Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán 9

Toán 9 ôn thi vào 10 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 9

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số lớp 9

Trong chương trình Toán 9, xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là nội dung quan trọng giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa biến số và sự thay đổi của giá trị hàm số. Với những bài toán nâng cao, học sinh cần biết dựa vào dạng hàm số, hệ số và khoảng xét để đưa ra kết luận chính xác. Chuyên đề Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán 9 tổng hợp kiến thức, phương pháp và bài tập có đáp án, hỗ trợ học sinh Toán 9 Kết nối tri thức củng cố kỹ năng và luyện tập hiệu quả khi ôn thi vào 10 môn Toán.

A. Cách chứng minh hàm số đồng biến

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập D.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên tập D nếu

$\forall {x_1}{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right);$ $\forall {x_1}{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right);$

B. Cách chứng minh hàm số nghịch biến

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập D.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên tập D nếu

$\forall {x_1}{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right).$ $\forall {x_1}{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right).$

C. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm bậc nhất

Với $a>0$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$.
Với $a<0$ hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$.

D. Ví dụ minh họa chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến

Ví dụ 1. Cho hàm số $y = \left( {2m + 1} \right)x + 5$ $y = \left( {2m + 1} \right)x + 5$ (m là tham số).

a) Xác định các giá trị của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất.

b) Tìm các giá trị của m để hàm số trên là hàm số đồng biến.

Hướng dẫn giải

a) Hàm số $y = \left( {2m + 1} \right)x + 5$ $y = \left( {2m + 1} \right)x + 5$ là hàm số bậc nhất $\Leftrightarrow 2m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{{ - 1}}{2}$ $\Leftrightarrow 2m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{{ - 1}}{2}$.

b) Hàm số $y = \left( {2m + 1} \right)x + 5$ $y = \left( {2m + 1} \right)x + 5$ là hàm số đồng biến $\Leftrightarrow 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1}}{2}$ $\Leftrightarrow 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1}}{2}$.

Nhận xét:

Để nhận dạng hàm số bậc nhất chúng ta cần lưu ý rằng: Công thức có dạng $y = ax + b;\left( {a \ne 0} \right)$ $y = ax + b;\left( {a \ne 0} \right)$. Chẳng hạn, hàm số $y = 2x + 1 - {x^2}$ $y = 2x + 1 - {x^2}$ có hệ số $2 \ne 0$ $2 \ne 0$ nhưng không phải là hàm bậc nhất vì nó không có dạng $y = ax + b;\left( {a \ne 0} \right)$ $y = ax + b;\left( {a \ne 0} \right)$.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} + 3x + {1_{}}$ $y = f\left( x \right) = {x^3} + 3x + {1_{}}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

Hướng dẫn giải

Với mọi ${x_1} < {x_2}\left( {{x_1},{x_2} \in \mathbb{R}} \right)$ ${x_1} < {x_2}\left( {{x_1},{x_2} \in \mathbb{R}} \right)$ ta có:

$f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \left( {{x_2}^3 - {x_1}^3} \right) + 3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)$ $f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \left( {{x_2}^3 - {x_1}^3} \right) + 3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)$

$= \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_1}^2 + {x_1}{x_2} + {x_2}^2 + 3} \right)$ $= \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_1}^2 + {x_1}{x_2} + {x_2}^2 + 3} \right)$

Do ${x_1}^2 + {x_1}{x_2} + {x_2}^2 + 3 = {\left( {{x_1} + \frac{{{x_2}}}{2}} \right)^2} + \frac{{3{x_2}^2}}{4} + 3 > 0$ ${x_1}^2 + {x_1}{x_2} + {x_2}^2 + 3 = {\left( {{x_1} + \frac{{{x_2}}}{2}} \right)^2} + \frac{{3{x_2}^2}}{4} + 3 > 0$ với mọi ${x_1},{x_2}$ ${x_1},{x_2}$ và ${x_2} - {x_1} > 0$ ${x_2} - {x_1} > 0$ nên ta có: $f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) > 0$ $f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) > 0$ $\forall {x_1},{x_2} \in \mathbb{R},{x_1} < {x_2}.$ $\forall {x_1},{x_2} \in \mathbb{R},{x_1} < {x_2}.$

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét:

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập D.

Ngoài cách làm như trên, ta có thể làm như sau: Với ${x_1},{x_2} \in D$ ${x_1},{x_2} \in D$ bất kỳ, ${x_1} \ne {x_2}$ ${x_1} \ne {x_2}$.

Ta xét thương $\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}$ $\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}$:

+ Nếu $\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} >0$ $\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} >0$ thì ta có hàm số đồng biến trên D.

+ Nếu $\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} <0$ $\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} <0$ thì ta có hàm số nghịch biến trên D.

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = ax + b;\left( {a \ne 0} \right)$ $y = ax + b;\left( {a \ne 0} \right)$ (a, b là các tham số, x là số thực). Chứng minh rằng : Hàm số $y = f\left( x \right)$ $y = f\left( x \right)$ đồng biến khi và chỉ khi $a>0$; hàm số nghịch biến khi và chỉ khi $a<0$.

Hướng dẫn giải

Với mọi ${x_1},{x_2}$ ${x_1},{x_2}$ phân biệt thuộc $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ ta có: $\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = a$ $\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = a$

Hàm số đã cho đồng biến $\Leftrightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} > 0 \Leftrightarrow a > 0$ $\Leftrightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} > 0 \Leftrightarrow a > 0$

Hàm số đã cho nghịch biến $\Leftrightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0 \Leftrightarrow a < 0$ $\Leftrightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0 \Leftrightarrow a < 0$.

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

------------------------------------------

Nắm chắc cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp học sinh Toán 9 xử lý tốt các câu hỏi về hàm số và đồ thị trong quá trình học tập cũng như ôn luyện. Khi làm bài, cần xác định đúng hàm số, khoảng đang xét và mối quan hệ giữa các giá trị của biến để tránh kết luận sai. Thông qua hệ thống bài tập có đáp án, chuyên đề này giúp học sinh Toán 9 Kết nối tri thức củng cố kiến thức nền tảng, rèn khả năng phân tích và chuẩn bị tốt hơn cho các dạng bài ôn thi vào 10 môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: