VnDoc.com

Xác định Hệ số a, b, c, d của hàm số hữu tỉ Toán 12 – Có đáp án chi tiết

Chuyên đề Hàm số hữu tỉ Toán 12

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Xác định hệ số của hàm số hữu tỉ Toán 12 Có đáp án

A. Cách xác định hệ số của hàm số hữu tỉ
B. Ví dụ minh họa xác định hệ số hàm hữu tỉ
C. Bài tập tự rèn luyện về hàm số hữu tỉ có đáp án chi tiết

Trong chương trình Toán 12, chuyên đề hàm số hữu tỉ là phần kiến thức quan trọng, xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra và đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Một trong những dạng bài thường gặp là xác định hệ số của hàm số hữu tỉ khi biết đồ thị hoặc các điều kiện đặc biệt.

Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ phương pháp xác định hệ số của hàm số hữu tỉ, cách phân tích đồ thị, điều kiện xác định, giá trị cực trị, tiệm cận để tìm ra kết quả chính xác. Kèm theo đó là đáp án chi tiết, lời giải minh họa giúp học sinh nắm chắc lý thuyết – vững kỹ năng – tự tin chinh phục điểm 9, 10 môn Toán.

A. Cách xác định hệ số của hàm số hữu tỉ

Xác định hệ số $a,\ b,\ c,\ d$ $a,\ b,\ c,\ d$ của hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ dựa vào đồ thị hàm số.

Hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d};(ad - bc \neq 0)$ $y = \frac{ax + b}{cx + d};(ad - bc \neq 0)$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = - \frac{d}{c}$ $x = - \frac{d}{c}$:
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là: $y = \frac{a}{c}$ $y = \frac{a}{c}$
Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$tại $A\left( - \frac{b}{a};0 \right)$ $A\left( - \frac{b}{a};0 \right)$
Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$tại $A\left( 0;\frac{b}{d} \right)$ $A\left( 0;\frac{b}{d} \right)$

Dựa vào đồ thị để xác định 4 yếu tố: $- \frac{d}{c}; - \frac{a}{c}; - \frac{b}{d};\frac{b}{d}$ $- \frac{d}{c}; - \frac{a}{c}; - \frac{b}{d};\frac{b}{d}$ .

Từ đó tìm ra mối quan hệ và kết luận.

Minh họa đồ thị hàm số như sau:

Chú ý: Trường hợp 3 và 4 khi hệ số $a = 0$ đồ thị hàm số sẽ là parabol $y = bx^{2} + c$ $y = bx^{2} + c$ đồ thị hàm số sẽ có 1 điểm cực trị.

B. Ví dụ minh họa xác định hệ số hàm hữu tỉ

Ví dụ 1. Cho hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ có đồ thị như hình vẽ dưới.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a < 0,\ b > 0,\ c < 0,\ d > 0$ $a < 0,\ b > 0,\ c < 0,\ d > 0$. B. $a > 0,\ b < 0,\ c < 0,\ d > 0$ $a > 0,\ b < 0,\ c < 0,\ d > 0$.

C. $a < 0,\ b < 0,\ c < 0,\ d > 0$ $a < 0,\ b < 0,\ c < 0,\ d > 0$. D. $a < 0,\ b < 0,\ c > 0,\ d < 0$ $a < 0,\ b < 0,\ c > 0,\ d < 0$.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị ta có

Tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c} < 0$ $y = \frac{a}{c} < 0$ nên $a$ và $c$ trái dấu 🡪 loại đáp án A và C.

Tiệm cận đứng $x = - \frac{d}{c} > 0$ $x = - \frac{d}{c} > 0$ nên $d$ và $c$ trái dấu (vậy nên $a$, $d$ cùng dấu)

$f(0) = \frac{b}{d} > 0$ $f(0) = \frac{b}{d} > 0$ nên $b$ và $d$ cùng dấu 🡪 loại đáp án B.

Ví dụ 2. Cho hàm số $y = \frac{bx - c}{x - a}$ $y = \frac{bx - c}{x - a}$ ( $a \neq 0$ $a \neq 0$ và $a$, $b$, $c\mathbb{\in R}$ $c\mathbb{\in R}$) có đồ thị như hình bên.

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $a > 0$, $b < 0$, $c - ab < 0$. B. $a > 0$, $b > 0$, $c - ab < 0$.

C. $a < 0$, $b > 0$, $c - ab < 0$. D. $a < 0$, $b < 0$, $c - ab > 0$.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Dựa vào hình vẽ, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = b > 0$, tiệm cận đứng $x = a > 0$.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định nên $c - ab < 0$, đáp án B đúng.

Ví dụ 3. Cho hàm số $y = \frac{ax + b}{x + c}$ $y = \frac{ax + b}{x + c}$ có đồ thị như hình vẽ sau.

Tính giá trị của $a + 2b + c$?

A. $- 1$ B. $- 2$ C. $0$ D. $3$

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta thấy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng: $x = - c = 2 \Rightarrow c = - 2$ $x = - c = 2 \Rightarrow c = - 2$

Tiệm cận ngang $y = a = - 1$.

Thay $x = 3;y = 0$ vào phương trình hàm số ta có: $\frac{- 3 + b}{3 - 2} = 0 \Leftrightarrow b = 3$ $\frac{- 3 + b}{3 - 2} = 0 \Leftrightarrow b = 3$

Suy ra $a + 2b + c = - 1 + 2.3 + ( - 2) = 3$

Ví dụ 4. Cho hàm số $y = \frac{ax + b}{x + c}$ $y = \frac{ax + b}{x + c}$ có đồ thị như hình vẽ, với $a$, $b$, $c$ là các số nguyên.

Tính giá trị của biểu thức $T = a - 3b + 2c$.

A. $T = 12$. B. $T = - 7$. C. $T = 10$. D. $T = - 9$.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Tiệm cận ngang $y = - 1 \Rightarrow a = - 1$ $y = - 1 \Rightarrow a = - 1$.

Tiệm cận đứng $x = 1 \Rightarrow c = - 1$ $x = 1 \Rightarrow c = - 1$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(0; - 2)$ $\Rightarrow - 2 = \frac{b}{c} \Rightarrow b = 2$ $\Rightarrow - 2 = \frac{b}{c} \Rightarrow b = 2$.

Vậy $T = a - 3b + 2c = - 1 - 3.2 + 2.( - 1) = - 9$.

Ví dụ 5. Cho hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $ab < 0$, $cd < 0$. B. $bc > 0$, $ad < 0$.

C. $ac > 0$, $bd > 0$. D. $bd < 0$, $ad > 0$.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Vì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên $ad - bc < 0$, với mọi $x \neq - \frac{d}{c}$ $x \neq - \frac{d}{c}$ nên $ad < bc$.

Mặt khác $(C) \cap Ox = A\left( - \frac{b}{a};0 \right)$ $(C) \cap Ox = A\left( - \frac{b}{a};0 \right)$ và $- \frac{b}{a} < 0$ $- \frac{b}{a} < 0$ nên $ab > 0$ $(1)$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$Loại đáp án A.

Và $(C) \cap Oy = B\left( 0;\frac{b}{d} \right)$ $(C) \cap Oy = B\left( 0;\frac{b}{d} \right)$ và $\frac{b}{d} < 0$ $\frac{b}{d} < 0$ nên $bd < 0$ $(2) \Rightarrow$ $(2) \Rightarrow$Loại đáp án C.

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $ad < 0$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$Loại đáp án D.

Mặt khác, phương trình đường tiệm cận đứng $x = - \frac{d}{c} > 0$ $x = - \frac{d}{c} > 0$ nên $cd < 0$.

Suy ra $bc > 0$. Chọn B.

C. Bài tập tự rèn luyện về hàm số hữu tỉ có đáp án chi tiết

Bài tập 1. Cho hàm số $y = \frac{ax + 2}{x + b}$ $y = \frac{ax + 2}{x + b}$. Biết đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( - 1; - \frac{1}{2} \right),B(2;4)$ $A\left( - 1; - \frac{1}{2} \right),B(2;4)$. Khi đó hàm số là:

A. $y = \frac{x + 2}{x + 1}$ $y = \frac{x + 2}{x + 1}$ . B. $y = \frac{x + 2}{x - 3}$ $y = \frac{x + 2}{x - 3}$. C. $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ $y = \frac{x + 2}{x - 1}$. D. $y = \frac{2x + 2}{x - 1}$ $y = \frac{2x + 2}{x - 1}$.

Bài tập 2. Biết đồ thị hàm số $y = \frac{2x + a}{bx - 1}$ $y = \frac{2x + a}{bx - 1}$ có tiệm cận ngang là $y = 1$ và đi qua điểm $A(1;4)$. Khi đó giá trị biểu thức $P = a^{2} + b^{2}$ $P = a^{2} + b^{2}$ là:

A. $1$. B. $5$. C. $8$. D. $2$.

Bài tập 3. Cho hàm số $y = \frac{ax + 2}{bx + 3}$ $y = \frac{ax + 2}{bx + 3}$ có đồ thị $(C)$. Tại điểm $M( - 2; - 4)$ thuộc $(C)$, tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $7x - y + 5 = 0$. Khi đó giá trị của $a,b$ là:

A. $a = 1,b = 2$. B. $a = 2,b = 1$. C. $a = 3,b = 1$. D. $a = 1,b = 3$.

Bài tập 4. Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x + m^{2} - m}$ $y = \frac{x - 1}{x + m^{2} - m}$. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = - 2$

A. $\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 2 \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 2 \end{matrix} \right.$. B. $m = 2$. C. $m = \pm 1$ $m = \pm 1$. D. $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = 2 \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = 2 \end{matrix} \right.$.

Bài tập 5. Cho hàm số $y = f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ $y = f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ có đồ thị hàm số $f'(x)$ như trong hình vẽ dưới đây:

Biết rằng đồ thị hàm số $f(x)$ đi qua điểm $A(0;\ 4)$ $A(0;\ 4)$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $f(1) = 2$. B. $f(2) = \frac{11}{2}$ $f(2) = \frac{11}{2}$. C. $f(1) = \frac{7}{2}$ $f(1) = \frac{7}{2}$. D. $f(2) = 6$.

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

---------------------------------------------------------------------

Thông qua bài viết Xác định hệ số a, b, c, d của hàm số hữu tỉ Toán 12 – Có đáp án chi tiết, bạn đã được trang bị kiến thức cốt lõi và phương pháp giải nhanh, chính xác cho dạng bài quan trọng này. Hãy luyện tập thêm các bài tập hàm số hữu tỉ có đáp án trong các chuyên đề khác để củng cố kỹ năng và đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: