Tìm m để khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng √2

Bài tập tìm m khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng Toán 9

Trong các bài toán hình học tọa độ Toán 9, dạng toán tìm tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $O$ đến một đường thẳng $d$ nhận giá trị cho trước thường yêu cầu học sinh vận dụng đồng thời phương trình đường thẳng và công thức tính khoảng cách. Với bài toán Tìm m để khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng √2, việc xác định đúng hệ số của đường thẳng và biến đổi phương trình theo tham số là bước quan trọng để tìm nghiệm chính xác. Chuyên đề cung cấp phương pháp giải và bài tập có đáp án, phù hợp cho học sinh Toán 9 Kết nối tri thức luyện tập và chuẩn bị ôn thi vào 10 môn Toán.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi \({y_0} = m{x_0} - m + 1\) với mọi m

\(\Leftrightarrow m\left( {{x_0} - 1} \right) + \left( {1 - {y_0}} \right) = 0\) đúng với mọi m

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} - 1 = 0\\ 1 - {y_0} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 1\\ {y_0} = 1 \end{array} \right.\)

Vậy đường thăng d luôn đi qua điểm cố định M(1;1).

b) Điều kiện để \(y = mx - m + 1\) là hàm số bậc nhất là \(m \ne 0\).

Gọi A là giao điểm của d và trục Oy:

Với \(x = 0 \Rightarrow y = - m + 1\)\(\Rightarrow A\left( {0; - m + 1} \right)\)

\(\Rightarrow OA = \left| { - m + 1} \right| = \left| {m - 1} \right|\)

Gọi B là giao điểm của d và trục Ox:

Với .\(y = 0 \Rightarrow x = \frac{{m - 1}}{m}\)

\(\Rightarrow B\left( {\frac{{m - 1}}{m};0} \right) \Rightarrow OB = \frac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\left| m \right|}}\)

Do điểm O cách đường thẳng d một đoạn bằng \(\sqrt{2}\) nên đường thẳng d không đi qua O \(\Leftrightarrow 0 \ne - m + 1\) hay \(m \ne 1\).

Kẻ \(OH \bot d\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\\ = \frac{1}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} + \frac{{{m^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2} - 2m + 1}}\\ \Leftrightarrow O{H^2} = \frac{{{m^2} - 2m + 1}}{{{m^2} + 1}} \end{array}\)

Mà theo giả thiết có  \(OH = \sqrt 2\).

\(\Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 2m + 1}}{{{m^2} + 1}} = 2 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)(thoả mãn).

c) Vì \(OH \le OM\) (OM không đổi do O và M cố định).

Dấu”=” xảy ra khi \(M \equiv H \Leftrightarrow d \bot OM\).

Gọi y = ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm O, M suy ra 0 = b và 1 = a + b.

Từ đó ta có = 1; b = 0. Như vậy ta được y = x là đường thẳng đi qua hai điểm O và M, đường thẳng này có hệ số góc \({k_1} = 1\). 

Mà d \(y = mx - m + 1\) nên hệ số góc của đường thẳng d là .

Do d vuông góc với OM suy ra \({k_1}.{k_2} = - 1 \Leftrightarrow 1.m = - 1 \Leftrightarrow m = - 1\)(thoả mãn).

Nhận xét :

Với phần a, chúng ta có thể tóm tắt y tưởng giải như sau:

Cách giải bài toán tìm điểm cố định của đường thẳng 

Bước 1: Gọi điểm cố định cần tìm là \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b\) (1) đúng với mọi m.

Bước 2: Biến đổi (1) về phương trình ẩn m:

P.m + Q = 0 đúng với mọi m (với P, Q là biểu thức không phụ thuộc vào m).

Bước 3: Sử dụng tính chất:

Phương trình ẩn m là: P.m + Q = 0 đúng với mọi m \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P = 0\\ Q = 0 \end{array} \right.\)

Từ đó tìm được (x; y) là toạ độ của điểm cố định.

Với phần c, ngoài cách giải đã trình bày ta cũng có thể giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức. Cụ thể như sau:

\(O{H^2} = \frac{{{m^2} - 2m + 1}}{{{m^2} + 1}} = \frac{{2\left( {{m^2} + 1} \right) - \left( {{m^2} + 2m + 1} \right)}}{{{m^2} + 1}}\)\(= 2 - \frac{{{m^2} + 2m + 1}}{{{m^2} + 1}} = 2 - \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 1}} \le 2\)với mọi m.

Đẳng thức xảy ra khi m + 1 = 0 hay m = - 1

Hướng dẫn giải

a) Hàm số có đồ thị \(y = \left( {2m + 1} \right)x - 2\) là đường thẳng d, điều kiện: \(m \ne - \frac{1}{2}\).

Do d cắt trục Ox tại điểm A nên với:

\(y = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{{2m + 1}} \Rightarrow A\left( {\frac{2}{{2m + 1}};0} \right) \Rightarrow OA = \frac{2}{{\left| {2m + 1} \right|}}.\)

Do d cắt trục Oy tại điểm B nên với \(x = 0 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow B\left( {0; - 2} \right) \Rightarrow OB = 2.\)

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O lên AB suy ra OH là khoảng cách từ gốc O tới đường thẳng d.

Suy ra \(OH = \sqrt 2\).

Mặt khác, do tam giác OAB vuông tại O và OH là đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông nên ta có:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2}}}{4} + \frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow 2 = 4{m^2} + 4m + 2 \Leftrightarrow {m^2} + m = 0 \Leftrightarrow m = 0\) hoặc m = -1 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy m = 0 hoặc m = -1.

b) Theo a, ta có

\(A\left( {\frac{2}{{2m + 1}};0} \right);B\left( {0; - 2} \right)\)

\(\Rightarrow OA = \frac{2}{{\left| {2m + 1} \right|}};OB = 2\)

\(\Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{2}{{\left| {2m + 1} \right|}} = \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow \left| {2m + 1} \right| = 4\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2m + 1 = 4\\ 2m + 1 = - 4 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\) hoặc \(m = - \frac{5}{2}\).

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-----------------------------

Trong các bài toán hình học tọa độ Toán 9, dạng toán tìm tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $O$ đến một đường thẳng $d$ nhận giá trị cho trước thường yêu cầu học sinh vận dụng đồng thời phương trình đường thẳng và công thức tính khoảng cách. Với bài toán Tìm m để khoảng cách từ O đến đường thẳng d, việc xác định đúng hệ số của đường thẳng và biến đổi phương trình theo tham số là bước quan trọng để tìm nghiệm chính xác. Chuyên đề cung cấp phương pháp giải và bài tập có đáp án, phù hợp cho học sinh Toán 9 Kết nối tri thức luyện tập và chuẩn bị ôn thi vào 10 môn Toán.