Toán 11 Bài 19 Lôgarit

Lôgarit là nội dung quan trọng trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, giúp học sinh hiểu mối liên hệ giữa phép lôgarit và phép lũy thừa, đồng thời vận dụng các quy tắc tính toán vào giải bài tập. Với bài viết Toán 11 Bài 19 Lôgarit, học sinh có thể tham khảo lời giải sách giáo khoa Toán 11 KNTT tập 2 chi tiết, nắm chắc kiến thức cốt lõi và từng bước nâng cao kỹ năng làm bài.

Giải SGK toán 11 trang 10 tập 2

Hoạt động 1 trang 10 Toán 11 KNTT Tập 2

Nhận biết khái niệm lôgarit

Tìm x, biết:

a) 2^x= 8;            b) \({2^x} = \frac{1}{4}\)          c) \({2^x} = \sqrt 2\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

2^x = 8 ⇔ 2^x = 2³ ⇔ x = 3.

b) Ta có:

\({2^x} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^x} = \frac{1}{{{2^2}}} \Leftrightarrow {2^x} = {2^{ - 2}} \Leftrightarrow x = - 2\)

c) Ta có:

\({2^x} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {2^x} = {2^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

Giải SGK toán 11 trang 11 tập 2

Luyện tập 1 trang 11 Toán 11 KNTT Tập 2

Tính:

a) \({\log _3}3\sqrt 3\);

b) \({\log _{\frac{1}{2}}}32\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\({\log _3}3\sqrt 3 = {\log _3}\left( {{{3.3}^{\frac{1}{2}}}} \right) = {\log _3}\left( {{3^{1 + \frac{1}{2}}}} \right) = {\log _3}{3^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2}\)

b) Ta có:

\({\log _{\frac{1}{2}}}32 = {\log _{{2^{ - 1}}}}32 = - {\log _2}{2^5} = - 5\)

Hoạt động 2 trang 11 Toán 11 KNTT Tập 2

Nhận biết quy tắc tính lôgarit

Cho M = 2⁵, N = 2³. Tính và so sánh:

a) \({\log _2}\left( {MN} \right)\) và \({\log _2}M + {\log _2}N\);

b) \({\log _2}\left( {\frac{M}{N}} \right)\) và \({\log _2}M - {\log _2}N\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\({\log _2}\left( {MN} \right) = {\log _2}\left( {{2^5}{{.2}^3}} \right) = {\log _2}\left( {{2^{5 + 3}}} \right) = {\log _2}{2^8} = 8\)

\({\log _2}M + {\log _2}N = {\log _2}{2^5} + {\log _2}{2^3} = 5 + 3 = 8\)

Vậy \({\log _2}\left( {MN} \right) = {\log _2}M + {\log _2}N\);

b) Ta có:

\({\log _2}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _2}\left( {\frac{{{2^5}}}{{{2^3}}}} \right) = {\log _2}\left( {{2^{5 - 3}}} \right) = {\log _2}{2^2} = 2\)

\({\log _2}M - {\log _2}N = {\log _2}{2^5} - {\log _2}{2^3} = 5 - 3 = 2\)

Vậy \({\log _2}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _2}M - {\log _2}N\)

Luyện tập 2 trang 11 Toán 11 KNTT Tập 2

Rút gọn biểu thức:

\(A = {\log _2}\left( {{x^3} - x} \right) - {\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {x - 1} \right)\) (với x > 1).

Hướng dẫn giải

Với x > 1, ta có:

\(\begin{array}{l} A = {\log _2}\left( {{x^3} - x} \right) - {\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {x - 1} \right)\\ A = {\log _2}\left( {\frac{{{x^3} - x}}{{x + 1}}} \right) - {\log _2}\left( {x - 1} \right)\\ A = {\log _2}\left[ {\frac{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{x + 1}}} \right] - {\log _2}\left( {x - 1} \right) \end{array}\)

\(\begin{array}{l} A = {\log _2}\left[ {\frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}} \right] - {\log _2}\left( {x - 1} \right)\\ A = {\log _2}\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] - {\log _2}\left( {x - 1} \right)\\ A = {\log _2}\left[ {\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}}} \right] = {\log _2}x \end{array}\)

Hoạt động 3 trang 11 Toán 11 KNTT Tập 2

Xây dựng công thức đổi cơ số của lôgarit

Giả sử đã cho log_aM và ta muốn tính log_bM. Để tìm mối liên hệ giữa log_aM và log_bM, hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Đặt y = log_aM, tính M theo y;

b) Lấy lôgarit theo cơ số b cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy racông thức mới để tính y.

Hướng dẫn giải

a) Đặt y = log_aM, theo định nghĩa về lôgarit, ta suy ra M = a^y.

b) Lấy lôgarit theo cơ số b cả hai vế của M = ayta được

log_bM = log_ba^y ⇔ log_bM = y log_ba ⇔ \(y = \frac{{{{\log }_b}M}}{{{{\log }_b}a}}\).

Giải SGK toán 11 trang 12 tập 2

Luyện tập 3 trang 12 Toán 11 KNTT Tập 2

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính \({\log _9}\frac{1}{{27}}\).

Hướng dẫn giải

Thực hiện phép tính như sau:

\({\log _9}\frac{1}{{27}} = {\log _{{3^2}}}\left( {\frac{1}{{{3^3}}}} \right) = \frac{1}{2}{\log _3}{3^{ - 3}} = - \frac{3}{2}\)

Giải SGK toán 11 trang 14 tập 2

Vận dụng trang 14 Toán 11 KNTT Tập 2

Cô Hương gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 6% một năm.

a) Tính số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo một trong các thể thức sau:

- Lãi kép kì hạn 12 tháng;

- Lãi kép kì hạn 1 tháng;

- Lãi kép liên tục.

b) Tính thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải

a) Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm nếu lãi suất được tính theo hình thức lãi kép kì hạn 12 tháng là

\(100.\;{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^{12}} \approx 106,17\) (triệu đồng).

Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm nếu lãi suất được tính theo hình thức lãi kép kì hạn 1 tháng là:

(triệu đồng).

Số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm nếu lãi suất được tính theo hình thức lãi kép liên tục là

100 . e^{0,06 . 1} ≈ 106,18 (triệu đồng).

b) Gọi t (năm) là thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục.

Ta có: 150 = 100 . e^0,06t => 0,06t = ln1,5 hay t ≈ 6,8 năm.

Bài 6.9 trang 14 Toán 11 KNTT Tập 2

Tính:

a) \({\log _2}{2^{ - 13}}\)           b) \(\ln {e^{\sqrt 2 }}\)          c) log₈16 – log₈2;          d) log₂6 ∙ log₆

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

log₂2^{– 13} = – 13.

b) Ta có:

\(\ln {e^{\sqrt 2 }} = \sqrt 2\)

c) Ta có:

log₈16 – log₈2 = log₈(16:1)=log₈8=1.

d) Ta có:

log₂6 . log₆8 = log₂6.\(\frac{{{{\log }_2}8}}{{{{\log }_2}6}}\)=log₂8=log₂2³=3.

Bài 6.10 trang 14 Toán 11 KNTT Tập 2

Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) \(A = \ln \left( {\frac{x}{{x - 1}}} \right) + \ln \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right) - \ln \left( {{x^2} - 1} \right)\);

b) \(B = 21{\log _3}\sqrt[3]{x} + {\log _3}\left( {9{x^2}} \right) - {\log _3}9\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\begin{array}{l} A = \ln \left( {\frac{x}{{x - 1}}} \right) + \ln \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right) - \ln \left( {{x^2} - 1} \right)\\ A = \ln \left( x \right) - \ln \left( {x - 1} \right) + \ln \left( {x + 1} \right) - \ln x - \ln \left( {{x^2} - 1} \right)\\ A = - \ln \left( {x - 1} \right) + \ln \left( {x + 1} \right) - \ln \left( {{x^2} - 1} \right)\\ A = \ln \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) - \ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right]\\ A = \ln \left( {\frac{{\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right)\\ A = \ln \left( {\frac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right)\\ A = \ln \left( {\frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \right) = \ln {\left( {x - 1} \right)^{ - 2}} = - \ln {\left( {x - 1} \right)^2} \end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l} B = 21{\log _3}\sqrt[3]{x} + {\log _3}\left( {9{x^2}} \right) - {\log _3}9\\ B = {\log _3}{x^{\frac{{21}}{3}}} + {\log _3}\left( {\frac{{9{x^2}}}{9}} \right)\\ B = {\log _3}{x^{\frac{{21}}{3}}} + {\log _3}{x^2}\\ B = {\log _3}\left( {{x^{\frac{{21}}{3}}}.{x^2}} \right)\\ B = {\log _3}\left( {{x^7}.{x^2}} \right) = {\log _3}\left( {{x^9}} \right) \end{array}\)

Giải SGK toán 11 trang 15 tập 2

Bài 6.11 trang 15 Toán 11 KNTT Tập 2

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A = {\log _{\frac{1}{3}}}5 + 2{\log _9}25 - {\log _{\sqrt 3 }}\frac{1}{5}\);

b) \(B = {\log _a}{M^2} + {\log _{{a^2}}}{M^4}\) .

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l} A = {\log _{\frac{1}{3}}}5 + 2{\log _9}25 - {\log _{\sqrt 3 }}\frac{1}{5}\\ A = {\log _{{3^{ - 1}}}}5 + 2{\log _{{3^2}}}{5^2} - {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}\frac{1}{5}\\ A = - {\log _3}5 + 2.2.\frac{1}{2}.{\log _3}5 - 2.{\log _3}\frac{1}{5}\\ A = - {\log _3}5 + 2{\log _3}5 + 2.{\log _3}5\\ A = 3{\log _3}5 \end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l} B = {\log _a}{M^2} + {\log _{{a^2}}}{M^4}\\ B = 2{\log _a}M + \frac{1}{2}.4{\log _a}M\\ B = 2{\log _a}M + 2{\log _a}M\\ B = 4{\log _a}M \end{array}\)

Bài 6.12 trang 15 Toán 11 KNTT Tập 2

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = log₂3 ∙ log₃4 ∙ log₄5 ∙ log₅6 ∙ log₆7 ∙ log₇8;

b) B = log₂2 ∙ log₂4 ∙∙∙ log₂2n.

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có:

A = log₂3 ∙ log₃4 ∙ log₄5 ∙ log₅6 ∙ log₆7 ∙ log₇8

= \(\frac{{\log 3}}{{\log 2}}.\frac{{\log 4}}{{\log 3}}.\frac{{\log 5}}{{\log 4}}.\frac{{\log 6}}{{\log 5}}.\frac{{\log 7}}{{\log 6}}.\frac{{\log 8}}{{\log 7}}\)

= \(\frac{{\log 8}}{{\log 2}}\)

=log₂8=log₂2³= 3.

b) Ta có:

B = log₂2 ∙ log₂4 ∙∙∙ log₂2n

= log₂2 ∙ log₂2² ∙∙∙ log₂2ⁿ

= 1 ∙ 2 ∙ … ∙ n = n!.

Bài 6.13 trang 15 Toán 11 KNTT Tập 2

Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là

a = 15 500(5 – log p),

trong đó a là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và p là áp suất không khí (tính bằng pascal).

Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển.

Hướng dẫn giải:

Ta có đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển nên a = 8 850.

=> 15 500(5 – log p) = 8 850 ⇔.\(\log p = \frac{{1373}}{{310}} \Leftrightarrow p = \frac{{101373}}{{310}} \approx 26855,44\)

Vậy áp suất không khí ở đỉnh Everest xấp xỉ 26 855,44 Pa.

Bài 6.14 trang 15 Toán 11 KNTT Tập 2

Mức cường độ âm L đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ I (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là W/m²) được định nghĩa như sau:

\(L\left( t \right) = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}\)

trong đó I₀ = 10^{– 12} W/m² là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe ).

Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I = 10^{– 7}W/m².

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ I = 10^{– 3} W/m².

Hướng dẫn giải:

a) Mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường có cường độ I = 10^{– 7} W/m²là:

\({L_1} = 10\log \frac{{{{10}^{ - 7}}}}{{{{10}^{ - 12}}}} = 10\log {10^5} = 50\left( {dB} \right)\)

b) Mức cường độ âm của giao thông thành phố đông đúc có cường độ I = 10^{– 3} W/m² là

\({L_2} = 10\log \frac{{{{10}^{ - 3}}}}{{{{10}^{ - 12}}}} = 10\log {10^9} = 90\left( {dB} \right)\)

-----------------------------

Nắm vững kiến thức trong Toán 11 Bài 19: Lôgarit sẽ giúp học sinh thực hiện thành thạo các phép tính, hiểu rõ những tính chất cơ bản và giải quyết hiệu quả các dạng bài tập trong sách giáo khoa. Hãy chủ động luyện tập, đối chiếu đáp án với lời giải chi tiết và ôn lại các công thức cần thiết để tạo nền tảng vững chắc cho những nội dung tiếp theo của Toán 11 Kết nối tri thức tập 2.