Giải SGK toán 11 trang 51 tập 2

Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức tập 2, Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc giúp học sinh khám phá các quan hệ vuông góc trong hình học không gian và vận dụng chúng vào giải bài tập. Với nội dung Giải SGK Toán 11 trang 51 tập 2, các em có thể tham khảo hướng dẫn giải từng câu hỏi, củng cố cách nhận biết hai mặt phẳng vuông góc và vận dụng các định lí liên quan. Lời giải được trình bày theo trình tự rõ ràng, giúp học sinh dễ theo dõi lập luận hình học và chủ động kiểm tra kết quả của mình. Đây là nguồn tài liệu tham khảo phù hợp để tự học, chuẩn bị bài trên lớp và ôn luyện kiến thức trọng tâm.

Giải hoạt động 11 trang 51 Toán 11 KNTT Tập 2

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Giả sử tháp có dạng hình chóp S.ABCD với đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Theo đề có: AB = BC = CD = DA = 34 m, SA = SB = SC = SD ≈ 32,3 m.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt đáy nên SO ⊥ (ABCD).

Xét tam giác SOB vuông tại O nên \(OB = \sqrt {S{B^2} - S{O^2}}\)

Xét tam giác SOD vuông tại O nên \(OD = \sqrt {S{D^2} - S{O^2}}\)

Xét tam giác SOA vuông tại O nên \(OA = \sqrt {S{A^2} - S{O^2}}\)

Xét tam giác SOC vuông tại O nên \(OC = \sqrt {S{C^2} - S{O^2}}\).

Mà SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

=> O là tâm của hình vuông.

Giải hoạt động 12 trang 51 Toán 11 KNTT Tập 2

Hướng dẫn giải :

a) Do S.A₁A₂…A_nlà hình chóp đều nên SA₁= SA₂ = … = SA_n

Vì O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A₁A₂…A_n) nên SO ⊥ (A₁A₂…A_n).

Xét tam giác SOA₁ vuông tại O, có \(O{A_1} = \sqrt {S{A_1}^2 - S{O^2}}\),

Xét tam giác SOA₂ vuông tại O, có \(O{A_2} = \sqrt {S{A_2}^2 - S{O^2}}\),

…..

Xét tam giác SOA_n vuông tại O, có \(O{A_n} = \sqrt {S{A_n}^2 - S{O^2}}\).

Mà SA₁ = SA₂ = … = SA_n nên OA₁ = OA₂ = … = OA_n hay O là tâm đa giác đều A₁A₂…A_n.

b) Nếu đa giác A₁A₂…A_nlà đều và O là tâm của đa giác đó thì OA₁= OA₂ = … = OA_n.

Vì O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A₁A₂…A_n) nên SO ⊥ (A₁A₂…A_n).

Xét tam giác SOA₁ vuông tại O có: \(S{A_1} = \sqrt {O{A_1}^2 + S{O^2}}\)

Xét tam giác SOA₂ vuông tại O, có \(S{A_2} = \sqrt {O{A_2}^2 + S{O^2}}\)

…..

Xét tam giác SOA_n vuông tại O, có \(S{A_n} = \sqrt {O{A_n}^2 + S{O^2}}\).

Mà OA₁ = OA₂ = … = OA_n nên SA₁ = SA₂ = … = SA_n.

Vậy hình chóp S.A₁A₂…A_n là hình chóp đều.

Giải luyện tập 5 trang 51 Toán 11 KNTT Tập 2

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ minh họa:

Gọi G là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi AG cắt BC tại D mà ABC là tam giác đều => AD ⊥ BC.

Mà SG ⊥ (ABC) => SG ⊥ BC.

Ta có: AD ⊥ BC và SG ⊥ BC nên BC ⊥ (SAD)

=> BC ⊥ SD.

Vì AD ⊥ BC và BC ⊥ SD nên \(\widehat {SDA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, A].

Vì ABC là tam giác đều cạnh a, AD là đường cao nên \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Rightarrow DG = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Xét tam giác ABC có AD là trung tuyến nên D là trung điểm của BC

=> BD=DC=BC/2=a/2.

Xét tam giác SBD vuông tại D có:

\(SD = \sqrt {S{B^2} - B{D^2}} = \sqrt {\frac{{5{a^2}}}{{12}} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\)

Xét tam giác SGD vuông tại G có

\(\begin{array}{l} \cos \widehat {SDA} = \cos \widehat {SDG} = \frac{{GD}}{{SD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \widehat {SDG} = {45^0} \end{array}\)

Vậy số đo góc nhị diện [S, BC, A] là 45°.

------------------------------------

Thông qua bài Giải Toán 11 KNTT Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc, học sinh có thể hệ thống lại những kiến thức quan trọng và hiểu rõ hơn cách vận dụng điều kiện vuông góc trong hình học không gian. Khi giải bài tập, các em nên chú ý xác định đúng các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đồng thời trình bày đầy đủ căn cứ cho từng bước chứng minh. Nội dung giải SGK Toán 11 trang 51 tập 2 sẽ hỗ trợ quá trình tự học và giúp học sinh nhận ra những điểm cần củng cố sau mỗi bài làm.