^{\circ} -\widehat {AMQ} = 180 ^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\).

Tương tự, ta có \(\widehat {BNP} = \widehat {NPD} = \widehat {DQM} = 120^{\circ}\).

Tam giác BCD có BC = CD và \(\widehat {C} = \widehat {A} = 60^{\circ}\) (tính chất hình thoi) nên ∆BCD là tam giác đều. Do đó \(\widehat {CBD} = \widehat {CDB} = 60^\circ\)

Ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {ABD} + \widehat {CBD} = 60^{\circ} + 60 ^{\circ}\);

\(\widehat {ADC} = \widehat {ADB} + \widehat {CDB} = 60^{\circ} + 60 ^{\circ}\)=120⁰

Khi đó, \(\widehat {MBN} = \widehat {BNP} = \widehat {NPD}= \widehat {PDQ}= \widehat {DQM}=120^{\circ}\)

Như vậy \(MBNPDQ\) có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Vậy \(MBNPDQ\) là lục giác đều.

Giải bài 9.28 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải 

Hình vẽ minh họa:

Vì ∆ABC là tam giác đều nên \(\widehat {BAC}=\widehat {ABC}=\widehat {ACB}=60^{\circ}\).

Xét đường tròn (O) có \(\widehat {ACB}, \widehat {AOB}\) lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB nên \(\widehat {ACB}=\frac{1}{2} \widehat {AOB}\), suy ra \(\widehat {AOB} = 2\widehat {ACB} = 2.60^{\circ} = 120^{\circ}\).

Vì phép quay ngược chiều 60° tâm O biến điểm A thành các điểm D nên điểm D nằm trên đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OD thì điểm A tạo nên cung AD có số đo 60°.

Khi đó ta có OA = OD và \(\widehat {AOD} = 60^{\circ}\) nên ∆OAD là tam giác đều.

Suy ra AD = OA = OD và \(\widehat {ODA} = 60^{\circ}\)(1)

Mặt khác,  \(\widehat {A O B} = \widehat {A O D} + \widehat {B O D}\)(hai góc kề nhau)

Nên \(\widehat {BOD} = \widehat {AOB} - \widehat {AOD}\)\(=120°−60°=60°.\)

Xét tam giác BOD có OB = OD (cùng bằng OA) và \(\widehat {BOD} =60°\) nên ∆BOD là tam giác đều.

Do đó \(BD = OB = OD\) và \(\widehat {ODB} =60°\).(2)

Từ (1) và (2) ta có \(AD = DB\)và \(\widehat {ADB} = \widehat {ODA} +\widehat {ODB}\)\(=60°+60°=120°.\)

Tương tự, ta sẽ chứng minh được:

\(AD = DB = BE = EC = CF = FA\) và \(\widehat {ADB} = \widehat {DBE} =\widehat {BEC} =\widehat {ECF}=\widehat {CFA}=\widehat {FAD}=120^{\circ}\).

Vậy ADBECF có các cạnh bằng nhau và các góc đều bằng 120° nên là một lục giác đều.

--------------------------------------------

Giải Toán 9 trang 89 tập 2 Kết nối tri thức là tài liệu hữu ích giúp học sinh hoàn thành tốt Bài 30: Đa giác đều, đồng thời củng cố kiến thức hình học và nâng cao kỹ năng giải toán.